Michael Körner

PunktsymmetrieGrundwissen Mathematik

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Grundwissen Geometrische Abbildungen5.–10. Klasse

Michael Körner

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Punktsymmetrie erkennen

Aufgabe 1

Alle Abbildungen sind drehsymmetrisch. Von den jeweils vier abgebildeten Figuren passt eine dennoch nicht zu den anderen. Kreuze diese an.

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Aufgabe 2

Beschreibe die besondere Eigenschaft der Abbildungen aus Aufgabe 1, die nicht zu den anderen passen.

Aufgabe 3

Nenne weitere Sachen aus deiner Umwelt, die diese Eigenschaft haben.

1Michael Körner: Punktsymmetrie

© Persen Verlag

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Punktsymmetrische Figuren herstellen

InfoEine Figur ist punktsymmetrisch, wenn sie nach einer Drehung um 180° mit sich selbst zur Deckung kommt. Der Drehpunkt Z wird als Symmetriezentrum bezeichnet.

Aufgabe 1

Zeichne bei den Figuren, wenn möglich, das Symmetriezentrum ein.

a) b) c)

d) e) f)

Aufgabe 2

Ergänze die Figuren, sodass sie punktsymmetrisch mit Z als Symmetriezentrum sind.

a) b) c)

d) e) f)

2Michael Körner: Punktsymmetrie

© Persen Verlag

dass nktsymme

Aufgabe

rgän

InfoEine Punktspiegelung ist eine Drehung um Z mit α = 180°.

Aufgabe 1

Führe eine Punktspiegelung um den Punkt Z durch.

a) b)

Aufgabe 2

Lena behauptet, sie kann eine Punktspiegelung ohne Geodreieck und Zirkel machen. Nachstehend beschreibt sie, wie sie dabei vorgeht.

� Ich ermittle den senkrechten und den waagrechten Kästchenabstand des Punktes A vom Punkt Z.

� Ich gehe entsprechend viele Kästchen in die jeweils entgegengesetzte Richtung und erhalte den Punkt A’.

� Ich verfahre ebenso mit den Punkten B und C.

a) Spiegele die Punkte B und C mit Lenas Verfahren.b) Überprüfe ihre Methode, indem du die Punktspiege-

lung als Drehung nachvollziehst.c) Welche Vor- und Nachteile hat Lenas Methode?

Aufgabe 3

Übertrage die Figuren in dein Heft. a) b) c) Führe dann eine Punktspiegelung ohne Zirkel und Lineal durch.

Punktspiegelung durchführen (1)

3Michael Körner: Punktsymmetrie

© Persen Verlag

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Punktspiegelung durchführen (2)

Aufgabe 1

Führe eine Punktspiegelung um den Punkt Z durch.

a) b)

Aufgabe 2

Siri behauptet, sie kann eine Punktspiegelung nur mit dem Geodreieck machen. Nachstehend beschreibt sie, wie sie dabei vorgeht.

� Ich lege das Geodreieck mit dem Nullpunkt auf den Punkt Z und mit der Linealkante auf den Punkt A.

� Ich bestimme die Länge der Strecke ZA.

� Ich trage die gleiche Länge auf der anderen Seite des Nullpunktes ab und erhalte den Punkt A’.

Ich verfahre ebenso mit den Punkten B und C.

a) Spiegele die Punkte B und C mit Siris Verfahren.b) Überprüfe ihre Methode, indem du die Punktspiegelung als Drehung nachvollziehst.c) Welche Vor- und Nachteile hat Siris Methode?

Aufgabe 3

Führe eine Punktspiegelung nur mit dem Geodreieck durch.

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4Michael Körner: Punktsymmetrie

© Persen Verlag

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Symmetriezentrum zeichnerisch ermitteln

Aufgabe 1

Teamarbeit für drei Schüler

� Jeder Schüler zeichnet eine Verbin-dungsstrecke:– Schüler 1 die Strecke AA’ – Schüler 2 die Strecke CC’ – Schüler 3 die Strecke BB’

� Bezeichnet den Schnittpunkt der Ver-bindungsstrecken mit Z.

� Schlagt einen Kreis um Z: – Schüler 1 mit dem Radius ZC – Schüler 2 mit dem Radius ZB – Schüler 3 mit dem Radius ZA

Was stellt ihr fest? Vergleicht eure Ergebnisse.

Ermittelt die Drehwinkel:– Schüler 1 für die Drehung von Punkt C – Schüler 2 für die Drehung von Punkt A– Schüler 3 für die Drehung von Punkt B

� Was fällt euch auf?

Aufgabe 2

Ermittle das Symmetriezentrum zeichnerisch.

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A

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5Michael Körner: Punktsymmetrie

© Persen Verlag

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Vermischte Übungen zur Punktsymmetrie

Aufgabe 1

Zeichne bei den Figuren, wenn möglich, das Symmetriezentrum ein.

a) b) c)

Aufgabe 2

Ergänze die Figuren, sodass sie punktsymmetrisch mit Z als Symmetriezentrum sind.

a) b)

Aufgabe 3

a) Zeichne in das Koordinaten-system das Viereck ABCD mit den Eckpunkten A(1 | –2), B(4 | 1), C(2 | 2,5), D(–1 | –0,5).

b) Führe eine Punktspiegelung mit der Figur um den Ursprung durch.

c) Gib die Koordinaten der Bild-punkte an.

A’(____ | ____)

B’(____ | ____)

C’(____ | ____)

D’(____ | ____)

4

3

2

1

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–2

–3

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6Michael Körner: Punktsymmetrie

© Persen Verlag

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Aufgabe

a) Zeichnesystemm

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Lernzielkontrolle zur Punktsymmetrie

Aufgabe 1

Bestimme das Symmetriezentrum zeichnerisch.

a) b)

Aufgabe 2

Ergänze die Figuren, sodass sie punktsymmetrisch sind.

a) b) c) d)

Aufgabe 3

Führe jeweils eine Punktspiegelung um den Punkt Z durch.

a) b) c)

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A

B

C

D

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E'

D'

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B'

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B

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B C

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A D

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7Michael Körner: Punktsymmetrie

© Persen Verlag

A

b

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Aufgabe

Führe jewe

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Aufgabe 2

a) und b) A’(5,4 | –0,3) B’(8 | 0,9)

C’(–1,1 | –0,9) D’(1,8 | –2)

Aufgabe 3

Seite 37

Aufgabe 1a) b) c)

Aufgabe 2a) und b) A’(–2,4 | –3,4) B’(0 | –3,9) C’(0,9 | –2,6)

D’(–1 | –1) E’(–3 | 1) F’(–4,5 | 0)

Aufgabe 3a) Linksdrehung mit 145°, Rechtsdrehung mit 215°

b) Linksdrehung mit 225°, Rechtsdrehung mit 135°

Seite 1

Aufgabe 1a) � b) � c) � d) �

Aufgabe 2Die vier Abbildungen, die nicht zu den anderen passen,

kommen nur nach einer Drehung um 180° mit sich selbst

zur Deckung.

Aufgabe 3Individuelle Lösungen.

Seite 2

Aufgabe 1a) c)

e) f)

Aufgabe 2a) b) c)

d) e) f)

Seite 3

Aufgabe 1a) b)

Aufgabe 2Lenas Methode kann nur auf Karokästchen angewendet

werden. Wenn die Eckpunkte der Figur und das Symme-

triezentrum genau auf einem „Kästchenkreuz“ liegen, kann

man durch Abzählen relativ schnell eine genaue Punkt-

spiegelung durchführen. Liegen die Punkte jedoch nicht

genau auf einem „Kästchenkreuz“, ist die Methode sehr

ungenau.

Aufgabe 3a) b) c)

Lösungen

4

3

2

1

–1

–2

–3

–4

–4 –3 –2 –1

1 2 3 4 5 6 7 8

Seite 2

Aufgabe 1a) c)

e) f)

Aufgabe 2a) b) c)

d) e) f)

Seite 3

Aufgabe 1a) b)

Aufgabe 2Lenas Methode kann nur auf Karokästchen angewendet

werden. Wenn die Eckpunkte der Figur und das Symme-

triezentrum genau auf einem „Kästchenkreuz“ liegen, kann

man durch Abzählen relativ schnell eine genaue Punkt-

spiegelung durchführen. Liegen die Punkte jedoch nicht

genau auf einem „Kästchenkreuz“, ist die Methode sehr

ungenau.

Aufgabe 3a) b) c)

Seite 4

Aufgabe 1a) b)

Aufgabe 2Der Vorteil an Siris Methode ist, dass die Punktspiegelung

sehr schnell durchgeführt werden kann. Wenn man die

Längen der Strecken ZA, ZB und ZC an der Linealkante

abliest, kann es aber zu Fehlern beim Ablesen kommen.

Außerdem ist das Abtragen der Länge mit dem Zirkel eine

echte Konstruktion und normalerweise genauer.

Aufgabe 3a) b)

Seite 5

Aufgabe 1 Der Kreis geht auch durch den jeweiligen Bildpunkt.

Daraus folgt, dass der jeweilige Punkt um Z gedreht wurde. und � Die Drehwinkel betragen jeweils 180°. Somit

kann man auf diese Weise das Drehzentrum ermitteln.

Aufgabe 2Ermittle das Symmetriezentrum zeichnerisch.

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Aufgabe 1a) b) kein Symmetrie- c)

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Aufgabe 2a) b)

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8Michael Körner: Punktsymmetrie

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Aufgabe 1a) b)

Aufgabe 2Der Vorteil an Siris Methode ist, dass die Punktspiegelung

sehr schnell durchgeführt werden kann. Wenn man die

Längen der Strecken ZA, ZB und ZC an der Linealkante

abliest, kann es aber zu Fehlern beim Ablesen kommen.

Außerdem ist das Abtragen der Länge mit dem Zirkel eine

echte Konstruktion und normalerweise genauer.

Aufgabe 3a) b)

Seite 5

Aufgabe 1 Der Kreis geht auch durch den jeweiligen Bildpunkt.

Daraus folgt, dass der jeweilige Punkt um Z gedreht wurde. und � Die Drehwinkel betragen jeweils 180°. Somit

kann man auf diese Weise das Drehzentrum ermitteln.

Aufgabe 2Ermittle das Symmetriezentrum zeichnerisch.

a) b) c)

Seite 6

Aufgabe 1a) b) kein Symmetrie- c)

zentrum

Aufgabe 2a) b)

Aufgabe 3c) A’(–1 | 2) B’(–4 | –1) C’(–2 | –2,5) D’(1 | 0,5)

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Aufgabe 1Bestimme das Symmetriezentrum zeichnerisch.

a) b)

Aufgabe 2a) b) c) d)

Aufgabe 3Führe jeweils eine Punktspiegelung um den Punkt Z durch.

a) b) c)

d) e)

f) g)

Lösungen

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Aufgabe 3c) A’(–1 | 2) B’(–4 | –1) C’(–2 | –2,5) D’(1 | 0,5)

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Aufgabe 1Bestimme das Symmetriezentrum zeichnerisch.

a) b)

Aufgabe 2a) b) c) d)

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Aufgabe 3Führe jeweils eine Punktspiegelung um den Punkt Z durch.

a) b) c)

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9Michael Körner: Punktsymmetrie

© Persen Verlag

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