MATEMATICA II ADMINISTRATIVA · Repaso de conceptos previos: 1. ... Aplicar los fundamentos teóricos del método dual simplex para resolver sistemas lineales

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CODIGO: PO-PRE-002-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016

UTEPSA – Guía MAAP

MATEMATICA II ADMINISTRATIVA

Versión: 1 Edición: 1 Año: 2016

Modalidad Presencial


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Misión de UTEPSA:

“Lograr que cada estudiante desarrolle una

experiencia académica de calidad, excelencia, con

valores, responsabilidad social, innovación,

competitividad, y habilidades emprendedoras

durante su formación integral para satisfacer las

demandas de un mercado globalizado.”

Esto se sintetiza en:

“Educar para emprender y servir”

Visión de UTEPSA: “Ser una universidad referente y reconocida por su calidad académica, investigación y compromiso con la comunidad, en la formación de profesionales íntegros, emprendedores e innovadores, según parámetros y normativas nacionales e internacionales”.”

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¿Qué es la Guía MAAP?

Es un documento que marca los objetivos de cada asignatura y que a través de actividades y otros

contenidos, orienta los esfuerzos del estudiante para garantizar un exitoso desempeño y el

máximo aprovechamiento.

Esta herramienta, otorga autoestudio y autoaprendizaje mediante trabajos, lecturas, casos, y

otras actividades que son monitoreadas por el profesor permitiendo a los participantes de la clase

desarrollar diferentes competencias.

I. Recordatorios y Recomendaciones

A su servicio Aunque las normas generales están claramente

establecidas, si a usted se le presenta una situación

particular o si tiene algún problema en el aula, o en

otra instancia de la Universidad, el Gabinete

Psicopedagógico y su Jefatura de Carrera, están para

ayudarlo.

Asistencia y puntualidad

Su asistencia es importante en TODAS las clases.

Por si surgiera un caso de fuerza mayor, en el

Reglamento de la Universidad se contemplan tres

faltas por módulo (Art. 13 Inc. b y c del

Reglamento Estudiantil UPTESA). Si usted

sobrepasa esta cantidad de faltas REPROBARÁ LA

ASIGNATURA.

Se considera “asistencia” estar al inicio, durante y

al final de la clase. Si llega más de 10 minutos

tarde o si se retira de la clase antes de que esta

termine, no se considera que haya asistido a

clases. Tenga especial cuidado con la asistencia y

la puntualidad los días de evaluación.

Comportamiento en clases

Los estudiantes y los docentes, bajo ninguna

circunstancia comen o beben dentro

el aula y tampoco organizan festejos

u otro tipo de agasajos en estos espacios,

para este fin está el Patio de Comidas.

Toda la comunidad estudiantil, debe respetar los

espacios identificados para fumadores.

También se debe evitar la desconcentración o

interrupciones molestas por el uso indebido de

equipos electrónicos como teléfonos y tablets.

Cualquier falta de respeto a los compañeros, al

docente, al personal de apoyo o al personal

administrativo, será sancionada de acuerdo al

Reglamento de la Universidad.


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II. Orientaciones para el aprendizaje

La Guía MAAP, contiene diferentes actividades de aprendizaje que han sido clasificadas y marcadas con

algunos símbolos.

La tabla a continuación, le permitirá comprender y familiarizarse con cada una de estas actividades:

Símbolo Actividad Descripción

Preguntas A través de cuestionarios, se repasan las bases teóricas generales para una mejor comprensión de los temas.

Prácticos y/o Laboratorios

Los prácticos permiten una experiencia activa; a través, de la puesta en práctica de lo aprendido las cuales según la carrera, pueden desarrollarse en laboratorios.

Casos de Estudio y ABP

Son planteamientos de situaciones reales, en los que se aplica los conocimientos adquiridos de manera analítica y propositiva.

Investigación Las actividades de investigación, generan nuevos conocimientos y aportes a lo aprendido.

Innovación y/o Emprendimiento

A través de esta actividad, se agrega una novedad a lo aprendido, con el fin de desarrollar habilidades emprendedoras.

Aplicación

Al final de cada unidad y después de haber concluido con todas las actividades, se debe indicar, cómo los nuevos conocimientos se pueden aplicar y utilizar a la vida profesional y a las actividades cotidianas.

Ética Responsabilidad Social

Formación Internacional Idioma Ingles

Serán actividades transversales que pueden ser definidas en cualquiera de las anteriores actividades.


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III. Datos Generales

ASIGNATURA: MATEMÁTICA II ADMINISTRATIVA SIGLA: EXT-150 PRERREQUISITO: Matemáticas I

APORTE DE LA ASIGNATURA AL PERFIL PROFESIONAL

La Investigación Operativa desarrolla técnicas y algoritmos matemáticos para resolver problemas

de decisión. Sin lugar a dudas el amplio campo de conocimientos, que abarca la Investigación

Operativa en la actualidad, incluye una gran variedad de herramientas. La presente asignatura

revisa algunos de los modelos más difundidos, en particular se han seleccionado aquellos que

presentan mayores posibilidades de aplicación en el contexto propio de la carrera Ingeniería

Industrial y Comercial.

A través de la planificación y diseño se optimizan procesos y sistemas de producción de bienes o servicios. Un profesional formado en este ámbito necesita conocer las características de las metodologías de modelación, comprender las posibilidades que éstas brindan y desarrollar el hábito de su utilización para la toma de decisiones. OBJETIVO GENERAL DE LA ASIGNATURA:

Formular y aplicar modelos lineales a situaciones reales optimizando los recursos empleados en

la organización usando las técnicas de programación lineal (P.L.) Identificar las posibilidades de

cambios en los sistemas productivos con base a análisis de sensibilidad. Aprender y aplicar la

metodología de solución de los problemas de transporte y asignación.

ESTRUCTURA TEMÁTICA Unidad 1

Tema: Introducción a la Investigación Operativa

Contenido:

1.1 Historia de la Investigación Operativa 1.2 Concepto y alcance de la Investigación Operativa 1.3 Fases de la Investigación Operativa 1.4. Beneficios de la Investigación Operativa 1.5 Modelización matemática

Unidad 2

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Tema: Programación lineal. Contenido:

2.1 Que es Programación lineal 2.2 Modelo general de programación lineal

2.3 Elaboración de modelos matemáticos.

2.4 Método Grafico 2.5 Método Simplex

2.6 Soluciones especiales métodos simplex

2.7 Método M – Penalización

2.8 Teoría dual y precios sombra. 2.9 Análisis de sensibilidad Unidad 3

Tema: Modelos de Transporte

Contenido:

3.1 Concepto 3.2 Métodos de solución del modelo de transporte 3.3 Forma estándar de tabular del modelo de transporte 3.4 Equilibrio de un problema de transporte 3.5 Interpretación de un modelo de transporte Unidad 4 Tema: Asignación Contenido:

4.1 Concepto. 4.2 Condición de un modelo de asignación. 4.3 Método de solución del modelo de asignación. 4.4 Interpretación de un modelo de asignación.

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA:

Taha, H.A. (2012). Investigación de Operaciones. México: Alfaomega S.A. de C.V.

Hillier F.S y Lieberman G. J. (2010). Introducción a la Investigación de Operaciones. México.

McGraw-Hill/Interamericana.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA:

Mathur K., Solow D. (2009) Investigación de Operaciones. El arte de la toma de decisiones.

Prentice Hall.

Caro R. (2009). Investigación de Operaciones en Administración. Edición Pincu.

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5. Sistema de Evaluación

A continuación, se presenta el sistema de evaluación sugerido para la asignatura:

NÚM. TIPO DE

EVALUACIÓN UNIDADES A EVALUAR PUNTOS SOBRE 100

1 PRUEBA PARCIAL Unidades 1 a 2 15

2 PRUEBA PARCIAL Unidades 3 15

3 TRABAJOS PRÁCTICOS Y

ACTIVADES EN CLASE Desarrollo de prácticas en

aula y fuera de clases. 20

4 PROYECTO DE FIN DE

MÓDULO.

Presentación de un trabajo de innovación teórico - práctico.

20

5 EVALUACIÓN FINAL Todos los temas de forma

integral. 30

Descripción de las características generales de las evaluaciones:

PRUEBA PARCIAL 1 Unidades 1,2 examen teórico-práctico.

PRUEBA PARCIAL 2 Unidad 3 examen teórico-práctico.

TRABAJOS PRÁCTICOS

Esta evaluación corresponde a las actividades de aprendizaje que los estudiantes realizarán durante la materia, ya sea en forma individual o grupal.

EVALUACIÓN FINAL

Evaluación Final: Es una prueba que evalúa todos los contenidos vistos en las diferentes unidades de la asignatura.

Proyecto Final: Este trabajo tiene como objetivo la aplicación de todos los contenidos aprendidos en clases. Se realizará en grupos de alumnos no mayores a 4 estudiantes.

Entrega del Trabajo: El trabajo debe ser avanzado durante el desarrollo de la materia. Se valorará la estructura, el contenido, la redacción y ortografía. Defensa del trabajo: Los grupos defenderán sus trabajos en las clases 19 y 20 del módulo. De los 50 puntos de la casilla Examen Final: 30 corresponden a la prueba escrita final y 20 a la entrega y defensa del Proyecto final.

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6. Guía para el Trabajo Final

INSTRUCCIONES

Para el desarrollo del trabajo final los integrantes de la materia deberán seguir los siguientes

pasos:

i. Formar un grupo de máximo de 4 estudiantes con carácter multidisciplinario y variedad

de género.

ii. Plantear al docente un trabajo enmarcado a la situación del avance de la materia.

iii. Investigar los problemas que se tiene en una empresa en cuanto a optimización y

aplicarlo en los temas de Programación Lineal, Transporte y Asignación.

iv. La presentación debe ser de calidad, impresa en papel tamaño carta con todos los

cálculos realizados utilizando editor de ecuaciones, los cuadros en procesador de texto

o planilla electrónica.

De acuerdo a este procedimiento el trabajo final deberá concentrarse en lo siguiente.

OBJETIVOS DEL TRABAJO FINAL:

- Aplicar los conocimientos obtenidos y los diferentes métodos de optimización.

- Interpretar y validar los resultados obtenidos con los métodos aplicados

Una vez cumplidos los objetivos el proyecto deberá proseguir con la siguiente estructura para la

presentación del trabajo final.

ESTRUCTURA DEL TRABAJO FINAL:

CARÁTULA

ÍNDICE

RESULTADOS DEL TRABAJO

1. Plantear el modelo de optimización por tema avanzado.

2. Resolver el problema aplicando los todos los métodos conocidos por cada tema (Utilizar el

programa informático adecuado)

3. Interpretar y validar los resultados.

CONCLUSIONES

- La EXPOSICIÓN y DEFENSA oral se realizará en la fecha mencionada al inicio de la materia.

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7. Objetivos y Actividades de cada Unidad

Unidad 1 Introducción a la Investigación Operativa

Objetivos de aprendizaje:

Introducir al estudiante en las principales características de la Investigación

Operativa (IO) y su campo de aplicación.

Investigación

1. Explique el origen y desarrollo de la Investigación Operativa.

2. ¿Qué es la IO?

3. Explique la metodología o fases de la IO. Resuma cada uno de sus pasos

4. ¿Cuáles son las áreas de una empresa que se relacionan con la IO?

5. ¿Cómo se plantea un modelo matemático?

6. ¿Cuál es la técnica más importante para resolver un modelo matemático de IO?

7. ¿Qué otras técnicas existen para resolver modelos matemáticos de IO?

Práctico No 1 Repaso de conceptos previos: 1. Determinar la pendiente y graficar la ecuación de la recta :

1) y x 5

23 2) 2 5x y

3)

13 2 0

3x y

4)

33

4y x

5) 2 xy

2. Hallar y graficar el punto de intersección de las siguientes rectas:

41)

6

x y

x y

2 3 02)

5

y x

x y

6

3) 110

2

y x

y x

Unidad 2

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Programación Lineal


Formular los modelos de programación lineal utilizando las técnicas del método gráfico y método simplex para resolver problemas de programación lineal.

Aplicar los fundamentos teóricos del método dual simplex para resolver sistemas lineales

de ecuaciones encontrando soluciones óptimas a problemas de programación lineal.

Investigación

1. ¿Qué es la Programación Lineal?

2. ¿Cuál es la finalidad de la Programación Lineal?

3. ¿Qué métodos se utilizan para resolver problemas de PL?

4. ¿Qué es un algoritmo matemático?

5. ¿Cuáles son los casos especiales del método Simplex?

6. ¿Qué software son útiles para resolver problemas de PL?

7. ¿Qué son los precios sombra? ¿Para que realizamos el análisis de sensibilidad?

8. Explique en que consiste la teoría dual. ¿Cómo se construye un problema dual?

ELABORACION DE MODELOS (PLANTEAMIENTOS)

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En la elaboración de modelos se trata de transformar un problema real a un modelo matemático (formado por variables, restricciones y una función objetivo).

EJEMPLO 1

Un fabricante produce tres tipos de juguetes: A, B y C. La capacidad de la planta está limitada a la capacidad de producción de las máquinas disponibles en los procesos de moldeado, ensamblado y pintado.

Se dispone de un máximo de 120 horas semanales en departamento de moldeado, 100 horas en ensamblado y 40 horas en el departamento de pintura. La fábrica trabaja de lunes a viernes 24 horas al día.

Los tiempos que se requieren en cada departamento para procesar una unidad de un juguete, así como las utilidades por unidad, vienen dados por:

Formule un modelo de programación lineal para determinar el número de unidades de cada juguete a producir por semana:

1. DEFINIR LAS VARIABLES

X1 = Número de unidades del juguete tipo “A” a producir [Unidad].

X2 = Número de unidades del juguete tipo “B” a producir [Unidad].

X3 = Número de unidades del juguete tipo “C” a producir [Unidad].

2. ENCONTRAR LAS RESTRICCIONES

DPTO. DE MOLDEADO: 0.4X1 + 0.2X2 + 0.3X3 120 DPTO. DE ENSAMBLE: 0.3X1 + 0.4X2 + 0.2X3 100 DPTO. DE PINTADO: 0.1X1 + 0.2X2 +0.1X3 40 X1, X2, X3 0

3. DEFINIR LA FUNCIÓN OBJETIVO

Maximizar Z = 10X1 + 8X2 + 7X3

MOLDEADO ENSAMBLE PINTADO UTILIDAD

A 0.4 [Hr/Unidad] 0.3 [Hr Unidad] 0.1 [Hr/ Unidad] 10 [$us/unidad]

B 0.2 [Hr/ Unidad] 0.4 [Hr/ Unidad] 0.2 [Hr/ Unidad] 8 [$us/unidad]

C 0.3 [Hr/ Unidad] 0.2 [Hr/ Unidad] 0.1 [Hr/ Unidad] 7 [$us/unidad]

Horas por Semana

disponibles 120 100 40

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EJEMPLO 2

Una compañía carbonífera es propietaria de dos minas, la primera produce diariamente como máximo 1 Ton de carbón de alta calidad, 4 Ton de mediana calidad y 6 Ton de carbón de baja calidad; la segunda mina puede producir como máximo 4 Ton de carbón de alta calidad, 4 de mediana y 2 de baja calidad. Asimismo, a la compañía le cuesta 100 $us/Día la operación de la mina I y 150 $us/Día la mina II.

La compañía tiene pedidos arriba de 80, 160 y 120 Ton de carbón de alta, mediana y baja calidad respectivamente.

El problema consiste en determinar cuántos días debe trabajar cada mina para minimizar los costos de operación.

0. ARMAR UNA TABLA CON LOS DATOS

Calidad

Producción Mina I

[Ton/Día]

Producción Mina II

[Ton/Día]

Demanda [Ton]

Alta 1 4 80

Mediana 4 4 160

Baja 6 2 120

Costo 100 [$US/Día] 150 [$US/Día]


X1 = Número de días que debe trabajar la mina I [Días]

X2 = Número de días que debe trabajar la mina II [Días]


DEMANDA CARBON DE ALTA 1X1 + 4x2 80 DEMANDA CARBON DE MEDIANA 4X1 + 4x2 160 DEMANDA CARBON DE BAJA 6X1 + 2x2 120 X1, X2 0


Minimizar Z = 100X1 + 150X2

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MÉTODO SIMPLEX

La mayoría de los problemas de PL tienen más de 2 variables y son, por ende, demasiado grandes para una solución grafica. Un procedimiento llamado Método Simplex puede ser utilizado para encontrar la solución óptima

El Método Simplex es en realidad un algoritmo (o un conjunto de instrucciones) con lo cual se examinan los puntos en las esquinas de una manera metódica hasta conseguir la mejor solución. Existen softwares que permiten resolver problemas de PL, pero es útil entender la mecánica del algoritmo. A continuación definiremos algunos términos importantes:

1. VARIABLE DE HOLGURA

Es aquella variable que permite convertir una desigualdad () en una igualdad (=) 2. SOLUCIÓN BÁSICA Es una solución de un sistema de sistema de ecuaciones lineales simultáneas. 3. SOLUCIÓN FACTIBLE Si todas las variables, de una solución básica, asumen valores no negativos, de lo contrario es no factible. 4. SOLUCION ÓPTIMA Es la mejor solución factible. 5. EL MÉTODO DE LA M

Es un procedimiento que permite resolver problemas de programación lineal que incluyen restricciones “=” y “=>”.

METODO SIMPLEX (CASO MINIMIZACIÓN) Directamente no se lo puede resolver un problema de minimización. No obstante, se lo convierte en una maximización y se resuelve como si fuera una maximización, después se cambia “-Z” a Min “Z”. Es decir:

Min ( Z ) = Max ( - Z ) Para plantear una solución básica factible, tanto en una minimización como en una maximización se deben considerara el signo de cada restricción siguiendo la siguiente regla:

Signo Variables

= Sumar una variable Artificial

≥ Sumar una variable Artificial y restar

una variable de Holgura.

≤ Sumar una variable de Holgura

Restricciones Ecuaciones FO Max FO Min

= + A - MA + MA

-H + A - MA + MA

+ H -------- -------

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MINIMIZACIÓN EJEMPLO 1 Minimizar Z = 3X1 + 2X2 + X3 Restricciones:

La forma estándar de este modelo es: Minimizar Z = 3X1 + 2X2 + X3 Maximizar ( - Z ) = - 3X1 - 2X2 - X3 - M A4 - MA6 Llevar a la forma de igualdad: F.O => 3X1 + 2X2 + X3 + M A4 + MA6 = 0

Restricciones Tabla Inicial:

X1 X2 X3 A4 H5 A6 LD

3 2 1 M 0 M 0

1 1 0 1 0 0 7

3 1 1 0 -1 1 10

Eliminando las M de la función Objetivo de la tabla inicial se tiene:


3 – 4M 2 – 2M 1 - M 0 M 0 -17M

1 1 0 1 0 0 7

3 1 1 0 -1 1 10

Se asigna un valor muy grande para M, por ejemplo si M=100, entonces se tiene:


-397 -198 -99 0 100 0 -1700

1 1 0 1 0 0 7

3 1 1 0 -1 1 10

Se resuelve con el método Simplex caso maximizar, se tiene la siguiente tabla:

X1 + X2 = 7 3X1 + X2 + X3 ≥ 10

X1, X2, X3 ≥ 0

X1 +X2 + A4 = 7 3X1 +X2 + X3 - H5 + A6 = 10 X1 , X2 , X3 , A4 , H5, A6 ≥ 0

Nota: En los casos de minimización. En la función objetivo se asigna a las variables Artificiales un coeficiente positivo que representa un valor muy grande (M). En casos de maximización se asigna a las Variables Artificiales un coeficiente negativo (-M).

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Resultado de la Primera Iteración:


0 -197/3 100/3 0 -97/3 397/3 -1130/3

0 2/3 -1/3 1 1/3 -1/3 11/3

1 1/3 1/3 0 -1/3 1/3 10/3

Resultado de la Segunda Iteración:


0 0 1/2 197/1 1/2 597/2 -31/2

0 1 -1/2 3/2 ½ -1/2 11/2

1 0 1/2 -1/2 -1/2 1/2 3/2

SOLUCIÓN X1 = 3/2 X2 = 11/2 X3 = 0 A4 = 0 H5 = 0 A6 = 0 Min Z = 31/2

Ejemplos Propuestos Resuelva los siguientes problemas de minimización: a) Minimizar Z = 2X1 + 3X2

Restricciones: 2X1 + 2X2 ≤ 30 X1 + 2X2 ≥ 10 X1, X2 ≥ 0

b) Minimizar Z = 5X1 + 6X2

Restricciones: 2X1 + X2 ≥ 2 4X1 + X2 ≥ 4 X1, X2 ≥ 0

Resp a)

X1 = 0 X2 = 5 H1 = 20 H2 = 0 A3 = 0 Z = 15

Resp b)

X1 = 1 X2 = 0 H3 = 0 A4 = 0 H5 = 4 A6 = 0 Z = 5

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PROBLEMA ABP RESUELTO

La empresa Concretec produce dos tipos de ladrillos: el tipo 1 y tipo 2 para el cual tienen que pasar por tres procesos para su terminación que son el de mezclado y moldeado, secado y horneado. La empresa toma en consideración 100 ladrillos para determinar las utilidades y los costos. El ladrillo del tipo 1 da una utilidad de Bs.10 y el del tipo 2 de Bs.12. El del tipo 1 necesita de 2 horas en mezclado y moldeado y de una hora en horneado, el del tipo 2 necesita de 3 horas en mezclado y moldeado, 2 horas en secado y de una hora en horneado. Cada proceso tiene limitaciones de horas para la manufacturación que son de 15, 6 y 6 horas respectivamente. Determinar una política optima de producción para Concretec.

0. ARMAR UNA TABLA CON LOS DATOS

Ladrillo Tipo 1

[Hr/Und] Ladrillo Tipo 2

[Hr/Und] Disponibilidad

[Hr]

Mezcla y modelado

2 3 15

Secado 0 2 6

Horneado 1 1 6

Utilidad [Bs/und]

10 12


X1 = Cantidad a producir Ladrillo tipo I [Und]

X2 = Cantidad a producir Ladrilo tipo II [Und]


MEZCLA Y MOLDEADO 2X1 + 3X2 15 SECADO 2X2 6 HORNEADO X1 + X2 6 X1, X2 0


Maximizar Z = 10X1 + 12X2

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MÉTODO GRÁFICO Resuelva el siguiente problema:

Max z = 10X1 + 12X2

2X1 + 3X2

15

2X2 6

X1 + X2 6

Use el método gráfico para encontrar la solución óptima y el punto óptimo.

1. PASO: Llevar a la forma de igualdad las restricciones:

2X1 + 3X2 =

15

2X2 = 6

X1 + X2 = 6

2. PASO: Despejar la variable Y, si es posible, de cada ecuación:

1X

3

25

2X

32

X

1X-6

2X

3. PASO: Graficar cada ecuación y sombrear el área que corresponda, hacia arriba o abajo, a la derecha o a la izquierda…de cada recta.

4. PASO: Identificar el área o zona factible. Esta es el área común a todas las inecuaciones.

5. PASO: Identificar con letras mayúsculas, a través de una inspección visual, los vértices del área factible. En nuestro ejemplo estos son los puntos resaltados con un círculo negro.

6. PASO: Encontrar las coordenadas de los vértices anteriores. En la mayoría de los casos se tendrá que recurrir a solucionar un sistema de ecuaciones y en otros se podrá encontrar estos puntos por simple inspección visual. Por inspección visual, las coordenadas son: A (0,0) B (0,3) C (3,3) D (6,0)

7. PASO: Reemplazamos cada una de las coordenadas en la función objetivo y elegimos el mayor resultado porque estamos maximizando: Z =10X + 12Y A (0,0)…..Z = 10x0 + 12x0 = 0 B (0,3)…..Z = 10x0 + 12x3 = 36 C (3,3)…..Z = 10x3 + 12x3 = 66 D(6,0)…..Z =10x6 +12x0 = 60 Interpretación: Para maximizar las utilidades a 66 Bs se tendrá que producir 3 ladrillos Tipo I y 3 ladrillos Tipo II

Nota: La zona factible, se identifica fácilmente por ser la zona más rayada o sombreada del gráfico.

Nota: No olvide que el método Gráfico permite resolver únicamente problemas con 2 variables.

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METODO SIMPLEX

Max z = 10X1 + 12X2

2X1 + 3X2 1

5 2X2 6

X1 + X2 6 X1, X2 0

1. PASO:

Igualar la Función Objetivo (FO) a cero y llevar a la forma de igualdad a las restricciones:

-10X1 -12X2 = 0 2X1 +3X2 +H3 = 15

2X2 +H4 = 6 X1 +X2 +H5 = 6

2. PASO: TABLA INICIAL

Llevar los coeficientes de estas variables a una tabla, tal como se muestra abajo, donde la 1° fila es la FO y las demás filas son las igualdades del paso anterior:

X1 X2 H3 H4 H5 LD

-10 -12 0 0 0 0

2 3 1 0 0 15

0 2 0 1 0 6

1 1 0 0 1 6

3. PASO:

Ubicar, en la FO el valor más negativo, en nuestro caso este valor corresponde al 12, observe:

X1 X2 H3 H4 H5 LD

-10 -12 0 0 0 0

2 3 1 0 0 15

0 2 0 1 0 6

1 1 0 0 1 6

Nota: Es bueno avisarle que, el método que se describe es solamente para maximizar y cuando todas las restricciones son (menores iguales).

Nota: Para realiza este proceso, utilizaremos un teorema matemático que dice: “toda desigualdad se puede convertir en igualdad sumando un variable al lado izq. de la restricción”

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4. PASO: ELEMENTO PIVOTE

Marcar la columna del valor anterior y determinar las razones para cada igualdad, para esto dividir el lado derecho LD entre los coeficientes de la columna marcada (columna X2 en este caso) de la siguiente manera:

X2 LD

-12 0

3 15 15 3 = 5

2 6 6 2 = 3

1 6 6 1 = 6

5. PASO:

Convertir el ELEMENTO PIVOTE en 1, dividiendo toda la fila por el mismo (dividiremos por 2 en este caso).

X1 X2 H3 H4 H5 LD

-10 -12 0 0 0 0

2 3 1 0 0 15

0/2 2/2 0/2 1/2 0/2 6/2

1 1 0 0 1 6

Entonces tendremos:

X1 X2 H3 H4 H5 LD

-10 -12 0 0 0 0

2 3 1 0 0 15

0 1 0 1/2 0 3

1 1 0 0 1 6

6. PASO:

Convertir todos los elementos de la COLUMNA PIVOTE en cero o positivos, a través de operaciones en fila. El resultado es:

X1 X2 H3 H4 H5 LD

-10 0 0 6 0 36

2 0 1 -3/2 0 6

0 1 0 1/2 0 3

1 0 0 -1/2 1 3

Nota: Si no existiesen valores negativos en está fila el Método Simplex termina, interpretamos la tabla y determinamos la solución.

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7. PASO: ¿ES LA SOL. OPTIMA?

Para determinar esto, debemos observar la fila de la FO, y preguntarnos si existen todavía valores negativos. Observemos la tabla anterior:

X1 X2 H3 H4 H5 LD

-10 0 0 6 0 36

2 0 1 -3/2 0 6

0 1 0 1/2 0 3

1 0 0 -1/2 1 3

Como verá, existe un valor negativo todavía (el 10) y se deberán realizar todos los pasos, otra vez, a partir del 4° (el cual consiste en determinar el nuevo ELEMENTO PIVOTE) A continuación se resume todo lo que hemos hecho, más el proceso completo:

TABLA INICIAL:

X1 X2 H3 H4 H5 LD

10 12 0 0 0 0

2 3 1 0 0 15

0 2 0 1 0 6

1 1 0 0 1 6

RESULTADO DE LA PRIMERA ITERACION:

X1 X2 H3 H4 H5 LD

-10 0 0 6 0 36

2 0 1 -3/2 0 6

0 1 0 1/2 0 3

1 0 0 -1/2 1 3

RESULTADO DE LA SEGUNDA ITERACION:

X1 X2 H3 H4 H5 LD

0 0 5 -3/2 0 66

1 0 1/2 -3/4 0 3

0 1 0 1/2 0 3

0 0 -1/2 1/4 1 0

RESULTADO DE LA TERCERA ITERACION:

X1 X2 H3 H4 H5 LD

0 0 2 0 6 66

1 0 -1 0 3 3

0 1 1 0 -2 3

0 0 -2 1 4 0

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8. PASO FINAL: INTERPRETACION

Para interpretar se ubican aquellas columnas en las que hubiera 1 y 0 solamente, observe:

RESULTADO DE LA TERCERA ITERACION:

X1 X2 H3 H4 H5 LD

0 0 2 0 6 66

1 0 -1 0 3 3

0 1 1 0 -2 3

0 0 -2 1 4 0

El valor de la FO corresponde al valor de la esquina superior derecha de la tabla anterior:

Max Z = 66 X1 = 3 X2 = 3 H3 = 0 H4 = 0 H5 = 0

Para maximizar las utilidades a 66 Bs se tendra que producir 3 ladrillos Tipo I y 3 ladrillos Tipo II, siendo los valores de las holguras del proceso de mezcla y modelado, secado y horneado recursos escasos.

PRECIOS SOMBRA

X1 X2 H3 H4 H5 LD

0 0 2 0 6 66

1 0 -1 0 3 3

0 1 1 0 -2 3

0 0 -2 1 4 0

También el precio sombra determina el valor marginal o la tasa a la cual aumentará la función objetivo si es que se incrementa el recurso:

unidades de NoYi Z Z' Por ejemplo: Si el recurso mezcla y modelado se aumenta en 1 unidad (1hora), entonces la función objetivo aumentará en:

Z’ = Z + YiNo de unidades = 66 + 21= 68 Bs Si el recurso secado se aumenta en 1 unidad (1 hora), entonces la función objetivo aumentará en:

Z’ = Z + YiNo de unidades = 66 + 01= 66 Bs Si el recurso horneado se aumenta en 1 unidad (1 hora), entonces la función objetivo aumenta en:

Z’ = Z + YiNo de unidades = 66 +61=72 Bs Al realizar el análisis de sensibilidad si se desea aumentar una hora adicional de trabajo se recomienda el proceso de horneado donde se obtiene una mayor utilidad.

Observe: Los precios sombra en el renglón Z corresponden a: Y1 = 2 Bs/Hr Y2 = 0 Bs/Hr Y3 = 6 Bs/Hr

22



PRÁCTICO No 1 1. Resuelva el siguiente programa lineal:

Max z = x1 + x2 1x1 + 2x2 6 3x1 + 2x2 12 x1 , x2 0

A. Use el método gráfico para encontrar la solución óptima y el punto óptimo. B. ¿Cuántos puntos extremos tiene la región factible?

2. Considere el siguiente programa lineal:

Min z = 4x1 + 5x2 4x1 + 4x2 20 6x1 + 3x2 24 8x1 + 5x2 40 x1 , x2 0



Max z = 3x1 + 4x2 2x1 + 4x2 16 2x1 + 4x2 24 6x1 + 3x2 48 x1 , x2 0



Min z = 4E + 3F E F 2F 2E E + F 4 5E + 2F 20 3E + 6F 24 E , F 0


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PRÁCTICO No 2 1. Resuelva el siguiente problema a través del método simplex.

2. Resuelva el siguiente problema a través del método simplex. 3. Resuelva el siguiente problema a través del método simplex. 4. Resuelva el siguiente problema a través del Método Simplex.

Maximizar:

Z = -X1 + X2 + 2X3

Sujeta a:

X1 + 2X2 - X3 ≤ 10

-2X1 + 4X2 + 2X3 ≤ 40

2X1 + 3X2 + X3 ≤ 30

X1 , X2 , X3 0

Maximizar

Z = 30X1 + 12X2 + 15X3

Sujeta a:

9X1 + 3X2 + 5X3 ≤ 500

5X1 + 4X2 + ≤ 350

3X1 + 2X3 ≤ 150

X1 , X2 , X3 0

Maximizar

Z = 3000X1 + 2000X2

Sujeta a:

X1 + 2X2 ≤ 6

2X1 + X2 ≤ 8

-X1 + X2 ≤ 1

X2 ≤ 2

X1 , X2 0

Minimizar

Z = 2X1 + 2X2

Sujeta a:

X1 + 1X2 = 10

X1 + 2X2 ≥ 8

-X1 + X2 ≤ 2

X1 , X2 0

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PRÁCTICO No 3

Formule los siguientes problemas como un modelo matemático de programación lineal: 1. Una fábrica de artículos del hogar manufactura 2 artefactos A y B. Ambos sufren 3 procesos

en el mismo orden, que son: maquinado, armado y montaje. Las disponibilidades de minutos diarios de cada proceso son: 480, 600 y 540 respectivamente. El artefacto A deja un beneficio de 100 $/unidad, en tanto que el B proporciona 120 $/unidad.

En el proceso de maquinado se utilizan 4 minutos por cada unidad de artefacto A y 8 minutos por cada unidad de artefacto B. En el proceso de armado se utilizan 5 y 6 minutos respectivamente. Y finalmente, en el proceso de montaje se utilizan 12 y 8 minutos respectivamente.

2. Una pequeña carpintería está planeando la producción el presente mes. Actualmente opera

con solo dos productos puertas y ventanas. La mano de obra disponible para el presente mes es de 400 h-hom Cada puerta requiere 4 h-hom y tiene una contribución unitaria de 35 Bs., Una ventana requiere de 3 h-hom y tiene una contribución unitaria de 25 Bs. De acuerdo a sus ventas pasadas se tiene previsto vender hasta 70 puertas y 120 ventanas.

3. Una pequeña fábrica produce pinturas para interiores y exteriores de casas, para su

distribución al mayoreo. Se utilizan 2 materias primas A y B para producir estas pinturas. Los requisitos diarios de materia prima por tonelada de pintura se resumen en la siguiente tabla:

Toneladas de materia prima por

tonelada de pintura

Pintura

de exterior

Pintura de

interior

Disponibilidad máxima por día

Materia prima A 1 2 6

Materia prima B 2 1 8

Un estudio de mercado ha establecido que la demanda diaria de pintura para interiores no puede ser mayor que la pintura para exteriores en más de una tonelada. El estudio también revela que la demanda de pintura para interiores esta limitada a menos de dos toneladas diarias. El precio al mayoreo por tonelada es de 300$ y 200$ para pintura de exteriores e interiores, respectivamente.

4. Una compañía, que opera 10 horas al día, fabrica cada uno de 2 productos en tres máquinas

diferentes (En donde el proceso es secuencial). La tabla siguiente resume los datos del problema:

Producto Maquina 1

(Min/ unidad) Maquina2

(Min/ unidad) Maquina3

(Min/ unidad) Utilidad

($/unidad)

1 10 6 8 2

2 5 20 10 3

25



5. INDUSTRIAS DEL CAMPO, tiene dos máquinas distintas para procesar leche pura y producir leche descremada, mantequilla o queso. La cantidad de tiempo requerido en cada máquina para producir cada unidad de producto y las ganancias netas se proporcionan en la siguiente tabla:

LECHE

DESCREMADA MANTEQUILLA QUESO

MAQUINA 1 2 min / litro 5 min / Kg 2 min / Kg

MAQUINA 2 3 min / litro 7 min / Kg 2 min / Kg

UTILIDAD: 3 Bs / litro 2 Bs / Kg 4 Bs / Kg

Suponiendo que se dispone de 8 horas diarias en cada máquina, como gerente del departamento de producción, formule un modelo para determinar un plan de producción diaria que maximice las ganancias y produzca un mínimo de 300 litros de leche descremada, 200 Kg. de mantequilla y 100 Kg. de queso

6. Una institución educativa ofrece un total de 30 cursos cada semestre. Los cursos que ofrece

son de dos tipos: prácticos, como los trabajos en madera, procesador de palabras y mantenimiento de automóviles; y humanísticos como historia, música y bellas artes. Para satisfacer la demanda de la comunidad, es necesario ofrecer por lo menos 10 cursos de cada tipo, cada semestre. Se calcula que los ingresos por ofrecer estos cursos son aprox. 1500 y 1000 Bs. por curso, respectivamente. Formule un modelo para que la institución asigne los 30 cursos.

7. Una línea de ensamble que consta de tres estaciones consecutivas produce 2 modelos de

juguetes A y B. La tabla proporciona los tiempos de ensamble para las tres estaciones de trabajo.

MINUTOS POR UNIDAD

ESTACION DE TRABAJO

MODELO A MODELO B

1 6 4

2 5 5

3 4 6

COSTO: BS/UNID

20 25

El mantenimiento diario de las estaciones 1, 2 y 3 consume 10%, 14% y 12%, respectivamente, del máximo de 480 minutos disponible para cada día. Se contrata a su persona para determinar la mezcla óptima de productos que minimice los costos de producción.

8. Un fabricante produce 3 modelos I, II y II de cierto producto utilizando las materias primas A

y B. la siguiente tabla proporciona los datos del problema:

26



REQUERIMIENTOS POR

UNIDAD

Materia prima I II III DISPONIBILIDAD

A 2 3 5 400

B 4 2 7 600

Demanda mínima 200 200 150

Costo ($/ unidad ) 30 20 50

9. BG BOLIVIA puede producir dos tipos de petróleo crudo: petróleo ligero a un costo de 25

$/barril y petróleo pesado a 22 $/barril. Cada barril de petróleo crudo, ya refinado, produce tres productos: gasolina, diesel y kerosén. La tabla siguiente indica las cantidades en barriles de gasolina, diesel y kerosén producidos por barril de cada tipo de petróleo crudo:

Barril de gasolina/

barril de crudo Barril de diesel/ barril de crudo

Barril de kerosén/ barril de crudo

Crudo ligero

0.45 0.18 0.30

Crudo pesado

0.35 0.36 0.20

La refinería de BG se ha comprometido a entregar 1260 barriles de gasolina, 900 barriles de diesel y 300 barriles de kerosén. Como gerente de producción formule un modelo para determinar la cantidad de cada tipo de petróleo crudo a producir.

10. En Muebles Hurtado debido a que las ganancias se han reducido, la

gerencia decidió reorganizar la línea de producción. A partir de hoy se van a producir puertas y ventanas de mara. Después de hacer algunas investigaciones el departamento de IO determinó en un cuadro las capacidades y requerimientos de los productos, así como las utilidades unitarias:

PRODUCTO

VENTANA PUERTA CAPACIDAD DISPONIBLE

MADERA 2 m3/Unid 4 m3/Unid 24 m3

BARNIZ -- 2 litros/Unid 8 litros

HORA MAQUINA 1 hora/ unidad 1 hora/ unidad 10 horas

UTILIDAD[$U$/ Unid] 20 25

¿Qué cantidad de Ventanas y puertas deben producir para maximizar sus utilidades? 11. Un herrero con 80 kgs. de acero y 120 kgs. de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de

montaña que quiere vender, respectivamente a 200 y 150 $us cada una para sacar el máximo

UN

IVE

RSI

DA

D T

EC

NIC

A P

RIV

AD

A D

E S

AN

TA

CR

UZ

SI

STE

MA

SE

MIP

RE

SEN

CIA

L U

NIV

ER

SIT

AR

IO

PR

AC

TIC

O 4

M

AT

ER

IA: I

NV

ES

TIG

AC

ION

DE

OP

ER

AC

ION

ES

27



beneficio. Para la de paseo empleará 1 kg. De acero y 3 kgs de aluminio, y para la de montaña 2 kgs. de ambos metales. (Como se observa en la siguiente tabla) ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña venderá?

Acero Aluminio

Paseo 1 3

Montaña 2 2

12. Una firma industrial elabora dos productos, en los cuales entran 4 componentes en cada uno.

Hay una determinada disponibilidad de cada componente y un beneficio por cada producto. Se desea hallar la cantidad de cada artículo que debe fabricarse, con el fin de maximizar los beneficios

Producto Componente

P1 P2 Disponibilidad [kg]

A 1 3 15

B 2 1 10

C 2 2 12

D 1 1 10

Utilidad [$us/und] 4 3

13. Una fábrica pequeña de juguetes produce pelotas de basketball y de voleyball. Los recursos disponibles semanales son 20 pies cuadrados de cuero y 18 horas de máquina. Los requerimientos de recursos por cada unidad de los dos tipos de pelotas así como la ganancia se muestran en el siguiente cuadro:

Prod1 Pelota de Basketball

Prod2 Pelota de Boleyball

Disponibilidad

Hr – Maquina 3 2 18

No de pies cuadrados de cuero

2 1 20

Utilidad [$us/und] 200 150

¿Qué cantidad de pelotas de basketball y boleyball debe producir la fábrica de juguetes? 14. La CIA. REPCO tiene una pequeña planta que se limita a 2 productos industriales A y B. El departamento de producción ha calculado las utilidades unitarias de cada producto como así los requerimientos de tiempo de estos y el tiempo total disponible en cada departamento.

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Producto Industrial

Producto Industrial

Horas disponibles

Dpto. [Hr/und] A B

I 2 3 150

II 3 2 150

III 1 1 60

Utilidad [Bs/und] 10 12

15. Una fábrica de carrocerías de automóviles y camiones tiene 2 secciones. En la sección A, para hacer la carrocería de un camión, se invierten 7 días-operario, para fabricar la de un auto se precisan 2 días-operario. En la sección B se invierten 3 días-operario tanto en carrocerías de camión como de auto. Por limitaciones de mano de obra y maquinaria, la nave A dispone de 300 días-operario, y la nave B de 270 días-operario. Si los beneficios que se obtienen por cada camión son de 600 $us. y de 300 $us. por cada auto. ¿Cuántas unidades de cada clase se deben producir para maximizar las ganancias?

16. Una compañía camionera tiene tres tipos de camiones: I, II y III. Estos camiones están equipados para transportar dos tipos diferentes de máquinas en cada carga, de acuerdo a la siguiente tabla:

MÁQUINA TIPO I TIPO II TIPO III

A 1 1 1

B 2 1 1

Los camiones del tipo I,II y III cuestan 400$us, 600$us y 900$us, respectivamente. Se requiere determinar cuántos camiones de cada tipo se deben usar para transportar igual a 12 máquinas del tipo A, por lo menos 16 máquinas del tipo B. (M=1000)

17. Muebles Hurtado fabrica 2 clases de sillones cada una de ellas requiere una técnica diferente de fabricación. El sillón de lujo requiere 40 Hr de mano de obra, 20 Hr de maquinado y produce una utilidad de 50 $us; el sillón estándar requiere 30 Hr de mano de obra, 40 Hr de maquinado y produce una utilidad de 80$us; Se dispone 1800 Hr de mano de obra y 1500 Hr de maquinado cada mes. ¿Cuántos sillones de lujo y estándar tiene que fabricar?

Aplicación de lo aprendido

En una empresa del medio identifica un problema para resolver aplicando todos los temas aprendidos en la unidad, utilizando un software, encuentra la solución óptima e interpreta los resultados obtenidos. Exponer y presentar en el proyecto final de la materia.

Unidad 3 Modelos de Transporte

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Reconocer la estructura de un problema de transporte.

Plantear un problema de transporte utilizando las técnicas de la programación lineal y

obtener soluciones por los métodos de transporte.

Investigación

1. ¿Cómo definiría un modelo de transporte? 2. ¿Cuál es el algoritmo en que se basa un modelo de transporte? 3. ¿Qué se necesita aumentar para balancear un modelo de transporte? 4. ¿Qué métodos se utilizan para resolver un modelo de transporte? Explica brevemente cada uno. 5. ¿Qué software son útiles para resolver un modelo de transporte?

PRÁCTICO No 4

1. Una compañía tiene 3 campos petroliferos y cinco refinerias regionales. En la siguiente tabla se indica los costos de transporte de 100 barriles/dia desde los campos hasta las refinerias. Las capacidades de las refinerias y la produccion de los tres campos.

REFINERIAS

CAMPOS A B C D E PRODUCCION en

centena de barriles por dia

1 42 32 33 39 36 200

2 34 36 37 32 34 200

3 38 31 40 35 35 300

DEMANDA en centenada barriles

por dia 100. 120 140 160 180

2. APOLO CONTRUCCIONES, realiza obras civiles dentro de la industria petrolera. Recientemente la empresa gano una licitación con 3 obras, una en Bulo-Bulo, otra en Yacuiba y la tercera en Camiri. Para realizar estas obras, la empresa debe enviar 3 tractores a Bulo-Bulo, 2 a Yacuiba y 3 a Camiri. Actualmente la empresa dispone de 4

30



tractores en las oficinas de Santa Cruz y 4 en la zona de Villamontes. La empresa ha contactado a diferentes empresas de transporte para realizar en traslado de las maquinarias desde su ubicación actual a las diferentes obras. Obteniendo la siguiente información de costos en Bs ( se han omitido 2 ceros) :

Hacia

Desde Bulo-Bulo

Yacuiba Camiri

Santa Cruz 10 8 9

Villamontes 7 5 8

3. D.M.C. distribuidor mayorista de equipos y accesorios de computación, está distribuido

en la red troncal del país. (Santa Cruz - Cochabamba - La Paz).Los costos de transporte de la empresa, desde las plantas de ensamblado hasta cada tienda detallista, por cada computadora en $U$, viene dados en el siguiente cuadro, así como las ofertas y demandas de computadoras de cada ciudad:

4. La empresa D&P . distribuidor mayorista de productos de para cocina, debe transportar

cierta mercadería. Los costos de transporte de la empresa, desde los almacenes hasta cada ciudad, vienen dados en el siguiente cuadro, así como las ofertas y las demandas de los mismos:

D1 D2 D3 Oferta

O1 10 8 9 40

O2 17 15 8 50

Demanda 30 20 30

a) Formule el planteamiento del problema b) Encuentre la solución óptima e indique el plan de envío optimo c) Encuentre el costo total mínimo, si los costos de transporte están expresados en

$us/unidad y las demandas y ofertas representan unidades. 5. Una compañía tiene fábricas en Santa Cruz, Cochabamba y La Paz, las cuales proveen a los almacenes que están en Beni, Pando, Oruro y Tarija. Las capacidades mensuales de las fábricas son 70, 90 y 115 (unidades) respectivamente.

Planta Ensambladora

Tiendas detallistas ubicadas en

Beni Oruro Tarija Pando Oferta:

Santa Cruz 5 3 2 6 170

Cochabamba 4 7 8 10 200

La Paz 6 5 3 8 170

Demanda: 170 170 170 170

31



D1 D2 D3 D4 Oferta

O1 17 20 23 12 70

O2 15 21 26 25 90

O3 15 14 15 17 115

Demanda 50 60 70 95

a) Formule el planteamiento del problema b) Encuentre la solución óptima e indique el plan de envío optimo c) Encuentre el costo total mínimo, si los costos de transporte están expresados en

$us/unidad y las demandas y ofertas representan unidades. 6. El ingenio Guabirá que tiene 3 almacenes reparte azúcar a 4 heladerías cuyas demandas son 6000, 4000, 2000 y 1500 (Tn) de azúcar mensual. La cantidad de azúcar que se tiene almacenada para cubrir esta demanda en cada uno de los almacenes es 5000,6000, 2500 (Tn). Encontrar el modelo de transporte que minimice el costo de transporte de esta materia prima. A continuación se encuentran los costos (Bs/Tn) para trasladar el azúcar de los almacenes a las heladerías.

Heladería A Heladería B Heladería C Heladería D

Almacén 1 3 2 7 6

Almacén 2 7 5 2 3

Almacén 3 2 5 4 5

7. Industrias IOL tiene 3 zonas de producción de soya: Pailón, Guarayos y Okinawa además de 3 centros de acopio ubicados en Montero, Cotoca y Santa Cruz. Las demandas y las ofertas en toneladas se detallan a continuación, así como los costos de transporte en toneladas:

Montero Cotoca Santa Cruz Oferta

Pailón 5 1 2 200

Guarayos 5 6 7 330

Okinawa 3 7 6 200

Destino 200 300 500

Encontrar el modelo de transporte para distribuir la producción de soya al menor costo.


En una empresa del medio identifica un problema para resolver aplicando todos los métodos aprendidos en la unidad, utilizando un software, encuentra la solución óptima e interpreta los resultados obtenidos. Exponer y presentar en el proyecto final de la materia.

Unidad 4 Asignación


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Aplicar el modelo matemático de respuesta a problemas de asignación.

Investigación

1. ¿En qué consiste un modelo de asignación? 2. ¿Cómo se resuelve un modelo de asignación? 3. ¿Qué software son útiles para resolver un modelo de transporte?

PRÁCTICO No 5

1. Cuatro trabajadores requieren el uso de una cualesquiera de las maquinas A,B,C,D. los tiempos ( min) tomados por cada máquina para realizar cada trabajo son mostradas en la matriz siguiente:

A b c d

A 10 5 9 18

B 13 19 6 12

C 18 9 12 17

D 11 6 14 19

Encontrar la asignación que minimice el tiempo total.

2. Se desea instalar cuatro fábricas: una de papel, otra de vidrio, fibra artificial y llantas. Se ha tomado la decisión de invertir en una fábrica para Montero, Cotoca, Camiri y El Torno es necesario conocer el tipo de fábrica en cada una de estas ciudades. La matriz que se muestra a continuación, muestra los costos ( se han omitido 4 ceros):

Montero Cotoca Camiri El Torno

Papel 27 13 26 28

Vidrio 35 22 10 22

Fibra 12 30 40 32

Llantas 15 26 14 28

Haga la asignación óptima.

3. Una compañía que vende carros tiene disponibles un Toyota, un Mitshubishi, un Chevrolet y un Suzuki. Cuatro oficinas de la compañía las solicitan. Se ha decidido enviar un solo modelo de automóvil a cada oficina de manera que el costo total sea mínimo. La matriz es la siguiente:

Of.1 Of.2 Of.3 Of.4

Toyota 10 5 3 8

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Mitshubishi 4 3 7 5

Chevrolet 13 10 12 14

Suzuki 7 8 4 6

¿Cuál debe ser la asignación?

4. El jefe de departamento de contabilidad tiene cuatro empleados nuevos a quienes debe

asignar cuatro tareas que cumplirse esta semana. Cada empleado necesita el siguiente tiempo para hacer cada tarea. Cualquier empleado es capaz de realizar cualquier tarea y recíprocamente cualquier tarea puede ser asignada a cualquier empleado. La matriz de los tiempos en minutos es la siguiente:

T1 T2 T3 T4

A 8 26 17 11

B 13 28 4 26

C 38 19 18 15

D 39 26 24 50

5. El jefe del departamento de contabilidad tiene 5 empleados nuevos a quienes debe asignar 5

tareas que deben cumplirse esta semana. Cada empleado necesita el siguiente tiempo para hacer cada tarea. Cualquier empleado es capaz de realizar cualquier tarea y recíprocamente cualquier tarea puede ser asignada a cualquier empleado como se muestra en la siguiente tabla

TAREAS

Empleados 1 2 3 4 5

1 5 3 7 3 4

2 5 6 12 7 8

3 2 8 3 4 5

4 9 6 10 5 6

5 3 2 1 4 5

Se pide determinar la asignación óptima.


En una empresa del medio identifica un problema para resolver aplicando el método aprendido en la unidad, utilizando un software, encuentra la solución óptima e interpreta los resultados obtenidos. Exponer y presentar en el proyecto final de la materia.

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MATEMATICA II ADMINISTRATIVA · Repaso de conceptos previos: 1. ... Aplicar los fundamentos teóricos del método dual simplex para resolver sistemas lineales