Dual Simplex IGE

Departamento de Ingeniería Indystrial Dual-Simplex

M.C. Héctor Martínez Rubin Celis 1

ALGORITMO DUAL-SIMPLEX

Es claro que para cualquier problema de programación lineal los

jjcz son

completamente independientes del vector de limitaciones i

b . Consecuentemente, el

conjunto de soluciones básicas bAx con 0jj

cz para toda j , depende

únicamente de las j

a y de las j

c , pero no de b para un problema de Maximización). En

general, no toda solución básica con todas las jj

cz será básica. Sin embargo, cualquier

solución básica factible con todas las 0jj

cz será óptima.

La observación realizada presenta una interesante posibilidad. Si se pudiera iniciar

con alguna solución básica, pero no factible a un problema dado de Programación Lineal

que tenga todos los 0jj

cz , entonces considerando que ninguna base debe ser

repetida, una solución óptima al problema de Programación Lineal será obtenida en un

número finito de pasos. Esto es lo que precisamente el algoritmo Dual-Simplex hace. El

hecho de que se mantienen todos los 0jj

cz en cada paso y que no importa la

factibilidad de las soluciones básicas (del vector de limitaciones i

b ) sugiere que la Teoría

de la Dualidad debe ayudar en el desarrollo de tal algoritmo.

Debido a que no siempre en fácil iniciar utilizando este algoritmo ya que no tiene la

aplicabilidad general que tiene el usual método Simplex. Sin embargo, este puede ser usado

en ciertos casos para eliminar la necesidad de utilizar la Fase I ( en el caso de usar el

método de las 2 fases) y la consecuente introducción de las variables artificiales. Este

algoritmo debido a Lemke, ha sido llamado Dual-Simplex debido a que los criterios

seguidos para introducir y sacar el vector, son aquellos seguidos para el problema dual en

lugar de los del problema Primo.

Procedimiento:

1) El primer vector que debe dejar la base, está determinado por:

Br

x Min Bi

x , para 0Bi

x

2) El vector que entra en la base esta determinado por:

Para un problema de Minimización:

rk

kk

y

cze Min

0,rj

rj

jjy

y

cz

Para un problema de Maximización:

rk

kk

y

cze Max

0,rj

rj

jjy

y

cz

donde k corresponde a el subíndice de la variable que sale de solución

O usar de forma general

rk

kk

y

cze Min , 0

j j

rj

rj

z cy

y



Ejemplo:

Max 21

3 xxZ , sujeto a:

232

1

421

321

xxx

xxx

En lugar de introducir variables artificiales que son necesarias para aplicar el Método

Simplex, se considera la base que contiene a 3

x y 4

x que es:

10

01B

10

011B

para esta base: 21 B

x

En forma tabular

jj

j

BB

j

cz

zZ

x

x

xxxxbxC

c

00130

0000

103220

011110

0013

4

3

4321

Se selecciona la Bi

x más negativa como la variable que deja la base:

Bi

x Min 12 , por lo que sale 242

xxB

La variable que entra a la base es seleccionada:

rk

kk

y

cze Max

2

22

1

11 ,rr

y

cz

y

czMax 3123

31e , entonces entra 2

a a la base

En forma tabular:

jj

j

BB

j

cz

zZ

x

x

xxxxbxC

c

31003732

310132

310132321

311031310

0013

2

3

4321

La siguiente variable a salir es:

3131

xxB

La variable a entrar en solución se selecciona:



rk

kk

y

cze Max

4

44

1

11 ,rr

y

cz

y

czMax

31

31,

31

37

e Max 117 , entra 4

a en solución.

En forma tabular:

jj

j

BB

j

cz

zZ

x

x

xxxxbxC

c

01021

0111

011111

130110

0013

2

4

4321

Todas las Bi

x son ahora = y el criterio de optimalidad esta satisfecho.

Note que el valor de Z no se incremento en cada iteración. En caso contrario se redujo en

cada pase. No existe razón por la cual Z deba incrementarse ya que las soluciones básicas

no eran factibles hasta que la solución fue alcanzada. En efecto Z debe decrecer o

permanecer sin cambios en cada iteración, ya que usando el Método Simplex, siempre se

tiene que ZZ ˆ y Z es siempre minimizada en el problema Dual.

Solución de un problema de Programación Lineal sin utilizar variables

artificiales:

0,

3

634

33

23

21

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx

xxZ :a sujeto Min ,

3

634

33

23

521

421

321

21

xxx

xxx

xxx

xxZ :a sujeto Min ,

3

634

33

:a sujeto

,23Min

521

421

321

21

xxx

xxx

xxx

xxZ

x´s0



00023

00000

1001130

0103460

0011330

00023

5

4

3

54321

jj

j

BB

cz

z

x

x

x

xxxxxbxC

c

Aplicando el proceso Dual-Simplex sale de solución 4

x por tener la b más negativa (-6).

Para determinar que variable entra en solución se aplica la regla siguiente:

Min

0,rj

rj

jjy

y

cz=Min

,,,

3

2,

4

3 corresponde a

2x entrar en solución.

Así:

0320031

03202384

131003110

031013422

031103510

00023

5

2

3

54321

jj

j

BB

cz

zZ

x

x

x

xxxxxbxC

c

Aplicando el Dual-Simplex sale el 3

x de solución.

Determinando que variable entra en solución se aplica la regla siguiente:

Min

,

31

32,,,

35

31=Min

,2,,,5

1 y corresponde a

4x entrar en solución.

Así:



002037

00223166

10310200

890011332

530130530

00023

5

2

4

54321

jj

j

rjBrBB

cz

zZ

x

x

x

yxxxxxxbxC

c

0535100

05351235/21

1525100560

0535410562

0515301533

00023

5

2

1

54321

jj

j

BB

cz

zZ

x

x

x

xxxxxbxC

c

Como todos los jj

cz son menores o iguales que cero entonces la solución óptima se ha

alcanzado.

Sol. Óptima:

521* Z ,

53

1* x ,

56

2* x ,

56

3* x .

Resolver un problema de Programación Lineal sin utilizar variables

artificiales (usar Dual-Simplex).

0'

2332

64

25

4321

4321

4321

sx

xxxx

xxxx

xxxxZ :a sujetoMax ,

2332

64

25

64321

54321

4321

xxxxx

xxxxx

xxxxZ :a sujetoMax ,

Entra 1

x en solución

Sale 4

x



001125

000000

10331220

01114160

001125

6

5

654321

jj

j

BB

cz

z

x

x

xxxxxxbxC

c

Aplicando Dual-Simplex:

Max

rj

jj

y

cz=

5 2 1, , ,

2 1 3

=Max

5, 2,1

2

, por lo tanto entra

1x en solución.

250213213290

2502152152555

210232321115

10211212127050

001125

1

5

654321

jj

j

rjbrBB

cz

zZ

x

x

yxxxxxxxbxC

c

41300460

4131148570

1300111165

121170101

001125

1

4

654321

jj

j

BB

cz

zZ

x

x

xxxxxxbxC

c

Como todos los jj

cz son 0 la solución óptima se ha alcanzado.

70* Z , 161* x y 104

* x .

Sale 5

x

Entra 4

x

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