DODATAK UDŽBENIKU ZA 6. RAZRED DEVETOGODIŠNJE …...DODATAK UDŽBENIKU ZA 6. RAZRED DEVETOGODIŠNJE ŠKOLE SUSTAVA KATOLIČKIH ŠKOLA ZA EUROPU Izrada: Ajla Pilav Edin Tabak Lektorisala:

DODATAK UDŽBENIKU ZA 6. RAZRED

DEVETOGODIŠNJE ŠKOLE SUSTAVA KATOLIČKIH

ŠKOLA ZA EUROPU

Izrada: Ajla Pilav

Edin Tabak

Lektorisala: Ivana Mostarac

Tehnička obrada: Edin Tabak

Sadržaj SKUPOVI .........................................................................................................................................5

Obilježavanje i zadavanje skupova...............................................................................................5

Podskup, pravi podskup................................................................................................................8

Jednakost skupova ........................................................................................................................9

Unija i presjek skupova ..............................................................................................................10

Razlika skupova..........................................................................................................................11

Uređeni par. Direktni produkt skupova ......................................................................................12

Relacije .......................................................................................................................................14

Funkcije ......................................................................................................................................16

Koordinatni polupravac i koordinatni sustav u ravnini ..............................................................18

KRUŽNICA, KRUG, KUT ............................................................................................................20

Odnos pravca i kružnice .............................................................................................................20

Odnos dvije kružnice ..................................................................................................................20

Vrste kutova ...............................................................................................................................21

Prenošenje kutova .......................................................................................................................22

Grafičko zbrajanje kutova ..........................................................................................................23

Grafičko oduzimanje kutova ......................................................................................................24

Zbrajanje i oduzimanje kutova ...................................................................................................25

Množenje kutova prirodnim brojem ...........................................................................................26

Dijeljenje kutova prirodnim brojem ...........................................................................................26

DJELJIVOST BROJEVA ..............................................................................................................28

Djeljivost u skupu ℕ𝟎, jednakost 𝒂 = 𝒃𝒒 + 𝒓 ........................................................................28

Djeljiivost brojem 4 ....................................................................................................................29

RAZLOMCI ...................................................................................................................................30

Zbrajanje razlomaka nejednakih nazivnika ................................................................................30

Oduzimanje razlomaka nejednakih nazivnika ............................................................................32

Jednadžbe oblika 𝒙 ± 𝒂 = 𝒃, 𝒂 ± 𝒙 = 𝒃 ....................................................................................34

Nejednadžbe oblika 𝒙 ± 𝒂 ≶ 𝒃, 𝒂 ± 𝒙 ≶ 𝒃 ...............................................................................37

Množenje razlomaka ..................................................................................................................40

Dijeljenje razlomaka ...................................................................................................................42

Jednadžbe oblika 𝒂 ∙ 𝒙 = 𝒃, 𝒂 ∶ 𝒙 = 𝒃, 𝒙 ∶ 𝒂 = 𝒃 ......................................................................45

Nejednadžbe oblika 𝒂 ∙ 𝒙 ≶ 𝒃, 𝒙 ∶ 𝒂 ≶ 𝒃, 𝒂 ∶ 𝒙 ≷ 𝒃 .................................................................47

Aritmetička sredina ....................................................................................................................49

Brojevni izrazi sa zagradama ......................................................................................................51

Primjena linearnih jednadžbi. Tekstualni zadaci ........................................................................53

Obilježavanje i zadavanje skupova

5

SKUPOVI


Osnovni pojmovi se ne definiraju, ali ih možemo zamisliti.

Skupove označavamo velikim tiskanim slovima latinice A, B, C, ... , Ž; a elemente skupa

nabrajamo (pišemo) u vitičaste zagrade i odvajamo zarezom.

V = {a, e, i, o, u} – skup vokala

a, e, i, o, u – elementi ili članovi skupa V

Pr. 1. Napiši skup nota glazbene ljestvice.

S = {do, re, mi, fa, so, la, ti}

Pr. 2. Dat je skup A = {1, 2, 3, 4, 5}. Koja je od sljedećih tvrdnji točna, a koja netočna?

a) 1 ∈ 𝐴 T

b) 7 ∉ 𝐴 T

c) 2 ∉ 𝐴 N d) 3 ∈ 𝐴 T e) 0 ∉ 𝐴 T f) 4 ∉ 𝐴 N

Kako ćemo napisati skup M slova iz riječi matematika?

Hoćemo li ovako: M ={m, a, t, e, m, a, t, i, k, a}?

Nećemo, jer zašto bismo triput pisali slovo a, kad je to isti element skupa?

Napisat ćemo ovako: M = {m, a, t, i, k, e}

Skup M možemo napisati i kao M = {a, e, i, k, m, t}.

Skup je osnovni pojam u matematici.

∈ - znači da element pripada skupu, npr. a A (čita se: a pripada skupu A)

∉- znači da element ne pripada skupu, npr. f V (čita se: f ne pripada skupu V)

Elementi skupa se ne ponavljaju, tj. različiti su.

Redoslijed elemenata skupa nije bitan.


6

. a . e

. i

. o . u

Skup možemo prikazati i grafički, na sljedeći način: V

Zatvorena kriva linija unutar koje su članovi skupa

- Venov dijagram . o . u

Skup možemo napisati pomoću zajedničkih svojstava.

Pr. 3. Napisati skup prirodnih brojeva koji su manji od 5.

P = {1, 2, 3, 4, 5}

Kod zadavanja skupa navođenjem svojstava elemenata možemo se koristiti i simbolima.

Npr., prethodni primjer možemo zapisati i ovako:

P = {𝑥 | 𝑥 ∈ ℕ 𝑖 𝑥 < 5}

Pr. 4. Napisati elemente skupa E = {𝑦 | 𝑦 je slovo iz riječi 𝑎𝑡𝑙𝑒𝑡𝑖𝑘𝑎}

E = {a, t, l, e, i, k}

Pr. 5. Napisati elemente skupa F ={𝑧 | 𝑧 ∈ ℕ 𝑖 3 < 𝑧 ≤ 9}.

F = {4, 5, 6, 7, 8, 9}

Pr. 6. Koje elemente ima skup ljudi rođenih na Veneri?

Taj skup nema elemenata, to je prazan skup.

Pr. 7. Je li nula element praznog skupa?

Nije, jer prazan skup nema nijednog elementa, pa ni broj 0. Stoga pišemo: 𝟎 ∉ Ø

Postoje skupovi koji imaju beskonačno mnogo elemenata. Postoji jedan takav skup. To je

skup prirodnih brojeva: N={1,2,3,...} - ... beskonačno mnogo elemenata (∞).

Prazan skup je skup bez elemenata; obilježavamo ga znakom Ø ili rjeđe { }.

Skupovi u matematici zadaju se na tri načina:

1. nabrajanjem svih elemenata

2. Venovim dijagramom

3. navođenjem bitnih svojstava njegovih elemenata.

Skupovi se obilježavaju velikim slovima abecede, a simboli {,} koriste se kao

oznake skupa.

Skup čine različiti elementi, tj. svaki element skupa računa se samo jedanput.


7

Zadaci za vježbu:

1. Napiši skup slova kojima se piše riječ: a) KOŠARKA b) ČOKOLADA

2. Nabrajanjem elemenata napiši skup svih: a) planeta Sunčevog sustava b) duginih boja

3. Prikaži Venovim dijagramom skupove: a) H = {1, 5, 8, 45, 76, 980}

b) V je skup tvog omiljenog voća

c) K je skup kontinenata

4. Napiši skupove nabrajanjem elemenata:

a) S = {𝑥 | 𝑥 je godišnje doba}

b) G = {𝑛 | 𝑛 je prirodan broj između 1 i 7}

c) P = {𝑥 | 𝑥 je nastavni predmet koji imaš u šestom razredu}

5. Dati su skupovi: A = {𝑥 | 𝑥 skup slova imena MIRA},

B = {𝑦 | 𝑦 skup slova imena TINA},

C = {𝑧 | 𝑧 skup slova imena TAMARA}.

a) napiši ove skupove nabrajanjem elemenata!

b) nacrtaj Venov dijagram za date skupove!

Podskup, pravi podskup

8

Podskup, pravi podskup

Pr. 1. Promatrajmo skupove A ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} i B = {2, 4, 6, 8}. Što

možemo zaključiti o ovim skupovima?

Zaključujemo da su elementi skupa B ujedno i elementi skupa A. To znači

da je skup B sadržan, tj. podskup skupa A.

Zadatak 1. Skup C čine slova riječi lak, a skup D sva slova riječi kalem.

a) ispiši elemente ta dva skupa.

b) nacrtaj Venov dijagram skupa D, a potom zatvorenom linijom izdvoji

elemente skupa C.

c) pripada li svaki element skupa C skupu D?

d) pripada li svaki element skupa D skupu C?

e) što je točno: 𝐶 ⊆ 𝐷 ili 𝐷 ⊆ 𝐶?

Pr. 2. Odredi podskupove skupa F = {a, b, c}

∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}

{a}⊂ F, {a, b} ⊂ F, {a, b, c} ⊄ F

Zadatak 2. Odredi sve prave podskupove za skup E = {x|x∈ 𝑁0 i x + 3< 6}.

Zadaci za vježbu:

1. Napiši dva primjera praznog skupa (kao pr.1.).

2. Odredi sve podskupove skupa : {, , □}.

3. Zadan je skup slova S = {a, k, o, r}. Napiši bar pet riječi koje se zapisuju pomoću

elementa skupa S (slova se smiju ponavljati). Je li skup S podskup svake od riječi koju

si napisao/la?

Ako svaki element skupa B pripada skupu A, kaže se da je B podskup skupa A i

piše se .

- podskup, Ø ,

Ako iz skupa svih podskupova izdvojimo zadani skup, onda svaki od preostalih

podskupova čini pravi podskup tog skupa i tada umjesto pišemo samo ⊂ .

Jednakost skupova

9

Jednakost skupova

Pr. 1. Koliko članova ima skup L = {b, u, b, a, m, a, r, a}

Članovi (elementi) skupa L su slova b, u, a, m, r, pa skup L ima 5 članova.

M = {a, b, c, d} i N = {k, l, m, n} – jednakobrojni

O = {1, 2, 3} i P = {2, 3, 1} – jednaki 𝑂 = 𝑃

Zadatak 1. Koji od skupova su jednakobrojni, a koji jednaki: {1, 3}; {1, 2, 3}; {a, b, c,

a}; {13}; {1, 1, 1, 3, 3}; {b, c}?

Zadatak 2. Dati su skupovi C = {3, x, 5, 8} i D = {7, 5, y, 3}. Odredi x i y tako da je

C=D.

Zadatak 3. Elementi jednog skupa su slova riječi matematika, a elementi drugog skupa

slova riječi imetak. Jesu li ta dva skupa jednaka?

Zadaci za vježbu:

1. Koliko članova ima skup : a) LOKOMOTIVA b) KARAKTERISTIKA

2. U skupovima E = {a, 3, 4, 8} i F = {1, 3, 8, b} odredi a i b tako da bude E=F.

Jesu li skupovi {s, t, a, t, i, s, t, i, k, a} i {t, a, k, s, i} jednaki? Obrazloži odgovor!

Broj elemenata određuje se prebrojavanjem elemenata. Isti elementi se broje

jedan put. Broj elemenata nekog skupa A naziva se kardinalan broj tog skupa i

označava se sa k(A).

Skupovi sa istim brojem elemenata su jednakobrojni. Skupovi s istim

kardinalnim brojem i istim elementima su jednaki.

Unija i presjek skupova

10

Unija i presjek skupova

Pr. 1. Odredi uniju skupova A = {1, 2, 3, 4} i B = {2, 3, 4, 5, 6}.

𝐴 ∪ 𝐵 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Pr. 2. Odredi presjek skupova C = {2, 3, 4, 5, 6, 7} i D = {2, 4, 6, 8, 10}.

𝐶 ∩ 𝐷 = {2 ,4, 6}

Zadatak 1. Učenici jednog odjeljenja vole jesti čokoladu i bombone. Čokoladu jedu

Mak, Ema, Jan i Ivana, a bombone Mia, Mak, Neven, Ema i Ivica.

a) postoje li učenici tog odjeljenja koji vole jesti oboje?

b) koliko učenika ima u razredu?

(Napomena: u odjeljenju ne postoje dva učenika s istim imenom.)

Zadaci za vježbu:

1. Odredi uniju i presjek skupova: a) A= {a, b, c, d, 0, 1} i B= {b, d, 1, 2, 3}

b) C = {m, e, t, a, r} i D = {t, r, e, m, a}.

2. Za skupove 𝐸 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝑁 𝑖 𝑥 < 7} i 𝐹 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝑁 𝑖 𝑥 ≤ 5} odredi uniju i presjek.

Skup svih elemenata koji pripadaju prvom

ili drugom skupu naziva se unija skupova i

označava se sa 𝑨 ∪ 𝑩.

𝑨 ∪ 𝑩 = {𝒙|𝒙 ∈ 𝑨 𝒊𝒍𝒊 𝒙 ∈ 𝑩}

Skup svih elemenata zajedničkih za te

skupove naziva se presjek skupova i

označava se sa 𝑨 ∩ 𝑩.

𝑨 ∩ 𝑩 = {𝒙|𝒙 ∈ 𝑨 𝒊 𝒙 ∈ 𝑩}

Razlika skupova

11

Razlika skupova

𝐵\𝐴 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐵 𝑖 𝑥 ∉ 𝐴}

Pr. 1. Odredi razlike A\B i B\A skupova A = {1, 2, 3, 4} i B = {2, 3, 4, 5, 6}.

𝐴\𝐵 = {1} 𝐵\𝐴 = {5,6}

Zadatak 1. Za skupove C = {1, 3, 4, 5 } i D = {2, 3, 4, 5, 6, 7} odredi:

a) C\D

b) D\C. Je li točno: C\D = D\C?

Zadaci za vježbu:

1. Odredi A∩B, A∪B, 𝐴\𝐵 i 𝐵\𝐴 ako je: a) A = {r, i, b, a} i B = {r, a, k}

b) A = {t, a, b, l, a} i B = {l, o, p, t, a}.

2. Za skupove 𝐸 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝑁 𝑖 𝑥 < 8} i 𝐹 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝑁 𝑖 𝑥 ≤ 4} odredi E∩F, E∪F, 𝐸\𝐹 i

𝐹\𝐸.

Skup svih elemenata prvog skupa koji nisu

elementi drugog skupa naziva se razlika

dvaju skupova i označava se sa 𝑨\𝑩.

𝑨\𝑩 = {𝒙|𝒙 ∈ 𝑨 𝒊 𝒙 ∉ 𝑩}

Uređeni par. Direktni produkt skupova

12


(𝒂, 𝒃) – uređeni par

U uređenom paru (a, b) smatramo da je a prvi član, dok je b drugi član.

(𝒂, 𝒃) ≠ (𝒃, 𝒂), 𝒂 ≠ 𝒃

Pr. 1. Odredi x i y tako da je: a) (x, y) = (0, 1)

b) (x, 8) = (7, y)

a) 𝑥 = 0, 𝑦 = 1

b) 𝑥 = 7, 𝑦 = 8

Pr. 2. Odredi sve uređene parove u kojima je prvi element iz skupa 𝐴 = (𝑚, 𝑛), a drugi iz

skupa 𝐵 = {, □, }.

shema (predstavljena točkom)

{(𝑚,), (𝑚, □), (𝑚, ), (𝑛,), (𝑛, □), (𝑛, )}

Navedeni skup uređenih parova naziva se direktni (Dekartov) produkt i zapisuje se u

obliku A x B.

Dva uređena para su jednaka ako i samo ako su im jednaki prvi članovi i jednaki

drugi članovi, tj.

(𝒙, 𝒚) = (𝒂, 𝒃) ako je x = a i y = b.

Direktni produkt skupa A i skupa B je skup svih uređenih parova (x, y) kod kojih

je prvi član iz skupa A i drugi iz skupa B, tj.

𝑨 𝒙 𝑩 = {(𝒙, 𝒚)|𝒙 ∈ 𝑨 𝒊 𝒚 ∈ 𝑩}.


13

Pr. 3. Za skupove A = {1, 2, 3} i B = {a, b} odredi: a) A × B

b) B × A

c) A × A = A2

d) B × B = B2

A × B = {(1, a), (2, a), (3, a), (1, b), (2, b), (3, b)}

B × A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}

A × A = A2= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}

B × B = B2= {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)}

Zadatak 1. Za skupove A= {,} i B= {1, 2, 3} odredi A x B, B x A, A2, B2

Zadaci za vježbu:

1. Za skupove A= {1,3,5} i B = {2,4} odredi A x B, B x A, A∪B i A∩B.

2. Dat je skup S= {𝑥|𝑥 ∈ ℕ 𝑖 𝑥 + 2 < 6}. Napiši skup S2 i prikaži ga shematski.

3. Nađi sve uređene parove koji se mogu sastaviti od brojeva 0, 1, 2, ..., 9, 10 i

kojima je prvi član jednak drugom članu.

4. Nađi sve uređene parove prirodnih brojeva čiji zbroj daje 5.

Relacije

14

Relacije

Relacije ćemo označavati slovom R: 𝑥 𝑅 𝑦 (čitamo: x je u relaciji sa y).

Pr. 1. Zapiši sljedeće relacije :

a) 𝑥 𝑅 𝑦; R – biti jednak

b) 𝑎 𝑅 𝑏; R – biti manji

c) 𝑐 𝑅 𝑑, R – biti veći ili jednak

a) 𝑥 = 𝑦 b) 𝑎 < 𝑏

c) 𝑐 ≥ 𝑑

Relacije možemo prikazati (zapisati) : - nabrajanjem elemenata

- grafom

Pr. 2. (Nabrajanje elemenata) Razvrstati elemente skupa tako da je R – biti iste vrste:

{pas, tulipan, ruža, Anja, dupin, konj, Tin, Mia, karanfil, mačka, Mak}.

A = {Anja, Tin, Mia, Mak}

B = {pas, dupin, konj, mačka}

C = {tulipan, ruža, karanfil}

Pr. 3. (graf) Predstavi relaciju R – biti manji u skupu A = {1, 2, 3, 4}

koristeći više grafova

jedan graf

Relacije

15

Zadatak 1. Prikaži jednim grafom relaciju R – biti veći ili jednak u skupu {1, 2, 3, 4, 5}

- kako se označava jednak

Pr. 4. Odredi 𝐴𝑥𝐵 skupova 𝐴 = {1, 3, 5} i 𝐵 = {2, 4}

𝐴𝑥𝐵 = {(1, 2), (1, 4), (3, 2), (3, 4), (5, 2), (5, 4)}

mreža

shema

Formirajmo skup R- x manje od y (𝑥 < 𝑦) 𝑅 = {(1, 2), (1, 4), (3, 4)}

Zaključimo: 𝑅 ⊆ 𝐴𝑥𝐵

Zadaci za vježbu:

1. Predstavi jednim grafom relaciju R – biti veći ili jednak u skupu B = {3, 4, 5, 6}.

2. Obitelj se sastoji od sljedećih članova: djed (d) 75 godina, otac (o) 50 godina,

majka (m) 47 godina, sin (s) 10 godina i kćer (k) 7 godina.

a) prikaži jednim grafom R – biti stariji

b) prikaži jednim grafom R – biti mlađi

3. Dati su skupovi A= {1, 4, 6} i B= {2, 3, 5} a) odredi 𝐴𝑥𝐵, 𝐵𝑥𝐴, 𝐴2, 𝐵2. b) predstavi shemom i mrežom 𝐴𝑥𝐵 i 𝐵𝑥𝐴 c) u skupu 𝐵𝑥𝐴 formiraj skup R: 𝑥 > 𝑦

Funkcije

16

Funkcije

Pr. 1. Pridruži redne brojeve danima u tjednu:

1. →ponedjeljak - dijagramom A B

2. →utorak

3. →srijeda

4. →četvrtak

5. →petak

6. →subota

7. →nedjelja

Polazni skup, skup A, nazivamo domen (njegovi elementi su originali), a završni skup,

skup B nazivamo kodomen (elementi - slike). Funkciju označavamo sa f(x) ili y.

Pr. 2. Dati su skupovi A = {orač, krojač, stolar, limar} i B = {plug, igla, traktor, čekić}.

Svakom zanimanju iz skupa A pridruži njegov alat. Prikaži to uređenim parovima i

dijagramom.

{(orač, traktor), (krojač, igla), (stolar, čekić), (limar, plug)}

Pr. 3. Prikaži funkciju 𝑦 = 4𝑥 dijagramom. (Uzet ćemo samo prva tri člana)

𝑥 1 2 3

𝑦 = 4𝑥 4 8 12

Svako pravilo (propis, zakon, dogovor) po kojem se svakom elementu skupa A

pridružuje točno jedan element skupa B naziva se funkcija (preslikavanje).

A → B

Funkcije

17

1. Prikaži funkciju 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 dijagramom.

BITNO : Funkcija pridružuje svakom elementu točno jedan element.

Nijedan od ovih dijagrama ne predstavlja funkciju.

Zadaci za vježbu:

1. Ptica leti brzinom od 3 km/h. Koliko će prijeći za 1, 2, 3, 4 h? Funkciju predstavi

tablicom i dijagramom.

2. Sljedeće funkcije predstavi dijagramom: a) 𝑓(𝑥) = 7𝑥 b) 𝑦 = 𝑥 + 7

Koordinatni polupravac i koordinatni sustav u ravnini

18


Predstavljanje točaka na koordinatnom polupravcu

Svaki broj možemo predstaviti na brojevnom polupravcu.

Dužina čiji se krajevi poklapaju s brojevima 0 i 1 predstavlja jedinicu mjere – jediničnu

dužinu.

Broju 5 odgovara točka D. Kažemo da je koordinata točke D broj 5 i zapisujemo D (5).

Pr. 1. Koja je koordinata točke: a) B B (2)

b) C C (3)

c) E E (8)

Međutim, na koji način ćemo predstaviti točku koja se nalazi u ravnini? Za predstavljanje

točaka u ravnini koristimo koordinatni sustav.

Predstavljanje točaka u koordinatnom sustavu

Okomite prave 0x i 0y čine pravokutni

(Dekartov) koordinatni sustav, a ravnina

u kojoj se sustav nalazi naziva se

koordinatna ravnina.

0x – apscisa 0y – ordinata

0 – koordinatni početak (ishodište)

Polupravac 0x naziva se koordinatni (brojevni) polupravac, a brojevi kojima su

točke označene nazivamo koordinate točaka.


19

Pr. 2. Predstavi u koordinatnom sustavu točke:

𝐴 (3, 1)

𝐵 (3, 5) 𝐶 (4, 2) 𝐷 (0, 3)

Zadatak 1. Predstavi u koordinatnom sustavu točke: A (3, 1), B (0, 3), C (3, 5), D (7, 5),

E (9, 4), F (12, 6), G (11, 3), H (12, 0), I (9,2), J (7,1). Nakon toga ih spoji redom.

Zadaci za vježbu:

1. Predstavi u koordinatnom sustavu točke: A (8, 2), B (6, 0), C (2, 0), D (0, 2), E (8, 3),

F (4, 6), G (0, 3), H (4, 2). Plavom bojom spoji A, B, C, D, A. Crvenom bojom spoji E, F,

G, E. Smeđom bojom spoji F i H. (Jedinična duž – 1 cm)

Prva koordinata predstavlja x,

a druga y.

Odnos pravca i kružnice

20

KRUŽNICA, KRUG, KUT

Odnos pravca i kružnice

Odnos dvije kružnice

Vrste kutova

21

Vrste kutova

Kut čiji kraci čine jedan

pravac nazivamo

ispruženi (opruženi) kut.

Kut veći od ispruženog,

čiji se kraci poklapaju

naziva se puni kut.

Sam polupravac čini

nula kut.

Dva nadovezana kuta

nazivaju se susjedni

kutovi.

Susjedni kutovi čiji

zbroj iznosi ispruženi

kut nazivaju se

usporedni kutovi.

Dva kuta koji imaju

zajednički vrh, a kraci

jednog leže na

produžecima krakova

drugog nazivaju se vršni

(unakrsni) kutovi.

Kut jednak svom

usporednom kutu

naziva se pravi kut.

Kut manji od pravog

kuta nazivamo šiljasti

(oštri) kut.

Kut veći od pravog, a

manji od ispruženog

kuta nazivamo tupi kut.

Kut koji sadrži svaku dužinu čije mu

krajnje točke pripadaju naziva se

konveksni (ispupčeni, izbočeni) kut.

Prenošenje kutova

22

Kut koji nije konveksan je nekonveksan

ili konkavan (udubljen).

Prenošenje kutova

Neka je zadan kut 𝛼 = ∢𝑥𝑂𝑦. Njemu jednak kut 𝛽 = ∢𝑝𝑆𝑞 konstruirat ćemo na sljedeći

način:

Nacrtajmo proizvoljni polupravac Sq. Konstruirajmo lukove istim otvorom šestara (prvi

luk ima centar O, a drugi S), čime su određene točke X i P (X ∈ Ox i P ∈ Sp). Sada

prenosimo šestarom tetivu XY, tako da je 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ = 𝑋𝑌̅̅ ̅̅ . Time je određen i drugi krak Sq,

kuta 𝛽.

Zadatak 1. Nacrtaj proizvoljan kut, pa ga prenesi.

Zadaci za vježbu:

1. Nacrtaj proizvoljan tupi, oštri i pravi kut, pa ih prenesi. Koji je od tih kutova

najveći, a koji najmanji?

Grafičko zbrajanje kutova

23

Grafičko zbrajanje kutova

Neka su dati kutovi 𝛼 i 𝛽.

Odredimo (grafički) njihov zbroj, tj kut 𝛾; 𝛾 = 𝛼 + 𝛽.

Na proizvoljni polupravac Mm prenesimo kut 𝛼

Zatim na kut 𝛼 prenesimo (nadovežimo) kut 𝛽

∢𝑚𝑀𝑝 = 𝛾

Zadatak 1. Nacrtaj tri kuta: 𝛼 – šiljasti, 𝛽 – pravi, 𝛾 – tupi.

Odredi: a) 𝛼 + 𝛽

b) 𝛾 + 𝛽

c) 𝛼 + 𝛾

Zadaci za vježbu:

1. Nacrtaj četiri proizvoljna različita kuta i označi ih sa α, β, γ i δ redom. Odredi:

a) 𝛼 + 𝛾

b) 𝛽 + 𝛿

c) 𝛽 + 𝛾

Grafičko oduzimanje kutova

24

Grafičko oduzimanje kutova

Neka su dati kutovi 𝛼 i 𝛽.

Odredimo (grafički) njihovu razliku, tj. kut 𝛾; 𝛾 = 𝛼 − 𝛽.

Na proizvoljni polupravac Ee prenesimo kut 𝛼

Zatim u kut 𝛼 prenesimo kut 𝛽

∢𝑒𝐸𝑓 = 𝛾

Zadatak 1. Nacrtaj tri kuta: 𝛼 – šiljasti, 𝛽 – pravi, 𝛾 – tupi.

Odredi: a) 𝛽 − 𝛼

b) 𝛾 − 𝛽

c) 𝛾 − 𝛼

Zadaci za vježbu:

1. Nacrtaj dva proizvoljna šiljasta kuta 𝛼 i 𝛽. Nakon toga nacrtaj dva proizvoljna tupa

kuta 𝛾 i 𝛿.

Odredi: a) 𝛿 − 𝛼.

b) 𝛿 − 𝛽

c) 𝛾 − 𝛼.

Zbrajanje i oduzimanje kutova

25

Zbrajanje i oduzimanje kutova

Kutove zbrajamo/oduzimamo tako što zbrojimo/oduzmemo odgovarajuće kutne jedinice,

tj. stupnjeve sa stupnjevima, minute s minutama i sekunde sa sekundama.

Pr. 1. Odredi zbroj i razliku zadanih kutova:

a) 𝛼 = 35° 48′ b) 𝛼 = 42° 35′ 35′′ 𝛽 = 54° 12′ 𝛽 = 38° 40′ 55′′

𝜶 + 𝜷 : 𝜶 + 𝜷 :

35° 48′ 42° 35′ 35′′

+ 54° 12′ + 38° 40′ 55′′ 89° 60′ = 90° 80° 75′90′′ = 80° 76′30′′ =

= 81° 16′30′′

𝜷 − 𝜶 : 𝜷 − 𝜶 :

54° 12′ 42° 35′35′′ = 42° 34′95′′ = 41° 94′ 95′′ - 35° 48′ - 38° 40′ 55′′ - 38° 40′ 55′′ 18° 24′ 3° 54′′40′′

Zadatak 1. Zbroji i oduzmi zadane kutove:

a) 𝛼 = 110° 𝛽 = 50° 35′

b) 𝛼 = 52° 34′12′′ 𝛽 = 20° 30′50′′

c) 𝛼 = 125° 10′25′′ 𝛽 = 34° 20′30′′

d) 𝛼 = 54° 45′ 𝛽 = 32° 18′

Zadaci za vježbu:

1. Izračunaj zbroj i razliku sljedećih kutova:

a) 𝛼 = 165° 32′26′′ 𝛽 = 110° 22′30′′

b) 𝛼 = 171° 14′5′′ 𝛽 = 72° 25′

c) 𝛼 = 188° 45′′ 𝛽 = 67° 15′35′′

d) 𝛼 = 72° 20′15′′ 𝛽 = 33° 26′30′

Množenje kutova prirodnim brojem

26

Množenje kutova prirodnim brojem

Kutove množimo prirodnim brojem tako da pomnožimo sve kutne jedinice (stupnjeve,

minute i sekunde) tim prirodnim brojem.

Pr. 1. Pomnoži kut 𝛼 = 8° 32′15′′ brojem 4.

8° 32′15′′ ∙ 4

32° 128′60′′ = 32° 129′ = 34° 9′

Zadatak 1. Pomnoži kut 16° 23′30′′ brojem 5.

Zadaci za vježbu:

1. Pomnoži kutove a) 𝛼 = 23° 25′30′′

b) 𝛽 = 110° 25′ brojem 3.

2. Odredi 2 ∙ 𝛼 + 𝛽 i 3 ∙ 𝛽 − 𝛼 ako je 𝛼 = 22° 5′ i 𝛽 = 35° 20′

Dijeljenje kutova prirodnim brojem

Pr. 1. Podijeli kut 𝛼 = 75° brojem 4.

75° ∶ 4 = 18°

− 4 35

−32

3° 3° = 3 ∙ 60′ = 180′′

180′′: 4 = 45′ − 16 20

− 20 - -

Rj: 18° 45′

Dijeljenje kutova prirodnim brojem

27

Pr. 2. Podijeli kut 125° 32′ 12′′ brojem 4.

125° 32′12′ ∶ 2 = 31°

5

1° = 60′ 60′ + 32′ = 92′ 92′ ∶ 4 = 23′ 12

0′ 12′′ ∶ 4 = 3′′

Rj: 31° 23′ 3′′

Zadatak 1. Izračunaj: a) 35° 18′ ∶ 5

b) 108° 32′ ∶ 6

Zadaci za vježbu:

1. Izračunaj: a) 35°18′ ∶ 5

b)108°32′ ∶ 6

c) 52°38′30′′ ∶ 3

2. Ako su 𝛼 = 55° 25′ i 𝛽 = 30° 31′ izračunaj koliko je: a) 𝛼 ∶ 2

b) 𝛽 ∶ 2.

Djeljivost u skupu ℕ𝟎, jednakost 𝒂 = 𝒃𝒒 + 𝒓

28

DJELJIVOST BROJEVA

Djeljivost u skupu ℕ𝟎, jednakost 𝒂 = 𝒃𝒒 + 𝒓

Naučili smo da prilikom dijeljenja dva prirodna broja možemo (a i ne moramo) dobiti

ostatak. Sada ćemo naučiti način kako to matematički zapisujemo.

Pr. 1. Ema je kupila 150 čokolada za svoj rođendan. U odjeljenju ima 26 učenika i

svakome je dala jednak broj čokolada.

a) Koliko je najviše čokolada dobio svatko od njih?

b) Koliko je čokolada ostalo Emi?

150 ∶ 26 = 5 - 130

20 150 = 5 ∙ 26 + 20

a) Svaki od učenika je dobio po 5 čokolada.

b) Emi je ostalo 20 čokolada.

Zadatak 1. Odredi količnik (i ostatak) brojeva 75 i 8; te zapiši u obliku jednakosti 𝑎 =𝑏 ∙ 𝑞 + 𝑟.

Zadaci za vježbu:

1. Odredi količnik i ostatak, te zapiši u obliku jednakosti: a) 414 ∶ 50

b) 1414 ∶ 36

2. Popuni tablicu:

𝑎 𝑏 𝑞 𝑟 𝑎 = 𝑏 ∙ 𝑞 + 𝑟

36 9

18 4

20 5

12 5

6 1

8 3

Ako su a djeljenik, b djelitelj, q količnik (𝒂: 𝒃 = 𝒒) i r ostatak, onda vrijedi:

𝒂 = 𝒃 ∙ 𝒒 + 𝒓, 𝟎 ≤ 𝒓 < 𝑏

Djeljiivost brojem 4

29

Djeljiivost brojem 4

Pr. 1. Koji su od sljedećih brojeva djeljivi sa 4: 1 234, 3 624, 37 876, 34 936?

1 234 ⟹ 34 nije djeljivo sa 4 ⇒ 1 234 nije djeljivo sa 4

3 624 ⟹ 24 je djeljivo sa 4 ⇒ 3 624 je djeljivo sa 4



Zadatak 1. Tijekom ljetovanja gospođa Rožić je svoje stvari spremila u hotelski sef, koji

je imao četveroznamenkastu šifru. Znala je da je znamenka desetica 3, znamenka stotica

5 i znamenka tisućica 8. Znamenku jedinica je zaboravila, ali se sjeća da se radi o broju

djeljivom sa 4. Koji su to brojevi?

Zadaci za vježbu:

1. Koji su od brojeva 5 436, 7 228, 61 524, 8 937, 1 156 djeljivi sa 4?

2. Od znamenki 0, 1, 2 i 8 sastavi šest troznamenkastih brojeva djeljivih sa 4, s tim da se

znamenke mogu ponavljati.

Broj je djeljiv brojem 4 ako je njegov dvoznamenkasti završetak broj djeljiv sa 4.

Zbrajanje razlomaka nejednakih nazivnika

30

RAZLOMCI


Ponovimo kako se zbrajaju razlomci jednakih nazivnika.

Kada imamo jednake nazivnike, brojnike samo zbrojimo.

Šta znaći proširiti razlomak?

Proširimo razlomak 9

5 sa 8.

9

5=

9 ∙ 8

5 ∙ 8=

72

40.

Ako brojnik i nazivnik jednog razlomka pomnožimo istim brojem, njegova vrijednost

ostaje ista.

Primjer 1. Izračunaj vrijednost izraza:

7

3+ 2

1

2=.

Prvo je potrebno da ova dva razlomka proširimo i dovedemo na zajednički nazivnik.

Odredit ćemo najmanji zajednički višekratnik za brojeve 2 i 3. Očito je

𝑁𝑍𝑉(2,3) = 6 jer brojevi 2 i 3 nemaju zajedničkih činitelja.

Prvi razlomak moramo proširiti s 2 jer je 3 ∙ 2 = 6, a drugi razlomak s 3 jer 2 ∙ 3 = 6.

7

3+ 2

1

2=

7

3+

5

2=

7 ∙ 2

3 ∙ 2+

5 ∙ 3

2 ∙ 3=

14

6+

15

6=

29

6= 4

5

6.

7

4+

5

4+ 2

1

4=

7

4+

5

4+

9

4=

7 + 5 + 9

4=

21

4= 5

1

4.

Dva razlomka različitih nazivnika zbrajamo tako što ih proširimo do

jednakih nazivnika i onda zbrojimo brojnike.


31

Primjer 2. Zbroji razlomke:

11

8+

5

12+

3

10=

Kod većih brojeva primjenjuje se postupak za određivanje 𝑁𝑍𝑉(8,12,10).

𝑁𝑍𝑉(8,12,10) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 = 120

Prvi razlomak moramo proširiti sa 120 : 8 = 15

Drugi razlomak moramo proširiti sa 120 : 12 = 10

Treći razlomak moramo proširiti sa 120 : 10 = 12

11

8+

5

12+

3

10=

165

120+

50

120+

36

120=

165 + 50 + 36

120=

251

120.

Primjer 3. Izračunaj vrijednost izraza:

1,4 +11

3+

5

6=

Rješenje:

1,4 +11

3+

5

6=

14

10+

11

3+

5

6=

7

5+

11

3+

5

6=

42 + 110 + 25

30=

177

30=

59

10

U postupku zbrajanja možemo sve pisati kao jedan razlomak.

Zadaci za samostalan rad:

Zadatak 1. Izračunaj:

a) 21

5+

3

4= b)

9

7+

5

13= c)

4

11+

5

22= d)

13

5+

2

7=.


a) 2,5 + 12

3+

4

5= b)

7

12+

17

15+

21

20= c)

1

2+

3

4+

7

8+

15

16=

8, 12, 10 2

4, 6, 5 2

2, 3, 5 2

1, 3, 5 3

1, 5 5

1

Oduzimanje razlomaka nejednakih nazivnika

32

Zadatak 3*. Koji je broj za 45

12 veći od zbroja brojeva 2

5

6 i 1

3

4?


Postupak oduzimanja razlomaka nejednakih nazivnika je isti kao i zbrajanje. Potrebno je

dovesti na jednake nazivnike i onda izvršiti računske operacije s brojnicima.

Pr. 1. Izračunaj:

15

8−

7

6=

45

24−

28

24=

17

24.

Pr. 2. Izračunaj:

41

5−

2

3−

7

4=

Rješenje:

21

5−

2

3−

7

4=

252 − 40 − 105

60=

212 − 105

60=

107

60.

Pr. 3. Izračunaj vrijednost izraza:

(57

30+ 3

4

15) − (5

1

6− 3

1

4) =

Rješenje:

(57

30+ 3

4

15) − (5

1

6− 3

1

4) = (

157

30+

49

15) − (

31

6−

13

4) =

157 + 98

30−

62 − 39

12=

=255

60−

23

12=

255 − 115

60=

140

60=

14

6=

7

3.

Dva razlomka različitih nazivnika oduzimamo tako što ih proširimo

do jednakih nazivnika i onda oduzmemo brojnike.


33



a) 51

2−

1

4= b) 7

4

9− 5

2

15= c) 7,5 − 4

3

14= d)

11

12−

1

2−

1

3=

Zadatak 2. Izračunaj vrijednost izraza:

a) (41

3+ 0,6) − 2,1 = b) (2

3

4− 1

5

6) + 3,9 =

Zadatak 3*. Izračunaj vrijednost izraza:

a) (42

7+ 1

5

6) − (4

2

7− 1

5

6) = b) (5

2

7− 2

5

6+ 3

1

2) + (17

3

7− 15

5

21) =

Zadatak 4*. Kroz planinu se buši 31

2 𝑘𝑚 dug tunel. Koliko još kilometara treba probiti

ako je s jedne strane probijeno 12

5 𝑘𝑚 , a s druge 1

3

10 𝑘𝑚?

Jednadžbe oblika 𝒙±𝒂=𝒃,𝒂±𝒙=𝒃

34

Jednadžbe oblika 𝒙 ± 𝒂 = 𝒃, 𝒂 ± 𝒙 = 𝒃

I 𝒙 + 𝒂 = 𝒃 , 𝒂 + 𝒙 = 𝒃

Primjer 1. Riješi jednadžbu:

𝑥 +5

7= 2

1

3.

Rješenje:


12

5+ 𝑥 = 2,3 .

Rješenje:

U jednadžbama oblika 𝒙 + 𝒂 = 𝒃, 𝒂 + 𝒙 = 𝒃, 𝒃 > 𝑎, vrijednost

nepoznate 𝒙 dobijemo tako što od 𝒃 oduzmemo 𝒂.

𝒙 = 𝒃 − 𝒂.

𝑥 +5

7= 2

1

3

𝑥 =7

3−

5

7

𝑥 =49 − 15

21

𝑥 =34

21

II način

12

5+ 𝑥 = 2,3

𝑥 = 2,3 −7

5

𝑥 = 2,3 − 1,4

𝑥 = 0,9

I način

12

5+ 𝑥 = 2,3

𝑥 =23

10−

7

5

𝑥 =23 − 14

10

𝑥 =9

10

Jednadžbe oblika 𝒙±�=𝒃,𝒂±𝒙=𝒃

35

Zadatak 1. Riješi jednadžbe:

a) 2

3+ 𝑥 =

5

4 ,b) 𝑥 + 1

1

6= 2

5

8 ,c) 𝑥 +

3

7= 1,5,d) 2,7 + 𝑥 = 3

3

4.


a) 11

2+ 𝑥 +

3

4=

17

5 ,b) 1,2 + 𝑥 +

1

5= 1

3

4 .

Zadatak 3. Za koliko treba uvećati broj 7

2 da se dobije broj 4

1

3 ?

II 𝒙 − 𝒂 = 𝒃


𝑥 − 21

2=

2

3.

Rješenje:


a) 𝑥 − 1,7 = 12

3 , b) 𝑥 −

1

6= 2

1

3 , c) 𝑥 −

7

3= 0,5, d) 𝑥 − 2 = 1

1

5.

𝑥 − 21

2=

2

3

𝑥 =2

3+

5

2

𝑥 =4 + 15

6

𝑥 =19

6

Jednadžbe oblika 𝒙 − 𝒂 = 𝒃 vrijednost nepoznanice 𝒙 dobijemo tako

što zbrojimo a i b.

𝒙 = 𝒃 + 𝒂.

Jednadžbe oblika 𝒙±𝒂=𝒃,𝒂±𝒙=𝒃

36

III 𝒂 − 𝒙 = 𝒃


7

3− 𝑥 =

2

5.

Rješenje:


a) 2,9 − 𝑥 =5

4 , b)

1

8− 𝑥 =

1

12 , c) 2

1

6− 𝑥 = 1,5, d) 3 − 𝑥 = 1

2

7.


1) Riješi jednadžbe:

a) 𝑥 −2

3=

1

6 , b)

5

6+ 𝑥 = 3

3

5 , c) 1

1

2− 𝑥 = 0,3, d) 𝑥 +

1

3= 2.

2) Za koliko treba umanjiti 181

2 da se dobije broj 6

5

6?

3) Koji broj treba oduzeti od zbroja brojeva 32

3 𝑖 1

1

5 da bi se dobila njihova razlika?

7

3− 𝑥 =

2

5

𝑥 =7

3−

2

5

𝑥 =35 − 6

15

𝑥 =29

15

Jednadžbe oblika 𝒂 − 𝒙 = 𝒃, 𝒂 > 𝑏 vrijednost nepoznanice 𝒙

dobijemo tako što od a oduzmemo b.

𝒙 = 𝒂 − 𝒃.

Nejednadžbe oblika 𝒙±𝒂≶𝒃,𝒂±𝒙≶𝒃

37

Nejednadžbe oblika 𝒙 ± 𝒂 ≶ 𝒃, 𝒂 ± 𝒙 ≶ 𝒃

Primjer 1. Naći sve vrijednosti koje zadovoljavaju vrijednost 𝑥.

Predstavimo sada naše rješenje

na brojevnom pravcu.

Rješenje možemo predstaviti i kao interval:

𝑥 ∈ (0,9

8).

Primjer 2. Riješi nejednadžbu:

𝑥 − 31

4≥

1

2

Rješenje:

Nejednadžbe oblika 𝒙 ± 𝒂 ≶ 𝒃 rješavamo na sljedeći način:

- 𝒙 + 𝒂 ≶ 𝒃 ⟹ 𝒙 ≶ 𝒃 − 𝒂

- 𝒙 − 𝒂 ≶ 𝒃 ⟹ 𝒙 ≶ 𝒃 + 𝒂

- 𝒂 + 𝒙 ≶ 𝒃 ⟹ 𝒙 ≶ 𝒃 − 𝒂

Znak nejednakosti ostaje isti.

𝑥 +3

4< 1

7

8

𝑥 <15

8−

3

4

𝑥 <15 − 6

8 =

9

8 𝑥 <

9

8

𝑥 ≥1

2+

13

4

𝑥 ≥2 + 13

4

𝑥 ≥15

4


38

Nejednadžbe oblika 𝒂 − 𝒙 ≶ 𝒃 rješavamo na sljedeći način:

- 𝒂 − 𝒙 > 𝑏 ⟹ 𝑥 < 𝑎 − 𝑏

- 𝒂 − 𝒙 < 𝑏 ⟹ 𝑥 > 𝑎 − 𝑏

Znak nejednakosti se mijenja.

Predstavimo rješenje na brojevnom pravcu i uz pomoć intervala.

𝒙 ∈ [𝟏𝟓

𝟒, +∞)

Zadatak 1. Riješi nejednadžbe:

a) 𝑥 +1

3≤ 1

5

6 b) 𝑥 −

1

2> 0,8 c) (2

1

4−

3

2) + 𝑥 ≤

13

3.

Ako koristimo male zagrade ( ili ) podrazumijeva se da broj ne

pripada intervalu, dok srednje zagrade [ ili ] označuju da broj pripada

intervalu.

Srednje zagrade ne mogu se koristiti kod vrijednosti +∞.


39


22

5− 𝑥 ≥

3

4

Rješenje:



a) 2

7− 𝑥 <

1

8 b) 3,1 − 𝑥 > 2

1

2 c) 5

3

5− 𝑥 ≤ 2,7.

𝑥 ≤12

5−

3

4

𝑥 ≤48 − 15

20

𝑥 ≤33

20= 1

13

20 𝑥 ∈ (0, 1

13

20]

Množenje razlomaka

40

Množenje razlomaka

Prethodno smo naučili da zbroj jednakih pribrojnika možemo kraće zapisati u obliku

umnoška npr. 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 6 ∙ 5 = 30.

Množenje razlomka prirodnim brojem

Primjer 1. Odrediti umnožak:

3

4∙ 5 =

3

4+

3

4+

3

4+

3

4+

3

4=

3 ∙ 5

4=

15

4.

Zadatak 1. Izračunaj (po mogućnosti krajnji rezultat skratiti):

a) 13

5∙ 7 = b)

7

24∙ 16 = c)

21

5∙ 10 =

I. Množenje razlomka razlomkom

Primjer 2. Izračunaj:

5

4∙

3

7=

Rješenje:

5

4∙

3

7=

5 ∙ 3

4 ∙ 7=

15

28.

Razlomak množimo prirodnim brojem tako što brojnik pomnožimo

tim brojem, a nazivnik ostaje nepromijenjen.

𝒂

𝒃∙ 𝒏 =

𝒂 ∙ 𝒏

𝒃

Rezultat množenja dva razlomka je umnožak brojnika kroz umnožak

nazivnika.

𝒂

𝒃∙

𝒄

𝒅=

𝒂 ∙ 𝒄

𝒃 ∙ 𝒅

Množenje razlomaka

41

Primjer 3. Izračunaj koliko je 12

7 od 2

5

8 .

Rješenje:

12

7 𝑜𝑑 2

5

8 ⟹ 2

5

8∙

12

7=

21

8∙

12

7=

3

2∙

3

1=

9

2.

Ukoliko je moguće skratiti razlomke prije množenja to bi bilo dobro i uraditi, jer ćemo

time sebi olakšati postupak rješavanja.


55

6∙ 1

3

4∙ 1

1

7∙ 1

1

5=

Rješenje:

35

6∙

7

4∙

8

7∙

6

5= |

𝑀𝑜ž𝑒𝑚𝑜 𝑘𝑟𝑎𝑡𝑖𝑡𝑖 𝑝𝑟𝑣𝑖 𝑖 𝑝𝑜𝑠𝑙𝑗𝑒𝑑𝑛𝑗𝑖 𝑟𝑎𝑧𝑙𝑜𝑚𝑎𝑘, 𝑑𝑟𝑢𝑔𝑖

𝑖 𝑡𝑟𝑒ć𝑖 𝑟𝑎𝑧𝑙𝑜𝑚𝑎𝑘

| =7

1∙

1

1∙

2

1∙

1

1=

14

1= 14.



a) 31

2∙ 8 = b)

12

5∙ 9 = c) 2

2

3∙ 5 = d) 1

4

15∙ 3 =


a) 2

3∙

3

5= b)

8

11∙

22

27= c)

3

8∙ 10

2

3= d) 3

5

9∙ 5

5

8=


a) 22

3∙

3

5∙

3

8= b) 1

2

3∙ 4

1

2∙

3

5∙ 1

5

9= c) 3

7

9∙

16

17∙

3

8∙

9

10=

Zadatak 4*. Koliko je masa 1 kg zraka u sobi koja je 44

5𝑚 duga, 6

1

4 𝑚 široka i 2

1

2 𝑚

visoka, ako 1 𝑚3 zraka ima masu 13

10 𝑘𝑔? (Napomena: Volumen kvadra se računa po

formuli 𝑉 = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐, gdje su 𝑎 duljina, 𝑏 širina i 𝑐 visina sobe.)

Dijeljenje razlomaka

42


Recipročna vrijednost broja

Primjer 1. Odrediti recipročne brojeve brojevima: 7, 13,5

9,

13

2 𝑖 4

1

5.

Za 7 recipročni broj je 1

7.

Za 13 recipročni broj je 1

13.

Za 5

9 recipročni broj je

9

5.

Za 13


2

13.

Za 41

5=

21


5

21.

I. Dijeljenje razlomka prirodnim brojem


12

7∶ 5 =

Rješenje:

12

7: 5 =

12

7∙

1

5=

12

35.

Recipročan broj broju 𝒂 je 𝟏

𝒂.

Recipročan broj broju 𝒂

𝒃 je

𝒃

𝒂


43

II. Dijeljenje razlomka razlomkom


12

25∶

3

5=

Rješenje:

12

25∶

3

5=

4

5.

Ako je brojnik prvog razlomka djeljiv s brojnikom drugog razlomka i nazivnik prvog

razlomka djeljiv s nazivnikom drugog razlomka, samo se izvrši dijeljenje brojnika s

brojnikom i nazivnika s nazivnikom.


5

6∶

3

2=

5

6∙

2

3=

5

3∙

1

3=

5

9.



a) 9

16: 3 = b) 2

4

7: 9 = c)

5

6: 5 = d) 3

3

5: 6 =

Razlomak dijelimo prirodnim brojem tako da se nazivnik pomnoži

prirodnim brojem.

𝒂

𝒃∶ 𝒏 =

𝒂

𝒃 ∙ 𝒏

Razlomak dijelimo razlomkom tako što drugi razlomak zamijenimo

recipročnim i onda ih pomnožimo.

𝒂

𝒃∶

𝒄

𝒅=

𝒂

𝒃∙

𝒅

𝒄


44


a) 7

12:

14

15= b)

17

18∙

5

9= c)

5

21:

5

7= d) 4

4

5: 3

3

5=

Jednadžbe oblika 𝒂∙𝒙=𝒃, 𝒂 :𝒙=𝒃, 𝒙 :𝒂=𝒃

45

Jednadžbe oblika 𝒂 ∙ 𝒙 = 𝒃, 𝒂 ∶ 𝒙 = 𝒃, 𝒙 ∶ 𝒂 = 𝒃


3

4𝑥 =

21

10.

Rješenje:


a) 21

3∙ 𝑥 =

12

5 b) 𝑥 ∙

9

4= 3,4 c) 4,2𝑥 =

1

2.

U jednadžbama oblika 𝒂 ∙ 𝒙 = 𝒃, vrijednost nepoznanice 𝒙

dobijemo kada 𝒃 podijelimo s 𝒂:

𝒙 = 𝒃 ∶ 𝒂.

𝑥 =21

10∶

3

4

𝑥 =21

10 ∙

4

3

𝑥 =14

5

U jednadžbama oblika 𝒂 ∶ 𝒙 = 𝒃, vrijednost nepoznanice 𝒙

dobijemo kada 𝒂 podijelimo s 𝒃:

𝒙 = 𝒂 ∶ 𝒃.

Jednadžbe oblika 𝒂∙𝒙=𝒃, 𝒂 :𝒙=𝒃, 𝒙 :𝒂=𝒃

46


1,8 ∶ 𝑥 =6

5.

Rješenje:


a) 13

5∶ 𝑥 = 1,2 b) (

1

3+

4

5) : 𝑥 =

1

2 c) 2,9 ∶ 𝑥 = 1,3.


𝑥 ∶3

11= 2

3

4.

Rješenje:


a) 𝑥 ∶ 2,5 =12

5 b) 𝑥: (3

1

4−

5

3) = 1,4 c)

2

3+ 𝑥 ∶

3

4= 5

1

2.

U jednadžbama oblika 𝒙 ∶ 𝒂 = 𝒃, vrijednost nepoznanice 𝒙

dobijemo kada 𝒂 pomnožimo s 𝒃:

𝒙 = 𝒃 ∙ 𝒂.

𝑥 =18

10∶

6

5

𝑥 =3

2

𝑥 =11

4∙

3

11

𝑥 =3

4

Nejednadžbe oblika 𝒂∙𝒙≶𝒃, 𝒙 :𝒂≶𝒃, 𝒂 :𝒙≷𝒃

47

Nejednadžbe oblika 𝒂 ∙ 𝒙 ≶ 𝒃, 𝒙 ∶ 𝒂 ≶ 𝒃, 𝒂 ∶ 𝒙 ≷ 𝒃


5

4𝑥 >

2

3.

Rješenje:


𝑥: 1,2 ≤ 21

6.

Rješenje:

Nejednadžbe oblika 𝒂 ∙ 𝒙 ≶ 𝒃 i 𝒙 ∶ 𝒂 ≶ 𝒃 rješavamo na sljedeći

način:

- 𝒂 ∙ 𝒙 ≶ 𝒃 ⟺ 𝒙 ≶ 𝒃 ∶ 𝒂

- 𝒙 ∶ 𝒂 ≶ 𝒃 ⟺ 𝒙 ≶ 𝒃 ∙ 𝒂

Znak nejednakosti ostaje isti.

𝑥 ≤13

6∙

12

10

𝑥 ≤13

5 𝑥 ∈ (0,

13

5]

𝑥 >2

3∶

5

4

𝑥 >2

3∙

4

5

𝑥 >8

15 𝑥 ∈ (

8

15, +∞)

Nejednadžbe oblika 𝒂∙𝒙≶𝒃, 𝒙 :𝒂≶𝒃, 𝒂 :𝒙≷𝒃

48


a) 𝑥 ∶ 1,9 ≤3

20 b)

7

2𝑥 = 3

1

3 c)

5

2+ 𝑥 ∶

1

3= 4

2

3.


4

5∶ 𝑥 ≥ 1

2

3.

Rješenje:


a) 2,1 ∶ 𝑥 ≤7

3 b)

5

9∶ 𝑥 = 2

1

4 c) (

2

5+ 1

1

2) ∶ 𝑥 = 1

2

3.

Nejednadžbe oblika 𝒂 ∶ 𝒙 ≶ 𝒃 rješavamo na sljedeći način:

- 𝒂 ∶ 𝒙 < 𝑏 ⟺ 𝑥 > 𝑎 ∶ 𝒃

- 𝒂 ∶ 𝒙 > 𝒃 ⟺ 𝒙 < 𝑎 ∶ 𝑏

Znak nejednakosti se mijenja.

𝑥 ≤4

5∶

5

3

𝑥 ≤4

5∙

3

5=

12

25 𝑥 ∈ (0,

12

25]

Aritmetička sredina

49


Učitelj Anto je kupio 2 kg jabuka na tržnici. Kad je došao kući, primijetio je da u vrećici

ima 8 jabuka iste veličine. Koliko otprilike teži svaka jabuka učitelja Ante?

2 𝑘𝑔 ∶ 8 = 0,25 𝑘𝑔.

Jabuke učitelja Ante prosječno teže po 0,25 𝑘𝑔.

Primjer 1. Kako ćemo odrediti prosjek brojeva 5 i 9?

Prosjek dva broja izračunat ćemo tako što ih zbrojimo i onda podijelimo sa 2.

(5 + 9) ∶ 2 = 14 ∶ 2 = 7.

Ako pogledamo na brojevnom pravcu brojeve 5 i 9, vidjet ćemo da su podjednako

udaljeni od broja 7.

Broj 7 se nalazi točno na sredini između brojeva 5 i 9, i zovemo ga aritmetička sredina

brojeva 5 i 9.

Primjer 2. Izračunati aritmetičku sredinu brojeva 5, 12, 13, 15 i 23.

Tražimo aritmetičku sredinu ovih pet brojeva na sljedeći način:

5 + 12 + 13 + 15 + 23

5=

68

5= 13,6.

Aritmetička sredina ili prosjek dva ili više brojeva dobije se kada

zbroj tih brojeva podijelimo s ukupnim brojem pribrojnika.


50

Primjer 3. Izračunati prosjek brojeva 21

5,

3

4, 1

1

2 𝑖 2,3.

Prvo ćemo zbrojiti sve brojeve.

21

5+

3

4+ 1

1

2+ 2,3 =

11

5+

3

4+

3

2+

23

10=

44 + 15 + 30 + 46

20=

135

20=

27

4,

Zatim ćemo dobiveni rezultat podijeliti sa 4:

27

4∶ 4 =

27

4∙

1

4=

27

16.

Prosjek brojeva 21

5,

3

4, 1

1

2 𝑖 2,3 iznosi

27

16.

Zadatak 1. Izračunati aritmetičku sredinu brojeva:

a) 12, 15, 21, 17, 9 𝑖 10

b) 14,2 ; 11,3 ; 5,9 𝑖 10,7

c) 31

3, 2

1

2, 6

1

6 𝑖 7

1

7.

Zadatak 2. U tablici se nalaze temperature po danima u tjednu. Izračunati kolika je

prosječna temperatura bila u toku tjedna i za koliko se razlikuje temperatura u petak u

odnosu na prosječnu temperaturu.

Dan Ponedjeljak Utorak Srijeda Četvrtak Petak Subota Nedjelja

Temp. 21°C 19°C 18°C 24°C 25°C 25°C 22°C

Brojevni izrazi sa zagradama

51


Izračunavanje vrijednosti brojevnog izraza zahtijeva pažljiv rad, poštovanje pravila

računskih operacija i redoslijeda izvršavanja tih operacija. Pravila o redoslijedu

izvršavanja računskih operacija su:

a) ako u brojevnom izrazu nema zagrada, onda se uvijek množenje i dijeljenje izvode

prije zbrajanja i oduzimanja,

b) ako u brojevnom izrazu ima zagrada, onda se prvo izvršavaju računske operacije u

zagradama uz poštovanje pravila a).


(3

4+

2

3) ∙

3

8= .

Rješenje:


43

4+

1

4: (1,7 − 1

1

2) = .

Rješenje:

(3

4+

2

3) ⋅

3

8=

9 + 8

12⋅

3

8=

17

12⋅

3

8=

17

32.

Brojevni izrazi su izrazi sastavljeni samo od brojeva povezanih

računskim operacijama sa ili bez zagrada.

Vrijednost brojevnog izraza je točno jedan broj koji se dobiva nakon

obavljanja svih računskih operacija.

43

4+

1

4∶ (1,7 − 1

1

2) =

19

4+

1

4∶ (

17

10−

3

2) =

19

4+

1

4∶

17 − 15

10=

19

4+

1

4∶

2

10

=19

4+

1

4⋅

10

2=

19

4+

5

4=

24

4= 6.


52


[5

6− (

3

4−

1

6) ⋅

2

3] ⋅ (1

1

4−

7

8) = .

Rješenje:

Zadatak 1. Izračunaj vrijednosti brojevnih izraza:

a) 7

10∶ (0,25 +

5

8) = b) 5

1

3− (1 −

3

4) ⋅ (1

1

7−

4

5) =

c) [(0,4 +1

15) ⋅ 1

3

7+

1

9] ⋅ (0,5 −

2

7) = d) [3

2

3+

1

3: (1,6 − 1

1

2) : (1,02 − 0,88)] =

Zadatak 2. Izračunaj brojevnu vrijednost izraza:

4,38 ∶ (21

4+ 1,4)

53

4− 0,4 ∶ (2

4

5−

3

4)

=

[5

6− (

3

4−

1

6) ⋅

2

3] ⋅ (1

1

4−

7

8) = [

5

6−

9 − 2

12⋅

2

3] ⋅ (

5

4−

7

8) = [

5

6−

7

12⋅

2

3] ⋅

10 − 7

8

= [5

6−

7

18] ⋅

3

8=

15 − 7

18⋅

3

8=

8

18⋅

3

8=

1

6.

Primjena linearnih jednadžbi. Tekstualni zadaci

53


Najveći problem kod rješavanja tekstualnih zadataka učenicima predstavlja samo

postavljanje problema, tj. kako ga zapisati matematički preko linearne jednadžbe.

Potrebno je zadatak više puta pročitati i napisati sve nepoznanice koje postoje i slijediti

uvjete teksta zadatka. Na kraju tekstualnog zadatka potrebno je ponuditi i tekstualni

odgovor.

Primjer 1. U knjižnici je u toku tri dana jedne školske godine prodano 600 bilježnica.

Prvog dana je prodano 5

8 ukupne količine, a drugog dana

3

5 ostatka. Koliko je bilježnica

prodano trećeg dana?

Postavka:

Treći dan je prodano 90 bilježnica.

Primjer 2. Zamislio sam broj. Od njega sam oduzeo 1,0. Dobivenu razliku sam

pomnožio s 0,8, tom umnošku sam dodao 2,84 i dobiveni zbroj sam podijelio sa 0,01.

Tako sam dobio broj 700. Koji sam broj zamislio?

U ovom zadatku je potrebno redom čitati tekst zadatka i samo dopunjavati jednadžbu s

uvjetima iz zadatka.

Ukupno prodanih bilježnica – 600

I dan – 5

8 od 600

II dan - 3

8 ostatka

III dan – x bilježnica

x = 600 – I dan – II dan

I dan : 600 ⋅5

8= 375

II dan : (600 − 375) ⋅3

8= 225 ⋅

3

8= 135

𝑥 = 600 − 375 − 135 = 90.


54

Primjer 3. Jedan gospodin je najprije potrošio 3

5 novca koji je imao, zatim

5

9 ostatka i

potom još 3

8 ovog ostatka. Poslije toga mu je ostalo 800 kuna. Koliko je kuna imao u

početku?

Postavka:

x – ukupna količina novca

I – 3

5𝑥

II – (𝑥 −3

5𝑥) ⋅

5

9=

2

5𝑥 ⋅

5

9=

2

9𝑥

III - (𝑥 −3

5𝑥 −

2

9𝑥) ⋅

3

8=

45𝑥−27𝑥−10𝑥

45⋅

3

8=

8𝑥

45⋅

3

8=

1

15𝑥

IV – ostalo je 800 kn.

x – broj koji sam zamislio

𝑥 − 1,05 → (𝑥 − 1,05) ⋅ 0,8 → (𝑥 − 1,05) ⋅ 0,8 + 2,84

(𝑥 − 1,05) ⋅ 0,8 + 2,84

0,01= 700 /⋅ 0,01

(𝑥 − 1,05) ⋅ 0,8 + 2,84 = 700 ⋅ 0,01

(𝑥 − 1,05) ⋅ 0,8 = 7 − 2,84

(𝑥 − 1,05) ⋅ 0,8 = 4,16 / ∶ 0,8

𝑥 − 1,05 = 5,2

𝑥 = 5,2 + 1,05

𝑥 = 6,25

Zamišljeni broj je 6,25.

𝑥 −3

5𝑥 −

2

9𝑥 −

1

15𝑥 = 800

8

45𝑥 −

1

15𝑥 = 800

8𝑥 − 3𝑥

45= 800

5𝑥

45= 800

𝑥

9= 800 ⟹ 𝑥 = 800 ⋅ 9 = 7200

Gospodin je u početku imao 7200 kuna.


55

Primjer 4. U 6.b razredu su 33 učenika. Djevojčica ima za 3 manje nego dječaka. Koliko

je djevojčica, a koliko dječaka u tom razredu?

Postavka:


Zadatak 1. Učenik je pročitao knjigu za 3 dana. Prvog dana je pročitao 3

8 knjige, drugog

dana 5

12 knjige, a trećeg dana

1

6 knjige i još 10 stranica. Koliko stranica ima ta knjiga?

Zadatak 2. U dvije posude nalazi se tekućina. Ako se iz prve u drugu posudu prelije 3,75

litara, tada će u drugoj posudi biti 2,5 litara vode manje nego u prvoj posudi. Koliko je

vode bilo u drugoj posudi prije presipanja, ako je u prvoj posudi bilo 20 litara?

Zadatak 3. Otac je od sina stariji 24 godine, a godine sina čine 5

13 godina oca. Koliko

godina ima sin, a koliko otac?

Zadatak 4. Na jednoj polici ima dva puta više knjiga nego na drugoj. Ako se s prve

ukloni 7 knjiga, a na drugu doda 10, na drugoj će biti 10 knjiga manje nego na prvoj

polici. Koliko je bilo knjiga na svakoj polici?

Važno je obratiti pažnju na sljedeće izraze:

- neki broj uvećati za 5 → 𝒙 + 𝟓

- neki broj uvećati 5 puta → 𝟓𝒙

izraz 𝟓𝒙 ⟺ 𝟓 ⋅ 𝒙

Dječaci: 𝑥

Djevojčice: 𝑥 − 3

𝑥 + (𝑥 − 3) = 33

𝑥 + 𝑥 − 3 = 33

2𝑥 = 33 + 3

2𝑥 = 36

𝑥 = 18 Dječaka je 18, a djevojčica 15.

U razredu je 15 dječaka i 8 djevojčica.

Documents

DODATAK UDŽBENIKU ZA 6. RAZRED DEVETOGODIŠNJE …...DODATAK UDŽBENIKU ZA 6. RAZRED DEVETOGODIŠNJE ŠKOLE SUSTAVA KATOLIČKIH ŠKOLA ZA EUROPU Izrada: Ajla Pilav Edin Tabak Lektorisala: