DODATAK 3. SITUACIJE ODLUČIVANJAfmpe.edu.ba/images/nastava/942/Poslovno... · DODATAK 2. 179 1. Metode odlučivanja u uslovima sigurnosti Uslovi izvjesnosti su idealni za donošenje

DODATAK 2. 179

1. Metode odlučivanja u uslovima sigurnostiUslovi izvjesnosti su idealni za donošenje odluke. Ishod svake alternative je poznat i vjerovatnoća ostvarenja događaja je jednaka jedinici. Na me-nadžeru je zadatak da izabere onu alternativu koja obećava najpovoljniji ishod (najveći prihod ili najveći profi t ili najniže troškove ili najveći rast vrednosti za dioničare i sl.). Na primjer, menadžer nabavke bira najpovoljnijeg dobavljača od onih koji su prijavljeni na javnom konkursu, i to na osnovu kriterija cijene usluge. U metode odlu-čivanja u uslovima sigurnosti ubraja se linerano programiranje.

1.1. Pojam linearnog programiranja

Prije pojave linearnog programiranja treba zabi-lježiti da su u radovima L. Walrasa vršena prouča-vanja ekonomskih pojava preko niza linearnih jed-načina. Linearno programiranje je relativno mlada naučna disciplina. Pojavljuje se uoči Drugog svjet-skog rata, iako postoje autori koji tvrde da je ono nastalo znatno ranije. Određeni teoretičari vezuju nastanak linearnog programiranja za članak ma-đarskog matematičara J. Egevarya, koji je objav-ljen 1931. godine i koji sadrži teoremu na bazi koje je postavljena metoda raspoređivanja. Formlisa-nje ove teoreme je započeo, također, mađarski matematičar D. Konig tako da se metoda raspore-đivanja često naziva mađarskom metodom.

Najveći broj naučnika smatra da se linearno pro-gramiranje pojavilo 1939. godine kada je sovjetski naučnik L. V. Kantorovič, profesor Lenjingradskog univerziteta objavio članak Matematički metodi u organizaciji i planiranju proizvodnje. U članku su predložene metode za pronalaženje rješenja nekih tehničko-ekonomskih problema, kao što su: najracionalnija raspodjela poslova na mašine, sječenje materijala uz najniži otpadak, raspodjela tereta na transportna sredstva i slično.

Predlagani metod je L. V. Kantorovič li počet-ku nazvao: metoda rješavajućih množitelja, a kasnije ih nazivao: objektivno uslovljene ocjene.

Najveći doprinos razvoju linearnog programiranja dao je G. B. Dantzig, koji je 1947. godine formuli-sao opšti problem linearnog programiranja i po-stavio simpleks metodu. On je za vrijeme Drugog svjetskog rata radio u grupi, pod rukovodstom M. K. Wooda, koja je ispitivala alokacije resursa uz minimiziranje, odnosno maksimiziranje jedne linearne funkcije. G. B. Dantzigov rad kružio je među stručnjacima više godina, tvrdi Dorfman i poslužio im je kao osnova za naredne razrade li-nearnog programiranja. G. B. Dantzig je dao veli-ki broj radova iz oblasti linearnog programiranja. Prvi od njih publikovan je 1949. godine i u njemu su izložene osnovne ideje simpleks metode. U ostalim radovima, sarađujući sa drugim autorima, razmatrao je razne modifi kacije metode, ispitivao slučaj degeneracije, dualni problem, predlagao algoritme za rješavanje transportnih problema, cjelobrojnog programiranja itd. Njegova knjiga se

SITUACIJE ODLUČIVANJADODATAK 3.

180

ODLU^IVANJE

može smatrati jednom od potpunijih i značajnih djela iz linearnog programiranja.

U periodu 1947. - 1949. godine počinje u SAD in-tenzivna razrada linearnog programiranja, poseb-no teorija. Radovi J. von Neumanna su omogućili teoretsko formulisanje dualnog problema, kao i pronalaženje veze između linearnog, programira-nja i teorije igara. Karakteristično je, daje linearno programiranje prošlo kroz dvije nezavisne razvoj-ne faze jedna u SSSR, a druga u SAD.

U SSSR je nastanak linearnog programiranja vezan isključivo za ličnost L. V. Kantoroviča, a po tehnici koju koristi razlikuje se od linearnog programira-nja nastalog u SAD. Iako je u SSSR linearna pro-gramiranje nastalo kao rezultat potreba sovjetske privrede i planiranja ono je u početku zanema-rivano i dugo nije moglo da nađe širu praktičnu primjenu.

Nasuprot, tome, paralelno i nezavisno, linearno programiranje javlja se u SAD. Ono nastaje prije svega kao rezultat teoretskih istraživanja većeg broja naučnika. U početku je nalazilo primjenu u rješavanju problema vojne prirode.

1.2. Suština i predmet

Poznato je da se jedan problem, ekonomske pri-rode rijetko može da riješi na jedan jedini način. Obično stoji na raspolaganju veći ili manji broj, raznih alternativnih, rješenja. Na svako, od tih rješenja djeluju mnogobrojni i raznorodni fakto-ri, pa su i njihovi kvantitativni izrazi međusobno različiti. Jedno isto rješenje može biti prihvatljivo sa jednog, a djelimično, odnosno, potpuno nepri-hvatljivo sa drugog stanovišta. Nameće se, dakle, potreba da se prethodno utvrde i ispitaju sva, al-ternativna rješenja, pa tek onda odabere jedno od njih. I odmah se pojavljuje problem: kako utvrditi sva ta, alternativna rešenja ako je njihov broj do-voljno veliki. Kod nekih problema neće, postojati čak ni tehničke mogućnosti za izračunavanje svih alternativnih rješenja. Kod drugih, pak, to neće biti izvodljivo zbog relativno kratkog toka u kome tre-ba pronaći i odabrati jedno rješenje.

Međutim, nije dovoljno da se izabere i usvoji bilo koje od ovih alternativnih rješenja. Treba među ovim rješenjima pronaći ono rješenje koje će biti optimalno sa podređenog stanovišta. A to se bez primjene adekvatnih naučnih metoda ne može ostvariti.

Primjenom modela linearnog programiranja pri rješavanju problema stvara se objektivna osnova za donošenje konačne odluke. Jedino tada biće, moguće da se, pri izboru, nekog rješenja, odstra-ni eventualna subjektivna naklonost pojedinca ili grupe istraživača. Za neko rješenje linearno pro-gramiranje ima za cilj stvaranje naučne podloge za donošenje najpovoljnije odluke. Ono omogu-ćuje izradu ekonomskog proračuna za optimalno iskorištenje društvenih sredstava. Pomenućemo samo neke od značajnijih problema koji se, mogu rješavati metodama linearnog programiranja.

• Utvrđivanje optimalne strukture preduze-ća u razvoju. Utvrđivanje optimalne strukture preduzeća u razvoju je jedan od najznačajnijih ekonomskih problema. Usmjeravanje razvoja preduzeća može biti izvršeno na optimalnom nivou, ako je pronađena optimalna struktura resursa, kojoj u narednom periodu treba težiti. Pod optimalnom strukturom resursa podrazu-mijevamo takvu strukturu koja obezbjeđuje ostvarenje jednog kriterija optimalnosti kao: maksimalnog prihoda, ili maksimalne zapo-slenosti radne snage, iliminimalne zaposle-nosti radne snage, ili maksimalnog korištenja raspoloživih kapaciteta, ili maksimalnog tem-pa razvoja preduzeća ili maksimalne ukupne, odnosno fi nalne proizvodnje i sl. Rješavanje ovakvog problema sa više raznih kriterija u op-timalnosti obezbijeđuje kvantitativnu osnovu nosiocima ekonomske politike za donošenje najpogodnije odluke o skladnom razvoju pri-vrede.

• Izrada optimalnih programa investicionih ulaganja. Koji dio prihoda preduzeća može biti izdvojen za investicije a da pri tome bude obezbijeđen stalan porast nivoa životnog standarda? Kako treba rasporediti raspoloživa investiciona sredstva pa da se u određenom

DODATAK 2. 181

SITUACIJE ODLU^IVANJA

periodu ostvare najveći proizvodni efekti uz najmanja investiciona ulaganja? Na ova i slična pitanja može se dati odgovor uz pomoć meto-da linearnog programiranja.

• Razmještaj proizvodnih snaga. Najpovoljniji razmještaj proizvodnih snaga odnosno izbor optimalne lokacije novih kapaciteta preduzeća je pogodan problem za rješavanje pomenutim metodama. Imajući u vidu postojeće kapacite-te i potrebe za njima, kao i potencijalne lokacije mogu se od njih izabrati najpovoljnije lokacije i to tako, da odgovarajuće preduzeće pojačano novim kapacitetima, obezbijedi najpotpunije ostvarenje određenih ciljeva ekonomske poli-tike. Kao kriterij optimalnosti mogu da se po-jave ili minimalni transportni troškovi sirovina, odnosno gotovih proizvoda, ili pak zajedno, ili minimalni troškovi proizvodnje, uvećani tran-sportnim troškovima, i slično.

• Utvrđivanje optimalnog plana izvoza pre-duzeća. Može se u zavisnosti od mogućnosti proizvodnje preduzeća i stanja na svjetskom tržištu, pronaći najpovoljniji program izvo-za, tako da se u jednom od narednih perioda ostvari prihod po osnovu prodaje proizvoda na inostranom tržištu. Ovdje se podrazumijeva ne samo utvrđivanje vrste i količine proizvoda koja je predmet izvoza, nego i zemlje sa kojom treba stupiti u ove odnose. Razlike između do-maćih i svetskih cijena, kao i ekonomske zako-nitosti koje na pojedinim područjima vladaju su najznačajniji faktori o kojima treba voditi računa.

• Optimalan plan raspodjele proizvodnih snaga. Pronalaženje optimalnog plana ras-podjele proizvodnih zadataka na proizvođače jedne privredne grane, odnosno grupacije. U cilju ostvarenja određenih postavki ekonom-ske politike, a naročito u cilju obezbjeđenja dovoljne količine nekih proizvoda i usluga za izvoz, može se u zavisnosti od svih uticajnih i ograničavajućih faktora, pronaći optimalan plan raspodjele proizvodnih zadataka na zain-teresovane proizvođače, pa da se sa stanovišta zajednice ostvari željeni cilj (odnosno u pome-nutom slučaju najpovoljnije izvrši trgovinski sporazum o izvozu robe).

• Plan raspodjele sirovina i materijala na pro-izvođače. Izrada optimalnog plana raspodjele sirovina i materijala na proizvođače. Ako su ko-ličine nekih sirovina i materijala u određenom periodu ograničene (zato što su nedovoljni do-maći kapaciteti ili nedovoljna devizna sredstva za uvoz veće količine i sl.) onda se raspoloživa količina sirovina i reprodukcionog materijala može tako rasporediti na proizvodače, da se, sa stanovišta zajednice, postigne najcjelishodniji utrošak raspoloživih količina.

• Raspodjela proizvoda i usluga od proizvo-đača do potrošača. Utvrđivanje optimalnog plana raspodjele neke robe od proizvođača do potrošačkih centara. Sa stanovišta preduzeća nije svejedno u kojoj će mjeri transportni troš-kovi utjecati na povećanje cijena. Nije svejedno ni da li će se u većoj, odnosno manjoj mjeri an-gažovati transportni kapaciteti. Zato se mora tražiti optimalni plan raspodjele jedne robe od proizvođača do svih potrošačkih centara, koji će se ostvariti uz najniže ukupne troškove.

• Integracija u grani. U slučaju postojanja ideje o integraciji preduzeća, odnosno o stupanju u razne oblike privredne saradnje može se, po-moću metoda linearnog programiranja, ispita-ti da li je pomenuta ideja opravdana sa odre-đenih kriterija optimalnosti.

• Izrada investicionih programa. Neke ana-lize koje čine investicioni program mogu biti u kvantitativnom smislu poboljšane ako se primjene metode linearnog programiranja. To povlači i poboljšanje, cijelog investicionog programa. Analiza sirovinske baze, transporta, radne snage i tržišta gotovih proizvoda, ukla-panje u postojeću privredu, analiza tehnolo-gije, određivanje veličine kapaciteta i sl. može biti izvršeno uz primjenu naučnih metoda.

• Utvrđivanje optimalnog programa proiz-vodnje. Pod optimalnim programom proiz-vodnje podrazumijevam takvu kombinaciju količina raznih proizvoda za čije izvršenje je potrebno najpotpunije iskorištenje kapaciteta oruđa za rad, najpogodnije angažovanje radne snage i najcjelishodniji utrošak sirovina i mate-rijala. Proizvodi iz optimalnog programa mo-raju biti u cjelini realizovani na tržištu. Takav,

182

ODLU^IVANJE

program obezbijeđuje preduzeću ostvarenje maksimalnog prihoda u poslovanju. Pored maksimalnog prihoda kao kriterija optimalno-sti mogu se postaviti i drugi, kriteriji, tako da se u tom, slučaju pod optimalnim programom proizvodnje može smatrati svaki program: koji se može ostvariti uz najniže troškove poslova-nja, ili koji zahtijeva najveći stepen korištenja kapaciteta oruđa za rad, ili koji omogućuje ostvarenje najpovoljnijeg deviznog efekta, ili koji obezbjeđuje ostvarenje najvećeg bruto produkta, ili koji obezbjeđuje ostvarenje naj-većeg neto produkta (čistog prihoda, akumu-lacije ili nekog drugog dijela novostvorene vrijednosti), ili koji stvara uslove za postizanje najveće produktivnosti, ekonomičnosti, od-nosno rentabilnosti u poslovanju i slično. Koji će od ovih kriterija optimalnosti biti izabran zavisi, ne samo, od ekonomske politike, nego i od mogućnosti kvantifi ciranja određenih ciljeva.

• Uska grla proizvodnje. Utvrđivanje stepena optimalnog korištenja kapaciteta, uz otkriva-nje postojanja uskih grla proizvodnje i odre-đivanja veličine neiskorištenog kapaciteta, a zavisi od usvojenog optimalnog programa proizvodnje. Zato ove probleme posmatramo zajedno. Poznavanje slobodnog, neangažova-nog kapaciteta oruđa za rad na izvršavanju op-timalnog programa proizvodnje, predstavlja solidnu osnovu za orijentisanje odgovarajuće službe preduzeća na obezbjeđenju dopunske proizvodnje odnosno na preduzimanju takvih mjera, koje će najpovoljnije riješiti ovaj pro-blem. Ako se ista oruđa za rad pojave kao "uska grla" za više optimalnih programa proizvodnje, onda je to dovoljan signal za povećanje njiho-vog kapaciteta kroz rekonstrukciju. Stepen optimalnog korištenja kapaciteta je veoma va-žan faktor koji utiče na izbor poslovne politike preduzeća.

1.3. Defi nisanje problema

Može se govoriti o raznovrsnim problemima koji stoje pred menadžmentom u poslovnom odlu-čivanju. Tako su to, na primjer, različiti problemi

proizvodnje, ali isto tako i istraživanja marketinga, fi nansija, kadrovski problemi, itd.

U tom se smislu u proizvodnji postavlja problem kako postići cilj minimalizacije troškova ili mak-simalizacije volumena proizvodnje, smanjivanje gubitaka vremena u ciklusu proizvodnje i sl. Mar-keting teži k cilju minimalizacije troškova jedinice prodaje i maksimalizacije volumena prodaje. Fi-nansije pokušavaju optimalizirati investicionu po-litiku poslovanja.

Kadrovska služba nastoji unajmiti dobre kadro-ve uz minimalne troškove i kao takve ih zadržati. Kada pokušamo međusobno povezati te ciljeve, vidimo kako oni nisu međusobno konzistentni.

Ako taj problem još bolje sagledamo, trebamo razmotriti, na primjer, pristup različitih funkci-ja odnosno odjela politici zaliha u poslovanju. Funkcija proizvodnje zainteresovana je za velike i kontinuirane proizvodne serije, jer one redukuju troškove vezane uz promjene serija i tako minima-liziraju troškove proizvodnje, ali takve velike serije mogu rezultirati velikim zalihama, kako u toku sa-mog procesa proizvodnje, tako i u obliku gotovih proizvoda prije nego što budu prodani i isporuče-ni kupcima. Marketing uvijek želi biti u mogućno-sti zadovoljiti želje kupaca, a biti promptan u ispo-rukama (quick response) i to u širokom asortimanu proizvoda. Stoga on želi raznovrsne, još k tome i velike, zalihe kako bi bio u mogućnosti ispunjava-ti i male, specijalne narudžbe u kratkom roku. Fi-nansijer želi minimalizirati zalihe, jer na taj način smanjuje troškove ulaganja sredstava (kapitala) vezujući ih nepotrebno na neodređeno vrijeme. Kadrovski rukovodioci žele što stabilniji tok rada, a to je moguće postići kad se npr. robe proizvode za zalihe u vrijeme mrtve sezone.

Očito da na ovaj način problem i politika zaliha imaju svoj specifi čan odraz u svakoj organizacio-noj jedinici proizvodne organizacije. Politika koja je pogodna za jedno odjeljenje rijetko je tako po-voljna i za drugo. Problem u takvim situacijama jest prema tome: koja je najbolja politika zaliha za organizaciju u cjelini? Ovaj problem uključuje:

DODATAK 2. 183


(a) efi kasnost preduzeća kao cjeline i (b) konfl ikt interesa funkcijskih jedinica preduzeća. Zato rje-šenje problema zahtijeva rafi nirani balans ciljeva pojedinih odjela s općim ciljevima preduzeća.

Probleme ovakve vrste moguće je identifi kovati na različitim područjima poslovanja, raznih vrsta i različita značenja, zavisno od čega se i donose odgovarajuće odluke često koristeći kod toga po-sebno izgrađene modele.

S obzirom na ovu različitost probleme se počelo posmatrati i s aspekta "šta je to zajedničko u po-jedinima od njih" kako bi se tražila i odgovara-juća rješenja koja poprimaju što je moguće širi, dakle opći, karakter. Išlo se i ide tako daleko da se pronađe zajednička struktura ("model") koja će biti osnova na kojoj će se temeljiti rješavanje problema i donositi odluke za probleme sličnih obilježja.

Ovakve mogućnosti pružaju se, u prvom redu, za one vrste problema koji se u privredi javljaju uče-stalo. Do sada je učinjen velik posao na formuli-sanju modela takvih problema (Recurrent Types of Problems). Iako problemi koji su formulisani takvim modelima mogu biti rijetko primijenjeni bez odre-đenih modifi kacija i prilagodbe svakoj konkretnoj situaciji, ipak se primjenom tako pripremljenih modela znatno mogu uštedjeti vrijeme, a time i sredstva. Tim više što su danas na raspolaganju vrlo brojna kompjuterizirana softverska rješenja čija je primjena moguća praktično na svim tipovi-ma kompjutera.

Prototip (uzor) modela ovakvog karaktera razvijen je za rješavanje sljedećih vrsta problema: zalihe, alokacija sredstava, redovi čekanja, zamjena opre-me i održavanje, konkurencija, itd.

Za ovakva dostignuća u velikoj mjeri treba zahva-liti nauci, koja se ne rađa na specifi čan dan, već i sama izrasta iz konvergencije prema povećanom interesu i značenju određene vrste problema, za koje onda ona istražuje i pronalazi odgovarajuća naučna rješenja. Na području modeliranja to nije samo formulisanje određenih vrsta (tipova) mode-

la, već i pronalaženje metoda i postupaka, te razli-čitih tehnika za njihovo rješavanje.

1.4. Konstrukcija modela

Problemi s kojima se susreće menadžment prak-tično su svakodnevno oni koji se odnose na alo-kaciju resursa. S jedne strane postoji čitav niz ak-tivnosti na kojima bi se moglo angažovati (razne mogućnosti, razne alternative), a s druge resursi raznih vrsta (ljudi, materijal, rad, kapacitet, vrije-me), čija je jedna od osnovnih, karakteristika ogra-ničenost. Očito ne postoji mogućnost uključivanja u sve aktivnosti u koje bismo se željeli uključiti, jer one zahtijevaju više resursa nego što ih imamo na raspolaganju.

Stoga u uslovima ograničenosti resursa menadžer treba donijeti odluku na koje se aktivnosti opredi-jeliti, a da se kod toga ne probije limit ograničenih resursa s jedne strane i ostvari koliko je moguće povoljniji rezultat u odnosu na postavljeni cilj s druge strane ili preciznije, na kraju.

Problemi alokacije resursa, s obzirom na svoj ka-rakter i složenost, rješavaju se putem modela line-arnog programiranja, a to znači da odnosi između aktivnosti moraju biti linearni. Na svu sreću to je vrlo čest slučaj u praksi, čime korištenje linearnog programiranja poprima ulogu općeg oruđa za alo-kaciju resursa.

Linearno programiranje je, prema tome, model kojim se specifi cira (utvrđuje) kako koristiti ograničene resurse ili kapacitete poslovanja da bi se ostvarili (postigli) određeni ciljevi (kao što su: najniži trošak, najviša dobit, najkraće vrijeme) kada ti resursi imaju alternativne mo-gućnosti korištenja. To je model koji sistematizira (za određene uslove) proces izbora najboljeg toka akcije između brojnih raspoloživih pravaca akcije dajući menadžmentu na taj način informaciju za donošenje najefi kasnije odluke koja se tiče resursa pod kontrolom. Stoga primjena modela linearnog programiranja zahtijeva i jasno postavljene cilje-ve sistema uključenog u analizu. To je vrlo važno jer različiti odjeli - kako smo to već iznijeli - često

184

ODLU^IVANJE

slijede svoje uže interese odnosno ciljeve. Unu-tar modela linearnog programiranja te razlike ne mogu opstati. Tako linearno programiranje osi-gurava racionalnost sistema kroz homogenizaciju operacija svojih podsistema.

Primjenu modela linearnog programiranja po-sebno potencira to što su kompjuterski programi i paketi za ovakvo programiranje dostupni i primi-jenjivi skoro na svakom kompjuterskom sistemu.

Stoga je najvažnije utvrditi kako neki problem može biti reprezentovan linearnim programom u vidu konkretnog modela (u praksi treba na bazi konkretnih podataka o tome odlučiti), nakon čega slijedi formulisanje modela, što se može smatrati ključem za razrješenje problema.

1.5. Faze u rješavanju problema

Postupak u rješavanju problema prolazi kroz ove značajnije faze rada:

1) Izbor problema. Najprije se mora odabrati pro-blem za rješavanje. Pri tome je neophodno da se posebno ispitaju karakteristike svih pojava koje ga formiraju, da se ustanove međusobni odnosi, međusobna zavisnost ovih pojava. Naj-važnije je da se provjeri, da li problem ima ka-rakteristike koje su potrebne da bi mogao biti riješen metodama linearnog programiranja.

2) Izbor metode. U zavisnosti od izabranog pro-blema i njegovih karakteristika vrši se izbor adekvatne metode linearnog programiranja.

3) Prikupljanje podataka. Neobično važna i vrlo obimna faza rada sastoji se u prikupljanju po-dataka. Tačnost i valjanost optimalnog rješenja zavisi od tačnosti i istinitosti polaznih pretpo-stavki, među kojima posebno mjesto pripada odgovarajućem dokumentacionom materija-lu. Nikakve metode linearnog programiranja ne mogu poboljšati kvalitet optimalnog rje-šenja iznad kvaliteta podataka koji sačinjavaju model. Metode samo omogućavaju i olakša-vaju pronalaženje jednog od mnogobrojnih rješenja koje smo nazvali optimalnim, zato što zadovoljava postavljeni kriterij optimalnosti. I

upravo stoga, ovoj fazi se mora, posvetiti najvi-še pažnje.

4) Formiranje modela. Ni, jedan problem ne može biti riješen, pomoću bilo koje metode linearnog programiranja, ako se ne postavi u vidu podesnog matematičkog modela. Model treba da bude najvjerniji predstavnik proble-ma. On treba da reaguje na sve promjene nje-govih parametara isto onako kako bi reagovao stvarni problem pod uticajem promjene ogra-ničavajućih faktora. Odabiranje ograničavaju-ćih faktora i njihovo kvantitativno izražavanje traži posebne napore od strane čitavog niza različitih stručnjaka, kako bi se obezbijedila mogućnost da se stvarni problem rješava kroz njegov teoretski matematički model.

5) Rešavanje modela. Korištenjem odgovaraju-će računske tehnike vrši se rješavanje modela. Model može biti rješen primjenom metoda linearnog programiranja, uz pomoć kompju-terskih softvera. Obimniji i komplikovaniji pro-blemi se obično rješavaju korištenjem kom-pjuterskih softvera. Pri tome je potrebno da se ovaj teoretski, matematički model prevede na jezik računara. A to znači da treba sastaviti od-govarajući program rada računara, kojim mu se daju instrukcije šta da radi sa podacima iz modela.

6) Analiza rešenja. Ovo je posljednja i najznačaj-nija faza rada. U njoj se vrši prevođenje dobi-jenog optimalnog rešenja sa jezika u računar i vrši sistematska analiza tog rješenja. Od pri-rode problema i posebnih ciljeva zavisi izbor metoda za analiziranje optimalnog rješenja. Razumije se, da će se, pri tome, ispitati moguć-nosti i mjere koje treba preduzeti da bi ovako dobijeno optimalno rješenje bilo ostvareno i u praksi.

Prilikom rješavanja problema neophodno je da is-punjavaju sljedeće uslove:

1) jasno defi nisan cilj koji se želi postići, 2) postojanje ograničavajućih faktora, limitiraju-

ćih nedovoljnih resursa, 3) postojanje više mogućih rješenja, veći broj

ostvarivih rješenja,

DODATAK 2. 185


4) mogućnost izražavanja međuzavisnosti varija-bli linearnom vezom.

Linearno programiranje je metoda određivanja od-govarajućih vrijednosti za pojedine aktivnosti koje su ustvari varijable odlučivanja (decision variables) kada kombinacije tih aktivnosti moraju zadovoljiti određene zahtjeve odnosno ograničenja. Opći je problem optimalizacije, a to znači maksimalizaci-je ili minimalizacije linearne funkcije u tome da se pronađe njezin optimum zavisno od funkcije cilja i uz uslov linearnih ograničenja varijabli.

Opća struktura linearnog programa izražena u for-mi linearnog modela ima sljedeći oblik:

Optimizirati:

1 1 2 2 n nZ = c x + c x +...+ c x

Pod uslovom da:

11 1 12 2 1n n 1

21 1 22 2 2n n 2

m1 1 m2 2 mn n m

1 2 n

a x + a x + +a x ( , =, ) ba x + a x + +a x ( , =, ) b

a x + a x + +a x ( , =, ) bx , x x 0

Kod toga xn predstavlja n varijabli odlučivanja i cilj je utvrditi vrijednost tih xn koje optimiziraju (mak-simaliziraju ili minimaliziraju) funkciju cilja koja je:

1 1 2 2 n nZ = c x + c x +...+ c x

kod čega je simbol c poznati koefi cijent (konstan-ta, parametar) profi ta ili troškova.

Optimalizacija je pod određenim ograničenjima. Tako je i prethodni generalni problem pod ogra-ničenjima. Radi se o m ograničenja, a tri znaka () koriste se kako bi se jednim od njih označilo o kojem se ograničenju radi.

Koefi cijenti aij poznati su kao konstante iskorišta-vanja resursa budući da oni predstavljaju količinu

resursa za aktivnost j. Vrijednosti b1, b2, …bm pred-stavljaju raspoloživost svakog od m resursa, a koji menadžeru stoje na raspolaganju.

Za bilo koji problem koefi cijenti aij, bi, cj su poznati pa mi koristimo linearno programiranje kako bi-smo pronašli najbolju vrijednost varijable xj, a to zapravo znači varijablu koja dovodi do optimal-nog rješenja konkretnog modela linearnog pro-gramiranja.

Metode linearnog programiranja mogu se upo-trebljavati samo ako je problem postavljen u vidu pogodnog matematičkog modela. A to znači, ako je prethodno određen kriterij optimalnosti i utvr-đeni, odnosno kvantitativno izraženi ograničava-jući faktori. Kriterij optimalnosti određuje cilj koji se želi postići pronalaženjem optimalnog rešenja. Ograničavajući faktori određuju područje u kome se nalazi optimalno rješenje.

Od prirode problema zavisi izbor i kvantifi ciranje ograničavajućih faktora. U problemima linearnog programiranja nema rješenja nekog problema, koje bi bilo optimalno sa svih mogućih stanovišta. Optimalno rješenje sa jednog stanovišta može da bude potpuno neprihvatljivo sa drugog stanovi-šta, kriterija optimalnosti. Zato se pri tvrđenju da je neko rešenje optimalno, mora naglasiti šta se smatra kriterijumom optimalnosti, odnosno koje uslove to rešenje mora da ispuni, da bi se moglo nazvati optimalnim.

Model je instrument (sredstvo) koje nam poma-že u ocjenjivanju efi kasnosti alternativne politike. Postoje razne metode koje stoje menadžerima na raspolaganju kako bi im olakšale donošenje i izbor odluka.

1.6. Rješavanje modela

Riješiti model linearnog programiranja znači iz skupa mogućih rješenja, to jest iz svih bazič-nih mogućih rješenja pronaći ono (ili ona) koje je optimalno. Od svih poznatih metoda obradit ćemo i koristiti grafi čku metodu. Model linearnog programiranja koji ima, ako isključimo prostije

186

ODLU^IVANJE

modele sa tri varijable, najviše dvije varijable, može se rješavati grafi čkom metodom. Ova me-toda se sastoji iz grafi čkog prikaza cijelog mode-la, uvjeta i funkcije cilja u dvodimenzionalnom pravougaonom koordinatnom sistemu. Uvjetne jednadžbe su predstavljene pravcima, a uvjetne nejednadžbe poluravninama. Funkcija kriterija je predstavljena jednoparametarskom familijom pravaca.

Kako je slika uvjeta mnogougao i neograničena poluravnina, optimalno rješenje se nalazi u jednom (ili dva i dužini koja ih spaja) uglu mnogouganoika.

To su koordinate onog kuta za koje funkcija cilja uzima ekstremnu vrijednost:

1) ako je cilj maksimalna vrijednost, to je ugoa (ili dva ugla) u kojem pravac familije funkcije cilja što je najudaljeniji od koordinatnog početka ima tačku u mnogougaoniku ekstremna tačka koja daje najveću vrijednost funkcije cilja,

2) ako je cilj minimalna vrijednost, riječ je o uglu (ili dva ugla) u kojem pravac familije funkcije cilja što je najbliži koordinatnom početku ima tačku u mnogougaoniku ili neograničenoj rav-nini; ekstremna tačka kojoj rezultira najmanja vrijednost funkcije cilja.

PRIMJER 1.

Tvornica konfekcije "Model" d.d. proizvodi košulje i hlače. Profi t po svakoj košulji je 10 €, a profi t po hla-čama je 15€. Svaka košulja zahtijeva 2 m2 materijala i 4 h rada radnika na šivanju, dok hlače zahtijevaju 5 m2 materijala i 2 h radnika na šivanju. Ako na raspolaganju stoji 50 m2 materijala i 36 h rada sed-mično, koliko je moguće proizvesti košulja i hlača sedmično, ali pod uslovom ostvarenja maksimal-nog profi ta? Tu je važno napomenuti i pretpostav-ku da u plasmanu tih proizvoda nema ograniče-nja na tržištu, tj. svi proizvedeni proizvodi bit će i prodani.

RJEŠENJE:

1. Izbor problema. Koliko je moguće proizvesti košulja i hlača sedmično, ali pod uslovom ostva-renja maksimalnog profi ta.

2. Izbor metode. Zadatak je moguće riješiti grafi č-kom metodom linearnog programiranja.

3. Prikupljanje podataka. U primjeru postoje dvije varijable odlučivanja (x1 i x2), dva ograniče-nja (materijal i šivanje) i poznatim profi tnmi ko-efi cijentima (c1 = 10 i c2 = 15), uz poznatu desnu stranu (raspoloživost resursa)(b1 = 50 i b2 = 36) i poznate koefi cijente iskorištenja resursa (a11 = 2, a12 = 5, a21 = 4, a22 = 2).

4. Formiranje modela. Cilj je staviti ovaj problem u opću formu linearnog programa jer će nakon toga biti lako rješiv po standardnim metodama. Započinjemo defi nisanjem varijabli odlučivanja. One su:

x1 = količina košulja proizvedenih u sedmici ix2 = količina hlača proizvedenih u sedmici.

Mi nismo u mogućnosti izračunati ukupni profi t (ja-sno, za optimalno rješenje) sve dok prethodno ne utvrdimo količinu košulja i hlača (x1 i x2) koje treba proizvesti u jednoj sedmici. Prema tome cilj rješenja modela jest utvrditi najbolju količinu za x1 i x2.

U ovom primjeru postoje dva ograničenja.

Prvo ograničenje odnosi se na činjenicu da je mate-rijal limitiran na 50 m2. Ako je proizvedeno x1 košulja, tada je bilo potrebno 2x1 materijala izraženo u me-trima, a ako je bilo proizvedeno x2 hlača, tada je bilo potrebno 5x2 metara materijala. Stoga ukupni ma-terijal koji je potreban iznosi 2x1 + 5x2, što ne može premašiti količinu od 50 m2. Izraženo matematički to je:

1 22x + 5x 50

Drugo ograničenje odnosi se na sate šivanja. Tako je 4x1 broj utrošenih sati za šivanje košulja, dok je 2x2

DODATAK 2. 187


broj sati za šivanje hlača. Ukupni broj sati ne može premašiti broj 36, tako da je ograničenje napisano kao:

1 24x + 2x 36

Konačno, nije uopće logično predviđati proizvodnju negativnog broja košulja i hlača. Na temelju toga slijedi ograničenje nenegativnosti:

1 2x , x 0

Kombinujući funkciju cilja, ograničenja i nenega-tivne restrikcije, kompletan problem izražen je u obliku:

Maksimalizirati profi t:

1 2Z = 10x + 15x

Pod uslovom da ogranicimo materijal i šivanje:

1 22x + 5x 50

1 24x + 2x 36

1 2x , x 0

To je linearni model. Taj poseban primjer ima dvije varijable odlučivanja (x1 i x2), dva ograničenja (mate-rijal i šivanje) i po jedan znak u svakom ograničenju (< u prvom ograničenu i < u drugom ograničenju). Kao što je već indicirano profi tni koefi cijenti su po-znati (c1 = 10 i c2 = 15), desna strana (raspoloživost resursa) je poznata (b1 = 50 i b2 = 36) i koefi cijenti iskorištenja resursa su poznati (a11 = 2, a12 = 5, a21 = 4, a22 = 2).

Na ovaj način završen je zadatak koji se odnosi na formulisanje modela linearnog programiranja na konkretnom primjeru. Sljedeći zadatak je rješenje ovog modela.

5. Rešavanje modela. Iz praktičnih razloga sada mijenjamo simboliku varijabli odlučivanja tako da umjesto simbola x1 i x2 uvodimo simbole x i y.

Analogno ranije formulisanom linearnom mode-lu problem je maksimalizirati:

Z = 10x + 15y

uz ograničenja:

2x + 5y 50

4x + 2y 36

1 2x , x 0

gdje je:

x = broj vjetrovki proizvedenih sedmično,y = broj hlača proizvedenih sedmično.

Budući da tu postoje samo dvije varijable, taj je pro-blem moguće prikazati grafi čki. Ograničenja (resur-sa) i nenegativne restrikcije (ograničenja) određuju skup vrijednosti koje varijable mogu zauzeti. Budući da imamo nenegativna ograničenja, našu pažnju možemo usmjeriti na prvi kvadrant koordinatnog sistema. Ograničenje materijala: Ograničenje materijala izraženo je izrazom 2x + 5y < 50. Ako umjesto nejednačine upotrijebimo jednačinu 2x + 5y = 50, njezin pravac presijeca osi x i y na sljedećim tačkama.

Tabela 1. Izračunavanje tačaka za x i y za materijal

Za x = 0 Za y = 0

2∙(0) + 5y = 50 2∙(0) + 50 = 50

5y = 50 2x = 50

y = 10 x = 25

Dobili tačke presjecanja (0, 10) i (25, 0) pa je sada moguće jendačinu 2x + 5y = 50 prikazati grafi čki na shemi 1.

188

ODLU^IVANJE

Shema 1. Ograničenje materijala

x0 25

y

10

Budući da se radi o pravcu, bilo koja tačka na njemu ima vrijednost 50. Na primjer tačka (x = 10, y = 6) nalazi se na pravcu jer zadovoljava jednačinu 2(10) + 5(6) = 50. Treba primijetiti da pravac odvaja dvodimenzionalnu aktivnost - prostor na one tačke iznad linije i one tačke ispod linije (pravca), kako je to i pokazano osjenčanim područjem.

To je važno budući da bilo koja tačka koja nije osjenčana (odnosno u tom području ne zadovo-ljava ograničenje, ne može biti rješenje proble-ma. Kod toga treba primijetiti (uočiti) kao vrlo bitno da tačke na samom pravcu zadovoljavaju nejednakost.

Ograničenje sati šivanja: Ograničenje sati šivanja analizira se na analogan način kao i analiza koju smo radili za materijal u prethodnom slučaju. Poči-njemo preobražavanjem nejednačine 4x + 2y < 36 u jednačinu 4x + 2y = 36. Dva sjecišta ranije određena utvrđujemo u tabeli.

Tabela 2. Izračunavanje tačaka za x i y za šivanje

Za x = 0 Za y = 0

4∙(0) + 2y = 36 4x + 2∙(0) = 36

2y = 36 3x = 36

y =18 x = 9

Sada je moguće i jednačinu 4x + 2y = 36 prikazati grafi čki ucrtavanjem pravca koji prolai kroz tačke (0, 18) i (9, 0), a to je učinjeno na shemi 2.

Shema 2. Ograničenje šivanja

y

x0

18

9

Kao i ranije, budući da je orginalno ograničenje izra-ženo nejednačinom, mi smo zaokupljeni (zaintereso-vani) samo jednom stranom područja u odnosu na pravac. Strelica na shemi 2. indicira tačke koje zado-voljavaju ograniečnje 4x + 2y < 36. Općenito da bi smo odredili u kojem pravcu usmjeriti strelicu, treba utvrditi nalazi li se ishodište na području izvodljivo-sti. Ako jest, strelicu usmjeri prema ishodištu; ako nije, usmjeri strelicu suprotno od ishodišta!

Da bi određena točka zadovoljila sva rješenja i ne-negativne restrikcije (ograničenja), ona mora biti na odgovarajućoj strani svakog od pravaca (gdje

DODATAK 2. 189


je odgovarajuća strana odnosno područje označe-no strelicom) i u okviru prvog kvadranta, iz ranije objašnjenih razloga. Skup tačaka koji zadovoljava te zahtjeve u našem konkretnom slučaju (odnosno po-dručje izvodljivosti) prikazana je na sljedećoj shemi osjenčanom površinom.

Shema 3. Područje izvodljivosti

y

x

18

90 25

10

A B

DC

Time je uzevši u obzir sva ograničenja i restrikcije, područje mogućeg optimalnog rješenja svedeno na tačno određene granice. Da bi došli do konač-nog rješenja, potrebno je još učiniti određene kora-ke. Potrebno je u prvom redu uočiti kako područje izvodljivosti na slici ima 4 ugaone tačke. Te se tačke nazivaju ekstremima (extreme points) i ključni te-orem linearnog programiranja jest u tome što se optimalno rješenje uvijek nalazi na jednoj od tih tačaka. Stoga je sve što se zahtijeva pronalaženje vrijednosti x i y na ekstremnim tačkama, uvršte-nje tih vrijednosti u funkciju cilja 10x i 15y te kona-čan izbor onog para tačaka koji donosi najveći profi t.

Tri ugaone tačke mogu biti odmah uzete sa slike, To su tačke (0,0, 0,10 i 9,0). Do posljednjeg četvrtog ugla, onog u kojem se presjecaju dva ograničenja (vidi

shemu 3.), može se doći rješenjem dviju simultanih jednačina i to:

2x + 5y 50

4x + 2y 36

Pomnožimo prvu jednačinu s 2 te oduzevši po tom drugu jednačinu od prve, dobivamo:

4x + 10y = 100

0-2 (4x + 2y) = 136

8y = 64

što znači da je y = 8.

Uvrštavanjem y = 8 u prvu jednačinu dobivamo:

2x + 5 ∙ (8) = 50

2x = 50 – 40

x = 5

Prema tome, četvrti je ugao u tački (5, 8).

Kako su na taj način sve četiri ugaone tačke određe-ne, moguće je izračunati pripadajući profi t za svaku od njih.

Obračun se nalazi u sljedećoj tablici.

Tabela 3. Izračunavanje profi ta za četiri ekstremneitačke

Varijabla x

Varijabla y 10x + 15y

0 0 0 + 0 = 0

0 10 0 + 150 = 150

9 0 90 + 0 = 90

5 8 50 + 120 = 170

Jasno, rješenje je proizvodnja 5 košulja i 8 hla-ča, čime se ostvaruju sedmični profi t od 170 €.

190

ODLU^IVANJE

6. Analiza rešenja. Prethodni primjer ima samo 4 ekstremne tačke pa je relativno lako doći do rezultata funkcije cilja. Moguće je, međutim, (a i sasvim realno) što u nekom problemu ima više ekstremnih tačaka kada postaje nepraktično određivati koordinate za svaku od njih, a potom i vrijednost funkcije cilja.

PRIMJER 2. Tvornica namještaja „Drvo“ d.o.o. proizvodi dva proizvoda: kućne i kancelarijske stolove. Profi t po jednom kancelarijskom stolu je 25 KM, a profi t po jednom kućnom stolu je 40 KM. Za oba proizvoda potrebno je vrijeme obrade u odjeljenjima za sastav-ljanje i završnu obradu i to za sastavljanje dva kan-celarijska stola i četiri kućna stola imamo 100 sati na raspolaganju, a za završnu obradu tri kancelarijska i dva kućna stola imamo 90 sati na raspolaganju. Potrebno je pronaći optimalan proizvodni miks ova dva proizvoda, ali tako da profi t bude maksimiziran, uz pretpostavku da će proizvedeni proizvodi biti pro-dani.

RJEŠENJE:

1. Izbor problema. Koliko je kancelarijskih i kuć-nih stolova, uz dato ograničenje vremena, po-trebno proizvesti, ali pod uslovom ostvarenja maksimalnog profi ta.


3. Prikupljanje podataka. U primjeru postoje dvije varijable odlučivanja (x1 i x2), dva ograni-čenja (vrijeme za sastavljanje i vrijeme za završ-nu obradu) i poznatim profi tnmi koefi cijentima (c1 = 25 i c2 = 45), uz poznatu desnu stranu-ras-položivost resursa (b1 = 100 i b2 = 90) i poznate koefi cijente iskorištenja resursa (a11 = 2, a12 = 4, a21 = 3, a22 = 2).

4. Formiranje modela. Cilj je staviti ovaj problem u opću formu linearnog programa jer će nakon toga biti lako rješiv po standardnim metodama.

Započinjemo defi nisanjem varijabli odlučivanja. One su:

x1 = kancelarijski stox2 = kućni sto.

Mi nismo u mogućnosti izračunati najprofi tabilniji miks proizvodnje ova dva proizvoda (optimalno rje-šenje) sve dok prethodno ne utvrdimo koja količina kućnih i kancelarijskih stolova generira maksimalan profi t. Prema tome cilj rješenja modela jest utvrditi najbolju količinu za x1 i x2.

U ovom primjeru postoje dva ograničenja.

Prvo ograničenje odnosi se na činjenicu da je vrijeme za sastavljanje kancelarijskih i kućnih stolova ogra-ničeno na 100 vremenskih jedinica. U toj vremenskoj jedinici sastavljeno je 2x1 kancelarijskih stolova i 4x2 kućnih stolova. Izraženo matematički to je:

1 22x + 4x 100

Drugo ograničenje odnosi se na činjenicu da je vrije-me za fi niširanje ogranječno na 90 vremenskih jedi-nica. Ukupni broj sati ne može premašiti broj 90, tako da je ograničenje napisano kao:

1 23x + 2x 90

Konačno, nije uopće logično predviđati negativne brojeve kod sastavljanja i fi niširanja ove dvije vrste proizvoda. Na temelju toga slijedi ograničenje nene-gativnosti:

1 2x , x 0

Kombinujući funkciju cilja, ograničenja i nenegativ-ne restrikcije, kompletan problem izražen je u obliku:Maksimalizirati profi t:

1 2Z = 25x + 40x

Pod uslovom da ogranicimo sastavljanje i fi niširanje kućnih i kancelarijskih stolova:

DODATAK 2. 191


1 22x + 4x 100

1 23x + 2x 90

1 2x , x 0

To je linearni model. Taj poseban primjer ima dvije varijable odlučivanja (x1 i x2), dva ograničenja (sati za sastavljanje i fi niširanje) i po jedan znak u svakom ograničenju (< u prvom ograničenu i < u drugom ograničenju). Kao što je već indicirano profi tni ko-efi cijenti su poznati (c1 = 25 i c2 = 40), desna strana (raspoloživost resursa) je poznata (b1 = 100 i b2 = 90) i koefi cijenti iskorištenja resursa su poznati (a11 = 2, a12 = 4, a21 = 3, a22 = 2).


5. Rešavanje modela. Iz praktičnih razloga sada mijenjamo simboliku varijabli odlučivanja tako da umjesto simbola x1 i x2 uvodimo simbole x i y. Analogno ranije formulisanom linearnom mode-lu problem je maksimalizirati:

Z = 25x + 40y

uz ograničenja:

2x + 4y 100

3x + 2y 90

1 2x , x 0

gdje je: x = broj kancelarijskih stolova,y = broj kućnih stolova.

Budući da tu postoje samo dvije varijable, taj je problem moguće prikazati grafi čki. Ograničenja (re-sursa) i nenegativne restrikcije (ograničenja) odre-đuju skup vrijednosti koje varijable mogu zauzeti. Budući da imamo nenegativna ograničenja, našu pažnju možemo usmjeriti na prvi kvadrant koordi-natnog sistema.

Ograničenje vremena za sastavljanje stolova: Ograničenje vremena izraženo je izrazom 2x + 4y < 100. Ako umjesto nejednačine upotrijebimo jednači-nu 2x + 4y = 100, njezin pravac presijeca osi x i y na sljedećim tačkama.

Tabela 1. Izračunavanje tačaka za x i y za vrijeme za sastavljanje stolova

Za x = 0 Za y = 0

2∙(0) + 4y = 100 2x + 4∙(0) = 100

4y = 100 2x = 100

y = 25 x = 50


Shema 1. Ograničenje vremena za sastavljanje stolova

x0 50

y

25

Budući da se radi o pravcu, bilo koja tačka na njemu ima vrijednost 100. Na primjer tačka (x = 10, y = 20) nalazi se na pravcu jer zadovoljava jednačinu 2(10) + 4(20) = 100. Treba primijetiti da pravac odvaja dvodi-

192

ODLU^IVANJE

menzionalnu aktivnost - prostor na one tačke iznad linije i one tačke ispod linije (pravca), kako je to i po-kazano osjenčanim područjem. To je važno budući da bilo koja tačka koja nije osjenčana (odnosno u tom području ne zadovoljava ograničenje, ne može biti rješenje problema. Kod toga treba primijetiti (uo-čiti) kao vrlo bitno da tačke na samom pravcu zado-voljavaju nejednakost.

Ograničenje vremena za fi niširanje stolova: Ograničenje vremena za fi niširanje stolova analizira se na analogan način kao i analiza koju smo radili za sastavljanje stolova u prethodnom slučaju. Poči-njemo preobražavanjem nejednačine 3x + 2y < 90 u jednačinu 3x + 2y = 90. Dva sjecišta ranije određena utvrđujemo u tabeli.


Za x = 0 Za y = 0

3∙(0) + 2y = 90 3x + 2∙(0) = 90

2y = 90 3x = 90

y =45 x = 30


Shema 2. Ograničenje vremena za fi niširanje stolova

y

x0

45

30

Kao i ranije, budući da je orginalno ograničenje izra-ženo nejednačinom, mi smo zaokupljeni (zaintereso-vani) samo jednom stranom područja u odnosu na pravac. Strelica na shemi 2. indicira tačke koje zado-voljavaju ograniečnje 3x + 2y < 90.

Općenito da bi smo odredili u kojem pravcu usmje-riti strelicu, treba utvrditi nalazi li se ishodište na području izvodljivosti. Ako jest, strelicu usmjeri pre-ma ishodištu; ako nije, usmjeri strelicu suprotno od ishodišta!

Da bi određena točka zadovoljila sva rješenja i ne-negativne restrikcije (ograničenja), ona mora biti na odgovarajućoj strani svakog od pravaca (gdje je odgovarajuća strana odnosno područje označeno strelicom) i u okviru prvog kvadranta, iz ranije objaš-njenih razloga.

Skup tačaka koji zadovoljava te zahtjeve u našem konkretnom slučaju (odnosno područje izvodlji-vosti) prikazana je na sljedećoj shemi osjenčanom površinom.


x0 50

y

25

y

x

45

30A

BD

B

Time je uzevši u obzir sva ograničenja i restrikcije, područje mogućeg optimalnog rješenja svedeno na tačno određene granice. Da bi došli do konačnog

DODATAK 2. 193


rješenja, potrebno je još učiniti određene korake. Po-trebno je u prvom redu uočiti kako područje izvodlji-vosti na slici ima 4 ugaone tačke.

Te se tačke nazivaju ekstremima (extreme points) i ključni teorem linearnog programiranja jest u tome što se optimalno rješenje uvijek nalazi na jednoj od tih tačaka. Stoga je sve što se zahtijeva pronalaže-nje vrijednosti x i y na ekstremnim tačkama, uvr-štenje tih vrijednosti u funkciju cilja 10x i 15y te ko-načan izbor onog para tačaka koji donosi najveći profi t.

Tri ugaone tačke mogu biti odmah uzete sa slike, To su tačke (0,0, 0,10 i 9,0). Do posljednjeg četvrtog ugla, onog u kojem se presjecaju dva ograničenja (vidi shemu 3.), može se doći rješenjem dviju simultanih jednačina i to:

2x + 4y 100

3x + 2y 90

Pomnožimo prvu jednačinu sa 3, a drugu sa 2 u nastavku dobivamo, a zatim oduzmemo drugu od prve:

6x+12y=300

6x+4y=180

8y = 120

što znači da je y =15 .


2x + 4 ∙ (15) = 100

2x = 100 – 60

2x = 40

X=20


Kako su na taj način sve četiri ugaone tačke određe-ne, moguće je izračunati pripadajući profi t za svaku od njih. Obračun se nalazi u sljedećoj tablici.


Varijabla x


0 0 25∙(0) + 40∙(0) = 0

0 25 25∙(0) + 40∙(25) = 1000

30 0 25∙(30) + 40∙(0) = 750

20 15 25∙(20)+ 40∙(15) =1.100

Pri proizvodnji x1=20 (kancelarijskih stolova) i x2=15 (kućnih stolova) postiže se najveći profi t od 1.100 KM.

6. Analiza rešenja. Prethodni primjer ima samo 4 ekstremne tačke pa je relativno lako doći do rezultata funkcije cilja. Moguće je, međutim, (a i sasvim realno) što u nekom problemu ima više ekstremnih tačaka kada postaje nepraktično određivati koordinate za svaku od njih, a potom i vrijednost funkcije cilja.

PRIMJER 3.

U dva proizvodna pogona preduzeća "Lukovic" d.o.o. mogu se proizvoditi dva proizvoda. Strojevi prvog pogona (S1) imaju mjesečni kapacitet od 450 sati, a strojevi drugog pogona (S2) imaju kapacitet od 600 sati. Potreban broj sati rada strojeva u proizvodnji jedinice proizvoda je prikazan slijedećom tabelom:

RADNI SATI STROJEVA

S1 S2

Proizvod 1 (x1) 2 2

Proizvod 2 (x2) 1 2

Na temelju analize troškova donesena je odluka da se mora proizvoditi najmanje 100 jedinica pro-izvoda 1. Profi t po jedinici proizvoda 1 je 10 KM, a po proizvodu 2 je 50 KM. Cilj preduzeća je ostva-renje maksimalnog profi ta. Izračunati: optimalno

194

ODLU^IVANJE

rješenje i grafi čki i analitički i dobiveno rješenje pra-vilno komentirati.

RJEŠENJE:

1. Izbor problema. Koliko je moguće proizvesti proizvoda 1 i proizvoda 2, ali pod uslovom ostva-renja maksimalnog profi ta.


3. Prikupljanje podataka. U primjeru postoje dvije varijable odlučivanja (x1 i x2), tri ograniče-nja (strojevi prvog pogona (S1) imaju mjesečni kapacitet od 450 sati, a strojevi drugog pogona (S2) imaju kapacitet od 600 sati, te uslov da mora biti ostvarena proizvodnja od minimalno 100 jedinica proizvoda 1) i poznatim profi tnmi ko-efi cijentima (c1 = 10 i c2 = 50), uz poznatu desnu stranu (raspoloživost resursa)(b1 = 450 i b2 = 600) i poznate koefi cijente iskorištenja resursa (a11 = 2, a12 = 1, a21 = 2, a22 = 2).

4. Formiranje modela. Cilj je staviti ovaj problem u opću formu linearnog programa jer će nakon toga biti lako rješiv po standardnim metodama. Započinjemo defi nisanjem varijabli odlučivanja. One su:

x1 = količina proizvedenih komada "proizvoda 1" ix2 = količina proizvedenih komada "proizvoda 2"

Mi nismo u mogućnosti izračunati najprofi tabilniji miks proizvodnje ova dva proizvoda (optimalno rje-šenje) sve dok prethodno ne utvrdimo koja količina "proizvoda 1" i "proizvoda 2" generira maksimalan profi t. Prema tome cilj rješenja modela jest utvrditi najbolju količinu za x1 i x2.

U ovom primjeru postoje tri ograničenja.

Prvo ograničenje odnosi se na činjenicu da je ka-pacitet strojeva prvog pogona (S1) 450 vremenskih jedinica. U toj vremenskoj jedinici proizvedeno je 2x1

"proizvoda 1" i 1x2 "proizvoda 2". Izraženo matema-tički to je:

1 22x + 1x 450

Drugo ograničenje odnosi se na činjenicu da je ka-pacitet strojeva drugog pogona (S2) 600 vremenskih jedinica. U toj vremenskoj jedinici proizvedeno je 2x1 "proizvoda 1" i 2x2 "proizvoda 2". Izraženo matema-tički to je:

1 22x + 2x 600

Treće ograničenje odnosi se na činjenicu da postoji zahtjev, na temelju analize troškova, da se mora pro-izvoditi najmanje 100 jedinica proizvoda 1. Izraženo matematički to je:

1x 0

Konačno, nije uopće logično predviđati negativne brojeve kod proizvodnje ova dva proizvoda. Na te-melju toga slijedi ograničenje nenegativnosti:

1 2x , x 0

Kombinujući funkciju cilja, ograničenja i nenegativ-ne restrikcije, kompletan problem izražen je u obliku:

Maksimalizirati profi t:

1 2Z = 10x + 50x

Pod uslovom da ograničimo sastavljanje i fi niširanje kućnih i kancelarijskih stolova:

1 22x + 1x 450

1 22x + 2x 600

1x 100

1 2x , x 0

To je linearni model. Taj poseban primjer ima dvije varijable odlučivanja (x1 i x2), tri ograničenja

pra

DODATAK 2. 195


(kapaciteti rada prvog i drugog pogona i odluka da je potrebno proizvoditi minimalno 100 komada "proizvoda 1") i po jedan znak u svakom ograničenju (< u prvom i < u drugom ograničenju, te ≥ u trećem ograničenju). Kao što je već indicirano profi tni ko-efi cijenti su poznati (c1 = 10 i c2 = 50), desna strana (raspoloživost resursa) je poznata (b1 = 450 i b2 = 600) i koefi cijenti iskorištenja resursa su poznati (a11 = 2, a12 = 1, a21 = 2, a22 = 2).


5. Rešavanje modela. Iz praktičnih razloga sada mijenjamo simboliku varijabli odlučivanja tako da umjesto simbola x1 i x2 uvodimo simbole x i y. Analogno ranije formulisanom linearnom mode-lu problem je maksimalizirati:

Z = 10x + 50y

uz ograničenja:2x + 1y 450

2x + 2y 600

1x 100

1 2x , x 0

gdje je: x = količina proizvedenih "proizvoda 1",y = količina proizvedenih "proizvoda 2".

Budući da tu postoje samo dvije varijable, taj je pro-blem moguće prikazati grafi čki. Ograničenja (resur-sa) i nenegativne restrikcije (ograničenja) određuju skup vrijednosti koje varijable mogu zauzeti. Budući da imamo nenegativna ograničenja, našu pažnju možemo usmjeriti na prvi kvadrant koordinatnog sistema. Ograničenje kapaciteta strojeva prvog pogo-na (S1): Ograničenje kapaciteta strojeva prvog pogona (S1) izraženo je izrazom 2x + 1y < 450. Ako umjesto nejednačine upotrijebimo jednačinu

2x + 1y = 450, njezin pravac presijeca osi x i y na sljedećim tačkama.

Tabela 1. Izračunavanje tačaka za x i y za vrijeme za sastavljanje stolova

Za x = 0 Za y = 0

2∙(0) + 1y = 450 2x + 1∙(0) = 450

1y = 450 2x = 450

y = 450 x = 225


Shema 1. Ograničenje kapaciteta strojeva prvog pogona (S1):

x0 225

y

450

Budući da se radi o pravcu, bilo koja tačka na nje-mu ima vrijednost 450. Na primjer tačka (x = 100, y = 250) nalazi se na pravcu jer zadovoljava jedna-činu 2(100) + 1(250) = 450. Treba primijetiti da pra-vac odvaja dvodimenzionalnu aktivnost - prostor na one tačke iznad linije i one tačke ispod linije (pravca), kako je to i pokazano osjenčanim područjem. To je važno budući da bilo koja tačka koja nije osjenčana

196

ODLU^IVANJE

(odnosno u tom području ne zadovoljava ograniče-nje, ne može biti rješenje problema. Kod toga treba primijetiti (uočiti) kao vrlo bitno da tačke na samom pravcu zadovoljavaju nejednakost.

Ograničenje kapaciteta strojeva drugog pogo-na (S2): analizira se na analogan način kao i analiza koju smo radili za sastavljanje stolova u prethodnom slučaju. Počinjemo preobražavanjem nejednačine 2x + 2y < 600 u jednačinu 2x + 2y = 600. Dva sjecišta ranije određena utvrđujemo u tabeli.


Za x = 0 Za y = 0

2∙(0) + 2y = 600 2x + 2∙(0) = 600

2y = 600 2x = 600

y =300 x = 300


Shema 2. Ograničenje kapaciteta strojeva drugog pogona (S2):

x0 300

y

300

Kao i ranije, budući da je orginalno ograničenje izra-ženo nejednačinom, mi smo zaokupljeni (zaintereso-vani) samo jednom stranom područja u odnosu na pravac. Strelica na shemi 2. indicira tačke koje zado-voljavaju ograniečnje 2x + 2y < 600. Općenito da bi smo odredili u kojem pravcu usmjeriti strelicu, treba utvrditi nalazi li se ishodište na području izvodljivo-sti. Ako jest, strelicu usmjeri prema ishodištu; ako nije, usmjeri strelicu suprotno od ishodišta!

Međutim, nemojmo zaboraviti treće ograničenje, a to je zahtjev za minimalnom proizvodnjom 100 ko-mada "proizvoda 1" izraženo formulom:

1x 100

Ako umjesto nejednačine upotrijebimo jednačinu x = 100, njezin pravac presijeca osu x na u jednoj tački, a to je 100. Grafi čki je to moguće predstaviti na sljedeći način:

Shema 3. Ograničenje proizvodnje "proizvoda 1":

x0 300

y

300

x0 225

y

450

100

Da bi određena točka zadovoljila sva rješenja i ne-negativne restrikcije (ograničenja), ona mora biti na odgovarajućoj strani svakog od pravaca (gdje je odgovarajuća strana odnosno područje označeno

DODATAK 2. 197


strelicom) i u okviru prvog kvadranta, iz ranije objaš-njenih razloga. Skup tačaka koji zadovoljava te za-htjeve u našem konkretnom slučaju (odnosno po-dručje izvodljivosti) prikazana je na sljedećoj shemi osjenčanom površinom.


x0 300

y

300

x0 225

y

450

100

CD

A B

Time je uzevši u obzir sva ograničenja i restrikcije, područje mogućeg optimalnog rješenja svedeno na tačno određene granice. Da bi došli do konačnog rješenja, potrebno je još učiniti određene korake. Po-trebno je u prvom redu uočiti kako područje izvodlji-vosti na slici ima 4 ugaone tačke. Te se tačke nazivaju ekstremima (extreme points) i ključni teorem line-arnog programiranja jest u tome što se optimalno rješenje uvijek nalazi na jednoj od tih tačaka. Stoga je sve što se zahtijeva pronalaženje vrijednosti x i y na ekstremnim tačkama, uvrštenje tih vrijednosti u funkciju cilja 10x i 50y te konačan izbor onog para tačaka koji donosi najveći profi t.

tri ugaone tačke mogu biti odmah uzete sa slike, To su tačke (100,0, 225,0 i 100,200). Do posljednjeg če-tvrtog ugla, onog u kojem se presjecaju dva ograni-čenja (vidi shemu 4.), može se doći rješenjem dviju simultanih jednačina i to:

2x + 1y 450

2x + 2y 600

Pomnožimo prvu jednačinu sa (-1), a zatim ih saberimo:

-2x-1y= -450

2x+2y= 600

y = 150


2x + 1 ∙ (150) = 450

2x = 450 – 150

2x = 300

X = 150


Kako su na taj način sve četiri ugaone tačke određe-ne, moguće je izračunati pripadajući profi t za svaku od njih. Obračun se nalazi u sljedećoj tablici.


Varijabla x


100 0 10∙(100) + 50∙(0) = 1000

225 0 10∙(225) + 50∙(0) = 2250

100 200 10∙(100) + 50∙(200) = 11000

150 150 10∙(150)+ 50∙(150) = 9000

Pri proizvodnji x1=100 (proizvoda 1) i x2=200 (proizvoda 2) postiže se najveći profi t od 11.000 KM.

6. Analiza rešenja. Prethodni primjer ima samo 4 ekstremne tačke pa je relativno lako doći do rezultata funkcije cilja. Moguće je, međutim, (a i sasvim realno) što u nekom problemu ima više

198

ODLU^IVANJE

ekstremnih tačaka kada postaje nepraktično određivati koordinate za svaku od njih, a potom i vrijednost funkcije cilja.

2. Metode odlučivanje u uslovima rizikaMnogo su češći uslovi rizika u odnosu na uslove izvjesnosti. Uslovi rizika nalaze se između dvije krajnosti, uslova izvjesnosti i uslova neizvjesnosti. Dakle, alternative imaju različite ishode u zavisno-sti od različitog razvoja događaja u okruženju. Vje-rovatnoća dešavanja svakog od događaja je ma-nja od jedan, a zbir vjerovatnoća dešavanja svih događaja jednaka je jedinici.

Vjerovatnoća od koje polazimo u vrednovanju alternativnih rješenja može biti objektivna i su-bjektivna. Objektivna vjerovatnoća odgovarala bi klasičnoj i statističkoj koncepciji vjerovatnoće. Klasična ili Laplasova defi nicija vjerovatnoće izra-žava stepen mogućnosti realizacije nekog doga-đaja u eksperimentu. Na primjer, u eksperimentu bacanja savršeno simetrične kocke, obilježene brojevima od 1 do 6, vjerovatnoća „pao je broj 6" je P = 1/6, „pao je paran broj" je P = 3/6 = 1/2 itd. Statističku vjerovatnoću određujemo empi-rijski. Prema statističkoj ili empirijskoj koncepciji vjerovatnoće, vjerovatnoća je granična vrijed-nost relativne frekvencije događaja kada broj događaja (ponavljanja) neograničeno raste. Na primjer, menadžeri u grani biotehnologije znaju da je vjerovatnoća zadovoljenja kliničkog testa nekog lijeka 10%, a nezadovoljenja, odnosno ne-uspjeha 90%. Subjektivna vjerovatnoća pred-stavlja stepen uvjerenja koji razumna, logički dosljedna osoba ima u realizaciji datog događaja na bazi raspoloživih informacija. Ona nije objek-tivna karakteristika dešavanja nekog događaja, već izraz subjektivnog posmatranja menadžera. Menadžeri sa akumuliranim iskustvom i stečenim znanjima imaju veću sposobnost preciznije do-djele vjerovatnoće nekom događaju u odnosu na menadžere koji nisu toliko iskusni i/ili opskrbljeni znanjem.

U odlučivanju u uslovima rizika moguće je koristiti sljedeće metode: metod najveće vjerodostojnosti, metod maksimalne očekivane vrijednosti i metod minimalnog očekivanog žaljenja.

Neko preduzeće namjerava da u proizvodni pro-gram uključi novi proizvod koji ima direktnu vezu sa postojećom proizvodnom linijom. Odjeljenje konstrukcije pripremilo je tri nova proizvoda (P, P2, P3) od kojih samo jedan treba da uđe u proi-zvodni program. Svaki od njih ima određeni pro-fi tni potencijal koji je različit za različite slučajeve tražnje na tržištu (različiti ishodi alternativa za ra-zličite događaje). Ukoliko se menadžment predu-zeća opredijeli da uvede proizvod P, tada za nizak nivo tražnje preduzeće će ostvariti gubitak od 10 miliona KM, za prosječan nivo tražnje dobitak od 160 miliona KM i za slučaj visokog nivoa tražnje dobitak od 260 miliona KM. Na ilustraciji 7-3 dati su mogući rezultati koji bi mogli biti ostvareni uključivanjem ova tri proizvoda.

Ilustracija 7-3: Problem izbora novog proizvoda (dobitak u milionima KM)

ProizvodNivo tražnje

Nizak Prosječan Visok

P1 -10 160 260

P2 -20 130 300

P3 -40 180 280

Verovatnoća 0,30 0,60 0,10

Menadžeri prodaje, dakle, imaju iskustva sa slič-nim proizvodima i kretanjem tražnje u prošlosti. Oni ocjenjuju da je vjerovatnoća da će tražnja biti niska 0,30, da će tražnja biti prosječna 0,60 i da će tražnja biti visoka 0,10. Metod najveće (maksimal-ne) vjerodostojnosti zasniva se na pretpostavci da će se u budućnosti ostvariti događaj sa najve-ćom vjerovatnoćom. Ovaj metod opravdano je koristiti u situaciji kada je vjerovatnoća „najvje-rovatnijeg" događaja veoma visoka, tj. blizu 1. U slučaju da je vjerovatnoća „najvjerovatnijeg" do-gađaja neznatno veća od vjerovatnoće „drugog

DODATAK 2. 199


vjerovatnog" događaja, upotreba ovog metoda nije opravdana.

Ilustracija 7-4: Odlučivanje metodom najveće vjerodostojnosti



P1 160

P2 130

P3 180


U našem primjeru najveću vjerovatnoću događaja ima prosječan nivo tražnje. Tako, novi proizvodi će se porediti samo na osnovu rezultata u sluča-ju prosječnog nivoa tražnje. Pregledom tabele,

proiz lazi daje P3 proizvod sa najvišim profi tnim potencijalom, te će on biti izabran (vidi tabelu 7-4).

Metod maksimalne očekivane vrijednosti obuhva-ta sve ishode alternativa i njihove vjerovatnoće. Očekivane vrijednosti alternativa dobijaju se kao zbir ishoda alternativa ponderiranih vjerovatnoća-ma javljanja ovih ishoda. Ona predstavlja prosje-čan ishod koji bi se realizirao kada bi isti problem izbora rješavali u dugom nizu i, pri tome, uvijek birali istu akciju.

Tabela 7-5 pokazuje postupak izračunavanja oče-kivane vrijednosti. Maksimalna očekivana vrijed-nost postiže se alternativnim rješenjem novog proizvoda P3 (viša u odnosu očekivane vrijednosti druga dva proizvoda). Pri ponovljenim izborima proizvoda P3, u 30% slučajeva javio bi se gubitak od 40 miliona, u 60% slučajeva bio bi to dobitak od 180 miliona, a u 10% slučajeva bio bi to dobitak od 280 miliona. U prosjeku ostvareni dobitak bio bi 124 miliona KM.

Metod minimalnog očekivanog žaljenja zasniva se na pretpostavci minimiziranja očekivanog žaljenja koje bi moglo da nastupi nakon što se napravi iz-bor. Ishode alternativa sada prikazujemo ne u vidu dobitka, več u vidu propuštenih dobitaka (opor-tunitetnih gubitaka) zbog kojih se kajemo i to u tabeli žaljenja (Tabela 7-6).

Ilustracija 7-6: Tabela žaljenja (propušteni dobitak u milionima KM)



P1 0 20 40

P2 10 50 0

P3 30 0 20


Ilustracija 7-5: Postupak izračunavanja očekivane vrijednosti

llustracija 7 5: Postupak izračunavanja očekivane vrijednosti llustracija 7




200

ODLU^IVANJE

Očekivano žaljenje svake alternative dobija se kao ponderirani zbir žaljenja pri svakom događaju (vidi tabelu 7-7). Najmanje očekivano žaljenje po-stiže se izborom proizvoda P3.

Ilustracija 7-7: Postupak izračunavanja očekivanog žaljenja

ProizvodPonderisanje ishoda

vjerovatnoćama njihovog dešavanja

Očekivana vrijednost

P, 0,30x0 + 0,60x20 + 0,10x40 16

P20,30x10 + 0,60x50 +

0,10x0 33

P30,30x30 + 0,60x0 +

0,10x20 11

Ovdje se još može primijetiti da je alternativa no-vog proizvoda P3 superiorna i u slučaju korištenja metoda očekivane vrijednosti i metoda minimal-nog očekivanog žaljenja. Ovo nije slučajno, več je riječ o pravilu.

3. Metode odlučivanja u uslovima neizvjesnostiU uslovima neizvjesnosti nije poznata ni matema-tička, ni statistička vjerovatnoća, a donosioci od-luke nemaju dovoljno iskustva da formiraju svoj stav o vjerovatnoći dešavanja pojedinih događaja, a time i o ishodima alternativa. Uobičajeni sluča-jevi neizvjesnosti su uvođenje nove tehnologije, sasvim novog proizvoda, osvajanja novog tržišta itd. Na primjer, kada su 1993. godine menadžeri Apple Computer uvodili na tržište Newton, njihov PDA uređaj (engl. personal digital assistant), nisu imali predstavu o vjerovatnoći uspjeha u lansi-ranju ovog proizvoda. Razlog je bio apsolutno tehnološko pionirstvo i nisu postojale bilo kakve informacije o vjerovatnoći njegovog prihvatanja

na tržištu. Prvi PDA nije imao uspjeha zbog teh-ničkih problema, ali su zato kasnije verzije imale izuzetni uspjeh tokom 2000-ih. Najveći izvor neiz-vjesnosti upravo se odnosi na nemogućnost preci-znog predviđanja buduće tražnje za proizvodima i uslugama.

Za objašnjenje odlučivanja u uslovima neizvje-snosti poslužićemo se primjerom. Neko preduze-će namjerava da putem strategije razvoja tržišta otpočne internacionalizaciju poslovanja ulaskom na nacionalno tržište jedne zemlje u Aziji. Ono ne može da utvrdi vjerovatnoću pojedinih nivoa tražnje za svojim proizvodima, s obzirom da nema iskustva sa sličnim tržištima. Preduzeće priprema četiri marketing strategije (S, S2, S3, S4) i pret-postavlja različite nivoe tražnje bez predstave o njihovoj vjerovatnoći (D, D2, D3, D4). Na osnovu uzorka, pravi se tabela isplativosti (ili matrica ispla-tivosti), prikazana u tabeli 7-8.

Tabela 7-8: Tabela isplativosti

StrategijaNivo tražnje

D, D2 D3 D4

S, 50 70 60 40

s2 60 80 100 120

s3 150 110 70 50

s4 70 90 130 110

U uslovima neizvjesnosti primjenjuju se sljedeći metodi odlučivanja:

• optimistički (maximax) metod• pesimistički (maximin) metod• metod optimizma-pesimizma• metod minimax žaljenja• Laplasov metod

Optimistički (maximax) metod obično koriste me-nadžeri optimisti, koji polaze od nerealne pretpo-stavke da koju god strategiju da izaberu, desiće se

DODATAK 2. 201


onaj događaj koji omogućava realizaciju strategije sa najboljim rezultatom. Zato, menadžeri optimi-sti „idu na sve ili ništa" i biraju onu strategiju (alter-nativu) koja obećava najbolji rezultat. Ostali ishodi se zanemaruju. U našem slučaju, strategija S3 obe-ćava bolji ishod nego bilo koja druga strategija. Najbolji ishodi su za sve strategije S,=70, S2=120, S3=150 i strategije S4=130.

Pesimistički (maximin) metod počiva na pretpo-stavci da je opreznost ključ dugoročnog uspje-ha. Zato treba birati onu strategiju koja obećava najbolji među najslabijim ishodima. Izborom ove alternative maksimira se minimalna isplativost. U našem primjeru, najslabiji rezultat za svaku strate-giju je S,=40, S2=60, S3=50, S4=70. Ovo upućuje na izbor strategije S4, jer se tad preuzima najmanji rizik.

Metod optimizma - pesimizma poznat je po auto-ru Hurvicu (Hurwicz) i kao Hurvicov metod. Ovaj metod kombinira prethodna dva metoda na na-čin da uzima u razmatranje ekstremne vrijednosti ishoda alternativa, odnosno najbolji i najslabiji rezultat svake alternative. Najbolji rezultat množi se indeksom optimizma, a najslabiji rezultat in-deksom pesimizma. Indeks optimizma utvrđuje se subjektivno. On se kreće od 0 do 1. U slučaju da je jednak nuli, ovaj metod daje isti rezultat kao pesimistički, a u slučaju da je jednak jedinici, ovaj metod daje isti rezultat kao optimistički metod. In-deks pesimizma je komplement indeksa optimiz-ma i dobija se kao / - indeks optimizma. U našem primjeru, za indeks optimizma 0,7 i indeks pesimiz-ma 0,3, dobijaju se sljedeće vrijednosti po Hurvi-covom metodu: H(S,) = 70x0,7 + 40x0,3 = 61, H(S2) = 120x0,7 + 60x0,3 =102, H(S3)=150x0,7+50x0,3 = 120, H(S4)=130xO,7 + 70x0,3 = 112. Proizlazi daje najpovoljnija alternativa S3.

Metod minimax žaljenja konstruirao je Sevidž (L. Savage). Metod se zasniva na pretpostavci minimi-ziranja žaljenja koje bi se moglo da pojavi nakon izvršenog izbora. Veličina žaljenja (psihološkog gubitka) odgovara iznosu propuštenog dobitka koji bi mogao biti ostvaren u slučaju odluke sa najboljim rezultatom. Metod se ne može direktno

primijeniti na originalne podatke iz matrice ispla-tivosti, već se mora konstruirati matrica žaljenja (matrica „gubitaka"). Ova matrica prikazana je Ta-belom 7-9.

Ilustracija 7-9: Matrica žaljenja

StrategijaNivo tražnje

D, D2 D3 D4

S, 100 40 70 80

s2 90 30 30 0

s3 0 0 60 70

s4 80 20 0 10

Maksimalni „gubitak" koji izaziva žaljenje je po strategijama S=100, S2=90, S3=70, S4=80. Izbo-rom strategije S3 minimizira se maksimalni iznos žaljenja, te je ova strategija superiorna u odnosu na ostale po ovom kriteriju.

Laplasov metod dobio je ime po tvorcu Laplasu (Laplace). Metod se zasniva na postulatu: „Ako ne znam ništa o budućim događajima, onda mogu smatrati da su oni jednako vjerovatni". Proizla-zi da je vjerovatnoća svakog događaja jednaka l/n. Kako su u našem primjeru moguća četiri do-gađaja, to je vjerovatnoća dešavanja svakog od njih 1/4=0,25. Dalje se korisnost svake alternative utvrđuje analogno metodi maksimalne očekivane vrijednosti koja se koristi u uslovima rizika. To zna-či, L(S)=50x0,25+70x0,25+60x0,25+ 40x0,25=55, L(S2)=60x0,25x80x 0,25+100x0,25+120x0,25 =90, L(S3)=150x0,25+110x0,25+ 70x0,25+50x0,25=95, L(S4)=70x0,25+90x0,25+130x0,25+110x0,25=100. Poređenjem očekivanih koristi svih alternativa, primjećuje se da se maksimalna korist očekuje od strategije S4.

Primjenom svih pet najpoznatijih metoda odluči-vanja u uslovima neizvjesnosti u našem primjeru dobili smo rezultate koji upućuju na izbor jedne od samo dvije alternative, i to S3 koja je superiorna

202

ODLU^IVANJE

po tri metoda i S4 koja je superiorna po dva me-toda (pregled rezultata po svim metodama izbora na Tabeli 7-10).

Tabela 7-10: Metodi izbora u uslovima neizvjesnosti i njihovi rezultati

Metod Vrijednost Preporuka

Optimistički (maximax) 150 s3

Pesimistički (maximin) 70 s4

Optimizma - pesimizma

(Hurvicov)120 s3

Minimax žaljenja (Savage)

70 s3

Laplasov 100 s4

S obzirom na dvosmislen rezultat koji se dobija primjenom različitih metoda odlučivanja, me-nadžer može biti u nedoumici koju/koje metode da uzme kao relevantne. Dva su moguća pristupa problemu. Po jednom pristupu, menadžer može da primijeni sve metode odlučivanja i da izabere alternativu koja ima najbolji rezultat, odnosno onu koja je najbolja po osnovu svih ili većine metoda. U našem slučaju, to je alternativa S3 koja je naj-bolja po tri metoda. Po drugom pristupu, treba-lo bi ispitati konzistentnost rješenja svih metoda, a onda se odluka donosi primjenom „najboljeg" metoda. Poređenje metoda i izbor najbolje naziva se meta-odlučivanjem i sprovodi se na višem hije-rarhijskom nivou.

Documents

DODATAK 3. SITUACIJE ODLUČIVANJAfmpe.edu.ba/images/nastava/942/Poslovno... · DODATAK 2. 179 1. Metode odlučivanja u uslovima sigurnosti Uslovi izvjesnosti su idealni za donošenje