DRAFT - orgfree.comivivanov.orgfree.com/Sapromat2lekcii.pdf · draft7.1.Изследване на равнинно напрегнато състояние Фиг. 7.3. Окръжност

DR

AFT

С Ъ П Р О Т И В Л Е Н И Е

Н А

М А Т Е Р И А Л И Т Е

ВТОРА ЧАСТ

лекционни записки

за студентите от машинните специалности

на Русенски университет "Ангел Кънчев"

доц. д-р инж. Ивелин Иванов

- 2009 -

DR

AFT

Съдържание

7 Сложно напрегнато състояние 3

7.1 Изследване на равнинно напрегнато състояние . . . . . . . . . . . . . . . . . 37.2 Главни напрежения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67.3 Тримерно напрегнато състояние . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77.4 Обобщен закон на Хук . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97.5 Частни случаи на напрегнато състояние . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

8 Теории за якост 15

8.1 Критерии за провлачване на пластични материали . . . . . . . . . . . . . . . 158.1.1 Критерий на Треска . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158.1.2 Критерий на фон Мизес . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

8.2 Критерии за крехко разрушение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178.2.1 Критерий на Кулон (или Ранкин) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178.2.2 Критерий на Мор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

8.3 Еквивалентно напрегнато състояние . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

9 Дебелостенни тръби 21

9.1 Задача на Ламе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219.2 Дебелостенна тръба под вътрешно налягане . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249.3 Дебелостенни тръби под външно налягане . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259.4 Съставни дебелостенни тръби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

10 Матрични методи в строителната механика 29

10.1 Въведение в матричните методи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2910.1.1 Основни понятия и принципи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2910.1.2 Линейна алгебра. Основни действия с матрици. . . . . . . . . . . . . . 31

10.2 Едномерен прътов елемент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3410.3 Равновесие на възел. Система от пръти . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3510.4 Решаване на деформационната задача — обобщение . . . . . . . . . . . . . . 38

10.4.1 Свойства на системната коравинна матрица . . . . . . . . . . . . . . . 3810.4.2 Методи за решаване на система линейни алгебрични уравнения . . . 4010.4.3 Анализ на резултатите — постпроцес . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

10.5 Равнинна ставно-прътова конструкция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4410.5.1 Разширение на едномерен прътов елемент до равнинен . . . . . . . . 4410.5.2 Трансформация на вектор в равнината . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4510.5.3 Трансформиране на коравинна матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . 4710.5.4 Анализ на равнинна ставно-прътова конструкция . . . . . . . . . . . . 4810.5.5 Разширение до пространствена ставно-прътова система . . . . . . . . 52

10.6 Метод на преместванията и метод на силите . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5410.6.1 Матричен метод на силите . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

1

DR

AFT

Съдържание

10.6.2 Връзка между метод на силите и метод на преместванията . . . . . . 5510.6.3 Извеждане на коравинната матрица на равнинен гредови елемент . . 58

10.7 Равнинни рамки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6410.7.1 Равнинен рамков елемент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6410.7.2 Трансформация на равнинен рамков елемент . . . . . . . . . . . . . . 6510.7.3 Анализ на равнинна рамкова конструкция . . . . . . . . . . . . . . . . 6710.7.4 Разширение на рамковия елемент до пространствен . . . . . . . . . . 71

10.8 Елементни натоварвания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7310.8.1 Температурно разширение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7310.8.2 Равномерно-разпределен осов товар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7710.8.3 Равномерно-разпределен напречен товар . . . . . . . . . . . . . . . . . 7910.8.4 Анализ при равномерно-разпределен напречен товар . . . . . . . . . . 82

2

DR

AFT

Глава 7

Сложно напрегнато състояние

При различните натоварвания, разгледани в предходните глави, в точка от напречносечение на пръта възникват само нормални или само тангенциални напрежения. В общияслучай на комбинация от тези натоварвания в точка от напречно сечение на пръта могатда възникнат едновременно нормални и тангенциални напрежения. Тогава казваме, че вточката възниква сложно напрегнато състояние.

Фиг. 7.1. Пример за сложно напрегнато състо-яние

Едно напрегнато състояние е напълно

известно само, ако познаваме напрежени-

ята, действащи в три взаимно перпенди-

кулярни площадки, прекарани през изслед-

ваната точка от тялото. За простота мо-жем да си представим, че сме отрязали ед-но безкрайно малко кубче около точката оттялото, където трябва да определим напрег-натото състояние. Кубчето има шест стени — площадки. По всеки две взаимно успоредниплощадки, действат едни и същи компоненти на напрежението, но насочени в противопо-ложни посоки в пространството (фиг. 7.1). Ние се интересуваме от напреженията само втри взаимно перпендикулярни площадки от шестте стени на кубчето.

§ 7.1. Изследване на равнинно напрегнато състояние

Често в конструкциите при натоварване възниква равнинно напрегнато състояние. Приотделянето на елементарно кубче от материала на конструкцията в една от площадките(и успоредната на нея) напреженията се оказват нулеви както е показано на фиг. 7.2a.В площадката с нормала z няма напрежение и равнината xy е ранината на равниннотонапрегнато състояние.

За да изследваме как се изменят напреженията в площадките успоредни на оста z спромяната на ориентацията им трябва да разгледаме равновесието на триъгълна призмас основа ABC, отрязана от кубчето на фиг. 7.2а. Гледайки срещу оста z, проекцията напризмата в равнината xy изглежда както е посочено на фиг 7.2б. В площадките с нормали−y и −x напреженията са известни и зададени. Да определим нормалните и тангенциалнинапрежения в площадката с нормала n, която сключва ъгъл α с оста x.

Страната BC от основата на призмата се проектира върху осите x и y, така че

AB = BC sinα , AC = BC cosα . (7.1)

Височината на призмата е dz и можем да определим площта на всяка от площадките и оттам силата която действа на всяка от стените на призмата.

3

DR

AFT

Глава 7. Сложно напрегнато състояние

Фиг. 7.2. Напрежения при равнинно напрегнато състояние

Проекционното условие за равновесие на всички сили по оста n е едното от необходи-мите условия за равновесие на призмата. Да го напишем:

∑

i

Fn i = 0 :

σαBCdz + τxy sinαACdz − σx cosαACdz + τxy cosαABdz − σy sinαABdz = 0

След съкращаване на dz и заместване с (7.1) се получава:

σαBC + 2τxy sinα cosαBC − σx cos2 αBC − σy sin2 αBC = 0

Съкращаваме на BC и преминаваме към двойни ъгли.

σα = σx

1 + cos 2α

2+ σy

1− cos 2α

2− τxy sin 2α

След малки преобразувания стигаме окончателно до формулата:

σα =σx + σy

2+σx − σy

2cos 2α− τxy sin 2α . (7.2)

Аналогично можем да изведем израз за тангенциалните напрежения в наклонената подъгъл α площадка от проекционното условие за равновесие на силите по тангентата t:

∑

i

Ft i = 0 :

ταBCdz − τxy cosαACdz − σx sinαACdz + τxy sinαABdz + σy cosαABdz = 0

ταBC − τxy cos2 αBC − σx sinα cosαBC + τxy sin2 αBC + σy sinα cosαBC = 0

τα =σx − σy

2sin 2α+ τxy cos 2α . (7.3)

Ако означим средното нормално напрежение със σc

σc =σx + σy

2(7.4)

4

DR

AFT

7.1. Изследване на равнинно напрегнато състояние

Фиг. 7.3. Окръжност на Мор

и го заместим в (7.2), то за напреженията в наклонена площадка се получава:

∣∣∣∣

σα − σc = σx−σy

2cos 2α− τxy sin 2α

τα = σx−σy

2sin 2α+ τxy cos 2α

Ъгълът α може да се елиминира от горните уравнения, като те се повдигнат на вторастепен и се съберат:

(σα − σc)2 + τ 2

α =

(σx − σy

2

)

+ τ 2xy = r2

σ = const .

Полученото уравнение е уравнение на окръжност в равнината определена от осите σα катоабсциса и оста τα като ордината. Тази окръжност носи наименованието окръжност на Мор

и има център C с координати (σc, 0), лежащ на абсцисата σα, и радиус rσ:

rσ =

√(σx − σy

2

)2

+ τ 2xy . (7.5)

Окръжността на Мор е дадена на фиг. 7.3. На всяка площадка със съответните нор-мално и тангенциално напрежение, действащо в площадката, съответства една точка отокръжността. На площадката с нормала x съответства точка X от окръжността с коор-динати (σx, τxy). На съседната и площадка с нормала y съответства точка Y с координати(σy,−τxy), която е диаметрално противоположна на точка X. Централният ъгъл междуточките X и Y — ъгълът ∠XCY = 180◦ е равен на два пъти ъгъла между съответнитеплощадки или все едно между техните нормали, който е 90◦. На площадка с нормала nпод ъгъл α спрямо площадката с нормала x съответства точка N , която е на ъгъл 2α поокръжността на Мор от точката X, т.е. ∠NCX = 2α. Координатите на точка N(σα, τα) сеявяват съответно нормалното и тангенциално напрежение, действащи в площадката.

5

DR

AFT


Фиг. 7.4. Произволно равнинно напрегнато състояние: а) окръжност на Мор; б) главниплощадки; в) екстремни тангенциални напрежения.

§ 7.2. Главни напрежения

Окръжността на Мор определя равнинното напрегнато състояние в дадена точка отматериала, т.е. множеството от комбинации на нормалните и тангенциалните напрежения,които се появяват във всички възможни площадки, прекарани през точката и перпендику-лярни на равнината на натоварване. На всяка точка от окръжността на Мор съответстваплощадка и обратно — на всяка площадка съответства точка от окръжността. На фиг. 7.4е дадена окръжността на Мор за едно произволно равнинно напрегнато състояние. Тър-сейки екстремните стойности на нормалните и тангенциалните напрежения, може да секаже, че точките SI и SII съответстват на площадки с екстремни стойности на нормалнитенапрежения, а точките T и T ′ на площадки с екстремни тангенциални напрежения.

Главни напрежения — екстремните по стойност нормални напрежения за дадено нап-регнато състояние.

Главни площадки — площадките, в които действат главните напрежения.

Поради факта, че окръжността на Мор е винаги централно разположена спрямо абсцис-ната ос, т.е. центърът и винаги лежи на оста σ, то в площадките с главни напрежения

тангенциалните са винаги нула и обратно. От геометрията на това разположение наокръжността на Мор можем да изразим главните напрежения:

σI,II = σC ± rσ =σx + σy

2±

√(σx − σy

2

)2

+ τ 2xy . (7.6)

6

DR

AFT

7.3. Тримерно напрегнато състояние

Екстремните тангенциални напрежения се намират винаги в площадки под ъгъл 45◦

спрямо главните и са равни по големина на радиуса на окръжността на Мор, т.е.:

τmax

min= ±rσ = ±

√(σx − σy

2

)2

+ τ 2xy . (7.7)

Нормалните напрежения σ, действащи в тези площадки, са винаги равни на среднотонормално напрежение σc:

σ = σc =σx + σy

2. (7.8)

Те определят двустранен и равностранен опън или натиск в тези площадки, което навеждана мисълта, че всяко напрегнато състояние може да се представи като комбинация отвсестранен опън-натиск или така нареченото сферично напрягане и плъзгане.

Формулата (7.6) за намиране на главните напрежения наподобява формулата за коре-ните на квадратно уравнение, където дискриминантата, поставена под квадратен корен,се вади и събира. Може лесно да се провери, че тази формула дава корените σ на квад-ратното уравнение:

σ2 − (σx + σy)σ + σxσy − τ 2xy = 0 . (7.9)

Същото това уравнение може да се изрази чрез детерминантата на матрица:∣∣∣∣

σx − σ τxy

τxy σy − σ

∣∣∣∣= 0 . (7.10)

Така главните напрежения на равнинното напрегнато състояние могат да се определяткато корени на горното уравнение.

§ 7.3. Тримерно напрегнато състояние

При изрязването на безкрайно малко кубче от материала на напрегнато твърдо тялопо стените му в най-общия случай се появяват всички компоненти на напрежението, т.е.нормално и две тангенциални компоненти на напрежението. На фиг. 7.5 е дадено еднотакова кубче в най-общо напрегнато състояние, което има за компоненти напреженията втри взаимно перпендикулярни площадки с нормали, съответно осите x, y и z. Компонен-тите на напреженията във всяка от площадките, които са също три, могат да се подредятв матрица, чиито редове представляват векторите на пълните напрежения, действащи въввсяка от площадките, като в колоните са различните компоненти на тези напрежения поосите x, y и z:

T =

σx τxy τxz

τyx σy τyz

τzx τzy σz

(7.11)

Тази матрица, която е строго свързана с тримерното пространство и представлява тритримерни вектора, характеризиращи трите площадки на елементарното кубче, се наричатензор на напрежението.

Тангенциалните напрежения изобразени по площадките на елементарния куб на фиг.7.5 са дадени в положителните си посоки, приети за тримерното напрегнат състояние,т.е. те са по посока на осите x, y и z за площадките с положителни външни нормали. Отзакона за реципрочност на тангенциалните напрежения следва, че

τxy = τyx , τyz = τzy , τxz = τzx . (7.12)

7

DR

AFT


В тримерния случай на изразяване на тангенциалните напрежения следва, че този законсе превръща в закон за взаимност на тангенциалните напрежения. От тук следва, четензорът на напрежението е винаги симетрична тримерна квадратна матрица, която имасамо 6 (а не 9) независими компонента.

Фиг. 7.5. Общ случай на тримернонапрегнато състояние

По аналогия с равнинното напрегнато състояниеи тук може да се постави въпросът за намирането натри главни напрежения, които да са корени на ана-логично детерминантно уравнение, свързано с мат-рицата на тензора на напрежението:

∣∣∣∣∣∣

σx − σ τxy τyz

τxy σy − σ τyz

τzx τyz σz − σ

∣∣∣∣∣∣

= 0 . (7.13)

Това уравнение може да се изрази в матрична формапо следния начин:

∣∣[T]− σ[I]

∣∣ = 0 . (7.14)

където [T] е матрицата на тензора на напреженията, а [I] — тримерната единична матрица.Тримерното напрегнато състояние, изразено чрез главните си напрежения, ще изглеждакато това на фиг. 7.6. По главните площадки няма да има тангенциални напрежения, аможе да се докаже, че трите главни напрежения σ1, σ2 и σ3, които са номерирани с арабскицифри по алгебричната си стойност така, че

σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 , (7.15)

имат екстремни стойности. Това означава, че напрежението σ1 е най-голямото опъновонапрежение, ако е положително, за дадено напрегнато състояние, а σ3 — най-голямотонатисково, ако е отрицателно.

Фиг. 7.6. Тримерно напрегнато състо-яние с главни напрежения

Уравненията (7.13) и (7.14) са кубични уравне-ния, които имат три корена и върху начинът на ре-шение на които няма да се спираме. Има съвремен-ни компютърни програми обаче, които лесно могатда решат това с числени методи и могат да бъдатизползвани за решаването на тази задача, известнакато задача за собствени стойности на матрица.

Тук ще се спрем на много популярният случай,когато едното главно напрежение е известно и тодейства в една от изходните площадки, например та-зи с нормала z, както това е дадено на фиг. 7.7. То-гава тензорът на напрежението за изходното напрег-нато състояние може да се запише:

T =

σx τxy 0τyx σy 00 0 σz

(7.16)

Уравнението, което се получава в детерминантна форма, за този частен случай е:∣∣∣∣∣∣

σx − σ τxy 0τyx σy − σ 00 0 σz − σ

∣∣∣∣∣∣

= 0 . (7.17)

8

DR

AFT

7.4. Обобщен закон на Хук

Фиг. 7.7. Тримерно напрегнато състо-яние с едно известно главно напреже-ние

Съгласно правилата за определяне на детерми-нанти, развитието на детерминантата с размерносттри по последния и ред води до следното уравнение:

(σz − σ)

∣∣∣∣

σx − σ τxy

τyx σy − σ

∣∣∣∣= 0 , (7.18)

което има един корен за σ, σI = σz, и още два, опре-делени от квадратното уравнение:

∣∣∣∣

σx − σ τxy

τxy σy − σ

∣∣∣∣= 0 ,

което е същото като уравнение (7.10) за случая наравнинно напрегнато състояние. Така изследването на тримерно напрегнато състояние

при едно известно главно напрежение се свежда до изследването на равнинно напрегна-

то състояние в равнината на известната му изходна главна площадка.

§ 7.4. Обобщен закон на Хук

Законът на Хук, приложен за различните натоварвания и даващ връзката между нап-регнато и деформирано състояние, може да се обобщи за най-общия случай на тримернонапрегнато състояние. Това може да се направи с помощта на принципа на суперпозици-ята, т.е. считайки, че напреженията действат независимо едно от друго и предизвикватдеформации в материала. Така в резултат на действието на нормалните напрежения сепоявяват линейни деформации. Деформацията по направление на оста x предизвикана отσx да означим εσx

x . От закона на Хук за чист опън-натиск имаме:

εσx

x =σx

E. (7.19)

Ефектът от действието на нормалното напрежение σy за деформацията в същото направ-ление x ще се отчете чрез закона на Поасон, защото тя се явява напречна деформация занаправлението y и от там следва, че

εσy

x = −µσy

E. (7.20)

По аналогичен начин можем да получим линейната деформация по направление x отнормалното напрежение σz :

εσz

x = −µσz

E. (7.21)

Събирайки компонентите на линейната деформация εx, получаваме:

εx = εσx

x + εσy

x + εσz

x =1

E[σx − µ(σy + σz)] . (7.22)

Отделните ъглови деформации не са взаимно свързани и са независимо определениот закона на Хук за чисто плъзгане. Така ако обобщим всички линейни деформации,получени аналогично на уравнение (7.22), заедно с ъгловите, то се получава следнатасистема от уравнения:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

εx = 1E

[σx − µ(σy + σz)]εy = 1

E[σy − µ(σx + σz)]

εz = 1E

[σz − µ(σx + σy)]γxy = τxy

G

γyz = τyz

G

γzx = τzx

G

. (7.23)

9

DR

AFT


Фиг. 7.8. Частни случаи на напрегнато състояние: а) опън σ1 > 0, σ2 = σ3 = 0; б) натискσ1 = σ2 = 0, σ3 < 0; в) срязване σ1 = τxy, σ2 = 0, σ3 = −τxy.

Формулите (7.23) дават връзката между всички компоненти на деформираното състояниеи всички компоненти на напрегнатото състояние известни като обобщен закон на Хук. Аконапрегнатото състояние е дадено с главните си напрежения, то имаме само главни линейнидеформации, които се определят с първите три зависимости от главните напрежения.

∣∣∣∣∣∣

ε1 = 1E

[σ1 − µ(σ2 + σ3)]ε2 = 1

E[σ2 − µ(σ1 + σ3)]

ε3 = 1E

[σ3 − µ(σ1 + σ2)]. (7.24)

§ 7.5. Частни случаи на напрегнато състояние

На фиг. 7.8 са дадени окръжностите на Мор за няколко частни случая на напрегнатосъстояние и елементарното кубче на изходното напрегнато състояние. Случаите на опън(фиг. 7.8а) и на натиск (фиг. 7.8б) определят едномерно (едноосно) напрегнато състояние,докато случаят на чисто плъзгане (срязване) (фиг. 7.8в) определя двумерно напрегнатосъстояние, което се определя от броя на главните напрежения различни от нула. Интересенчастен случай, който не е даден на фиг. 7.8, е двустранният равностранен опън или натиск,при който окръжността на Мор се изражда в точка върху абсцисата и няма тангенциалнинапрежения в нито една площадка, перпендикулярна на равнината на натоварване. Другподобен частен случай е тристранният равностранен опън или натиск, при който всичкиокръжности на Мор се израждат в точки, а не съществува площадка с каквато и да еориентация, в която да има тангенциални напрежения.

Пример 7.1. Куб от материал с модул на еластичност E и коефициент на Поасон µ е закле-щен в много корава форма, която може да се счита за неподатлива по отношение на заклеще-ния куб. Каква е линейната деформация по направление на диагонала AC на стената ABCDна куба, ако той е натиснат с налягане p.

Решение:

За изходното напрегнато състояние знаем напрежението σy = −p и σz = 0, но за да намеримнапрежението σx трябва да използваме деформационното условие:

εx = [σx − µ(σy + σz)] = 0

откъдето следва, чеσx = µσy = −µp

10

DR

AFT

7.5. Частни случаи на напрегнато състояние

Фиг. 7.9. Пример 7.1

Главните напрежения за хомогенното напрегнато състояние в куба следователно са:

σ1 = σz = 0 , σ2 = σx = −µp , σ3 = σy = −p .

Диагоналът AC е под ъгъл 45◦ спрямо страната AB или все едно оста x на изходното нап-регнато състояние. Напрегнатото състояние на площадки под ъгъл ±45◦ съответства на точкиN±45◦ от окръжността на Мор, където действа нормално напрежение σc.

σc =σ2 + σ3

2=−p− µp

2= −1 + µ

2p

σ45◦ = σ−45◦ = σc

ε45◦ =1

E[σ45◦ − µ(σ−45◦ + σz)] =

1− µE

σc = −1− µE

1 + µ

2p = −1− µ2

2Ep

Пример 7.2. За показаното напрегнато състояние да се определят линейните деформациипо направление nα, за α = 30◦, ако E = 200 GPa и µ = 0, 3. Каква е най-голямата линейнадеформация? А каква е най-голямата ъглова деформация?

Решение:

Ще изследваме напреженията в равнината xy като равнинно напрегнато състояние с напре-жения: σx = 20 MPa, τxy = 12 MPa и σy = 0. Нормалните напрежения в площадка с нормалаn30◦ , т.е. под ъгъл 30◦ спрямо оста x е:

σ30◦ =σx + σy

2+σx − σy

2cos(2 · 30◦)− τxy sin(2 · 30◦)

11

DR

AFT



σ30◦ =20 + 0

2+

20− 0

2cos 60◦ − τxy sin 60◦ = 4, 608MPa

В съседната площадка (с нормала n120◦ на ъгъл 30◦ + 60◦ = 120◦ спрямо оста x) аналогичносе намира:

σ120◦ =σx + σy

2+σx − σy

2cos(2 · 120◦)− τxy sin(2 · 120◦)

σ120◦ =20 + 0

2+

20− 0

2cos 240◦ − τxy sin 240◦ = 15, 39MPa

Линейната деформация по диагонала определяме от обобщения закон на Хук като вземем пред-вид и напрежението σz = −5 MPa:

ε30◦ =1

E[σ30◦ − µ(σ120◦ + σz)]

ε30◦ =106

200 · 109[4, 608 − 0, 3(15, 39 − 5)] = 7, 45 × 10−6 = 7, 45µm/m

Най-голямата линейна деформация е тази, която се получава от най-големите нормални напре-жения, съгласно обобщения закон на Хук, а те са главните напрежения. Получената линейнадеформация също се нарича главна. Главните напрежения определяме както следва:

σc =σx + σy

2=

20 + 0

2= 10MPa

rσ =

√(σx − σy

2

)2

+ τ2xy =

√(

20− 0

2

)2

+ 122 = 15, 62 MPa

σI,II = σc ± rσ = 10± 15, 62 =

{

25, 62 MPa

−5, 62 MPa, σIII = −5 MPa

σ1 = 25, 62 MPa > σ2 = −5 MPa > σ3 = −5, 62 MPa

Първа главна деформация тогава е най-голямата възможна линейна деформация за даденотонапрегнато и деформируемо състояние

ε1 =1

E[σ1 − µ(σ2 + σ3)]

12

DR

AFT

7.5. Частни случаи на напрегнато състояние

ε1 =106

200 · 109[25, 62 − 0, 3(−5 − 5, 62)] = 0, 144 · 10−3 = 0, 1440/00

Ъгълът под който се намира направлението на главната линейна деформация спрямо оста xможем да определим от геометрията и тригонометричните зависимости за окръжността на Мор.

2α1 = arccosσx − σc

rσ= − arccos

20− 10

15, 62= −50, 2◦, α1 = −25, 1◦

Пак от обобщения закон на Хук следва, че екстремните по стойност тангенциални напреженияще породят и най-големите ъглови деформации между площадките под ъгъл 45◦ спрямо главнитеплощадки с екстремните по алгебрична стойност главни напрежения.

τmax

min

=σ1 − σ3

2= ±rσ = ±15, 62 MPa

G =E

2(1 + µ)=

200

2(1 + 0, 3)= 76, 92 GPa

γmax =τmax

G=

15, 62 · 106

76, 92 · 109= 0, 203 · 10−3 rad = 0, 0116◦

13

DR

AFT


14

DR

AFT

Глава 8

Теории за якост

Оценяването на якостта при сложно напрегнато е силно затруднено, поради невъз-можността да се извършат изпитания на материалите за всички възможни отношенияна главните напрежения. Някои от тези напрегнати състояния е даже невъзможно да сепресъздадат при изпитване и да се достигне до гранично и опасно механично напрегна-то състояние. Затова за материалите в сложно напрегнато състояние се търси критерий,който да покаже дали състоянието е опасно или не.

Кое механично състояние е опасно, зависи от вида на материала и задачите, коитоизпълнява конструкцията или елементите й. Поради това ще разгледаме предложенитекритерии според вида на материалите — пластични и крехки.

§ 8.1. Критерии за провлачване на пластични материали

Пластичните материали получават големи пластични (остатъчни) деформации предиразрушение. В повечето случаи получаването на големи остатъчни деформации е неду-постимо. Това е особено вярно за бързовъртящи се части. Ако един вал достигне таковасъстояние в резултат на приложените напречни сили, то той би имал крива ос след разто-варването и по-нататък при въртенето му ще се появят силни центробежни сили (биене),което обикновено е недопустимо.

§ 8.1.1. Критерий на Треска

Пластичните деформации в металите се дължат основно на приплъзване на материалапо възможни кристалографски равнини, при неметалите — по повърхнини, по които връз-ките могат да се разкъсат и възстановят наново след приплъзването. Приплъзването сеосъществява главно поради наличието на тангенциални напрежения, които се стремят даприплъзнат материала. От тук, един от възможните критерии за достигането на граничносъстояние е максималното тангенциално напрежение, което се достига при дадено сложнонапрегнато състояние. Този критерий е предложен от Треска и носи неговото име.

При сложно напрегнато състояние максималните тангенциални напрежения се опре-делят от главните по следния начин:

τmax =σ1 − σ3

2

При едномерното напрегнато състояние чист опън, при което се изпитват материалите,граничното напрегнато състояние се достига когато първо главно напрежение (единст-веното различно от нула) достигне границата на провлачване σs. Тогава максималните

15

DR

AFT

Глава 8. Теории за якост

Фиг. 8.1. Зона на безопасно механично състояние при пластичен материал

тангенциални напрежеия са:

τmax =σs

2

Условието за безопасно механично състояние тогава се определя от неравенството:

σ1 − σ3 ≤ σs (8.1)

Полученото условие за безопасно механично състояние може да се разгледа в условиятана двумерно (равнинно) напрегнато състояние. Тогава едно от главните напрежения е нула(σIII = 0). В равнината на другите две главни напрежения σI и σII зоната на безопаснонапрегнато състояние се определя от това кое е първо и кое е трето главно напрежениепо алгебрична стойност (виж фиг. 8.1). В първи квадрант (при две положителни главнинапрежения) условието е:

max{σI, σII} ≤ σs

докато за трети квадрант, това условие става:

min{σI, σII} ≥ −σs

За втори квадрант, където σII е положително, а σI е отрицателно

σII − σI ≤ σs

докато в четвърти квадрант е точно обратното и следователно

σI − σII ≤ σs

Така критерият на Треска дава най-светлата безопасна зона на фиг. 8.1.

§ 8.1.2. Критерий на фон Мизес

При този критерий се приема, че граничното състояние настъпва когато енергията заформообразуването, т.е. за дисторсията, достигне до критичната за материала. Често пъти

16

DR

AFT

8.2. Критерии за крехко разрушение

този критерий се нарича още енергетичен критерий. Изразът за енергията на дисторсия,който е бил изведен за напрегнато състояние дадено с главните си напрежения е следният

Udistor =1

2

[(σI − σII)

2 + (σII − σIII)2 + (σIII − σI)

2]

(8.2)

В такъв случай условието за безопасно механично състояние се определя от неравенството

1

2

[(σI − σII)

2 + (σII − σIII)2 + (σIII − σI)

2]≤ σ2

s (8.3)

в което отдясно стои критичната енергия за формообразуване при едномерното напрегнатосъстояние чист опън, когато единственото различно от нула главно напрежение достигнеграницата на провлачване σs.

Да разгледаме двумерно напрегнато състояние при което σI,II 6= 0, а σIII = 0. Тогавазамествайки трето главно напрежение с нула в неравенството (8.3) и разкривайки скобитеполучаваме:

σ2I − σIσII + σ2

II ≤ σs

Това е неравенство, определящо площта на елипса в двумерното пространство на дветеглавни напрежения. Елипсата на безопасното механично състояние според критерия нафон Мизес е дадена на фиг. 8.1. Дадена е и зоната определена по експериментален път.Вижда се, че експериментално определената безопасна зона е много близка до тази нафон Мизес с незначителна грешка и все пак критерия на фон Мизес е в ущърб на си-гурността, докато критерия на Треска, макар и с голяма грешка винаги е от страната набезопасността.

§ 8.2. Критерии за крехко разрушение

Критериите за крехко разрушение се отнасят основно за крехки материали, макарче има условия, при които пластични иначе материали се разрушават крехко. Тук щеразгледаме два популярни критерия. Съществува още един — критерий за максималнитеглавни деформации на Сен-Венан, който обаче е подвеждащ, тъй като има много случаи,в които той дава грешни резултати в ущърб на безопасността.

§ 8.2.1. Критерий на Кулон (или Ранкин)

Този критерий е по-известен като критерий на най-големите главни напрежения, аимената на учените свързани с него са спорни. Идеята на този критерий е много прос-та — опасното механично състояние настъпва когато най-големите възможни нормалнинапрежения достигнат до граничната си стойност. Екстремните стойности на нормалнитенапрежения се дават от главните напрежения, като първо главно напрежение определяопасността от разрушение от опън, а трето — от натиск:

σ1 ≤ σВ,оп (8.4)

σ3 ≥ −σВ,нат (8.5)

При равнинно напрегнато състояние, определено с две главни напрежения (σIII = 0),критерият на най-големите главни напрежения определя в пространството на главнитенапрежения един квадрат за безопасна зона. Квадратът се определя от двойното неравен-ство

−σВ,нат ≤ {σI, σII} ≤ σВ,оп

Тази зона на безопасност е представена на фиг. 8.2 с плътна линия и е най-тъмна.

17

DR

AFT


Фиг. 8.2. Зона на безопасно механично състояние при крехък материал

§ 8.2.2. Критерий на Мор

Критерият на Мор произлиза от идеята за окръжност на Мор и представянето нанапрегнатото състояние в пространството на нормалните и тангенциални напрежения.Първоначално идеята е била да се определи в това пространство обвивката на всички ок-ръжности на Мор, определящи безопасно механично състояние. Поради невъзможносттада се представи аналитично такава крива се извършва едно опростяване и безопаснатазона се дава от двете окръжности на Мор за разрушение при чист опън и за разрушениепри чист натиск и двете допирателни към тях, както това е дадено на фиг. 8.3. Всичкиточки, определени от окръжностите на Мор, за дадено напрегнато състояние в равнинатана възможните тангенциални и нормални напрежения трябва да са в безопасната зона.Тъй като обвивка на всички точки, съответстващи на дадено напрегнато състояние, е най-голямата окръжност на Мор, то тя трябва да се вписва в безопасната зона и граничнотонапрегнато състояние настъпва когато тя се допира до границите на зоната. Най-голяматаокръжност на Мор се определя от главните напрежения σ1 и σ3, като за вписването натази окръжност на Мор в зоната може да се изведе условието:

σ1

σВ,оп

+σ3

−σВ,нат

≤ 1 (8.6)

Критерият на Мор може да се интерпретира в равнината на двете главни напреженияпри равнинно напрегнато състояние когато σIII = 0. В първи квадрант σ3 = 0 и крите-рия съвпада с критерия на най-големите главни напрежения. Същото се получава и втрети квадрант, където σ1 = 0. Във втори и четвърти квадрант условието за безопасномеханично състояние се превръща в неравенството:

|σI − kσII| ≤ σВ,оп (8.7)

където k = σВ,оп/σВ,нат. Определената безопасна област е дадена на фиг. 8.2 като най-светлата. В сравнение с експериментално получената зона критерият на Мор дава винаги

18

DR

AFT

8.3. Еквивалентно напрегнато състояние

Фиг. 8.3. Зона на безопасно механично състояние според критерия на Мор

Фиг. 8.4. Еквивалентно напрегнато състояние и условие за якост

по-безопасна преценка на напрегнатото състояние отколкото експериментално може да сеустанови. Критерият на най-големите главни напрежения в това отношение може да дове-де до грешна преценка за опасността при дадено напрегнато състояние и не е желателнода се използва за якостни изчисления.

§ 8.3. Еквивалентно напрегнато състояние

Използването на критериите за достигане на опасно механично състояние при якос-тни изчисления е била обобщена в така наречените теории за якост. Теориите за якостопределят как с използването на различните критерии можем да намерим еквивалент-но на сложното напрегнато състояние, което да е едномерно напрегнато състояние, т.е.чист опън. Тогава това напрегнато състояние лесно може да се сравнява с резултатите отизпитването и определеното от тях допустимо напрежение — най-често на опън. Това еилюстрирано на фиг. 8.4.

Якостните теории са подредени по хронологичния ред на възникване на критериите

19

DR

AFT


— наречени класически, а якостната теория на Мор се счита за качествено нова и нее класическа, защото се основава на резултатите от изпитването, а не на изгражданетона хипотеза. Всички тези якостни теории се изразяват във формула за определяне наеквивалентното напрежение и якостното условие за него. Ето как изглеждат те изразеничрез главните напрежения за дадено сложно напрегнато състояние:

а) I-ва якостна теория — теория на най-големите главни напрежения, приложима закрехки материали

σекв,оп = σ1 ≤ [σ]оп

σекв,нат = σ3 ≥ −[σ]нат

б) III-та якостна теория — теория на Треска, приложима за пластични материали

σекв = σ1 − σ3 ≤ [σ]оп

а) IV-та якостна теория — теория на фон Мизес или енергетичната теория, приложимаза пластични материали

σекв =

√

1

2[(σ1 − σ2)2 + (σ2 − σ3)2 + (σ3 − σ1)2] ≤ [σ]оп

а) якостна теория на Мор, приложима както за крехки материали, така и за пластични,защото при пластичните материали k = 1 и теорията съвпада с тази на Треска (III-таякостна теория)

σекв = σ1 − kσ3 ≤ [σ]оп

където k = σВ,оп/σВ,нат.Всички тези формули за еквивалентните напрежения могат да се изведат и за някои

частни случаи на напрегнато състояние като равнинно напрегнато в най-общ вид илипри чисто плъзгане. Тези формули са дадени в справочната литература и улесняват на-мирането на еквивалентните напрежения при зададено произволно изходно напрегнатосъстояние.

20

DR

AFT

Глава 9

Дебелостенни тръби

Дебелостенните тръби са различни съдове, работещи под външно или вътрешно на-лягане, цевите на оръдия и други огнестрелни оръжия, пресови съединения втулка-вал идр. Методът на изчислението на дебелостенните тръби е изведен от френския учен Ламе.

§ 9.1. Задача на Ламе

В задачата на Ламе се разглежда дебелостенен кух цилиндър с вътрешен радиус ri ивъншен радиус re, като показания на фиг. 9.1а. Цилиндърът може да бъде натоварен с осо-ва сила N , вътрешно налягане pi и/или външно налягане pe, както е показано схематичнона надлъжния разрез на фиг. 9.1б. Ако от стената на дебелостенната тръба отделим многомалък сегмент със секторен ъгъл dϕ, радиална дебелина dr и височина dz, който се виждана напречния разрез на фиг. 9.1в, то поради осовата симетрия на тялото и натоварванетопо стените на сегмента може да има само нормални напрежения, които са радиални σr,окръжни σt и осови σz, като само радиалните напрежения могат да се променят с промянана радиуса. Напреженията и елементарният сегмент са дадени на фиг. 9.1г.

Напрежението σz = const и деформациите εz = const, са като получени при чист опъни напреженията се изчисляват по формулата

σz =N

S=

N

π(r2e − r2

i )(9.1)

Ако N е получено от налягането по дъната на съд, образуван от дебелостенния цилиндър(тръба), то

N = −peπr2e + piπr

2i (9.2)

От условието за ососиметрични премествания, които са показани в едър план на фиг.9.1д, следва за радиалните и окръжните линейни деформации, че

εr =du

dr(9.3)

εt =2π(r + u)− 2πr

2πr=u

r(9.4)

От условието, че осовата деформация е константа и не зависи от r и от обобщениязакон на Хук

εz =1

E[σz − µ(σr + σt)] = const

21

DR

AFT

Глава 9. Дебелостенни тръби

Фиг. 9.1. Дебелостенен цилиндър — постановка на задачата на Ламе

следва, чеσr + σt = A = const (9.5)

тъй като и σz = const. Това условие играе ролята на условие за съвместимост на дефор-мациите, което да се използва в допълнение на зависимостите определени от условията заравновесие.

Поради осовата симетрия имаме само едно условие за равновесие — проекционно ус-ловие на силите в радиално направление (виж фиг. 9.1д):

∑

Fri = 0 : (σr + dσr)(r + dr)dϕdz − σrrdϕdz − 2σt sindϕ

2drdz = 0

За много малки ъгли, какъвто е dϕ, имаме sin dϕ/2 ≈ dϕ/2. След разделяне на уравнени-ето на dϕdz се получава:

(σr + dσr)(r + dr)− σrr − σtdr = 0

Разкриваме скобите като пренебрегваме произведението dσrdr, тъй като то е безкрайномалка величина от по-висок порядък в сравнение с останалите. Получава се уравнението:

σrdr + dσrr − σtdr = 0 (9.6)

22

DR

AFT

9.2. Дебелостенна тръба под вътрешно налягане

Имаме едно диференциално уравнение с две неизвестни функции, което трябва дарешим заедно с условието за съвместимост на деформациите, от което изразяваме

σt = A− σr

и заместваме в уравнението (9.6)

σrdr + dσrr − (A− σr)dr = 0

Прегрупираме и умножаваме по r двете страни на равенството

2σrdr + dσrr = Adr × r

2σrrdr + dσrr2 = Ardr

Така получаваме диференциалното равенство:

d(r2σr) = Ardr

което лесно се интегрира с точност до интеграционна константа B:

r2σr =A

2r2 +B

От тук можем да изразим радиалното напрежение

σr =A

2+B

r2

а замествайки в израза за окръжното напрежение, получаваме:

σt =A

2− B

r2

Тези изрази може да обобщим в един и за двете напрежения:

σr,t =A

2± B

r2(9.7)

което не зависи от осовото напрежение σz. Остава да определим константите A и B отграничните условия в зависимост от натоварването.

Преместванията u можем да определим от израза за окръжната деформация и обоб-щения закон на Хук при известно осово напрежение σz:

u

r= εt =

1

E[σt − µ(σr + σz)]

u =r

E

[(1− µ)A

2− (1 + µ)B

r2− µσz

]

(9.8)

23

DR

AFT


Фиг. 9.2. Дебелостенна тръба под вътрешно налягане

§ 9.2. Дебелостенна тръба под вътрешно налягане

При дебелостенна тръба под вътрешно налягане (фиг. 9.2a) ri ≤ r ≤ re имаме следнитегранични условия:

σr,r=ri= −p , σr,r=re

= 0

Така се получават уравненията

−p =A

2+B

r2i

0 =A

2+B

r2e

Решението на тези две уравнения е лесно. От второто уравнение имаме

A

2= −B

r2e

Замествайки в първото, получаваме:

B = − r2i r

2e

r2e − r2

i

p (9.9)

От полученото определяме и другата константа

A

2=

r2i

r2e − r2

i

p (9.10)

Заместването на константите в изразите за радиалното и окръжни напрежения даваформулите

σr,t =r2i

r2e − r2

i

(

1∓ r2e

r2

)

p (9.11)

По тези функции могат да се начертаят диаграмите на разпределение на радиалните иокръжни напрежения по дебелината на стената на дебелостенната тръба, които са даденина фиг. 9.2б.

24

DR

AFT

9.3. Дебелостенни тръби под външно налягане

От якостна гледна точка, най-застрашени са точките от вътрешната повърхност натръбата, като съчетание на голямо опъново окръжно напрежение и голямо натисково ра-диално. Разбира се, осовото нормално напрежение също може да се окаже едно от главнитенапрежения σ1 или σ3 и да бъде определящо за якостта. От това напрегнато състояние сазастрашени и пластичните, и крехките материали, така че видът на материала не променяместоположението на застрашените точки.

Преместванията можем да определим като заместим константите, получени за тръбапод вътрешно налягане, в (9.8)

u =r

E

[(1− µ)r2

i

r2e − r2

i

p+(1 + µ)r2

i r2e

(r2e − r2

i )r2p− µσz

]

(9.12)

Ако тръбата е тънкостенна с дебелина на стената δ, то тогава re = ri + δ, а за съотно-шението радиус - дебелина на стената се приема ri/δ > 10. Тогава изразът

r2e − r2

i = (re − ri)(re + ri) = δ2r

където r ≈ ri ≈ re. Като заместим тези изрази в формулата за оръжните напрежения(9.11) се получава:

σt =r

δp (9.13)

Тази формула определя изчисленията на тънкостенни тръби под вътрешно налягане, как-вито са почти всички тръби от тръбна водопроводна, маслена, въздушна, парна и другаарматура. Според формулата, приема се, че окръжните напрежения са равномерно разп-ределени по дебелината на тръбата и са поне от един порядък по-големи от вътрешнотоналягане и от там от радиалните напрежения, които поради това пренебрегваме.

§ 9.3. Дебелостенни тръби под външно налягане

При дебелостенна тръба под външно налягане (фиг. 9.3a) ri ≤ r ≤ re имаме следнитегранични условия:

σr,r=ri= 0 , σr,r=re

= −pТака се получават уравненията

0 =A

2+B

r2i

−p =A

2+B

r2e

Отново решаваме уравненията за определяне на константите. От първото уравнениесега имаме

A

2= −B

r2i

Замествайки в другото, получаваме:

B =r2i r

2e

r2e − r2

i

p (9.14)

От полученото определяме и другата константа

A

2= − r2

e

r2e − r2

i

p (9.15)

25

DR

AFT


Фиг. 9.3. Дебелостенна тръба под външно налягане

Заместването на константите в изразите за радиалното и окръжни напрежения даваформулите

σr,t = − r2e

r2e − r2

i

(

1∓ r2i

r2

)

p (9.16)

По тези функции са начертани диаграмите на разпределение на радиалните и окръжнинапрежения по дебелината на стената на дебелостенната тръба, които са дадени на фиг.9.3б.

Тук определено якостта се определя и от осовото нормално напрежение σz, но най-застрашени са отново точките от вътрешната повърхност на тръбата, независимо от видана материала.

Преместванията можем да определим като заместим константите, получени за тръбапод външно налягане, в израза (9.8) от решението на задачата на Ламе

u = − rE

[(1− µ)r2

e

r2e − r2

i

p+(1 + µ)r2

i r2e

(r2e − r2

i )r2p+ µσz

]

(9.17)

Частен случай на дебелостенна тръба под външно налягане е плътният цилиндър прикойто ri ≡ 0. Тогава формулата за радиалното и окръжно напрежения се превръща в

σr,t = −p = const (9.18)

§ 9.4. Съставни дебелостенни тръби

Съставните тръби се получават при сглобяването на две тръби, като вътрешният диа-метър на едната е малко по-малък от външния диаметър на другата. Могат да се сглобятчрез нагряване на външната, охлаждане на вътрешната или просто чрез осова сила — пре-соване. След сглобяването, еластичните деформации осигуряващи съвместимоста на двететръби създават контактни напрежения, които ще разглеждаме като контактно налягане

26

DR

AFT

9.4. Съставни дебелостенни тръби

Фиг. 9.4. Съставна дебелостенна тръба

pc. Еластичните деформации са определени от радиалното преместване ue на външнататръба и ui за вътрешната тръба както е показано на фиг. 9.4.

Ако съберем радиалните премествания, трябва да получим радиалната стегнатост ∆r,която двете тръби са имали:

ue − ui = ∆r (9.19)

Да използваме формулите (9.12) и (9.17), като налягането е pc, а σz ≡ 0. За външнататръба имаме

ue =rc

Ee

[(1− µe)r

2c

r2e − r2

c

pc +(1 + µe)r

2cr

2e

(r2e − r2

c )r2c

pc

]

където Ee е модула на еластичност, a µe коефициентът на Поасон за външната тръба. Илис малки преобразувания имаме

ue =pc

Ee

r3c

r2e − r2

c

[

1− µe + (1 + µe)r2e

r2c

]

(9.20)

За вътрешната тръба аналогично получаваме:

ui = − pc

Ei

r3c

r2c − r2

i

[

1− µi + (1 + µi)r2i

r2c

]

(9.21)

къдетоEi и µi са материалните константи за материала на вътрешната тръба. Замествайки(9.20) и (9.21) в (9.19) получаваме уравнението

pcr3c

[r2c + r2

e + µe(r2e − r2

c )

Ee(r2e − r2

c )r2c

+r2c + r2

i + µi(r2c − r2

i )

Ei(r2c − r2

i )r2c

]

= ∆r

От това уравнение определяме контактното налягане

pc =∆r

rc

[r2c+r2

e+µe(r2e−r2

c )Ee(r2

e−r2c)

+r2c+r2

i+µi(r2

c−r2

i)

Ei(r2c−r2

i)

] (9.22)

Ако материалът, от който са направени двете тръби е един и същ, то това води доопростяване на формулата, Ei = Ee = E и µi = µe = µ, като се получава:

pc =∆rE(r2

e − r2c )(r

2c − r2

i )

2r3c(r

2e − r2

i )(9.23)

27

DR

AFT


С контактното налягане са натоварени двете тръби, съставящи съставната тръба, ипредварителното им напрегнато състояние след монтажа може да се види на фиг. 9.5а.Диаграмите на напреженията са получени от тези за тръба под вътрешно и от тръбапод външно налягане. Ако натоварим съставната тръба с вътрешно налягане, ще се по-лучат напрежения (фиг. 9.5б), които трябва да добавим по принципа на суперпозициятакъм предварителните напрежения, за да получим окончателно резултантното натоварване(фиг. 9.5в).

Фиг. 9.5. Напрежения при съставна тръба

В точките от вътрешната повърхност окръжното напрежение е по-ниско при съставна-та тръба в сравнение с монолитната тръба. При добър подбор на стегнатостта на състав-ните тръби, максималното окръжно напрежение може да се получи по-малко от това намонолитната тръба за това вътрешно налягане и тогава якостта ще се увеличи. Задачитеот съставни тръби под вътрешно и външно налягане се решават като се използва принци-па на суперпозицията, който е валиден за напрежения под границата на провлачване наматериала.

28

DR

AFT

Глава 10

Матрични методи в строителната

механика

Строителната механика е механика на конструкциите, които за повечето области катомашиностроене и сградостроене се състоят от пръти. В някои по-специфични области катосамолетостроене, ракетостроене и корабостроене в конструкциите влизат и тела, които сеидеализират като черупки и плочи. Ние ще се ограничим тук в разглеждане на механикана прътови системи.

§ 10.1. Въведение в матричните методи

§ 10.1.1. Основни понятия и принципи

За да можем да приложим матрични методи в строителната механика е необходимода се дискретизира дадената прътова конструкция. Това означава конструкцията да бъдеразделена на елементи — елементарни прави пръти, които са свързани в определени точ-ки, наречени възли както е показано на фиг. 10.1. За всеки от елементите разполагаме съсзависимости, даващи връзката между обобщените сили във възлите на края на елементаи обобщените премествания на възлите.

Фиг. 10.1. Прътова конструкция и дискретизацията й на елементи и възли

Понятието”обобщени сили“ е обобщение на възможните съсредоточени сили и със-

редоточени моменти, които могат да се появят и да са приложени във възлите на пръ-товата конструкция. От своя страна понятието

”обобщени премествания“ е съвкупността

29

DR

AFT

Глава 10. Матрични методи в строителната механика

от линейни и ъглови премествания, които може да има един възел от дискретизиранатаконструкция. По правило на всеки вид обобщена сила съответства обобщено преместване,а обобщените премествания и сили могат да се обединят в понятието степен на свобода

(СнС). Понятието степен на свобода като че ли се свързва предимно с обобщените премес-твания, но поради съответствието им на обобщените сили играе ролята на обединяващопонятие, което от своя страна можем да разделим на транслационни СнС и ротационни

СнС.

Основните принципи, които осигуряват прилагането на матричните методи в механи-ката на конструкциите са:

• Материалът на конструкцията е идеално линейно еластичен и се подчинява на законана Хук

”Ut tensio sic vis“, т.е. преместването е пропорционално на силата.

• Преместванията в конструкцията са много малки в сравнение с началните размерии конфигурацията й се запазва (принцип на началните размери и конфигурация).

• Натоварването е статично, т.е. силите нарастват от нула до крайната си стойностпостепенно и теоретично за безкрайно дълго време.

Тези принципи осигуряват линейната зависимост между преместванията и силите и оттам спазването и използването на принципа на суперпозицията (принцип за събиране наефектите — преместванията , от независимото действие на силите).

За всеки елемент, на който сме разделили конструкцията имаме линейна зависимостмежду силите, които действат във възлите и преместванията им. За сложните конструк-ции, състоящи се от същите тези прости елементи, трябва да има също такава линейназависимост, която за СнС, които има дискретизираната конструкция, дава система линей-ни уравнения

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

k11d1 + k12d2 + . . .+ k1ndn = f1

k21d1 + k22d2 + . . .+ k2ndn = f2...

......

kn1d1 + kn2d2 + . . .+ knndn = fn

(10.1)

Тези уравнения могат да се изразят чрез матричното равенство

[K]{d} = {f} (10.2)

където матрицата [K] е матрицата на коефициентите на уравненията, a векторът {d} евектор на неизвестните възлови обобщени премествания. Десните страни на уравнениятаса подредени във вектора {f}, които представляват приложените възлови сили. Търсенетона тази матрична зависимост и намирането на решението й за всеки от елементите наконструкцията наричаме прилагане на матрични методи в строителната механика.

Векторите на възловите премествания и на възловите сили съдържат съответните сте-

30

DR

AFT

10.1. Въведение в матричните методи

пени на свобода подредени по определен начин, който най-често е такъв:

{d} =

u1

v1

ϕ1

u2

v2

ϕ2...un

vn

ϕn

, {f} =

fx1

fy1

m1

fx2

fy2

m2...fxn

fyn

mn

т.е. първо се подреждат транслационните СнС, следвани от ротационните за даден възели след това са тези на следващия възел. Дали дискретизираната конструкция притежаваротационни СнС или не, зависи от модела на конструкцията, който използваме. В строи-телната механика има два модела:

• ставно-прътова конструкция — система от пръти свързани със стави във възлите,които не позволяват предаването на огъващи прътите моменти и съсредоточени силиприложени във възлите. В такава конструкция прътите са натоварени само на опън-натиск с осови за тях сили.

• рамка — система от пръти свързани неподвижно във възлите едни към други, нато-варени с моменти освен със сили и разпределени напречни товари. Прътите работяти на огъване в такава конструкция

В повечето случаи конструкциите, които се разглеждат в строителната механика са илиот единия, или от другия модел, но е напълно възможно да имаме смесени конструкции,т.е. рамка, в която някои елементи да са свързани със стави с останалите.

§ 10.1.2. Линейна алгебра. Основни действия с матрици.

Линейната алгебра се занимава основно със системи от линейни алгебрични уравнения,които могат да се представят с матрици — таблици с подредени стойности (скалари), ивектори — редове или стълбове от подредени стойности. Система от m-уравнения и n-неизвестни ∣

∣∣∣∣∣∣∣∣

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2...

......

am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm

се представя като

[A]{x} = {b}където

[A] =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

......

...am1 am2 . . . amn

, {x} =

x1

x2...xn

, {b} =

b1b2...bm

31

DR

AFT


[A] е матрица с размерност m × n, съставена от коефициентите пред неизвестните, {x}е вектор стълб с размерност n, който съдържа неизвестните, а {b} е вектор на деснитестрани на уравненията, също вектор стълб, но с размерност m.

От това представяне следва и правилото за умножение на матрица по вектор и изис-кването за техните размерности:

n∑

j=1

aijxj = bi , i = 1, . . . , m ; [A]m×n{x}n = {b}m

Умножението на матрица по матрица може да се разглежда като едно разширение наумножението на матрица по вектор, като всеки вектор стълб от дясната матрица се умно-жава по лявата матрица и се получава съответният вектор стълб от матрицата резултат:

[A]m×n[B]n×p = [C]m×p

n∑

j=1

aijbjk = cik , i = 1, . . . , m ; j = 1, . . . , n ; k = 1, . . . , p

При това действие — умножение на матрици, редът на действието има значение и[A][B] 6= [B][A], като дори действието в обратен ред може да е невъзможно, т.е. кому-

никативният закон не е в сила. Асоциативният закон обаче е в сила и [A]([B][C]) =([A][B])[C].

Матриците, както и векторите, могат да се събират и изваждат, ако имат еднакваразмерност.

[A]m×n ± [B]m×n = [C]m×n ; {p}m ± {q}m = {r}maij ± bij = cij ; pi ± qi = ri ; i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n

Валиден е дистрибутивният закон:

[A]([B] + [C]) = [A][B] + [A][C]

([A] + [B])[C] = [A][C] + [B][C]

Матриците и векторите се умножават по число — скалар, като всички техни компо-ненти се умножават по това число:

α[A] = [C] ; α{b} = {d}

αaij = cij ; αbi = di

При товаα([A] + [B]) = α[A] + α[B] = [A]α + α[B]

Транспонирането на матрица означава обръщането на редовете на матрицата в съот-ветни стълбове и от там е свързано и с промяна на размерността:

[A]tm×n = [B]n×m ; aij = bji ; i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n

Това действие превръща вектор-стълбовете във вектор-редове и обратно:

{p}t = ⌊p⌋ ; ⌊q⌋t = {q}

При транспонирането на матрици са валидни следните зависимости:

([A]t)t = [A]

32

DR

AFT

10.1. Въведение в матричните методи

([A] + [B])t = [A]t + [B]t

([A][B])t = [B]t[A]t

За симетрична матрица [A]-квадратна матрица, за която aij = aji и [A]n×n, [A]t = [A].Детерминантата е число, което се съпоставя само на квадратни матрици. Означава

се и се пресмята по следния начин:

det[A]n×n =

n∑

k=1

aikAik ≡ |A| ,

където

[A] =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

......

...an1 an2 . . . ann

,

а Aik се нарича адюнгирано количество и е величина определена пак със същото понятие— детерминанта:

Aik = (−1)i+k det[Mik] ,

но на минора [Mik] на [A], който се получава от матрицата [A] като задраскаме i-тия реди k-тия стълб. Така минора е матрица с една степен по-малка по размерност и понятиетодетерминанта може рекурсивно да се прилага до достигане на минори с размерност наскалари, т.е 1×1, за които детерминантата е равна на скалара — единствената компонентана матрицата (det apq = apq).

Понятието обратна матрица е свързано също само с квадратна матрица, като матри-цата [B] наричаме обратна на матрицата [A] и отбелязваме

[B] = [A]−1 ,

ако[B][A] = [A][B] = [I]

или[A]−1[A] = [A][A]−1 = [I] ,

където

[I]n×n = [I]n =

1 0 0 . . . 00 1 0 . . . 00 0 1 . . . 0...

......

...0 0 0 . . . 1

е единичната матрица — диагонална матрица с единици по главния диагонал, която имасвойството:

[I][A] = [A] = [A][I]

[I]{b} = {b} = (⌊b⌋[I])t = ⌊b⌋t

Обратната матрица може да бъде изчислена от адюнгираните количества или все едноот така наречената адюнгирана матрица и детерминантата на матрицата:

[A]−1 =1

det[A]

A11 A12 . . . A1n

A21 A22 . . . A2n

...An1 An2 . . . Ann

33

DR

AFT


Aij — адюнгирано количество на елемента aij на матрицата [A].От израза, по който се изчислява обратната матрица става ясно, че за да се намери

обратната матрица трябва det[A] 6= 0. Ако det[A] = 0, казваме, че [A] е особена илисингулярна, защото системата уравнения

[A]{x} = {b}

няма да има единствено решение. Ако det[A] 6= 0, матрицата е неособена — несингуляр-на, матрицата има обратна определена матрица и системата уравнения има единственорешение

[A]{x} = {b}[A]−1[A]{x} = [A]−1{b}

[I]{x} = [A]−1{b}{x} = [A]−1{b}

Така като знаем обратната матрица на матрицата на коефициентите, решаваме систематалинейни уравнения.

§ 10.2. Едномерен прътов елемент

Най-простият елемент е прътов елемент натоварен с аксиални сили. На фиг. 10.2а епоказан прав прътов елемент с дължина Le и напречно сечение Se с два възела. Премест-ванията u1, u2 и силите f1, f2 във възлите са по оста на пръта x, определена от поредносттана възлите като положителна посока и единствената координатна ос, необходима за да сеопише елемента, затова и елемента наричаме още едномерен.

Фиг. 10.2. Едномерен прътов елемент

Удължението на пръта е

∆ = u2 − u1 =NxLe

EeSe

Ако намерим Nx за лява част на мислено разрязаният прът по метода на сечението (фиг.10.2б), то Nx = −f1. За дясна част (фиг. 10.2в) намираме друга зависимост Nx = f2. Таказа елемента можем да напишем две уравнения, съответстващи на броя на степените насвобода, които той има:

∣∣∣∣

−u1 + u2 = − f1Le

EeSe

−u1 + u2 = f2Le

EeSe

Ако заменим EeSe/Le с ke — коефициент на коравина на елемента

ke =EeSe

Le

34

DR

AFT

10.3. Равновесие на възел. Система от пръти

то ∣∣∣∣

keu1 − keu2 = f1

−keu1 + keu2 = f2(10.3)

Тази система уравнение в матрична форма има следния вид:

[ke −ke

−ke ke

] {u1

u2

}

=

{f1

f2

}

(10.4)

Като означим

[Ke] =

[ke −ke

−ke ke

]

= ke

[1 −1−1 1

]

; {de} =

{u1

u2

}

; {fe} =

{f1

f2

}

;

имаме [Ke] — коравинна матрица на елемента, {de} — вектор на възловите преместванияна елемента, {fe} — вектор на възловите сили на елемента.

Системата уравнения, които бяха изведени за един прътов елемент могат да се предс-тавят още така: ∣

∣∣∣

k11u1 + k12u2 = f1

k21u1 + k22u2 = f2

Смисълът на всеки коравинен коефициент kij е обобщена сила, съответстваща на i-татаСнС, предизвикана от j-тото единично обобщено преместване. Мерната единица за всекикоравинен коефициент е [обобщена сила/обобщено преместване] и в случая е [N/m] в основ-ни единици на система SI, защото имаме само съсредоточени сили и линейни премествания(т.е. транслационни СнС). Така уравненията на един прътов елемент представляват обоб-щение и приложение на принципа на суперпозицията за всичките му степени на свобода.

Напрежението в напречните сечения на едномерния прътов елемент може да се опре-дели от възловите сили

σx =Nx

Se

= − f1

Se

=f2

Se

(10.5)

или от преместванията

σx = Eeεx =Ee

Le

(u2 − u1) (10.6)

§ 10.3. Равновесие на възел. Система от пръти

Нека да разгледаме една произволна система от едномерни прътови елементи (фиг.10.3а). Ако отделим един мислено отрязан възел i, в който действа обобщена външна силаfi (фиг. 10.3б), то във възела са свързани елементите k, k+1 и k+2, така че равновесиетона възела се определя от равенството:

−Nk −Nk+1 + fi +Nk+2 = 0

или

Nk +Nk+1 −Nk+2 = fi

За всеки елемент можем да запишем от зависимостта за удължението на елемента

∆ = u2 − u1 =NeLe

EeSe

=Ne

ke

35

DR

AFT


Фиг. 10.3. Система от едномерни пръти и равновесие на възел

и от там да изразим нормалните разрезни усилия в прътите

Nk = kk(ui − ui−2)

Nk+1 = kk+1(ui − ui−1)

Nk+2 = kk+2(ui+1 − ui)

Като ги заместим в израза за равновесието на възела

kkui − kkui−2 + kk+1ui − kk+1ui−1 − kk+2ui+1 + kk+2ui = fi

получаваме след опростяване

−kkui−2 − kk+1ui−1 + (kk + kk+1 + kk+2)ui − kk+2ui+1 = fi

В уравнението участват преместванията на всички възли, които са свързани чрез еле-менти с разглеждания възел умножени по коравинния коефициент на елемента със знакминус. Коравинните коефициенти на всички елементи свързани във възела са събраникато множител пред преместването на възела. От тук следват практическите правила засглобяване (асемблиране) на коравинната матрица на системата от пръти.

Ако вземем за пример три последователно свързани едномерни прътови елемента (фиг.10.4), то всеки от елементите има коравинна матрица 2×2 с ненулеви стойности, свързващидве степени на свобода или два възела според глобалната им номерация. Начинът наобразуване на глобалната коравинна матрица на системата е:

× × 0 0× × 0 00 0 0 00 0 0 0

+

0 0 0 00 × × 00 × × 00 0 0 0

+

0 0 0 00 0 0 00 0 × ×0 0 × ×

=

× × 0 0× × × 00 × × ×0 0 × ×

Така след асемблиране на системната коравинна матрица от трите елементни коравинниматрици тя става

[K] =

k1 −k1 0 0−k1 k1 + k2 −k2 00 −k2 k2 + k3 −k3

0 0 −k3 k3

където k1, k2 и k3 са трите коравинни коефициента на трите крайни елемента.

36

DR

AFT

10.3. Равновесие на възел. Система от пръти

Фиг. 10.4. Три последователни пръта свързани в система


Пример 10.1. Да се определят напреженията в натоварения и закрепен според чертежа със-тавен прът.

Решение:

Дискретизираме съставния прът на три елемента и четири възела, като крайните възли 1 и4 са закрепени.

Всеки от елементите има коравинна матрица от вида

[Ke] =

[ke −ke

−ke ke

]

, e = 1, 2, 3

където

ke =EeSe

Le

Уравненията на системата от пръти в матричен вид представляват:

k1 −k1 0 0−k1 k1 + k2 −k2 00 −k2 k2 + k3 −k3

0 0 −k3 k3

0u2

u3

0

=

R1

0FR4

където u1 = u4 = 0, защото възлите са закрепени, а R1 и R4 са неизвестните опорни реакции впърви и четвърти възел.

След като две от преместванията са нула, то тези колони от матрицата не са нужни, защототе винаги се умножават по нула

−k1 0k1 + k2 −k2

−k2 k2 + k3

0 −k3

{u2

u3

}

=

R1

0FR4

37

DR

AFT


Така имаме четири уравнения с две неизвестни премествания, но първото и четвъртото уравненияимат две неизвестни опорни реакции в десните си страни. Ако премахнем тези две уравнения, т.е.редовете първи и четвърти на матрицата и на вектора на силите, то се получават две уравненияс две неизвестни:

[k1 + k2 −k2

−k2 k2 + k3

]{u2

u3

}

=

{0F

}

Тази система от уравнения наричаме редуцирана, а коравинната матрица

[Kr] =

[k1 + k2 −k2

−k2 k2 + k3

]

=

k1 −k1 0 0−k1 k1 + k2 −k2 00 −k2 k2 + k3 −k3

0 0 −k3 k3

също редуцирана коравинна матрица, която е получена от системната чрез задраскване (премах-ване) на редовете и стълбовете, които съответстват на закрепените СнС. Решението на редуци-раната система дава неизвестните премествания и от там задачата е решена:

σ1 =E1

L1(u2 − 0)

σ2 =E2

L2(u3 − u2)

σ3 =E3

L3(0− u3)

§ 10.4. Решаване на деформационната задача — обобще-

ние

§ 10.4.1. Свойства на системната коравинна матрица

Нека първо да разгледаме елементната коравинна матрица на един едномерен прътовелемент. Коравинната матрица е

[Ke] =

[k −k−k k

]

Детерминантата на тази матрица е равна на

∆[Ke] = det[Ke] = k · k − (−k) · (−k) = 0

Това означава, че системата уравнения

[k −k−k k

] {u1

u2

}

=

{f1

f2

}

, ([Ke]{de} = {fe})

има безброй много решения за u1 и u2.Физическият смисъл на този математически извод е следният: Понеже елементът не

е закрепен неподвижно, то той може да се премести като идеално твърдо тяло, освен дасе деформира. За преместванията могат да се получат безброй много решения стига даотговарят на условието:

u2 =(f2 − f1)L

2ES+ u1 =

f2 − f1

2k+ u1

38

DR

AFT

10.4. Решаване на деформационната задача — обобщение

т.е. u2 да е получено по тази формула за което и да е u1, определящо едно свободно пре-местване на възела 1. Следователно докато закрепванията не са въведени и имаме въз-можност за преместване като идеално твърдо тяло, то коравинната матрица на елементаили системата от елементи ще бъде сингулярна, т.е. с детерминанта равна на нула.

Пример 10.2. Прът е дискретизиран с три прътови елемента и закрепен в единия си край,а е натоварен с опънова сила в другия си край както е дадено на фиг. 10.6. Да се изследвасистемната му коравинна матрица.


Решение:

Всяка от елементните коравинни матрици е

[Ke] =

[k −k−k k

]

Системната коравинна матрица е равна на

[K] =

k −k 0 0−k 2k −k 00 −k 2k −k0 0 −k k

Детерминантата на системната коравинна матрица е

det[K] = (−1)2k

∣∣∣∣∣∣

2k −k 0−k 2k k0 −k k

∣∣∣∣∣∣

+ (−1)3(−k)

∣∣∣∣∣∣

−k −k 00 2k −k0 −k k

∣∣∣∣∣∣

= k(4k3 − 2k3 − k3) + k(−2k3 + k3) = k4 − k4 = 0

След закрепването на възел 1, редуцираната коравинна матрица е:

[Kr] =

2k −k 0−k 2k −k0 −k k

За детерминантата на редуцираната матрица получаваме

det[Kr] = 4k3 − 2k3 − k3 = k3 6= 0

Това означава, че системата уравнения

[Kr]

u2

u3

u4

=

00F

има единствено решение за преместванията при зададените външни сили.

39

DR

AFT


§ 10.4.2. Методи за решаване на система линейни алгебрични урав-

нения

Най-популярният точен метод е методът на Гаус или още Гаусовата елиминация. Притози метод чрез умножение с подходящи числа и събиране на уравненията (коефициентитепред неизвестните или все едно компонентите на редуцираната коравинна матрица и наредуцирания вектор на силите) се довежда матрицата до горна триъгълна:

× × × . . . × ×0 × × . . . × ×0 0 × . . . × ×...0 0 0 . . . 0 ×

u1

u2

u3...un

=

×××...×

Това се нарича прав ход, а след това се решават едно по едно уравненията от последнотокъм първото и се определят неизвестните — обратен ход.

Методът на Гаус се реализира в програмната среда MATLABR©

като се зададе

>> x = A\b

където A е редуцираната коравинна матрица, а b е редуцираният вектор на силите, т.е.намира се решение на [A]{x} = {b}.

Други методи са свързани с обръщане на коравинната матрица, т.е. за системата

[K]{d} = {f}

{d} = [K]−1{f}За решаването на тази система уравнения в MATLAB

R©

>> d = inv(K)*f

Съществуват и други методи с разлагане на коравинната матрица като LU-метод иметод на Cholesky (Холески), които при големи разредени матрици са много ефективни.

Итерационните методи са неефективни и не се използват за решаването на системауравнения, когато това става еднократно. При нелинейни задачи, когато многократнотрябва да се решават системата линейни уравнения със слабо модефициране на коравин-ната матрица, тези методи са доста по-ефективни понякога.

§ 10.4.3. Анализ на резултатите — постпроцес

Системата уравнения, които сме съставили в матрична форма може да се изрази иразбие на следните подматрици и матрични уравнения:

[[Kss] [Ksf ][Kfs] [Kff ]

]{{ds}{df}

}

=

{{fs}{ff}

}

(10.7)

където {ds} са преместванията на закрепените СнС, които най-често са нула, но все пакмогат да бъдат и различни от нула предписани премествания. {df} са неизвестните пре-мествания на свободните СнС. {fs} са неизвестните реакции в закрепените СнС, а {ff} евектор на силите, действащи по свободните СнС, които са дадени.

40

DR

AFT


[Kff ] е всъщност редуцираната коравинна матрица на системата и тя определя коя ередуцираната система уравнения, които трябва да се решат:

[Kff ]{df} = {ff} − [Kfs]{ds} (10.8)

След решаването на тази система от редуцирани уравнения се намират неизвестните пре-мествания {df}. Тогава можем да определим неизвестните сили — реакциите в закрепенитеСнС:

{fd} = [Kss]{ds}+ [Ksf ]{df} (10.9)

Така всички неизвестни са вече определени.Много често възлите се закрепват неподвижно и тогава {ds} = {0}. От тук следват

много опростявания като редуцираната система уравнения е

[Kff ]{df} = {ff}

а реакциите се определят след намиране на неизвестните премествания {df} от уравнени-ето

{fs} = [Ksf ]{df}След решаването на системата уравнения и определяне на неизвестните възлови пре-

мествания и сили се престъпва към анализ на напреженията във всеки елемент. За всекиот елементите определяме вектора на възловите му премествания, определени от векторана съответствие за елемента, т.е. номера на прилежащите му възли. От там определямевъзловите сили за елемента

{fe} = [Ke]{de} =

{f1

f2

}

За едномерния прътов елемент (фиг. 10.7а) след мислено разрязване по метода на сече-нието (фиг. 10.7б) имаме

Nx = −f1 = f2 , σx =Nx

Se

Така се анализират всички елементи за определяне на техните нормални разрезни усилияи нормални напрежения в напречните им сечения.

Фиг. 10.7. Нормално разрезно усилие в едномерен елемент

Пример 10.3. Да се определят напреженията в натоварения според чертежа на фиг. 10.8съставен прът.

Решение:

41

DR

AFT



Дискретизираме съставния прът на три елемента с коравинни коефициенти

k1 =E · 2Sl

=2ES

l= 2k

k2 =E · 2Sl

=2ES

l= 2k

k3 =E · S

2l=ES

2l= 0, 5k

където k = ES/l. Елементните коравинни матрици са

[K1] =

[2 −2−2 2

]

k = [K2] , [K3] =

[0, 5 −0, 5−0, 5 0, 5

]

k

Системната коравинна матрица се асемблира и представлява:

[K] =

2 −2 0 0−2 2 + 2 −2 00 −2 2 + 0, 5 −0, 50 0 −0, 5 0, 5

k

Системата уравнения са

k

2 −2 0 0−2 4 −2 00 −2 2, 5 −0, 50 0 −0, 5 0, 5

0u2

u3

u4

=

R−2F

0F

Редуцираната система от уравнения се получава след премахване на първи ред и първа колонана системната матрица:

k

4 −2 0−2 2, 5 −0, 50 −0, 5 0, 5

u2

u3

u4

=

−2F0F

Решаване на системата уравнения по метода на Гаус. Прав ход:

k

4 −2 0−2 2, 5 −0, 50 −0, 5 0, 5

−2F0F

Втори ред умножаваме по 2 и прибавяме към първи ред. Рзултата записваме в ред две:

k

4 −2 00 3 −10 −0, 5 0, 5

−2F−2FF

42

DR

AFT


Умножаваме ред 3 по 6 и събираме с ред 2. Записваме резултата в ред 3:

k

4 −2 00 3 −10 0 2

−2F−2F4F

Обратен ход: Последното уравнение е

2ku4 = 4F

решението е

u4 =4F

2k= 2

F

k= 2

Fl

ES= 2δ

където δ = F lES

Следващото уравнение

3u3 − u4 = −2δ

има решение

u3 = 0

Последно уравнение

4u2 − 2u3 = −2δ

което има решение

u2 = −0, 5δ

Реакцията намираме от първото уравнение на пълната система уравнения

R = 2 · 0− 2ku2 = −2k(−0, 5δ) = kδ =ES

l

F l

ES= F

Постпроцес по елементи:

Елемент 1

k

[2 −2−2 2

]{0−0, 5

}

δ = kδ

{+1−1

}

=

{F−F

}

Nx1 = −F , σx1 = − F

2S= −0, 5σ

където σ = F/S.

Елемент 2

k

[2 −2−2 2

]{−0, 5

0

}

δ =

{−11

}

F

Nx2 = F , σx2 =F

2S= 0, 5σ

Елемент 3

k

[0, 5 −0, 5−0, 5 0, 5

]{02

}

δ =

{−11

}

F

Nx2 = F , σx2 =F

S= σ

Диаграми

43

DR

AFT


§ 10.5. Равнинна ставно-прътова конструкция

Равнинните ставно-прътови конструкции са образувани от пръти, които не са успоред-ни помежду си и са свързани със цилиндрични стави. Оста на всички пръти и външнотонатоварване лежат в една равнина, като натоварването е само във възлите на конструк-цията, т.е. имаме само съсредоточени сили като показаната на фиг. 10.9 конструкция.

Фиг. 10.9. Равнинна ставно-прътова конструкция

§ 10.5.1. Разширение на едномерен прътов елемент до равнинен

Всеки от елементите на една ставно-прътова конструкция в равнината, не се различаваот едномерен прътов елемент с изключение на степените на свобода. В равнинна коорди-натна система x′y′ привързана към самия елемент като оста x′ съвпада с оста на пръта,започвайки от възел 1 към възел 2 според локалната номерация на възлите, елементътизглежда като на фиг. 10.10.

44

DR

AFT

10.5. Равнинна ставно-прътова конструкция

Фиг. 10.10. Равнинен прътов елемент

Степените на свобода сега са разширени с напречни премествания и сили. За тях обачене съществува връзка, тъй като в края на елементаима стави. Зависимостта в матриченвид представлява:

[K′]{d′e} = {f ′e} (10.10)

k 0 −k 00 0 0 0 0−k 0 k 00 0 0 0

u′1v′1u′2v′2

=

f ′x1

f ′y1

f ′x2

f ′y2

където k = ES/L е коравинния коефициент на прътовия елемент. Разширили сме степе-ните на свобода и те са по 2 на възел или 4 за елемента, но коравинната матрица е същатакато в едномерния случай, но е разширена с нули за новите връзки.

В общо положение прътовият елемент е разположен под наклон спрямо една глобалнакоординатна система xy (фиг. 10.11). Необходимо е да се намери зависимостта между СнСна един прътов елемент в глобалната за системата координатна система xy:

[Ke]{de} = {fe}

знаейки тази зависимост за локалната координатна система.

Фиг. 10.11. Прът в общо положение в равнината

§ 10.5.2. Трансформация на вектор в равнината

Нека първо да разгледаме трансформацията на един вектор ~p (фиг. 10.12), който можеда бъде вектор на транслационното преместване или на съсредоточената възлова сила.

45

DR

AFT


Фиг. 10.12. Транформация на вектор в равнината

px = px′ cosα− py′ cosβ

py = px′ cosβ + py′ cosα

Във векторно-матрична форма имаме равенството

{p} = [Λ]t{p′} (10.11)

където

{p} = ⌊px py⌋t , {p′} = ⌊px′ py′⌋t

[Λ] =

[cosα cosβ− cosβ cosα

]

=

[cos ∠x′x cos ∠x′ycos ∠y′x cos ∠y′y

]

Матрицата [Λ] е матрица съдържаща посочните косинуси на единичните вектори {ex′}и {ey′} на осите x′ и y′, които можем да означим по няколко начина, но тъй като cos β =sinα можем да използваме само ъгъл α:

[Λ] =

[⌊ex′⌋⌊ey′⌋

]

=

[λxx′ λx′y

λy′x λy′y

]

=

[cosα sinα− sinα cosα

]

(10.12)

Ако умножим отляво с матрицата [Λ] уравненията (10.11) за трансформация на векторот локална в глобална координатна система, получаваме:

[Λ]{p} = [Λ][Λ]t{p′}

=


] [cosα − sinαsinα cosα

]

{p′}

=

[1 00 1

]

{p′} = [I2]{p′} = {p′}

Така се получи обратната трансформация на вектор от глобална в локална координатнасистема, т.е

{p′} = [Λ]{p} (10.13)

Матрицата [Λ] притежава интересно свойство — нейната транспонирана матрица [Λ]t

съвпада с обратната й матрица [Λ]−1, защото

[Λ][Λ]t = [I]2 ≡ [Λ][Λ]−1 ⇒ [Λ]t ≡ [Λ]−1

Такава матрица се нарича ортогонална и даже ортонормирана.

46

DR

AFT


§ 10.5.3. Трансформиране на коравинна матрица

Ако векторът, който трябва да се трансформира от една координатна система в друга евектор на елементните възлови премествания, то трансформационната матрица се състоиот две двумерни ортогонални трансформационни матрици:

u1

v1

u2

v2

=

[[Λ]t2 [0]2[0]2 [Λ]t2

]

︸︷︷︸

[Te]t

u′1v′1u′2v′2

Така имаме следните трансформации:

{de} = [Te]t{d′

e} , {d′e} = [Te]{de} (10.14)

където

[Te] =

c s 0 0−s c 0 00 0 c s0 0 −s c

, c = cosα , s = sinα ;

Тук косинус и синус от ъгълът алфа могат да бъдат намерени и така:

c =x2 − x1

L, s =

y2 − y1

L

от координатите на възел 1 (x1, y1) и на възел 2 (x2, y2) и от дължината на елемента L,която може да се изчисли също от координатите

L =√

(x2 − x1)2 − (y2 − y1)2 (10.15)

Тези зависимости на трансформиране на вектор от координатна система xy в x′y′ иобратно, могат да се запишат и за възловите сили на елемента:

{fe} = [Te]t{f ′e} , {f ′e} = [Te]{fe} (10.16)

Ние познаваме коравинната матрица на елемента в локална координатна система x′y′

и зависимостта{f ′e} = [K′

e]{d′e}

В глобалната координатна система xy изразяваме възловите сили чрез трансформациите

{fe} = [Te]t{f ′e} = [Te]

t[K′e]{d′

e}

За възловите премествания имаме

{d′e} = [Te]{de}

и като заместим в израза за силите получаваме:

{fe} = [Te]t[K′

e][Te]︸︷︷︸

[Ke]

{de}

Тогава за коравината матрица в глобална координатна система xy се получава:

[Ke] = [Te]t[K′

e][Te] (10.17)

47

DR

AFT


Нека да намерим елементната коравинна матрица на равнинен прътов елемент в гло-бална координатна система в явен вид:

[Ke] =

c −s 0 0s c 0 00 0 c −s0 0 s c

k

1 0 −1 00 0 0 0−1 0 1 00 0 0 0

c s 0 0−s c 0 00 0 c s0 0 −s c

k

c 0 −c 0s 0 −s 0−c 0 c 0−s 0 s 0

c s 0 0−s c 0 00 0 c s0 0 −s c

= k

c2 sc −c2 −scsc s2 −sc −s2

−c2 −sc c2 sc−sc −s2 sc s2

Така окончателно се получава, че коравинната матрица на равнинен прътов елемент е

[Ke] = k

c2 sc −c2 −scsc s2 −sc −s2

−c2 −sc c2 sc−sc −s2 sc s2

(10.18)

където

k =ES

L, s = sinα , c = cosα , α = ∠x′x

§ 10.5.4. Анализ на равнинна ставно-прътова конструкция

След изчислението на коравинните матрици на елементите в глобална координатнасистема те могат да се асемблират в системната коравинна матрица — тази, която описвацялата система от пръти. Деформационната задача се решава в глобална координатнасистема. За да се направи анализ на разрезните усилия и напреженията обаче трябвада разполагаме с възловите сили на елемента в локалната за елемента координатна сис-тема. Затова след решаването на деформационната задача, преместванията за всеки отелементите се трансформират в локалната за елемента координатна система:

{d′e} = [Te]{de}

От тях много лесно, като се използват матричните зависимости, се намират възловитесили:

{f ′e} = [K′e]{d′

e}Матрицата [K′

e] обаче е силно разредена

fx′1

fy′1

fx′2

fy′2

= k

1 0 −1 00 0 0 0−1 0 1 00 0 0 0

u′1v′1u′2v′2

и напречните на оста на пръта премествания нямат значение за нормалните разрезниусилия в елемента както и напречните възлови сили, които са винаги нулеви. Затоваизчислението на разрезното усилие и напрежението в напречните сечения на пръта, койтое подложен или на опън, или на натиск, могат много лесно да се изчислят от зависимостите

Nx′ = fx′2 = k(u′2 − u′1) (10.19)

σx′ =Nx′

S=k

S(u′2 − u′1) =

E

L(u′2 − u′1) (10.20)

48

DR

AFT


Така анализът на напреженията в ставно-прътова конструкция може да се направи нап-раво от преместванията, но в локална координатна система.

Когато прътите са подложени на натиск, то те могат да се изкълчат. Анализът наставно-прътова конструкция за устойчивост е нелинейна задача, която не е е предмет налинейните матрични методи на строителната механика. Изчислените натискови разрезниусилия обаче могат да бъдат проверени с познатите ни методи — задача на Ойлер в елас-тичната област и апроксимиращи функции в пластичната област като тези на Ясински-Тетмайер. Проблемът тук е основно в правилното определяне на граничните условия —закрепванията за даден прав участък от конструкцията. За ставно-прътови конструкцииби трябвало всеки натиснат прътов елемент да се разглежда като Ойлеров случай кактое показано на фиг. 10.13.

Фиг. 10.13. Ойлеров случай на закрепване и натоварване на прът на натиск

Условието за устойчивост на натиснат прът е:

σx ≤ −σкр

nуст

(10.21)

където nуст е коефициентът на сигурност срещу загуба на устойчивост, който е по-голямвинаги от единица (nуст > 1), а критичното напрежение σкр зависи от стройността напръта:

σкр =

{π2Enуст

, ако λ ≤ λгр

σ0(1− bλ) , ако λ > λгр

където

λгр = π

√

E

σp

определя границата между еластичната и пластичната зона в изкълчването (фиг. 10.14).Стройността λ може да се определи с формулата

λ = L

√

S

Imin

Границата на пропорционалност σp може да се приеме, че е равна приблизително на гра-ницата на провлачване σp ≈ σs при пластични материали.

Разбира се якостното условие за натиск също трябва да бъде изпълнено, т.е.

σx ≥ −[σ]нат

когато имаме натиск (σx < 0), а при опън (σx ≥ 0) трябва да е изпълнено якостнотоусловие при опън:

σx ≤ [σ]оп

Пример 10.4. Да се определят напреженията в прътите от ставно-прътовата конструкциядадена на фиг. 10.15.

49

DR

AFT


Фиг. 10.14. Диаграма на критичното напрежение в зависимост от стройността

Фиг. 10.15. Пример 10.4

Решение:

За първия елемент имаме

L1 =√

l2 + l2 =√

2l

α1 = 45◦ , c1 = cosα1 = s1 = sinα1 = cos 45◦ =l

L1=

√2

2; c21 = s21 = s1c1 = 0, 5

k1 =2ES

4=

2ES√2l

=√

2ES

l=√

2k , k =ES

l

[K1] = k1

c21 s1c1 −c21 −s1c1s1c1 s21 −s1c1 −s21−c21 −s1c1 c21 s1c1−s1c1 −s21 s1c1 s21

=√

2k

0, 5 0, 5 −0, 5 −0, 50, 5 0, 5 −0, 5 −0, 5−0, 5 −0, 5 0, 5 0, 5−0, 5 −0, 5 0, 5 0, 5

=

√2

2k

1 1 −1 −11 1 −1 −1−1 −1 1 1−1 −1 1 1

За втория елемент имаме

L2 = l , α2 = −90◦ , c2 = cosα2 = 0 , s2 = sinα2 = −1 , c22 = s2c2 = 0 , s22 = 1

k2 =ES

l= k

50

DR

AFT


[K2] = k

0 0 0 00 1 0 −10 0 0 00 −1 0 1

Можем направо да асемблираме системата линейни уравнения за цялата конструкция в мат-ричен вид:

k

√2/2

√2/2 −

√2/2 −

√2/2 0 0√

2/2√

2/2 −√

2/2 −√

2/2 0 0

−√

2/2 −√

2/2√

2/2√

2/2 0 0

−√

2/2 −√

2/2√

2/2√

2/2 + 1 0 −1

0 0 0 0 0 00 0 0 −1 0 1

u1 = 0v1 = 0

u2

v2u3 = 0v3 = 0

=

Rx1

Ry1

F0

Rx3

Ry3

Редуцираната система от уравнения е

k

[√2/2

√2/2√

2/2√

2/2 + 1

]{u2

v2

}

=

{F0

}

По метода на Гаус изваждаме от второто уравнение първото и с полученото заместваме вто-рото уравнение

k

[√2/2

√2/2

0 1

]{u2

v2

}

=

{F−F

}

Решаваме второто уравнение

v2 = −Fk

= − Fl

ES= −δ , δ =

Fl

ES

и се връщаме към първото уравнение, което изглежда така

u2 + v2 =2F√2k

u2 =2F√2k

+F

k= (1 +

√2)F

k= (1 +

√2)Fl

ES= (1 +

√2)δ

Анализ на напрегнатото състояние в прътите: Първи елемент

{d1} =

u1

v1u2

v2

=

00

1 +√

2−1

δ

[Λ1] =

[c1 s1−s1 c1

]

=

√2

2

[1 1−1 1

]

{d′1} = [T1]{d1} =

√2

2

1 1 0 0−1 1 0 00 0 1 10 0 −1 1

00

1 +√

2−1

δ =

√2

2δ

00√2

−2−√

2

σ1 =E

L1(u′2 − u′1) =

E√2l

√2

2δ(√

2− 0) =E

l

√2

2

Fl

ES=

√2

2

F

S

Втори елемент

{d2} =

u2

v2u3

v3

=

1 +√

2−100

δ

51

DR

AFT


[Λ2] =

[c2 s2−s2 c2

]

=

[0 −11 0

]

{d′2} = [T2]{d2} =

0 −1 0 01 0 0 00 0 0 −10 0 1 0

1 +√

2−100

δ = δ

1

1 +√

200

σ2 =E

L2(u′3 − u′2) =

E

lδ(0 − 1) = −E

l

F l

ES= −F

S

§ 10.5.5. Разширение до пространствена ставно-прътова система

Разширяването на ставно-прътовите системи до пространствени означава прибавянетона още една транслационна степен на свобода за всеки възел. Степените на свобода завсеки възел са преместванията u, v и w по осите x, y и z, както и съсредоточените сили fx,fy и fz по тях. Тук xyz е глобална координатна система. За всеки елемент обаче съществувалокална координатна система x′y′z′, за която оста x′ е винаги оста на прътовия елемент(фиг. 10.16).

Фиг. 10.16

За локалната координатна система x′y′z′ в тримерното пространство коравинната мат-рица на прътов елемент се разширява до матрица с размерност 6× 6:

[K′e] = k

1 0 0 −1 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0−1 0 0 1 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

(10.22)

където

k =ES

L, L =

√

(x2′ − x1′)2 + (y2′ − y1′)2 + (z2′ − z1′)2

Тази матрица свързва възловите премествания с възловите сили в локална координатнасистема:

{f ′e} = [K′e]{d′

e}

52

DR

AFT


където

{f ′e} = ⌊ f ′x′1′ f

′y′1′ f

′z′1′ f

′x′2′ f

′y′2′ f

′z′2′ ⌋t , {d′

e} = ⌊ u′1′ v′1′ w′1′ u

′2′ v

′2′ w

′2′ ⌋t

Трансформационната матрица [Te] за елемента е същата като за двумерния случай:

[Te] =

[[Λ]3 [0]3[0]3 [Λ]3

]

но сега съставящите я матрици са с размер 3 × 3. С трансформационната матрица сетрансформира коравинната матрица от локална в глобална координатна система за даможем да асемблираме системната коравинна матрица в глобална координатна система:

[Ke] = [Te]t[K′

e][Te]

или обратно възловите премествания на всеки елемент

{d′e} = [Te]{de}

Ортогоналната матрица [Λ]3 е съставена от посочните косинуси на три единични век-тора

[Λ]3 =

λx′x λx′y λx′z

λy′x λy′y λy′z

λz′x λz′y λz′z

(10.23)

Оста x′ е строго определена — по оста на пръта, и се определя по възловите координатив глобална координатна система:

λx′x =x2′ − x1′

L, λx′y =

y2′ − y1′

L, λx′z =

z2′ − z1′L

Другите две оси обаче — y′ и z′, са напълно произволни стига да са взаимно перпендику-лярни с x′ и да образуват дясно-ориентирана координатна система.

Един начин за избор на осите от локалната координатна система и от там на посочнитекосинуси е да се избере оста y′ да лежи в равнината xy на глобалната координатна система.Ъгълът α, който сключва на x′ в равнината xy се опреля от зависимостта:

tgα =λx′y

λx′x

, α = arctgλx′y

λx′x

Оста y′ е под ъгъл α + 90◦ спрямо оста x и посочните косинуси са:

λy′x = cos(α + 90◦) = − sinα , λy′y = sin(α + 90◦) = cosα , λy′z = 0

Оста z′ се избира така, че да е перпендикулярна на x′ и y′, т.е. единичният й вектор~ez′, {ez′} = ⌊ λz′x λz′y λz′z ⌋t, да се получава от векторното произведение:

~ez′ = ~ex′ × ~ey′

По правилото на Сарус това означава, че

~ez′ = ~ex′ × ~ey′ = det

~i ~j ~kλx′x λx′y λx′z


53

DR

AFT


Следователноλz′x = λx′yλy′z − λx′zλy′y

λz′y = λx′zλy′x − λx′xλy′z

λz′z = λx′xλy′y − λx′yλy′x

(Ако λx′y = λx′x = 0, то тогава оста x′ е перпендикулярна на равнината xy и съвпада с

оста z, тогава [Λ]3 =

0 0 11 0 00 1 0

)

След правилния избор на локална координатна система, локалната коравинна мат-рица се трансформира чрез умножение отляво и отдясно с [Te] и опростяване на товапроизведение тук са неуместни.

След решаването на деформационната задача в глобална координатна система, въз-ловите премествания на елементите се трансформират в локалната за тях координатнасистема за анализ на напреженията

{d′e} = [Te]{de}

Анализът е съвсем елементарен и същият като в равнинния и едномерния случай:

σx′ =E

L(u′2′ − u′1′)

със съответната проверка за изкълчване

σx′ ≥ − σкр

nуст

и якост−[σ]нат ≤ σx′ ≤ [σ]оп

§ 10.6. Метод на преместванията и метод на силите

§ 10.6.1. Матричен метод на силите

Матричният метод, който разглеждахме досега, се нарича още метод на премествани-ята, защото при него се определят неизвестните премествания при зададени сили. Форму-лировката е: [

[Kss] [Ksf ][Kfs] [Kff ]

]{{ds}{df}

}

=

{{fs}{ff}

}

където {df} и {ff} са съответно неизвестните възлови премествания и зададените възловисили в свободните степени на свобода, докато {ds} са зададените премествания в закрепе-ните СнС, а {fs} са получените в тях реакции.Първо трябва да се определят неизвестнитепремествания от последното уравнение

[Kff ]{df} = {ff} − [Kfs]{ds}

където най-често {ds} ≡ {0}.Възможна е обратната формулировка на задачата

[G]{f} = {d} (10.24)

54

DR

AFT

10.6. Метод на преместванията и метод на силите

където [G] ще бъде матрица на податливостта на системата. Неизвестни тук са силите взакрепените възли, а са зададени преместванията. Аналогично, можем да разбием мат-ричните уравнения на тези отнасящи се до свободните степени на свобода f и закрепенитеСнС s. [

[Gss] [Gsf ][Gfs] [Gff ]

]{{fs}{ff}

}

=

{{ds}{df}

}

(10.25)

Тук неизвестни са опорните реакции

[Gss]{fs} = {ds} − [Gsf ]{ff}

Обикновено {ds} ≡ {0}, а броят на неизвестните опорни реакции зависи от това колко оттях са линейно независими. Условията за равновесие на статиката определят линейнатазависимост между неизвестните опорни реакции, която трябва да се изключи. За целтауравненията се съставят за една статично определима, неизменяема кинематично система.Индексът s се отнася за статично неопределимите степени на свобода, а f за свободнитеСнС, всички определени така в зададената система. Така задачата зависи от начина назакрепване и от избора на статично определимата основна система. Методът на силите еизвестен като

”силов метод“ в строителната механика.

Методът на силите има по-малко на брой неизвестни, който се свежда до степента настатична неопределимост. Това дава възможност задачата да бъде изчислена

”на ръка“,

което е било голямо предимство на метода до скоро. Недостатък на метода е, че фор-мулировката на задачата силно зависи от начина на закрепване и избора на основна —статично определима система. Методът на преместванията има предимство в това отно-шение, защото формулировката на задачата не зависи от закрепванията в началото, а тесе внасят по-късно. Недостатък е броят на неизвестните, който по правило е голям, нос развитието на електронно изчислителните машини — компютрите, този недостатък епреодолян. Това е и причината да се занимаваме с този метод.

Трябва да се знае, че матричният метод на преместването може да се разглежда катоприложение на Метода на Крайните Елементи (МКЕ) в строителната механика. МКЕ емного мощен метод, който се прилага в днешно време за всякакви непрекъснати среди.Познаването на матричния метод на преместването служи за въведение в МКЕ, с помоща,на който се правят повечето от изчисленията при проектирането на изделия в машиност-роенето, моделиране и симулации на различни явления при изследването им в науката идаже просто анимации в кинематографията.

§ 10.6.2. Връзка между метод на силите и метод на преместванията

Ако между двата метода се търси връзка, то тя лесно може да бъде намерена, носе изисква една и съща формулировка на задачата. Това е особено полезно когато сеопределят коравинните коефициенти от коравинната матрица на един елемент. Да незабравяме, че смисълът на един такъв коефициент е именно опорна реакция при зададеносамо едно еинично обобщено преместване, а всички останали премествания са нулеви.Тогава задачата става най-често статично неопределима и определянето на неизвестнитеизлишни опорни реакции се свежда до решаването й по метода на силите.

Статично определимите задачи са ни познати от курса по Съпротивление на матери-алите и ние можем да определяме реакциите в опорите от условията за равновесие настатиката и преместванията за всяко от основните натоварвания на пръти. Така ако фор-мулираме задачата при статично определима система за един елемент, можем да опреде-лим коравинната му матрица, ако намерим връзката между матрицата на податливосттаи коравинната матрица.

55

DR

AFT


Да формулираме статично определима задача по двата матрични метода. По методана преместванията имаме


]{{ds}{df}

}

=

{{fs}{ff}

}

(10.26)

където с индекс f сме означили свободните СнС, а със s закрепените СнС. Когато {ds} ≡{0}, а {fs} е вектор на реакциите в закрепените възли, методът на силите може да седефинира по следния начин:

[G]{ff} = {df} (10.27)

Неизвестните опорни реакции се получават от условията за равновесие на статиката, коитосъщо могат да се дадат в матрична форма:

{fs} = [Φ]{ff} (10.28)

Правейки паралел между второто матрично уравнение от метода на преместванията

[Kff ]{df} = {ff} (10.29)

и това от метода на силите, което можем да преобразуваме

{ff} = [G]−1{df}

излиза, че[Kff ] = [G]−1 (10.30)

Замествайки във второто уравнение на метода на силите (това на статиката), получаваме:

{fs} = [Φ][G]−1{df} (10.31)

Това уравнение съпоставяме с първото матрично уравнение на метода на преместванията:

[Ksf ]{df} = {fs}

и получаваме:[Ksf ] = [Φ][G]−1 (10.32)

От условието за симетрия на матрицата [K], намираме [Kfs] като симетрична, т.е. тран-спонирана на матрицата [Ksf ]

[Kfs] = [Ksf ]t = ([Φ][G]−1)t

= ([G]−1)t([Φ])t = [G]−1[Φ]t

Тъй като [G] е симетрична, а следователно и [G]−1 трябва да е симетрична и равна натранспонираната си, то окончателно

[Kfs] = [G]−1[Φ]t (10.33)

Ако умножим второто матрично уравнение на метода на преместванията отляво с мат-рицата [Φ] и го съпоставим с първото матрично уравнение:

[Kss]︸︷︷︸

≡

{ds} + [Ksf ]︸︷︷︸

≡

{df} = {fs}

︷︸︸︷

[Φ][Kfs]{ds} +︷︸︸︷

[Φ][Kff ]{df} = [Φ]{ff}

56

DR

AFT


се оказва, че използвайки метода на силите, второто матрично уравнение е линейна ком-бинация от първото. Това довежда до сингулярността на коравинната матрица като цяло,което вече беше показано в предните раздели. От съпоставката между уравненията следваи зависимостта:

[Kss] = [Φ][Kfs] = [Φ][G]−1[Φ]t (10.34)

Окончателно пълната коравинна матрица на един елемент, ако системата се състоисамо от него, може да се определи като

[Ke] =


]

=

[[Φ][G]−1[Φ]t [Φ][G]−1

[G]−1[Φ]t [G]−1

]

(10.35)

Така, ако решим статично определимата задача за един елемент, като определим премес-тванията му и от там матрицата [G] (матрица на податливостите от формулировката наметода на силите [G]{ff} = {df}), а след това определим опорните реакции от условиятаза равновесие на статиката в матрична форма {fs} = [Φ]{ff}, като дефинираме матрицата[Φ], то може да се изяисли коравинната матрица [Ke] на един елемент.

Пример 10.5. Да се определи коравинната матрица на прътов елемент с два възела и двеСнС (по една на възел).

Решение:

Закрепваме елемента неподвижно във възел 2. Изразяваме преместването на възел 1:

u1 = −NxL

ES=fx1L

ES=

L

ESfx1

където

Nx = −fx1

Матрицата на податливостите се състои само от един компонент, т.е. тя се изражда в скалар:

[G] =L

ES, a [G]−1 =

ES

L

Реакцията fx2 се определя с равенството

fx2 = −fx1

Следователно

[Φ] = −1 = [Φ]t

Тогава за коравинната матрица получаваме

[Ke] =

[[Kff ] [Kfs][Ksf ] [Kss]

]

=

[[G]−1 [G]−1[Φ]t

[Φ][G]−1 [Φ][G]−1[Φ]t

]

=

57

DR

AFT


=

[ESL

ESL· (−1)

(−1) · ESL

(−1) · ESL· (−1)

]

=ES

L

[1 −1−1 1

]

Този резултат съвпада с вече получения в предходните раздели, но обърнете внимание на това,

че тук подредбата закрепени възли, свободни възли е друга и в това трябва да се внимава.

Пример 10.6. Да се определи коравинната матрица на торсионен елемент с два възела и 2СнС (по една СнС на възел).

Решение:

ψ2 =mx2L

GJ=

L

GJmx2 =⇒ [G] =

L

GJ, [G]−1 =

GJ

L

където G е модул на еластичност на ъгловите деформации, а J е инерционен момент при усукване(полярен за кръговите сечения).

mx1 = −mx2 =⇒ [Φ] = −1 = [Φ]t

[Ke] =

[[Φ][G]−1[Φ]t [Φ][G]−1

[G]−1[Φ]t [G]−1

]

=GJ

L

[1 −1−1 1

]

§ 10.6.3. Извеждане на коравинната матрица на равнинен гредови

елемент

Да разгледаме равнинен гредови елемент с два възела (фиг. 10.17а). Всеки от възлитеима по 2 СнС или общо 4 СнС за елемента. Те са напречното преместване v за елемента изавъртането на възела (ъгловото преместване) ϕ. Тук разглеждаме елемента в равнинатаxy, т.е. огъването е около ос z и елемента се характеризира с осов инерционен моментIz. За да можем да приложим методът на преход от метода на силите към метода напреместванията за определяне на коравинната матрица, трябва да закрепим елементастатично определимо, например конзолно във възел 1.

Да напишем диференциалното уравнение на еластичната линия за конзолно закрепе-ния гредови елемент:

EIzv′′(x) = Mz(x) (10.36)

където огъващия момент се определя по метода на сечението (фиг. ??б):

Mz = f2(L− x) +m2 (10.37)

58

DR

AFT


Фиг. 10.17. Равнинен гредови елемент в равнината xy при огъване около z

Да интегрираме последователно диференциалното уравнение на еластичната линия:

EIzv′(x) = EIzϕ(x) =

∫

Mz(x)dx+ C1

EIzϕ(x) =

∫

f2(L− x)dx+

∫

m2dx+ C1

= f2Lx− f2x2

2+m2x+ C1

където C1 е интеграционна константа, която трябва да се определи от граничните условияили все едно от условията за закрепване.

Граничните условия са касаещи завъртанията на сеченията са: при x = 0, ϕ(0) ≡ 0 =⇒C1 ≡ 0. Сега да интегрираме още веднъж:

EIzv(x) =

∫

EIzϕ(x)dx+ C2

= f2Lx2

2− f2

x3

6+m2

x2

2+ C2

Граничните условия за напречните премествания са: при x = 0, v(0) ≡ 0 =⇒ C2 ≡ 0. Такаокончателно разполагаме с уравненията:

EIzϕ(x) =

(

Lx− x2

2

)

f2 + xm2 (10.38)

EIzv(x) =

(

Lx2

2− x3

6

)

f2 +x2

2m2 (10.39)

За преместванията (линейни и ъглови) на свободния възел 2 (x = L) имаме:

v2 =L3

3EIzf2 +

L2

2EIzm2 (10.40)

ϕ2 =L2

2EIzf2 +

L

EIzm2 (10.41)

В матрична форма тези уравнения са:

{v2

ϕ2

}

=

[L3

3EIz

L2

2EIz

L2

2EIz

LEIz

]{f2

m2

}

(10.42)

59

DR

AFT


Следователно матрицата на податливостите е:

[G] =

[L3

3EIz

L2

2EIz

L2

2EIz

LEIz

]

(10.43)

За да намерим обратната матрица на [G], трябва първо да определим детерминантатай:

∆[G] =L4

(EIz)2

[1

3− 1

4

]

=L4

12(EIz)2

Обратната матрица получаваме:

[G]−1 =1

∆[G]

[L

EIz− L2

2EIz

− L2

2EIz

L3

3EIz

]

=12(EIz)

2

L4

L

EIz

[1 −L

2

−L2

L2

3

]

=12EIzL3

[1 −L

2

−L2

L2

3

]

Окончателно имаме:

[G]−1 =EIzL

[12L2 − 6

L

− 6L

4

]

(10.44)

Сега да намерим от условията за равновесие матрицата [Φ].

f1 = −f2

m1 = −Lf2 −m2

или в матрична форма {f1

m1

}

=

[−1 0−L −1

]{f2

m2

}

Така определяме, че:

[Φ] =

[−1 0−L −1

]

, [Φ]t =

[−1 −L0 −1

]

(10.45)

Сега можем да премесметнем съответните подматрици на коравинната матрица и да ясглобим.

[G]−1[Φ]t =EIzL

[12L2 − 6

L

− 6L

4

] [−1 −L0 −1

]

=EIzL

[− 12

L2 − 6L

6L

2

]

[Φ][G]−1[Φ]t =

[−1 0−L −1

]EIzL

[− 12

L2 − 6L

6L

2

]

=EIzL

[12L2

6L

6L

4

]

Така коравинната матрица на гредовия елемент се получава:

[Kz] =

[[Φ][G]−1[Φ]t [Φ][G]−1

[G]−1[Φ]t [G]−1

]

=EIzL

12/L2 6/L −12/L2 6/L6/L 4 −6/L 2−12/L2 −6/L 12/L2 −6/L

6/L 2 −6/L 4

(10.46)

тъй като

f1

m1

f2

m2

=


]

v1

ϕ1

v2

ϕ2

60

DR

AFT


Ако разгледаме огъването на този елемент (равнинен гредови с два възела), но в дру-гата равнина на огъване, ще се сблъскаме с някои разлики. Елементът и преместванията,както и силите са ориентирани както е показано на фиг. 10.18.

Фиг. 10.18. Равнинен гредови елемент в равнината xz при огъване около y

Вижда се, че посоката на линейните премествания и съсредоточените сили е обратна натези в равнината xy, а моментите и ъгловите премествания са същите, тъй като на въртене(огъване) y е срещу нас, както в равнината xy. От това следва, че диференциалнотоуравнение на еластичната линия е

EIyw′′(x) = −My (10.47)

Независимо от всичко това, коравинната матрица трябва да съдържа същите по абсолют-на стойност коравинни коефициенти. Знаците на коравинните коефициенти, които иматсмисъл на възлови напречни сили от единично ъглово преместване (завъртане) и тези,които са възлови моменти, получени от единични транслационни (напречни) премества-ния трябва да се променят в сравнение с коравинната матрица на гредовия елемент вравнината xy. Така за равнината xz се получава:

[Ky] =EIyL

12/L2 −6/L −12/L2 −6/L−6/L 4 6/L 2−12/L2 6/L 12/L2 6/L−6/L 2 6/L 4

(10.48)

Пример 10.7. Да се определи преместването и реакциите от натоварване с напречна сила насиметричната двойна конзолна греда показана на фиг. 10.19.

Фиг. 10.19. Пример 10.7

Решение:

Дискретизация на конструкцията

61

DR

AFT


[K1] = [K2] =EIyL

12/L2 −6/L −12/L2 −6/L−6/L 4 6/L 2−12/L2 6/L 12/L2 6/L−6/L 2 6/L 4

След асемблирането на общата коравинна матрица за системата имаме системата уравнения

EIyL

12/L2 −6/L −12/L2 −6/L 0 0−6/L2 4 6/L 2 0 012/L2 6/L 12/L2 + 12/L2 6/L− 6/L −12/L2 −6/L−6/L 2 6/L− 6/L 4 + 4 6/L 2

0 0 −12/L2 6/L 12/L2 6/L0 0 −6/L 2 6/L 4

00w2

θ200

=

f1

m1

F0f3

m3

Редуцираната коравинна матрица и уравненията за свободните степени на свобода са

EIyL

[24/L2 0

0 8

]{w2

θ2

}

=

{F0

}

Решението се намира много лесно

w2 =FL3

24EIy=

Fl3

192EIy, θ2 = 0

От първото уравнение на общите за системата уравнения имаме

f1 = −EIyL

12

L2

FL3

24EIy= −F

2

От второто уравнение:

m1 =EIyL

(

+6

L

)FL3

24EIy=FL

4=Fl

8

f3 = f1 = −F2

m3 = −m1 = −FLL

= −Fl8

Резултатът може да бъде онагледен със следната схема на преместванията и реакциите в гредата

Пример 10.8. Да се реши задачата от предходния пример (пример 10.7) при същото нато-варване, но сега по средата на гредата, където е приложната точка на силата, има става игредата е прекъсната както се вижда от фиг. 10.20.

62

DR

AFT


Фиг. 10.20. Пример 10.8

Решение:

Дискретизацията на конструкцията е същата, но възникват повече степени на свобода, защотозавъртането на възел 2 от греда (елемент) 1 и завъртането на възел 2 от гредови елемент 2 саразлични и независими. Те са означени съответно с θ21 и θ22.

Коравинните матрици на елементите са същите и за двата елемента, но системата има еднастепен на свобода в повече и системната матрица и системните уравнения са

EIyL

12/L2 −6/L −12/L2 −6/L 0 0 0−6/L2 4 6/L 2 0 0 012/L2 6/L 12/L2 + 12/L2 6/L −6/L −12/L2 −6/L−6/L 2 6/L 4 0 0 0

0 0 −6/L 0 4 6/L 20 0 −12/L2 0 6/L 12/L2 6/L0 0 −6/L 0 2 6/L 4

00w2

θ21θ2200

=

f1

m1

F00f3

m3

Редуцираната коравинна матрица и уравненията за свободните степени на свобода са

EIyL

24/L2 6/L −6/L6/L 4 0−6/L 0 4

w2

θ21θ22

=

F00

Решението се намира по метода на Гаус

← ← 6·→ 10·

→ +4/L·

24/L2 6/L −6/L6/L 4 0−6/L 0 4

100

· FLEIy

←→ +10·

24/L2 6/L −6/L0 −10/L −6/L0 6/L 10/L

111

· FLEIy

24/L2 6/L −6/L0 −10/L −6/L0 0 64/L

1116

· FLEIy

Обратна стъпка на метода на Гаус Последно уравнение

64

Lθ22 = 16

FL

EIy, θ22 =

FL2

4EIy=

Fl2

16EIy

63

DR

AFT


Второ уравнение

−10

Lθ21 −

6

L

FL2

4EIy=FL

EIy, θ21 = − FL

2

4EIy= − FL

2

4EIy= − Fl2

16EIy

Първо уравнение24

L2w2 +

6

L

(

− FL2

4EIy

)

− 6

L

(FL2

4EIy

)

=FL

EIy

24

L2w2 =

16

4

FL

EIy, w2 =

FL3

6EIy=

Fl3

48EIy

Реакциите изчисляваме от първите две уравнения

f1 =EIyL

[

− 12

L2

FL3

6EIy+

6

L

(FL2

4EIy

)]

= −F2

m1 =EIyL

[6

L

FL3

6EIy+ 2

(

− FL2

4EIy

)]

=FL

2=Fl

4

Последните две уравнения водят до следните реакции

f3 =EIyL

[

− 12

L2

FL3

6EIy+

6

L

(FL2

4EIy

)]

= −F2

m3 =EIyL

[

− 6

L

FL3

6EIy+ 2

(FL2

4EIy

)]

= −FL2

= −Fl4

Онагледяване на резултатите:

§ 10.7. Равнинни рамки

Равнинните рамки са прътови конструкции като осите на прътите образуват начупе-ни прави (фиг. 10.21а) или криви линии (фиг. 10.21б), лежащи в една равнина, в коятолежи и натоварването. Ние ще се ограничим в разглеждането само на пръти с прави осикато елементи на рамките, а криволинейните пръти — арки, могат да се представят катосистема от прави пръти, апроксимиращи формата им при дискретизацията (фиг. 10.21в).

§ 10.7.1. Равнинен рамков елемент

Такъв елемент работи на огъване, когато е натоварен с напречни сили и съсредоточенимоменти, или на опън-натиск, когато е натоварен с осови сили. Ориентацията на елементи-те на равнинната рамка спрямо натоварването може да бъде в общия случай произволна,поради което той трябва да е съчетание между равнинна греда и прът. В локалната сикоординатна система x′y′ всеки възел трябва да има 3 СнС или за целият елемент 6 СнСкакто е показано на фиг. 10.22.

64

DR

AFT

10.7. Равнинни рамки

Фиг. 10.21. Равнинни рамки

Фиг. 10.22. Рамков елемент в локална координатна система

Коравинната матрица на такъв елемент ще е комбинация между коравинната матрицана равнинния гредови елемент, разширен с прътов елемент или матрица 6× 6:

[K′e] =

E

L

S 0 0 −S 0 00 12Iz/L

2 6Iz/L 0 −12Iz/L2 6Iz/L

0 6Iz/L 4Iz 0 −6Iz/L 2Iz−S 0 0 S 0 00 −12Iz/L

2 −6Iz/L 0 12Iz/L2 −6Iz/L

0 6Iz/L 2Iz 0 −6Iz/L 4Iz

(10.49)

Тази матрица е образувана от матриците:

ES

L

[1 −1−1 1

]

иEIzL

12/L2 6/L −12/L2 6/L6/L 4 −6/L 2−12/L2 −6/L 12/L2 −6/L

6/L 2 −6/L 4

Зависимостите и подредбата на компонентите на възловите сили и премествания еследната:

{f ′e} =

fx′1

fy′1

mz′1

fx′2

fy′2

mz′2

= [K′e]

u′1v′1ϕ′

1

u′2v′2ϕ′

2

= [K′e]{d′

e}

§ 10.7.2. Трансформация на равнинен рамков елемент

В най-общо положение равнинния рамков елемент се намира под ъгъл α спрямо глобал-ната координатна система xy както е показано на фиг. 10.23. За транслационните степени

65

DR

AFT


на свобода в равнината имаме трансформациите, които са ни познати от равнинния прътовелемент: {

uv

}

=

[cosα − sinαsinα cosα

] {u′

v′

}

= [Λ]t{u′

v′

}

където

[Λ]2 =


]

е трансформиращата матрица, която трансформира от глобална в локална координатнасистема един вектор като този на вектора на транслационните премествания, но може дае и на възловите съсредоточени сили. За обратната трансформация се използва транспо-нираната матрица на матрицата [Λ].

Фиг. 10.23. Равнинен рамков елемент в общо положение

Тъй като ротациите и моментите в равнината не се трансформират при смяна на коор-динатната система, т.е. запазват се, то може да разшерим матрицата [Λ]2 по такъв начин,че да трансформира всички възлови СнС на елемента:

u1

v1

ϕ1

u2

v2

ϕ2

︸︷︷︸

{de}

=

cosα − sinα 0 0 0 0sinα cosα 0 0 0 0

0 0 1 0 0 00 0 0 cosα − sinα 00 0 0 sinα cosα 00 0 0 0 0 1

︸︷︷︸

[Te]t

u′1v′1ϕ′

1

u′2v′2ϕ′

2

︸︷︷︸

{d′

e}

като ϕ′1 ≡ ϕ1 и ϕ′

2 ≡ ϕ2. Трансформационната матрица [Te] е съставена от матрици [Γ]3:

[Te] =

[[Γ]3 [0]3[0]3 [Γ]3

]

(10.50)

а матрицата [Γ]3 е едно разширение на матрицата [Λ]2 с нули и единица по диагонала:

[Γ]3 =

cosα sinα 0− sinα cosα 0

0 0 1

(10.51)

66

DR

AFT


Трансформационната матрица се използва за трансформации на вектора на възловитепремествания на елемента:

{de} = [Te]t{d′

e} , {d′e} = [Te]{de}

както и за възловите сили на елемента

{fe} = [Te]t{f ′e} , {f ′e} = [Te]{fe}

което ни е познато от равнинния прътов елемент, но този път елементът е рамков. От тезизависимостти следва и трансформацията на коравинната матрица на елемента от локалнав глобална координатни системи:

[Ke] = [Te]t[K′

e][Te] (10.52)

Така имаме възможност за всички трансформации, които са ни необходими за да решимедна задача за определяне на преместванията на рамкова равнинна конструкция от зада-дено натоварване.

§ 10.7.3. Анализ на равнинна рамкова конструкция

Трансформираната в глобална координатна система елементни коравинни матрици сеасемблират за да образуват коравинната матрица на системата от елементи и системнитеуравнения:

[K]{d} = {f}След въвеждане на кинематичните гранични условия се определя редуцираната системаот уравнения

[Kff ]{df} = {ff}които се решават за възловите премествания на свободните СнС {df} След това ако енеобходимо се решават уравненията определящи опорните реакции в закрепените СнС.

Анализът на напреженията и разрезните усилия в елементите започва с определянена възловите премествания за всеки елемент в глобална координатна система {de}. Следтова, тези премествания се трансформират в локална координатна система x′y′, в коятоос x′ е образувана от възлите на елемента:

{d′e} = [Te]{de}

Възловите сили на елемента лесно се определят чрез коравинната матрица в локалнакоординатна система:

{f ′e} = [K′e]{d′

e}Тези възлови сили са свързани директно с разрезните усилия на елемента (фиг. 10.24а).От условията за равновесие на мислено отделената лява част от елемента и на дяснатачаст се получават изразите:

Nx′ = −fx′1 = fx′2

Qy′ = −fy′1 = fy′2

Mz = −mz1 + fy′1x′ = mz2 + fy′2(L− x′)

Разрезните усилия Nx′ и Qy′ са постоянни по дължината на елемента, а огъващия моментMz е линейна функция и е най-голям в един от двата края на елемента, т.е. възела.

67

DR

AFT


Фиг. 10.24. Мислено разрязан на две равнинен рамков елемент: а) в равнината x′y′; б) вравнината x′z′.

Нормалните напрежения в напречните сечения, които са основен фактор определящякостните свойства на елемента, се определят от формулата:

σx′ =Nx′

S− Mz

Izy (10.53)

Максималните нормални напрежения се определят от осовия съпротивителен момент нанапречните сечения Wz и от максималният огъващ момент:

max |σx′ | = |Nx′|S

+max |Mz|

Wz

(10.54)

При рамкови елементи дефинирани в равнината xz или локална x′z′ имаме следнитеизменения: Коравинната матрица на елемента в локална координатна система е:

[K′e] =

E

L

S 0 0 −S 0 00 12Iy/L

2 −6Iy/L 0 −12Iy/L2 −6Iy/L

0 −6Iy/L 4Iy 0 6Iy/L 2Iy−S 0 0 S 0 00 −12Iy/L

2 6Iy/L 0 12Iy/L2 6Iy/L

0 −6Iy/L 2Iy 0 6Iy/L 4Iy

(10.55)

Трансформационната матрица е същата и по същият начин се използва за трансформира-не от локална в глобална кооординатна система и обратно. При анализа обаче разрезнитеусилия са както следва:

Nx′ = −fx′1 = fx′2

Qz′ = −fz′1 = fz′2

My = −my1 − fz′1x′ = my2 − fz′2(L− x′)

което може да се види на фиг. 10.24б.

68

DR

AFT


Нормалните напрежения в напречните сечения на елемента се определят от израза:

σx′ =Nx′

S+My

Iyz (10.56)

а за максималните нормални напрежения се получава:

max |σx′| = |Nx′|S

+max |My|

Wy

(10.57)

Пример 10.9. Да се определи редуцираната система линейни уравнения за показаната рамканатоварена със сила P .

Фиг. 10.25. Пример 10.9

Решение:

Дискретизация

69

DR

AFT


S1 = S2 = S = 2a2

I(1)z = I(2)

z = Iz =a(2a)2

12=

2a4

3

L1 = L2 = l , α1 = 90◦ , α2 = 0

Двата елемента имат еднаква коравинна матрица в локалната координатна система порадиеднаквата дължина и геометрични характеристики.

[K′e] =

E

l

2a2 0 0 −2a2 0 00 8a4/l2 4a4/l 0 −8a4/l2 4a4/l0 4a4/l 8a4/3 0 −4a4/l 4a4/3−2a2 0 0 2a2 0 0

0 −8a4/l2 −4a4/l 0 8a4/l2 −4a4/l0 4a4/l 4a4/3 0 −4a4/l 8a4/3

За първият елемент трансформационната матрица е:

[Λ1] =

[cosα1 sinα1

− sinα1 cosα1

]

=

[0 1−1 0

]

[Γ1] =

0 1 0−1 0 00 0 1

[T1] =

0 1 0 0 0 0−1 0 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 0 1 00 0 0 −1 0 00 0 0 0 0 1

Коравинната матрица на първи елемент в глобална координатна система е

[K1] = [T1]t[K′1][T1] =

=

0 −1 0 0 0 01 0 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 0 −1 00 0 0 1 0 00 0 0 0 0 1

E

l

02a2 0 0 −2a2 0−8a4/l2 0 4a4/l 8a4/l2 0 4a4/l−4a4/l 0 8a4/3 4a4/l 0 4a4/3

0 −2a2 0 0 2a2 08a4/l2 0 −4a4/l −8a4/l2 0 −4a4/l−4a4/l 0 4a4/3 4a4/l 0 8a4/3

[K1] =E

l

8a4/l2 0 −4a4/l −8a4/l2 0 −4a4/l02a2 0 0 −2a2 0−4a4/l 0 8a4/3 4a4/l 0 4a4/3−8a4/l2 0 4a4/l 8a4/l2 0 4a4/l

0 −2a2 0 0 2a2 0−4a4/l 0 4a4/3 4a4/l 0 8a4/3

Трансформационната матрица на втория елемент е единичната матрица и трансформация накоравинната матрица няма, т.е. коравинната матрица в глобалната координатна система е същата

70

DR

AFT


като в локалната. След асемблирането на системната коравинна матрица в глобална координатнасистема, системната система от линейни уравнения може да се запише по следния начин:

E

l

8a4/l2 0 −4a4/l −8a4/l2 0 −4a4/l 0 0 002a2 0 0 −2a2 0 0 0 0−4a4/l 0 8a4/3 4a4/l 0 4a4/l 0 0 0

−8a4/l2 0 4a4/l 2a2(1 + 4a2

l2) 0 4a4/l 2a2 0 0

0 −2a2 0 0 2a2(1 + 4a2

l2) 4a4/l 0 −8a4/l2 4a4/l

−4a4/l 0 4a4/3 4a4/l 4a4/l 16a4/3 0 −4a4/3 4a4/30 0 0 −2a2 0 0 2a2 0 00 0 0 0 −8a4/l2 −4a4/l 08a4/l2 −4a4/l0 0 0 0 4a4/l 4a4/3 0 −4a4/l 8a4/3

000u2

v2ϕ2

000

=

=

rx1

ry1

m1

0P0rx3

ry3

m3

Решението на задачата се определя от системата уравнения:

2a2

(

1 +4a2

l2

)

u2 +4a4

lϕ2 = 0

2a2

(

1 +4a2

l2

)

v2 +4a4

lϕ2 =

Pl

E

4a4

lu2 +

4a4

lv2 +

16a4

3ϕ2 = 0

§ 10.7.4. Разширение на рамковия елемент до пространствен

Пространственият рамков елемент е даден на фиг. 10.26. Той има по 6 степени насвобода на всеки възел и понеже има два възела, той има общо 12 СнС. За всеки възел 3от СнС са транслационни и останалите 3 са ротационни, като те съответстват на осите налокалната координатна система.

Фиг. 10.26. Пространствен рамков елемент

Коравинната матрица на елемента в локална координатна система е съчетание от пръ-тов елемент в пространството, торсионен елемент и два гредови елемента в двете възмож-

71

DR

AFT


ни равнини на огъване. Иначе казано, трябва да съберем всички изведени досега елементии техните матрици в една обща коравинна матрица. Коравинната матрица е

[K′e] =

1

L·

ES 0 0 0 0 0 −ES 0 0 0 0 00 12EIz

L2 0 0 6EIz

L0 0 −12EIz

L2 0 0 6EIz

L0

0 0 12EIy

L2 0 0 −6EIy

L0 0 −12EIy

L2 0 0 −6EIy

L

0 0 0 GJ 0 0 0 0 0 −GJ 0 00 6EIz

L0 0 4EIz 0 0 −6EIz

L0 0 2EIz 0

0 0 −6EIy

L0 0 4EIy 0 0 6EIy

L0 0 2EIy

−ES 0 0 0 0 0 ES 0 0 0 0 00 −12EIz

L2 0 0 −6EIz

L0 0 12EIz

L2 0 0 −6EIz

L0

0 0 −12EIy

L2 0 0 6EIy

L0 0 12EIy

L2 0 0 6EIy

L

0 0 0 −GJ 0 0 0 0 0 GJ 0 00 6EIz

L0 0 2EIz 0 0 −6EIz

L0 0 4EIz 0

0 0 −6EIy

L0 0 2EIy 0 0 6EIy

L0 0 4EIy

(10.58)

като подредбата на степените на свобода е:

{de}t = ⌊u′1 v′1 w′1 ψ

′1 ϕ

′1 θ

′1 u

′2 v

′2 w

′2 ψ

′2 ϕ

′2 θ

′2⌋ (10.59)

{fe}t = ⌊fx′1 fy′1 fz′1 mx′1 my′1 mz′1 fx′2 fy′2 fz′2 mx′2 my′2 mz′2 ⌋ (10.60)

Трансформационната матрица [Te] е с размерност 12 × 12 и представлява съчетаниеот матриците:

[Λ]3 =

λx′x λx′y λx′z


λz′x λz′y λz′z

(10.61)

и нулевата матрица

[0]3 =

0 0 00 0 00 0 0

които са подредени по следния начин:

[Te] =

[Λ]3 [0]3 [0]3 [0]3[0]3 [Λ]3 [0]3 [0]3[0]3 [0]3 [Λ]3 [0]3[0]3 [0]3 [0]3 [Λ]3

(10.62)

В сила са зависимостите

{de} = [Te]t{d′

e} , {d′e} = [Te]{de}

{fe} = [Te]t{f ′e} , {f ′e} = [Te]{fe}

[Ke] = [Te]t[K′

e][Te]

Разрезните усилия са същите като при равнинните рамкови елементи

Nx′ = −fx′1 = fx′2 , Qy′ = −fy′1 = fy′2 , Qz′ = −fz′1 = fz′2

72

DR

AFT

10.8. Елементни натоварвания

Mx′ = −mx′1 = mx′2 , My′ = −my1 − fz′1x′ = my2 − fz′2(L− x′)

Mz′ = −mz′1 + fy′1x′ = mz′2 + fy′2(L− x′)

Нормалните напрежения в напречните сечения се получават по формулата:

σx′ =Nx′

S+My′

Iy′

z − Mz′

Iz′y

За определяне на точките от напречните сечения с максимални нормални напрежения(застрашените точки) е необходимо да се направи анализ за разположението на неутрал-ната линия и кои са най-отдалечените от нея точки. Само при сечения с двойна симетриякато кръгови, правоъгълни, двойно-Т профили и др. съществуват крайни (ъглови) точки,в една от които поне, се съчетават максималните напрежения по големина и по алгебричензнак от отделните огъвания и от опън натиск:

max |σx′| = |Nx′|S

+|My′ |Wy′

+|Mz′ |Wz′

Наличието на усукващ момент Mx′ обаче изисква едно по-обстойно изследване на напрег-натото състояние в различни точки от напречнто сечение на елемента с прилагането начкостни теории за оценка на носещата способност.

Наличието на значително натисково нормално разрезно усилие и нормални напреже-нич от него в напречните сечения, усложнява неимоверно много задачата за якостна оцен-ка на пространствена рамка, защото при наличието на огъващи моменти, задачата ставанелинейна и не може да се реши правилно с матричните методи в строителната механика.

§ 10.8. Елементни натоварвания

Елементното натоварване е въздействие върху целия елемент или част от него. Товамогат да бъдат товари по елемента съсредоточени или разпределени по дължината мукакто и температурни въздействия, предизвикващи температурни разширения и от тампремествания както от силите. Тук ще се занимаем само с равномерна промяна на темпе-ратурата на един елемент и с равномерно разпределени по цялата му дължина напречнитовари. Причината за това е, че всички останали въздействия върху един елемент могатда се представят достатъчно точно с увеличаване на степента на дискретизация.

Представянето на елементното натоварване в матричните методи в строителната ме-ханика изисква да се намерят еквивалентните възлови сили, съответстващи на това на-товарване. Един от начините за намирането на тези сили е закрепването на елементанеподвижно във възлите му по всички степени на свобода. След това трябва да се решизадачата за намирането на опорните реакции от елементното натоварване. Тези опорниреакции уравновесяват натоварването и са техен еквивалент но в противоположна посо-ка, следователно еквивалентните на натоварването сили са намерените опорни реакции собратен знак.

§ 10.8.1. Температурно разширение

Температурното изменение предизвиква разширение или свиване на елементите на ед-на прътова система. Удължението на прът с дължина L в следствие на температурноизменение ∆T е ∆L, което се определя по формулата:

∆L =NxL

ES+ α∆TL (10.63)

73

DR

AFT


където α е коефициент на линейно температурно разширение.Можем да представим температурното разширение като елементно натоварване. За

да намерим еквивалентните възлови сили на това елементно натоварване да закрепимнеподвижно двата възела на елемента, както е показано на фиг. 10.27а. Трябва да намеримреакциите предизвикани от температурното разширение.

Фиг. 10.27. Задача за намиране на реакциите при температурно разширение на запънатпрът

Условията на статиката за равновесие на прътовия елемент са:

∑

i

Xi = 0 : r1 + r2 = 0 =⇒ r2 = −r1

За разрезните усилия, които се проявяват след мислено разрязване по метода на сечението(фиг. 10.27б), имаме пак от условията за равновесие на статиката:

∑

i

Xi = 0 : r1 +Nx = 0 =⇒ r1 = −Nx

Деформационното условие при запънатия прът може да се определи така:

∆L =NxL

ES+ α∆TL = 0

от където следва, чеNx = −α∆TES

Сега връщайки се назад по намерените зависимости можем да определим:

r1 = α∆TES

r2 = −α∆TES

Като вектор реакциите могат да се представят така:

{r} = α∆TES

{1−1

}

Еквивалентното натоварване на температурното изменение се определя от реакциитес обратен знак и като вектор на осовите сили в двата възела на който и да е елемент подтакова въздействие е:

{fe} = α∆TES

{−11

}

(10.64)

74

DR

AFT


според местната координатна система на елемента определена от реда на двата възела —от първия към втория.

При анализа на напреженията в прът подложен и на температурни промени трябва дасе извадят еквивалентните възлови сили и тогава да се пресметнат нормалното разрезноусилие и нормалните напрежения в напречните сечения:

{fe} = [Ke]{de} − {fe} (10.65)

Nx = −f1 = f2 = k(u1 − u2)− f e2 , σx =

Nx

S, σx =

E

L(u2 − u1)−

f e2

S

Въобще, при наличието на елементни натоварвания преди анализа те трябва да се извадяткато еквивалентни сили от възловите сили за елемента, получени от възловите премест-вания за елемента, и тогава да се изчисляват разрезни усилия и от там напрежения, ноотчитайки природата на елементните натоварвания и тяхното разпределение в елемента.

Пример 10.10. Стоманен прът с кръгово напречно сечение с диаметър 50 mm и дължина 500mm е поместен в алуминиев цилиндричен контейнер с вътрешен диаметър 75 mm и външендиаметър 100 mm без хлабина по оста им.

1) Да се определят напреженията в двата материала в резултат на охлаждане с температура∆T = 130◦C.

2) Да се определи натисковата сила, която е необходима, за да намали напреженията валуминия на половина. Какви ще са напреженията в стоманата тогава?

Дадено е: St — Es = 200 GPa, αs = 12 · 10−6 K−1, Al — Ea = 70 GPa, αa = 24 · 10−6 K−1.

Фиг. 10.28. Пример 10.10

Решение:

Дискретизация

L = 500 mm

Ss =π502

4= 1963, 4 mm2

Sa =π(1002 − 502)

4= 3436, 1 mm2

75

DR

AFT


ks =EsSs

L=

200 000 · 1963, 5500

= 785 400 N/mm

ka =EaSa

L=

70000 · 3436, 1500

= 481 056 N/mm

fTs = αsEsSs∆T = 12 · 10−6 · 200 000 · 1963, 5 · (−130) = −612 612 N

fTa = αaEaSa∆T = 24 · 10−6 · 70 000 · 3436, 1 · (−130) = −750 444 N

[Ks] = 785 400

[1 −1−1 1

]

[Ka] = 481 056

[1 −1−1 1

]

{fs} = 612 612

{1−1

}

{fa} = 750 444

{1−1

}

1) Да съставим системата уравнения за системата от пръти за да намерим напреженията оттемпературното въздействие

Можем да си въведем

k = ks + ka = 785 400 + 481 056 = 1266 456 N/mm

f = 612 612 + 750 444 = 1363 056 N

Така уравненията на системата са:

k

[1 −1−1 1

]{0u2

}

=

{f + r−f

}

Редуцираната система уравнения дава:

u2 = −fk

= −1 363 056

1 266 456= −1, 076 mm

Анализ на напреженията:

[Ks]{d} = {fs} , [Ka]{d} = {fa}

Ns = ksu2 − fTs2 = 785 400 · (−1, 076) + 612 612 = −232 478 N

Na = kau2 − fTa2 = 481 056 · (−1, 076) + 750 444 = 232 828 N

σs =Ns

Ss= −232 478

1 963, 5= −118, 4 MPa

σa =Na

Sa= −232 828

3 436, 1= −67, 67 MPa

2) Да съставим системата уравнения за системата от пръти за да намерим силата необходимада намали два пъти напреженията в алуминия

Така уравненията на системата са:

k

[1 −1−1 1

]{0u2

}

=

{f + r−f − fc

}

където fc е търсената натискова сила.За да бъде σa = 67, 67/2 = 33, 83 MPa, то Na трябва да е Na = 232 828/2 = 116 414 N.

Следователно от уравненията за алуминиевия елемент имаме:

u2 = −Na + fTa2

ka

=116 414 − 750 444

481 056= −1, 318 mm

76

DR

AFT


От второто уравнение на новата система, натоварена със сила fc се получава:

ku2 = −f − fc =⇒ fc = −f − ku2 = −1 363 056 − 1 266 456 · (−1, 318) = 306 128, 2 N

Тогава

Ns = ksu2 − fTs2 = 785 400 · (−1, 318) + 612 612 = −422 545 N

σs =Ns

Ss= −422 545

1 963, 5= −215, 2 MPa

В горния пример двата пръта образуват статично неопределима система. Температур-ните разширения в такива системи предизвикват натоварване с вътрешни за систематасили. Статично определимите системи могат свободно да се разширяват при температур-ни промени без появата на вътрешни сили и напрежения. Това не означава, че статичноопределимите системи са безспорно за предпочитане. Статично неопределимите систе-ми имат по-голяма сигурност, защото недопустимите и гранични натоварвания могат дапредизвикат разрушението на един елемент, но конструкцията ще продължи да изпъл-нява предназначението си, т.е. да бъде кинематично неизменяема, като натоварването сепреразпределя между останалите елементи. Друго предимство на статично неопредели-мите системи е, че те могат да се напрегнат предварително по такъв начин, че типичнотовъншно натоварване да натоварва предимно по-яките елементи, а по-слабите да имат ре-дуцирани от предварителното напрягане напрежения. И все пак статично неопределимитесистеми трябва да се проверяват за якост при температурни изменения, на които могатда бъдат подложени.

§ 10.8.2. Равномерно-разпределен осов товар

Да разгледаме дадения на фиг. 10.29а прътов елемент натоварен с равномерно-разпределенпо дължината му осов товар с интензитет p. Този товар трябва да се представи като двевъзлови еквивалентни сили, действащи по оста на елемента както е показано на фиг.10.29б:

{fe} =

{f p

1

f p2

}

(10.66)

Фиг. 10.29. Прътов елемент натоварен с равномерно-разпределен осов товар

Един от начините да намерим тези сили, който вече използвахме, е да закрепим не-подвижно елемента като му отнемем всички степени на свобода и да намерим реакциитев закрепванията {rp} когато върху елемента действа елементното натоварване с интензи-тет p. Тези реакции ще бъдат еквивалентни на елементното натоварване, но в обратна на

77

DR

AFT


действието му посока, защото го уравновесяват. Еквивалентното натоварване {fe}, замес-тващо напълно елементното натоварване p като възлово натоварване трябва да е равнона реакциите във възлите, но с обратен знак:

{fe} = −{rp}

Да решим задачата за намирането на реакциите в напълно неподвижен елемент, нато-варен с равномерно-разпределен осов товар p (фиг. 10.30а). Можем да напишем само едноусловие за равновесие на статиката — проекционно условие по оста x:

∑

Xi = 0 : rp1 + pL+ rp

2 = 0

Тъй като в това условие има две неизвестни, то задачата е статично неопределима и щени трябва още едно деформационно условие. Разрезните усилия определяме по метода насечението (фиг. 10.30б). От условието за равновесие по x, единственото ненулево разрезноусилие Nx е:

Nx = −rp1 − px

Фиг. 10.30. Запънат прът с осов равномерно-разпределен товар

Тъй като Nx е функция на x, то удължението на елемента ще се изрази чрез интеграла:

∆L =

∫ L

0

εxdx =

∫ L

0

Nx(x)

ESdx =

1

ES

∫ L

0

(−rp1 − px)dx = −rp

1

L

ES− p L2

2ES≡ 0

От условието, че удължението е нула се получава:

rp1 = −pL

2(10.67)

Заместваме в уравнението на статиката

−pL2

+ pL+ rp2 = 0

и получаваме

rp2 = rp

1 = −pL2

(10.68)

От това, че {fe} = −{rp} следва:

{fe} = pL

2

{11

}

(10.69)

78

DR

AFT


Така за еквивалентното възлово натоварване, заменящо равномерно-разпределен товарс интензитет p, се получават две еднакви сили в същата посока равни на pL/2, където Lе дължината на елемента.

Анализ на резултатите при равномерно-разпределен товар се извършва като намеримвъзловите сили, съответстващи на получените премествания:

{fe} = [Ke]{de}

Сега възловите сили съдържат елементното натоварване, представено като еквивалентнивъзлови сили. За да направим по-подробен анализ на изменение на осовото натоварванев елемента, трябва да премахнем еквивалентните сили:

{f0e } = {fe} − {fp} = {fe} − p

L

2

{11

}

и да ги заменим с действителното равномерно-разпределено по дължината на елементанатоварване с интензитет p. Тогава за нормалното разрезно усилие имаме (фиг. 10.31):

Nx = −f1 − px = f2 + p(L− x) (10.70)

Фиг. 10.31. Разрезни усилия при равномерно-разпределен осов товар

Поради линейния характер на изменение на нормалното разрезно усилие екстремумътму ще търсим в един от двата края на елемента, т.е. във възлите:

maxmin Nx =

maxmin {−f1, f2}

от там и екстремните стойности за нормалните напрежения в напречните сечения на пръ-товия елемент.

§ 10.8.3. Равномерно-разпределен напречен товар

Първо ще разгледаме елементното натоварване от равномерно разпределен напречентовар с интензитет qy′ в равнината x′y′. Един така натоварен елемент с дължина L иогъвна коравина EIz е даден на фиг. 10.32.

Трябва да се определят опорните реакции на така натоварения елемент при напъл-но отнети СнС както е показано на фиг. 10.33а. За целта по метода на сечението (фиг.10.33б) определяме функцията на огъващия момент и с него изразяваме преместванията(уравнение на еластичната линия), на които са наложени ограничения.

Mz = −m1 + p1x′ + qy

x′2

2

EIzv′′ = Mz = −m1 + p1x

′ + qyx′2

2

79

DR

AFT


Фиг. 10.32. Гредови елемент натоварен с равномерно разпределен товар в равнината x′y′

Фиг. 10.33. Запънат равнинен рамков елемент с напречно равномерно разпределено нато-варване

Интегрираме два пъти последователно, като интегралните константи определяме отусловията, че EIzv

′(0) ≡ 0 и EIzv(0) ≡ 0, т.е. завъртането и преместването на възел 1 енула.

EIzv′ = −m1x

′ + p1x′2

2+ qy

x′3

6+ C1

От първото условие следва, че C1 ≡ 0.

EIzv = −m1x′2

2+ p1

x′3

6+ qy

x′4

24+ C2

От второто условие следва, че C2 ≡ 0.Сега да наложим другите две ограничения на преместванията, а именно:

∣∣∣∣

EIzv′(L) ≡ 0

EIzv(L) ≡ 0

Така имаме две уравнения с две неизвестни m1 и p1

∣∣∣∣

−m1L+ p1L2

2+ qy

L3

6= 0

−m1L2

2+ p1

L3

6+ qy

L4

24= 0

които представяме в каноничен вид като първото умножаваме по 6/L, а второто по 24/L2:∣∣∣∣

−6m1 + 3Lp1 = −qyL2

−12m1 + 4Lp1 = −qyL2

80

DR

AFT


След като умножим първото уравнение по 2 и от него извадим второто уравнение, сновополученото уравнение заменяме второто:

∣∣∣∣

−6m1 + 3Lp1 = −qyL2

2Lp1 = −qyL2

Така второто уравнение ни дава едното неизвестно:

p1 = −qyL

2

От първото уравнение след заместване получаваме другото неизвестно

−6m1 = −qyL2 + 3LqyL

2=⇒ m1 = −qy

L2

12

От условията за равновесие имаме:

∑

Yi = 0 : p1 + qyL+ p2 = 0 =⇒ p2 = −p1 − qyL = qyL

2− qyL = −qy

L

2∑

M1i = 0 : m1 + qyLL

2+ p2L+m2 = 0 =⇒

m2 = −m1 − qyL2

2− p2L = qy

L2

12− qy

L2

2+ qy

L2

2= qy

L2

12Вместо условия за равновесие можеше да използваме симетрията, която съществува внатоварването и от там в реакциите. Еквивалентното натоварване е обратно по знак нареакциите, които бяха намерени и следователно представлява:

{f ′qy} =

−p1

−m1

−p2

−m2

=

qyL2

qyL2/12

qyL/2−qyL2/12

Окончателно се получава:

{f ′qy} = qyL

1/2L/121/2−L/12

(10.71)

Това натоварване трябва да се добави към известните външни възлови сили за еле-мента след като се трансформира в глобална координатна система. При равнинни рамкив координатна система xy трябва първо да се разширят степените на свобода:

{fqy} = [Te]

t{f ′qy} (10.72)

където{f ′qy}t = ⌊ 0 qyL/2 qyL

2/12 0 qyL/2 − qyL2/12 ⌋ (10.73)

При смяна на координатната система, в която е лежи равномерно разпределения поелемента товар от x′y′ на x′z′ (както е показано на фиг. 10.34) се получава смяна наалгебричните знаци моментните компоненти на еквивалентните сили:

{f ′qz}t = ⌊ 0 qzL/2 − qzL2/12 0 qzL/2 qzL

2/12 ⌋ (10.74)

До този извод може да се достигне както като се сравнят посоките на силите приети заположителни в двата случая, така и като се определят наново реакциите в този случай,като се има предвид, че диференциалното уравнение на еластичната линия в този случайе EIyw

′′ = −Mz .

81

DR

AFT


Фиг. 10.34. Посока на товарите при напречен товар в равнината x′z′

§ 10.8.4. Анализ при равномерно-разпределен напречен товар

За да анализираме разрезните усилия при наличието на напречен равномерно разпре-делен товар трябва да отчетем, че възловите сили включват и еквивалантните на разпре-деления товар. Така след намиране на възловите премествания за елемента в глобалнатакоординатна система ги трансформираме в локална:

{d′e} = [Te]{de}

Възловите сили от външното натоварване определяме като махнем еквивалентното наелементното натоварване:

{f ′e} = [K′e]{d′

e} − {f ′qy} (10.75)

Сега можем вече да определим разрезните усилия, отчитайки наличието на разпределентовар, както е дадено мисленото разрязване на един елемент в равнината x′y′ на фиг.10.35.

Nx′ = −fx′1 − qxx′ = fx′2 + qx(L− x′)Qy′ = −fy′1 − qyx′ = fy′2 + qy(L− x′)

Mz = −mz′1 + fy′1x′ + qy

x′2

2= mz′2 + fy′2(L− x′) + qy

(L− x′)2

2

Фиг. 10.35. Разрезни усилия при напречен разпределен товар в равнината x′y′

Разрезните усилия Nx′ и Qy′ са линейни функции и е достатъчно техните стойности дабъдат определени във възлите, за да се определят максималните им стойности в цялатарамкова конструкция. Определянето на максималните стойности на огъващите моментие свързано с определяне на мястото на локален екстремум, тъй като функцията е квад-ратична. Мястото се определя от условието:

Qy′ = −fy′1 − qyx′e = fy′2 + qy(L− x′e) = 0 =⇒ x′e = −fy′1

qy= L+

fy′2

qy

82

DR

AFT


Ако 0 < x′e < L, то екстремната стойност е някъде по дължината на този елемент. Разбирасе това съвсем не означава, че тази стойност е най-голямата в елемента, но трябва да бъденамерена и да се сравнят Mz(0), Mz(x

′e) и Mz(L):

max |Mz| = max{Mz(0),Mz(x′e),Mz(L)}

В равнината x′z′ могат да се определят другите разрезни усилия, които се виждат нафиг. 10.36.

Qz′ = −fz′1 − qzx′ = fz′2 + qz(L− x′)

My = −my′1 − fz′1x′ − qz

x′2

2= my′2 − fz′2(L− x′)− qz

(L− x′)2

2

Фиг. 10.36. Разрезни усилия при напречен разпределен товар в равнината x′z′

Мястото на екстремума на огъващия момент се определя от условието:

Qz′ = −fz′1 − qzx′e = fz′2 + qz(L− x′e) = 0 =⇒ x′e = −fz′1

qz= L+

fz′2

qz

Ако 0 < x′e < L, търсим най-голямата в елемента стойност на огъващия момент:

max |My| = max{My(0),My(x′e),My(L)}

Анализът на напреженията се базира на намерените екстремни стойности за разрезнитеусилия и вида на напречните сечения по форма и размери.

Елементите, които са изведени тук, имат коравинни матрици определени от условието,че всички сили, действащи върху тях са възлови. Замяната на разпределените по дължи-ната на елемента товари с възлови е една апроксимация. Така получените резултати същоса приблизителни. Може да се докаже, че метода е сходящ и резултатите се приближа-ват до точното решение с увеличаване на броя на елементите, на които се дискретизираконструкцията, там където имаме разпределен товар. Дори функциите на интензитета наразпределения товар да са сложни, едно такова дискретизиране ще апроксимира и самитетовари и при достатъчна степен на дискретизация може да се постигне достатъчно точнорешение. При компютърна реализация на метода с автоматична дискретизация това не епроблем за съвременната компютърна техника.

83

Documents

DRAFT - orgfree.comivivanov.orgfree.com/Sapromat2lekcii.pdf · draft7.1.Изследване на равнинно напрегнато състояние Фиг. 7.3. Окръжност