Dr Dragutin Lj. Debeljkovi� � Dr Dalibor Z. Stevi�

Dr Goran V. Simeunovi� � Dr Srdjan Ribar � Mr Nebojša J. Dimitrijevi�

DINAMIKA OBJEKATA I PROCESA

U SISTEMIMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

X DEO

Mašinski fakultet Univerziteta u Beogradu

2012

Dr Dragutin Lj. Debeljkovi�, redovni profesor Mašinskog fakulteta Univerziteta u Beogradu Dr Dalibor Z. Stevi�, dipl. inž. maš. Dr Goran V. Simeunovi�, dipl. inž. maš. spec. Inovacioni centar Mašinski fakultet Beograd Dr Srdjan Ribar, asistent Mašinskog fakulteta Univerziteta u Beogradu Mr Nebojša J. Dimitrijevi�, dipl. inž.maš. Visoka škola primenjenih strukovnih studija, Vranje Dinamika objekata i procesa u sistemima automatskog upravljanja X Deo Monografija I izdanje Recenzenti Dr Svetislav Zari�, redovni profesor Mašinskog fakulteta u Beogradu

Dr Mihailo P. Lazarevi�, redovni profesor Mašinskog fakulteta u Beogradu

Izdava� Univerzitet u Beogradu Mašinski fakultet Beograd 11000 Beograd 35, Kraljice Marije 16

Za izdava�a: Dekan Glavni i odgovorni urednik Dr Aleksandar Obradovi�, prof.

Odobreno za štampu odlukom Dekana br. 186/11 od 10.11.2011.god.

Beograd, 2012 Tiraž: 200 primeraka

Štampa: PLANETA print ISBN 978 – 86 – 7083 – 742 – 3 _______________________________________ Preštampavanje, umnožavanje, fotokopiranje ili reprodukcija cele knjige ili nekih njenih delova nije dozvoljena.

Dr Dragutin Lj. Debeljkovi� � Dr Dalibor Z. Stevi�

Dr Goran V. Simeunovi� � Dr Srdjan Ribar Mr Nebojša J. Dimitrijevi�

DINAMIKA OBJEKATA I PROCESA U SISTEMIMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

X DEO

Mašinski fakultet Univerziteta u Beogradu

2012

Zahvalnost

Izdanje ove nau�ne monografije finansijski je pomoglo

Ministarstvo prosvete i nauke Republike Srbije

na �emu su Ministarstvu autori neizmerno i duboko zahvalni

Predgovor

Analiza i projektovanje savremenih sistema automatskog upravljanja, na današnjem

stepenu razvoja nauke i tehnike, kao i neophodnost ispunjavanja veoma strogih zahteva koji se name�u kvalitetu dinami�kog ponašanja sistema u celini, traže poznavanje njihovih dovoljno ta�nih, u inžinjersko-tehni�kom smislu, matemati�kih modela

Za njihovo formiranje od fundamentalnog je zna�aja je suštinsko poznavanje procesa koji se modelira, korektno definisanje “kontrolne granice”, potpuno razgrani�enje pitanja primarnih i sekundarnih uticaja, kao i adekvatno postavljanje odgovaraju�ih bilansnih jedna�ina za neuravnoteženja stanja procesa.

Preostali deo posla oko svo�enja matemati�kog modela na svoj kona�an oblik, obi�no, predstavlja rutinski zadatak.

Ova monografija sadrži i obuhvata osnovne principe matemati�kog modeliranja mašinskih i tehni�ko-tehnoloških objekata i procesa.

Materija je data u nešto širem obimu nego uobi�ajeno zahavaljuju�i dubokoj, svestranoj i sistematskoj analizi usvojenih pretpostavki, njihovoj opravdanosti kao i posledica koje iz tih uproš�enja proisti�u. Izneta razmatranja, u tom smislu, oslanjaju se na materiju koja se izlaže u okviru fundamentalnih oblasti kao što su Mehanika, Termodinamika, Mehanika fluida i u manjoj meri Teorija upravljanja.

Na bazi usvojenih modela koriš�enjem osnovnih zakona fizike, izraženih u vidu osnovnih zakona konzervacije ispisanih za nestacionarne radne režime, rezultuju prvo nelinearni a zatim linearizovani matemati�ki modeli razmatranih objekata i procesa, dati u vidu sistema diferencijalnih jedna�ina ponašanja, prenosnih funkcija ili u odgovaraju�im matri�nim reprezentacijama modela u prostoru stanja.

Konkretizuju�i dobijene rezultate, kroz numeri�ke vrednosti aktuelnih parametara modela, pruža se mogu�nost da se isti efikasno iskoriste u analizi stati�kih i dinami�kih osobina objekata i procesa ili u postupcima sinteze upravlja�kih delova sistema, shodno usvojenim konceptima upravljanja.

Imaju�i u vidu da je formiranje matemati�kih modela, prvenstveno, motivisano ciljevima istraživanjima i da se jednom te istom objektu ili procesu može dodeliti više razli�itih modela, kvalitativna analiza njihove verodostojnosti može se inicijalno sprovesti riguroznom analizom stepena uvedenih idealizacija i detaljnim preispitivanjem evidentnih pojednostavljenja proisteklih iz neminovnih matemati�kih aproksimacija, kako bi se u krajnjoj instanci izbegao �isto akademski modeli.

Ova monografija nastavlja i produbljuje, ranije izu�avane tematske oblasti, i u znatnoj meri ih proširuje stavljaju�i povremeno,u žižu interesovanja, još neke atipi�ne odabrane procese, postrojenja i sisteme.

Njen poseban doprinos se ogleda u �injenici, da su se autori, po prvi put, pozabavili pitanjima dinamike mernih organa, kao neotu�ivih sastavnih delova svakog sistema upravljanja, koji doista po svojoj funkcionalnoj odre�enosti ne pripadaju objektima i procesima automatskog upravljanja, ali po svojoj složenoj dinamici potpuno zaslužuju da im se posveti dužna pažnja, imaju�i u vidu savremene potrebe da se njihove stati�ke, a posebno dinami��ke karakteristike u potpunosti spoznaju i stave na raspolaganje projektantu..

Zajedno sa I, II, III, IV, V, VI, VIII i IX delom, predmetna monografija, predstavlja jednu neraskidivu, logi�ku celinu potrebnu i dovoljnu za nau�no i stvarala�ko, a u krajnoj liniji i profesionalno bavljenje ovom problematikom.

Ova monografija je nastala kao plod dvadesetogodišnjeg bavljenja prvopotpisanog autora problematikom modeliranja objekata i procesa.

U tom smislu valja ista�i i nespornu �injenicu da je veliku pomo� i razumevanje imao u svojim kolegama, koautorima ove monografije, kao i u brojnim studentima, sada ve� diplomiranim inženjerima, koji su u svojim završnim diplomskim radovima ili magistarskim tezama samostalno rešili ve�i broj idejno predo�enih problema, �ime su dali zna�ajan doprinos kompletiranju do sada postoje�ih rezultata na ovom polju nau�nog istraživanja, a sve sa stanovišta teorije i prakse automatskog upravljanja.

Autori su duboko zahvalni rezenzentima ove popularne serije monografija Dr Svetislavu Zari�u i Dr Mihailu P. Lazarevi�u, redovnim profesorima Mašinskog fakulteta Univerziteta u Beogradu na korisnimi konstruktivnim sugestijama, stalnom bodrenju u nastojanjima da se da više i bolje i konstruktvnim, kriti�kim i inspirativnim savetima, kao i trudu oko recenzija.

A u t o ri

Beograd, januar 2012. god.

DINAMIKA OBJEKATA I PROCESA U

SISTEMIMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA X DEO

SADRŽAJ

I OPŠTI DEO

I OPŠTE POSTAVKE MATEMATI�KOG MODELIRANJA ..........................................1

1. PROJEKTOVANJE PROCESA MODELOVANJA I MODELA PONAŠANJA ............... 1

1.1 Model ponašanja .............................................................................. 1 1.1.1 Podela na pod-modele ............................................................. 1 1.1.2 Pretpostavke ............................................................................ 2 1.1.3 Bilansi ...................................................................................... 3 1.1.4 Pojednostavljenje bilansa ........................................................ 5 1.1.5 Dodatne jedna�ine ................................................................... 5 1.1.6 Preure�enje sistema.................................................................. 6 1.1.7 Dijagram toka podataka ........................................................... 6 1.1.8 Lista za proveru ....................................................................... 7 1.1.9 Alternativni modeli.................................................................. 8

1.2 Jedan celoviti primer.................................................................... .. 9

1.2.1 Podela na pod-sisteme ........................................................... 10 1.2.2 Pretpostavke........................................................................... 10 1.2.3 Bilansi .................................................................................... 10 1.2.4 Pojednostavljenje bilansa....................................................... 11 1.2.5 Dodatne jedna�ine ................................................................. 11 1.2.6 Preure�enje ............................................................................ 12 1.2.7 Dijagram toka podataka ......................................................... 13 1.2.8 Lista za proveru ..................................................................... 13 1.2.9 Alternativni model ................................................................. 13

Literatura .................................................................................................... 14 2. RADNE TA�KE .................................................................................. 15

2.1 Uvod ................................................................................................. 15 2.1.1 Stacionarni sistem i radna ta�ka ........................................... .. 15

2.2 Proto�ni sistemi ........................................................................... 16 2.3 Hemijski sistem ............................................................................ 17 2.4 Stabilnost u radnoj ta�ki .............................................................. 20 2.5 Radna ta�ka prelaza ..................................................................... 25

Literatura ................................................................................................... 28

II DINAMIKA OBJEKATA I PROCESA

II MATEMATI�KI MODELI KRETANJA, DOZIRANJA, TRANSPORTA I USKLADIŠTENJA MATERIJALA I PROIZVODNO-TEHNI�KO-TEHNOLOŠKIH PROCESA 3. DISKRETNA SIMULACIJA PRENOSA TOPLOTE U PROCESU IZRADE ODLIVAKA ......... 29

3.1 Uvod i matemati�ke formule ......................................................... 30 3.2 Opšta Remark–ova metoda karakteristi�ne funkcije ................ 31 3.3 Definisanje promenljivih stanja sistema ...................................... 34 3.4 Numeri�ki primer .......................................................................... 36

Literatura .................................................................................................... 39

III MATEMATI�KI MODELI STRUJNIH PROCESA .......... 41 4. NUMERI�KA SIMULACIJA HIDRAULI�KOG UDARA IZAZVANOG KONDEZACIJOM PARE ......................................... 41

4.1 Uvod ................................................................................................. 41 4.2 Pristup modelovanjem ................................................................... 42

4.2.1 Matemati�ki model jedno-dimenzionog strujanja homogenog fluida .................. 42 4.2.2 Numeri�ka rešenja jedna�ine održanja energije ................... 45

4.3 Numeri�ki rezultati ........................................................................ 47 4.3.1 Prostiranje granice vazduh- voda u osciluju�em manometru ..................................................... 47 4.3.2 Hidrauli�ki udar izazvan kondezacijom u vertikalnoj cevi za drenažu pare u bazen ispunjen pothla�enom vodom ....... 51

4.4 Zaklju�ak ........................................................................................ 53

Literatura .................................................................................................... 54

IV MATEMATI�KI MODELI

STRUJNO TERMI�KIH PROCESA ...................................... 55 5. MATEMATI�KI MODELI REKUPERATIVNIH RAZMENJIVA�A TOPLOTE .................... 55

5.1. Uvod ................................................................................................ 55 5.2 Matemati�ko modeliranje razmenjiva�a toplote primenom analiti�kog postupka .............. 57

5.2.1 Matemati�ki model razmenjiva�a toplote sa unakrsnim tokom radnih fluida ....... 57

5.2.1.1 Izvo�enje osnovnih jedna�ina .................................... 58

5.2.2 Matemati�ki model razmenjiva�a toplote tipa cev u cev ..... 69

5.3 Primena matemati�ke diskretizacije u matemati�kom modeliranju razmenjiva�a toplote .................. 79

5.3.1 Diferencijalno-diskretni matemati�ki model razmenjiva�a toplote sa unakrsnim strujanjem radnih fluida .......................................................................... 80 5.3.2 Diferencijalno-diskretni matemati�ki model razmenjiva�a toplote tipa cev u cev ....... 92

5.4 Matemati�ko modeliranje razmenjiva�a toplote primenom postupka fizi�ke diskretizacije .................................................. 103

5.4.1 Matemati�ki model razmenjiva�a toplote sa unakrsnim strujanjem radnih fluida - fizi�ka diskretizacija ........................................................ 104 5.4.2 Matemati�ki model razmenjiva�a toplote tipa cev u cev primenom postupka fizi�ke diskretizacije ........................... 114

5.5 Transportni prilaz u matemati�kom modeliranju razmenjiva�a toplote ............... 125

5.5.1 Razmenjiva� toplote sa unakrsnim strujanjem radnih fluida ................................ 125 5.5.2 Matemati�ki model razmenjiva�a toplote tipa cev u cev - transportni prilaz ...... 135

5.6 Komparativna analiza dobijenih rezultata ................................ 146

Literatura .................................................................................................. 152

6. PROJEKTOVANJE I SINTEZA DINAMI�KOG PONAŠANJA SAVREMENIH REKUPERATIVNIH RAZMENJIVA�A TOPLOTE SA POZICIJA GEOMETRIJSKE OPTIMIZACIJE ..................... 153

6.1 Uvod ............................................................................................... 153

6.1.1 Geometrijska optimizacija i uslovni indeks upravljivosti ... 155

6.2. Geometrijska optimizacija razmatranog razmenjiva�a toplote sa unakrsnim strujanjem radnih fluida ................................... 157

6.2.1 Geometrijska optimizacija na osnovu matemati�kog modela razmenjiva�a toplote dobijenog postupkom fizi�ke diskretizacije ........................................ 158 6.2.2 Robusnost stabilnosti i geometrijska optimizacija ............. 162

6.3 Geometrijska optimizacija razmenjiva�a toplote tipa cev u cev ........................................... 164

6.3.1 Geometrijska optimizacija na osnovu matemati�kog modela razmenjiva�a toplote dobijenog direktnim postupkom matemati�ke diskretizacije ............... 165

Literatura .................................................................................................. 167

V MATEMATI�KI MODELI

PROCESA SA PRENOSOM MASE I TOPLOTE .............. 171 7. SINTEZA UPRAVLJANJA POLUŠARŽNE DESTILACIONE KOLONE ................................. 171

7.1 Uvod ............................................................................................... 171 7.2 Opis destilacijskog procesa ......................................................... 172 7.3 Matemati�ko modeliranje procesa ............................................. 174 7.4 Izvo�enje višestruko prenosnog PI regulatora za podešavanje polova ......................................... 176 7.5 Hibridna simulacija trenutnog ra�unarskog upravljanja ........................................... 176

Literatura .................................................................................................. 180

VI MATEMATI�KI MODELI MAŠINA I MOTORA .......... 181

8. NELEINEARNI MATEMATI�KI MODEL JEDNE EKSPANZIONE GASNE TURBINE ................................ 181

8.1 Jedna�ina polja obrtanja gasne turbine .................................... 181 8.2 Jedna�ina polja pritiska u parnoj turbini ................................. 185 8.3 Jedna�ina polja temperature u parnoj turbini ......................... 187 8.4 Linearizacija matemati�kog modela ekspanzione turbine ....... 191 8.4.1 Linearizacija jedna�ine polja obrtanja gasne turbine ........... 191 8.4.2 Linearizacija jedna�ine polja pritiska gasne turbine ............. 194 8.4.3 Linearizacija jedna�ine polja temperature gasne turbine ...... 198

8.5 Matemati�ki model turbine u prostoru stanja .......................... 207 8.5.1 Jedini�ni odsko�ni odzivi gasne turbine pri pojedina�nim promenama ulaznih veli�ina .................... 208

Literatura .................................................................................................. 209

9. DINAMIKA I MATEMATI�KI MODELI NEKIH ELEMENATA, DELOVA I POSTROJENJA ELEKTROENERGETSOG SISTEMA ........................................... 211

9.1 Uopštena razmatranja ................................................................. 211 9.2 Prikaz energetskog sistema ..................................................... . 214 9.3 Matemati�ki modeli elemenata i delova koji formiraju elektroenergetski sistem .................................... 216

9.3.1 Regulatori hidrauli�nih i parnih turbina ............................. 216 9.3.1.1 Uopštena razmatranja ............................................... 216 9.3.1.2 Turbinski regulatori po ubrzanju .............................. 217

9.3.2 Turbinski regulator sa padom brzine u prelaznom režimu .................................. 220 9.3.3 �isti brzinski regulatori sa stati�kom povratnom spregom ........................................ 223 9.3.4 Univerzalni turbinski regulatori .......................................... 223 9.3.5 Uloga limitera turbinskih vrata (ventila) ............................. 223

9.4 Toplotne elektrane ....................................................................... 224 9.4.1 Uopšteno .............................................................................. 224 9.4.2 Parna elektrana sa direktnom kondenzacijom ..................... 224

Literatura .................................................................................................. 225

VII MATEMATI�KI MODELI SAOBRA�AJNO

– TRANSPORTNIH SREDSTAVA .................................... 227 10. DINAMIKA KRETANJA AVIONA .............................................. 227

10.1 Sinteza autopilota za (BTT) rakete koriš�enjem tehnike singularnih perturbacija .................. .... 227

10.1.1 Uvodna razmatranja .......................................................... 227 10.1.2 Sinteza upravlja�kog sistema ............................................ 228

Literatura .................................................................................................. 235

10.2 Estimacija performansi aktuatora satelita posredstvom podataka o položaju .............................. 237

10.2.1 Uvodna razmatranja .......................................................... 237 10.2.2 Dinamika i postavka problema .......................................... 238 10.2.3 Teorija estimacije parametara ........................................... 242 10.2.4 Primena i dobijeni rezultati ............................................... 244

Literatura .................................................................................................. 248

11. MATEMATI�KI MODEL SAGOREVANJA GORIVA U INDUSTRIJSKOM LOŽIŠTU .................................................... 251

11.1 Opis .............................................................................................. 251 11.2 Metoda razvoja modela ............................................................. 253

Literatura .................................................................................................. 258

12. KONVENCIONALNO UPRAVLJANJE KOTLA ....................... 259

12.1 Postoje�i sistem upravljanja ..................................................... 259 12.2 Trenutno dostupni sistemi ......................................................... 263 12.3 Modeliranje dinamike ovih postrojenja .................................. 263 12.4 Kriterijum performanse ............................................................ 267 12.5 Analiti�ke metode kontrole ....................................................... 268

Literatura .................................................................................................. 270

13. FORMULACIJA PROBLEMA UPRAVLJANJA ....................... 273

13.1 Dinami�ki sistemi ....................................................................... 273 13.2 Željeni izlaz sistama ................................................................... 273 13.3 Dozvoljeni ulazi .......................................................................... 275 13.4 Funkcija rada – izbor kriterijuma optimalnosti .................... 275 13.5 Nelinearni matemati�ki model .................................................. 276 13.6 Linearizovani model .................................................................. 278 13.7 Linearna analiza ......................................................................... 281

Literatura .................................................................................................. 285

14. HIDRAULI�KA ANALOGIJA TOKA SAOBRA�AJA ............. 287

14.1 Jedna�ina kontinuiteta saobra�aja ........................................... 288 14.2 Jedna�ine kretanja saobra�aja ................................................. 288 14.3 Ustaljeni saobra�ajni tok ........................................................... 290 14.4 Primena kinemati�ke teorije ..................................................... 292 14.5 Komentar rezultata .................................................................... 293

Literatura .................................................................................................. 296

15. ANALOGIJA IZME�U MASE, OPRUGE I PRIGUŠIVA�A I TOKA SAOBRA�AJA .................................. 297

15.1 Uvod ............................................................................................. 297 15.2 Osnovna jedna�ina ..................................................................... 298 15.3 Linearni model dinmike rastojanja izme�u vozila ................. 299

15.3.1 Izvo�enje modela .............................................................. 299 15.3.2 Analiza stabilnosti ............................................................. 300

15.4 Izvor poreme�aja u modelu ....................................................... 303 15.4.1 Izvo�enje modela .............................................................. 303 15.4 2 Model sa zadrškom reakcije voza�a .................................. 304

Literatura .................................................................................................. 304

III SNIŽAVANJE REDA MODELA X SNIŽAVANJE REDA MATEMATI�KIH

MODELA OBJEKATA I PROCESA UPRAVLJANJA - DOVOLJNO TA�NI APROKSIMATIVNI MODELI .....305

16. SNIŽAVANJE REDA MODELA - OSNOVNA RAZMATRANJA ..................................................... 305

Literatura .................................................................................................. 306 17. SNIŽAVANJE REDA MODELA - TEORIJSKE POSTAVKE 307

17.1 Postavka problema ..................................................................... 307 17.2 Analiza stabilnosti u frekventnom domenu ............................. 308 17.3 Izbor funkcije � �s� ................................................................... 309

17.4 Rezultati analize stabilnosti u vremenskom domenu ........................................... 310 17.5 Procena ta�nosti rada sistema .................................................. 310 17.6 Procena dejstva ulazne veli�ine ................................................ 311

Literatura .................................................................................................. 312 18. ŠEMA SMITOVOG REGULATORA ........................................... 313

18.1 Stabilnost i kvalitet rada Smith-ovog regulatora .................... 314

Literatura .................................................................................................. 314

19. IZBOR PARAMETARA U PROSTIM MODELIMA ................. 315

19.1 Modeli prvog reda ...................................................................... 315 19.2 Modeli prvog reda sa kašnjenjem ............................................ 315 19.3 Modeli drugog reda .................................................................... 316

Literatura .................................................................................................. 316 20. NUMERI�KI PRIMER 1 ............................................................... 317

Literatura .................................................................................................. 330 21. NUMERI�KI PRIMER 2 ............................................................... 331

Literatura .................................................................................................. 338 22. NUMERI�KI PRIMER 3 ............................................................... 339

22.1 Projekat baziran na Smith-ovom regulatoru .......................... 343

Literatura .................................................................................................. 352 23. NUMERI�KI PRIMER 4 ............................................................... 353

Literatura .................................................................................................. 359 24. NUMERI�KI PRIMER 5 ............................................................... 361

Literatura .................................................................................................. 372

IV DODACI

XI DODACI DODATAK A – Oznake ........................................................................ 375

DODATAK B - Numeri�ke metode za odre�ivanje inverzne Laplasove transformacije .......................... 389

B.1 Rešenje kubne jed. (5.26) i mogu�nosti aproksimacije složenih prenosnih funkcija .............................. 394 B.2 Neke od mogu�ih aproksimacija složenih prenosnih funkcija .............................. 396

Literatura .................................................................................................. 398

DODATAK C - Geometrijska optimizacija razmenjiva�a toplote na osnovu matemati�kog modela opisanog parcijalnim diferencijalnim jedna�inama ..................... 399

Literatura .................................................................................................. 402 DODATAK D - Osnovni koncepti regulisanja temperature kod klasi�nih rekuperativnih razmenjiva�a toplote ...... 403

D.1 Uvod .............................................................................................. 403 D.2 Regulacija temperature kod razmenjiva�a toplote .................. 403

D.2.1 Klasi�ni sistem regulacije temperature .............................. 403 D.2.2 Kaskadni sistem regulacije temperature ............................ 405 D.2.3 Unapredno regulisanje ....................................................... 407 D.2.4 Regulisanje temperature sa obilaznim tokom ..................... 408

D.3 Opis aparature ............................................................................. 409 D.3.1 Regulacijsko temperature ................................................... 411 D.3.1.1 Razmenjiva� toplote ........................................................ 412

Literatura .................................................................................................. 412 DODATAK E - Razmenjivaci toplote ................................................. 413

E.1 Vrste razmenjiva�a toplote ......................................................... 413 E.2 Srednja temperaturska razlika kod razmenjiva�a sa paralelnim i suprotnim tokom ...................... 414 E.3 Kretanje fluida u razmenjiva�ima toplote ................................ 418 E.4 Srednja temperaturska razlika kod razmenjiva�a sa unakrsnim tokom .................................... 420 E.5 Srednja temperaturska razlika kod složenih razmenjiva�a toplote ............................................ 424

Literatura .................................................................................................. 428 DODATAK F - Standardni uslovi za vrednosti prigušenja za Primer 1 ............................... 429

Literatura .................................................................................................. 429 DODATAK G - Neka dodatna pojašnjenja ......................................... 430

Literatura .................................................................................................. 430

XII LITERATURA ............................................................................. 431