Dokumen.tips Makalah Momen Inersia

8/19/2019 Dokumen.tips Makalah Momen Inersia

1/13

MAKALAH MOMEN INERSIA

A. Latar belakang

Dalam gerak lurus, massa berpengaruh terhadap gerakan benda. Massa bisa diartikan

sebagai kemampuan suatu benda untuk mempertahankan kecepatan geraknya. Apabila benda

sudah bergerak lurus dengan kecepatan tertentu, benda sulit dihentikan jika massa benda itu

besar.

Sebuah truk gandeng yang sedang bergerak lebih sulit dihentikan dibandingkan dengan

sebuah taxi. Sebaliknya jika benda sedang diam (kecepatan = 0), benda tersebut juga sulitdigerakan jika massanya besar. Misalnya jika kita menendang bla tenis meja dan bla sepak

dengan gaya yang sama, maka tentu saja bla sepak akan bergerak lebih lambat.

Dalam gerak rtasi, !massa" benda tegar dikenal dengan julukan Mmen #nersia atau

M#. Mmen #nersia dalam $erak %tasi mirip dengan massa dalam gerak lurus. &alau massa

dalam gerak lurus menyatakan ukuran kemampuan benda untuk mempertahankan kecepatan

linear (kecepatan linear = kecepatan gerak benda pada lintasan lurus), maka Mmen #nersia

dalam gerak rtasi menyatakan ukuran kemampuan benda untuk mempertahankan kecepatansudut (kecepatan sudut = kecepatan gerak benda ketika melakukan gerak rtasi. Disebut

sudut karena dalam gerak rtasi, benda bergerak mengitari sudut). Makin besar Mmen

inersia suatu benda, semakin sulit membuat benda itu berputar alias bertasi. sebaliknya,

benda yang berputar juga sulit dihentikan jika mmen inersianya besar.

B. Tujuan penulisan

Makalah ini dimaksudkan untuk dapat membantu meningkatkan pemahaman mengenai

knsep Mmen #nersia sehingga memungkinkan kita untuk menyelesaikan sal'sal yang

berhubungan dengan Mmen #nersia.

A. Momen a!a

Mmen gaya merupakan salah satu bentuk usaha dengan salah satu titik sebagai titik

acuan. Misalnya anak yang bermain jungkat'jungkit, dengan titik acuan adalah prs jungkat'

jungkit. ada katrl yang berputar karena bergesekan dengan tali yang ditarik dan

dihubungkan dengan beban. Mmen gaya adalah hasil kali gaya dan jarak terpendek arah


2/13

garis kerja terhadap titik tumpu. Mmen gaya sering disebut dengan mmen putar atau trsi,

diberi lambang τ (baca tau).

τ = * . dSatuan dari mmen gaya atau trsi ini adalah +.m yang setara dengan jule.

Mmen gaya yang menyebabkan putaran benda searah putaran jarum jam disebut mmen

gaya psiti. Sedangkan yang menyebabkan putaran benda berla-anan arah putaran jarum

jam disebut mmen gaya negati.

itik 0 sebagai titik prs atau titik acuan.

Mmen gaya leh */ adalah τ/ = */ . d/

Mmen gaya leh *1 adalah τ1 = 2 *1 . d1

ada sistem keseimbangan rtasi benda berlaku resultan mmen gaya selalu bernilai nl,

sehingga dirumuskan

3 τ = 0

ada permainan jungkat'jungkit dapat diterapkan resultan mmen gaya = nl.

3 τ = 0

' *1 . d1 */ . d/ = 0

*/ . d/ = *1 . d1

ada sistem keseimbangan translasi benda berlaku resultan gaya selalu bernilai nl, sehinggadirumuskan

3 * = 0

ada mekanika dinamika untuk translasi dan rtasi banyak kesamaan'kesamaan besaran

yang dapat dibandingkan simbl besarannya.

"erban#ingan #inamika translasi #an rotasi

ranslasi %tasi

Mmentum linier p = m4Mmentum

sudut56 = #ω

$aya * = dp7dt rsi τ = d67dt

8enda massa

&nstan

* =

m(d47dt)

8enda mmen

inersia knstan5

τ = #(dω7dt)

$aya tegak lurus

erhadap * =ω

x prsi tegak lurus

mmentumτ =

Ω ×

6


3/13

mmentum sudut

9nergi kinetik 9k = : m41 9nergi kinetik 9k = : #ω1

Daya = * . 4 Daya = τ . ω

Analogi antara besaran translasi #an besaran rotasi

&nsep ranslasi %tasi ;atatan

erubahan sudut s θ s = r.θ

&ecepatan 4 = ds7dt ω = dθ7dt 4 = r.ω

ercepatan a = d47dt α = dω7dt a = r.α

$aya resultan,

mmen* τ τ = *.r

&eseimbangan * = 0 τ = 0

ercepatan knstan

4 = 40 at ω = ω0

αt

s = 40t = :at1

θ = ω0t :αt1

41 = 1as ω1 = 1θα

Massa, mmen

kelembamanm # # = ∑mir i1

= ∫ * ds > = ∫ τ dθ

Daya = *.4 = # ω

9nergi ptensial 9 p = mgy

9nergi kinetik 9k = : m41 9k = : #ω1

#mpuls ∫ * dt τ ∫ dt

Mmentum = m4 6 = #ω


4/13

Mmen &pel adalah pasangan dua buah gaya yang sejajar, sama besar dan

berla-anan arah. &pel yang bekerja pada sebuah benda akan menghasilkan mmen kpel

yang mengakibatkan benda bertasi. Mmen kpel disimblkan M. ?ika pada benda bekerja

beberapa kpel maka resultan mmen kpel ttal benda tersebut adalah

M = M/ M1 M@ Mn

?ika terdapat beberapa gaya yang bekerja pada bidang BC, maka setiap gaya tersebut

dapat diuraikan atas kmpnen'kmpnennya pada sumbu'B dan sumbu'C. Misalkan,

kmpnen'kmpnen gaya pada sumbu'B adalah */x, *

1x, *

@x,,*

nx, yang jaraknya masing'masing terhadap

sumbu'B adalah y/, y

1, y

@,,y

n . &mpnen gaya pada sumbu'C adalah */ y

, *1y

, *@y

, ,*ny

, yang

jaraknya masing'masing terhadap sumbu'C adalah x/, x1, x@,,xn . Semua kmpnen gaya

pada sumbu'B dapat digantikan leh sebuah gaya resultan * x yang jaraknya y dari sumbu'B,

demikian juga semua kmpnen gaya pada sumbu'C dapat digantikan leh sebuah gaya

resultan * y yang jaraknya x dari sumbu'C.

B. Momen Inersia Ben#a Tegar

8enda tegar adalah benda padat yang tidak berubah bentuk apabila dikenai gaya luar.

Dalam dinamika, bila suatu benda tegar bertasi, maka semua partikel di dalam benda tegar

tersebut memiliki percepatan sudut α yang sama. Mmen gaya atau gaya resultan gerak rtasi

τ dideinisikan sebagai berikut.

"Apabila sebuah benda tegar diputar terhadap suatu sumbu tetap, maka resultan gaya

putar (true, baca trsi) luar terhadap sumbu itu sama dengan hasil kali mmen inersia

benda itu terhadap sumbu dengan percepatan sudut".

Dirumuskan sebagai berikut.

=τ Σ *i % i Sin θi atau τ = ( Σ mi % 1 i ) . α

mΣi % i1 disebut mmen inersia atau mmen kelembaman benda terhadap sumbu putar, yaitu

penjumlahan hasil kali massa tiap partikel dalam suatu benda tegar dengan kuadrat jaraknya

dari sumbu.

Dirumuskan

# = Σ mi . % i1

Deinisi lain dari mmen inersia adalah perbandingan gaya resultan (mmen)

terhadap percepatan sudut.

Dirumuskan


5/13

# =

maka τ = # . α

τ = #

&arena τ = Σ* . % dan τ = # . αmaka Σ * . % = # . α

ercepatan tangensial adalah juga percepatan linier a, yaitu percepatan singgung tepi

rda.

a = α . %

α =

persamaan menjadi

Σ * . % = # .

Mmen inersia harus dinyatakan sebagai hasil kali satuan massa dan kuadrat satuan jarak.

ntuk menghitungnya harus diperhatikan bentuk gemetri dari benda tegar hmgen.

abel berikut menunjukkan mmen inersia beberapa benda hmgen.

Momen inersia berbagai ben#a !ang umum #ikenal

# = : M (% /1 % 1

1) # = /7@ M% 1 # = M% 1 # = 17E M% 1 # = 17@ M% 1

$onto%&

/. 8erapa besar mmen gaya harus dikerjakan pada sistem untuk memberikan suatu percepatan

∝ terhadap prs ini (∝ = F )G

1. langi pertanyaan (a) dan (b) untuk prs AA/H

"en!elesaian&

/. # = I mi % i1 = m/ % /

1 m1 % 11 m@ % @

1 mF % F1

= @ . 11 1 . 11 / . 11 1 . 11

= /1 J F J

= @1 kg m1

/. K = # . ∝ = @1 . F = /1J +.m

1. # = m1 % /1 m1 % 1

1 m1 % 11 m@ % @

1 mF% F1

Datar mmen inersia dari beberapa benda tegar yang digunakan dalam perhitungan.

Ben#a "oros ambar Momen inersia

http://id.wikipedia.org/wiki/Momen_inersiahttp://id.wikipedia.org/wiki/Benda_tegarhttp://id.wikipedia.org/wiki/Benda_tegarhttp://id.wikipedia.org/wiki/Benda_tegarhttp://id.wikipedia.org/wiki/Benda_tegarhttp://id.wikipedia.org/wiki/Momen_inersia


6/13

8atang silinder usat

8atang silinder jung

Silinder

bernggaMelalui sumbu I = mR1

Silinder pejal Melalui sumbu

Silinder pejal Melintang sumbu

8la pejal Melalui diameter

8la pejalMelalui salahsatu garis

singgung

8la berngga Melalui diameter

http://id.wikipedia.org/wiki/Silinderhttp://id.wikipedia.org/wiki/Silinderhttp://id.wikipedia.org/wiki/Bolahttp://id.wikipedia.org/wiki/Diameterhttp://id.wikipedia.org/wiki/Silinderhttp://id.wikipedia.org/wiki/Bolahttp://id.wikipedia.org/wiki/Diameter


7/13

$. Momentum Su#ut erak Rotasi Ben#a Tegar

Dalam dinamika, bila suatu benda bertasi terhadap sumbu inersia utamanya, maka

mmentum sudut ttal 6 sejajar dengan kecepatan sudut ω, yang selalu searah sumbu rtasi.

Mmentum sudut (6) adalah hasil kali mmen kelembaman # dan kecepatan sudut ω.

Sehingga dapat dirumuskan

6 = # . ω

8agaimana persamaan tersebut diperlehG erhatikan gambar berikut. Mmentum sudut

terhadap titik 0 dari sebuah partikel dengan massa m yang bergerak dengan kecepatan L(memiliki mmentum = m4) dideinisikan dengan perkalian 4ektr,

6 = % ×

atau 6 = % × mL

6 = m% × L

?adi mmentum sudut adalah suatu 4ektr yang tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk

leh % dan 4.

Dalam kejadian gerak melingkar dengan 0 sebagai pusat lingkaran, maka 4ektr % dan 4

saling tegak lurus.L = ω %

Sehingga 6 = m % 4

6 = m % ω%

6 = m % 1 ωArah 6 dam ω adalah sama, maka

6 = m % 1 ωatau 6 = # ωkarena ω =maka 6 = m % 1

6 = #Mmentum sudut sebuah partikel, relati terhadap titik tertentu adalah besaran 4ektr, dan

secara 4ektr ditulis

6 = % × = m (% × 4)8ila diturunkan, menjadi

karena τ = * × % maka τ =

Apabila suatu sistem mula'mula mempunyai memntum sudut ttal Σ6, dan sistem

mempunyai mmentum sudut ttal akhir Σ6, setelah beberapa -aktu, maka berlaku hukumkekekalan mmentum sudut. erhatikan serang penari balet yang menari sambil berputar

dalam dua keadaan yang berbeda. ada keadaan pertama, penari merentangkan tanganmengalami putaran yang lambat, sedangkan pada keadaan kedua, penari bersedekap tangan


8/13

rknya berkibar'kibar dengan putaran yang cepat. Mmentum sudut ttal a-al = mmentul

sudut ttal akhir

Σ6 = Σ66/ 61 = 6/ 61


9/13

/. 8ila gaya * berada di titik singgung

' gerak translasi berlaku * = m . a

' gerak rtasi berlaku (* 2 ) . % = # . α (α = )

(. Katrol

/. Sumbu dianggap licin tanpa gesekan

Massa = m

?ari'jari = %

Mmen kelembaman = #

$erak translasi beban

* = m . a

/ 2 m/g = m/a .(i)

m1g 2 1 = m1a .(ii)

$erak rtasi katrl τ = # . α(1 2 /) % = # .(iii)

/. ada puncak bidang miring


* = m . a

/ 2 m/g sin θ 2 = m/a .(i) m1g 2 1 = m1a ..(ii)

$erak rtasi katrl

τ = # . α

(1 2 /) % = # (iii)/. Satu ujung talinya terikat pada sumbu katrl


* = m . a

mg 2 = m . a ..(i)

$erak rtasi katrl

τ = # . α . % = # . ..(ii)

. Kesetimbangan Ben#a Tegar

&esetimbangan adalah suatu kndisi benda dengan resultan gaya dan resultan mmengaya sama dengan nl.

&esetimbangan biasa terjadi pada

/. 8enda yang diam (statik), cnth semua bangunan gedung, jembatan, pelabuhan, dan lain'

lain.

1. 8enda yang bergerak lurus beraturan (dinamik), cnth gerak meter di ruang hampa, gerak

kereta api di luar kta, elektrn mengelilingi inti atm, dan lain'lain.

8enda tegar adalah benda yang tidak berubah bentuknya karena pengaruh gaya dari luar.

&esetimbangan benda tegar dibedakan menjadi dua


10/13

/. &esetimbangan partikel

1. &esetimbangan benda

/. Kesetimbangan "artikel

artikel adalah benda yang ukurannya dapat diabaikan dan hanya mengalami gerak

translasi (tidak mengalami gerak rtasi).

Syarat kesetimbangan partikel ( ) * (+ ) * ,sumbu -

(! ) * ,sumbu /

0. Kesetimbangan Ben#a

Syarat kesetimbangan benda (+ ) *1 (! ) *1 ) *

Mmen gaya merupakan besaran 4ektr yang nilainya sama dengan hasil kali antara

gaya dengan jarak dari titik prs arah tegak lurus garis kerja gaya.

Dirumuskan ) ( . #

utaran mmen gaya yang searah dengan putaran jarum jam disebut mmen gaya

psiti, sedang yang berla-anan putaran jarum jam disebut mmen gaya negati.Mmen kpel adalah mmen gaya yang diakibatkan pasangan dua gaya yang sama

besarnya dan arahnya berla-anan tetapi tidak segaris kerja.

8enda yang dikenai mmen kpel akan bergerak rtasi terus menerus.

2. Titik Berat

itik berat adalah titik pusat atau titik tangkap gaya berat dari suatu benda atau sistem

benda. itik berat atau pusat berat benda berungsi sebagai titik yang terhadapnya gaya'gaya

berat bekerja pada semua partikel benda itu sehingga akan menghasilkan resultan mmen

gaya nl. itik berat merupakan titik di mana gaya berat bekerja secara eekti.

itik berat menurut bentuk benda dibedakan menjadi @ antara lain

/. 8enda berbentuk garis7kur4a, cnth kabel, lidi, benang, sedtan, dan lain'lain.

1. 8enda berbentuk bidang7luasan, cnth kertas, kartn, triplek, kaca, penggaris, dan lain'

lain.

@. 8enda berbentuk bangunan7ruang, cnth kubus, balk, bla, kerucut, tabung, dan lain'lain


11/13

Tabel titik berat bentuk teratur linier

+ama benda $ambar benda letak titik

berat

keterangan

/. $aris lurus x0 = l O = titik tengahgaris

1. 8usur

lingkaran

% = jari'jari lingkaran

@. 8usur

setengah

lingkaran

Tabel titik berat ben#a teratur berbentuk luas bi#ang %omogen

+ama benda $ambar benda 6etak titik

berat

&eterangan

/. 8idang

segitiga

y0 = t t = tinggi

O = perptngan

garis'garis berat

AD P ;*

1.?ajarangenjang,

8elah ketupat,

8ujur sangkar

ersegi

panjang

y0 = t t = tinggiO = perptngan

diagnal A; dan

8D

@. 8idang

juring

lingkaran


F.8idangsetengah

lingkaran


Tabel titik berat ben#a teratur berbentuk bi#ang ruang %omogen


berat

&eterangan

/. 8idang kulit O pada titik O/ = titik berat


12/13

prisma tengah garis

O/O1 y0 = l

bidang alas

O1 = titik berat

bidang atas

l = panjang sisi

tegak.

1. 8idang kulit

silinder.

( tanpa tutup )

y0 = t

A = 1 π %.tt = tinggi

silinder

% = jari'jari

lingkaran alas

A = luas kulit

silinder

@. 8idang

&ulit

limas

O = = garis

tinggi ruang

F. 8idang kulit

kerucut

O = = tinggi

kerucut

= pusat

lingkaran alas

E. 8idang kulit

setengah bla.

y0 = % % = jari'jari

Tabel titik berat ben#a teratur berbentuk ruang1 pejal %omogen


berat

&eterangan

/. risma

beraturan.

O pada titik

tengah garis

O/O1y0 = l

L = luas alas

kali tinggi

O/ = titik berat

bidang alas

O1 = titik berat

bidang atas

l = panjang sisi

tegak

L = 4lume

prisma

1. Silinder

ejal

y0 = t

L = π % 1 tt = tinggi

silinder

% = jari'jari

lingkaran alas

@. 6imas pejal

beraturan

y0 =

= t

L = luas alas

x tinggi

@

= t = tinggi

limas beraturan


13/13

F. &erucut

pejal

y0 = t

L = π % 1 tt = tinggi

kerucut

% = jari'jari

lingkaran alas

E. Setengah

bla

pejal

y0 = % % = jari'jari

bla.

3. Ma4am5ma4am Kesetimbangan

a. Kesetimbangan labil6go!a%

Adalah keseimbangan pada suatu benda di mana setelah gangguan yang

diberikan7dialami benda dihentikan, maka benda tidak kembali ke psisi keseimbangan

semula, tetapi bahkan memperbesar gangguan tersebut.

;nth &eseimbangan pada suatu benda dipandang sebagai keseimbangan yang dimiliki

benda jika gangguan yang dialaminya menurunkan titik beratnya (energi ptensialnya).

b. Kesetimbangan stabil6mantap

Adalah keseimbangan suatu benda di mana setelah gangguan yang diberikan pada

benda dihentikan, benda akan kembali ke psisi keseimbangan semula.

;nth &eseimbangan stabil dapat dipandang sebagai keseimbangan yang dimiliki benda

jika gangguan yang dialaminya menaikkan titik beratnya (energi ptensialnya).

c. Kesetimbangan in#e7eren6netral

Adalah keseimbangan pada suatu benda di mana setelah gangguan yang diberikan

tidak mengubah psisi benda.

;nth &eseimbangan indieren dapat dipandang sebagai keseimbangan yang dimiliki

benda dimana jika gangguan yang dialaminya tidak menyebabkan perubahan titik beratnya

(energi ptensialnya).

Documents

Dokumen.tips Makalah Momen Inersia