Driehoeken

75

4

InhoudM18 Driehoeken in de ruimte p. 76M19 Driehoeken tekenen p. 80M20 Merkwaardige lijnen in een driehoek p. 84M21 Omtrek, oppervlakte en volume p. 88

Dit heb je nodig• leerwerkboek p. 75-92• oefenboek p. 237-252• geodriehoek• passer• rekenmachine• kleurpotloden

Test jezelfElke vraag heeft maar één juist antwoord. Controleer je antwoord in de correctiesleutel. Achter elke vraag staat een verwijzing naar extra oefeningen in je oefenboek.

A B C Verderoefenen?

1 Welke ruimtefiguur herken je?

piramide driehoek prisma oef. 519

2 Hoe groot is A?

A

85° 95° 75° oef. 516

3 Een rechthoek heeft een lengte van 4 m en een breedte van 45 dm. Bereken de oppervlakte.

18 m2 18 dm2 90 dm2 oef. 694

4 De oppervlakte van het grondvlak van een balk is 4 dm2. De hoogte van de balk is 60 cm. Bereken het volume.

24 dm3 96 dm3 240 dm3 oef. 704

Dit kun je al1ruimtefiguren herkennen2hoeken meten en tekenen3oppervlakte berekenen van vierhoeken4volume berekenen van balk en kubus

M18 Driehoeken in de ruimte

76

Op verkenning

driehoeken

a Begrippen

• Welke vlakke figuur herken je op alle foto’s? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Van welke ruimtefiguur is deze vlakke figuur een grensvlak op de tweede foto ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Hoe herken je deze ruimtefiguur? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Van welke ruimtefiguur is de driehoek een grensvlak op de derde foto ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Welke vorm hebben grond- en bovenvlak op de derde foto? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Zijn grond- en bovenvlak steeds driehoeken? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Wiskundetaal –begrippen

Een driehoek wordt bepaald door drie punten die niet op dezelfde rechte liggen.

Δ ABC lees je als driehoek ABC

A : de overstaande hoek van [BC] A : de ingesloten hoek van [AB] en [AC]B en C : de aanliggende hoeken van [BC]

Een piramide is een ruimtefi-guur begrensd door een veel-hoek met n zijden en n driehoeken.

de tophoek: Thet grondvlak: veelhoek ABCDEde hoogte: | TF |

Een prisma is een ruimte-figuur die begrensd is door twee evenwijdige veelhoeken en waarvan de opstaande zijvlakken parallellogrammen zijn.

grondvlak: veelhoek ABCDEbovenvlak: veelhoek FGHIJ

b Indelingvandriehoeken• Vul onderstaande tabel aan.

Foto1 Foto2 Foto3 Foto4

aantal even lange zijden

aantal scherpe hoeken

aantal stompe hoeken

aantal rechte hoeken

D

C B

A

T

F

E

H

C

B A

E

J

I

G F

D

A

BC

driehoekpiramide

prismadriehoekneen

grondvlak = veelhoek zijvlakken= driehoeken

3300

20

0

1

2210

2201

77

Zijn er twee even lange zijden?

Is er een rechte hoek?ja

nee

nee

nee

nee

nee

nee

ja

ja ja

rechthoekige ongelijkbenige driehoek

rechthoekige gelijkbenige driehoek

stomphoekige gelijkbenige

driehoek

stomphoekige ongelijkbenige driehoek

Zijn er twee even lange zijden?

Zijn er drie even lange zijden?

ja ja scherphoekige gelijkzijdige driehoek

scherphoekige gelijkbenige driehoek

scherphoekigeongelijkbenigedriehoek

zijn er twee even lange zijden?

Is er een stompe hoek?

Driehoeken kun je op twee manieren indelen: volgens de zijden en volgens de hoeken. Elke driehoek krijgt dus een dubbele naam. Volgend schema kan je daarbij helpen.

• Welke twee benamingen kun je geven aan de driehoeken op de foto’s uit vorige tabel? Zeg ook waarom.

Foto1 Foto2 Foto3 Foto4

volgens de zijden

verklaring

volgens de hoeken

verklaring

ongelijkbenige Δ

rechthoekige Δ

alle zijden hebben een

verschillende lengte

er is een rechte hoek

gelijkzijdige Δ

scherphoekige Δ

alle zijden hebben

dezelfde lengte

alle hoeken zijn scherp

gelijkbenige Δ

stomphoekige Δ

minstens 2 zijden zijn even lang

er is een stompe hoek

gelijkbenige Δ

rechthoekige Δ

minstens 2 zijden zijn even lang

er is een rechte hoek

M18 Driehoeken in de ruimte (vervolg)

driehoeken78

Wiskundetaal –definities

Een gelijkbenigedriehoek is een driehoek met minstens twee even lange zijden.

Een gelijkzijdigedriehoek is een driehoek met drie even lange zijden.

Een ongelijkbenigedriehoek is een driehoek waar-van de drie zijden een verschillende lengte hebben.

A

C

B

D E

F

H

J

I

A

C

B

D E

F

H

J

I

C

B

D E

F

H

J

I

ΔABC is ΔDEF is ΔHIJ is gelijkbenig gelijkzijdig ongelijkbenig

Wiskundetaal –definities

Een scherphoekigedriehoek is een driehoek met drie scherpe hoeken.

Een rechthoekigedriehoek is een driehoek met een rechte hoek.

Een stomphoekigedriehoekis een driehoek met een stompe hoek.

K

M

L

NO

P

QR

S

K

M

L

NO

P

QR

S

K

M

L

NO

P

QR

S

ΔKLM is ΔNOP is ΔQRS is scherphoekig rechthoekig stomphoekig

Wiskundetaal –begrippen

rechthoekigedriehoek

A: rechte hoek

[ BC ] : schuine zijde of hypotenusa

[ AB ] en [ AC ] : rechthoekszijden

gelijkbenigedriehoek

[DF ]:basis

[DE ] en [EF ]:benen of opstaande zijden

E: tophoek

D en F: basishoeken

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

2 VandriehoekABCisdegroottevandehoekengegeven.Geefdepassendenaamvolgensdehoeken.

| A | |B| |C| naam

40° 45° 95°

68° 62° 50°

26° 90° 64°

120° 17° 43°

Weer? 739

Meer? 740

Oefeningen

1 Vulaan.

a De overstaande hoek van [ AB ] is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b De aanliggende hoeken van [ CB ] zijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c C is de ingesloten hoek van zijde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d A is de overstaande hoek van . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Weer? 738

B

A C

CB Cen

[AC] [BC][BC]

stomphoekige driehoek

scherphoekige driehoek

rechthoekige driehoek

stomphoekige driehoek

DefInITIe

DefInITIe

79

3 Meetdezijdenendehoeken.Zeteenkruisjeindepassendekolommen.

ongelijkbenigedriehoek

gelijkbenigedriehoek

gelijkzijdigedriehoek

scherphoekigedriehoek

rechthoekigedriehoek

stomphoekigedriehoek

1

2

3

1

2

3

1

2

3

4

5

4

5

Weer? 741

Meer? 742

4 Zijndeuitsprakenjuistoffout?Tekeneentegenvoorbeeldalsdeuitspraakfoutis.

juist/fout tegenvoorbeeld

a Een rechthoekige driehoek is nooit gelijkbenig.

b Een rechthoekige driehoek kan twee rechte hoeken hebben.

c Een gelijkzijdige driehoek is altijd scherphoekig.

d Een driehoek met een scherpe hoek is een scherphoekige driehoek.

Weer? 743744

Meer? 745746

τ de verschillende soorten driehoeken herkennen τ de definities van de verschillende soorten driehoeken correct formuleren

Wat moet je kunnen?

X X

XX

X X

XX

X X

fout

fout

juist

fout

Als er twee hoeken van 90° zijn, kun je de driehoek niet dichtmaken.

M19 Driehoeken tekenen

driehoeken80

Op verkenning

Een architect maakt een maquette van een woning. Hij heeft een foto gemaakt van een deur die hij wil gebruiken. De driehoeken moeten uit karton worden gesneden. De architect voerde al de nodige metingen uit.

a Driehoekwaarvantweezijdenendeingeslotenhoekgegevenzijn

Driehoek 1: Rechthoekige driehoek met rechthoekszijden gelijk aan 3 cm en 2 cm.

• Hoe kun je deze driehoek tekenen?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Teken de driehoek.

Stappenplan –driehoektekenenwaarvantweezijdenendeingeslotenhoekgegevenzijn

Teken een zijde.

Teken vanuit een grenspunt de gegeven hoek.

Meet op het tweede been van de hoek de lengte van de tweede zijde af.

Verbind de hoekpunten.

ΔABC met |AB| = 3 cm, |AC| = 2 cm en | A | = 55°

A B

C

A B

A B

C2 cm

3 cmA B55°

b Driehoekwaarvaneenzijdeendetweeaanliggendehoekengegevenzijn

Driehoek 2: Een zijde van de driehoek is 1,5 cm en de aanliggende hoeken aan die zijde zijn 120° en 40° groot.

• Hoe kun je deze driehoek tekenen?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Teken eerst een zijde [AB] van 3 cm. Teken een rechte hoek in het grens-punt A. Teken grenspunt C op de tweede rechthoekszijde op 2 cm van A. Verbind B en C.

Teken een zijde [AB] van 1,5 cm. Teken in het grenspunt A een hoek van 120°, waarbij [AB een been is van die hoek en in B een hoek van 40°, waarbij AB] een been is aan die hoek. De andere benen van beide hoeken komen samen in punt C.

C

BA

2 cm

3 cm

81

Stappenplan –driehoektekenenwaarvaneenzijdeendetweeaanliggendehoekengegevenzijn

Teken de zijde.

Teken vanuit het ene grenspunt van het lijn-stuk een hoek.

Teken vanuit het andere grenspunt van het lijnstuk de andere hoek.

Het snijpunt van de benen van de hoeken is het derde hoekpunt van de driehoek.

ΔDEF met |EF| = 4 cm, | E | = 60° en | F | = 45°

E F E F

E F E F

D

4 cm

60° 45°

c Eendriehoekwaarvandelengtenvandezijdengegevenzijn

Driehoek 3: De drie zijden hebben een lengte van 3 cm, 4 cm en 1,5 cm.

• Teken deze driehoek met je geodriehoek op een apart blad. Lukt dit? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Hoe kun je het probleem oplossen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Hoe teken je dan de driehoek?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Construeer de driehoek.

• Teken de driehoek.

moeilijkJe kunt een passer gebruiken.

Je tekent een zijde van 3 cm [AB]. Je plaatst het passerpunt in A en tekent een boog op 4 cm. Je plaatst het passerpunt in B en tekent een boog op 1,5 cm. Je verbindt het snijpunt van de boogjes met de grenspunten van het lijnstuk [AB].

BA

C

40°120°

BA 3 cm

1,5 cm

M19 Driehoeken tekenen (vervolg)

driehoeken82

Oefeningen

5 Tekendegevraagdedriehoeken.

a ΔABC zodat |AB| = 4 cm, | A | = 40° en | B | = 56° b ΔGHI zodat |GH| = 3,5 cm; |HI| = 2 cm en |H| = 100°

Weer? 748

Meer? 749

CONTROLE10 Teken een gelijkzijdige driehoek met zijden van 3 cm.

Stappenplan –driehoektekenenwaarvandelengtevandedriezijdengegevenzijn

Teken een zijde.

Pas met de passer de lengte van een tweede zijde af op de geodriehoek. Zet vervolgens de passerpunt in een grens-punt van het lijnstuk en teken een boogje.

Pas met de passer de lengte van de derde zijde af op de geodriehoek. Zet de passerpunt in het andere grens-punt en teken een boogje dat het eer-ste boogje snijdt.

Teken de twee ontbrekende zijden door de grenspunten van het lijnstuk met de snijpunten van de passerbogen te verbinden.

ΔGHI met |GH| = 4 cm, |GI| = 2,5 cm, |HI| = 3 cm

G H G H

G H

2,5 cm 3 cm

G H4 cm

3 cm

C

40°4 cm

56°B A G

100°

3,5 cm

2 cm

H

I

83 τ driehoeken tekenen waarvan de nodige gegevens bekend zijn

Wat moet je kunnen?

7 Eenterrasheeftdevormvaneenrechthoekigedriehoek.Derechthoekszijdenzijn7men5mlang.Tekenditterrasopschaal1:200.

Weer? 753

Meer? 754

6 Oponderstaandetekeningvaneentempelontbreekthetfronton.Alsjeweetdathetfrontoneengelijkbenigedriehoekiswaarvandebasishoekengelijkzijnaan25°,vuldandetekeningaan.

Weer? 750

Meer? 751752

e gelijkzijdige ΔPQR met een zijde van 2,5 cm f ΔSTU zodat |ST| = 3 cm, |TU| = 4 cmen |SU| = 5 cm

c ΔJKL zodat | J | = 90° en de rechthoekszijden gelijk zijn aan 2,5 cm en 4 cm

d gelijkbenige ΔMNO zodat tophoek O gelijk is aan 76° en de benen gelijk zijn aan 3 cm

25° 25°

J

L

2,5 cm

4 cm

90°

K

O

MN

76°

3 cm3 cm

P

2,5 cm RQ

T

3 cm 4 cm

5 cmS U

M20

driehoeken84

Op verkenning

Merkwaardige lijnen in een driehoek

a Zwaartelijnineendriehoek

• Knip een driehoek uit een stuk karton. Leg de driehoek op de rand van je meetlat, zodat een hoekpunt op de lat ligt. Zoek een positie waarbij de driehoek in evenwicht ligt.

• Teken op de driehoek de rechte lijn waarmee hij op de meetlat rust.

• Bekijk goed de positie van de rechte lijn. Wat stel je vast?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• De rechte lijn die je tekende, noem je een zwaartelijn van de driehoek. Ze zorgt ervoor dat de driehoek in evenwicht blijft.

• Hoeveel zwaartelijnen kun je in een driehoek tekenen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Teken de zwaartelijn uit  in de onderstaande driehoek.

– Bepaal met je geodriehoek het midden van [BC]. Noem dit midden M.

– Teken een rechte door A en M.

A

C

B

• Teken ook de zwaartelijnen uit B en C. Wat valt op?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Wiskundetaal –definitie

Een zwaartelijn van een driehoek is een rechte door een hoekpunt van een driehoek en door het midden van de overstaande zijde.

Tekenafspraak: plaats bij een zwaartelijn steeds merktekens voor gelijke afstanden.

Az

MC

B

z is een zwaartelijn van ΔABC

b Hoogtelijnineendriehoek

• Wat moet je tekenen om de afstand van D tot [ FE ] te bepalen?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Teken die loodlijn. Deze loodlijn is een hoogtelijn van de driehoek.

• Teken de hoogtelijnen uit E en F . Wat valt op?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D

E

F

De rechte gaat door het midden van de overstaande zijde.

3

De zwaartelijnen snijden elkaar in één punt Z.

De loodlijn uit D op EF.

De hoogtelijnen snijden elkaar in één punt H.

OZ

N

M

H

DefInITIe

85

• Teken in volgende driehoek de hoogtelijn vanuit H.

– Wat stel je vast als je de hoogtelijn wilt tekenen vanuit H?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– Hoe los je dat probleem op? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– Teken de hoogtelijn.

Wiskundetaal –definitie

Een hoogtelijn van een driehoek is een rechte door een hoekpunt en loodrecht op de drager van de overstaande zijde.

Tekenafspraak: plaats bij een hoogtelijn steeds een merkteken bij de rechte hoek.

E

h

D

F

P

h is een hoogtelijn van ΔDEF

c Middelloodlijnineendriehoek

• Teken de middelloodlijn van [FG] in driehoek EFG.E

F

G

• Teken ook de middelloodlijnen van [EF] en [EG]. Wat valt op?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Wiskundetaal –definitie

Een middelloodlijn van een driehoek is de middelloodlijn van een zijde van de driehoek.

Tekenafspraak: plaats bij een middelloodlijn steeds een merkteken om de rechte hoek aan te duiden en merktekens om gelijke afstanden aan te duiden.

E

F

G

m

m is een middelloodlijn van ΔEFG

H

G

I

Je kunt geen loodlijn tekenen uit H op het lijnstuk GI maar wel op de drager van dat lijnstuk .

Teken eerst de rechte GI.

De middelloodlijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt M.

M

DefInITIe

DefInITIe

A

C

B

a

d

b

c

A

B

C

D

F

E

M20

driehoeken

Merkwaardige lijnen in een driehoek (vervolg)

86

d Deellijnofbissectriceineendriehoek

• Teken de deellijn van L in driehoek KLM.

• Teken ook de deellijnen van K en M. Wat valt op? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Wiskundetaal –definitie

Een deellijn(ofbissectrice) van een driehoek is de deellijn van een hoek van de driehoek.

Tekenafspraak: plaats bij een deellijn steeds de merktekens om gelijke hoeken aan te duiden in de twee delen van de hoek.

K

L

M d

Oefeningen

8 Benoemdemerkwaardigelijnendiejeherkentinonderstaandedriehoek.

a is een . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b is een . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c is een . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d is een . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 Tekentelkensinonderstaandedriehoeken.

Weer? 755756

Weer? 758

Meer? 759760

a de zwaartelijn AG en de middelloodlijn m van [AB] b de bissectrice FG en de hoogtelijn DH

M ML

K K

De deellijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt D.

middelloodlijndeellijnzwaartelijnhoogtelijn

G

m G

H

D

DefInITIe

87

10 EenschipinnoodbevindtzichopdeNoordelijkeIJszee.DekapiteingeeftaandathetschipzichbevindtophetsnijpuntvandemiddelloodlijnenvandedriehoekgevormddoordestedenTromsø,NuukenFairbanks.

a Teken de driehoek op de kaart.b Bepaal de plaats van het schip op de kaart.

Weer? 761762

Meer? 763

τ merkwaardige lijnen in een driehoek herkennen en tekenen τ de definities van de merkwaardige lijnen correct formuleren

Wat moet je kunnen?

Fairbanks

TromsØ

Nuuk

Verenigde Staten

Groenland

Russische Federatie

Noordelijke IJszee

11 Tekeneendriehoekwaarbijheenhoogtelijnis. Weer? 764

Meer? 765

h

Schip

h

Meerdere oplossingen mogelijk.Voorwaarden: een hoekpunt van de driehoek moet op h liggen en de zijde die h snijdt moet loodrecht op h staan.

88

Op verkenning

M21

driehoeken

Omtrek, oppervlakte en volume

a Omtrekvaneendriehoek

Bij het tekenen van het plan van een tuin, komt Kobe voor een kippenren uit bij een driehoek van 5 m op 3,5 m op 3 m. Hoe lang moet de draad zijn die hij rond het hok moet zetten om het af te bakenen?

• Wat moet je berekenen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– Hoe kun je de omtrek berekenen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– Wat is de eenheid van de oplossing? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– Vul de bewerking aan: . . . . . . . . . . (. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .) m = . . . . . . . . . . . . . . m

– Formuleer een antwoord. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b Oppervlaktevaneendriehoek

In een ander deel van de tuin wil Kobe gazon zaaien. Het stuk dat hij wil zaaien, is een driehoek met een basis van 10 m en een hoogte van 4 m. Hij wil weten hoeveel graszaad hij moet kopen.

• Wat moet je berekenen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Teken op een apart blad twee dezelfde willekeurige driehoeken.

• Knip de driehoeken uit en leg ze tegen elkaar. Welke figuur kun je steeds vormen met twee dezelfde driehoeken? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– Hoe bereken je de oppervlakte van een parallellogram? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hoe vind je dan de oppervlakte van één driehoek? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– Wat is de eenheid van de oppervlakte? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– Bereken de oppervlakte van het stuk gazon van Kobe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

De omtrek van de driehoek.O = z1 + z2 + z3

m5 + 3,5 + 3 11,5

Kobe moet 11,5 m draad rond het hok plaatsen.

De oppervlakte van de driehoek.

een parallellogram

S = b · h

S = b · h _ 2

m2

S = 10 · 4 _ 2

m2 = 20 m2

O =

89

formule –formulevooromtrekenoppervlaktevaneendriehoek

A

CBb

z2

z1

z3

h

OmtrekO

O = z1 + z2 + z3

een driehoek met zijden van respectievelijk 3 cm, 7 cm en 5 cm

O = (3 + 7 + 5) cm = 15 cm

OppervlakteS

S = b · h _ 2

een driehoek met een basis van 7 m en een hoogte van 3 m

S = 7 · 3 _ 2

m2 = 10,5 m2

CONTROLE11 Bereken de oppervlakte van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van 4 m en 8 m.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c Volumevaneenprisma

In de tuin staat een oude schuur. De man wil hout opslaan in het bovenste deel van de schuur onder het dak. Hoeveel m³ hout kan hij maximaal in de schuur opslaan?

• Wat moet je berekenen?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Hoe kun je dat berekenen? (Denk aan de doos met theelichtjes uit het vorige lesgeheel.)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Wat is het grondvlak van het prisma?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Bereken de oppervlakte van het grondvlak.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Wat is de eenheid voor volume? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Vul de bewerking aan voor de berekening van het volume:

V = ( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ) m³ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Formuleer een antwoord.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

formule –formulevoorvolumevaneenprisma

prisma

h

h

SG

H

IJ

E

A

C

D

G

B

F

SG

(SG is oppervlakte van het grond-vlak)

VolumeV = SG · h

een prisma met een grondvlak van 25 m2 en een hoogte van 8 mV = (25 · 8) m3 = 200 m3

OppervlakteS = 2 · SG + OG · h

driehoek

3 m

5 m

2,5 m

4 mHet volume van een prisma.

V = SG · h

een driehoek

S = 3 · 1,5

_ 2

m2 = 2,25 m2

m3

2,25 · 5 11,25 m3

Kobe kan maximaal 11,25 m3 hout opslaan.

S = b · h _ 2

= 4 · 8 _ 2

m2 = 16 m2

90

M21

driehoeken

Omtrek, oppervlakte en volume (vervolg)

Oefeningen

12 Vuldetabelaan.Geefooktelkensjeberekening.

basisvandedriehoek hoogtevandedriehoek oppervlaktevandedriehoek

12 cm 7 cm

4 m 85 dm

40 dm 1200 dm2

34 dm 10,54 m2

13 Berekendeoppervlaktevandegegevendriehoek.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Weer? 766

Meer? 767

Weer? 768

Meer? 769

Weer? 770771

Meer? 772773

A

BC

6,4 cm5 cm

4 cm

14 Eenboerheeft66are(1are=100m²)landbouw-grond.Eendeelervanwordtdoordegemeenteverkaveldenverandertinbouwgrond.Hiernaastziejehetverkavelingsplan.

Berekendeoppervlaktevandegenummerdeper-celen.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2

29m

28m

39m

S = 12 · 7 _ 2

cm2 = 42 cm2

S = 4 · 8,5 _

2 m2 = 17 m2 of 1700 dm2

(1200 · 2 : 40) dm = 60 dm

(10,54 · 2 : 3,4) m = 6,2 m of 62 dm

Sdriehoek = b · h _ 2

= 4 · 5 _ 2

cm2 = 10 cm2

Perceel 1 S = b · h _ 2

= 39 · 28 _ 2

m2 = 546 m2

Perceel 2 S = b · h _ 2

= 29 · 28 _ 2

m2 = 406 m2

91

16 Eenserreis3mhoog,6mlangen4mbreed.Dezijwandenzijn2,5mhoog.Delengtevandeschuinewandis2,1m.Hoeveelm²glasisernodigvoordezeserre?

Noteerjeberekeningenopeenoverzichtelijkemanier.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Weer? 776

Meer? 777

17 Eviwilrondeendriehoekigsalontafeltjeeenrubberenrandkleven.Hoelangmoetderubberzijnalshettafeltjevolgendeafmetingenheeft:5dm,5dmen7dm.

Berekening: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Antwoord: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Weer? 778

Meer? 779

18 Berekendeoppervlaktevandedriehoekenindittangram.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

τ de omtrek van een driehoek berekenen τ de oppervlakte van een driehoek berekenen

τ het volume van een prisma berekenen

Wat moet je kunnen?

Weer? 780

15 VooreentuinfeestmaaktLisaprismavormigekaarsen.Hoeveelliterwasheeftzenodigomkaarsentemakenmeteengrondvlakvan2dm²eneenhoogtevan50cm?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Weer? 775

Volume prisma: SG · h = 2 dm2 · 5 dm = 10 dm3 = 10 lLisa heeft 10 liter was nodig om de kaarsen te maken.

Srechthoek voorvlak = l · b = (4 · 2,5) m2 = 10 m2

Srechthoek zijvlak = l · b = (6 · 2,5) m2 = 15 m2

Srechthoek dak = l · b = (6 · 2,1) m2 = 12,6 m2

Sdriehoek voorvlak = b · h _ 2

= 4 · 0,5 _

2 m2 = 1 m2

Stotaal = (2 · 10 + 2 · 15 + 2 · 12,6 + 2 · 1) m2 = 77,2 m2

O = z1 + z2 + z3 = (5 + 5 + 7) dm = 17 dm = 1,7 mDe rubber moet 1,7 m lang zijn.

Sgrote gele driehoek :

10 · 5 cm2 _ 2 = 25 cm2

= Sgrote groene driehoek

Soranje gele driehoek :

5 · 5 _ 2 cm2 = 12,5 cm2

Spaarse driehoek = Switte driehoek:

5 · 2,5 cm2 _ 2 = 6,25 cm2

Svierkant :

3,5 cm2 · 3,5 cm2 = 12,25 cm2

Sparallellogram :

5 · 5,5 cm2 = 12,5 cm2

Svolledig vierkant :

z2 = 102 cm2 = 100 cm2

92 problemsolving

Problemsolving

19 Opdetekeningziejeeendriehoekwaarvanallezijdendelengtedriehebben.Hierinpastprecieseenzeshoekmetallezijden1.Deoppervlaktevandedriehoekisdan…keerdeoppervlaktevandezeshoek?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A 1 _ 2 B 5 _ 6

C 4 _ 3 D 3 _ 2 e 2

M

20 VaneenregelmatigevijfhoekisMhetmiddelpunt.Hoeveelprocentvandevijfhoekisgrijs?Tip:Tekenallemogelijkesymmetrieassenvandezevijfhoek.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A 10 B 20 C 25 D 30 e 40

5 3

53

3

5

5

3

21 Ineengrootvierkantiseenkleinervierkantgetekend.Watisdeoppervlaktevanhetkleinevierkant?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A 16 B 28 C 34 D 36 e 49

22 EsthertekentgelijkbenigedriehoekenABCmet|AC|=|BC|=5cm.Detophoekisgroterdan60°endebasisiseengeheelaantalcentimeters.Hoeveelverschillendedriehoekenkanzijtekenen.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

De oppervlakte van het grote vierkant 8 cm · 8 cm = 64 cm2.

De oppervlakte van één driehoekje is 5 · 3 _ 2

cm2 = 7,5 cm2.

Er zijn vier witte driehoeken met een totale oppervlakte van

7,5 cm2 · 4 = 30 cm2.

De oppervlakte van het grijze vierkant is

64 cm2 – 30 cm2 = 34 cm2.

Als de tophoek 60° is, bekom je een gelijkzijdige driehoek waarbij | AB | = 5 cm.

De tophoek moet groter zijn dan 60° dus | AB | is langer dan 5 cm.

| AB | is korter dan 5 cm + 5 cm = 10 cm

Bijgevolg kan | AB | = 6 cm, 7 cm, 8 cm of 9 cm.

Het grijze deel kun je verdelen in zes driehoekjes die even

groot zijn als de witte driehoekjes.

De totale driehoek bestaat uit negen driehoekjes.

De oppervlakte van de driehoek is bijgevolg 9 _ 6

= 3 _ 2

keer de

oppervlakte van de zeshoek.

Het grijze deel is 3 _ 10

= 30 %.