Dokuz Eylül Üniversitesi

Mühendislik Fakültesi

Endüstri Mühendisliği

Metalurji & Malzeme Mühendisliği

END 3618 & END 4822 Kalite Planlama & Kontrol

Nisan - 2019

Bölüm 9: Süreç Tasarımı ve Süreç İyileştirme

için Tam Faktöriyel Deney Tasarımı (DOE)

Dr. Öğr. Üyesi Kemal SUBULAN

Deney Tasarımı (DOE)

Süreç tasarımı, süreç iyileştirme ve kalite geliştirme aracıdır.

Genellikle, DMAIC sürecinin ‘iyileştirme’ adımında kullanılır.

Tasarım için 6-Sigma (DFSS) uygulamalarında önemli bir role sahiptir.

Yeni ürün geliştirme, süreç tasarımı ve süreç performansının

iyileştirilmesi amacıyla kullanılır.

Yeni ürün ve süreç tasarımı için gerekli sürenin (Geliştirme süresi)

kısaltılmasını sağlar.

Ana faktör etkileri ve faktörler arası etkileşimlerin tahmin edilmesine

olanak tanır.

Sürecin girdi parametrelerinde yapılan değişikliklerin, süreç çıktıları

(Cevap değişkeni) üzerinde yapacağı etkilerin analizinde kullanılır.

Süreç çıktıları, ürüne ilişkin ilgilenilen kalite karakteristiği olabileceği

gibi, süreç performans göstergeleri de olabilmektedir.

Deney tasarımı, sürecin ilgilenilen kalite karakteristiğine etki edenkontrol edilebilir değişkenlerin değerlerini sistematik olarakdeğiştirerek süreç performansını etkileyecek değişken değerlerinibelirlemede kullanılan bir tekniktir.

Süreç performansı arttırılarak, dış değişkenlik kaynaklarına (Kontroledilemeyen) karşı duyarsız, robust süreçlerin elde edilmesi amaçlanır.

Süreç optimizasyonu ve iyileştirme amacıyla kullanılan istatistikselproses kontrol ve deney tasarımı teknikleri birbiriyle yakından ilgilidir.

- Kontrol edilebilen faktörler (tasarım faktörleri):

Değerleri tasarım ya da süreç mühendisi tarafından

kolayca belirlenebilen faktörlerdir.

- Kontrol edilemeyen faktörler, gürültü faktörleri

olarak ta adlandırılmaktadır. Süreç performansı,

gürültü faktörlerinden etkilenmemeli ya da

olabildiğince az etkilenmelidir.

Deney Tasarımının Amaçları

1. Süreç çıktıları üzerinde kritik etkiye sahip değişkenlerin belirlenmesi,

2. Süreç çıktılarının (Cevap değişkeni, performans göstergesi) hedef değerde

olabilmesi için kritik süreç değişkenlerinin ideal değerlerinin belirlenmesi,

3. Süreç çıktıları üzerindeki değişkenliğin minimum olması için, kritik

süreç değişkenlerinin ideal değerlerinin belirlenmesi,

4. Kontrol edilemeyen faktörlerin süreç çıktıları üzerindeki etkisinin

minimum olması için, kritik süreç değişkenlerinin ideal değerlerinin

belirlenmesi.

İstatistiksel olarak kontrol altında olan bir süreç, süreç yeterlilik analizi

doğrultusunda yetersiz olabilir. Bu durumda, süreç yeterliliğinin

arttırılması için değişkenliğin azaltılması gereklidir.

Deney tasarımı, süreç değişkenliğinin azaltılmasında SPC (İPK)

tekniklerinden daha etkilidir.

Deney Tasarımı & İstatistiksel Proses Kontrol

İstatistiksel proses kontrolde (SPC), sürecin kontrol altında olup,olmadığı bilgisini edinmek için süreç izlendiğinden ve süreçdeğişimleri gözlemlendiğinden pasif bir istatistiksel yöntemdir.

Deney tasarımında ise süreç veya sistem üzerinde birçok deneyyapıldığından (Girdi parametrelerinin değerleri değiştirilip, çıktılarüzerindeki değişimlerin gözlemlenmesi), aktif bir istatistikselyöntemdir.

Kontrol kartı uygulamalarında, sürecin kontrol dışında olduğu sonucunavarıldığında, süreci yeniden kontrol altına getirmek için, sürecinkontrol edilebilen faktörleri arasından en önemli olanlar (Süreççıktıları üzerinde en etkili olan girdi değişkenlerinin) ve optimalseviyeleri deney tasarımı teknikleri ile belirlenebilmektedir.

Altı Sigma ve süreç iyileştirmesi aşamasında önemli mühendislikaraçlarından biri olan deney tasarımı ile verim artmakta, değişkenlikazalmakta, hedef değere daha yakın uygunluk sağlanmakta,geliştirme süresi kısalmakta ve ürün maliyeti azalmaktadır.

Bir Mühendislik Tasarım Aktivitesi Olarak:

Deney Tasarımı Deney tasarımı teknikleri, yeni ürün geliştirme ve mevcut ürünlerin

tasarım kalitelerinin iyileştirilmesi amacıyla, tasarım için 6-sigma

(DFSS) aktivitesi olarak sıklıkla kullanılmaktadır.

Mühendislik tasarım faaliyetlerinde, istatistiksel deney tasarımı

uygulamalarının amaçları:

1. Ürün için temel tasarım konfigürasyonlarının değerlendirilmesi

ve karşılaştırılması,

2. Malzeme alternatiflerinin değerlendirilmesi,

3. Ürün performansına etki eden kritik tasarım parametrelerinin

belirlenmesi.

Ürün performansının ve güvenilirliğinin arttırılması, ürün

maliyetinin azaltılması ve ürün geliştirme süresinin kısaltılması

hedeflenir.

Prosesin Karakterize Edilmesi (Factor Screening)

Bir imalat süreci u-kontrol kartına göre, istatistiksel olarak kontrol altında

olmasın rağmen, süreç çıktılarına ilişkin hata seviyesinin daha da azaltılması

amacıyla, süreç performansını etkileyen birçok girdi değişkeni (Kontrol

edilebilen ve kontrol edilemeyen faktörler) arasından hangilerinin ürün

üzerindeki hataların oluşmasını etkilediği belirlenmeye çalışılmaktadır.

Bu sayede, önemli derecede etkiye sahip (Etkinin yönü ve büyüklüğü, DOE

ile belirlenir) olan girdi değişkenleri üzerinde ayarlamalar yapılarak,

(arttırma/azaltma) süreç iyileştirilmeye çalışılır (Hata seviyesi azaltılır).

Girdi değişkenlerinin değerlerinin tek başına değiştirilmesinin veya değişken

değerlerinin eş zamanlı veya toplu olarak değiştirmenin cevap değişkeni

(Hata seviyesi) üzerindeki etkisi araştırılır.

Süreç çıktısı için oluşturulan u-kontrol kartına ek olarak, DOE ile belirlenen

kritik süreç değişkenlerine (faktörler) yönelik kontrol kartları oluşturularak,

DOE ile belirlenen ideal değerlerinin korunması hedeflenir.

Proses/Süreç Optimizasyonu

Cevap değişkeni değerlerini en iyileyen optimal faktör sevilerinin

bulunması hedeflenir. Bir başka deyişle, süreç performansını optimize

eden girdi değişkenlerinin ideal değerleri belirlenir.

Proses karakterizasyonu sonucunda, kritik süreç değişkenlerinin

sıcaklık ve reaksiyon süresi olarak belirlendiği varsayılsın. Mevcut

durumda süreç, 1550 F sıcaklık ve 1.7 saat reaksiyon süresi ile çalışmakta

ve %75 verim (Süreç performansı) elde edilmektedir.

Optimal verim düzeyine ulaşmak için sıcaklık ve reaksiyon

süresinin eş zamanlı değiştirildiği faktöriyel tasarıma

ihtiyaç vardır. Farklı verim değerlerinin (%95, %90, % 80,

%70, %60) elde edildiği sıcaklık ve süre değişkenlerini

gösteren kontur grafiği (Contour plot) yanda verilmiştir.

Bu grafiğe göre, verimi arttırmak için, sıcaklığı arttırırken

aynı zamanda reaksiyon süresini azaltmak gereklidir.

Optimum faktör düzeylerine ilişkin daha kesin tahminler elde

etmek için yanıt-yüzey metodolojisi kullanılabilir.

Yeni Ürün Tasarımı Yeni ürün tasarım sürecinde, ürünün kritik kalite karakteristiklerine

etki eden faktörler ve seviyeleri belirlenip, deney tasarımı

tekniklerinin uygulanması ile ürün tasarımı süreci iyileştirilebilir.

Yeni ürün geliştirmede, tasarım mühendisleri üründe hangi malzeme

ve parçaların kullanılması gerektiğine, ürünün şekil ve özelliklerini

içeren ürün tasarım spesifikasyonlarına DOE ile karar verebilirler.

Tasarım süresi kısaltılabilir ve ürünün tasarım kalitesi arttırılabilir.

Sistem ve Bileşen Toleranslarının Belirlenmesi Bilinmeyen dirençler, Wheatstone köprüsü adı verilen bir devre

yardımıyla bulunabilmektedir. Bu devrede B ayarlı direnç değeri

değiştirilerek X ampermetresinin ölçtüğü akımın sıfır olması sağlanır.

Bilinmeyen direnç Y, aşağıdaki gibi hesaplanır. Cevap değişkeni ise Y’nin

standart sapmasıdır.

Mühendisler, devreyi tasarlarken toplam ölçüm

yeterliliğinin (Gauge capability) kabul

edilebilir seviyelerde olmasını hedeflemiştir.

Bir başka deyişle, ölçüm hatalarının standart

sapmasının az olması için tasarım

parametreleri aşağıdaki gibi belirlenmiştir:

- Ancak hala, toplam ölçüm hatasının yüksek olduğunu düşünülmektedir. Bu

durumun, devre bileşenlerine ait toleransların (±%1 A, B, C, D ve F dirençleri için,

(±%5 güç kaynağı E için) belirlenmesinden kaynaklanabileceği düşünülmüştür.

- Bu toleranslar, uygun faktör seviyelerinin belirlenmesinde kullanılabilir ve hangi

devre bileşenlerinin kritik toleranslara sahip olduğu ve ölçüm sisteminin

yeterliliği için kritik tolerans değerlerine DOE ile karar verilebilir (Tasarım

toleranslarının spesifikasyonlarının belirlenmesi).

Deney Tasarımı Uygulama Aşamaları

1. Problemin tanımlanması: Problemin açık ve net bir şekilde tanımlanması ve

deney hedeflerinin belirlenmesi, süreç hakkında daha detaylı bilgi

edinilmesine ve problemin çözümüne katkıda bulunur.

Deney tasarımı uygulamalarının 2. ve 3-aşaması, genellikle eş zamanlı olarak

gerçekleştirilir. Bazı uygulamalarda, 3.aşama ilk sırada da

gerçekleştirilebilmektedir.

1. Problemin tanımlanması,

2. Faktörler ve seviyelerine karar verilmesi,

3. Cevap değişkeninin seçilmesi,

4. Deney tasarım matrisine karar verilmesi,

5. Deneylerin gerçekleştirilmesi,

6. Veri analizi (ANOVA, S/N oranları vs.)

7. Sonuçların yorumlanması ve öneriler (Onama/Doğrulama deneyleri).

Deney Tasarımı Uygulama Aşamaları2. Faktörler ve seviyelerinin seçilmesi (Factor screening): Birçokfaktör arasından, süreç üzerinde etkili olduğu düşünülen süreçdeğişkenlerinin ve alabileceği değer aralığının belirlenmesi, proseshakkında detaylı bilgi gerektirir.

3. Cevap değişkeninin seçilmesi: Ölçülen kalite karakteristiğininortalaması veya standart sapması cevap değişkeni olarak alınır.Birden fazla süreç çıktısı/cevap değişkeni söz konusu olabilir.Ölçüm sisteminin yeterliliği (Gauge capability) istenilen düzeydedeğilse, deney tasarımı ile sadece yüksek etkiye sahip faktörlertespit edilebilir; bu durumda deneyler tekrarlanmalıdır, ekstradeney tekrarlarına (Replikasyon) ihtiyaç vardır.

4. Deney tasarım matrisine karar verilmesi: Örneklembüyüklüğü (Deney tekrar sayısı), deneylerin hangi sıradayapılacağı, hangi rassallaştırma yöntemi kullanılacağına kararverilmesidir (Deneylerin uygulama sırasının rassallaştırılması).

Deney Tasarımı Uygulama Aşamaları

5. Deneylerin gerçekleştirilmesi: Deneylerin uygulama planı (Personel

seçimi, zaman, ölçme yöntemi vb.) doğrultusunda gerçekleştirilmesi.

6. Veri analizi: Deney sonuçlarının analiz edilmesi. Ana faktör etkileri,

faktörler arası etkileşim grafikleri, normal olasılık grafiği, varyans

analizi (ANOVA) yöntemlerinin uygulanması.

7. Sonuçlar ve öneriler: Deney sonuçlarının geçerliliğinin ortaya

konulması için onama (Doğrulama) deneylerinin gerçekleştirilmesi.

Deney tasarımı 3 temel prensibe sahiptir. Bunlar; deney tekrarı,

deneyin sırasının rastgele yapılması ve deneyin bloklanmasıdır

(Hinkelmann, 2005).

Bloklama (homojenlik) işlemi, birbirine benzer gözlem birimlerinin

gruplara ayrılarak, bilinmeyen ve kontrol edilemeyen faktör

(gürültü) ve hataların deneyi etkilemesini (hata varyansını azaltmak)

önlemek için yapılır.

İstatistiksel Deney Tasarımı Yöntemleri

Birlikte hareket eden/değişen birçok faktör söz konusu olduğunda uygulanır(Çok etkenli deneyler). Bir başka deyişle, faktörlerin birbirleriyleetkileşmeleri durumunda kullanılan deney tasarımı yöntemidir.

En az iki veya daha fazla faktör ve bu faktörlere ait en az iki veya daha fazlaseviyenin bulunduğu deneylerde seviyelerin birbirleri ile çarpımları ileoluşan deney kombinasyonudur.

A ve B faktörlerinin 2 seviyesi (Düşük ve yüksek) olsun. A ve B faktörlerininayrı ayrı, cevap değişkeni üzerindeki etkileri (Ana faktör etkileri), yüksekve düşük seviyelerde elde edilen cevap değişkeni değerlerinin ortalamalarıarasındaki farka eşittir.

Faktöriyel Deney Tasarımı

1. Tam faktöriyel deney tasarımı,

2. Kesirli faktöriyel deney tasarımı,

3. Taguchi deney tasarımı yöntemi.

Farklı faktör seviyeleri için cevap

değişkenleri arasındaki fark, tüm

faktörler için eşit değilse, faktörler

arasında etkileşim söz konusudur.

B faktörü düşük seviyede iken,

A faktörünün etkisi:

B faktörü yüksek seviyede iken, A

faktörünün etkisi:

Faktörler arasında etkileşim yok

Ana faktör etkileri: A faktörü düşük seviyeden yükseğe

çıkarıldığında, cevap değişkeni değeri 20 birim artar.

AB Etkileşimi −20−20

2= −20

(Ters yönde güçlü ilişki)

Örnek-1:

Faktörler arası etkileşim grafiklerinde doğrular birbirine paralel ise,

etkileşim yok; kesişiyorsa arada güçlü etkileşim söz konusudur.

Faktör etkileri ve ideal faktör seviyeleri belirlenirken, faktöriyel tasarıma

alternatif bir yaklaşım olarak, faktörlerden birinin değerini sabit

tutarken diğerini değiştirmek ve en iyi cevap değişkeni doğrultusunda

ideal faktör seviyelerine karar vermek kullanılabilir. Ancak, bu yöntemde

faktörler birlikte değişmediğinden ötürü, faktörler arası etkileşim

dikkate alınamaz ve yöntem yanlış sonuç verebilir. Ayrıca bu yöntem,

faktöriyel tasarıma göre daha fazla sayıda deney yapılmasını gerektirir.

A faktörünün etkisi, B

faktörünün seçilen seviyesine

bağlı olduğu için faktörler

arasında etkileşim vardır.

Faktörler arası etkileşimin

yüksek olması durumunda, ana

faktör etkileri giderek azalır.

Örnek-2: Faktör Seviyelerinin Değiştirilmesi

Sıcaklık 1550 F sabit

tutulduğunda, ideal

reaksiyon süresi 1.7 saat

olarak belirlenmiştir.

Reaksiyon süresi 1.7 saatte sabit

tutulduğunda optimal sıcaklık

1550 F olarak belirlenmiştir.

Bu doğrultuda, ideal sıcaklık ve reaksiyon süresinin 1550 F ve 1.7

saat olması durumunda %75 verim elde edilir. Ancak bu değer,

cevap değişkeni için optimal değildir. Verim %95’e kadar

çıkabilmektedir. Yöntem yanlış sonuç vermiştir.

Örnek - 3: Faktöriyel Tasarım Uçak astar boyalarının alüminyum yüzeylere uygulanması iki farklı

yöntemle gerçekleştirilebilmektedir: (i) daldırma, (ii) püskürtme. Boya

işleminde, her iki yöntemde de 3 farklı astar tipi kullanılabilmektedir.

2 faktör: uygulama yöntemi (2 seviye) ve astar tipi (3 seviye).

Her bir astar tipi için her bir uygulama yönteminde 3 numune boyanarak

(Toplam 18 deney rastgele sırada yapılmış), boyanın yapışma gücü

(Kalite karakteristiği – cevap değişkeni) ölçülerek tabloda verilmiştir.

Hücredeki

değerler toplamı

Varyans Analizi (ANOVA) Amaç, 2-faktörlü tam faktöriyel deney tasarımı ile uçak boyası için

en iyi yapışma gücünü sağlayacak astar tipi ve uygulama yöntemi

kombinasyonuna karar vermektedir.

Her bir deney kombinasyonunda, n adet replikasyon ile

deneyler tekrarlı olarak, rastgele sırada yapılır.

2-Faktörlü Tam Faktöriyel Deney Tasarım Modeli

𝜇 , genel ortalama etki, 𝜏𝑖 A faktörünün i. seviyesinin etkisi, 𝛽𝑗 B

faktörünün j. seviyesinin etkisi, 𝜏𝛽 𝑖𝑗 A ve B faktörleri arasındaki

etkileşimin etkisi, 𝜀𝑖𝑗𝑘 rastgele hata bileşeni.

2-faktörlü faktöriyel deney tasarımı modeli ile, A ve B faktörlerinin ve

AB etkileşiminin süreç üzerinde önemli bir etkiye sahip olup

olmadığı hipotezi test edilir.

Tüm etkilerin kareler toplamı

(Genel)

Ana Faktör Etkileri

Faktörler Arası

Etkileşimin Etkisi

Rastgele Hata

Bileşeninin Etkisi

Serbestlik

Derecesi

2-Faktörlü Faktöriyel Tasarım için

ANOVA Tablosu

Kareler toplamı, serbestlik derecesine bölünerek, ortalama karelerhesaplanır. Ana faktör ve faktörler arası etkileşim için hesaplananortalama karelerin (MS), ortalama hata kareye (MSE)bölünmesiyle elde edilen oranlar, F dağılımı özelliği gösterir.

Hesaplanan 𝐹0değeri,

F-tablosundan belirli

bir güven düzeyinde

(%95) elde edilen

değeri aşıyorsa, 𝑯𝟎

hipotezi (Anlamlı

etkiye sahip olmadığı)

reddedilir.

Ana faktör etkileri için P-değerleri (Anlamlılık düzeyi) oldukça küçük

olduğundan, astar tipi ve uygulama yönteminin boyanın yapışma gücü

üzerinde etkili olduğu sonucuna ulaşılır.

Etkileşim için ise P-değerinin (%95 güven düzeyinde), α = 0.05’ten

büyük olması nedeniyle, boyanın yapışma gücü üzerinde önemli bir

etkisi olmadığı ve astar tipi ile uygulama yöntemi arasında herhangi bir

etkileşimin bulunmadığı söylenebilir.

P-değerlerine alternatif olarak, F dağılım tablosundan:

𝟏. 𝟒𝟔 < 𝑭𝟎.𝟎𝟓,𝟐,𝟏𝟐

MINITAB Çıktısı: İki Yönlü ANOVA

Tek yönlü ANOVA, bağımsız

değişkenlerin bağımlı değişken

üzerindeki etkilerinin ayrı ayrı

incelenmesi için kullanılır.

İki yönlü ANOVA, bağımsız

değişkenlerin ikisinin ortak

etkisinin (Etkileşimin etkisi)

incelenmesinde kullanılır.

Faktörler Arası Etkileşim Grafiği

Boyanın ortalama yapışma gücünün farklı astar tipleri karşısındaki

değerleri grafik üzerinde gösterilmiştir.

Faktörler arası etkileşim grafiğine göre, grafik üzerindeki doğrular

paralel olduğundan, etkileşim yoktur.

Yapışma gücü en yüksek olan faktör seviyeleri: Uygulama yöntemi

olarak püskürtme ve astar tipi olarak ise 2. tip astardır.

Hata Bileşeni (Artık) Analizi

Hata bileşeni (artık) analizi, faktöriyel deney tasarımı modelinin

yeterliliğinin test edilmesi amacıyla gerçekleştirilir.

Artıklar (Residuals), gözlem değerleri ile gözlem değerlerinin yer

aldığı hücredeki ortalama değer arasındaki fark ile hesaplanır.

Modelin yeterliliği için, hesaplanan artıklara ilişkin normal olasılık

grafiği çizilerek, artıkların normal dağılıma uyup uymadığı incelenir.

Hata bileşeninin yaklaşık normal dağıldığı ve

deney tasarımı modelinin yeterli olduğu

söylenebilir.

1. ve 2. tip astar tipine nazaran,

3. tip astar, boyanın yapışma

gücü üzerinde daha az

değişkenliğe sebep olmaktadır.

Uygulama yöntemlerinin,

boyanın yapışma gücüne ait

değişkenlik üzerinde etkisi

yaklaşık olarak aynıdır.

2𝑘 Faktöriyel Tasarım: k Faktörlü ve 2

Seviyeli Tasarımlar 𝟐𝟐 Tasarım: A ve B faktörleri 2 seviyeye sahiptir.

𝟐𝟐= 4 farklı deney kombinasyonu söz konusudur.

Deney tasarımı geometrisi

Deney tasarımı matrisi

Ana Faktör Etkileri ve Faktörler Arası

Etkileşimlerin Tahmin Edilmesi

A Faktörünün Etkisi

B Faktörünün Etkisi

AB Etkileşiminin Etkisi

Karenin köşegen

ortalamaları arasındaki fark

hesaplanarak elde edilir.

A Faktörünün Bağıntısı

Bağıntı katsayısı her zaman

+1 veya -1 değerini alır.

I, toplam etkiyi gösteren özdeşlik sütunudur. AB etkileşimindeki işaret

(+ veya -), A ve B faktörlerindeki işaretlerin çarpımıyla elde edilir.

A, B ve AB için bağıntılar (Contrast), sütun işaretlerinin satır değerleri

ile çarpılıp toplanmasıyla elde edilir. Örneğin, A faktörü için;

A, B ve AB etkileşimi için kareler toplamı ise:

Örnek-4: 22 Faktöriyel Tasarım Bir imalat sürecinde, belirlenen kritik kalite karakteristiği için 𝑿 − 𝑹

kontrol grafiği oluşturulduğunda, sürecin kontrol altında olduğu

gözlemlenmiştir. Ancak üst yönetim, süreç kontrol altında olmasına

rağmen, süreç değişkenliğini yine de yüksek bulmuş; bu nedenle

süreç performansı üzerinde etkili olduğu düşünülen kritik süreç

değişkenlerinin (Kontrol edilebilen faktörler) ideal değerlerinin

deney tasarımı yardımıyla belirlenerek, sürecin iyileştirilebileceğine

kanaat getirmiştir.

Ana faktör etkilerinin tahmin edilmesi:

Faktörler arası etkileşimin etkisinin tahmin edilmesi:

Kritik süreç karakteristiği titreşim

olarak belirlenmiş ve her bir deney

kombinasyonunda, 4 deney tekrarına

ait titreşim değerleri ölçülerek yandaki

tabloda verilmiştir. Toplam titreşim

değeri, cevap değişkeni olarak

tanımlanmıştır.

ANOVA Tablosunun Oluşturulması Ana faktör etkileri ve faktörler arası etkileşimin etkisi

kullanılarak, kareler toplamı hesaplanır.

Elde edilen P-değerleri doğrultusunda, hem A hem de B

faktörlerinin titreşim açışımdan önemli etkiye sahip olduğu

söylenebilir.

Ayrıca, A ve B faktörleri arasında etkileşim söz konusudur ve

bu etkileşim süreç karakteristiği üzerinde önemli etkiye sahiptir.

Regresyon Modeli ile Tahminleme 22 Faktöriyel tasarımda elde edilen regresyon modeli (Varyans

analizi çalışması sonucu elde edilen tahmin modeli):

𝛽1, 𝛽2 ve 𝛽12, regresyon katsayıları, A ve B faktör etkileri ve AB

faktörler arası etkileşimin etkisi kullanılarak hesaplanır.

𝛽0 regresyon katsayısı ise deneyler ile elde edilen tüm gözlem

değerlerinin ortalamasıdır.

A ve B faktörlerinin düşük seviyelerinde 𝑥1 = −1 𝑣𝑒 𝑥2 = −1olması halinde, titreşim miktarının tahmin edilmesi:

16 gözlem değerinin ortalaması

Tahmin edilen titreşim seviyesine (16.1 cps) göre, alınan 4 örnek için

artık değerleri aşağıdaki gibi hesaplanır:

Diğer üç deney kombinasyonu için artık değerleri benzer şekilde

hesaplanarak, artık değerleri için normal olasılık grafiği ve artık

değerlerinin tahmin edilen titreşim seviyelerine göre aldığı

değerler için grafik oluşturulur.

Hata Bileşeni (Artık) Analizi

Artık değerlerinin

yaklaşık normal

dağıldığı söylenebilir.

Deney verisi, düşük titreşim

seviyelerindeki tahmin

değerlerine daha yakındır.

AB Faktörler Arası Etkileşimi Faktörler arası etkileşim grafiğinde,

doğrular kesiştiği için, A ve B faktörleri

arasında etkileşim söz konusudur.

Düşük titreşim seviyesine erişmek için A

faktörü (-) seviyesinde olmalıdır. Minimum

titreşimin sağlanması için ise, A (-), B

faktörü ise (+) seviyesinde olmalıdır.

İmalat sürecinde, kritik öneme sahip A ve B proses değişkenlerinin

değerleri (Faktör seviyeleri), + ve – seviyesine göre ayarlandığında,

yeniden oluşturulan 𝑿 − 𝑹 kontrol grafiğine süreç kontrol altında

olup, süreç değişkenliği azalmıştır.

Faktöriyel tasarım

sonrası elde edilen 𝑋 − 𝑅 kontrol grafiği

Örnek – 5: Dişli üretiminde kullanılmak üzere dökme demir imalatı gerçekleştiren bir

firma, ürettiği dökme demirlerin hacimsel çekmesi ile ilgili bir çalışmayapmaktadır. Farklı döküm sıcaklıkları ve dökme demir seçeneklerinde,döküm ocağından alınan 3’er numune için elde edilen hacimsel çekmedeğerlerine ait deneysel sonuçlar tabloda verilmiştir.

a) Döküm sıcaklığı & dökme demir seçeneğinin, hacimsel çekme üzerindeki anafaktör ve etkileşimli etkilerini hesaplayınız. Faktörler arası etkileşimgrafiğini çiziniz.

b) Kareler Toplamı, SS Toplam = 3.31 olduğuna göre, varyans analizi (ANOVA)tablosunu oluşturarak, ana faktör etkileri ve etkileşimli etkiler konusundayorumlarınızı yapınız. Bu sonuçlara göre, en düşük hacimsel çekmeninsağlanması için, döküm sıcaklığı ve dökme demir türü olarak ne önerirsiniz.(Tüm işlemler için FTablo değerini 5.0 olarak alınız).

MINITAB 14 ile Tam Faktöriyel Deney

Tasarımı Uygulaması

MINITAB 14 ile Tam Faktöriyel Deney

Tasarımının Oluşturulması

MINITAB 14 ile Oluşturulan Tam Faktöriyel

Deney Tasarımı Matrisi

Deney Tasarımının Analiz Edilmesi

Standart Etkilere Ait Normal Olasılık

Grafiği & Pareto Diyagramı

Standardized Effect

Pe

rce

nt

7.55.02.50.0-2.5-5.0

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

Factor Name

A Döküm sý caklý ð ý

B Demir türü

Effect Type

Not Significant

Significant

AB

B

Normal Probability Plot of the Standardized Effects(response is Hacimsel çekme, Alpha = .05)

Te

rm

Standardized Effect

A

AB

B

76543210

2.306Factor Name

A Döküm sý caklý ð ý

B Demir türü

Pareto Chart of the Standardized Effects(response is Hacimsel çekme, Alpha = .05)

Hata Bileşeni (Artık) Analizi

Residual

Perc

en

t

0.500.250.00-0.25-0.50

99

90

50

10

1

Fitted Value

Resid

ual

3.63.22.82.42.0

0.2

0.1

0.0

-0.1

-0.2

Residual

Fre

qu

en

cy

0.30.20.10.0-0.1-0.2

4

3

2

1

0

Observation Order

Resid

ual

121110987654321

0.2

0.1

0.0

-0.1

-0.2

Normal Probability Plot of the Residuals Residuals Versus the Fitted Values

Histogram of the Residuals Residuals Versus the Order of the Data

Residual Plots for Hacimsel çekme

Döküm sıcaklığı faktörü, deney tasarımı modelinden çıkarıldıktan

sonra, hataların yaklaşık normal dağılım göstermesi beklenir.

Faktör Etkileri ve Regresyon Modeli Katsayıları

Varyans Analizi (ANOVA) Sonuçları

Ana Faktör Etkileri Grafiği

Faktörler Arası Etkileşim Grafiği

Demir türü

Me

an

Küresel grafitliYüksek kromlu beyaz

3.6

3.4

3.2

3.0

2.8

2.6

2.4

2.2

2.0

Döküm

sý caklý ð ý

1200

1400

Interaction Plot (data means) for Hacimsel çekme

Faktöriyel Tasarım Analiz Aşamaları

1. Deneyler rastgele sırada ve tekrarlı olarak gerçekleştirildikten sonra,ana faktör etkileri ve faktörler arası etkileşimin etkisi tahmin edilir,

2. A ve B faktörlerinin etkileşimini de içeren başlangıç model(2-faktörlü tam faktöriyel tasarım modeli) oluşturulur.

3. ANOVA ile her bir faktörün ve faktörler arası etkileşimin cevapdeğişkeni üzerinde anlamlı etkisinin olup/olmadığı test edilir.

4. Hata bileşeni için artık analizi yapılarak, hataların normal dağılımgösterip göstermediği araştırılır.

5. Eğer artıklar normal dağılım özelliği gösteriyor; A ve B faktörleri veAB etkileşimi cevap değişkeni üzerinde önemli derecede etkiyesahipse, başlangıçta belirlenen tam faktöriyel tasarım modelininrevize edilmesine gerek yoktur.

6. A ve B faktör etkileri önemli değilse veya AB etkileşimi önemsiz ise,modelden çıkartılarak deney tasarımı modeli revize edilir.

k ≥ 3 için 2𝑘 Faktöriyel Tasarım

2 Seviyeli 3-Faktör

Deney tasarımı geometrisi

23 = 8 faktör-seviye

kombinasyonu (Deney

tasarımı matrisi)

2’li ve 3’lü faktör

etkileşimlerini de içeren tam

faktöriyel tasarım modeli

Genel ortalama

Ana Faktör Etkilerinin Tahmin Edilmesi

Faktörler Arası Etkileşimlerin Tahmin Edilmesi

3’lü faktör etkileşimi

Tablo (Deney Tasarım Matrisi) Özellikleri

Ana faktör ve

faktörler arası

etkileşimlerin

hesaplanması

Herhangi bir etki için

kareler toplamının

hesaplanması

Bir işletmede üretilen metal parçaların yüzey pürüzlülüğüne etki eden temel faktörler; tezgâhtaki

kesici takımın ilerleme hızı (A), kesme derinliği (B) ve kesici takım açısı (C) olarak belirlenmiştir.

Bu faktörlere ait ‘düşük’ (-1) ve ‘yüksek’ (+1) olmak üzere 2 seviye mevcuttur. Tam faktöriyel

deney tasarımı uygulaması kapsamında, her bir deney kombinasyonunda 2 tekrar yapılarak üretilen

parçaların yüzey pürüzlülüğü hesaplanmış ve deneysel sonuçlar aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Örnek – 6:

a) İlerleme hızı, kesme derinliği & kesici takım

açısının, yüzey pürüzlülüğü üzerindeki ana faktör

etkilerini ve faktörler arası etkileşimlerin etkilerini

hesaplayınız. İlerleme hızı (A) ve kesme derinliği

(B) faktörleri arasındaki etkileşimin grafiğini çiziniz.

b) Kareler Toplamı, SS Toplam = 92.9375 olduğuna göre, varyans analizi (ANOVA) tablosunu

oluşturarak, ana faktör etkileri ve etkileşimli etkiler konusunda yorumlarınızı yapınız. Bu

sonuçlara göre, minimum yüzey pürüzlülüğünün sağlanması için, ilerleme hızı ve kesme derinliği

olarak hangi seviyelerin (düşük veya yüksek) kullanılmasını önerirsiniz (Tüm işlemler için FTablo

değerini 3.0 olarak alınız).

A faktörü için ana

faktör etkisi

A faktörü etkisi için

kareler toplamı

Faktör etkileri ve

faktörler arası

etkileşimlere göre, en

yüksek öneme sahip

faktörler: A ve B’dir.

Tam Faktöriyel Tasarım Modeli için ANOVA

p-değerlerine göre, ilerleme hızı (A) en yüksek öneme sahip faktördür.

Tüm faktörleri dikkate alan tam faktöriyel tasarım modeli, önemsiz

faktör ve etkileşimler modelden çıkarılarak indirgenebilir.

p < 𝟎. 𝟏𝟎 (%90 güven düzeyi) için indirgenmiş modelde sadece A ve B

faktörü olmalıdır. AB etkileşimi de (𝑝 = 0.12) modele katılabilir.

MINITAB ile Elde

Edilen ANOVA Tablosu

Regresyon Modeli

Tüm faktörler düşük seviyelerinde (-) olduğunda, yüzey pürüzlülüğü

cevap değişkeninin tahmini değeri 𝑥1 = 𝑥2 = −1 :

Orijinal tasarımdaki her bir nokta için elde

edilen yüzey pürüzlülüğü tahmini değerleri

Artık değerleri, gözlemlenen değer ile tahmini değer arasındaki fark

hesaplanarak bulunmaktadır. Tüm faktörlerin düşük seviyede (-) olduğu

noktada elde edilen gözlem değerleri: 9 ve 7’dir. Dolayısıyla, artıklar:

9 − 9.25 = −0.25 𝑣𝑒 7 − 9.25 = −2.25 olarak hesaplanır.

Tüm artık değerlerinin hesabı sonrası elde edilen normal olasılık grafiği:

Hata Bileşeni (Artık) Analizi

Tüm artık değerleri yaklaşık olarak bir doğru

üzerinde yer aldığından, indirgenmiş faktöriyel

tasarım modelinin yeterli olduğu söylenebilir.

Sonuç: Yüzey pürüzlülüğünün düşük olması arzu edildiğinden

ve A ve B faktörlerinin yüzey pürüzlülüğü üzerinde pozitif

etkisi olduğundan, bu faktörler düşük seviyelerinde (-)

olması beklenir. Ancak, optimal faktör seviyelerine karar

verirken AB arasındaki etkileşim de dikkate alınmalıdır

(Bunun için faktörler arası etkileşim grafiklerine alternatif

olarak, tahminlerin yer aldığı küp de kullanılabilir).

Yanıt-Yüzey (Response-Surface) Grafikleri

Yanıt-Yüzey (Response-Surface) Grafikleri

Deney Sonuçlarının

Girilmesi

Deney Sonuçlarının Analiz Edilmesi

Analiz sonuçları %85 güven düzeyinde elde edilmiştir. %95 güven

düzeyinde sadece A faktörü etkisi önemli ve anlamlıdır.

Ana Faktör Etkileri Grafikleri

Faktörler Arası Etkileşim Grafikleri

Yıllar boyunca hep sayılara inandım ve de nedenleri getiren denklemlere ve mantığa..

Bu şekilde geçen bir yaşamdan sonra, mantık aslında nedir ? diye soruyorum..

Nedenlerine kim karar verir ? Yaşamım matematik, fizik, metafizik & halüsinasyonlar

arasında gidip geldi..

Ve akademik kariyerim en önemli buluşunu yaptım.. Hayatımın da en önemli buluşu bu..

Mantıklı sebepler ancak ve ancak gerçek sevginin gizem dolu denklemlerinde bulunabilir.

John Forbes Nash, Jr.

Nobel ödülü konuşmasından (1994)