Dott.ssa Arianna Orasi 5 Marzo 2010. Parte 2 Analisi dei dati di onda Analisi della performance delle stazioni Statistica a breve termine: analisi zero-

Dott.ssa Arianna Orasi5 Marzo 2010

Parte 2Analisi dei dati di onda

• Analisi della performance delle stazioni• Statistica a breve termine: analisi zero-

crossing • Statistica a breve termine: analisi spettrale• Analisi climatologica• Statistica a lungo termine: analisi degli eventi

estremi• Controllo di qualità dei dati

Analisi dei dati di onda Rete Ondametrica Nazionale

http:// www.telemisura.it per i dati in tempo reale

http://www.idromare.it per le serie storiche

Attualmente composta da 15 boe oceanografiche dotate di:

--ondametro direzionale accelerometrico

-- una stazione meteorologica

--un termometro per la temperatura del mare

http://www.telemisura.it/

http://www/

http://www.idromare.it/

Primo Ultimo

Alghero 01-luglio-1989 (ore 0:00)

05-aprile-2008 (ore 7:00)

Ancona 01-gennaio-1999 (ore 0:00)

31-maggio-2006 (ore 12:00)

Cagliari 06-febbraio-2007 (ore 15:00)

02-marzo-2008 (ore 19:30)

Capo Comino 01-gennaio-2004 (ore 0:30)

12-settembre-2005 (ore 15:30)

Capo Gallo 01-gennaio-2004 (ore 0:30)

31-marzo-2008 (ore 9:30)

Capo Linaro 02-gennaio-2004 (ore 11:30)

12-settembre-2006 (ore 22:30)

Catania 01-luglio-1989 (ore 0:00)

05-ottobre-2006 (ore 11:00)

Cetraro 01-gennaio-1999 (ore 0:00)

05-aprile-2008 (ore 7:00)

Crotone 01-luglio-1989 (ore 0:00)

15-luglio-2007 (ore 20:30)

La Spezia 01-luglio-1989 (ore 0:00)

31-marzo-2007 (ore 0:00)

Mazara del Vallo

01-luglio-1989 (ore 0:00)

04-aprile-2008 (ore 22:00)

Monopoli 01-luglio-1989 (ore 0:00)

05-aprile-2008 (ore 6:00)

Ortona 01-luglio-1989 (ore 0:00)

24-marzo-2008 (ore 5:00)

Ponza 01-luglio-1989 (ore 0:00)

31-marzo-2008 (ore 16:30)

Punta della Maestra

01-gennaio-2004 (ore 1:00)

24-novembre-2004 (ore 20:30)

Analisi dei dati di onda Disponibilità dei dati Rete Ondametrica Nazionale

Analisi dei dati di ondaAnalisi della performance

DATI RACCOLTI: Hs, Tp, Tm, θm ogni 30 minuti (presso le stazioni costiere locali)

DATI REGISTRATI: ogni 3 ore a Roma

EFFICIENZA STAZIONE

η = noss / Toss

noss è il numero delle Hs osservate ogni mezz’ora

Toss è il numero atteso totale delle Hs osservate ogni mezz’ora

Analisi dei dati di ondaAnalisi della performance

I mesi invernali sono più critici per l’efficienza della maggior parte delle stazioni

Analisi dei dati d’onda

RAPPRESENTAZIONE DELL’ELEVAZIONE DELLA SUPERFICIE MARINA

Analisi dei dati di ondaStatistica a breve termine

Obiettivo: determinazione di parameti sintetici rappresentativi di uno stato del mare.

Dati:Il dato di partenza è costituito dalle misure dell’elevazione della superficie del mare ottenute tramite boe accelerometriche.

Metodi: 1) analisi zero-crossing

2) analisi spettrale


ANALISI ZERO CROSSING

In questo tipo di analisi la misura dell’elevazione della superfcie libera è riferita ad un livello medio (=0).

Il metodo consiste nell’individuare gli attraversamenti di tale livello medio nei quali l’elevazione della superficie passa da un valore negativo ad uno positivo (zero up-crossing) o viceversa (zero down-crossing).

Alcuni parametri sintetici possono essere usati per descrivere queste registrazioni delle onde e di conseguenza lo stato del mare.



Hi

H1 H2

T1T2



Chiamiamo con T il periodo dell’onda ed è la distanza tra due consecutivi up-crossing (o down-crossing). Unità di misura: secondi.

L’altezza H è la distanza verticale tra il valore più alto e quello più basso della registrazione tra due zero up-crossing. Unità di misura: m.

È possibile ottenere questi valori per ciascuna singola onda per N onde individuate in una registrazione.

Allora per descrivere lo stato del mare partendo da una regisrazione utilizziamo i seguenti parametri statistici.



Hmean N numero totale di onde singole in una registrazione

Tz

Hsig (Significant Wave Heigh): Altezza media (m) del terzo più alto delle onde misurate in un dato intervallo di tempo

Tsig (Significant Wave Period): Periodo medio (s) del terzo più alto delle onde per un gruppo numeroso e ben definito di onde

Hmax: altezza massima dell’onda per un dato intervallo di tempo (~ 17 o 20 minuti)

H10: Altezza media del 10% delle onde più alte

€

Hmean =1

NH i

i=1

N

∑

€

Tz =1

NTi

i=1

N

∑

€

Hsig =1

N /3H i

i=1

N / 3

∑

€

Tsig =1

N /3Ti

i=1

N / 3

∑



Un esercizio con RCarichiamo il file con le registrazioni di altezze d’onda e periodi>onde<-read.table(“onde.txt”,header=T)>plot(onde$H0)>Hmean<-mean(onde$H0)[1] 2.4>Tz<-mean(onde$T) [1] 7.0>Hmax<- max(onde$H0)[1]4.9>w<-(onde$H0)==max(onde$H0) >Tmax<-onde$T[w][1] 8.0#N=21/10~2 >z<-(onde$Order==1|onde$Order==2)>H10<-mean(onde$H0[z])[1] 4.7>T10<-mean(onde$T[z]) [1] 7.5#N=21/3=7 >ordina<-order(onde$H0,decreasing=T)>Hsig<-mean(onde$H0[ordina[1:7]]) [1] 3.6>Tsig<-mean(onde$T[ordina[1:7]]) [1]7.8


DISTRIBUZIONE STATISTICA DELLE ALTEZZE D’ONDA

Distribuzione di Rayleigh P(H)= probabilità di registrare un’altezza d’onda H che non ecceda una

data altezza d’onda H’ in uno stato del mare rappresentato da un’altezza significativa nota pari a Hsig

La probabilita cumulata di eccedere è

e di non eccedere

E la probabile altezza massima in N onde è data da:

€

Q(H ≥ H ') = e−2(H ' / H sig )2

€

Hmax ≈ Hsig

lnN

2€

P(H < H ') =1− e−2(H ' / H sig )2


DISTRIBUZIONE STATISTICA DELLE ALTEZZE D”ONDA

H HH Q %

Most probable, Hp 0.8 60.7

Mean height, H 1.00 45.6

Significant, Hs 1.60 13.6

H1/10 2.04 3.6


DISTRIBUZIONE STATISTICA DEL PERIODO

I periodi presentano una minore variabilità rispetto alle altezze d’onda.Non è stata individuata una distribuzione di probabilità rappresentativa universale.Esistono però delle correlazioni empiriche:

•Tmax=(0.6~1.3)Tsig

•T1/10=(0.9~1.1) Tsig

•Tsig=(0.9~1.4)Tz

•Tp=(1.2~1.3) Tz

Una possibile relazione tra l’altezza d’onda significativa e il periodo significativo di uno stato di mare è:

Dove è un parametro da stimare e dipende dalle condizioni locali e in mancanza di informazioni può essere assunto pari a 4.15

€

Tsig =α (Hsig )0.5


UN ESEMPIO CON RStimiamo il parametro della relzione precedente

>plot(sqrt(onde$H0),onde$T)Useremo la funzione lm che serve proprio per adattare modelli lineari ai dati >reg<-(lm((onde$T)~sqrt(onde$H0)-1))>alpha<-coefficients(reg) [1]4.503>abline(0,alpha)

€

Tsig =α (Hsig )0.5


ANALISI SPETTRALE

In questo caso l’elevazione della superficie del mare può essere ipotizzata come composta dalla sovrapposizione di un infinito numero di onde sinusoidali ciascuna caratterizzata da differente frequenza, altezza e direzione.La distribuzione dell’energia associata a ciascuna onda rispetto alla frequenza è il cosidetto “spettro in frequenza” e rispetto alla frequenza e alla direzione è definita “spettro in direzione”

(Pierson, Neumann and James, 1955)


ANALISI SPETTRALELO SPETTRO IN FREQUENZAPer scomporre l’elevazione della superficie libera si usa la trasformata integrale di Fourier o la variante FFT (Fast Fourier Transform).

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.75 0.12 0.15 0.2 0.27 0.3

Frequency, f=1/T (Hz)

Energy of Component Wave


ANALISI SPETTRALELO SPETTRO IN FREQUENZALa trasformata integrale di Fourier accetta in ingresso una funzione del tempo e produce una serie di onde sinusoidali ciascuna descritta dall’ampiezza, dalla frequenza e dalla fase.

η(t) = elevazione della superficie dell’acqua registrata al tempo t

η0 = elevazione media

ω0 = frequenza angolare dell’onda più lunga adattata ai dati

j = numero di onde componenti

aj = ampiezza della jma componente

Φj = fase della jma componente

n = numero totale di componenti


ANALISI SPETTRALE LO SPETTRO IN FREQUENZA

Esistono forme tipiche degli spettri di energia in frequenza per stati di mare in acque profonde, tra questi:

- Lo spettro di PIERSON-MOSKOWITZ esprime la densità di energia in funzione della frequenza, data la velocità del vento. È usato per la previzione/ricostruzione del moto ondoso

- Lo spettro di JONSWAP caratterizzato da un picco che regola il grado di concentrazione dell’energia intorno alla frequenza di picco.


ANALISI SPETTRALE LO SPETTRO IN FREQUENZA


ANALISI SPETTRALE LO SPETTRO DIREZIONALE

La distribuzione dell’energia associata a ciascuna onda rispetto alla frequenza e alla direzione è definita “spettro in direzione”. Questa ha valori massimi in corrispondenza della direzione media del moto ondoso e tende a diminuire man mano che la direzione si allontana da quella media

Analisi dei dati di ondaAnalisi climatologica

L’analisi climatologica indica le caratteristiche statistiche dei parametri ondosi

N.D.A. N.D.P. N.D.M. N.Calme 42376 39094 3282 3856 549 189 114 71 65 54 49 47 46 52 89 429 1443 1755 1309 1535 2305 2168 1875 2857 8483 6596 1770 1388 35238

>=9.8 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 9.5 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 9.0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 1 - - - 2 8.5 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 1 - - - 2 8.0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4 1 - - 5 7.5 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8 9 - - 17 7.0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 20 13 - - 34 6.5 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 32 40 - - 74 6.0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 44 40 - - 85 5.5 - - - - - - - - - - - - - - - - 1 2 3 2 78 75 - - 161 5.0 - - - - - - - - - - - - - - 2 1 2 4 7 7 131 99 1 - 254 4.5 - - - - - - - - - - - - - - 1 2 12 14 6 14 172 153 1 - 375 4.0 - - - - - - - - - - - - - 2 1 3 13 11 17 32 269 238 4 3 593 3.5 - - - - - - - - - - - - 1 2 1 8 30 42 30 60 437 347 11 2 971 3.0 1 - - - - - - - - - - - - 1 8 35 90 68 59 71 595 451 18 3 1400 2.5 9 - - - - - - - - - - 1 5 7 21 66 208 136 105 137 789 586 44 11 2125 2.0 13 5 - - - - - - - - 4 9 24 52 61 117 287 238 139 267 1029 717 90 46 3098 1.5 52 9 7 3 3 3 1 1 2 3 6 52 144 150 149 209 359 361 247 374 1330 949 131 116 4661 1.0 161 67 27 20 16 6 3 13 5 4 15 122 446 422 285 404 519 448 408 659 1611 1152 289 315 7417

Classi di Hm0

(m)

0.5 313 108 80 48 46 45 45 33 39 45 64 245 823 1119 780 690 784 844 854 1228 1932 1726 1181 892 13964 - 0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255 270 285 300 315 330 345 Classi di direzione media di provenienza - (deg N)

Tab 5: Tabella a doppia entrata Hm0- – Alghero – dati triorari: 01/07/1989 – 31/12/2003; periodo: intero

Tabella di contingenza

(Hm0, Dir)

In R usiamo il comando table

Analisi dei dati di ondaAnalisi climatologica

Distribuzione dell’Hsig per classi di direzione per 8 boe della RON (1989 – 2001))

Analisi dei dati di ondaStatistica a lungo termine:

analisi degli eventi estremiDeterminazione delle caratteristiche estreme del moto ondoso in acqua profonda è importante per:

-> fase progettuale di un’opera off-shore e in-shore-> dimensionamento dell’opera-> verifica dell’operatività dell’opera

Parametri di interesse:

•Settore di traversia più esposto•Altezza, direzione, periodo medi del moto ondoso incidente•Probabilità di accadimento e la durata delle possibili mareggiate•Massima altezza d’onda prevista nell’arco della vita della struttura


analisi degli eventi estremiOnda di progetto (O.P.) deve rappresentare delle condizioni ambientali che possono essere pericolose per la stabilità della struttura marittima -> perciò deve essere associata al tempo di vita previsto per l’opera stessa.

L’ O.P. è definirta mediante l’altezza, un periodo e una direzione di provenienza.

Il “rischio” associato all’O.P. si specifica attraverso il periodo di ritorno T r degli stati di mare, con l’altezza d’onda ad esso associato e con la probabilità che questi si verifichino durante la vita dell’opera.


analisi degli eventi estremiObiettivo: determinare le altezze significative dell’onda in acqua profonda aventi un

assegnato tempo di ritorno.Metodo: POT (Peak Over Threshold, Goda)

Steps:

1. Selezione dei dati omogenei e indipendenti

2. Individuazione del modello probabilistico per i dati selezionati

3. Determinazione da modello del massimo valore dell’altezza d’onda atteso in un fissato arco di tempo

4. Calcolo dell’intervallo di confidenza associato al valore atteso


analisi degli eventi estremiStep 1. Selezione dei dati omogenei e indipendentiSelezione delle mareggiate definite come successione temporale degli stati di mare

caratterizzati da• Persistenza dell’altezza d’onda sopra la soglia di 1m per più di 12 ore

consecutive• Attenuazione dell’altezza d’onda sotto la soglia di 1m per meno di 6 ore

consecutive• Apparteneza della direzione di provenienza a un determinato settore

angolare (±30°)Mareggiata = valori di altezza, periodo e direzione corrispondenti al culmine

d’intensità della successione degli stati di mareL’indipendenza si ottiene ponendo un intervallo temporale tra due mareggiate

consecutive e l’ampiezza di tale intervallo si può ricavare tramite la funzione di autocorrelazione della serie temporale osservata. (In letteratura tale intervallo è pari generalmente a 48 ore).

L’omogeneità è assicurata scegliendo una seconda soglia d’altezza più alta della prima (attenzione alla scelta della soglia)


analisi degli eventi estremiStep 1. Selezione dei dati omogenei e indipendenti

Per l’omogeneità direzionale, per le boe della RON, sono stati calcolati i settori di traversia

Settori individuati (Nº)

Alghero 170-220 220-275 275-335

Catania 30-90 90-150 -

Crotone 350-90 90-210 -

La Spezia 135-195 195-260 -

Mazara 100-180 260-320 -

Monopoli 310-10 10-70 70-150

Pescara 320-10 10-70 70-130

Ponza 70-190 190-250 250-310


analisi degli eventi estremiStep 2. Individuazione del modello probabilistico per i dati selezionati

Le distribuzioni più utilizzate nell’analisi delle onde estreme sono quelle del• I tipo (Gumbel)• II tipo (Frechet)• III tipo limitata inf (Weibull)Tra i metodi di adattamento della distribuzione ai dati più comunemente si usa il

metodo dei minimi quadrati (minimo scarto tra i dati osservati e quelli statisticamente attesi)

Una misura dell’adattamento è fornita dal coefficiente di correlazione r=cov(x,y)/√var(x)√var(y) oppure per normalizzare la dipendenza di r dalla legge di probabilità esaminata si può ricorrere ad un altro criterio:

Minimo rapporto del residuo (1-r) del coefficiente di correlazione (criterio MIR, Goda e Kobune, 1990)



Il metodo dei minimi quadrati permette di trovare una funzione che si avvicina il più possibile ai dati imponendo che la somma degli scarti al quadrato tra la distribuzione stessa e i punti osservati sia minima.Dovremo minimizzare quindi

in modo che

Con tale metodo si esegue una distorsione degli assi coordinati al fine di trasformare in retta la legge di distribuzione di probabilità. Se y è l’ordinata del grafico distorto, relazionata alla probabilità F(), e x è l’ascissa del grafico distorto, legata alla v.c. H, affinchè le leggi di distribuzione Gumbel, Frechet e Weibull risultino delle rette devono sussistere le relazioni riportate nella tabela seguente.

€

y i − f (x i)( )2

i=1

n

∑

€

f (x i) ≈ y i



Distribuzione Ascissa x Ordinata y Inclinazione Intercetta

Gumbel H -ln(-ln(F(H))) 1/A -B/A

Frechet Ln(H) -ln(-ln(F(H))) k -kln(A)

Weibull Ln(H-B) -ln(-ln(1-F(H))) k -kln(A)

H -ln(1-F(H))1/k 1/A -B/A

Weibull Ln(B-H) -ln(-ln(F(H))) k kln(A)

H -(-ln(F(H))) 1/k 1/A -B/A


analisi degli eventi estremiStep 3. Massima altezza d’onda prevedibile in un assegnato intervallo temporale

Per individuare la durata dell’intervallo in cui si vuole estendere la previsione si ricorre al concetto di:Tempo di ritorno (Tr) = Numero medio di anni in cui mediamente un generico valore di H non è superato (o uguagliato)Probabilità di incontro (P)= probabilità che un evento con assegnata frequenza si verifichi nel corso di anni

Assegnato un tempo di ritorno perciò, il corrispondente valore dell’altezza d’onda di progetto (HTr) può essere ricavato dalla legge di probabilità cumulata identificata.Questa non è una misura assoluta ma è un parametro statistico a cui va associato un intervallo di confidenza.

€

Pτ (HTr ) =1− 1−1

Tr

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

τ


analisi degli eventi estremiStep 4. Calcolo dell’intervallo di confidenza

Goda(1988)

è il valore atteso dell’altezza d’onda con periodo di ritorno TR

è il valore vero dell’altezza d’onda con lo stesso periodo di ritornoè la deviazione standard del campione simulato

dove

Esiste un’espressione empirica della deviazione standard di z

€

z =HTR

' −HTRσ x

€

HTR'

€

HTR

€

σ x

€

HTR'

( ) m1.96σ

€

σ z =1+ c0 xT − c4 + c3 lnv( )

2

N

€

c0 = c1 exp c2N−

1

3 + c3 −lnv ⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

v =N

NT

€

σ =σ xσ z

Analisi dei dati di ondaDeterminazione dell’onda di progetto

ESEMPIO CON R

Obiettivo: valutare la durata di vita presunta di un’opera marittima date le sue caratteristiche funzionali e i possibili danni che onde maggiori dell’onda di progetto le possono arrecare.Indipendenza degli eventi>cal<-read.table(‘mareggiate_cal.txt’,header=T)>plot(cal$h)>acf(cal$h)

Stima di F(H)per ciascun ele mento dell’insieme campionario selezionato

>hord<-sort(cal$h) #si ordina in senso decrescente la serie>N<-length(hord)>mat<-matrix(0,N,3)>mat[,1]<-hord>mat[,2]<-1:N>mat[,3]<-mat[,2]/(N+1) #per ogni elemento si stima la frequenza campionaria di eccedenza assumendo #così che tale frequenza coincida con la probabilità di superamneto. ATT non è l’unica relazione #proposta ce ne sono altre....>gum<-lsfit(mat[,1],-log(-log(mat[,3]))) >gum>ls.print(gum)Calcolo dell’altezza significativa associata ad un periodo di ritorno T applicando il metodo minimi quadrati>T=50>theta<-1/as.double(gum$coefficients[2])>epsilon<--as.double(gum$coefficients[1])*theta>H50<-((-log(-log(1-1/T)))*theta)+epsilon

SUGGERIMENTO: c’è la possibilità di utilizzare il pacchetto evd che utilizza il metodo della massima verosimiglianza per la stima dei parametri e che fa molte altre cose!


ESEMPIO CON R

Obiettivo: valutare la durata di vita presunta di un’opera marittima date le sue caratteristiche funzionali e i possibili danni che onde maggiori dell’onda di progetto le possono arrecare.Calcoliamo ora l’intervallo di confidenza per H50. Dalle tabelle ricaviamo i coefficienti per la Gumbel.>c1<-0.64>c2<-9>c3<-0.93>c4<-0>c5<-1.33>vi<-N/50>c0<-c1*exp(c2*N^(-1.3)+c3*sqrt(-log(vi)))>T<-50>xT<--log(-log(1-1/T))>sz<-sqrt((1+c0*(xT-c4+c5*log(vi))^2)/N)>sx<-sd(cal$h)>s<-sx*sz>H50+1.96*s>H50-1.96*s


BOA DI ALGHERO BOA DI CATANIA BOA DI CROTONE

BOA DI LA SPEZIA BOA DI MAZARA DEL VALLO BOA DI MONOPOLI


BOA DI PESCARA BOA DI PONZA

Franco L. et al. (2004) Atlante delle onde nei mari italiani

Analisi dei dati di ondaControllo di qualità dei dati

Standardizzazione = metadata + documentazione + QC

Metadata - tutte le informazioni necessarie per un corretto uso delle serie temporali

ISO standard per dati georiferiti: ISO19115


Quality control L1- automatico

Tipicamente nelle operazioni automatiche di acquisizione il sistema effettua una serie di check sui dati appena misurati attribuendo un QC flag ( numero 1-10)

I check tipicamente sono:Formattazione del testoData ed ora correttaPresenza di gaps (inserisce la data e l’ora + mv tipo 999)Dati fuori rangeRilevamento di spikesRilevamento di valori costanti in un certo intervallo di tempo

Valori sospetti (operazioni di misura in condizioni non ideali)


Quality control L2- completo

Il QC completo si applica all’intera serie temporale. E’ un insieme di elaborazioni e test specifici per ogni tipo di osservazione, ad es. per le serie ondametriche le operazioni L2 sono :• analisi della formattazione• determinazione dei valori registrati con boa a terra• analisi delle tabelle a doppia entrata• ricerca di spike residui• ricerca di misure ripetute (confronto con altri periodi di tempo

ed altre boe )

Distribuzioni di probabilità per l’analisi statistica

delle onde estreme I tipo Gumbel

II tipo Frechet

III tipo Weibull

A=fattore di scalaB=fattore di posizioneK=parametro di forma

€

F(H i ≤ H) = exp −exp −H − B

A

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

€

−x < H < x

−x < B < x

0 < A < x

€

F(H i ≤ H) = exp −H

A

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟−k ⎧

⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

€

−x < H < x

0 < k < x

0 < A < x

€

F(H i ≤ H) =1− exp −H − B

A

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟k ⎧

⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

€

B < H < x

0 < k < x

0 < A < x

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