Metody rozwiązania równania Schrödingera

• Równanie Schrödingera jako algebraiczne zagadnienie własne

• Rozwiązanie analityczne dla skończonej i nieskończonej studni

potencjału

• Problem rozwiązania równania Schrödingera dla układu ze

zmienną masą

• Metoda różnicowa pozwalająca wyznaczyć strukturę pasmową

dla skończonej studni potencjału

2

Mechanika klasyczna - mechanika kwantowa

1. Druga zasada dynamiki Newtona: pęd, operator, potencjał, energia

kinetyczna, energia potencjalna

2. Równanie Schrödingera

- swobodny elektron

- elektron w studni potencjału: potencjał !!!

Fizyczna realizacja studni (jamy) potencjału

3

Numeryczne metody rozwiązania równania Schrödingera

Metody różnic skończonych, zwane metodami siatkowymi

- metody macierzowe znane również jako metody globalne

- metody strzałów (metoda Numerowa)

Metody wariacyjne

Metody elementów skończonych

Literatura: W. Salejda, M.H. Tyc, M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania

równania Schrödingera, PWN Warszawa 2002.

4

Operator drugiej pochodnej w ‘postaci numerycznej’

5

Równanie Schrödingera z ‘numerycznym’ operatorem drugiej pochodnej

6

Idea rozwiązania równania Schrödingera metodą strzałów (Numerowa)

Warunki brzegowe:

Przykładowe warunki startowe:

7

Postać ‘bezwymiarowa’ równania Schrödingera

Literatura: W. Salejda, M.H. Tyc, M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania

równania Schrödingera, PWN Warszawa 2002.

8

Bezwymiarowa postać równania Schrödingera z ‘numerycznym’ operatorem drugiej pochodnej

Literatura: W. Salejda, M.H. Tyc, M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania

równania Schrödingera, PWN Warszawa 2002.

9

Algebraiczne zagadnienie własne dla symetrycznej macierzy trójdiagonalnej

Literatura: W. Salejda, M.H. Tyc, M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania

równania Schrödingera, PWN Warszawa 2002.

10

Algebraiczne zagadnienie własne dla symetrycznej macierzy trójdiagonalnej

Literatura: W. Salejda, M.H. Tyc, M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania

równania Schrödingera, PWN Warszawa 2002.

Algebraiczne zagadnienie własne dla dyskretnego operatora energii

11

Rozwiązanie przy pomocy metody z Lapacka

Nagłówek procedury służącej do obliczania wartości własnych symetrycznej

Macierzy (procedura była omawiana)

Uwaga! Sprowadzenie macierzy do bezwymiarowej postaci nie jest konieczne

jednak jest bardzo wygodne

12

Algorytm Martina-Deana

Literatura: W. Salejda, M.H. Tyc, M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania

równania Schrödingera, PWN Warszawa 2002.

13

Kwantowanie energii elektronów – nieskończona studnia potencjału (przypomnienie)

Funkcja próbna:

Z0 d

Z warunków brzegowych mamy:

14

Kwantowanie energii elektronów – skończona studnia potencjału (przypomnienie)

W barierze funkcja falowa zanika wykładniczo

Funkcja falowa praz jej pierwsza pochodna jest ciągłą na całym obszarze

Brak rozwiązania analitycznego dla tego zagadnienia

…

15

Skończona studnia potencjału

Warunek brzegowy:

Rozwiązanie postaci:

Oznaczenia:

Otrzymujemy równanie:

16

Skończona studnia

Rozwiązanie równania Schrödingera dla

skończonej studni potencjału sprowadza się do

numerycznego wyznaczenia zera funkcji.

17

Ruch elektronu w ciele stałym – masa efektywna

1. Struktura krystalograficzna (twierdzenie Blocha)

2. Struktura pasmowa ciała stałego: metale, półprzewodniki (dielektryki?)

3. Pojęcie masy efektywnej

18

Problem jednowymiarowego równania Schrödingera ze zmienną masą

Gdzie pojawia się problem przy masie zmiennej z położeniem?

Operator pędu zakłada, że masa efektywna nie zmienia się z

położeniem co nie prawdą w przypadku studni kwantowych

realizowanych w strukturach półprzewodnikowych.

19

Problem jednowymiarowego równania Schrödingera ze zmienną masą

Literatura: W. Salejda, et al. Acta Physica Pollonica A 95, 881 (1999).

20

Problem jednowymiarowego równania Schrödingera ze zmienną masą

Literatura: W. Salejda, et al. Acta Physica Pollonica A 95, 881 (1999).

g0:=2.62452e-4

21

Problem jednowymiarowego równania Schrödingera ze zmienną masą

w-jest to odwrotność masy efektywnej wyznaczona na siatce

punktów pośrednich

Algebraiczne zagadnienie własne można sprowadzić do postaci:

Gdzie:

Algebraiczne zagadnienie własne można rozwiązać przy pomocy algorytmu

Martina-Deana lub przy pomocy zewnętrznej funkcji diagonalizującej macierz

Literatura: W. Salejda, M.H. Tyc, M. Just, Algebraiczne metody rozwiązywania

równania Schrödingera, PWN Warszawa 2002.

22

Metoda różnic skończonych do wyznaczenia struktury pasmowej studni kwantowej

Równanie Schrödingera

Zakładamy Hamiltonian postaci:

Operator:

Rozkładamy Hamiltonian ze względu na potęgę przy kz.

A,B,C macierze odpowiadające metodzie np. 8kp.

Zapewnienie ciągłości funkcji falowej na interfejsach oraz hermitowskość

macierzy gwarantują następujące dyskretyzację operatorów

24

Otrzymujemy następujące równanie macierzowe:

Rząd macierzy N=n*Nz

Nz- pokrojenie w przestrzeni rzeczywistej

25

Oznaczenia

Mi,j to macierze:

gdzie 𝐴 jest macierzą współczynników stojących przy wyrazach 𝑘𝑧2,

𝐵 jest macierzą współczynników stojących przy wyrazach 𝑘𝑧a 𝐶 jest macierzą niezależną od wyrazów 𝑘𝑧. Każda z macierzy jest rozmiaru 𝑛×𝑛 gdzie 𝑛 oznacza liczbę funkcji bazowych

(rodzaj modelu kp np.:8)

Indeks i numeruje macierze w zależności od położenia

26

• Tworzymy macierze A, B i C, dla konkretnych wartości kx, ky. Na zadane siatce punktów w przestrzeni rzeczywistej. Na podstawie hamiltonianu odpowiadającemu metodzie kp, grupujemy człony ze względu na kz.

• Tworzymy macierz N-rzędu n*Nz i ją diagonalizumemy. Możemy od razu uzyskać funkcję falową.

• Proces powtarzamy dla zadanego punktu w przestrzeni k (np. [100])

Metoda różnic skończonych do wyznaczenia struktury pasmowej

27

• Musimy wybrać ilość fal płaskich i dokonać transformaty Fouriera dla wszystkich wielkości zależnych od położenia

• Szybkość metody zależy od ilości fal płaskich i czas obliczeń wzrasta wykładniczo wraz z ilością fal płaskich

• Dokładność metody zależy od ilości fal płaskich

• Przy optymalnym doborze parametrów metoda szybka

• Punktem wyjścia jest dyskretyzacja wszystkich wielkości w przestrzeni rzeczywistej

• Dokładność metody zależy od pokrojenia w przestrzeni rzeczywistej

• Szybkość metody zależy od liczby punktów w przestrzeni rzeczywistej

• Metoda stosunkowo wolna

Metoda Fal płaskich vs. Metoda Elementów skończonych

Metoda rozwinięcia na fale płaskie Metoda elementów skończonych

28

Porównanie metody fal płaskich(PWE) i metody elementów skończonych(FDM)

29

Jeszcze raz o falach płaskich

Fala płaska – jest to fala, której powierzchnie falowe tworzą równoległe do siebie linie proste, gdy fala rozchodzi się po powierzchni, lub płaszczyzny, gdy rozchodzi się w przestrzeni trójwymiarowej.

Równanieopisujące falę płaską:

Fala płaska w

1D

Przedstawiając daną wielkość w

bazie fal płaskich musimy znaleźć

układ ortonormalny o węzłach

odpowiadających pokojeniu w Kz

𝑢 𝑧 = 𝐴𝑒−2𝜋𝑖𝑘(𝑧+𝑑𝑧)

Fala płaska rozchodząca się w

Kierunku z w periodycznej sieci

(niezależna od czasu)

𝑘 =𝜋 ∗ 𝑛

𝐿

30

• W rzeczywistości jako produkt transformaty Fouriera powstają macierze 2Nx2N. Z wielkości które były wektorami zależnymi od z (położenie) powstały macierze kwadratowe.

Transformata Fouriera

𝐴𝐹 = න0

𝐿 𝑧𝑖 ∙ 𝐿

2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑛∙A(z) ∙ 𝑒−2𝜋𝑧𝑖/𝐿∙𝑛∙𝑑𝑧 − 1 ∙ 𝑒−2𝜋𝑧𝑖/𝐿∙𝑛∙𝑧

i==-N..Nj=-N..Nn=i-j𝑛 ≠ 0

𝑛 = 0

AF=0𝐿𝐴 𝑧 / 𝐿𝑑𝑧

Dla wybranej siatki punktów w przestrzeni rzeczywistej

i dla danego N(liczba fal płaskich dokonujemy transformaty)

𝐾𝑧 =𝜋 ∗ (𝑖 + 𝑗)

𝐿

Oznaczenia zi=i(zespolone)