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Ensino SuperiorMatemtica BsicaUnidade 5 Estudo de FunesAmintas
Paiva Afonso
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O conceito de funo um dos mais importantes em toda a
Matemtica.
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A idia de funoToda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de
associao entre eles...que faa corresponder a todo elemento do
primeiro conjunto um nico elemento do segundo, ocorre uma funo.
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Em nosso dia-a-dia temos muitos exemplos de funes:O tempo de
viagem funo, entre outras coisas, da distncia percorrida.A altura
de uma criana funo de sua idade;O consumo de combustvel funo, entre
outras coisas, da velocidade.Permetro de um tringulo funo da medida
de seus lados.
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O conceito de funo na histria...Ren Descartes (1596-1650),
filsofo e matemtico francs porps a utilizao de um sistema de eixos
para localizar pontos e representar graficamente as equaes.Galileu
Galilei (1564-1642), astrnomo e matemtico italiano iniciou o mtodo
experimental a partir do qual se pode estabelecer uma lei que
descreve relaes entre as variveis de um fenmeno.
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A funo um modo especial de relacionar grandezas.Duas grandezas x
e y se relacionam de tal forma que:x pode assumir qualquer valor em
um conjunto A dado.a cada valor de x corresponde um nico valor y em
um dado conjunto B.os valores que y assume dependem dos valores
assumidos por x.
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Temos vrias maneiras para representar a idia de funo.
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Representao grficaNo dia-a-dia utilizamos esse tipo de
representao em vrios setores.
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Algumas funes especiais:
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A = {1, 2}; B = {2, 3, 4}A x B = { (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2,
2), (2, 3), (2, 4)}
A x B = { (x, y) | x A e y B}Produto Cartesiano
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Uma funo (ou aplicao) f uma lei segundo a qual cada elemento x
em um conjunto A est associado a exatamente um elemento, chamado
f(x), em um conjunto B.Definio de funo
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No funo de A em B funo de A em BDefinio de funo atravs de
conjuntos
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No funo de A em B funo de A em BNoo de funo atravs de
conjuntos
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Im(f)D(f) = ACD(f) = BDomnio, Contradomnio e Conjunto-Imagem
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Para que uma curva num plano cartesiano seja grfico de uma funo
y = f(x), nenhuma reta vertical deve intercept-la mais de uma
vez.Teste da reta vertical
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D = {x IR| 3 x 4 e x 1} e Im = {y IR| 2 < y 3}Domnio e imagem
atravs do grfico
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Seja f uma funo de A em B. Denominamos raiz (ou zero) da funo f
todo elemento de A para o qual temos f(x) =0.Interpretao geomtrica
das razes de uma funo
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FUNO INJETORA quando quaisquer dois elementos diferentes do
conjunto A tm imagens diferentes no conjunto B.0
-3
2
4
1
6
8
Ou seja, x diferente tem y diferente !!!
AB
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Uma funo f(x) injetora se nenhuma reta horizontal interceptar
seu grfico em mais de um ponto.Teste da reta horizontal para
verificar se uma funo injetora
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FUNO SOBREJETORA quando o conjunto Imagem da funo for igual ao
conjunto contradomnio. (Im = CD) -1
1
31
9
Se M o conjunto das mulheres e H o conjunto dos homens,ento no
se pode ter homemsolteiro !!!
MH
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FUNO BIJETORA uma funo simultaneamente injetora e
sobrejetora.-1
3
7 Ou seja, homens e mulheres com os mesmos direitos !!
1
5
9MHInjetora: x diferente tem y diferente Sobrejetora: NO SOBRAM
elementos no contra domnio.
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No injetora. sobrejetora injetora.No sobrejetoraInjeo, sobrejeo
e bijeoa)b)
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injetora sobrejetora bijetoraInjeo, sobrejeo e bijeoc)
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Testando seus conhecimentos1) Classifique as funes como
bijetora, sobrejetora, injetora ou ainda nenhuma delas: injetora
sobrejetoraa)b)
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2) Classifique as funes como bijetora, sobrejetora, injetora, ou
ainda nenhuma delas: bijetorano sobrejetora, nem injetorac)d)
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3) Dada a funo sobrejetora f : [2; 8] B, tal que f(x) = x 8x +7,
observe atentamente seu grfico e determine seu domnio e imagem.D(f)
= [2;8]Im(f) = [-9;7]
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FUNO CRESCENTE:A funo f crescente
A funo f crescenteA funo g decrescenteA funo g decrescente
Diz-se que f crescente, se para a < b, ento f(a) <
f(b).Diz-se que g decrescente, se a < b ento g(a) > g(b).
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6) A partir da anlise do grfico, determine os intervalos onde a
funo :Decrescente:]0, 4[b) Crescente:]- ; 0[ e ]4 ; +[
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Funo crescente e Funo decrescente
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Funo crescente e Funo decrescente
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Funo crescente e Funo decrescente
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GRFICO PARA x 0GRFICO COMPLETOOs grficos das funes pares so
simtricos em relao ao eixo das ordenadas.Funo Parf(x) = x4 x2
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Funo mparGrfico para x 0
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Os grficos das funes mpares so simtricos em relao origem do
sistema cartesiano ortogonal.Funo mparf(x) = x3 + x5
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FUNO PAR:f(x) = f(-x)Exemplo: f(x) = x par pois 2 = (-2) = 4FUNO
MPAR:f(a) = - f(-a)Exemplo: f(x) = x mpar pois 2 = - (-2) Uma funo
PAR quando ela simtrica em relao ao eixo y. Funo MPAR simtrica em
relao a origem.yxf(x) = xyxf(x) = x
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4) a) Verifique se f(x) = 2x + 5x par ou mpar: Primeiro vejamos
que f(1) = 2.1 + 5.1 = 7 Em seguida, vejamos f(-1) = 2.(-1) +
5.(-1) = -7 Logo f(x) = 2x + 5x MPAR, pois f(x) = - f(-x)ou seja,
f(1) = - f(-1), pois 7 = - (-7)
b) Mostre que f(x) = 3x par:Primeiro vejamos que f(1) = 3(1) =
3Em seguida, vejamos f(-1) = 3(-1) = 3 Logo f(x) = x PAR, pois f(x)
= f(-x)ou seja, f(1) = f(-1), pois 3 = 3
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5) Sendo o grfico ao lado de f(x), o grfico de f( x)
ser:Resposta: Ef(x) = f(-x)Lembre-se:SeEnto a funo f par e ela
simtrica ao eixo y.
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Sejam f e g duas funes quaisquer. Denomina-se funo composta de g
com f a funo h definida por h(x) = g(f(x)).Esquema para a composio
de funes
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FUNO INVERSAA idia agora entender que y = f(x) e seguir o
seguinte procedimento:1) Isola x;2) Troca x por y e vice versa.
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O smbolo para a funo inversa de f f -1 e l-se funo inversa de f.
FUNO INVERSAO smbolo 1 em f-1 no um expoente; f-1(x) no significa
1/f(x).
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TESTE DA RETA HORIZONTALUma funo f tem inversa se e somente se o
grfico da mesma for cortado apenas uma vez por qualquer reta
horizontal.EXEMPLO: a funo f(x) = x2 tem inversa?FUNO
INVERSAConcluso: a funo f(x) = x2 no tem inversa.
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Os grficos de f e f 1 so simtricos em relao bissetriz dos
quadrantes mpares (reta y = x).Simetria das funes inversas
