DRAFT - orgfree.comivivanov.orgfree.com/sapromat.pdf · по-обща наука, наречена механика на деформируемото твърдо тяло. Съпро-

DR

AFTС Ъ П Р О Т И В Л Е Н И Е

Н А

М А Т Е Р И А Л И Т Е

лекционни записки

за специалностите ТУТ и ИИ

доц. д-р инж. Ивелин Иванов

- 2006 -

DR

AFT

DR

AFT

Предговор

Този курс от лекции по съпротивление на материалите е предназначенза студентите от специалностите „Технологии и управление на транспорта“(ТУТ) и „Индустриално инженерство“ (ИИ) на Русенския университет „Ан-гел Кънчев“. Продължителността на курса е един семестър с аудиторна зае-тост от 30 академични часа лекции и 30 часа семинарни упражнения. Целтана курса е студентите да изучат основните натоварвания на елементите наконструкциите, машините и механизмите, методите за оценка на тяхната ко-равина и податливост и оразмеряването им с цел осигуряването на тяхнатаякост. Материалът е изложен от простото към сложното. В записките са да-дени примери, които се използват за поясняване на материала от лекциите,както и тези, които се изнасят на семинарните или практически упражнения.Необходимите за решаването на задачи формули са оградени. Записките мо-гат да се ползват и от студентите от други специалности, като в бъдеще щесе обогатяват с допълнителен материал — глави и задачи.

1

DR

AFT

2

DR

AFT

Съдържание

1 Въведение 5

1.1 Задачи и методи на науката съпротивление на материалите . . 5

1.2 Схематизация в съпротивление на материалите . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Схематизация на свойствата на материалите . . . . . . . 6

1.2.2 Схематизация на формата на телата . . . . . . . . . . . . 7

1.2.3 Схематизация на натоварването . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.4 Схематизация на кинематичните връзки . . . . . . . . . . 8

2 Опън и натиск 11

2.1 Вътрешни сили . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Деформиране на опънат (натиснат) прът . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.1 Мярка за деформацията . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.2 Връзка между деформации, напрежения и премествания 15

2.3 Изследване на напреженията . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.1 Местни напрежения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.2 Напрежения в наклонени сечения . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4 Механични характеристики на материалите . . . . . . . . . . . . 24

2.4.1 Изпитване на опън и натиск . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4.2 Механични характеристики и свойства . . . . . . . . . . . 26

2.4.3 Условие за якост . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Срязване и усукване 37

3.1 Срязване . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1.1 Разрезни усилия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1.2 Деформации и напрежения при срязване . . . . . . . . . 38

3.1.3 Якостни изчисления на болтови, нитови и щифтови съе-динения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2 Усукване на пръти с кръгово напречно сечение . . . . . . . . . . 44

3.2.1 Разрезни усилия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.2.2 Деформации и напрежения при усукване на пръти с кръ-гово напречно сечение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3

DR

AFT

Съдържание

3.2.3 Напрежения в наклонена площадка при усукване . . . . 523.3 Усукване на пръти с некръгово напречно сечение . . . . . . . . 54

4 Огъване 574.1 Разрезни усилия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.2 Деформации и напрежения при чисто огъване на греди със си-

метрични напречни сечения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.3 Геометрични характеристики на сеченията при огъване . . . . . 62

4.3.1 Правоъгълно и кръгово напречни сечения . . . . . . . . . 624.3.2 Теорема на Щайнер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.3.3 Рационална форма на напречните сечения при огъване . 63

4.4 Зависимости при напречно огъване . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.5 Премествания при огъване . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.5.1 Еластична линия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.5.2 Диференциално уравнение на еластичната линия . . . . 724.5.3 Универсално уравнение на еластичната линия . . . . . . 75

4.6 Общо огъване и нецентричен опън-натиск . . . . . . . . . . . . . 794.6.1 Общо огъване . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.6.2 Нецентричен опън-натиск . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5 Изкълчване 895.1 Понятие за устойчивост . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.2 Формула на Ойлер за критичната сила . . . . . . . . . . . . . . . 915.3 Критична сила при други начини на закрепване . . . . . . . . . 935.4 Граница на валидност на формулата на Ойлер . . . . . . . . . . 935.5 Определяне на критичното напрежение в нееластичната област 95

6 Сложно напрегнато състояние 1016.1 Изследване на равнинно напрегнато състояние . . . . . . . . . . 1016.2 Главни напрежения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.3 Тримерно напрегнато състояние . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.4 Обобщен закон на Хук . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.5 Частни случаи на напрегнато състояние . . . . . . . . . . . . . . 109

7 Теории за якост 113

4

DR

AFT

Глава 1

Въведение

§ 1.1. Задачи и методи на науката съпротивление наматериалите

Съпротивление на материалите е наука за якостта и коравината на елемен-тите на инженерните конструкции. Конструкциите са неподвижно закрепенисистеми от твърди тела със сравнително малки и ограничени премествания заразлика от механизмите. Тази наука може да се разглежда като дял на еднапо-обща наука, наречена механика на деформируемото твърдо тяло. Съпро-тивление на материалите се занимава с практическите инженерни изчисленияпри проектирането на изделия от твърди материали, касаещи тяхната здрави-на и податливост на силите, които им въздействат. Името на тази наука идваот представата, че твърдите тела се съпротивляват до определени граници надействието на външните сили за да запазят своята цялост, форма и размери.След преминаването на тази граница те се разрушават, загубвайки целосттаси, или изменят в достатъчна степен формата и размерите си, че загубватфункционалността си като елементи на конструкциите. Предмет на наукатасъпротивление на материалите са:

— вътрешните сили в конструктивните елементи;

— якостните свойства на материалите;

— оразмеряването на конструктивните елементи;

Механизмите също могат да са предмет на разглеждане от страна на съпро-тивление на материалите, но при условие, че се разглежда само едно тяхноравновесно състояние и не се интересуваме от кинематиката — движениетона отделните им елементи.

Проблемът с якостта на конструкциите, на техните елементи, както и наелементите на механизми, машини и др. съоръжения стои пред човечеството

5

DR

AFT

Глава 1. Въведение

от дълбока древност. Поставянето на този проблем на научна основа ставаобаче през Средновековието. За родоначалник на науката съпротивление наматериалите се смята Галилео Галилей (1564–1642) с публикуваната през 1638г. книга „Математически бележки и доказателства“. В книгата се дискутираякостта на конзолна греда. Напоследък се появиха сведения, че още Леонардода Винчи е изпитвал якостта на метални струни и е документирал първитенаучни опити в съпротивление на материалите. Основите на тази наука саположени от Роберт Хук (1678) и Исаак Нютон (1687). Науката съпротивлениена материалите претърпява най-бурно развитие през XVIII и XIX век.

Методите, използвани в науката съпротивление на материалите са тео-ретични и експериментални. Теоретичните методи използват опростяващипредпостави и хипотези за да се получат по-прости и практични инженер-ни формули. Тези предпоставки и хипотези се основават както на резултатиот експерименталните проучвания, така и на теоретичните изводи от другиклонове на механиката на деформируемото твърдо тяло, какъвто е теория наеластичността.

§ 1.2. Схематизация в съпротивление на материалите

Всяка наука идеализира обектите, които изучава, като пренебрегва едниили други свойства или явления свързани с тях за да разкрие по-добре и вчист вид връзките между други — по-важни. Тези абстракции на обектите че-сто се наричат модели, а процесът на отстраняване на маловажните свойстваи явления — схематизация.

Съпротивление на материалите също използва схематизация на обектите,които изучава. Ще изредим по-нататък основните схематизации, които нау-ката съпротивление на материалите използва.

§ 1.2.1. Схематизация на свойствата на материалите

За описване на свойствата на материалите се използват няколко схемати-зации:

непрекъсната среда — функциите, описващи свойствата, са непрекъ-снати по отношение на пространствените координати;

еднородност (хомогенност) — независимост на свойствата от място-то и големината на отделения от материала обем;

идеална еластичност — след отстраняване на външното силово въз-действие, тялото възстановява напълно първоначалната си формаи размери;

изотропност — независимост на свойствата от ориентацията на отде-ления от материала обем. (Обратното се нарича анизотропност.)

6

DR

AFT

1.2. Схематизация в съпротивление на материалите

Първите две схематизации са задължителни в съпротивление на матери-алите, т.е. всяко твърдо тяло се приема, че представлява еднородна непрекъ-сната среда. Другите две са опростяващи и се използват по подразбиране вповечето случаи, но понякога се разглеждат обекти, за които тези схематиза-ции не са приети и тогава това се уточнява.

§ 1.2.2. Схематизация на формата на телата

Твърдите тела заемат определен обем в пространството, който притежаваформа, характеризираща се с определени размери. В случаите, когато единот размерите се отличава силно от останалите могат да се приемат следнитесхематизации на формата на телата (фиг. 1.1):

прът — тяло, на което единият размер е много по-голям от останалите;

черупка — тяло, на което единият размер е много по-малък от остана-лите. Частен случай са плоча – равнинна черупка и диск — кръглаплоча.

В този курс по съпротивление на материалите се разглеждат изключителносамо пръти.

Фиг. 1.1. Схематизация наформата: а) прът; б) черупка.

Фиг. 1.2. Означения на схематизираните натоварва-ния и основните им мерни единици в система SI: F —съсредоточена сила; q — интензитет на разпределениятовар; M — съсредоточен момент.

§ 1.2.3. Схематизация на натоварването

Всички реални натоварвания са или повърхнинни сили, които са резултатот контактното силово взаимодействие на две тела, или обемни сили, които

7

DR

AFT


са резултат от силовото въздействие на полета — гравитационно, електромаг-нитно, инерционно (центробежно инерционно) и др. върху телата.

Можем да изредим три схематизации на реалните натоварвания (фиг. 1.2):

разпределен по линия товар — силовото въздействие е приложенопо тясна повърхност от тялото;

съсредоточена сила — силовото въздействие е приложено върху мно-го малка повърхност от тялото;

съсредоточен момент — силовото въздействие може да се представикато двоица сили — съсредоточени сили, които са равни по големи-на и противоположни по посока.

§ 1.2.4. Схематизация на кинематичните връзки

Кинематичните връзки са ограничения на преместванията в конструкция-та или на нейните елементи. Те се делят на външни връзки на конструкциятас други тела, наречени опори и вътрешни връзки между отделните елементина конструкцията, наречени просто връзки. Кинематичните връзки трябвада осигурят кинематичната неизменяемост на конструкцията, т.е. невъзмож-ността и да се движи като цяло. Системата от опори определя начина назакрепване (подпиране) на конструкцията.

Опорите могат да бъдат конструктивно оформени като сложни опорниустройства, които се състоят от много елементи. Така например, една лагернаопора може да се състои от търкалящи лагери, лагерни тела, капачки, устрой-ство за регулиране на хлабините в лагерите и даже система за принудителномазане на лагерите. Понякога, обаче се прибягва до доста прости начини назакрепване, които дори нямат конструктивно обособена част, като свободнотоподпиране например. Конструктивните елементи и особености на опорите сепренебрегват и те се схематизират. Важни са само възможностите за преме-стване на точката от конструкцията, в която са приложени, т.е. точката назакрепване. Тези възможности за преместване и завъртане на конструкциятав дадена точка, наричаме степени на свобода. Те могат да са най-много шест— три независими премествания и три независими завъртания. Да разгледамедействието на някои основни опорни устройства:

запъване (конзолно закрепване) — отнема всички степени на свобо-да, т.е. точката на закрепване не може да се премества в нито еднапосока и конструкцията не може да се завърта около тази точка;

става — позволява само завъртането на конструкцията, ако е сферична— около точката, а ако е цилиндрична — около ос;

плъзгаща опора — позволява само движението по права линия на точ-ката на закрепване или по равнина;

8

DR

AFT

1.2. Схематизация в съпротивление на материалите

свободно подпиране — не позволява преместването в една от посо-ките по определено направление и във всички посоки в кое да еперпендикулярно на това направление, като завъртането е позво-лено само около една ос.

Най-често при свободното подпиране посоката, в която е разрешено преме-стването е безсмислена или невъзможна по други съображения и тогава тазиопора се превръща в цилиндрична става. Разликата е само в това, че ци-линдричната става има конструктивно обособено опорно устройство, докатосвободното подпиране е само начин на закрепване. Схематизацията, обачепремахва точно тези различия.

Опорите, които използваме може да са и комбинация от горепосоченитеосновни опори. Такива са например плъзгащата става — комбинация на ста-ва (сферична или цилиндрична) и плъзгаща опора, която отнема една степенна свобода ако е сферична, ставно-прътова опора — комбинация на прът сдве стави в краищата си, която отнема само една степен на свобода. Въобще,при определянето на опорите, ще си служим с имената на изброените по-гореопорни устройства и прилагателни, подчертаващи някои техни особености, ка-то например неподвижна цилиндрична става. Примери с различни означенияна опорите са дадени на фиг. 1.3.

Фиг. 1.3. Схематично означение на опори: а) запъване; б) сферична става; в)цилиндрична става; г) плъзгаща опора; д) просто подпиране; е) плъзгаща (по-движна) става; ж) подвижно просто подпиране; з) ставно-прътова опора.

Отнемайки някоя степен на свобода на конструкцията в точката на за-крепване, опорните устройства прилагат силово въздействие върху нея за дасе противопоставят на стремежа и за движение (ако има такъв). Това силововъздействие наричаме опорна реакция. Всъщност в практиката под опорнареакция се разбира един от елементите на динамата на това силово въздей-ствие — една от проекциите на главната сила или на главния момент, на коитосе разлага динамата. Опорните реакции уравновесяват конструкцията в сило-во отношение, което съответства на неподвижността и. При разглеждане наравновесието на конструкцията винаги е необходимо да поставим правилноопорните реакции.

9

DR

AFT


Схематизирането на реални конструкции е творческа задача на инженера,която зависи от неговите умения, опит и познания. Няма наука или дисципли-на, която да учи как се прави това. В дисциплината съпротивление на матери-алите ще работим изключително със схематизирани конструкции. Студентъттрябва да приложи своята фантазия и технически познания за да види в тяхреалните конструкции, които го заобикалят или изучава по специализиращи-те технически дисциплини.

10

DR

AFT

Глава 2

Опън и натиск

§ 2.1. Вътрешни сили

Да разгледаме призматичен прав прът, натоварен с две равни и взаимнопротивоположни осови сили F , както е показано на фиг. 2.1а. Прътът е в рав-новесие, поради равенството на силите и противоположните им посоки, т.е.алгебричният сбор на проекциите им по оста на пръта е нула. Следователно,прътът е в покой или равномерно праволинейно движение, съгласно първиязакон на Нютон. Под действието на противоположните сили F , материалътна пръта има стремеж да бъде разделен и придвижен в две противоположнипосоки. До определена граница на нарастване на силите F прътът запазва це-лостта си и материалът успешно се съпротивлява на външното въздействие.При това състояние на материала и на външното въздействие, мислено даразрежем пръта с една напречна на пръта равнина α и да разгледаме равно-весието на отделената лява част, както е показано на фиг. 2.1б.

Фиг. 2.1. Разрезни усилия при опън (натиск)

11

DR

AFT

Глава 2. Опън и натиск

Мислено отделената лява част от пръта е също в покой или равномерноправолинейно движение, както целия прът. Следователно, тя е в равновесиепо отношение на силите и в напречното сечение трябва да има сили, коитода уравновесяват единствената външна сила F и в същото време да пред-ставляват силовото въздействие на отделената дясна част от пръта върхуразглежданата лява.

Вътрешни сили — породените от външното натоварване сили, с които сивзаимодействат отделните части от едно твърдо тяло.

Метод на сечението — методът на мислено разрязване на твърдото тяло сравнина, при който в сечението се проявяват вътрешните сили.

Вътрешните сили са дадени на фиг. 2.1б като система повърхнинни сили−→f . Те могат да имат различен интензитет в различните точки от напречнотосечение. Ако вземем една точка A от напречното сечение и отделим малкаплощ ∆S около нея (фиг. 2.1б), то равнодействащата на вътрешните сили по

тази елементарна площ е елементарната сила ∆−→F . Въвеждаме величината

механично напрежение −→p , като граница на отношението:

−→p = lim∆S→0

∆−→F

∆S. (2.1)

Механично напрежение — мярка за интензитета на вътрешните сили вточка от твърдото тяло.

Мерната единица за механично напрежение е сила за единица площ илив основни единици на система SI е N/m2. Тази мерна единица е нареченана името на френския учен Паскал и се означава Pa, т.е. 1 Pa = 1 N/m2.Паскалът е много малка мерна единица за повечето случаи на напрежения втехниката и се използват неговите кратни единици мегапаскал и гигапаскал,като 1 MPa = 106 Pa и 1 GPa = 109 Pa = 103 MPa. Можем да отбележим още,че 1 MPa = 1 N/mm2.

Напрежението −→p е векторна величина, която за удобство се разлага понормалата и тангентата на сечението в точката, в която действат, както епоказано на фиг. 2.1в. Проекцията на напрежението −→p по нормалата n нари-чаме нормално напрежение и отбелязваме с гръцката буква σ, а проекциятапо тангентата t наричаме тангенциално напрежение и отбелязваме с гръцкатабуква τ .

Равнодействащата на всички вътрешни сили в напречното сечение на пръ-та от фиг. 2.1 трябва да е осова сила, т.е. нормална на напречното сечение,която е равна по големина и противоположна по посока на силата F , действа-ща в левия край на пръта, за да я уравновесява.

12

DR

AFT

2.2. Деформиране на опънат (натиснат) прът

Нормално разрезно усилие Nx — равнодействащата на всички вътрешнисили в напречно сечение на пръта по оста му x.

Когато нормалното разрезно усилие Nx е насочено по външната нормала нанапречното сечение, т.е. навън от мислено отрязаната част от пръта, то еположително (Nx > 0) и тогава натоварването наричаме опън. В обратнияслучай когато Nx е насочено навътре към отрязаната част от пръта, то еотрицателно (Nx < 0) и тогава натоварването наричаме натиск.

От проекционното условие за равновесие на силите по оста x, приложеноза мислено отделената лява част от пръта имаме

∑

i

Xi = 0 : Nx − F = 0 ; Nx = F .

От условието за равновесие на силите следва една алтернативна дефиницияза нормалното разрезно усилие. Големината на нормалното разрезно усилие

в едно напречно сечение на пръта е равна на абсолютната стойност на ал-

гебричната сума от проекциите на всички сили по оста на пръта, които

действат върху едната от двете части на пръта, на които той е разделен

от напречното сечение.

Нормалното разрезно усилие за дясната част от мислено разрязания пръте насочено противоположно на това от лявата и равно по големина на него.Това важи и за вътрешните сили въобще, което съответства на третия за-кон на Нютон. Така положителното нормалното усилие Nx за дясна част енасочено отново по положителната нормала на напречното сечение, но е про-тивоположно на оста x.

§ 2.2. Деформиране на опънат (натиснат) прът

§ 2.2.1. Мярка за деформацията

Под действието на външните сили твърдите тела изменят своите размерии форма, т.е. деформират се. В каква степен става това зависи от свойстватана материала, от който са направени твърдите тела. Така например едно ка-учуково тяло се деформира видимо много повече отколкото едно стоманенотяло със същата форма и размери и под действието на едни и същи сили. Пристоманеното тяло дори може да не успеем да забележим деформирането му спросто око.

Деформация — изменение на формата и размерите на твърдите тела поддействието на външни сили.

От дефиницията за деформация става ясно, че тя има две страни: едната еизменението на формата, а другата е изменението на размерите на тялото.

13

DR

AFT


Прието е за изменението на формата да се използва терминът дисторсия, аза изменението на размерите — дилатация.

Деформирането на прът подложен на опън (натиск) можем да наблюда-ваме най-добре, ако той е от по-еластичен материал, като каучук например,и по външната повърхност на пръта нанесем правоъгълна мрежа с боя. Акозапънем пръта в единия край и приложим опънова осова сила в другия край,както това е показано на фиг. 2.2, прътът ще се удължи по оста си и ще сесвие в напречно направление. При натискова сила става обратното. Мрежатапри това деформиране запазва ортогоналността си и правите линии оставатправи, като разстоянието между напречните линии става по-голямо, а меж-ду надлъжните — по-малко. При това, увеличаването или намаляването наразстоянието между съответните съседни линии е едно и също.

Фиг. 2.2. Деформиране на прът подложен на опън

Да схематизираме опънатия прът от фиг. 2.2 и изменението на размеритему, както е показано на фиг. 2.3. Прътът с дължина ℓ и напречен размер b следдеформирането придобива дължина ℓ′ и напречен размер b′. Преместванетона свободния край на пръта сме означили с δ. Изменението на размерите напръта се характеризира с абсолютната промяна на дължината ∆ℓ = ℓ′−ℓ и нанапречния размер ∆b = b′−b, както и с относителната промяна на дължината∆ℓ/ℓ и на напречните размери ∆b/b. Произволна отсечка с елементарна дъл-жина dx и ориентирана по оста на пръта x, след деформирането му е отновопо направлението на оста му, но има вече нова дължина dx′.

Линейна деформация — техническа мярка на деформацията (дилатация-та), която представлява границата на относителната промяна на дъл-жината на елементарна отсечка в точката и направлението, които ха-рактеризира, при намаляването на дължината на отсечката.

14

DR

AFT


В нашия случай, линейната деформация по направление на оста x е:

εx = limdx→0

dx′ − dx

dx(2.2)

Линейната деформация означаваме с гръцката буква ε и индекс, определящнаправлението, което тя характеризира. Линейната деформация е безразмер-

на величина.

Фиг. 2.3. Промяна на размерите на опънат прът

Линейната деформация по оста x за опънатия прът е еднаква във всяканегова точка, според деформирането на праволинейната ортогонална мрежа,и е положителна, т.е. εx > 0. Тогава надлъжната линейна деформация можеда се изчисли от относителното удължение на пръта

εx =∆ℓ

ℓ. (2.3)

Напречната деформация в кое да е напречно на оста на пръта направлениесъщо е еднаква за коя да е точка от пръта и е отрицателна при опън, т.е.ε < 0. Тя също може да се изчисли от относителното изменение на напречнитеразмери

ε =∆b

b. (2.4)

При натиск знаците на линейните деформации се сменят — отрицателна над-лъжна линейна деформация и положителна напречна линейна деформация.

§ 2.2.2. Връзка между деформации, напрежения и премества-

ния

Каква е връзката между външните сили, които действат на тялото и де-формациите, които то получава? Очевидно, при увеличаване на големинатана силата, ще нараства големината на деформациите, но линейна ли е тази

15

DR

AFT


зависимост или не? След многобройни опити, през 1676 г. Роберт Хук за-явява: „Каквато силата, такова преместването“. Тази сентенция е най-общатаформулировка на закона на Хук.

Закон на Хук — линейната зависимост на преместванията в твърдото тялоот външните сили, при деформирането му.

В нашия случай на закрепване на пръта и на прилагане на натоварването,можем да запишем този закон като зависимостта:

δ = kF , (2.5)

където k е коефициент на пропорционалност.

От линейната зависимост на преместванията от силите, веднага следвапринципа за независимото действие на силите или както още се нарича —принципа на суперпозицията.

Принцип на суперпозицията — ефектът от действието на система от силие сума от ефектите на всяка от силите, действащи поотделно.

Преместването на свободния край на пръта δ, както и линейните деформа-ции в пръта зависят не само от силата, но и от размерите му. За да игнорирамевлиянието на размерите и да изучим поведението на материала на пръта притози вид натоварване — опън или натиск, трябва да прибегнем до търсенетона зависимост между напреженията, като мярка за интензитета на вътреш-ните сили в материала, и наблюдаваните линейни деформации, като мярка задеформирането на материала.

Фиг. 2.4. Деформирне наелементарно квадратче

Ако разгледаме деформирането на ед-но елементарно квадратче от правоъгълнатамрежа нанесена на пръта (фиг. 2.4), то линей-ните деформации по оста на пръта x могатда се предизвикат само от нормални напре-жения σx, действащи в напречното сечение.Поради еднаквите надлъжни линейни дефор-мации εx в пръта, ще имаме равномерно раз-пределение на нормалните напрежения σx внапречните сечения на пръта, както е показа-но на фиг. 2.5 върху мислено отделена дясначаст. От равномерното разпределение на нормалните напрежения следва, чете могат да се определят по най-елементарен начин от нормалното разрезноусилие:

σx =Nx

S, (2.6)

16

DR

AFT


където S е лицето на напречното сечение на пръта. При изпитването на мате-риалите на опън и натиск, което ще бъде разгледано по-нататък, е установеналинейна зависимост между нормалните напрежения в напречните сечения илинейните надлъжни деформации при не много големи натоварвания.

Закон на Хук при чист опън (натиск)

σx = E εx , (2.7)

където E е материална константа, наречена модул на еластичност налинейните деформации (още модул на Юнг или модул от I-ви род), сосновна мерна единица в система SI — Pa, но поради обикновено многоголямата и стойност се използва най-често мерната единица GPa (гига-паскал — 109 Pa).

Фиг. 2.5. Разпределение на нормалните на-прежения

Напречните деформацииε са винаги противополож-ни по знак на надлъжнитеεx. Експериментално е уста-новено, че отношението наголемините на тези дефор-мации зависи само от свой-ствата на материала. Зави-симостта на напречните деформации от надлъжните се изразява с

закон на Поасон при чист опън (натиск)

ε = −µ εx , (2.8)

където µ е безразмерна материална константа, наречена коефици-ент на Поасон (още коефициент на напречната линейна деформа-ция) и има стойност −1 ≤ µ ≤ 0, 5 (повечето известни материалиимат µ > 0).

Освен под действието на външните сили, твърдите тела променят разме-рите си и в резултат на изменението на температурата им. Те се разширяватс увеличение на температурата и се свиват с нейното намаление. Установеное, че тази зависимост също е линейна. Можем да дефинираме това относи-телно изменение на размерите на твърдите тела в резултат на изменението натемпературата ∆T като

температурна деформация

εT = α ∆T , (2.9)

където α е материална константа, наречена коефициент на линейнотемпературно разширение и има основна мерна единица в системаSI — K−1 (келвин на минус първа, която е равна на 1/◦C).

17

DR

AFT


Физичните свойства на някои често срещани в машиностроенето метали исплави са дадени в табл. 2.1.

Табл. 2.1. Материални константи на някои метали и сплави

МатериалМодул на ела-стичност E,GPa

Коефициентна Поасон µ,—

Коефициент на темпе-ратурно разширение α,×10−6 K−1

алуминий 70 0,33 23,0бронз 96÷120 0,34 18,0÷21,0мед 110÷120 0,33÷0,36 16,6÷17,6месинг 100 0,34 19,1÷21,2стомана 190÷210 0,27÷0,3 10,0÷18,0чугун 83÷170 0,20÷0,30 9,9÷12,0

Линейните деформации, надлъжни и напречни, са еднакви във всичкиточки на опънатия (натиснати) прът. Следователно, нормалните напрежениявъв всички точки на напречните сечения и във всички напречни сечения саеднакви. Напреженията в една точка определят нейното напрегнато състо-яние. Когато всички точки от натовареното с външни сили твърдо тяло сехарактеризират с еднакви по големина напрежения казваме, че напрегнатотосъстояние в твърдото тяло е хомогенно.

Когато в един прът или част от прът има хомогенно напрегнато състояние,то промените на размерите на този прът или част от прът могат лесно да сеопределят. Да се опитаме да определим преместването на свободния край наопънатия прът (фиг. 2.3), като използваме формулите посочени по-горе:

δ = ∆ℓ = ℓ(εx + εT) =

= ℓ(σx

E+ α ∆T

)=

= ℓ

(Nx

ES+ α ∆T

)=

=Nxℓ

ES+ α ∆T ℓ .

∆ℓ =Nxℓ

ES+ α ∆T ℓ . (2.10)

Пример 2.1. Да се определи промяната на дължината и на диаметрите насъставния прът показан на фиг. 2.6.

Решение:

18

DR

AFT


Фиг. 2.6. Пример 2.1

Прътът е натоварен на натиск с осова силаF . Това със сигурност може да се разбере, когатосе определи разрезното усилие Nx по метода на

сечението. Разрязвайки пръта на две части, разглеждаме дясната част със силите,които действат на нея, и нормално разрезно усилие, което се появява в мястото наразрязване и е насочено по положителната нормала, т.е. обратно на оста x за дясначаст. От равновесието на силите по оста на пръта x, имаме:

∑

i

Xi = 0 : −Nx − F = 0 ; Nx = −F .

Нормалното разрезно усилие е отрицателно, Nx < 0, и следователно имаме натиск.При това, то постоянно по дължината на пръта, тъй като няма други сили, които дадействат по оста му, освен силата F , приложена в десния край на пръта и опорнатареакция в левия му край.

Напрежението в пръта зависи от лицето на напречното сечение и поради промя-ната му по дължината на пръта, ще има два участъка от съставния прът — I и II, сразлично напрежение:

σIx =

Nx

SI=

−Fπ d2

I

4

= − F

πd2,

σIIx =

Nx

SII=

−Fπ d2

II

4

= −4F

πd2.

Във десния участък напрежението е 4 пъти по-голямо от това в първия участък.Напрегнатото състояние в съставния прът не е хомогенно, но то е хомогенно във

всеки един от двата му участъка (или двата пръта, от които е съставен). Промянатана дължината на пръта може да се определи по участъци:

∆ℓ = ∆ℓI + ∆ℓII ,

∆ℓI =Nx ℓIE SI

=−F a

Eπ d2

I

4

= − Fa

π E d2,

∆ℓII =Nx ℓIIE SII

=−F 2a

Eπ d2

II

4

= −8Fa

π E d2,

∆ℓ = − Fa

π E d2− 8

Fa

π E d2= −9

Fa

π E d2.

19

DR

AFT


Промяната на дължината на съставния прът е отрицателна, което означава, че тойсе скъсява. Скъсяването на пръта от втори участък е 8 пъти по-голямо отколкототова на пръта от първи участък.

Промяната на напречните размери (диаметри) на пръта определяме както след-ва:

∆dI = dIεI = −dIµεIx = −2d

µσIx

E= 2

µF

πEd,

∆dII = dIIεII = −dIIµεIIx = −d

µσIIx

E= 4

µF

πEd.

В резултат на натиска, диаметрите се увеличават, като увеличението във втория

участък е 2 пъти по-голямо от това в първия.

Пример 2.2. Да се определят напреженията в дадения прът, както и изменени-ето на дължината и външния му диаметър, след прилагането на осовия товар G.С колко ще се повдигне товара с тегло G, ако околната температура се понижис ∆T = 30◦C? Материалът, от който е направен пръта, е алуминий с модул наеластичност E = 70 GPa, коефициент на Поасон µ = 0, 33 и коефициент налинейно температурно разширение α = 23 · 10−6 K−1.


Решение:Разрезни усилия:

∑

i

Xi = 0 : −Nx + G = 0 ; Nx = G = 30 kN.

Лица на напречните сечения:

SI =πD2

4=

π302

4= 706, 86 mm2;

SII =π(D2 − d2)

4= SI −

πd2

4

= 706, 86 − π202

4= 392, 70 mm2.

Напрежения:

σx I =Nx

SI=

30 · 103

706, 86= 42, 441 = 42, 4 MPa ;

σx II =Nx

SII=

30 · 103

392, 70= 76, 394 = 76, 4 MPa ;

Удължение:

∆ℓ =NxℓIESI

+NxℓIIESII

=Nx

E

(ℓISI

+ℓIISII

);

∆ℓ =30 · 103

70 · 109

(300 · 10−3

706, 86 · 10−6+

600 · 10−3

392, 70 · 10−6

);

20

DR

AFT

2.3. Изследване на напреженията

∆ℓ = 0, 83670 · 10−3 m = 0, 837 mm .

Надлъжни линейни деформации:

εx I =σx I

E=

42, 441 · 106

70 · 109= 0, 6063 · 10−3 = 0, 606 0/00 ;

εx II =σx II

E=

76, 394 · 106

70 · 109= 1, 0913 · 10−3 = 1, 09 0/00 ;

Напречни линейни деформации:

εI = −µ εx I = −0, 33 · 0, 6063 · 10−3 = −0, 20008 · 10−3 = −0, 200 0/00 ;

εII = −µ εx II = −0, 33 · 1, 0913 · 10−3 = −0, 36014 · 10−3 = −0, 360 0/00 .

Изменение на външния диаметър:

∆DI = D εI = 30(−0, 20008 · 10−3) = −6, 0024 · 10−3 mm = −6, 00 µm ;

∆DII = D εII = 30(−0, 36214 · 10−3) = −10, 804 · 10−3 mm = −10, 8 µm .

Повдигане на товара при понижение на температурата:

∆ℓT = α ℓ∆T = 23 · 10−6 · 900 · 30 = 0, 621 mm .

§ 2.3. Изследване на напреженията

§ 2.3.1. Местни напрежения

Разпределението на напреженията и деформациите при опън-натиск евсъщност по-сложно при реалните твърди тела, които са схематизирани катопръти. Причината за това е начинът на прилагане на силите, който не съо-тветства точно на тяхната схематизация, както и промените на формата иразмерите на прътите, които са били пренебрегнати при схематизацията. Нафиг. 2.8а е даден пример на един обтегач, който в краищата си има уши и от-вор в средата си. Обтегачът работи на опън, но прилагането на силата в ушитеот шарнирите става чрез сложно разпределени повърхнинни сили по контакт-ната им повърхност (фиг. 2.8б). Това, заедно със сложната форма на ушите,предизвиква сложно напрегнато състояние, което обаче с отдалечаване от тяхи при навлизане в тази част на пръта, която има регулярна форма и размерина напречните сечения, се превръща в познатото ни хомогенно напрегнатосъстояние (тъмните области на фиг. 2.8а). В мястото на отвора, напрежени-ето трябва да се повиши, поради отслабването на сечението (намаляване налицето му). Това обаче става с висока концентрация на напреженията близодо отвора (фиг. 2.8в).

Принцип на Сен-Венан — начинът на прилагане на силите оказва влияниена напрегнатото състояние само в точките близо до местата на прилаганена силите.

21

DR

AFT


Фиг. 2.8. Местно разпределение на напреженията при опън-натиск

Концентрация на напреженията — местно увеличение на напреженията,което се получава в местата с рязко изменение на формата и размеритена твърдите тела, наричани концентратори на напрежението.

§ 2.3.2. Напрежения в наклонени сечения

Да разгледаме напреженията в наклонено сечение на опънат прът. Акопо метода на сечението разрежем мислено опънат прът в две сечения: еднотонапречно, а другото наклонено (фиг. 2.9а), то и в двете сечения напрежениятаса разпределени равномерно и са насочени по направление на оста на прътаx (фиг. 2.9б). В напречното сечение с нормала, съвпадаща с оста x, напреже-нията са σx = Nx/S, където S е лицето на напречното сечение. Напречнотосечение с лице S е проекция на наклоненото сечение с нормала n и лице Sn:

S = Sn cos α .

В наклоненото под ъгъл α сечение, напрежението е означено с pn и представ-

Фиг. 2.9. Напрежения в наклонено сечение при опън-натиск

лява пълното механично напрежение. Равнодействащите на вътрешните сили

22

DR

AFT

2.3. Изследване на напреженията

и в двете сечения са нормалните разрезни усилия, които са равни помеждуси:

σxS = pnSn = pnS

cos αили окончателно за пълното напрежение в наклонено сечение имаме:

pn = σx cos α . (2.11)

Сега да разложим пълното напрежение pn по нормалата n и тангентата t нанаклоненото сечение на нормално напрежение σn и тангенциално напрежениеτn:

σn = pn cos α = σx cos2 α ,

τn = pn sin α = σx cos α sinα .

След прилагане на тригонометричните формули за двойни ъгли окончателносе получава:

σn = σx2 (1 + cos 2α)

τn = σx2 sin 2α

}. (2.12)

Диаграмите на получените функции за нормалните и тангенциалните напре-жения в зависимост от ъгъла α са дадени на фиг. 2.10а.

Фиг. 2.10. Диаграми на изменение на напреженията при опън-натиск

Разглеждайки диаграмите на изменение на нормалните и тангенциалнинапрежения в наклонени под ъгъл α сечения при опън-натиск, можем да на-правим следните изводи:

• Максималните по големина нормални напрежения се появяват в напреч-ните сечения;

23

DR

AFT


• В надлъжните сечения не действат никакви напрежения — няма напреч-

но взаимодействие между надлъжните влакна на пръта(фиг. 2.10б);

• Максималните по големина тангенциални напрежения се намират в се-ченията под ъгъл 45◦ спрямо оста на пръта(фиг. 2.10в);

• Тангенциалните напрежения в две взаимно перпендикулярни сечения саравни по големина и противоположни по знак.

Последният извод е валиден за което и да е напрегнато състояние и представ-лява закон.

Закон за реципрочност на тангенциалните напрежения — тангенциал-ните напрежения в две взаимно перпендикулярни площадки прекаранипрез една точка са насочени по един и същи начин към общия им ръб(фиг. 2.11) и са равни по големина:

τα = −τα+90◦ . (2.13)

Фиг. 2.11. Закон за реципрочност на тангенциалнитенапрежения

Законът за реци-прочност на танген-циалните напреженияизисква да бъде до-казан в най-общ видна натоварването и нанапрегнатото състоя-ние. Изводите от из-следването на напре-женията при опън-натиск не са достатъчни за доказването на валидността на закона. Ние щего приемем, обаче без доказателства и ще го прилагаме по-нататък, където сеналага.

§ 2.4. Механични характеристики на материалите

§ 2.4.1. Изпитване на опън и натиск

Механичните характеристики на материалите се определят при изпитване-то им на опън и на натиск. От материала, който ще се изпитва, се изработватобразци (фиг. 2.12). Образците могат да имат кръгово или правоъгълно на-пречно сечение. Образците за изпитване на опън имат удебеления(фиг. 2.12а),с които се захващат в челюстите на машината за изпитване. Преходите къмтези удебеления — захвати, трябва да са плавни с радиус на закръгление,

24

DR

AFT

2.4. Механични характеристики на материалите

който заедно с съотношението на другите размери на образеца е стандартизи-ран. Спазването на стандарта гарантира повторяемостта и съпоставимосттана резултатите от изпитването. Образците за изпитване на натиск (фиг. 2.12б)също трябва да отговарят на определени изисквания. Тяхната дължина ℓ нетрябва да е по-голяма от два пъти най-малкият им напречен размер d за дане може образеца да се изкълчи при натиска.

Фиг. 2.12. Образци за изпитване на материалите: а) на опън; б) на натиск

Машините за изпитване на опън и натиск са комбинирани и могат да из-вършват и двете изпитвания. Най-често те са хидравлични. При изпитванетона опън или натиск се регистрира и измерва преместването на единия — по-движен край на образеца, докато другият е неподвижно закрепен, или съсзалепени датчици (тензометрични преобразуватели) се измерва и регистриралинейната деформация. Измерва се и се регистрира изменението на силатаF , с която се опъват или натискат образците, като нормалното напрежение внапречното сечение се получава като разделим силата F на лицето на напреч-ното сечение S на образеца преди изпитването. Така за всеки материал приизпитването на опън или на натиск може да се начертае диаграмата σ − ε.

Механичните характеристики, респективно диаграмите σ−ε на различни-те материали са различни и имат различен характер. На фиг. 2.13 са даденитипични характеристики на някои материали. При някои, поведението на ма-териала при опън (положителни напрежения и деформации) е различно оттова при натиск (отрицателни напрежения и деформации). Повечето металивинаги имат една линейна част от диаграмата в началото на натоварванетона материала. Основната разлика при материалите е остатъчната деформацияпри разрушение, която се различава драстично — при едни е много голяма, апри други — много малка.

Деформацията, която се е появила при натоварване на твърдо тяло и следтова напълно е изчезнала при разтоварването му, се нарича еластична де-формация. Тази деформация, която след разтоварването остава в тялото, сенарича остатъчна деформация или пластична деформация. В зависимост отостатъчната деформация, която претърпяват при разрушението си, материа-лите се делят на две основни групи:

пластични материали — материали, които при разрушението си претър-пяват големи пластични деформации.

25

DR

AFT


Фиг. 2.13. Типични механични характеристики на материалите

крехки материали — материали, които при разрушението си иматмного малки пластични деформации.

§ 2.4.2. Механични характеристики и свойства

Пластичните материали имат напълно симетрично поведение при опъни при натиск, т.е. диаграмата σ − ε при натиск е симетрична спрямо коор-динатното начало на диаграмата при опън. При изпитване на натиск, обачепластичните материали не могат да се разрушат поради голямото сплескванена образеца между плочите на машината и невъзможността да се доведе из-

26

DR

AFT


питването до край. Поради симетричността на диаграмите от опън и натиск,достатъчно е да се изпитват пластичните материали само на опън. Една ти-пична диаграма от изпитване на опън на нисковъглеродна стомана е даденана 2.14.

Фиг. 2.14. Характеристика на нисковъглеродна стомана при опън

Различават се четири зони в диаграмата на нисковъглеродна стомана. Взона OA, наречена зона на еластичност, материалът има линейно поведениеи претърпява само еластични деформации εe, т.е. след пълно разтоварване вматериала няма да останат деформации. Следва зоната AB — площадка напровлачване. В тази зона материалът претърпява големи пластични дефор-мации при почти постоянна съпротива — напрежението остава константа принарастващо деформиране. С продължаване на деформирането материалътпридобива отново способността да се съпротивлява срещу него и напрежени-ето започва да се повишава в зоната BC — зона на уякчаване. В един моментот продължаващото деформиране на материала, развитието на тези дефор-мации става неустойчиво и те се съсредоточават в една малка и непрекъснатоизтъняваща част от образеца — появява се шийка. Това е зоната на местнопровлачване CD, като в точка D настъпва окончателното разрушение.

Механичните свойства на материалите се определят от границите на зо-ните от диаграмата σ − ε от изпитване на материала. За пластичните мате-риали можем да определим две такива граници: граница на провлачване σs и

27

DR

AFT


граница на якост σB. Наклонът на диаграмата в еластичната зона определямодулът на еластичност на линейните деформации E на материала. Порадиналичието на шийка и локализиране на деформациите преди разрушението,отчетените деформации δ не представляват остатъчни деформации при раз-рушение, а относително удължение на образеца при разрушение, което всепак е показател за свойството пластичност на материала.

Фиг. 2.15. Характеристика накрехък материал при опън и натиск

Характерно за поведението напластичните материали е, че след на-товарване над границата на провлач-ване σs, в материала се появяват го-леми деформации ε. Ако разтоваримматериала достигнал тези зони, на-прежението в него ще намалее по пра-ва линия, съвпадаща по наклон съсзоната на еластичност. Така част отдеформациите ще се възстановят —еластичните εe, и ще останат самопластичните εp. Подходящо е общатадеформация тогава винаги да пред-ставяме като сума две деформации:

ε = εe + εp . (2.14)

Цветните метали нямат обособе-на площадка на провлачване в диа-грамата си, както и легираните сто-мани. Легираните стомани имат по-стръмна характеристика на уякчаване отколкото цветните метали. Има ощедве механични граници, които се използват за определяне на механичнитесвойства на материалите: граница на пропорционалност σp — там където сепоявява първото отклонение от линейното поведение в зоната на еластичности граница на еластичност σE — появата на първите по-значителни пластичнидеформации. Двете граници са много близки до границата на провлачване σs

при пластичните материали и може да се счита, че съвпадат.

Крехки материали са керамичните материали, бетон, скали, чугун и др.На фиг. 2.15 е дадена диаграмата на опън и натиск на крехък материал.Крехките материали имат по-големи отклонения от линейното поведение ислед появата на пластични деформации те се разрушават. Тук разликата вграниците на пропорционалност и на еластичност е по-голяма в сравнениес тази при пластичните материали. Напрежението, при което се разрушаваматериала определя границата му на якост. Характерното за крехките мате-риали е голямата разлика в големината на границата на якост при опън σB,оп

28

DR

AFT


и границата на якост при натиск σB,нат. Отношението на тези две граници

k =σB,оп

σB,нат

(2.15)

е в границите от 0,2 до 0,4, т.е. якостта при натиск е от 2,5 до 5 пъти по-голямаот якостта на опън.

§ 2.4.3. Условие за якост

Остатъчните деформации при крехките материали след разрушение сапо-малко от 5%, докато при пластичните са повече от 10%. Очевидно, при

крехките материали, границата на якост на материала е граничното на-

прежение, определящо работоспособността на конструкцията, съответно

при опън или натиск. При пластичните материали, обаче това не е така. Следнатоварване на опън или натиск с напрежение над границата на провлачване,конструкцията има възможността да получи големи пластични деформации,от там много големи премествания и отклонения от формата и размерите и,които най-често водят до загубата на работоспособност, макар да не е нару-шена целостта на конструкцията. Така за пластичните материали, за гра-

ничното напрежение, определящо работоспособността на конструкциите

се приема границата на провлачване, а не границата на якост.За да се гарантира работоспособността на конструкцията е необходимо

изчислените при проектирането и максимални напрежения в нея да са до-статъчно по-малки от съответните гранични σ∗.

Допустими напрежения [σ] — граничните напрежения σ∗, разделени накоефициент на сигурност n:

[σ] =σ∗

n. (2.16)

Коефициент на сигурност n — коефициент по-голям от единица, n > 1,който има за цел да гарантира работоспособността на конструкциятапри експлоатацията и.

Гранично напрежение σ∗ — напрежение, което определя границата на ра-ботоспособност на конструкцията:

σ∗ =

σs при пластични материалиσB,оп при опън (σx > 0) на крехки материалиσB,нат при натиск (σx < 0) на крехки материали

. (2.17)

Якостно условие при опън-натиск — максималните по големина изчис-лителни напрежения да не надвишават допустимите:

max |σx| ≤ [σ] . (2.18)

29

DR

AFT


Изпълнението на якостното условие при проектирането гарантира запазва-нето на работоспособността на конструкцията по време на експлоатацията и.То е важно ограничение при оразмеряването на елементите на конструкция-та. Освен това ограничение, което винаги съществува, при проектирането наконструкцията могат да се налагат и други ограничения, като ограничаванетона преместванията в конструкцията:

max δ ≤ [δ] . (2.19)

Такива изисквания за коравина на конструкцията се поставят например наметалорежещите машини. Това определя тяхната точност на обработката, ко-ято постигат. Съществуват и редица други — конструктивни ограничения припроектирането на конструкцията, които обаче не са предмет на съпротивлениена материалите.

Оразмеряването на конструкциите е оптимизационна задача, която тряб-ва да минимизира икономическите разходи за изработването им (минималенобем или маса на необходимия материал) при спазването на редица огра-ничения, гарантиращи работоспособността и качеството на конструкцията.Съпротивление на материалите се занимава само с част от тези ограниче-ния, а именно якостните и коравинни условия, които поставят изискваниянай-често за минимални размери.

Пример 2.3. Да се оразмери показаната ставно-прътова конструкция, ако заматериала на прътите са приети следните допустими напрежения: [σ]оп = 120MPa, [σ]нат = 100 MPa. Да се определи пълното преместване на възела B, акомодулът на еластичност на материала на прътите е E = 200 GPa.


Решение:

30

DR

AFT


В прътите на ставно-прътова конструкция възникват само нормални разрезниусилия, т.е. те са натоварени само на опън или натиск. За определянето на нормални-те разрезни усилия използваме метода на изрязване на възлите. В случая изрязвамевъзел B и разглеждаме равновесието му по вертикала и хоризонтала:

∑

i

Vi = 0 : 120 − N2 sinα = 0 ; N2 =120

sin α;

∑

i

Hi = 0 : −N1 − N2 sin α = 0 ; N1 = −N2 cos α = 0 ;

ℓ2 = BC =√

0, 62 + 0, 82 = 1 m ;

sin α =AC

BC= 0, 8 ; cos α =

AB

BC= 0, 6 ;

N2 =120

sin α=

120

0, 8= 150 kN (опън) ;

N1 = −N2 cos α = −150 · 0, 6 = −90 kN (натиск) .

От якостното условие

|σx| =|Nx|S

≤ [σ]

следва, че

[S] =|Nx|[σ]

.

Така определяме необходимите лица на напречните сечения, съобразявайки се с това,кой прът е подложен на натиск и кой на опън.

[S1] =90 · 103

100 · 106= 9 · 10−4 m2 = 9 cm2 ;

[S2] =150 · 103

120 · 106= 12, 5 · 10−4 m2 = 12, 5 cm2 ;

S1 = a2 =⇒ a ≥√

[S1] =√

9 = 3 cm ;

S2 =πd2

4=⇒ d ≥

√4 · [S2]

π=

√4 · 12, 5

π= 3, 9 cm ;

Окончателно за размерите приемаме a = 3 cm и d = 4 cm.Промяната на дължините на прътите изчисляваме по

формулата

∆ℓ =Nxℓ

ES,

т.е.

∆ℓ1 =−90 · 103 · 0, 6

200 · 109 · 9 · 10−4= −0, 3 · 10−3 m = −0, 3 mm (скъсяване) ;

∆ℓ2 =150 · 103 · 1

200 · 109 · π42

4 · 10−4= 0, 597 · 10−3 m ≈ 0, 6 mm (удължение) ;

31

DR

AFT


За да определим преместването на възела B ще из-ползваме принципа на началните размери. Според тозипринцип конфигурацията на елементите на конструк-

цията не се изменя с деформирането и, тъй като преме-стванията са много малки в сравнение с началните раз-мери на елементите на конструкцията. Това означава, чеъгълът между двата пръта α се запазва след деформира-нето. Разглеждайки преместването на възела B, приема-ме, че той се е преместил в новото си положение B′, катопрътите 1 и 2 са останали успоредни на себе си в новото си положение, съответно 1 ′

и 2 ′. Спускаме перпендикуляри от B′ към старата ос на пръта 2 и от B към новотоположение на пръта 1 — 1 ′.

От △B′KB, който е правоъгален, имаме

δ =

√B′K

2+ KB

2.

Отсечката B′K = ∆ℓ1, но трябва да намерим другата отсечка KB. А тя може да сепредстави като

KB = KL + LB .

От правоъгълния триъгълник △B′KL имаме

KL =∆ℓ1tg α

,

тъй като ∡KLB′ = ∡MLB = ∡α като кръстни ъгли и ъгли с взаимно-перпендикулярнирамене. От друга страна, от правоъгълния триъгълник △BML, където BM = ∆ℓ2,се получава

LB =∆ℓ2sin α

,

Така окончателно заместваме и получаваме:

δ =

√

∆ℓ21 +

(∆ℓ1tg α

+∆ℓ2sinα

)2

=

√

0, 32 +

(0, 3 · 0, 6

0, 8+

0, 6

0, 8

)2

= 1, 02 mm .

Пример 2.4. Да се направи проверка на напреженията в стоманените пръти призададеното натоварване, ако за материала са дадени [σ] = 160 MPa и E = 200GPa. Тялото ABCD е много кораво и може да се приеме за идеално твърдо. Ка-кви биха били напреженията в прътите, ако след натоварването на конструкциятатемпературата се повиши с 20◦C, а α = 12 · 10−6 K−1.

Решение:

1) Определяне на усилията в прътите.

32

DR

AFT



а) Степен на статична неопределимост.Броят на неизвестните опорни реакции надхвърля броя на независимите усло-

вия за равновесие, които можем да напишем. Тяхната разлика наричаме степен настатична неопределимост:

4 неизвестни опорни реакции– 3 независими условия за равновесие в равнината

1 път статитично неопределима конструкцияб) Статична страна на задачата.

Статиката ни дава три условия за равновесие в равнината. В случая можем даизползваме едно проекционно условие по хоризонтала, едно проекционно условие повертикала и едно моментово условие спрямо точка C:

∑

i

Hi = 0 : RH = 0 ;

∑

i

Vi = 0 : N1 + N2 + RV − F = 0 ;

∑

i

MC i = 0 : N1 · 2 − F · 1 − N2 · 1 = 0 .

33

DR

AFT


От първото от тези уравнения, едната опорна реакция е определена, но остават по-следните две уравнения, които съдържат три неизвестни. За тяхното определяне енеобходимо още едно уравнение, което трябва да се появи като се разгледа геометри-ята на деформиране на конструкцията, поради наложените връзки, които са повечеот необходимото за кинематичната и неизменяемост.

в) Геометрична страна на задачата.Разглеждаме възможните премествания в конструкцията в резултат на дефор-

миране на прътите под действие на силите. Установяваме, че при това деформиранекоравото тяло ABCD се завърта около опората C така, че винаги

uA = 2uD .

Сега да превърнем тази зависимост в зависимост между разрезните усилия в прътитеили все едно между реакциите на опорите.

г) Физична страна на задачата.Разглеждайки начина, по който се деформират прътите установяваме, че горе-

посочената зависимост между преместванията се превръща в следната зависимостмежду удълженията на прътите

∆ℓ1 = −2∆ℓ2 .

Тук знакът минус е поставен поради отрицателното удължение, т.е. скъсяване, напръта 2, което не е получено от приетото положително, т.е. опъново, нормално раз-резно усилие в пръта, а обратно — от отрицателно по алгебрична стойност нормалноразрезно усилие. От формулата за определяне на удълженията имаме

N1ℓ1ES1

= −2N2ℓ2ES2

.

Така за разрезното усилие в първия прът получаваме:

N1 = −2S1

S2

ℓ2ℓ1

N2 ;

N1 = −23

5

1

2N2 = −0, 6 N2 .

Сега остава да използваме последната зависимост, получена за нормалните раз-резни усилия в прътите, заедно с останалите, които имаме от статиката. Можем даизползваме последното уравнение на статиката, което е следствие от моментовотоусловие за равновесие и също съдържа само двете търсени разрезни усилия катонеизвестни.

д) Съвместно решаване на уравненията.Заместваме израза за N1 в моментовото условие

−2 · 0, 6N2 − F − N2 = 0 ;

N2 = − F

2, 2= −120

2, 2= −54, 545 kN ;

N1 = −0, 6N2 = −0, 6 · 54, 545 = 32, 727 kN .

34

DR

AFT


2) Напрежения в прътите.

σx 1 =N1

S1=

32, 727 · 103

3 · 10−4= 109, 09 · 106 Pa = 109 MPa < [σ] = 160 MPa ;

σx 2 =N2

S2=

−54, 545 · 103

5 · 10−4= −109, 09 · 106 Pa = −109 MPa , |σx 2| < [σ] = 160 MPa .

3) Усилия в прътите след повишаване на температурата.Уравненията от физичната страна на задачата трябва да включат и температур-

ното разширение, с което ще се променят. Това се отразява на резултата от съвмест-ното решаване на уравненията.

а) Физична страна на задачата.

N1ℓ1ES1

+ α ∆T ℓ1 = −2

(N2ℓ2ES2

+ α ∆T ℓ2

);

N1 = −2S1

S2

ℓ2ℓ1

N2 −ES1

ℓ1α ∆T (2ℓ2 + ℓ1) ;

N1 = −23

5

1

2N2 −

200 · 109 · 3 · 10−4

212 · 10−6 · 20(2 · 1 + 2) ;

N1 = −0, 6N2 − 28 800 N .

б) Съвместно решаване на уравненията.

−1, 2N2 − 2 · 28 800 − F − N2 = 0 ;

N2 =−57 600 − 120 000

2, 2= −80 727 N = −80, 7 kN ;

N1 = −0, 6N2 − 28 800 = −0, 6 (−80 727) − 28 800 = 19 636 N = 19, 6 kN .

4) Напрежения в прътите след повишаване на температурата.

σx 1 =N1

S1=

−19 636

3 · 10−4= 65, 453 · 106 Pa = 65, 5 MPa ;

σx 2 =N2

S2=

80 727

5 · 10−4= −161, 45 · 106 Pa = −161 MPa ;

Напреженията в пръта 1 са се понижили, като σx 1 < [σ], но в пръта 2 те са нараст-нали по големина и са |σx 2| > [σ]. Якостното условие не е изпълнено, но с не по-вечеот 5%, което е грешката на методите в съпротивление на материалите, и все още сесчита за допустимо. Така, че може да се приеме, че прътите са работоспособни и притова натоварване.

35

DR

AFT


36

DR

AFT

Глава 3

Срязване и усукване

§ 3.1. Срязване

§ 3.1.1. Разрезни усилия

Ако натоварим един неподвижно закрепен прът с напречни на оста мусили (фиг. 3.1а), то в напречно сечение на пръта (фиг. 3.1б), по метода насечението ще се появят две разрезни усилия:

тангенциално разрезно усилие Qz — равнодействащата на вътреш-ните сили по ос z, напречна на оста на пръта x.

огъващ момент My — момента на вътрешните сили около оста y, на-пречна на оста на пръта x.

Фиг. 3.1. Натоварване с напречни сили

37

DR

AFT

Глава 3. Срязване и усукване

Ще се придържаме към тази координатна система, при която оста z е насо-чена надолу, а оста y срещу нас, при равнинно изобразяване на хоризонталнипръти. Координатната система при всички случаи трябва да е дясно ориенти-рана, като оста на пръта винаги съвпада с оста x. При най-общо натоварванев напречните сечения на пръта могат да се появят разрезни усилия и по дру-гите оси, като Qy и Mz. Разрезните усилия се приемат за положителни, аковекторите им са насочени за лява част по осите и за дясна част — обратно наосите.

От условието за равновесие на мислено разделените по метода на сечени-ето части на пръта следва и едно алтернативно определение за разрезнитеусилия. Големината на тангенциалното разрезно усилие Qz в едно напречно

сечение на пръта е равна на абсолютната стойност на алгебричната сума

от проекциите на всички сили по оста z, които действат върху едната

от двете части на пръта, на които той е разделен от напречното сечение.

Големината на огъващия момент My в едно напречно сечение на пръта е рав-

на на абсолютната стойност на алгебричната сума от моментите спрямо

оста y на всички сили, които действат върху едната от двете части на

пръта, на които той е разделен от напречното сечение.

Ако напречните сили имат много малки рамена спрямо напречното сече-ние, което разглеждаме, то огъващият момент е много малък и можем да ви-дим само ефекта от разрезното усилие Qz. Натоварване, при което напречнитена оста на пръта сили създават тангенциално разрезно усилие, но огъващиятмомент е пренебрежимо малък, наричаме срязване. Най-често срязването сереализира от прилагането на две взаимно противоположни и равни по големи-на напречни сили, действащи много близо една до друга върху пръта. Такивапримери са ножиците, гилотината и щанците. Срязване може да възникне взаваръчните, болтовите, нитовите и щифтовите съединения.

§ 3.1.2. Деформации и напрежения при срязване

На фиг. 3.2а е даден къс прът с нанесена ортогонална мрежа по външнатаму повърхност. При прилагане на напречна сила в свободния край на прътатой се деформира, както е показано на фиг. 3.2б. Ако материалът на прътае много еластичен, например каучук, то показаният начин на деформиранеможе да се наблюдава с просто око. Всички напречни прави линии оставатправи след деформирането и на еднакво разстояние едни от други. Те непроменят наклона си, докато надлъжните линии остават прави и на равниразстояния, но се наклоняват под един и същ ъгъл γ. Така първоначалноперпендикулярните надлъжни и напречни линии стават коси, като ъгълът γе ъгълът, с който се променя правият ъгъл между тях — едни от ъглите сеувеличават (стават тъпи), други намаляват (стават остри).

38

DR

AFT

3.1. Срязване

Фиг. 3.2. Деформиране при срязване

Ъглова деформация — техническа мярка за деформацията на телата (дис-торсията), която представлява ъгъла на изменение на правия ъгъл меж-ду две взаимно перпендикулярни направления, прекарани в дадена точ-ка от тялото.

Ъгловата деформация е безразмерна величина и като мярка на ъгъл се опре-деля в радиани (rad).

Да разгледаме едно елементарно квадратче от мрежата на късия прът под-ложен на срязване. След деформирането му неговите страни не се изменят подължина и остават успоредни (фиг. 3.3). Само правите ъгли на квадрата сеизменят и той се превръща в ромб. Такова деформиране е възможно само акопо площадките (сеченията), очертаващи страните на квадрата действат тан-генциални напрежения. Опитно е установено, че тангенциалните напреженияτ са пропорционални на ъгловите деформации γ:

закон на Хук при чисто плъзгане

τ = G γ , (3.1)

където G е модул на еластичност на ъгловите деформации (модул наеластичност от втори род). Основната мерна единица в система SI е Pa,но по-подходяща за повечето материали е GPa (109 Pa). Модулът на ела-стичност на ъгловите деформации G е свързан с модула на еластичностна линейните деформации E и с коефициента на Поасон µ със следнатазависимост:

G =E

2 (1 + µ), (3.2)

чието доказателство ще пропуснем.

39

DR

AFT


Фиг. 3.3. Деформи-ране на елементарноквадратче

Ъгловите деформации на всички квадратчета ведно напречно сечение са еднакви, следователно тан-генциалните напрежения в напречно сечение са рав-номерно разпределени по сечението (фиг. 3.4). Оттова разпределение следва, че тангенциалните на-прежения τxz могат да се получат по елементаренначин от тангенциалното разрезно усилие Qz:

τxz =Qz

S, (3.3)

където S е лицето на напречното сечение.

Фиг. 3.4. Разпределение на на-преженията при срязване

За означаването на тангенциалните напрежения използваме два индекса:първия на нормалата на площадката, в която те действат, втория на направ-лението, по което действат. Същите са индексните означения на съответни-те ъглови деформации, но те имат смисъл на взаимно перпендикулярнитенаправления, изменението на правия ъгъл, между които представлява тазиъглова дформация.

§ 3.1.3. Якостни изчисления на болтови, нитови и щифтови съе-

динения

На фиг. 3.5а е изобразено нитово съединение между два плоски пръта, под-ложени на опън. Взаимодействието между отделните части на съединениетостава по-ясно, ако се разгледа разреза, показан на фиг. 3.5б.

На мястото на нита може да имаме болт или щифт и това не променянещата. Стеблото на нита е подложено на силовото въздействие на планките(прътите), всяка от които се притиска със сила F по контактната си повърх-нина с нита — полуцилиндрична околна повърхнина (фиг. 3.5в).

В резултат от действието на близко приложените сили F , в нита се по-явява стремеж за срязване по едно от напречните му сечения (фиг. 3.5г).Тангенциалните напрежения от срязване в застрашеното сечение са

τср =Q

Sнит

=Fπd2

4

.

40

DR

AFT


Фиг. 3.5. Нитово съединение

Якостното условие за срязване е

τср ≤ [τ ]ср , (3.4)

където допустимото тангенциално напрежение на срязване [τ ]ср се определятили в резултат на специални изпитвания на срязване или от практическисъображения се приема:

[τ ]ср ≈{

0, 6 [σ] за пластични материали0, 8 [σ]оп за крехки материали

.

По контактната повърхнина между нита и планките може да настъписмачкване на материала, което се изразява в повърхнинно пластично теченена материала навън от отвора и увеличаване на хлабавините в съединението.Сложно разпределеното контактно налягане p съвсем хипотетично се пред-ставя като равномерно разпределено по надлъжно диаметрално сечение отнита напрежение на смачкване σсм (фиг. 3.5д). В такъв случай условното на-прежение на смачкване може да се определи като:

σсм =Q

Sсм

. (3.5)

В нашия случай имаме

σсм =F

d h.

Якостното условие за смачкване можем да напишем по подобен начин

σсм ≤ [σ]см , (3.6)

41

DR

AFT



където за допустимото напрежение на смачкване [σ]см се приема

[σ]см = (2 ÷ 2, 5) [σ]нат .

По подобен начин се изчисляват на якост болтови и нитови съединения.При по-сложни съединения, с повече на брой нитове, болтове или щифто-ве или повече на брой планки, трябва да се внимава в разпределението нанатоварването между отделните елементи както и кои и колко на брой сасеченията, подложени на срязване.

Пример 3.1. Да се оразмери показаното болтово съединение, подложено наопън със сила F = 80 kN, ако елементите му са от стомана със [σ]оп = 160 MPa,[τ ]ср = 120 MPa и [σ]см = 320 MPa.

Решение:1) Оразмеряване на болтовете от условието за срязване

На срязване със сила F са подложени по две напречнисечения от всеки болт

Sср = 2πd2

42 = πd2

Якостното условие за срязване е

τср =Q

Sср=

F

πd2≤ [τ ]ср

42

DR

AFT


Тогава за диаметъра на болта се получава

d ≥√

F

π[τ ]ср=

√80 · 103

π120= 14, 57 mm

За номинален диаметър на болтовете приемаме d = 16 mm.Определяне на дебелината на планките (прътите) от условието за смач-

кванеНа смачкване със сила F е подложена контактната повърхнина между двата

болта и средната планка с дебелина δ, която се намира в отворите. Ефективнатаплощ на тази повърхност е

Sсм = d δ · 2Якостно условие

σсм =Q

Sсм=

F

2d δ≤ [σ]см

За дебелината се получава

δ ≥ F

2d[σ]см=

80 · 103

2 · 16 · 320= 7, 812 mm

Друга такава повърхнина се образува между тънките странични планки с дебелинаδ/2 и болтовете, но силата F е разпределена между двете планки, така че се получавасъщото якостно условие. Така окончателно приемаме δ = 8 mm.

3) Определяне на ширината a от якостното условие за опън

Всеки от прътите е подложен на опън, като прътът с дебелина δ е подложенна опън със сила F , докато тези с дебелина δ/2 със сила F/2. Достатъчно е даразгледаме един от тях. За междинния прът застрашено е отслабеното от дватаотвора напречно сечение с лице

Sотсл = (a − 2d)δ

Якостно условие:

σx =Nx

Sотсл=

F

(a − 2d)δ≤ [σ]оп

43

DR

AFT


За размера a се получава

a ≥ F

δ[σ]оп+ 2d =

80 · 103

8 · 160+ 2 · 16 = 94, 5 mm

Окончателно приемаме a = 95 mm.4) Определяне на размера b от условието за срязване на планките зад

отворите (изпрошване).При натиска си върху отворите на планката болтовете се опитват да изтласкат

материала зад тях извън планката, т.е. да срежат планката зад отворите. Зад всекиотвор могат да се образуват по два среза с дължина между b и b−d/2. За по-сигурноще приемем, че дължината на среза е b − d/2, т.е. по-малката дължина.

Sизпр = 2

(b − d

2

)δ · 2 = (4b − 2d)δ

Якостно условие:

τср =F

(4b − 2d)δ≤ [τ ]ср

За размера b се получава

b ≥(

F

δ[τ ]ср+ 2d

)1

4=

(80 · 103

8 · 120+ 2 · 16

)1

4= 28, 83 mm

Може да се приеме b = 30 mm.

§ 3.2. Усукване на пръти с кръгово напречно сечение

§ 3.2.1. Разрезни усилия

Усукването на пръти е най-типично за въртящите се части на машините.Въртящи се части — пръти, които предават въртящ момент се наричат ва-лове. Трансмисионните валове предават както въртеливо движение с ъгловаскорост ω, така и въртящ момент M , или най-общо казано, те предават мощ-ност P = Mω. Ако скоростта на въртене на вала е зададена като честота навъртене n в обороти за минута, т.е. tr/min или просто min−1, то за ъгловатаскорост ω в основни единици на система SI — радиани за секунда (rad/s) сеполучава

ω =π n

30. (3.7)

Тогава за въртящия момент, предаван от вала, имаме

M =P

ω. (3.8)

44

DR

AFT

3.2. Усукване на пръти с кръгово напречно сечение

Фиг. 3.7. Разрезни усилия при усукване

Разглеждайки вал с постоянна скорост на въртене, той е в равновесие иможе да се представи като прът, натоварен в краищата си с два осови момента,равни по големина на въртящия момент M (фиг. 3.7а). Въртящите моментиM създават стремеж за усукване на вала, т.е. завъртане на крайните сече-ния едно спрямо друго около оста на пръта. Ако разрежем мислено вала пометода на сечението, то вътрешните сили, които действат в напречното сече-ние, трябва да създават уравновесяващ момент Mx за да има равновесие намислено отделената част от вала (фиг. 3.7б).

Усукващ момент Mx — главният момент спрямо оста x на вътрешнитесили, действащи в напречното сечение на пръта.

Прието е усукващият момент да се счита за положителен, когато векторътму е насочен по външната (положителна) нормала на напречното сечение. Отравновесието на вала следва алтернативно определение за усукващия момент.Големината на усукващия момент Mx в едно напречно сечение на пръта

е равна на абсолютната стойност на алгебричната сума от моментите

спрямо оста на пръта x на всички сили, които действат върху едната от

двете части на пръта, на които той е разделен от напречното сечение.

§ 3.2.2. Деформации и напрежения при усукване на пръти с

кръгово напречно сечение

За да наблюдаваме деформациите в прав прът с кръгово напречно сечение,подложен на усукване, можем да нанесем с боя ортогонална мрежа по външ-ната повърхност на каучуков прът (фиг. 3.8а). В крайните напречни сечения,мрежата представлява система от радиални линии и концентрични окръжно-сти. След усукването на пръта под действието на усукващ момент M мрежатасе деформира, като образувателните линии от цилиндричната повърхност сенаклоняват на един и същи ъгъл, образувайки система от успоредни винтови

45

DR

AFT


линии (фиг. 3.8б). В напречните сечения мрежата не се деформира и те сезавъртат като корави дискове едно спрямо друго.

Фиг. 3.8. Деформиране на прът при усукване

Фиг. 3.9. Ъглова деформация приусукване

Да отделим мислено един диск отусукания прът с кръгово напречно се-чение с дебелина dx и да го обстър-жем до радиус ρ (фиг. 3.9). Прави-ят ъгъл, образуван между образува-телната линия по цилиндричната по-върхност и окръжността от напреч-ното сечение, се изменя след дефор-мирането с ъгъл γ — ъглова дефор-мация. Дъгата

⌢a може да се изрази

чрез тази ъглова деформация:

⌢a= γ dx .

От друга страна същата дъга⌢a може

да се изрази чрез елементарния ъгълdϕ, на който се завъртат двете „съсед-ни“ напречни сечения, и чрез радиуса

ρ:⌢a= ρ dϕ .

От тук следва, че ъгловата деформация е пропорционална на радиуса:

γ = ρdϕ

dx

с коефициент на пропорционалност, наречен относителен ъгъл на усукване.

Относителен ъгъл на усукване θ — мярка за интензитета на усукването:

θ =dϕ

dx. (3.9)

46

DR

AFT


Фиг. 3.10. Разпределение на тангенциалните напрежения в кръгови сеченияпри усукване

Окончателно за ъгловата деформация при усукване се получава линейнатазависимост

γ = ρ θ . (3.10)

От закона на Хук при чисто плъзгане τ = γ G и последната зависимост сеполучава линейна зависимост и за тангенциалните напрежения при усукване

τ = ρ θ G . (3.11)

Тази зависимост определя диаграмата на разпределение на тангенциалнитенапрежения от усукване в плътни кръгови напречни сечения (фиг. 3.10а) итръбни кръгови напречни сечения (фиг. 3.10б). Ако в тези напречни сеченияс лице S, отделим елементарна площ dS около точка на радиус ρ от центъ-ра C на сечението, в която действа напрежение τ , то елементарната сила,действаща там е τ dS, която има елементарен момент ρ τ dS спрямо центърана сечението. Интегрирайки елементарните моменти по лицето на сечението,трябва да получим момента на вътрешните сили, т.е. разрезното усилие Mx

Mx =

∫

Sρ τ dS = θ G

∫

Sρ2dS .

Последният интеграл се нарича полярен инерционен момент на сечението.

Полярен инерционен момент IC — геометрична характеристика на сече-нието:

IC =

∫

Sρ2dS . (3.12)

с основна мерна единица в система SI — m4 и подходяща мерна единицаза повечето случаи — cm4.

47

DR

AFT


Така за относителния ъгъл на усукване получаваме

θ =Mx

G IC, (3.13)

където израза GIC наричаме коравина на пръта при усукване.

Като заместим (3.13) в (3.11) и съкратим на G, за тангенциалните напре-жения се получава:

τ =Mx

ICρ . (3.14)

Максималните тангенциални напрежения се появяват в периферните точки отнапречното сечение, които са на максимален радиус ρ = r — външния радиусна сечението

max τус =|Mx|IC

r =|Mx|

IC

r

=|Mx|WC

,

където WC е геометрична характеристика.

Полярен съпротивителен момент WC — геометрична характеристика насечението

WC =2IC

d, (3.15)

където d е външният диаметър на сечението. Основна мерна единица всистема SI е m3, а подходяща в повечето случаи е cm3.

Така окончателно, максималните тангенциални напрежения от усукване напръти с кръгови напречни сечения се определят по формулата:

max τус =|Mx|WC

. (3.16)

Геометричните характеристики могат лесно да се изчислят за кръговитесечения от самата им дефиниция. Резултатите от интегрирането могат да севидят в табл. 3.1.

От дефиницията за относителен ъгъл на усукване (3.9) следва, че

dϕ = θ dx .

Замествайки θ с (3.13), се получава

dϕ =Mx

GICdx .

48

DR

AFT


Табл. 3.1. Геометрични характеристики при усукване на кръгови напречни се-чения

Сечение IC WC Размери

плътно πd4

32πd3

16

тръбно πD4

32

[1 −

(dD

)4]

πD3

16

[1 −

(dD

)4]

Ъгълът ϕℓ, на който се завъртат две напречни сечения, отстоящи на разстоя-ние ℓ едно от друго, при усукване на прав прът се получава след интегриранена последно равенство:

ϕℓ =

∫

ℓ

Mx

GICdx . (3.17)

Най-често прътите подложени на усукване (валовете) имат усукващ моментMx = const и коравина GIC = const по дължината си или поне могат дасе разделят на такива участъци. Тогава интегрирането на (3.17) води до по-проста и приложна формула за определяне на ъгъла на усукване

ϕℓ =Mxℓ

GIC. (3.18)

Пример 3.2. Да се оразмери показаният вал, предаващ мощност P = 30 kWпри честота на въртене n = 286, 5 min−1, ако допустимото напрежение е [τ ] = 80MPa и допустимия относителен ъгъл на усукване е [θ] = 0, 6◦/m при модул наеластичност на ъгловите деформации за материала G = 80 GPa. Да се начертаедиаграмата на действителните напрежения в застрашеното сечение на вала притака определените му размери.

Решение:Ъгловата скорост на вала се определя от честота му на въртене

ω =πn

30=

π286, 5

30= 30 rad/s .

Въртящият момент предаван от вала е

M =P

ω=

30 000

30= 1 000 N.m .

Валът е подложен на чисто усукване, тъй като, ако мислено го разрежем, в на-пречното сечение на разрязването различно от нула е само разрезното усилие усук-

49

DR

AFT



ващ момент Mx. От условието за равновесие на отрязаната лява част от вала имаме:∑

i

Mx i = 0 : Mx + M = 0 =⇒ Mx = −M .

Оразмеряването на вала според якостнотоусловие за усукване

max τус =|Mx|WC

=|Mx|πd3

16

=16|Mx|

πd3≤ [τ ]

d ≥ 3

√16|Mx|π[τ ]

=3

√16 · 1 000

π · 106= 39, 9 · 10−3 m

Окончателно избираме d = 40 mm.Оразмеряване на вала според условието за до-

статъчна коравина

|θ| =|Mx|GIC

=|Mx|Gπd4

32

=32|Mx|π Gd4

≤ [θ]

[θ] = 0, 6◦/m =0, 6π

180= 0, 01047 rad/m

d ≥ 4

√32|Mx|π G [θ]

= 4

√32 · 1000

π 80 · 109, 0, 01047= 59, 05 · 10−3 m

Условието за достатъчна коравина е по-строго от-колкото якостното условие и окончателно приемамеd = 60 mm.

При така избрания размер максималните напре-жения от усукването в напречните сечения на валаса

max τус =|Mx|WC

=|Mx|πd3

16

=16|Mx|

πd3

50

DR

AFT


max τус =16 · 1 000

π0, 063= 23, 6 · 106 Pa = 23, 6 MPa

и диаграмата на действителните тангенциални напрежения от усукването е както еспоред чертежа.

Максималните тангенциални напрежения се оказват 3,4 пъти по-малки от допу-стимите.

Пример 3.3. Да се определят максималните тангенциални напрежения и ъгълътна завъртане на сечение A от показания усукан прът с кръгово напречно сечениес диаметър d = 50 mm, ако модулът на еластичност на ъгловите деформации заматериала е G = 80 GPa.


Решение:1) Определяне на разрезните усилия

Участък AB

∑

i

Mx i = 0 : −1 + Mx = 0

Mx = 1 kN.m

Участък BC

∑

i

Mx i = 0 : −1+1, 5+Mx = 0

Mx = −0, 5 kN.m

Построяваме диаграмата на из-менение на усукващия моментпо дължината на вала.

2) Напрежения в застра-шените сечения

Застрашени са напречнитесечения от участъка AB с максималния усукващ момент от Mx = 1 kN.m. Тамсе получават и най-големите тангенциални напрежения от усукването.

max τус =|Mx|WC

51

DR

AFT


WC =πd3

16=

π0, 053

16= 24, 5 · 10−6 m3

max τус =1000

24, 5 · 10−6= 40, 75 · 106 Pa = 41 MPa

3) Завъртане на сечение A

ϕAC = ϕAB + ϕBC =Mx ABℓAB

GIC

+Mx BCℓBC

GIC

=ℓ

GIC

(Mx AB + Mx BC)

ϕAC =32ℓ

Gπd4(Mx AB + Mx BC) =

32 · 180 · 109π0.054

(1000 − 500) = 0, 0102 rad

ϕAC = 0, 0102180◦

π= 0, 5836◦ = 0◦35′

§ 3.2.3. Напрежения в наклонена площадка при усукване

Да разгледаме равновесието на малък сегмент с дължина dx от пръстенс дебелина dρ от прът с кръгово напречно сечение, подложен на усукване(фиг. 3.13а). По тънките стени се появяват тангенциалните напрежения τ .Погледнат в план, този сегмент от пръстен изглежда като правоъгълник (фиг.3.13б). От него е отрязан триъгълникът ABC, чиято страна BC има нормалаn под ъгъл α спрямо оста на пръта x. От правоъгълния △ABC с ∡α привърха си C имаме:

AC = CB cos α , AB = CB sinα . (3.19)

Фиг. 3.13. Напрежения в наклонена площадка при усукване

52

DR

AFT


Проекционните условия на равновесие по нормалата n и по тангентата t

∑

i

Fn i = 0 ,

∑

i

Ft i = 0 .

са съответно:

σn CB dρ + τ AC dρ sin α + τ AB dρ cos α = 0

τn CB dρ − τ AC dρ cos α + τ AB dρ sinα = 0

}(3.20)

След заместване на (3.19) в (3.20) и деление на равенствата на CB dρ, сеполучава:

σn = −2τ sinα cos α

τn = τ (cos2 α − sin2 α)

}.

След преминаваме към тригонометрични функции от двойни ъгли, за функ-циите на напреженията в наклонена под ъгъл α площадка се получава:

σn = −τ sin 2α

τn = τ cos 2α

}. (3.21)

Фиг. 3.14. Изменение на напрежения в наклонена площадка

Диаграмите на функциите (3.21), по които се изменят напреженията в на-клонена площадка при усукване, са дадени на фиг. 3.14а. Разглеждайки изме-нението на напреженията, могат да се направят следните изводи за тяхнатаголемина:

53

DR

AFT


• Максималните тангенциални напрежения са в площадките от изходнотонапрегнато състояние (фиг. 3.14б);

• Максималните по големина нормални напрежения действат в площад-ките под ъгъл ±45◦, като едните са най-големите опънови, а другите —най-големите натискови нормални напрежения, но и двете напреженияимат големина равна на τ (фиг. 3.14в).

§ 3.3. Усукване на пръти с некръгово напречно сече-ние

Усукването на пръти с некръгово напречно сечение е по-сложно и изводитеза разпределението на деформациите и напреженията в напречните сечениямогат да се направят въз основа на по-високи познания по висша математикаи механика на деформируемото тяло. Тук ще се ограничим в използванетонаготово на резултатите от изследванията на този проблем в теория на ела-стичността за три вида сечения: плътно правоъгълно, затворено тънкостеннои отворено тънкостенно. На фиг. 3.15 са дадени диаграмите на разпределениена тангенциалните напрежения за тези напречни сечения.

Фиг. 3.15. Разпределение на тангенциалните напрежения от усукване в некръ-гови напречни сечения: а) плътно правоъгълно, б) затворено тънкостенно, в)отворено тънкостенно.

При плътното правоъгълно сечение, тангенциалните напрежения са раз-положени ветрилообразно около центъра, като най-големите са в средата надългата страна на правоъгълника. При затворените тънкостенни сечения, на-преженията са равномерно разпределени по всяка линия, перпендикулярнана средната линия на стената. За тези сечения, произведението на напреже-нията τ и дебелината на стената t е постоянна величина по дължината на

54

DR

AFT

3.3. Усукване на пръти с некръгово напречно сечение

средната линия, т.е. τ t = const. От тук следва, че максималните тангенциал-ни напрежения от усукване на затворени тънкостенни профили се получаватв най-тънкото място от стената на профила. При отворените тънкостеннипрофили напреженията са разпределени по линеен закон по линия перпенди-кулярна на средната линия на стената на профила, като са нула в точкитеот средната линия и нарастват с един и същи темп с отдалечаването им отнея. Следователно, максималните тангенциални напрежения от усукване наотворени тънкостенни профили се намират в крайните точки от сечението нанай-дебелото място от стената.

Подобно на кръговите напречни сечения, тук също могат да се ползватформулата за относителния ъгъл на усукване

θ =Mx

GIT(3.22)

и формулата за максималните тангенциални напрежения от усукване

max τус =|Mx|WT

. (3.23)

Тук IT е инерционен момент при усукване, а WT — съпротивителен момент насечението срещу усукване, като и двете характеристики са псевдо-геометричнихарактеристики на сечението. Формулите за тяхното изчисляване се дават всправочните таблици по съпротивление на материалите. За плътното правоъ-гълно сечение се дават в табличен вид коефициенти, които зависят от съот-ношението на страните на правоъгълника. Средната линия на стената играеважна роля при определянето на геометричните характеристики за тънко-стенните сечения.

За участък от пръта с постоянен относителен ъгъл на усукване θ = const,може лесно да се определи ъгълът на усукване ϕℓ на крайните сечения, коитосе намират на разстояние ℓ по формулата:

ϕℓ =Mxℓ

GIT, (3.24)

която следва от определението за относителен ъгъл на усукване (3.9) и (3.22).

Пример 3.4. Определете максималното напрежение от усукването на прът сдаденото затворено тънкостенно напречно сечение при усукващ момент Mx = 1, 5kN.m. Определете относителният ъгъл на усукване на пръта при G = 80 GPa.Какви ще са максималните тангенциални напрежения и относителният ъгъл наусукване, ако профилът се превърнал в тънкостенен отворен поради появила сепукнатина в стената му?

Решение:1) Затворено тънкостенно сечение

55

DR

AFT



WT = 2Aδmin = 2(7 · 3, 5)0, 5 = 24, 5 cm3

max |τ |ус =|Mx|WT

=1500

24, 5 · 10−6= 61, 2 · 106 Pa = 61 MPa

IT =4A2

∑i

Li

δi

=4(7 · 3, 5)2

2 70,5 + 2 3,5

1

= 68, 6 cm4

θ =|Mx|GIT

=1500

80 · 109 · 68, 6 · 10−8

= 0, 0273 rad/m (×180◦

π= 1, 6◦/m)

2) Отворено тънкостенно сечение

IT =1

3

∑

i

δ3i Li =

1

32(0, 53 · 7 + 13 · 3, 5) = 2, 917 cm4

WT =IT

δmax=

2, 917

1= 2, 917 cm3

max |τ |ус =|Mx|WT

=1500

2, 917 · 10−6

= 514, 3 · 106 Pa = 514 MPa

θ =|Mx|GIT

=1500

80 · 109 · 2, 917 · 10−8

= 0, 643 rad/m (×180◦

π= 36, 8◦/m)

Както напреженията така и относителният ъгъл на усукване са неимоверно висо-ки и неприемливи за повечето конструктивни материали. Това показва колко опасное спукването на затворено тънкостенно сечение и колко по-ниска носеща способностима отвореното тънкостенно сечение в сравнение със затвореното.

56

DR

AFT

Глава 4

Огъване

§ 4.1. Разрезни усилия

В предходната глава, при разглеждане на срязването, беше изяснено, чепод действие на напречните сили, в прътите се появяват две разрезни усилия— тангенциалното разрезно усилие и огъващият момент (при равнинно нато-варване съответно Qz и My). Когато под действието на външното натоварванев пръта се появява разрезното усилие „огъващ момент“, натоварването нари-чаме огъване.

Наличието на тангенциално разрезно усилие при огъването не е задължи-телно. Можем да осъществим чисто огъване, като натоварим пръта със съсре-доточени равнинни моменти, като е показано на фиг. 4.1а. За да изучаваменатоварването „огъване“ в чист вид, ще разглеждаме точно такова натовар-ване, но трябва да имаме предвид, че наличието на тангенциално разрезноусилие не променя съществено деформирането на прътите и преместванията,които те получават. На фиг. 4.1б са дадени положителните огъващи моментисъответно за лява и за дясна част от пръта.

Прътите, които работят на огъване е прието да се наричат греди.

§ 4.2. Деформации и напрежения при чисто огъванена греди със симетрични напречни сечения

Да изследваме деформирането на прът при огъване по вече познатия ниначин, като върху каучуков прът нанесем с боя ортогонална мрежа от линии(фиг. 4.2а). Прътът се огъва под действието на два взаимно противоположнимомента, приложени в двата му края и действащи в равнината на симетрияна напречните му сечения (фиг. 4.2б).

След деформирането напречните линии остават прави. Надлъжните линиистават дъги от окръжност, които са перпендикулярни на напречните линии.

57

DR

AFT

Глава 4. Огъване

Фиг. 4.1. Разрезни усилия при огъване

Фиг. 4.2. Деформиране на прът подложен на огъване

Някои от дъгите са по-дълги от другите и от първоначалната дължина нахоризонталните линии преди деформирането, а други — по-къси от първона-чалната си дължина. Ако приемем, че прътът се състои от сноп успоредни наоста му влакна, то долните му влакна са опънати и са се удължили, горнитеса натиснати и са се скъсили, а по средата има един слой от влакна, нареченнеутрален където влакната са запазили дължината си като само са се извиливъв формата на дъга.

Геометрията на деформирането при огъване можем да определим каторазгледаме една елементарна дължина от пръта dx отрязана от две „съседни“напречни сечения (фиг. 4.3а). След деформирането под действието на външ-ните сили, в напречните сечения възниква разрезното усилие огъващ моментMy. Неутралният слой има формата на дъга от окръжност с радиус ρ, центърO и централен ъгъл dθ в равнината на огъване xz, която е и равнината насиметрия на напречните сечения на пръта (фиг. 4.3б). Дъгата на неутралнияслой е запазила първоначалната си дължина dx. Дъгата на разстояние ζ отнеутралния слой се е удължила и има дължина dx′. Полученото удължениена тази дъга се вижда под същия ъгъл dθ (като ъгли с успоредни рамена)и радиус ζ. Линейната деформация εx, получена от слоя на разстояние ζ от

58

DR

AFT

4.2. Деформации и напрежения при чисто огъване на греди със симетричнинапречни сечения

неутралния слой, може да се изрази така:

εx =dx′ − dx

dx=

z dθ

ρ dθ.

Следователно линейните деформации при огъване са разпределени линейноспрямо неутралната линия, която представлява пресечницата на повърхнина-та на неутралния слой и равнината на напречното сечение,

εx = κ ζ , (4.1)

където κ е кривината на огънатия прът, т.е. κ = 1/ρ.

Фиг. 4.3. Определяне на деформациите при огъване

Съгласно закона на Хук при чист опън σx = E εx и при чисто огъванеполучаваме:

σx = κE ζ . (4.2)

Това означава, че при чисто огъване в напречните сечения възникват са-мо нормални напрежения, които са разпределени по линеен закон спрямонеутралната линия n−n, която разделя напречното сечение на две зони — опъ-нова и натискова, както е показано на фиг. 4.4а. Разположението на неутрал-ната линия n − n в напречното сечение и кривината на огънатия прът κ сеопределят от разрезните усилия в пръта, появили се в резултат на действиетона външните сили.

Да намерим равнодействащата на вътрешните сили, като ги интегрира-ме по лицето на напречното сечение. За целта мислено отделяме елементарнаплощ dS около точка на разстояние ζ от неутралната линия n−n в напречното

59

DR

AFT


Фиг. 4.4. Напрежения в напречните сечения на прът подложен на чисто огъване

сечение с лице S, където действа нормалното напрежение σx, както е пока-зано на фиг. 4.4б. Равнодействащата на вътрешните сили би представляваланормалното разрезно усилие Nx, което е равно на нула при чисто огъване,т.е.:

Nx =

∫

Sσx dS = κE

∫

Sζ dS

︸︷︷︸Sn

= κESn = 0 .

Това равенство може да бъде изпълнено само ако неутралната линия е раз-положена така, че Sn = 0.

Статичен момент на сечението Sn — геометрична характеристика на се-чението спрямо ос n − n:

Sn =

∫

Sζ dS (4.3)

с основна мерна единица в система SI — m3 и подходяща мерна единицав повечето случаи — cm3.

Статичният момент на една фигура се нулира само за централна ос,

т.е. ос, минаваща през центъра на фигурата, и обратно — центърът на една

фигура лежи на ос, спрямо която величината статичен момент се нулира.

От тук следва, че неутралната линия при чисто огъване на симетрично се-

чение минава винаги през центъра на сечението и е перпендикулярна на оста

на симетрия z, следователно тя съвпада с централната ос y на сечението.

Възползвайки се от факта, че координатата ζ съвпада с координатата z,да изразим момента на вътрешните сили — разрезното усилие My:

My =

∫

Sσx z dS = κE

∫

Sz2 dS

︸︷︷︸Iy

= κE Iy .

60

DR

AFT

4.2. Деформации и напрежения при чисто огъване на греди със симетричнинапречни сечения

Осов инерционен момент Iy — геометрична характеристика на сечениетоспрямо оста му y:

Iy =

∫

Sz2 dS (4.4)

с основна мерна единица в система SI — m4 и подходяща мерна единицаза повечето случаи cm4.

От последното изведено уравнение можем да изразим кривината κ:

κ =My

EIy, (4.5)

където изразът EIy се нарича коравина на пръта при огъване.Можем да заместим израза за κ (4.5) във формулата за нормалните на-

прежения (4.2). След съкращаване на E, се получава:

σx =My

Iyz . (4.6)

Най-често от якостна гледна точка ни интересуват максималните по големинанапрежения:

max |σx| =|My|Iy

max |z| =|My|Wy

.

Осов съпротивителен момент Wy — геометрична характеристика на се-чението спрямо оста му y:

Wy =Iy

max |z| (4.7)

с основна мерна единица в система SI — m3 и подходяща мерна единицаза повечето случаи — cm3.

Така максималните по големина нормални напрежения от огъване се получа-ват в най-отдалечените от неутралната линия точки на сечението и могат дасе определят по формулата:

max |σx| =|My|Wy

. (4.8)

Поради факта, че при огъване в напречните сечения се появяват опъновии натискови нормални напрежения, то и якостното условие е същото като приопън и натиск, т.е:

max |σx| ≤ [σ] .

За да можем да определяме напреженията от огъване в коя да е точка отнапречното сечение по формула (4.6) или максималните по големина напре-жения по формула (4.8) трябва да определим геометричните характеристикина сеченията осов инерционен момент и осов съпротивителен момент.

61

DR

AFT


§ 4.3. Геометрични характеристики на сеченията приогъване

§ 4.3.1. Правоъгълно и кръгово напречни сечения

Определянето на осовият инерционен момент Iy на едно сечение с правил-на форма става с подходящо интегриране по формула (4.4). Осовият съпро-тивителен момент Wy се определя лесно от осовия инерционен момент поформула (4.7) след като се определи разстоянието от центъра C на сечение-то до най-отдалечената по височината на сечението точка max |z|. За две отнай-често срещаните основни форми на напречните сечения, а именно пра-воъгълна и кръгова, са определени геометричните им характеристики в табл.4.1.

Табл. 4.1. Геометрични характеристики при огъване

Сечение Iy Wy Размери

правоъгълно bh3

12bh2

6

кръгово πd4

64πd3

32

Тук е прието огъването да е около ос y, а равнината на огъване да съвпа-да с равнината на симетрия на напречните сечения на гредата xz, където xе оста на пръта (гредата). Ако се разглежда огъване около ос z, при същотоозначение на размерите на правоъгълното напречно сечение, то геометрич-ните характеристики, които ще ни интересуват, ще означим Iz и Wz, а въвформулите за Iy и Wy трябва да се разменят означенията b и h за да ги опре-делим правилно. При кръговото напречно сечение, изборът на означение заосите няма никакво значение — геометричните характеристики спрямо всякацентрална ос са едни и същи.

§ 4.3.2. Теорема на Щайнер

Теоремата на Щайнер определя връзката между осовите инерционни мо-менти на едно сечение спрямо успоредни оси. Да разгледаме едно сечение с

62

DR

AFT

4.3. Геометрични характеристики на сеченията при огъване

лице S и център C (фиг. 4.5). Две взаимно перпендикулярни централни осина сечението са означени с y′ и z′. Трябва да се намери осовият инерционенмомент на сечението спрямо ос y, успоредна на централната му ос y′.

Фиг. 4.5. Осови инерцион-ни моменти спрямо успо-редни оси

Изхождаме направо от определението заосов инерционен момент (4.4). За целта си из-бираме една произволна точка от сечението скоординати z спрямо y и z′ спрямо y′ и опреде-ляме елементарна площ dS. Като имаме пред-вид, че координатата на центъра C спрямо y еозначена с zC , се получава:

Iy =

∫

Sz2 dS =

∫

S

(zC + z′

)2dS

=

∫

S

(z2C + 2zCz′ + z′2

)dS

= z2C

∫

SdS

︸︷︷︸S

+2zC

∫

Sz′ dS

︸︷︷︸Sy′

+

∫

Sz′2dS

︸︷︷︸Iy′

= z2CS + 2zCSy′ + Iy′

Понеже оста y′ е централна за сечението, то статичният му момент Sy′ е равенна нула, т.е. Sy′ = 0. Така окончателно достигаме до теоремата на Щайнер,определяща зависимостта между осовите инерционни моменти на сечениятаспрямо успоредни оси:

Iy = z2CS + Iy′ . (4.9)

Теоремата на Щайнер се използва широко при намирането на осовитеинерционни моменти на сложни съставни сечения, когато се налага те да серазбиват на няколко по-прости по форма фигури. Осовият инерционен моментна сечението спрямо централната му ос е сума от инерционните моменти насъставящите го фигури, като последните се определят по формулата на Щай-нер от собствените централни осови моменти на фигурите и разстоянието имдо централната ос на съставното сечение.

§ 4.3.3. Рационална форма на напречните сечения при огъване

Максималните нормални напрежения от огъване са ограничени от допу-стимите напрежения за материала, съгласно якостното условие. Максимал-ните напрежения се определят по формулата max |σx| = My/Wy. Колкото по-голям е осовия съпротивителен момент Wy на сечението, толкова по-голямможе да бъде огъващия момент My, с който е натоварена гредата, при даденодопустимо напрежение. Т.е., по-голяма е носещата способност на гредата.

63

DR

AFT


Фиг. 4.6. Сечения с рационална форма при огъване

Големината на осовия съпротивителен момент Wy е пропорционална навинаги положителния осов инерционен момент Iy на сечението. Той от своястрана е толкова по-голям, колкото сечението е разположено по-отдалеченоот оста на огъване (неутралната линия). Това може да се види от самотоопределение за осов инерционен момент (4.4). По ясно е може би от теорематана Щайнер (4.9). При едно и също лице на елементите на сечението S, таканаречената поправка на Щайнер — израза z2

CS, е пропорционална на квадратана разстоянието до оста zC . Така става ясно, че сечения с едно и също лице(разход на материал) могат да имат различна носеща способност при огъванеи рационални ще са тези сечения, при които материалът е разположен по-отдалечено от оста на огъване.

Рационално сечение при огъване е „двойно Т“-образното сечение (фиг.4.6а). Друго рационално сечение може да се постигне чрез сдвояването на два„П“-образни профила (фиг. 4.6б). От диаграмата на разпределение на напре-женията при огъване (фиг. 4.6в) също може да се разсъждава за рационал-ността на сечението при огъване. Близо до неутралната линия на сечението,където напреженията са много малки и даже нулеви, не трябва да има ма-териал, защото той не се използва рационално. Следователно материалът насечението трябва да е изтеглен към поясите на сечението и само тънко стеблода свързва симетричните пояси.

Пример 4.1. Да се определят максималните напрежения от огъване с огъващмомент My =66 kN.m в показаното на фиг. 4.7а напречно сечение.

Решение:Разделяме напречното сечение на два правоъгълника, както е показано на фиг.

4.7б.1) Център на сечението.Нека по горния ръб на сечението да минава ос η, а перпендикулярно на нея ос ζ.

Спрямо тези оси да определим къде по височина се намира центърът на сечението.По ширина на сечението, центърът се намира на оста на симетрия z. Координататана центъра определяме по формулата:

ζC =

∑i ζiSi∑i Si

. (4.10)

64

DR

AFT

4.3. Геометрични характеристики на сеченията при огъване


ζC =ζ1S1 + ζ2S2

S1 + S2=

25 · 10000 + 150 · 8000

10000 + 8000= 80, 56 mm .

2) Геометрични характеристики на сечението.За фигура (1):

I(1)y1

=b1h

31

12=

20 · 53

12= 208, 3 cm4 ;

I(1)y = I(1)

y1+ z2

C1S1 = 208, 3 + (8, 056 − 2, 5)220 · 5 = 3295, 2 cm4 .

За фигура (2):

I(2)y2

=b2h

32

12=

4 · 203

12= 2666, 7 cm4 ;

I(2)y = I(2)

y2+ z2

C2S2 = 2666, 7 + (15 − 8, 056)220 · 4 = 6524, 2 cm4 .

Осов инерционен момент за съставното напречно сечение:

Iy = I(1)y + I(2)

y = 3295, 2 + 6524, 2 = 9819, 4 cm4

Осов съпротивителен момент:

Wy =Iy

max |z| =9819, 4

16, 944= 579, 52 cm3 .

3) Напрежения в сечението.Максималните по големина напрежения при положителен огъващ момент в се-

чението се появяват по долния ръб на сечението (фиг. 4.7в):

max |σx| =|My|Wy

=66 · 103

579, 52 · 10−6= 113, 9 · 106 Pa = 113, 9 MPa .

Максималните по големина напрежения са опънови, а максималните натискови на-прежения се появяват по горния ръб на сечението:

max σx,нат =My

Iy

zmin =66 · 103

9819, 4 · 10−8(−8, 056 · 10−2) = 54, 15 · 106 Pa = 54, 15 MPa .

65

DR

AFT


§ 4.4. Зависимости при напречно огъване

Най-често огъването в прави греди е предизвикано от действието на на-пречни сили. В резултат на това, при равнинно натоварване в напречнитесечения на гредата се появяват, както тангенциалното разрезно усилие Qz,така и огъващия момент My. Между напречните сили, натоварващи греда-та и разрезните усилия очевидно има връзка. Такава зависимост трябва дасъществува и между двете разрезни усилия, предизвикани от действието наедни и същи напречни сили. Разкриването на тези зависимости може да нипомогне да построим по-лесно диаграмите на изменение на разрезните уси-лия и от там да определим застрашеното от якостна гледна точка сечение нагредата.

Фиг. 4.8. Напречно огъване на греда

Да разгледаме напречното огъване на гредата AG от фиг. 4.8а. В участъкаBC тя е натоварена с постоянен по интензитета си q разпределен товар. Даотрежем мислено едно безкрайно малко парче с дължина dx от гредата в тозиучастък и да разгледаме равновесието на силите (фиг. 4.8б). От равновесиена силите по оста z, имаме:

∑

i

Zi = 0 : −Qz + q dx + Qz + dQz = 0 .

От тук следва зависимостта:

dQz

dx= −q , (4.11)

66

DR

AFT

4.4. Зависимости при напречно огъване

т.е. темпа на нарастване на Qz по x е равен на q с обратен знак. Ако q =const, то Qz нараства с постоянен темп или диаграмата му има постояненнаклон, както това е показано на фиг. 4.8в за участъка BC. В останалитеучастъци на гредата AG няма разпределен товар, т.е. q = 0, поради което Qz

не се изменя в тези участъци, т.е. Qz = const.Да съставим моментово условие за равновесието на елемента от фиг. 4.8б

спрямо центъра на дясното напречно сечение:

∑

i

My i = 0 : My + dMy − My +

ր0

︷︸︸︷

q(dx)2

2−Qz dx = 0 .

Безкрайно малката величина dx повдигната на втора степен дава безкрайномалка величина от по-висок порядък, която е пренебрежимо малка в срав-нение с останалите величини в равенството и следователно израза q(dx)2/2може да се пренебрегне. Така стигаме до нова зависимост:

dMy

dx= Qz , (4.12)

т.е. темпа на нарастване на My по x е равен на алгебричната стойност

на Qz. Ако Qz = const, както това е във всички участъци на гредата AG сизключение на участъка BC, то My нараста с постоянен темп или диаграматаима постоянен наклон. При това, когато Qz > 0, My нараства по x, а приQz < 0 — My намалява по x.

В участъка BC, Qz е линейна функция от вида Qz = a x+b и от зависимо-стта (4.12) следва, че My е квадратична функция от вида My = c x2 + d x + e,чиято диаграма е квадратна парабола. Така от зависимостите (4.11) и (4.12),които наричаме най-общо диференциални зависимости при напречно огъване,следва, че в участък с равномерно разпределен товар, диаграмата на Qz е на-клонена линия, а тази на My е квадратна парабола. При това, там къдетоQz > 0, My нараства, а където Qz < 0 My — намалява. Ако Qz = 0, My

има локален екстремум, който е максимум, ако с нарастване на x, My от на-растваща става намаляваща функция, и е минимум, ако My от намаляващасе обръща в нарастваща функция.

Диференциалните зависимости дават само качествена връзка между диа-грамите и натоварването. Те могат да ни покажат само какъв е характерът надиаграмите, но не и техните стойности по границите на участъците. Чрез ин-тегриране на диференциалните зависимости можем обаче да получим такиваколичествени зависимости между натоварването и диаграмите.

Интегрирането на първата диференциална зависимост от точката с абцисаx1 до точката с абциса x2 ни дава:

dQz = −q dz ;

67

DR

AFT


∫ x2

x1

dQz = −∫ x2

x1

q dx .

Тъй като геометричната интерпретация на определения интеграл е площтана диаграмата на една функция, то можем да запишем зависимостта и така:

∆Qz = Sq , (4.13)

т.е. нарастването на Qz в един участък е равно на алгебричната стойност

на площта на q-диаграмата в същия участък, взета с обратен знак.Аналогично, интегрирането на втората диференциална зависимост ни да-

ва:dMy = Qz dx ;

∫ x2

x1

dMy =

∫ x2

x1

Qz dx .

Така стигаме до втората от интегралните зависимости при напречно огъване:

∆My = SQz , (4.14)

т.е. нарастването на My в един участък е равно на алгебричната стойност

на площта на Qz-диаграмата в същия участък.Друга особеност на диаграмите на разрезните усилия са скоковете, които

се получават в местата със съсредоточени товари. По метода на сечението,ако разрежем гредата безкрайно близо до приложната точка на съсредото-чен товар и разгледаме едната част от гредата, която не включва товара, тотой няма да участва в условията за равновесие на тази част. Ако, обаче раз-режем мислено гредата безкрайно близо до приложната точка на товара, ноот другата му страна и разгледаме същата част, то този товар се включва вусловията за равновесие и изменя скокообразно съответната диаграма. Така,напречните съсредоточени сили предизвикват в точката на прилагането

си скок в Qz-диаграмата, равен по големина на силата, а съсредоточените

огъващи моменти предизвикват в точката на прилагането си скок в My-

диаграмата, равен по големина на момента.По отношение на посоката на скоковете, можем да кажем, че съсредото-

чените сили се считат за положителни, ако са по оста z и положителнитесили предизвикват скок в отрицателна на Qz посока с нарастване на x. Заогъващия момент е по-трудно да се определи положителната и отрицателнапосока при равнинните задачи поради факта, че оста y е перпендикулярна наравнината на изобразяване на гредата. Затова тогава си служим с така наре-чената условна линия, която поставяме за равнинните греди и рамки откъмстраната на положителната посока на z. Ако с нарастване на x преминавамепрез съсредоточен огъващ момент, който опъва условната линия на гредатапри стремежа си да я огъне, считаме, че той е положителен и предизвиква

68

DR

AFT

4.4. Зависимости при напречно огъване

скок в отрицателна на My посока, т.е. към намаляването му по алгебричнастойност.

Така, с правилото за скоковете в диаграмите на разрезните усилия и с ди-ференциалните и интегрални зависимости, може да се построят диаграмите наразрезните усилия, без да се използва метода на сечението. Може да се счита,че всички диаграми започват от нула и завършват на нула, а всички скоковев тях се подчиняват на правилото на скоковете, като това включва също на-чалните и крайните им стойности. Разбира се по-сигурно е, ако диаграмитеса проверени, т.е. да речем, разрезните усилия са определени и диаграмитеим построени по метода на сечението, а после те са проверени по правилотоза скоковете, характера на изменението им с диференциалните зависимости,а стойностите по границите на участъците с интегралните зависимости.

Пример 4.2. Да се определят диаграмите на разрезните усилия Qz и My запоказаната греда.


Решение:

1) Опорни реакции.

∑

i

MC i = 0 : 50 · 4 + 20 · 2 − 20 · 10 · 5 + RD · 10 − 40 · 16 = 0 ;

RD =−200 − 40 + 1 000 + 640

10= 140 kN .

∑

i

Vi = 0 : RC = 50 + 20 + 20 · 10 + 40 − 140 = 170 kN .

2) Диаграми на разрезните усилия с помощта на зависимостите.

69

DR

AFT


3) Разрезни усилия по метода на сечението.

Участък AB

Qz = 50 kN

My = −50x =

{0 kN.m , x = 0 m

−100 kN.m , x = 2 m

Участък BC

Qz = −50 − 20 = −70 kN

My = −50x − 20(x − 2) = −70x + 40

=

{−100 kN.m , x = 2 m

−240 kN.m , x = 4 m

70

DR

AFT

4.5. Премествания при огъване

Участък CD

Qz = 170 − 50 − 20 − 20(x − 4) = 180 − 20x =

{100 kN , x = 4 m

−100 kN , x = 14 m

My = −50x − 20(x − 2) + 170(x − 4) − 20(x − 4)2

2

= −50x − 20x + 40 + 170x − 680 − 10x2 + 80x − 160

My = −10x2 + 180x − 800 =

{ −240 kN.m , x = 4 m

−240 kN.m , x = 14 m

dMy

dx= −20x + 180 = 0 =⇒ x = 9 m

d2My

dx2= −20 < 0 =⇒ maximum

My max = −810 + 1620 − 800 = 10 kN.m

Участък DE

Qz = 40 kN

My = −40(20 − x) = 40x − 800

=

{−240 kN.m , x = 14 m

0 kN.m , x = 20 m

§ 4.5. Премествания при огъване

§ 4.5.1. Еластична линия

Еластична линия — деформираната в резултат на огъването ос на пръта(гредата).

Еластичната линия лежи винаги в равнината на напречните линейни преме-ствания, които са винаги перпендикуляри на неутралния слой. В случая наравнинно натоварване в равнината на симетрия на греди със симетрични на-пречни сечения напречните премествания се явяват по оста z и се означаватс w. Еластичната линия е напълно определена с функцията на напречнитепремествания w(x), която наричаме още функция на еластичната линия.

71

DR

AFT


Фиг. 4.10. Еластична линия при огъване

Ъгълът на завъртане на напречните сечения θ е и ъгъл на наклона на до-пирателните, прекарани към еластичната линия (фиг. 4.10). При малки пре-мествания w(x),

w′(x) =dw

dx= tg θ ≈ θ(x) .

§ 4.5.2. Диференциално уравнение на еластичната линия

Доказано бе (виж (4.5)), че при огъване на греда, кривината на деформи-раната ос на гредата, т.е. кривината на еластичната линия, е

κ =1

ρ=

My

EIy.

От математиката е известно, че кривината на една равнинна линия описанас функцията w(x) (фиг. 4.11) е

κw(x) = − w′′

(1 + w′2)3/2.

Така стигаме до точното диференциално уравнение на еластичната линия:

w′′

(1 + w′2)3/2= − My

EIy. (4.15)

Точното диференциално уравнение доста трудно се интегрира и не се използвав инженерната практика за определяне на преместванията. При малки пре-мествания и по-точно при малки завъртания w′ ≪ 1. Тогава знаменателятна точното диференциално уравнение е приблизително равен на единица, т.е.(1+w′2)3/2 ≈ 1, и може да се формира приближено диференциално уравнениена еластичната линия:

w′′ = − My

EIy. (4.16)

Това уравнение може вече лесно да се интегрира за да се получат премества-нията w от огъването.

72

DR

AFT


Фиг. 4.11. Функция на еластичната линия и нейната кривина

Непосредствено интегрирайки диференциалното уравнение (4.16) при усло-вие, че коравината EIy = const, а само My(x) е функция на абсцисата x,получаваме функцията на ъгъла на завъртане на сеченията θ(x):

θ(x) ≡ w′ = − 1

EIy

∫My(x) dx + A . (4.17)

Тук A е интеграционна константа, която се определя от условията за закреп-ване и за гладкост на еластичната линия. След още едно непосредствено ин-тегриране, този път на (4.17), се получава функцията на еластичната линия:

w =

∫θ(x) dx + B , (4.18)

където B е интеграционна константа, която се определя от условията за за-крепване и за непрекъснатост на еластичната линия.

Пример 4.3. Да се определи максималното по големина преместване и завър-тане на сеченията за конзолната греда, натоварена със съсредоточена напречнасила при свободния си край.


Решение:1) Функция на огъващия момент

73

DR

AFT


∑

i

MA i = 0 : My = −F (ℓ − x) = F x − F ℓ .

2) Завъртане на сеченията

θ(x) = w′ = − 1

EIy

∫My(x) dx + A

θ(x) = − 1

EIy

∫(F x − F ℓ)dx + A

= − 1

EIy

(F

x2

2− F ℓ x

)+ A

Граничните условия от закрепването са θ(0) = 0 и w(0) = 0.

Използваме едното условие за да определим константата A:

θ(0) = A = 0 .

θ(x) = − 1

EIy

(F

x2

2− F ℓ x

)

θmax = θ(ℓ) = − 1

EIy

(F

ℓ2

2− F ℓ2

)=

F ℓ2

EIy

3) Еластична линия

w(x) =

∫θ(x) dx + B

w(x) = − 1

EIy

∫ (F

x2

2− F ℓ x

)dx + B

w(x) = − 1

EIy

(F

x3

6− F ℓ

x2

2

)+ B

От граничното условие w(0) = 0 определяме константата B:

w(0) = 0 + B = 0 =⇒ B = 0

74

DR

AFT


Окончателно за уравнението на еластичната линия получаваме:

w(x) = − 1

EIy

(F

x3

6− F ℓ

x2

2

)

wmax = w(ℓ) = − 1

EIy

(F

ℓ3

6− F

ℓ3

2

)

wmax =F ℓ3

3EIy

§ 4.5.3. Универсално уравнение на еластичната линия

Диференциалното уравнение на еластичната линия не е много удобно припо-сложно натоварване, определящо много участъци с различни функции наогъващия момент My. Тогава функцията на My за всеки участък трябва да сеинтегрира и за всеки участък ще се появят интеграционни константи, коитотрябва да се определят както от условията на закрепване, така и от услови-ята за гладкост и непрекъснатост на еластичната линия в границите междуучастъците. Това води до голям брой уравнения с голям брой неизвестни, чи-ето решаване не винаги е лесно да се направи последователно с изключванеи даже се налага едновременното им решаване с матрични методи.

Идеята да се създаде универсално уравнение на еластичната линия, коетода се интегрира така, че интеграционните константи да се определят единстве-но от условията за закрепване, се основава на единна координатна система заопределяне на функциите на огъващия момент My и условието коравинатана гредата да е постоянна по дължината и, т.е. EIy = const. Тогава за всекитовар във функцията на огъващия момент се появява нов член с преминава-нето на абсцисата през приложната точка на товара. Тези членове лесно сеинтегрират, а интеграционните константи, които се появяват се оказват равнии свързани с координатното начало, т.е. определени от граничните условия,които се определят от условията за закрепване. Да видим как става това.

Фиг. 4.13. Товари при универсалното уравнение на еластичната линия

75

DR

AFT


Да определим функциите на огъващия момент за петте участъка от гре-дата, показана на фиг. 4.13.

M Iy = 0

M IIy = 0 − M

M IIIy = 0 − M − F (x − b)

M IVy = 0 − M − F (x − b) − q

(x − c)2

2

MVy = 0 − M − F (x − b) − q

(x − c)2

2+ q

(x − d)2

2

За последния пети участък, вместо да се промени последният член, съот-ветстващ на равномерно разпределения товар в четвърти участък, се добавянов член, който съответства на начало на разпределения товар от четвъртиучастък, но с обратен знак, което неутрализира действието му. Така има самочлен съответстващ на начало на разпределен товар, а действието му се пре-кратява с обратен по знак разпределен товар, което довежда до включванетона нов член в уравнението, пак съответстващ на начало на разпределен товар.

Съществува функция на Маколей, изразена с ъглови скоби, наречени ско-би на Маколей, която се дефинира така:

〈x〉 =

{x, x > 0

0, x ≤ 0. (4.19)

Тази функция има следните свойства при диференциране и интегриране:

d〈x − a〉ndx

= n〈x − a〉n−1 ,

∫〈x − a〉ndx =

〈x − a〉n+1

n + 1, (4.20)

където n е цяло число по-голямо от 0, т.е. n > 0. При дефинирането на дей-ствие степенуване трябва да се има предвид, че когато повдигаме нула накоято и да е степен, то се получава нула, 0n = 0 за всяко n, а когато n = 0то x0 = 1 за всяко x 6= 0. Частният случай когато едновременно и основата истепенният показател са нула дава нула, т.е. 00 = 0.

С помощта на скобите на Маколей може да се запише функцията на огъва-щия момент My като една универсална функция, валидна за всички участъци,при ограниченията наложени по-горе за съставянето и, т.е. за всеки товар дасе добавя нов член. За посочената на фиг. 4.13 греда с примерни товари сеполучава функцията

My(x) = −M〈x − a〉0 − F 〈x − b〉1 − q〈x − c〉2

2+ q

〈x − d〉22

. (4.21)

76

DR

AFT


Ако разкрием скобите на Маколей в това уравнение за всеки от участъците,на които е разделена гредата, ще получим съответното функция от посочени-те по-горе равенства за участъците. Сега тази функция може да се интегрираи интеграционните константи, които се получават отразяват началните гра-нични условия и се определят от условията за закрепване на гредата.

Да напишем уравнението за кривината на гредата с универсалната функ-ция на огъващия момент и получаваме едно универсално диференциалноуравнение за еластичната линия:

EIyw′′ = +M〈x − a〉0 + F 〈x − b〉1 + q

〈x − c〉22

− q〈x − d〉2

2.

Интегрираме това уравнение веднъж

EIyw′ = C1 + M〈x − a〉1 + F

〈x − b〉22

+ q〈x − c〉3

3 · 2 − q〈x − d〉3

3 · 2 .

Интеграционната константа C1, която се получава отразява началните усло-вия при интегрирането, т.е. има смисъл на стойността на функцията при x = 0или C1 = EIyw

′(0) = EIyθ0, където θ0 е ъгълът на завъртане на крайното ля-во сечение или все едно ъгълът на допирателната към еластичната линия вначалото на гредата. Така за ъгъла на завъртане на сеченията се получавауниверсалното уравнение

EIyθ(x) = EIyθ0 + M〈x − a〉1

1!+ F

〈x − b〉22!

+ q〈x − c〉3

3!− q

〈x − d〉33!

. (4.22)

След повторно интегриране се получава универсалното уравнение на ела-стичната линия с една нова интеграционна константа C2

EIyw = C2 + EIyθ0x + M〈x − a〉2

2+ F

〈x − b〉33 · 2 + q

〈x − c〉44 · 3 · 2 − q

〈x − d〉44 · 3 · 2 .

Сега интеграционната константа има смисъл на огъвната коравина умноже-на по напречното преместване на гредата в началото и, т.е. C2 = EIyw(0) =EIyw0. Замествайки константата, написана по този начин, получаваме окон-чателно универсалното уравнение на еластичната линия за посочената на фиг.4.13 греда с примерно натоварване.

EIyw(x) = EIyw0 + EIyθ0x + M〈x − a〉2

2!+ F

〈x − b〉33!

+ q〈x − c〉4

4!− q

〈x − d〉44!

.

(4.23)

При съставянето на универсалното уравнение на еластичната линия можеда се приложи и директен подход. За всеки товар P , приложен в точка с

77

DR

AFT


координати xP в уравнението има член

P〈x − xP 〉n

n!, където n =

2, за съсредоточен момент

3, за съсредоточена сила

4, за начало на разпределен товар

. (4.24)

Посоката на силите определя алгебричните знаци на тези членове в урав-нението. Така съставеното уравнение е готово интегрирано. Универсалнотоуравнение на ъгъла на завъртане на сеченията се получава чрез диференци-ране от универсалното уравнение на еластичната линия, което означава, честепените на членовете n за съответните товари в уравнението са с единицапо-малки от посочените в (4.24).

Така уравненията сe получават много лесно от зададените товари и най-важното е, че интеграционните константи са само две и лесно се определятот условията за закрепване. Нещо повече, параметрите w0 и θ0 от интегра-ционните константи в универсалните уравнения имат смисъл съответно напреместване и на завъртане на началното сечение при x = 0, т.е. w0 = w(0)и θ0 = θ(0) = w′(0). Поради смисъла си тези параметри наричаме начал-ни параметри на универсалните уравнения и можем понякога директно да гиопределим от условията за закрепване, ако е закрепена началната (реперната)точка (или все едно сечение) на гредата.

Пример 4.4. Да се определи преместването на свободния край C на показанатаконзола и завъртането на сечението B, където е приложена силата F .


Решение:1) Опорни реакции ∑

i

Vi = 0 : R = F

∑

i

MA i = 0 : MR =F ℓ

2+ F ℓ = 1, 5Fℓ

2) Съставяне на универсалните уравнения

EIyw = EIyw0 + EIyθ0x − R〈x − 0〉3

3!+ MR

〈x − 0〉22!

+ F

⟨x − ℓ

2

⟩3

3!− M

〈x − ℓ〉22!

78

DR

AFT

4.6. Общо огъване и нецентричен опън-натиск

EIyw = EIyw0 + EIyθ0x − F〈x〉36

+ 1, 5Fℓ〈x〉22

+ F

⟨x − ℓ

2

⟩3

6− Fℓ

〈x − ℓ〉22

EIyθ = EIyw′ = EIyθ0 − F〈x〉22

+ 1, 5Fℓ〈x〉1

+ F

⟨x − ℓ

2

⟩2

2− Fℓ

〈x − ℓ〉1

3) Определяне на началните параметри от условията за закрепване

wA ≡ w0 = 0 , θA ≡ θ0 = 0 .

EIyw = −Fx3

6+ 1, 5Fℓ

x2

2+ F

⟨x − ℓ

2

⟩3

6− Fℓ

〈x − ℓ〉22

EIyθ = −Fx2

2+ 1, 5Fℓx + F

⟨x − ℓ

2

⟩2

2− Fℓ〈x − ℓ〉

4) Определяне на търсените премествания и завъртания

EIywC = EIyw(ℓ) = −Fℓ3

6+ 1, 5Fℓ

ℓ2

2+ F

ℓ3

6 · 8 − 0︸︷︷︸

48

EIywC =Fℓ3

48(−8 + 36 + 1) =

29

48Fℓ3

wC =29

48

Fℓ3

EIy

EIyθB = EIyθ(ℓ

2) = −F

ℓ2

2 · 4 + 1, 5Fℓℓ

2+ 0 − 0

︸︷︷︸8

EIyθB =Fℓ2

8(−1 + 6) =

5

8Fℓ2

θB =5

8

Fℓ2

EIy

§ 4.6. Общо огъване и нецентричен опън-натиск

§ 4.6.1. Общо огъване

Общо огъване — огъване в резултат на напречни на оста на гредата товари,които не лежат в една равнина.

В резултат на действието на напречните товари в напречните сечения при

общо огъване се появява огъващ момент−→Mог, който не съвпада по направле-

ние с нито една от централните за сечението оси y или z, поне една от коитосе явява ос на симетрия на сечението (фиг. 4.15). Напреженията получени врезултат на действието на такъв огъващ момент Mог могат да се получат по

79

DR

AFT


метода на суперпозицията от действието на отделните проекции на вектора

на огъващия момент−→Mог по двете оси y и z, съответно огъващите моменти

My и Mz. Като вектори проекциите са свързани с векторното равенство:

−→Mог =

−→My +

−→M z .

Фиг. 4.15. Огъващи моменти при общо огъ-ване

Огъващите моменти по две-те централни оси на сечение-то могат лесно да се опреде-лят по вече познатите ни на-чини, като се разгледат после-дователно разрезните усилияот проекциите на натоварва-нето в равнината xz, от къде-то определяме My, и след товапроекциите на натоварванетоxy, от където определяме огъ-ващия момент Mz. Огъванетоот проекциите на силите в ед-

на от тези равнини наричаме специално огъване. Големината на общият огъ-ващ момент Mог може да се определи от осовите огъващи моменти My и Mz

по Питагоровата теорема:

Mог =√

M2y + M2

z . (4.25)

Напреженията от огъващите моменти се подчиняват на вече изведенитеформули за линейно разпределение по височина на сечението и за огъващиямомент My те са:

σMyx =

My

Iyz . (4.26)

За огъващия момент Mz, обаче формулата има особеност:

σMzx = −Mz

Izy . (4.27)

Особеността се състои в знака минус, който се появява поради факта, че по-ложителен огъващ момент Mz създава натискови (отрицателни) нормалнинапрежения в точките от напречното сечение с положителна координата y.

По принципа на суперпозицията можем да съберем ефектите от отделни-те огъващи моменти, т.е. да съберем нормалните напрежения, за да намеримфункцията на разпределение на нормалното напрежение от огъване в напреч-ното сечение на греда, подложена на общо огъване:

σx = σMyx + σMz

x ;

80

DR

AFT


σx =My

Iyz − Mz

Izy . (4.28)

Да се опитаме да намерим уравнението на неутралната линия, определя-ща границата между опъновата и натисковата зона в напречното сечение.Неутралната линия е множеството от точки в сечението с нулеви нормалнинапрежения, т.е σx = 0. Приравнявайки (4.28) на нула, получаваме:

My

Iyz − Mz

Izy = 0 .

От тук уравнението на неутралната линия е:

z =Iy

Iz

Mz

Myy . (4.29)

Фиг. 4.16. Неутрална линия при общоогъване

Нека ъгълът на наклона на век-тора на огъващия момент

−→Mог към

оста y да означим с ϕ, а ъгълът нанаклона на неутралната линия n−nкъм същата ос y — с α. Тогава отуравнението на неутралната линия(4.29) следва, че

tg α = k tg ϕ ,

където k =Iy

Iz, а tg ϕ = Mz

My. Ако

предположим, че инерционният мо-мент по оста y е по-голям от тозипо оста z, т.е. Iy > Iz, то k > 1и следователно tg α > tg ϕ, а оттам и α > ϕ, както е показано нафиг. 4.16. Следователно, неутрална-

та линия n−n минава през центъ-

ра C на напречното сечение и през

същия квадрант, през който мина-

ва векторът на огъващия момент−→Mог, но е завъртяна към оста с по-

малък инерционен момент.Разположението на неутралната линия определя разпределението на нор-

малните напрежения в напречното сечение при общо огъване — те са раз-пределени по линеен закон по линия перпендикулярна на неутралната линия(фиг. 4.16). Напреженията са толкова по-големи, колкото точката от напреч-ното сечение е по отдалечена от неутралната линия. В най-отдалечените от

81

DR

AFT


неутралната линия точки се получават и най-големите нормални напрежения.За да съставим якостното условие, трябва да определим разположението нанеутралната линия и да определим застрашените точки в напречното сечениеи напреженията в тях.

Фиг. 4.17. Преме-стване при общоогъване

Определянето на пълното преместване δ на даде-но сечение при общо огъване също може да се получипо принципа на суперпозицията. Ако от специалнитеогъвания в двете равнини xz и xy определим, съот-ветно преместванията w по оста z и преместванията

v по оста y, то вектора на пълното преместване−→δ

може да се определи от равенството:

−→δ = −→v + −→w .

Тогава за големината на пълното преместване можемда приложим теоремата на Питагор

δ =√

v2 + w2 . (4.30)

Векторът на пълното преместване−→δ винаги е перпендикулярен на неутрал-

ната линия, както това е показано на фиг. 4.17.

Пример 4.5. Да се определят максималните нормални напрежения от огъванев показаната греда с правоъгълно напречно сечение с размери 2b × b.


Решение:

82

DR

AFT


1) Равнина xz

Опорните реакции по оста z в A и Dса в съотношение 2:1, обратно на раз-стоянието им до приложната точка насилата 2F , и сумарно равни на силата,т.е.

Az =4

3F ; Dz =

2

3F .

Диаграмата на огъващия момент My

е триъгълник с височина MBy = 4

3Fℓ в

B и стойност в C MCy = 2

3Fℓ.

2) Равнина xy

Опорните реакции по оста y в A и Dса в съотношение 1:2, обратно на раз-стоянието им до приложната точка насилата F , и сумарно равни на силата,т.е.

Ay =1

3F ; Dy =

2

3F .

Диаграмата на огъващия момент Mz

е триъгълник с височина MCy = 2

3Fℓ в

C и стойност в B MBy = 1

3Fℓ.

3) Общ огъващ момент

Можем да начертаем диаграма на общия огъващ момент

MBог =

√(MB

y )2 + (MBz )2 =

Fℓ

3

√12 + 42 =

Fℓ

3

√17

MCог =

√(MC

y )2 + (MCz )2 =

Fℓ

3

√22 + 22 =

Fℓ

3

√8

От нея се вижда, че е застрашено се-чение B с My = 4

3Fℓ и Mz = 13Fℓ.

4) Напрежения от общо огъване

83

DR

AFT


От диаграмата на разпределениена напреженията се вижда, че за-страшени са точките H и L от на-пречното сечение. Можем да из-ползваме принципа на суперпози-цията и да получим максимални-те нормални напрежения в тезиточки от максималните нормалниот отделните специални огъвания:

σx max = σMy

x max + σMz

x max

σx max =|My|Wy

+|Mz|Wz

σx max =4Fℓ · 63 b(2b)2

+1Fℓ · 63 2b b2

σx max = 2Fℓ

b3+

Fℓ

b3= 3

Fℓ

b3

§ 4.6.2. Нецентричен опън-натиск

Нецентричен опън (натиск) — натоварване на прът с осови сили, чиятодиректриса е успоредна на оста на пръта, но не съвпада с нея.

Фиг. 4.19. Нецентричен опън

Когато имаме нецентричен опън или натиск, както показания на фиг.4.19а, можем да приведем силата към центъра на сечението C. Тогава в на-

84

DR

AFT


пречното сечение се появява нормално разрезно усилие Nx и два огъващимомента My и Mz, които са всъщност преносните моменти при привежданена силата F (фиг. 4.19б). Ако прободът на силата F е имал координати yF иzF , спрямо централните оси y и z на симетричното напречно сечение, една откоито е оста му на симетрия, то разрезните усилия са:

Nx = F ; My = F zF ; Mz = −F yF . (4.31)

И трите разрезни усилия пораждат нормални напрежения в напречнотосечение. Ефектите от тях могат да се суперпонират и да се получи резултат-ното нормало напрежение:

σx =Nx

S+

My

Iyz − Mz

Izy . (4.32)

Формула (4.32) дава всъщност нормалното напрежение в напречните сечениепри произволна комбинация от специални огъвания и опън или натиск. Товаса всички натоварвания, предизвикващи появата на нормални напрежения изатова формула (4.32) може да се смята за обобщена формула за определянена нормалните напрежения от тях.

В конкретния случай на единична нецентрично приложена сила F , за из-следване на разположението на неутралната линия, можем да напишем:

σx =F

S+

F zF

Iyz +

F yF

Izy

или

σx = F

(1

S+

1 zF

Iyz +

1 yF

Izy

).

Приравнявайки σx = 0, получаваме уравнението на неутралната линия:

1

S+

1 zF

Iyz +

1 yF

Izy = 0 ,

което можем да изразим още като:

z = − Iy

S zF︸︷︷︸zo

−Iy

Iz

yF

zF︸︷︷︸k

y = zo + k y ,

Тук zo = − Iy

S zFе отрезът от оста z, който отрязва неутралната линия, ми-

навайки през сечението (фиг. 4.20), т.е. тя никога не минава през центъра на

сечението. k = − Iy

Iz

yF

zFе коефициента на наклона на неутралната линия. Ако

означим с α наклона на неутралната линия спрямо оста y, а с ϕ ъгъла нанаклона на правата AC с оста z, както е посочено на фиг. 4.20, то

yF

zF= tg ϕ и k = tg α .

85

DR

AFT


Фиг. 4.20. Неутрална линия принецентричен опън

При Iy > Iz следва, че | tg α| >tg ϕ или |α| > ϕ. това означава, ченеутралната линия никога не мина-ва през квадранта с прободната точ-ка A на силата F и е наклонена къмоста с по-малък инерционен момент.

Можем да разсъждаваме как сеизменя разположението на неутрал-ната линия в напречното сечение сотдалечаване или приближаване напрободната точка на силата F доцентъра C на сечението. С прибли-жаването на точка A до C, неутрал-ната линия се отдалечава от центърана сечението и в граничния случай,когато силата F е приложена точнов центъра, тя е в безкрайността. То-ва е случаят на центричен опън илинатиск. Обратно — с отдалечаванена точка A от C, неутралната линиясе приближава към C и в граничния

случай, когато приложната точка на силата F е в безкрайността, имаме общоогъване с неутрална линия, преминаваща през центъра C на сечението.

Нецентричният опън или натиск е опасно натоварване в повечето слу-чаи, защото създава напрежения доста по-големи от тези при центричен опънили натиск. При крехките материали, нецентричният натиск може да създадеопънови напрежения в материала и да застраши якостта му. Особено опасен енецентричният опън или натиск, когато не е предвиден при проектирането ие резултат от неправилен монтаж, грешка в изработването или непредвиденидеформации и премествания в машините и съоръженията.

Фиг. 4.21. Застрашени точки при общо огъване

При нецентричен опън-натиск и въобще при общо огъване е необходимода се намери разположението на неутралната линия в напречното сечение за

86

DR

AFT


да се определи коя точка е застрашена. Има някои сечения, като посоченитена фиг. 4.21, често използвани при огъване, при които застрашените точки савинаги ъгловите точки на сечението и са предварително известни. Тогава несе налага построяването на неутралната линия при якостни пресмятания.

Пример 4.6. Да се определят максималните напрежения в нецентрично натис-натата колона с правоъгълно напречно сечение с размери b × 2b.


Решение:1) Разрезни усилия

Nx = −F ; My = − b

2F ; Mz =

b

4F .

2) Неутрална линия

σx =Nx

S+

My

Iy

z − Mz

Iz

y = 0

S = 2b2 ; Iy =8b4

12=

2b4

3; Iz =

2b4

12=

b4

6.

− F

2b2− bF · 3

2 · 2 b4z − bF · 6

4 b4y = 0 · 4 b3

F−2b − 3z − 6y = 0

За неутралната линия определяме отрезите:при z = 0, yo = − 1

3b; при y = 0, zo = − 23b.

Застрашена е точка K от напречните сечения с най-голямото натисково напре-жение σx max.

3) Напрежения

87

DR

AFT


σx max = max |σNx

x | + max |σMy

x | + max |σMz

x |

max |σNx

x | =|Nx|S

=1

2

F

b2;

max |σMy

x | =|My|Wy

=b F · 62 b(2b)2

=3

4

F

b2;

max |σMz

x | =|Mz|Wz

=b F · 64 2b b2

=3

4

F

b2;

σx max =1

2

F

b2+

3

4

F

b2+

3

4

F

b2= 2

F

b2

88

DR

AFT

Глава 5

Изкълчване

§ 5.1. Понятие за устойчивост

Под действие на външните сили твърдите тела се деформират по опре-делен начин в зависимост от закрепването им и от начина на прилагане насилите. Съществуват форми на деформиране на телата, които при опреде-лени условия — с нарастване на натоварването над някакво критично ниво,се превръщат в неустойчиви равновесни форми, защото са станали възмож-ни и други равновесни форми при тези условия. Тогава, при наличието нанай-малки смущаващи фактори, деформируемото твърдо тяло преминава отнеустойчивата си форма в друга устойчива равновесна форма. Примери затова са измятането на греда подложена на огъване и местното изкълчване натънкостенни цилиндри, било под действието на външно налягане, било поддействието на осов натиск (фиг. 5.1).

Ще разгледаме загубата на устойчивост на центрично натиснат прът (фиг.5.2). Когато натисковата сила F е по-малка от определена критична сила Fкр,устойчива е праволинейната равновесна форма. При нарастване на натовар-ването над критичното F > Fкр, възможна става и друга равновесна форма— криволинейната. Праволинейната е неустойчива и при най-малките смуща-ващи фактори, като начална кривина на пръта, ексцентричност на прилаганена силата, допълнителни напречни, макар и много малки сили, прътът пре-минава внезапно в криволинейната равновесна форма.

Изкълчване на прът — внезапното преминаване на натиснатия прът отправолинейната си равновесна форма в криволинейна.

За да осигурим натиснатия прът срещу изкълчване е необходимо да де-финираме допустима сила [F ], която представлява намалената с коефициент

89

DR

AFT

Глава 5. Изкълчване

Фиг. 5.1. Примери за загуба на устойчивост при деформиране на телата

на сигурност срещу загуба на устойчивост nуст критична сила Fкр:

[F ] =Fкр

nуст

. (5.1)

Фиг. 5.2. Изкълчване на прът

Така условието за устойчивост на натис-натия прът се явява

F ≤ [F ] . (5.2)

Коефициентът на сигурност срещу за-губа на устойчивост nуст е аналогичен накоефициента на сигурност при съставянена якостните условия за другите натовар-вания, но обикновено е по-голям, порадикатастрофалните най-често последици отизкълчването. Той е от порядъка 1, 8 ÷ 3за строителни конструкции от стомана,5 ÷ 5, 5 за строителни конструкции от чу-гун и 4÷5 за машиностроителни конструк-ции от стомана.

Често пъти вместо критичната силаFкр ще използваме критично напрежениеσкр, което представлява критичното на-

90

DR

AFT

5.2. Формула на Ойлер за критичната сила

тисково напрежение в пръта или критич-ната сила разделена на лицето на напречното му сечение S:

σкр =Fкр

S. (5.3)

§ 5.2. Формула на Ойлер за критичната сила

Ойлер е разгледал задачата за натиснатия прът, който е в равновеснокриволинейно положение. Така е определил минималната сила, при която товаравновесно състояние съществува, т.е. критичната сила Fкр. Да разгледаметази задача. При нея прътът е ставно подпрян в двата си края (фиг. 5.3а)и натиснат със сила F , която е достигнала своята критична стойност Fкр,при която е възможно криволинейното състояние на огъване в равнината xy,т.е. около оста с най-малък инерционен момент z. Можем да отбележим, чеIz = Imin. Оста z е насочена срещу равнината на чертежа и поради товаусловната линия е нанесена над гредата.

Фиг. 5.3. Задача на Ойлер

Разглеждайки равновесието на мислено отделената лява част от дефор-миралия се прът (фиг. 5.3б), става ясно, че в напречното сечение с абсциса xимаме следните различни от нула разрезни усилия:

Nx = −Fкр ;

Mz = −Fкрv(x) .

От диференциалното уравнение на еластичната линия в равнината xy имаме:

EIminv′′(x) = Mz .

Като заместим Mz и го прехвърлим в лявата част на равенството се получава:

EIminv′′(x) + Fкрv(x) = 0 ,

91

DR

AFT


което е диференциално уравнение от втора степен и можем да го представимвъв вида:

v′′(x) + α2v(x) = 0 . (5.4)

Тук коефициентът α представлява

α2 =Fкр

EImin.

Решението на диференциалното уравнение (5.4) е:

v(x) = C cos αx + D sinαx , (5.5)

където C и D са интеграционни константи, които се определят от условиятана закрепване (в случая това са граничните условия). От условието, че приx = 0 v ≡ 0 следва, че C = 0 и решението (5.5) се превръща в

v(x) = D sin αx .

От другото гранично условие, че при x = ℓ v ≡ 0 следва, че D sinαℓ = 0,което може да е изпълнено или за D ≡ 0, или за sinαℓ = 0. В първия случай,когато D ≡ 0, уравнението на еластичната линия (5.5) се превръща в нулево,т.е. възможна е само праволинейната форма на пръта. В случая когато D 6= 0трябва да е изпълнено условието sinαℓ = 0 и еластичната линия има фор-

ма на полувълна от синусоида. Точно този случай представлява случая наизкълчване, който ни интересува.

Изразът sinαℓ е равен на нула когато αℓ = 0, π, 2π, . . . , nπ или все еднокогато α = nπ/ℓ. От тук следва, че

Fкр

EImin=

n2π2

ℓ2.

Най-малката критична сила се получава, когато n = 1 и тя е:

Fкр =π2EImin

ℓ2. (5.6)

Последната формула се нарича формула на Ойлер и определя критичнатасила за натиснат прът само в случая, когато той е ставно закрепен в двата сикрая (Ойлеров случай). За други случаи на закрепване трябва да се намерирешение, като те се приведат към Ойлеровия случай.

92

DR

AFT

5.3. Критична сила при други начини на закрепване

§ 5.3. Критична сила при други начини на закрепване

Диференциалното уравнение (5.4) от задачата на Ойлер е валидно и задруги начини на закрепване на натиснатия прът. За да определим интеграци-онните константи в решението му (5.5) трябва да разглеждаме всеки отделенслучай на закрепване. Но той не би трябвало да променя характера на реше-нието, т.е. формата на еластичната линия остава винаги част от синусоида.Тогава вместо да търсим каква част от синусоидата е формата на изкълченияпрът, можем да си представим формата на изкълчения прът според наложе-

ните от опорите ограничения и да търсим дължината, равна на полувълна

от синусоида. Тази дължина наричаме ефективна или приведена дължинаℓеф. За тази дължина на пръта критичната сила е определена от решениетона задачата на Ойлер:

Fкр =π2EImin

ℓ2еф

.

Отношението на ефективната дължина при дадено закрепване към дължи-на на пръта наричаме коефициент на привеждане на дължината κ = ℓеф/ℓ.Този коефициент показва каква част от дължината на пръта е дължинатана полувълната от синусоида, по формата на която ще се изкълчи пръта.Ефективните дължини и съответните им коефициенти на привеждане на дъ-лжините при различни начини на закрепване на натиснати пръти са даденина фиг. 5.4. Формулата на Ойлер за ефективните дължини добива вида:

Fкр =π2EImin

(κℓ)2. (5.7)

§ 5.4. Граница на валидност на формулата на Ойлер

Формулата на Ойлер е валидна докато е валиден закона на Хук, т.е. докатоматериалът е идеално еластичен. Граничното напрежение за това състояниена материала е границата на пропорционалност σp. Така условието за валид-ност на формулата на Ойлер е:

σкр ≤ σp .

Да намерим σкр.

σкр =Fкр

S=

π2EImin

(κℓ)2S

Величината

imin =

√Imin

S(5.8)

93

DR

AFT


Фиг. 5.4. Ефективни дължини и коефициенти на привеждане на дължинатапри различни начини на закрепване

се нарича инерционен радиус на сечението. В случая това е минималниятинерционен радиус. Мерната му единица е като за дължина например cmили mm. Тогава

σкр =π2E

(κℓ

imin

)2

Величината

λmax =κℓ

imin(5.9)

се нарича стройност на пръта и е важна негова характеристика, определящаспособността му да се изкълчва. В случая това е максималната стройностна пръта. Тя е безразмерна величина. Дотук се предполагаше, че закрепване-то е еднакво за всички възможни равнини на изкълчване на пръта и тогавато се появява в равнината, в която прътът има минимална коравина на огъ-ване. Сега става ясно, че изкълчването зависи от стройността на пръта и при

94

DR

AFT

5.5. Определяне на критичното напрежение в нееластичната област

различни начини на закрепване ще се появи в равнината, в която тя е макси-мална, т.е. от раличните комбинации на инерционен радиус и коефициент напривеждане на дължината, определяща е тази, за която имаме λmax.

Критичното напрежение може да се изрази лесно чрез стройността на пръ-та:

σкр =π2E

λ2max

. (5.10)

От условието за валидност на формулата на Ойлер се получава:

π2E

λ2max

≤ σp .

λmax ≥√

π2E

σp

Въвеждаме величината гранична стройност, зависеща само от материала напръта:

λгр = π

√E

σp. (5.11)

Тогава формулата на Ойлер е валидна, когато

λmax ≥ λгр .

За стомана модулът на еластичност е E = 200 GPa, а границата на пропорци-оналност може да се приеме равна на границата на провлачване σp ≈ σs ≈ 200MPa и тогава за граничната стройност получаваме:

λгр = π

√E

σp= π

√200 000

200= π

√1 000 ≈ 100 .

§ 5.5. Определяне на критичното напрежение в неела-стичната област

Има много изследвания, главно експериментални, за определяне на кри-тичните напрежения за изкълчване на натиснати пръти в нееластичната об-ласт, т.е. когато σкр > σp или все едно когато λmax < λгр. Резултатите от екс-перименталните изследвания се апроксимират с регресионни формули, опи-сващи зависимостта на критичното напрежение от максималната стройностна пръта.

95

DR

AFT


Една от най-популярните формули за определяне на критичното напреже-ние в нееластичната област е формулата на Ясински-Тетмайер:

σкр = σ0(1 − bλ) , (5.12)

където σ0 и b са емпирично определени коефициенти зависещи от вида на ма-териала. Тези коефициенти могат да се намерят в справочниците. Формулатана Ясински-Тетмайер определя линейна зависимост на критичното напреже-ние от максималната стройност.

Фиг. 5.5. Зависимост на критичното (граничното) напрежение от максималнатастройност

При много малка максимална стройност на пръта (под някаква стойностλ0) няма смисъл да се говори за изкълчване, защото тогава прътът се из-ражда в масивно тяло, подложено на натиск. Тогава якостта се определя отграничното напрежение на натиск, което е границата на провлачване σs припластичните или границата на якост σB нат при крехките материали. Така мо-жем да изобразим на една диаграма кривите ограждащи безопасната зона наизменение на натисковото напрежение в зависимост от изменението на мак-сималната стройност (фиг. 5.5). При максимална стройност 0 ≤ λmax < λ0

границата се определя от граничното за материала напрежение на натиск —хоризонтална линия. При максимална стройност λ0 ≤ λmax < λгр границатасе определя от правата на Ясински-Тетмайер, а при λmax ≥ λгр — от хипер-болата на Ойлер.

За критичното напрежение при натиснат прът можем да направим след-

96

DR

AFT


ното обобщение:

σкр =

σs или σB,нат , ако λmax ≤ λ0

σ0(1 − b λmax) , ако λ0 < λmax < λгр

π2E

λ2max

, ако λгр ≤ λmax

(5.13)

Пример 5.1. Изправен прът (колона) от Ст 3 с правоъгълно напречно сечение енатиснат със сила F = 50 kN. Колоната е запъната в долния си край и е свободнав края, където е приложена силата. Да се направи проверка за изкълчване наколоната и при опасност да се предприемат мерки чрез укрепване, като приетияткоефициент на сигурност е nуст = 3, а E = 200 GPa.


Решение:Закрепването е едно и също във всички възмож-

ни равнини на изкълчване. Колоната ще се изкълчив равнината с минимална огъвна коравина при товазакрепване. Геометрични характеристики на сечени-ето в равнината с минимална огъвна коравина:

S = 6 · 4 = 24 cm4

Iz =6 · 43

12= 32 cm4

iz =

√Iz

S=

√32

24= 1, 155 cm

imin = iz = 1, 155 cm , κ = 2

λmax =κℓ

imin=

2 · 70

1, 155= 121, 2

λmax = 121, 2 > λгр = 100 =⇒ валидна е фор-мулата на Ойлер

Fкр =π2ES

λ2max

=π200 · 109 · 24 · 10−4

121, 22=

= 322, 4 · 103 N = 322 kN

[F ] =Fкр

nуст=

322, 4

3= 108 kN

Условието за устойчивост не е изпълнено, защото натоварването е по-голямо от до-пустимата сила:

F = 150 kN > [F ] = 108 kN

Трябва да се вземат мерки чрез укрепване, например да закрепим свободния крайна колоната в равнината с максимална стройност.

97

DR

AFT


Сега имаме различни начини на закрепване в отделните равнини на огъване приизкълчване на пръта и се налага изчисляването на геометричните характеристикина сечението и за оста y:

Iy =4 · 63

12= 72 cm4

iy =

√Iy

S=

√72

24= 1, 732 cm

Трябва да се изчислят стройностите и за двете оси, за да се намери максималнатастройност, определяща изкълчването:

λz =κzℓ

iz=

0, 7 · 70

1, 155= 42, 42

λy =κyℓ

iy=

2 · 70

1, 732= 80, 83

λmax = λy = 80, 83 < λгр = 100 λmax = 80, 83 > λ0 = 40

Валидна е формулата на Ясински-Тетмайер σкр = σ0(1 − bλ)

σкр = 310(1 − 0, 00368 · 80, 83) = 217, 8 MPa

Fкр = σкрS = 217, 8 · 106 · 24 · 10−4 = 522, 7 · 103 N = 523 kN

98

DR

AFT


[F ] =Fкр

nуст=

522, 7

3= 174 kN

След укрепването условието за устойчивост е изпълнено:

F = 150 kN < [F ] = 174 kN

99

DR

AFT


100

DR

AFT

Глава 6

Сложно напрегнато състояние

При различните натоварвания, разгледани в предходните глави, в точка отнапречно сечение на пръта възникват само нормални или само тангенциалнинапрежения. В общия случай на комбинация от тези натоварвания в точкаот напречно сечение на пръта могат да възникнат едновременно нормалнии тангенциални напрежения. Тогава казваме, че в точката възниква сложнонапрегнато състояние.

Фиг. 6.1. Пример за сложно напре-гнато състояние

Едно напрегнато състояние е на-

пълно известно само, ако познава-

ме напреженията, действащи в три

взаимно перпендикулярни площадки,

прекарани през изследваната точка

от тялото. За простота можем да сипредставим, че сме отрязали едно без-крайно малко кубче около точката оттялото, където трябва да определим напрегнатото състояние. Кубчето имашест стени — площадки. По всеки две взаимно успоредни площадки, действатедни и същи компоненти на напрежението, но насочени в противоположни по-соки в пространството (фиг. 6.1). Ние се интересуваме от напреженията самов три взаимно перпендикулярни площадки от шестте стени на кубчето.

§ 6.1. Изследване на равнинно напрегнато състояние

Често в конструкциите при натоварване възниква равнинно напрегнатосъстояние. При отделянето на елементарно кубче от материала на конструк-цията в една от площадките (и успоредната на нея) напреженията се оказватнулеви както е показано на фиг. 6.2a. В площадката с нормала z няма напре-жение и равнината xy е ранината на равнинното напрегнато състояние.

За да изследваме как се изменят напреженията в площадките успоредни

101

DR

AFT

Глава 6. Сложно напрегнато състояние

Фиг. 6.2. Напрежения при равнинно напрегнато състояние

на оста z с промяната на ориентацията им трябва да разгледаме равновесиетона триъгълна призма с основа ABC, отрязана от кубчето на фиг. 6.2а. Гле-дайки срещу оста z, проекцията на призмата в равнината xy изглежда кактое посочено на фиг 6.2б. В площадките с нормали −y и −x напреженията саизвестни и зададени. Да определим нормалните и тангенциални напреженияв площадката с нормала n, която сключва ъгъл α с оста x.

Страната BC от основата на призмата се проектира върху осите x и y,така че

AB = BC sinα , AC = BC cos α . (6.1)

Височината на призмата е dz и можем да определим площта на всяка отплощадките и от там силата която действа на всяка от стените на призмата.

Проекционното условие за равновесие на всички сили по оста n е еднотоот необходимите условия за равновесие на призмата. Да го напишем:

∑

i

Fn i = 0 :

σαBCdz + τxy sinαACdz − σx cos αACdz + τxy cos αABdz − σy sinαABdz = 0

След съкращаване на dz и заместване с (6.1) се получава:

σαBC + 2τxy sinα cos αBC − σx cos2 αBC − σy sin2 αBC = 0

Съкращаваме на BC и преминаваме към двойни ъгли.

σα = σx1 + cos 2α

2+ σy

1 − cos 2α

2− τxy sin 2α

След малки преобразувания стигаме окончателно до формулата:

σα =σx + σy

2+

σx − σy

2cos 2α − τxy sin 2α . (6.2)

102

DR

AFT

6.1. Изследване на равнинно напрегнато състояние

Аналогично можем да изведем израз за тангенциалните напрежения в на-клонената под ъгъл α площадка от проекционното условие за равновесие насилите по тангентата t: ∑

i

Ft i = 0 :

ταBCdz − τxy cos αACdz − σx sinαACdz + τxy sinαABdz + σy cos αABdz = 0

ταBC − τxy cos2 αBC − σx sinα cos αBC + τxy sin2 αBC + σy sin α cos αBC = 0

τα =σx − σy

2sin 2α + τxy cos 2α . (6.3)

Ако означим средното нормално напрежение със σc

σc =σx + σy

2(6.4)

и го заместим в (6.2), то за напреженията в наклонена площадка се получава:∣∣∣∣

σα − σc =σx−σy

2 cos 2α − τxy sin 2α

τα =σx−σy

2 sin 2α + τxy cos 2α

Ъгълът α може да се елиминира от горните уравнения, като те се повдигнатна втора степен и се съберат:

(σα − σc)2 + τ2

α =

(σx − σy

2

)+ τ2

xy = r2σ = const .

Полученото уравнение е уравнение на окръжност в равнината определена отосите σα като абсциса и оста τα като ордината. Тази окръжност носи наиме-нованието окръжност на Мор и има център C с координати (σc, 0), лежащ наабсцисата σα, и радиус rσ:

rσ =

√(σx − σy

2

)2

+ τ2xy . (6.5)

Окръжността на Мор е дадена на фиг. 6.3. На всяка площадка със съот-ветните нормално и тангенциално напрежение, действащо в площадката, съо-тветства една точка от окръжността. На площадката с нормала x съответстваточка X от окръжността с координати (σx, τxy). На съседната и площадка снормала y съответства точка Y с координати (σy,−τxy), която е диаметралнопротивоположна на точка X. Централният ъгъл между точките X и Y — ъгъ-лът ∠XCY = 180◦ е равен на два пъти ъгъла между съответните площадкиили все едно между техните нормали, който е 90◦. На площадка с нормалаn под ъгъл α спрямо площадката с нормала x съответства точка N , която ена ъгъл 2α по окръжността на Мор от точката X, т.е. ∠NCX = 2α. Коор-динатите на точка N(σα, τα) се явяват съответно нормалното и тангенциалнонапрежение, действащи в площадката.

103

DR

AFT


Фиг. 6.3. Окръжност на Мор

§ 6.2. Главни напрежения

Окръжността на Мор определя равнинното напрегнато състояние в да-дена точка от материала, т.е. множеството от комбинации на нормалните итангенциалните напрежения, които се появяват във всички възможни пло-щадки, прекарани през точката и перпендикулярни на равнината на нато-варване. На всяка точка от окръжността на Мор съответства площадка иобратно — на всяка площадка съответства точка от окръжността. На фиг.6.4 е дадена окръжността на Мор за едно произволно равнинно напрегнатосъстояние. Търсейки екстремните стойности на нормалните и тангенциалнитенапрежения, може да се каже, че точките SI и SII съответстват на площад-ки с екстремни стойности на нормалните напрежения, а точките T и T ′ наплощадки с екстремни тангенциални напрежения.

Главни напрежения — екстремните по стойност нормални напрежения зададено напрегнато състояние.

Главни площадки — площадките, в които действат главните напрежения.

Поради факта, че окръжността на Мор е винаги централно разположена спря-мо абсцисната ос, т.е. центърът и винаги лежи на оста σ, то в площадките

с главни напрежения тангенциалните са винаги нула и обратно. От гео-метрията на това разположение на окръжността на Мор можем да изразим

104

DR

AFT

6.2. Главни напрежения

Фиг. 6.4. Произволно равнинно напрегнато състояние: а) окръжност на Мор;б) главни площадки; в) екстремни тангенциални напрежения.

главните напрежения:

σI,II = σC ± rσ =σx + σy

2±

√(σx − σy

2

)2

+ τ2xy . (6.6)

Екстремните тангенциални напрежения се намират винаги в площадки

под ъгъл 45◦ спрямо главните и са равни по големина на радиуса на окръж-ността на Мор, т.е.:

τmax

min

= ±rσ = ±

√(σx − σy

2

)2

+ τ2xy . (6.7)

Нормалните напрежения σ, действащи в тези площадки, са винаги равни насредното нормално напрежение σc:

σ = σc =σx + σy

2. (6.8)

Те определят двустранен и равностранен опън или натиск в тези площадки,което навежда на мисълта, че всяко напрегнато състояние може да се предста-ви като комбинация от всестранен опън-натиск или така нареченото сферичнонапрягане и плъзгане.

105

DR

AFT


Формулата (6.6) за намиране на главните напрежения наподобява форму-лата за корените на квадратно уравнение, където дискриминантата, поставе-на под квадратен корен, се вади и събира. Може лесно да се провери, че тазиформула дава корените σ на квадратното уравнение:

σ2 − (σx + σy)σ + σxσy − τ2xy = 0 . (6.9)

Същото това уравнение може да се изрази чрез детерминантата на матрица:∣∣∣∣σx − σ τxy

τxy σy − σ

∣∣∣∣ = 0 . (6.10)

Така главните напрежения на равнинното напрегнато състояние могат да сеопределят като корени на горното уравнение.

§ 6.3. Тримерно напрегнато състояние

При изрязването на безкрайно малко кубче от материала на напрегнатотвърдо тяло по стените му в най-общия случай се появяват всички компонентина напрежението, т.е. нормално и две тангенциални компоненти на напреже-нието. На фиг. 6.5 е дадено едно такова кубче в най-общо напрегнато състоя-ние, което има за компоненти напреженията в три взаимно перпендикулярниплощадки с нормали, съответно осите x, y и z. Компонентите на напреже-нията във всяка от площадките, които са също три, могат да се подредят вматрица, чиито редове представляват векторите на пълните напрежения, дей-стващи във всяка от площадките, като в колоните са различните компонентина тези напрежения по осите x, y и z:

T =

σx τxy τxz

τyx σy τyz

τzx τzy σz

(6.11)

Тази матрица, която е строго свързана с тримерното пространство и пред-ставлява три тримерни вектора, характеризиращи трите площадки на еле-ментарното кубче, се нарича тензор на напрежението.

Тангенциалните напрежения изобразени по площадките на елементарниякуб на фиг. 6.5 са дадени в положителните си посоки, приети за тримернотонапрегнат състояние, т.е. те са по посока на осите x, y и z за площадките сположителни външни нормали. От закона за реципрочност на тангенциалнитенапрежения следва, че

τxy = τyx , τyz = τzy , τxz = τzx . (6.12)

В тримерния случай на изразяване на тангенциалните напрежения следва, четози закон се превръща в закон за взаимност на тангенциалните напрежения.

106

DR

AFT

6.3. Тримерно напрегнато състояние

От тук следва, че тензорът на напрежението е винаги симетрична тримернаквадратна матрица, която има само 6 (а не 9) независими компонента.

Фиг. 6.5. Общ случай натримерно напрегнато състоя-ние

По аналогия с равнинното напрегнатосъстояние и тук може да се постави въпро-сът за намирането на три главни напрежения,които да са корени на аналогично детерми-нантно уравнение, свързано с матрицата натензора на напрежението:

∣∣∣∣∣∣

σx − σ τxy τyz

τxy σy − σ τyz

τzx τyz σz − σ

∣∣∣∣∣∣= 0 . (6.13)

Това уравнение може да се изрази в матричнаформа по следния начин:

∣∣[T] − σ[I]∣∣ = 0 . (6.14)

където [T] е матрицата на тензора на напреженията, а [I] — тримерната еди-нична матрица. Тримерното напрегнато състояние, изразено чрез главните синапрежения, ще изглежда като това на фиг. 6.6. По главните площадки нямада има тангенциални напрежения, а може да се докаже, че трите главни на-прежения σ1, σ2 и σ3, които са номерирани с арабски цифри по алгебричнатаси стойност така, че

σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 , (6.15)

имат екстремни стойности. Това означава, че напрежението σ1 е най-голямотоопъново напрежение, ако е положително, за дадено напрегнато състояние, аσ3 — най-голямото натисково, ако е отрицателно.

Фиг. 6.6. Тримерно напре-гнато състояние с главни на-прежения

Уравненията (6.13) и (6.14) са кубичниуравнения, които имат три корена и върхуначинът на решение на които няма да се спи-раме. Има съвременни компютърни програ-ми обаче, които лесно могат да решат това счислени методи и могат да бъдат използваниза решаването на тази задача, известна катозадача за собствени стойности на матрица.

Тук ще се спрем на много популярниятслучай, когато едното главно напрежение еизвестно и то действа в една от изходнитеплощадки, например тази с нормала z, кактотова е дадено на фиг. 6.7. Тогава тензорът на напрежението за изходното

107

DR

AFT


напрегнато състояние може да се запише:

T =

σx τxy 0τyx σy 00 0 σz

(6.16)

Фиг. 6.7. Тримерно напре-гнато състояние с едно из-вестно главно напрежение

Уравнението, което се получава в детер-минантна форма, за този частен случай е:

∣∣∣∣∣∣

σx − σ τxy 0τyx σy − σ 00 0 σz − σ

∣∣∣∣∣∣= 0 . (6.17)

Съгласно правилата за определяне на де-терминанти, развитието на детерминантата сразмерност три по последния и ред води доследното уравнение:

(σz − σ)

∣∣∣∣σx − σ τxy

τyx σy − σ

∣∣∣∣ = 0 , (6.18)

което има един корен за σ, σI = σz, и още два, определени от квадратнотоуравнение: ∣∣∣∣

σx − σ τxy

τxy σy − σ

∣∣∣∣ = 0 ,

което е същото като уравнение (6.10) за случая на равнинно напрегнато състо-яние. Така изследването на тримерно напрегнато състояние при едно из-

вестно главно напрежение се свежда до изследването на равнинно напре-

гнато състояние в равнината на известната му изходна главна площадка.

§ 6.4. Обобщен закон на Хук

Законът на Хук, приложен за различните натоварвания и даващ връзкатамежду напрегнато и деформирано състояние, може да се обобщи за най-общияслучай на тримерно напрегнато състояние. Това може да се направи с помо-щта на принципа на суперпозицията, т.е. считайки, че напреженията действатнезависимо едно от друго и предизвикват деформации в материала. Така врезултат на действието на нормалните напрежения се появяват линейни де-формации. Деформацията по направление на оста x предизвикана от σx даозначим εσx

x . От закона на Хук за чист опън-натиск имаме:

εσxx =

σx

E. (6.19)

108

DR

AFT

6.5. Частни случаи на напрегнато състояние

Ефектът от действието на нормалното напрежение σy за деформацията всъщото направление x ще се отчете чрез закона на Поасон, защото тя се явяванапречна деформация за направлението y и от там следва, че

εσyx = −µσy

E. (6.20)

По аналогичен начин можем да получим линейната деформация по направ-ление x от нормалното напрежение σz:

εσzx = −µσz

E. (6.21)

Събирайки компонентите на линейната деформация εx, получаваме:

εx = εσxx + ε

σyx + εσz

x =1

E[σx − µ(σy + σz)] . (6.22)

Отделните ъглови деформации не са взаимно свързани и са независимоопределени от закона на Хук за чисто плъзгане. Така ако обобщим всичкилинейни деформации, получени аналогично на уравнение (6.22), заедно с ъг-ловите, то се получава следната система от уравнения:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

εx = 1E [σx − µ(σy + σz)]

εy = 1E [σy − µ(σx + σz)]

εz = 1E [σz − µ(σx + σy)]

γxy =τxy

Gγyz =

τyz

Gγzx = τzx

G

. (6.23)

Формулите (6.23) дават връзката между всички компоненти на деформирано-то състояние и всички компоненти на напрегнатото състояние известни катообобщен закон на Хук. Ако напрегнатото състояние е дадено с главните синапрежения, то имаме само главни линейни деформации, които се определятс първите три зависимости от главните напрежения.

∣∣∣∣∣∣

ε1 = 1E [σ1 − µ(σ2 + σ3)]

ε2 = 1E [σ2 − µ(σ1 + σ3)]

ε3 = 1E [σ3 − µ(σ1 + σ2)]

. (6.24)

§ 6.5. Частни случаи на напрегнато състояние

На фиг. 6.8 са дадени окръжностите на Мор за няколко частни случаяна напрегнато състояние и елементарното кубче на изходното напрегнатосъстояние. Случаите на опън (фиг. 6.8а) и на натиск (фиг. 6.8б) определят

109

DR

AFT


Фиг. 6.8. Частни случаи на напрегнато състояние: а) опън σ1 > 0, σ2 = σ3 = 0;б) натиск σ1 = σ2 = 0, σ3 < 0; в) срязване σ1 = τxy, σ2 = 0, σ3 = −τxy.

едномерно (едноосно) напрегнато състояние, докато случаят на чисто плъз-гане (срязване) (фиг. 6.8в) определя двумерно напрегнато състояние, което сеопределя от броя на главните напрежения различни от нула. Интересен частенслучай, който не е даден на фиг. 6.8, е двустранният равностранен опън илинатиск, при който окръжността на Мор се изражда в точка върху абсцисатаи няма тангенциални напрежения в нито една площадка, перпендикулярнана равнината на натоварване. Друг подобен частен случай е тристранниятравностранен опън или натиск, при който всички окръжности на Мор се из-раждат в точки, а не съществува площадка с каквато и да е ориентация, вкоято да има тангенциални напрежения.

Пример 6.1. Куб от материал с модул на еластичност E и коефициент на Поасонµ е заклещен в много корава форма, която може да се счита за неподатлива поотношение на заклещения куб. Каква е линейната деформация по направлениена диагонала AC на стената ABCD на куба, ако той е натиснат с налягане p.

Решение:За изходното напрегнато състояние знаем напрежението σy = −p и σz = 0, но

за да намерим напрежението σx трябва да използваме деформационното условие:

εx = [σx − µ(σy + σz)] = 0

откъдето следва, чеσx = µσy = −µp

Главните напрежения за хомогенното напрегнато състояние в ку-ба следователно са:

σ1 = σz = 0 , σ2 = σx = −µp , σ3 = σy = −p .

Диагоналът AC е под ъгъл 45◦ спрямо страната AB или все едно оста x наизходното напрегнато състояние. Напрегнатото състояние на площадки под ъгъл±45◦ съответства на точки N±45◦ от окръжността на Мор, където действа нормално

110

DR

AFT

6.5. Частни случаи на напрегнато състояние


напрежение σc.

σc =σ2 + σ3

2=

−p − µp

2= −1 + µ

2p

σ45◦ = σ−45◦ = σc

ε45◦ =1

E[σ45◦ − µ(σ−45◦ + σz)] =

1 − µ

Eσc = −1 − µ

E

1 + µ

2p = −1 − µ2

2Ep

Пример 6.2. За показаното напрегнато състояние да се определят линейнитедеформации по направление nα, за α = 30◦, ако E = 200 GPa и µ = 0, 3. Каква енай-голямата линейна деформация? А каква е най-голямата ъглова деформация?

Решение:


Ще изследваме напреженията в равнината xyкато равнинно напрегнато състояние с напреже-ния: σx = 20 MPa, τxy = 12 MPa и σy = 0. Нор-малните напрежения в площадка с нормала n30◦ ,т.е. под ъгъл 30◦ спрямо оста x е:

σ30◦ =σx + σy

2+

σx − σy

2cos(2·30◦)−τxy sin(2·30◦)

σ30◦ =20 + 0

2+

20 − 0

2cos 60◦−τxy sin 60◦ = 4, 608MPa

В съседната площадка (с нормала n120◦ на ъгъл 30◦ + 60◦ = 120◦ спрямо оста x)аналогично се намира:

σ120◦ =σx + σy

2+

σx − σy

2cos(2 · 120◦) − τxy sin(2 · 120◦)

σ120◦ =20 + 0

2+

20 − 0

2cos 240◦ − τxy sin 240◦ = 15, 39MPa

111

DR

AFT


Линейната деформация по диагонала определяме от обобщения закон на Хук катовземем предвид и напрежението σz = −5 MPa:

ε30◦ =1

E[σ30◦ − µ(σ120◦ + σz)]

ε30◦ =106

200 · 109[4, 608 − 0, 3(15, 39 − 5)] = 7, 45 × 10−6 = 7, 45µm/m

Най-голямата линейна деформация е тази, която се получава от най-големите нор-мални напрежения, съгласно обобщения закон на Хук, а те са главните напреже-ния. Получената линейна деформация също се нарича главна. Главните напреженияопределяме както следва:

σc =σx + σy

2=

20 + 0

2= 10MPa

rσ =

√(σx − σy

2

)2

+ τ2xy =

√(20 − 0

2

)2

+ 122 = 15, 62 MPa

σI,II = σc ± rσ = 10 ± 15, 62 =

{25, 62 MPa

−5, 62 MPa, σIII = −5 MPa

σ1 = 25, 62 MPa > σ2 = −5 MPa > σ3 = −5, 62 MPa

Първа главна деформация тогава е най-голямата възможна линейна деформация зададеното напрегнато и деформируемо състояние

ε1 =1

E[σ1 − µ(σ2 + σ3)]

ε1 =106

200 · 109[25, 62 − 0, 3(−5 − 5, 62)] = 0, 144 · 10−3 = 0, 1440/00

Ъгълът под който се намира направлението на главната линейна деформация спрямооста x можем да определим от геометрията и тригонометричните зависимости заокръжността на Мор.

2α1 = arccosσx − σc

rσ

= − arccos20 − 10

15, 62= −50, 2◦, α1 = −25, 1◦

Пак от обобщения закон на Хук следва, че екстремните по стойност тангенциалнинапрежения ще породят и най-големите ъглови деформации между площадките подъгъл 45◦ спрямо главните площадки с екстремните по алгебрична стойност главнинапрежения.

τmax

min

=σ1 − σ3

2= ±rσ = ±15, 62 MPa

G =E

2(1 + µ)=

200

2(1 + 0, 3)= 76, 92 GPa

γmax =τmax

G=

15, 62 · 106

76, 92 · 109= 0, 203 · 10−3 rad = 0, 0116◦

112

DR

AFT

Глава 7

Теории за якост

113

Documents

DRAFT - orgfree.comivivanov.orgfree.com/sapromat.pdf · по-обща наука, наречена механика на деформируемото твърдо тяло. Съпро-