Dva osnovna načina logičkog zaključivanjagimnazija-vnazora-zd.skole.hr/upload/gimnazija-vnazora-zd/images/... · Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV 9. U raspisu izraza . binomni

Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV

MATEMATIČKA INDUKCIJA

Uvod

dodatni uvijeti

matematièka indukcija

induktivni pristup

uvijek dao ispravne rezultate

deduktivni pristup

Dva osnovna načina logičkog zaključivanja

Deduktivni pristup krećemo od općih spoznaja i izvodimo istinite činjenice u nekom konkretnom slučaju. Induktivni pristup krećemo od činjenica koje vrijede u konkretnim primjerima i na temelju toga zaključujemo o istinama koje vrijede u općenitoj situaciji. Princip matematcke indukcije

Ako neka tvrdnja vrijedi za broj 1 i ako iz pretpostavke vrijedi za prirodni broj n slijedi da ta tvrdnja vrijedi i za slijedeći broj n+1, tada vrijedi za svaki prirodni broj n.

Autor:E.M. Fotografije:E.M.


Koraci provođenja matematičke indukcije

1. Dokaži matematičkom indukcijom da je za svaki prirodni broj n vrijedi odnosno pokazati istinitost formule-tvrdnje.

1. Baza indukcije T (1) za n = 1

vrijedi 2. Pretpostavka indukcije – vrijedi za sve sve n-ove



3. Korak indukcije T (n+1) Trebamo dobiti formulu za broj n+1 koja je istovjetna zadanoj za broj n na desnoj strani:

2. Dokaži matematičkom indukcijom da je za svaki prirodni broj n




2. Pretpostavka indukcije – vrijedi za sve sve n-ove 3. Korak indukcije T (n+1) Trebamo dobiti formulu za broj n+1 koja je istovjetna zadanoj za broj n na desnoj strani:



3. Dokaži matematičkom indukcijom da je za svaki prirodni broj n


Samostalno! 2. Pretpostavka indukcije – vrijedi za sve sve n-ove 3. Korak indukcije T (n+1) Trebamo dobiti formulu za broj n+1 koja je istovjetna zadanoj za broj n na desnoj strani:

Samostalno provjeriti da li nakon sređivanja odgovara gornjem izrazu



4. Dokaži matematičkom indukcijom da za svaki prirodni broj n vrijedi

, 1. Baza indukcije T (1) za n = 1

vrijedi 2. Pretpostavka indukcije – vrijedi za sve sve n-ove 3. Korak indukcije T (n+1)


, Samostalno! R:





vrijedi 2. Pretpostavka indukcije – vrijedi za sve sve n-ove 3. Korak indukcije T (n+1)


, Samostalno! R:



Formule za zbrojeve potencija

8. Izračunaj



9. Izračunaj Samostalno! R: 10. Izračunaj Samostalno riješite!

R:



BINOMNI POUČAK

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6321!3

221!2

2n1nn2n1nn2n1nn3n

1nn1nn1nn2n

n1

n

! 1

n1n

10n

takoeficjenabinomnihnekihačunanje

NnR,ba,svakia

−−=

⋅⋅

−−=

−−=

−=

⋅

−=

−=

===

=

+−−

++−

+−+−+=+

∈∈

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

nb0ann1nb1a1n

n3b3na3n

2b2na2n1b1na1

n0bna0nnb

K

R

Z

a

Slobodni član u razvoju binoma ne sadrži x. Opći član binomnog rastava:

Zbroj binomnih koeficijenata u razvoju potencije je .



1. Prikaži pomoću binomne formule:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

4321

1234

4321

3424144

!4

4321

234

321

24144

!3

632

12

32

4144

41

4;1

1

1114

=/⋅/⋅/⋅/

/⋅/⋅/⋅/=

⋅⋅⋅

−−−=

−−−=

=/⋅/⋅

/⋅/⋅=

⋅⋅

−−=

−−=

=⋅=/

⋅/=

⋅

−=

−=

====

=−++

+−+−+−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

3n2n1nn44

2n1nn34

212!

1nn24

1!

n14

04

40x4431-1x

34

22x2413x1

404x041-x



( ) ( ) ( )

( )

( ) 1x42x 63x44x41-

1-

1-x

+⋅−⋅+⋅−=

⋅⋅+⋅−⋅+⋅−=

⋅⋅+⋅+⋅⋅+−⋅+⋅⋅=

11144

1411114

x2x 63x44x

0x11-1x2x 63x44x

x

x



( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

154321

12345

54321

453525155

!5

54321

2345

4321

3525155

!4

1025321

32

45

321

25155

!3

1025

12

245

21

155

51

5;1

51551

111

=/⋅/⋅/⋅/⋅/

/⋅/⋅/⋅/⋅/=

⋅⋅⋅⋅

−−−−=

−−−−=

=/⋅/⋅/⋅

/⋅/⋅/⋅=

⋅⋅⋅

−−−=

−−−=

=⋅=/⋅/⋅

/⋅/⋅=

⋅⋅

−−=

−−=

=⋅=/

/⋅=

⋅

−=

−=

====

=+++

+++=+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

4n3n2n1nn55

3n2n1nn45

2n1nn35

2!

1nn25

1!

n15

0x41x45312x

35

23x2514x1

505x055︶ 1x2

05

2

Samostalno nastavite rješavati!



5x

13x

5

x

10x103x55x

5

x1x

−+−⋅+⋅−=

=⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−=

=⋅−

/⋅/⋅+

/⋅//⋅−

//

⋅/⋅+/

⋅/⋅−⋅=

=−+−⋅+−⋅

+−⋅+−⋅+−⋅=

=−+−+−+

+−+−+−=−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

5x

1

x

11x

11x13x5x

5x

1

34x

1x13x

12x2x

113x1x

134x5x

x

10x4

x

11x3

x

12x

2

x

13x11

x

4x0

x

15x1

x

10x4

x

11x45

3

x

12x35

2

x

13x25

1

x

4x150

x

15x05

13

51005

1

510051

52010

01

5

5

55

1)3



( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

154321

12345

54321

453525155

!5

54321

2345

4321

3525155

!4

1025321

32

45

321

25155

!3

1025

12

245

21

155

51

5;1

=/⋅/⋅/⋅/⋅/

/⋅/⋅/⋅/⋅/=

⋅⋅⋅⋅

−−−−=

−−−−=

=/⋅/⋅/⋅

/⋅/⋅/⋅=

⋅⋅⋅

−−−=

−−−=

=⋅=/⋅/⋅

/⋅/⋅=

⋅⋅

−−=

−−=

=⋅=/

/⋅=

⋅

−=

−=

====

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

4n3n2n1nn55

45

35

05

3n2n1nn

2n1nn

2!

1nn25

1!

n15

4. Odredi zbroj koeficijenata u razvoju binoma (5 x2 – 4 y3)7. a = 5 x2 b = - 4 y3

n = 7 R: 1



5. Zbroj binomnih koeficijenata u razvoju potencije

iznosi 128. Odredi član koji sadrži Zbroj binomnih koeficijenata u razvoju potencije je .

- Određivanje člana koji sadrži

Opći član binomnog rastava:

kbkna −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kn

( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =−−

=+−

=−

k

k31k7

23

ak

k31-k7

23

akk3

1-a

k723

a 7777k

( ) 5k3

1k723

akak77⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =−−

( ) 5k 31k7 =−−

23



5a sadrži član k =5

6. Odredi onaj član u razvijenom obliku potencije , koji

ne sadrži a.

kbkna −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kn

1

ka

k

32

akk

a

k

32

ak

k

a1k

2a 151515⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

−

=−−k

−

=−−

1

15

1

15153

1 opći član binomnog rastava:



⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−⋅

−=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−−=−−

−

kaakkaak

ka

k

32

ak151515 3

2152)15(32

1

15 kk

=

−−

−=

−−

−=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−

−

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛k

3k230

ak

k3

k230

akkaak

151515 3230 k

=

−

−=

−

−=

−

−

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 3k530

ak3

3k-k230

ak3

3k-k230

ak151515

0=−3

k503

0=−3

k503

6530

30kk50

==

==− 0

k

53

0n

1.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛6n

7.

5n

4n

3n

2n

1n

6.5.4.3.2.



Sedmi član ne sadrži a. 8. Zbroj koeficijenata prvog, drugog i trećeg člana u raspisu izraza

jednak je 46. Odredi onaj član raspisa koji ne sadrži x.

kbkna −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kn

Zbroj koeficijenata prvog, drugog i trećeg člana je 46. 1. 2. 3.



Potencije binoma su uvijek pozitivne vrijednosti.

- Određivanje člana koji ne sadrži x

Opći član binomnog rastava:

član ne sadrži x (slobodni član)



9. U raspisu izraza binomni koeficijent trećeg člana

za 44 je veći od binomnog koeficijenta drugog. Odredi slobodni član. Slobodni član u razvoju binoma ne sadrži x. Uputa: Binomni koeficijent trećeg člana za 44 je veći od binomnog koeficijenta drugog člana treći član

drugi član

Određivanje slobodnog člana koji ne sadrži x isti postupak kao u prethodnom zadatku

10. Član od 6

4 x1x

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛+ koji ne sadrži x

n = 6

41

x

21

x

−==

==

4 x1

x

b

a

__________ U binomnom razvoju broj članova je za jedan veći od zadanog eksponenta.



n = 6 → sedam članova u binarnom razvoju Opći član binomnog rastava:

Samostalno!

11. U prikazu binoma n

x12x koeficijenti četvrtog i desetog se

podudaraju. Odredi onaj član koji ne sadrži x.

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

n

x12 ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +x

a

2x=

1−== xx

1b

0n

1.

a) Četvrti i deseti član se podudaraju

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

9n

3n

10.4.

,8n,7

n,6n,5

n,4n,,2

n,1n,

9.8.7.6.5.3.2.



( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )987654321

8n7n6n5n4n3n2n1nn9

3212n1nn

3

k211kn1nn

9n

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

−−−−−−−−=

=

⋅⋅−−=

=

⋅⋅⋅+−⋅⋅−=

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

KK

9n

k

3n

k

kn

3n

0n

1.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛9n

3n

10.4.

,8n,7

n,6n,5

n,4n,,2

n,1n,

9.8.7.6.5.3.2.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

12

1239

93

8n7n6n5n4nn87654

987654

8n7n6n5n4n3n

987654321

8n7n6n5n4n3nn321

9n

=

=+=

=−

−−−−−−=⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅

−−−−−−=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅/⋅/⋅/

−−−−−−−−/=

/⋅/⋅/−−/

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

39

1

2n1n2n1n

n

n

n

n

3n



b) Naći član koji ne sadrži x

2x=a 1−== xx

1b

R:

12. Odredi 11. član u raspisu potencije ( )13i2 − gdje je i imaginarna jedinica.

i2

13

−==

=

ban

ije

Samostalno !

13. Odredi 13. član u raspisu potenc ( )153i1 gdje je i imaginarna jedinica.

−

Samostalno ! R: 331 695



TRIGONOMETRIJSKI PRIKAZ KOMPLEKSNOG BROJA

Prisjetimo se gradiva drugog razreda koji nam je potreban da savladamo Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja

Algebarski prikaz kompleksni broj

1. Odredi realni i imaginarni dio svakog od kompleksnih brojeva:

1)



2)

3)

4)

5)



Potencije imaginarne jedinice

učionica br. 4 (mala ploča pored prozora)



2. Izračunaj: 1)

Broj 24 djeljiv je s 4 i zadovoljava izraz

2)

Broj 123 pri dijeljenju sa 4 daje ostatak 3. i zadovoljava izraz �

Kompleksna ravnina

(4, 7) Prvi element uređenog para: 4 Drugi element uređenog para: 7

Napišite jedan uređen par ?

SVAKI KOMPLEKSNI BROJ MOŽE SE ZAPISATI KAO UREĐEN PAR REALNIH BROJEVA. Prvi element uređenog para je realni dio kompleksnog broja, a drugi element uređenog para je imaginarni dio. z = 2 + 3i = M (2, 3) Re (z) = 2 Im (z) = 3



x os - realna os (realni brojevi = realni dio kompleksnog broja) y os - imaginarna os (imaginarni brojevi = imaginarni dio kompleksnog broja) Kompleksna ravnina ili Gaussova ravnina je koordinatna ravnina u kojoj su smješteni svi kompleksni brojevi.

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-15 -10 -5 5 10 15

z4 = - i

z3 = - 3

z2 = 4 -2i = M

z1= 1 + 4i

z4 = - i

z3 = - 3

z2 = 4 - 2i

z1 = 1 + 4i

imaginarna os

realna os2 (4, -2)

M1 (1, 4) =

Re (z4) = 0Im (z4) = -1 M4 (0, -1) = z4

Re (z3) = - 3Im (z3) = 0 M3 (-3, 0) = z3

Re (z2) = 4Im (z2) = -2 M2 (4, -2) = z2

Re (z1) = 1Im (z1) = 4 M1 (1, 4) = z1

z = x + yi - kompleksni broj Re (z) = x Im (z) = y uređenom paru (x, y) odgovara točka M (x, y)

3. Napišite uređene parove kompleksnih brojeva: a) z = -2 + 2i

Re (z) = -2 Im (z) = 2

uređen par kompleksnog broja je (-2, 2)



b) z = - 4

Re (z) = - 4 Im (z) = 0

uređen par je (- 4, 0)

c) z = i

Re (z) = 0

Im (z) =

uređen par kompleksnog broja je (0, )

4. Odredite skup točaka z kompleksne ravnine za koje vrijedi Re (z) = Im (z + i) Samostalno!

Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Kartezijeve i polarne koordinate vezane su relacijama:

Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Kut se naziva argument kompleksnog broja.



Modul kompleksnog broja r

Udaljenost točke M (X, Y) od ishodišta koordinatnog sustava je modul kompleksnog broja odnosno pozitivan realan broj

r=|z| = modul

j

M (x, y)z

y

x

Imaginarnaos

realna os

Kada su zadana dva kompleksna broja ,

tada je njihova udaljenost

5. Prikaži u kompleksnoj ravnini skup točaka određenih uvjetima 1. |z| = |z + i| Uputa:

Samostalno! 6. Prikaži u kompleksnoj ravnini skup točaka određenih uvjetima | z - 1 - i | = | z + 2 + i | Samostalno!


Nastavna cjelina: Razred: IV


BROJEVI

7. Odredi argument i modul kompleksnog broja koji je a) suprotan; b) konjugiran; c) recipročan kompleksnog broja Uputa:

Samostalno! R: a)

b)

c)

8. Ako je

koliko je Samostalno! R:

Poštovani učenici !

U daljnjem vremenskom periodu nadopuniti ću s još riješenih zadataka.

Documents

Dva osnovna načina logičkog zaključivanjagimnazija-vnazora-zd.skole.hr/upload/gimnazija-vnazora-zd/images/... · Nastavna cjelina: BROJEVI Razred: IV 9. U raspisu izraza . binomni