DYNAMICS OF STRUCTURES - bayanbox.irbayanbox.ir/...of-Structures-Earthquake.blog.ir.pdf · dynamics of structures اه هزاس کیمانید یگرب رسخ رتکد نارمع

DYNAMICS OF STRUCTURES

دینامیک سازه ها

دکتر خسرو برگی

عضو هیات علمی دانشکده عمران

دانشگاه تهران

Alireza

Typewriter

Alireza

Typewriter

Earthquake.blog.ir

http://earthquake.blog.ir/

Dynamic of Structures

پیشگفتار

توجه مهم:بصورت می باشد کهسازه هادینامیک در کالس بحثمطالب موردکپیپیوست در حقیقت مجموعه

انشجویانبوده و برای صرفه جویی در وقت کالس و افزایش راندمان آن در اختیار د( کاغذ شفاف)ترانسپران

مطالب از روی نوشتنصرف ویو وقتنمایدقرار می گیرد تا دانشجو با دقت بیشتر به مطالب توجه

.ترانسپران نشود

در کالس و شفاهی اینجانببا مباحثو همراهکلی و کالن بودهبصورتاین مطالبمجموعه بنابراین

.توضیحات تکمیلی کامل می باشد و به تنهایی دارای تمامی جزئیات نخواهد بود


پیشگفتار

:و کتب تمرینات به کتابهای زیر مراجعه شود( مرجع)جهت کتب رفرنس

دینامیک سازه ها

تالیف دکتر خسرو برگی–پنجم انتشارات دانشگاه تهران چاپ

دینامیک سازه ها و ماشین آالت

مهندس سید هاشم اسالمی -ترجمه دکتر خسرو برگی–دانشگاه تهران

اصول مهندسی زلزله

تالیف دکتر خسرو برگی–چاپ پنجم انتشارات دانشگاه تهران

-هکتاب اول دارای تئوری دینامیک سازه ها و مثال های حل شده و حل نشده است و کتاب دوم نیز دارای مباحث ساز•

.و همینطور تعداد زیادی مساله حل شده و تمرینات می باشد( بسیاری از مباحث جدید و کاربردی)ها

خسرو برگی


پیشگفتار

واحد3–کارشناسی ارشد –دینامیک سازه ها انتشارات دانشگاه تهران–خسرو برگی –دینامیک سازه ها : کتاب مرجع

اهم مطالب مورد بحث در طول نیمسال

(امور حرفه ای مهندسی و طراحی–امور تحصیلی ) ضرورت آموزش و ارائه درس -1

(با توجه به درس اصول مهندسی زلزله در مقطع کارشناسی)یادآوری اصول دینامیک سازه ها -2

(ارتعاش–تفاوت تحلیل دینامیکی و استاتیکی –متغیر زمان )خصوصیات -الف

(اجزاء محدود–تغییر مکان تعمیم داده شده –جرم متمرکز )درجه آزادی و روش های کاهش -ب

(رفتار و مکانیزم هر یک–االستیک و میرایی )نیروهای مقاوم -ج

سختی و حالتهای مختلف برای سیستم های ساده و پیچیده-د


پیشگفتارنرژی روش ا–کار مجازی –داالمبر –تعادل دینامیکی )روش های تعیین معادالت حاکم بر رفتار سازه -به

در حالت سیستم های یک درجه آزادی.....(

حالتهای بحرانی و زیر بحرانی و فوق بحرانی–ارتعاش آزاد و حل معادله مربوط -و

انتگرال دوهامل–بررسی معادله حرکت و حل آن در بارگذاری هارمونیکی و نتایج آن -ز

تحلیل سیستم های معادل یک درجه آزادی در برابر بارگذاری ضربه ای و نتایج بحث-3

روش های عددی تحلیل دینامیکی سازه ها برای سیستم های یک درجه آزادی-4

رفتار غیر خطی سازه ها در حالت تحلیل دینامیکی برای سازه های یک درجه آزادی-5


پیشگفتار

روش رایله در تحلیل دینامیکی سازه ها و کاربرد آن در تعیین خصوصیات دینامیکی-6

یوستهتعیین معادله حرکت برای سیستم های چند درجه آزادی و بررسی ارتعاش آزاد آنها و سیستم های پ-7

تحلیل دینامیکی سازه های چند درجه آزادی به روش آنالیز مودال و نتایج حاصل-8

روش تبدیل فوریه در تحلیل دینامیکی سازه ها و کاربرد نتایج آن-9

یرفتار غیر خط–روش های عددی تحلیل دینامیکی برای سازه های چند درجه آزادی و پایداری آنها -01


ضرورت ارائه درس دینامیک سازه ها–فصل اول

مقدارنیروهایی که. تحت اثر نیروهای دینامیکی هستند( ابنیه)در رشته مهندسی عمران اکثر سازه ها

ت که پدیدهجهت و احتماال نقطه اثر آنها با زمان تغییر می کنند و البته نرخ تغییرات فوق به حدی اس( شدت)

.ارتعاش که مشخصه اصلی رفتار دینامیکی است در سازه بوجود میآید

tp

Alireza

Typewriter

Earthquake.blog.ir




ابنیه مهم و بارگذاری دینامیکی وارد

-ارتعاش تجهیزات و ماشین( آب–خاک –پدیده اندر کنش سازه )زلزله ، هیدرودینامیک -انواع سدها

های نیروگاه

زلزله ، ترافیک ، ترمز، باد ، ضربه ، جریان رودخانه –انواع پل ها

، زلزله ، حرکت تسمه ها ( تخلیه سریع مواد ذخیره شده )ویدانژ–سیلوها

زلزله ، هیدرودینامیک ، باد–برج آب



امواج دریا ، زلزله ، برخورد کشتی ، جریانهای دریایی ، باد–اسکله و موجشکن

زلزله ، باد–دکل ، دودکش ، برج های خنک کننده

، زلزله( برخورد مستقیم–مجاور –نزدیک –دور )انفجار –استحکامات و پناهگاها

برخورد هواپیما–زلزله –انفجار هسته ای –تاسیسات هسته ای

تشویق تماشاچیان ، زلزله–ورزشگاه ها

زلزله ، عبور سیال–لوله ها



زلزله ، باد–برج های ساختمانی

عبور و ترافیک قطار ، زلزله–تونل ها

(دینامیکی)تطبیق و سازگاری تحلیل با رفتار واقعی :هدف

به دلیل پیچدگی و سختی حالت معادل:روش برخورد در گذشته

استاتیکی

(یوترهاکامپ)پیشرفت چشمگیر در فن آوری سخت افزاری و نرم افزاری :تغییر و تحول اخیر



در حد امکانات ، اصالح آئین نامه هایدینامیکیبکارگیری روش های تحلیل :روش امروزی

طراحی مطابق با نتایج حاصل

تحلیل ، حالت های( اتفاقی و تصادفی)در نظر گرفتن حالتهای واقعی بارگذاری :تغییرات آتی

ی، بارگذاری منفرد و معین طیف بارگذار( تحلیل ریسک و قابلیت اعتماد)تصادفی


یاد آوری اصول دینامیک سازه ها–فصل دوم

اصل دوم نیوتن:قانون حاکم

درجه آزادی و روش های کاهش آن متناسب با امکانات در دسترس

– Lumpedروش تمرکز جرم–الف Mass - Procedure

umF

u:u:u: شتابسرعتتغییر مکان



Generalized Displacementروش تغییر مکان های تعمیم داده شده–ب

taiتابع زمانی

xi

(شرایط حدی و سازگاری)تابع مکانی

xtatxui

n

i

i

1

,

tzl

xtxu تشابه مثلث,

تیر صلب:فرض 1n

صلب



l

xitatxu

n

i

i

sin,

1

+

+

+

l

xta

sin

1

l

xta

2sin

2

l

xta

3sin

3

l

xta

4sin

4

=

txu ,

+.................



Finite Element Conceptروش اجزاء محدود –ج

(درجه آزادی)مبانی خاص خود در تمرکز خواص رفتاری سازه در تعداد محدود گره -

روش اجزاء مرزی–د

دیگر( سازه)تمرکز خواص رفتاری محیط مورد نظر در نقاطی در مرز با محیط -


نیروهای موثر در رفتار دینامیکی

رویبعنوان نی....( فنر ، ارتجاعی ، االستیک )نیروی سختی –الف

مقاوم در برابر حرکت

sf

از تحلیل سازه ها 33

241

24

h

EIkpu

h

uEIp

cc



kufps



33

63

h

EI

h

EIk

cc

تعداد ستونها



33

63

h

EI

h

EIk

cc

مد نظر است( رفتاری)حالت خطی



33

481

48

l

EIku

l

EIup



33

31

3

l

EIku

l

EIup


نیرو و درصد میرایی در سیستم های مرتعش

کمک فنر–فنر –سیستم معادل جرم ( تحلیلی)مدل ریاضی



(دگی فنرکشی)در سیستم مرتعش روبرو ، وقتی جرم به اندازه جابجا شود ، کش آمدگی ارتجاعی ستون

می باشد ، بنام بکار میآیند تا جرم به موقعیت اولیه برگردد ، این نیرو در ستون یا فنر که تابع تغییر مکان

رم مورد موسوم است ، البته اگر کوچک باشد ، این نیرو تابع خطی است ، ج( سختی)نیروی فنر

رتعش نظر با یک سرعت مشخص به موقعیت اولیه برگشته و به سمت دیگر پرت خواهد شد و بنابراین م

. می شود

بود ،چنانچه سیستم ارتجاعی باشد و اتالف انرژی وجود نداشته باشد ، جرم برای همیشه مرتعش خواهد

ود آمدنولی در عمل ، اصطکاک با هوا ، اصطکاک بین ذرات سیستم یا در اتصاالت ، تسلیم مصالح و بوج

u

u

u u s

f



ترکها و اصطکاک بین آنها و غیره ، باعث اتالف انرژی ارتعاش شده ، به نحوی که طی زمان ، ارتعاش

( تهالکاس)مستهلک شده و از بین می رود ، نیروهایی که باعث اتالف انرژی می شوند بنام نیروهای میرایی

Dampingموسوم هستند.

ود ، اگراگر نیروی میرایی متناسب با سرعت حرکت جرم باشد ، به آن نیروی میرایی لزجی گفته می ش

ه دلیل چه در عمل ، میرایی بطور خالص ، لزجی نمی باشد ولی فرض می گردد که چنین باشد که این امر ب

ا کهسهولت حل معادالت حرکت می باشد ، معموال برای میرایی غیر لزجی می توان میرایی لزجی معادل آنر

.دارای تاثیر مشابه در حرکت باشد ، بدست آورد که این امر کامال تجربی است



ت ساخت ،همانطور که قبال گفته شد ، میرایی یک سازه بستگی به مصالح آن ، ماهیت اتصاالت ، کیفی

.دارد..... نوع پی و

الح و انتخاب میرایی در یک سیستم ، معموال دلخواه است بویژه به این دلیل که میرایی با کرنش مص

.طبیعت و جزئیات ساخت متغیر است

میرایی در تحلیل دینامیکی سازه ها بصورت درصد میرایی بکار می رود:

ucfD

نیروی میرایی لزجی معادل

crc

c

موجود



حدود درصد میرایی برای مصالح مختلف به شرح زیر است:

– 2به دلیل تفاوت زیاد .چوب تغییرات در کیفیت چوب ، مقادیر نامطمئن است10%

%105

%152

%104

%3010

بتن

فوالد

بنایی

خاک

افزایش با کرنش

// // //

// // //

// // //



( درجه آزادی)در تعیین سختی ، جهت و نقطه مورد نظر باید معلوم باشد

در حالت چند درجه آزادی ماتریس سختی با عناصر

نیرو در درجه آزادی وقتی تغییر مکان یا چرخش واحد در درجه آزادی اعمال میشود و

.سایر درجات آزادی گرفته می شوند

.مدل سازی و تعیین درجات آزادی خیلی مهم است: در تعیین سختی

ijk

ijkij



کتبعنوان نیروی مقاوم در برابر حر( استهالک ) نیروی میرایی –ب

.ناشی می شود( ارتعاش)این نیرو از مکانیزم های مختلف اتالف انرژی در حرکت

.....اصطکاک در اتصاالت ، ترک ها ، مصالح و

روش مناسب لحاظ کردن در معادالت رفتاری آن است مکانیزم های پیچیده و نا معلوم

.که معادل میرایی لزجی فرض شوند

Viscous Damper حالت خطی مد نظر استucfD



است ، پدیده میرایی به ابعاد و هندسه سازه ارتباطی ندارد ولی به نوع مصالح و نوع اتصاالت وابسته

تبدیل مکانیزم های واقعی اتالف انرژی به مکانیزم لزجی از طریق آزمایش روی مدل

.یا در صد میرایی در عمل بصورت تجربی تعیین می شودcضریب میرایی

(کمک فنر) Damperمدل



از قانون دوم نیوتن بدست می آید( لختی ) نیروی اینرسی –ج.

0 umFumF

مقاوم در برابر حرکت: عالمت منفی

umfI

چون از قانون ناشی می شود ، ارائه مدل فیزیکی بی معنی است

جهت حرکت


محاسبه سختی یک قاب خمشی

ای المان ، ضرایب سختی بر( تیر یا ستون ) سازه ای المانبرای محاسبه لنگر و برش در یک:یادآوری

، بطور Eو مدول ارتجاعی Iو ممان اینرسی Lموضوع برای یک المان همگن بطول . مورد نیاز است

. شماتیک ارائه می شود

.به جهت ها و شماره گذاری توجه شود



ضرایب سختی برای چرخش گره در شکل الف و برای انتقال گره در شکل ب نشان داده شده است.



برای محاسبه ضرایب سختی ، در درجه آزادی مربوط تغییر مکان یا چرخش واحد اعمال می شود در

.حالی که سایر درجات آزادی مقید و گرفته می شوند

. درجه آزادی محوری به دلیل صلبیت زیاد در نظر گرفته نشده است

E

l

EAuP

l

uE

A

P

l

EAkkPu تعریف ضریب سختی1 عدد بزرگ



به تغییر مکان های ، مربوطءبنابراین برای المان تیرو با توجه به چهار درجه آزادی نشان داده شده

: وچرخش های و ، لنگر خمشی و نیروی برشی در گره ها برابر خواهد بود با

au

bu

aQ

bQ

تغییر شکل کلی تیر خمشی



babaau

l

EIu

l

EIQ

l

EIQ

l

EIM

22

6624

bababu

l

EIu

l

EIQ

l

EIQ

l

EIM

22

6642

babaaQ

l

EIQ

l

EIu

l

EIu

l

EIV

2233

661212

bababQ

l

EIQ

l

EIu

l

EIu

l

EIV

2233

661212



رجاتمطلوبست محاسبه سختی جانبی قاب نشان داده شده با توجه به د–مثال

آزادی مورد نظر؟

ازروش های مختلف تحلیل سازه از جمله پخش

در . لنگر و غیره می توان مساله را حل نمود

اینجا از تعریف ضرایب تاثیر سختی استفاده

.می شود



برای بدست آوردن ضرایب ستون

اول ماتریس ، در تغییر مکان ،

تغییر مکان واحد اعمال می شود در

حالی که سایر تغییر مکانهای درجات

:آزادی گرفته می شوند یعنی

ل سازهاز تحلی) و تغییر شکل مربوط در شکل نمایش داده شده است ( ضرایب سختی ) نیروهای

(ها و یادآوری ها

.خواهد بود3X3ماتریس سختی سه درجه آزادی داریم

11u0

32 uu و

1u

1ik



برای تعیین ضرایب ستون دوم ماتریس سختی

:خواهیم داشت

( ستون سوم ماتریس ) برای ضرایب

:مشابه حالت دو عمل می شود

2ik

12u0و

31 uu

l

EI

h

EIk

bc44

22

3ik

13u0

21 uu و



، اگر در حالت خاص و باشد

:ماتریس سختی بصورت زیر خواهد بود

ل قابقرار داشته باشد ، معادله حاکم برای تغییر شک( مثال ) اگر قاب تحت اثر نیروی جانبی

) ( :بصورت زیر خواهد بود

cbII hl 2

22

22

3

66

66

6624

hhh

hhh

hh

h

EIk

c

sf

s

fuk

0

0

66

66

6624

3

2

1

22

22

3

s

c

f

u

u

u

hhh

hhh

hh

h

EI



خواهیم داشت 3و 2از معادالت ردیف:

رابطه اخیر در معادله حاکم رفتاری قرار گیرد ، خواهیم داشت:

11

1

22

22

3

2

1

1

7

6

6

6

6

6u

hu

h

h

hh

hh

u

u

1331

166

7

624uhh

hh

EI

h

EIf

cc

s



این روش که همراه با حذف چرخش های گره هاست ، به عنوان روش حذف استاتیکی معروف است.

137

96u

h

EIf

c

s

kfus

11

سختی جانبی قاب 37

96

h

EIk

c


معادالت رفتاری

با توجه به مباحث پایه ای مطرح در حالت سازه های معادل یکدرجه آزادی مطالب بعدی در این حالت

( SDOF. ) خواهد بود

Single – Degree – of - Freedom

(معادله حرکت ) نوشتن معادالت رفتاری

کاربرد مستقیم اصل دوم نیوتن–الف umF

umfftPDS

tPffumSD tPkuucum



(D’Alembert’s Principle( ) اصل داالمبر ) تعادل دینامیکی –ب

.نیروی از ابتدا نیروی مقاوم است : مشابه حالت اول با بیان متفاوت

ترکیب مولفه های نیروهای سختی ، میرایی و جرم–ج

در حالت رفتار خطی و در اصول مشابه حالتهای الف و ب

um

= + +



تصور تغییر مکان کاذب و صفر بودن کار انجام شده :روش کار مجازی –د

....(جنبشی و پتانسیل ) اطل بقای انرژی :اصل انرژی –به

Alireza

Typewriter

Earthquake.blog.ir



مدل سازی رفتاری

کمک فنر–فنر –سیستم جرم





مطلوبست تعیین معادله حرکت سیستم داده شده:



حل:

:از روش متعارف تعادل استفاده می کنیم

(tمثال ) ، سیستم را در یک لحظه ( رفتار خطی ) ارتعاش در دامنه های کوچک است

( :به همراه نیروهای موثر ) در حالت تغییر شکل نشان می دهیم



سیستم معادل یک درجه آزادی نقطه شاخص یا درجه آزادی شاخص را

.انتخاب می کنیم

BBtz

4

ZDD

ZEE4

3

ZFF3

2

ZGG3

1

2

ZSS



تعیین نیروهای موثر: tZKEEKfS

4

3111

tZKGGKfS

3

1222

tZCDDCfD

4

1111

tZCfD

22

tZamtZ

mSSmfI

22

111 AB اینرسی انتقالی المان

tZmFFmfI

3

2222

..

..

.



a

Z

a

Z

a

BB

tZmaa

tZamaIM

I

444

3

4

412

44

2

2

01



0دسترسی به معادله حرکت از روش تعادل AM



0 AM

اینرسی جرمی میرایی

سختی نیروی خارجی تحمیلی

af

MafI

II4

3

22

2

11 +

1

14

1aaf

D

+

af

afS

S4

33

2

1 =

atpaf3

28



پس از جاگذاری عبارت ها و ساده کردن روابط در نهایت خواهیم داشت:

معادله سیستم معادل یک درجه آزادی با جرم موثر ، میرایی موثر ، سختی موثر و نیروی موثر

tpaftZK

K

tZCC

tZmam

3

16

916

9

169

4

3

4

2

1

2

1

2

tptzktzctzm


توجه:

با توجه به ارائه درس مهندسی زلزله در نیمسال بعدی ،

حالتهای حرکت زمین بعنوان عامل ارتعاش در سازه ها

در مدل سازی و تحلیل ها در درس دینامیک سازه ها

.ارائه نمی شود


روش های حل معادالت حرکت

classical solution( مستقیم ) روش کالسیک و متعارف –الف

حل عمومی و جواب خصوصی و اعمال شرایط اولیه –حل معادله دیفرانسیل

رفتار خطیDuhamel’s Integralروش انتگرال دوهامل –ب

رفتار خطیTransform Methodsروش های تبدیل –ج

تحلیل در میدان فرکانس تبدیل الپالس و فوریه

مناسب برای تحلیل های اندر کنش محیط های غیر یکنواخت•

FFTروش های عددی قوی و سریع •

رفتار خطی و غیر خطی الگوریتم های مختلف و پایداری Numerical Methodsروش های عددی –د

روش


Response پاسخ ، واکنش سازه

از حل معادله حرکتU(t)بدست می آید

مفهوم پاسخ شامل همه نوع مجهول محاسباتی و طراحی می تواند باشد

......تغییر مکان ، سرعت ، شتاب ، تنش ، نیرو و

معموال در طراحیUmax و پاسخ های حداکثر بکار گرفته می شوند.


Element Forces نیروهای

اجزاء

حاصل می شود و برای تیر و ستونها می توان( دینامیکی ) از حل معادله حرکت

. لنگرخمشی و نیروی برشی حاصل شود

اید و برای طراحی ، از تنش های مجازی استفاده می شود که از آزمایش استاتیکی مصالح بدست می:توجه

.کافی است از برای ارزیابی نیروها استفاده شود

تغییر مکان .استفاده شود ( ترکیب ) برای بدست آوردن پاسخ کامل باید از جواب دینامیکی و استاتیکی

.تحت اثر وزن باید ملحوظ شود

tkutfS

tu

Sf


(مقیاس ) دستگاه واحد

f=maرابطه اساسی

نیرو= جرم Xشتاب

SIدستگاه واحد نیرو= Nنیوتن

شتاب= 2m/s2متر بر ثانیه بتوان

Kg mass کیلو جرمN.S2/m =kg =جرم



MKSدستگاه kgf =واحد نیرو

m/s2 =شتاب

kgf.S 2/m =جرم

1 kgf = 9.81 N

g=9.81 m/s2=981 cm/s2شتاب ثقل

=386 in/s2 = 32.2



1 kip =1000ibf = 453.4 kgf = 4448.2 N

1 kip/in = 175126 N/m

1 in = 2.54 cm

1 psi = 6894.8 N/m2 = 0.7 t/m2

،m=W/g مناسب است در فرمول ها از(m) برای بکار گیری جرم

( وزن W) استفاده شود

. وزن مانند نیرو است


معادله حرکت

در جهت شمال جنوب قاب خمشی و در جهت شرقییک ساختمان صنعتی یک طبقه :مثال

. غربی بصورت مهار بندی شده است

وزن در سقف و مهارهای افقی در سقف زیر خرپای

:ممان اینرسی ستونها . سقف است

مهارهای قائم میلگرد به قطر و

غرب و شرق–مطلوبست تعیین معادله حرکت در جهات شمال جنوب

0302

230ft

ib

4

4

3.18

8.82

inI

inI

y

x

1 ksiE 29000



با توجه به ضربدری های افقی سقف می توان عملکرد سقف را بصورت دیافراگم فرض نمود .

in

sibg

Wm

2

63.46386

203030



:جنوب –جهت شمال –الف

سختی جانبی دو قاب خمشی عبارت است از

inkips

h

EIk

x

SN/58.38

1212

2.821029124

124

3

3

0

ukumSN

: معادله حرکتS-N



:غربی –جهت شرقی –ب

ائم معموال وقتی از مهار استفاده می شود ، فرض می گردد که قاب ها صلب بوده و برای انتقال نیروی ق

سختی، بنابراین( با اتصال مفصلی ) هستند و بار جانبی توسط مهارها تحمل می شود ( بار مرده و زنده )

: جانبی جمع سختی هر یک از مهارها خواهد بود که بصورت زیر برآورد می شود

ftl

inA

3.23

785.02



l

AEp

cospfs

cosu

coss

fp

cosu

در معادله



هر قاب دارای دو مهار است ولی یکی در کشش است که مقاومت جانبی را ایجاد می نماید و دیگری در

ت جانبیو بسیار کم در مقاوم( در اثر نیروی محوری ) فشار کار می کند که فرض می شود به کمانش برسد

: مشارکت می نماید ، چون دو قاب مهار بود پس

kufS

2cos

l

AEk و

8575.0

2012

20cos

22

inkipsk /8.598575.0

123.23

1029785.0 2

3

مهار

مهار



غرب –سختی یک ستون در جهت شرق :توجه

. (پس صرفنظر شد ) است که بهر حال از نظر نسبی قابل توجه نمی باشد

inkipskWE

/6.1198.592

0

ukumWE


inkipsh

EIk

y/13.2

12

3

ستون



با توجه به سیستم زیر که وزنه :مثالW توسط فنری از انتهای یک تیر طره آویزان است ، معادله

.ود حرکت وزنه را بنویسید ، تیر فلزی است و از جرم تیر و فنر صرفنظر می ش ksiE 29000



tpWfums

ukfes

tpWukume

uus

uu 0

Wkse

s (استاتیکی)تغییر مکان در اثر

u

W

(دینامیکی) "" "" "" tp

tpukume

معادله حرکت باید محاسبه شودe

k



برحسب تغییرمالحظه می شود وقتی معادله

است ، وزن در معادله اثرuمکان دینامیکی

معموال حرکت از حالت استاتیکی به . ندارد

بعد نوشته و حل می شود و سپس اثر حالت

(اگر رفتار خطی باشد)استاتیکی ملحوظ می شود


آزادی بدون میراییسیستم معادل یک درجهپاسخ ارتعاش آزاد یک

0SI

ff

00 um

kukuum

0

0

0

0

utu

utu

شرایط اولیه

0,02

kmm

k فعال مفهوم فیزیکی ندارد

02uu برای حل پاسخ فرضی st

ectu

st

escu2 در معادله 0

22 sec

st


پاسخ ارتعاش آزاد یک سیستم معادل یک درجه آزادی بدون میرایی

ترجیح می دهیم ، رابطه از حالت تابع اکسپونانسیل به حالت هارمونیک نوشته شود .

: از رابطه مثلثاتی اولر استفاده می کنیم

iss 022

01 st

eci

پاسخ معادله titiecectu

21

sincos iei

tcitctcitctu sincossincos2211



برای تعیین ضرایب ثابتA وB از شرایط اولیه استفاده می کنیم:

tcicitcctu

BA

sincos2121

tBtAtu sincos

00

010 uABAutu

tBtAtu cossin

uBBAutu 1000

tu

tutu

sincos0

0



ب با فاصله به کمک روابط مثلثاتی پاسخ بصورت تابع هارمونیکی است با دامنه و سیکل تناو

ا، فاصله زمانی عبارت است از مدتی که آرگومان تابع یعنی ب( پریود تابع ) زمانی

:مقدار افزایش می یابد

0

0

2

02

0max

sin

u

uarctg

uuu

ttu

max

u

TT t

2



تعداد سیکل در یک ثانیه: فرکانس

.پس تعداد سیکل تناوب در ثانیه که به فرکانس زاویه ای موسوم است

محاسبه سختی موثر

22 TTtt

ffT

f

2

2

1

2

ukfes

u تیر،عبارت از تغییر شکل انتهای تیر طره است

فنر،عبارت از تغییر شکل انتهای فنر است

فنرتیر



با توجه به شکل:

kkfs

فنر تیرتیر

و بجای ها از قرار می دهیمبجای از در معادله u

k

f

k

f

k

fss

e

s

kk

kkk

e

یا

تیر تیر

تیر

inibkو /20

inib

l

EIk /54.39

1210

4

110293

3

3

46

3

inibke

/28.13


SDOF ارتعاش آزاد

بدون میرایی–الف

0 kuum

شرایط اولیه tu

tutuuوu

sincos0

000



پریود ، فرکانس و فرکانس زاویه ای طبیعی سیستم

mk

2T

2

1

Tf

s

s

g

s

g

s

gf

2

1

gT s

2

دامنه حرکت

2

02

0max

uuu


پاسخ ارتعاش آزاد یک سیستم معادل یک درجه آزادی با میرایی

0SDI

fff

000 um

ku

m

cumkuucum

جواب فرضی: stectu

stsecu

stescu

2 در



0

22s

m

csec

st 022

sm

cS

2

2

22

m

c

m

cS سه حالت برای زیر رادیکال متصور است

اگر m

c

2را بحرانی نامندCمقدار mc

cr2

اگر از درصد استهالک استفاده شود 12 S

c

c

cr

crc

c

m

c

m

c

22



زیر رادیکال صفر 1 100% یا حالت بحرانی

تابع پاسخ اکسپونانسیلعدد حقیقی Sجواب

زیر رادیکال مثبت 1 حالت فوق بحرانی

تابع پاسخ اکسپونانسیلدو عدد حقیقی Sجواب



حرانی دارای میرایی خیلی کمتر از ب( سازه های متعارف عمرانی ) که در عمل ، ارتعاش آزاد کلیه ابنیه

:است ( ارتعاش ) است و تابع پاسخ دارای حالت نوسانی

برای بدست آوردن تابع پاسخ:

crcc

موجود1و یا%100

21 iS

Dو

21 فرض می کنیم

D

iS tittit DD ecectu

21

titit DD ececetu

21



ست عبارت داخل پرانتز شبیه پاسخ ارتعاش آزاد بدون میرایی است فقط به تبدیل شده ا .

:پس می توان به کمک رابطه اولر مثلثاتی ، پاسخ را بصورت هارمونیک نوشت

می توان دو تابع هارمونیک را تبدیل به یک تابع نمود:

D

tBtAetuDD

t

sincos

00uوu از شرایط اولیه

D

uuBوuA

00

0

t

uutuetu

D

D

D

t

sincos

00

0

tetetuD

t

D

tcossin

22BA

BAarctan

ABarctan



در ساختمان صنعتی مثال های قبل مطلوبست برآورد ، و در دو جهت ؟–مثالTf

sec/73.2804663.0

58.38Rad

mk

SN

sec219.073.28

22

SN

T HzT

fSN

57.4219.0

11

sec/64.5004663.0

6.119Rad

WE

sec124.0

64.50

2

WE

T

HzfWE

06.8124.0

1

WESN



مطلوبست تعیین و ( طره با وزنه در انتها ) در مثال های قبل –مثال ،fT

s

gf

2

1

Hzf 56.2494.1

386

2

1

ink

W

e

s494.1

28.13

20

sec391.01

fT



حالت میرایی –ب0 kuucum

cr

cr

c

c

uuumcوm

k

02222

1

1

cr

cr

cc

cc

یا1حالت زیر بحرانی( : واقعیت ) در عمل cr

cc

حالت بحرانی

حالت فوق بحرانی

موجود

بحرانی

در صد میرایی

میرایی بحرانی



1.0.........برای ساختمانها ، پل ، سد ، تاسیسات هسته ای ، سازه های دریایی و



فرکانس زاویه ای میرایی

t

tutuetu

D

D

Dt

sincos

0

0

21

D

21

T

TD

پریود طبیعی میرایی

D

2.0برای



دامنه حرکت در ارتعاش آزاد با میرایی در هر سیکل حرکت کاهش می یابد و پوش آنها:

2

002

0

uuuوe

t

21

21 1

2ln

1

2exp

i

i

i

i

u

u

u

u

2112

کاهندگی لگاریتمی



فاده شود ،معموال بهتر است بجای دو سیکل متوالی از چند سیکل فاصله برای کاهندگی لگاریتمی است

j

j

j

j

eu

u

u

u

u

u

u

u

u

u

14

3

3

2

2

1

1

1........

2ln1

1

1

j

u

u

j

:دامنه حرکت 50% رابطه بیان کننده تعداد سیکل الزم برای کاهش

11.0%50J



ین روش هایکی از ا. تعیین تحلیلی در صد میرایی ممکن نیست لذا از روش های تجربی استفاده می شود

.حالت ارتعاش آزاد سازه واقعی است

ji

i

u

u

J

ln2

1

یا

ji

i

u

u

j

ln

2

1

اگر آزمایش اجازه ثبت شتاب را بدهد

را بدهد uاگر آزمایش اجازه ثبت

.معموال در عمل حالت ثبت شتاب سازه در آزمایش ارتعاش آزاد سهل تر است



شتاب نگاشت ارتعاش آزاد سازه

برداز ثبت می توان ارتعاش آزاد را بررسی و پریود واقعی را محاسبه نمود و از روش تحلیلی و کار

.سختی و جرم نیز محاسبه و مقایسه کرد تا دقت تعیین سختی و جرم ارزیابی شود



اش آزاد که تحت آزمایش ارتع( مدل ) مطلوبست تعیین پریود طبیعی و در صد میرایی یک قاب –مثال

. نتیجه آزمایش بصورت زیر است . قرار کرفته است

sec273.010

110.1844.3

DT

%96.30396.0

076.0

915.0ln

102

1

g

g



وده ویک مخزن آب هوایی که خالی است در نظر گرفته می شود ، یک کابل به مخزن متصل ب–مثال

هانی اینچ تغییر مکان افقی شده است ، کابل بصورت ناگ2اعمال شده که باعثkips16.4نیروی افقی

اینچ می باشد ،1ثانیه و دامنه حرکت 2قطع و ارتعاش آزاد رخ می دهد ، در پایان چهار سیکل کامل ، زمان

:با اطالعات فوق مطلوبست محاسبه

پریود طبیعی بدون میرایی–ب در صد میرایی –الف

وزن موثر سیستم–د سختی موثر سیستم –ج

. اینچ کاهش یابد 0.2تعداد سیکل الزم برای اینکه دامنه حرکت به –و ضریب میرایی -به



رسیده1به 2سیکل دامنه از 4در -الف

ب–

ج-

%75.20275.04

11.011.0%50

j

sec5.04

0.2

DT

sec5.0D

TT

in

kipsk 2.8

2

4.16



د–

به-

sRad

T57.12

5.0

22

inkips

km /sec0519.0

57.12

2.8 2

22

kipsmgW 03.203860519.0

inkipskmc sec/0359.00519.02.820275.02



و-

ju

u

j1

1ln

2

1

1332.13

2.0

2ln

0275.02

1

j سیکل



80وزن آب الزم برای پر کردن مخزن آب هوایی در مثال قبل برابر –مثال kips، می باشد

مطلوبست تعیین پریود طبیعی و در صد میرایی مخزن پر ؟

kipsW 03.1008003.20

inskipsm /2591.0386

03.100 2

sec12.12.8

2591.022

k

mT

%23.10123.0

2591.02.82

0359.0

2

km

c


انرژی ارتعاش آزاد

انرژی یک سیستمSDOF در لحظه شروع ( شرایط اولیه و ) در اثر ارتعاش آزاد ،:

زدر هر لحظه از ارتعاش آزاد ، انرژی کل از جمع دو انرژی است ؛ انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل ا

: کرنش

0u

0u

2

0

2

012

1

2

1umukE

kE

sE

tumEk

2

2

1

tkuEs

2

2

1



بجای از معادلش در حالت ارتعاش بدون میرایی قرار می دهیم:

انرژی کل:

tu

2

0

0sincos

2

1

t

utuktE

s

2

0

0

2cossin

2

1

t

utumtE

k

2

0

2

02

1

2

1umkutEtE

sk



فنظرمیرایی صر) مقدار کل انرزی در هر لحظه مستقل از زمان بوده و برابر انرژی لحظه ابتدایی است

(.شده

رتعاش آزاداگر میرایی در نظر گرفته شود ، برای محاسبه انرژی جنبشی و پتانسیل باید از حالت ا

.با میرایی استفاده نمود

انرژی کل در این حالت دارای تابع کاهشی در زمان خواهد بود چون از انرژی بصورت لزجی استهالک

:می شود که در مدت زمان صفر تا برابر

. به مرور مستهلک خواهد شد ( لحظه اول شروع ارتعاش ) مقدار انرژی کل اولیه

tu

t u u u

DDdtucduucdutfE

0 0 0

2


در بار گذاری های هارمونیک SDOF واکنش سیستم های

چرا؟. این بخش از مباحث کالسیک و پایه ای دینامیک سازه هاست

اجامو–نیروی نا متعادل ماشین های چرخان )از یک طرف اکثر بارها بصورت هارمونیکی بیان می شوند

.....(.بارهای پریودیک و –زلزله –دریا

از طرف دیگر درک رفتار سازه ها در برابر نیروهای هارمونیک کمک فراوانی به درک واکنش سازه در

.برابر سایر نیروها می نماید

. در ضمن نوع تابع هارمونیک و نتایج حاصل از تحلیل و تفسیر آنها ساده می باشد

tPtP sin0



حالت بدون میرایی–الف:

tpkuum sin0

tk

pt

k

pututu

sin

1

1sin

1cos

2

0

2

00

0



اگر شرایط اولیه صفر باشد:

ttk

ptu

sinsin

1

1

2

0

پایدارگذرا

0:00 uu

stu

tutR ضریب رفتار

k

pu

st

0

20

2

0

max

max

1

1sin

1

1

k

p

tk

p

u

tuDtR

st

ضریب بزرگ نمایی تغییر مکان

1



(رزونانس)حالت تشدید 0

11 D

tu با رفع ابهام :

tttk

ptu sincos5.0

0



حالت با میرایی–الف:

tpkuucum sin0

tNtMtBtAetuDD

t cossinsincos

A وBاز شرایط اولیه بدست می آید

222

2

0

21

1

k

pM

222

0

21

2

k

pN



اگر از جواب گذرا صرفنظر شود:

در رزونانس

ttutup

sin

222

0

21

1

k

p

21

2arctan

2220 21

1

k

pD

2

11 D



حداکثر : توجهDدر مقادیر قدری کمتر از

برای مثال

(:با شرایط اولیه صفر)اگر از جواب گذرا صرفنظر نشود

ترمsin و ( صرفنظر می شود)در عبارت باال کوچک است:

1

2222210814

d

dD

%15 حداکثرD977.0به ازاءحاصل میشود.

000 uu

tttek

ptu

DD

t

cossin

1

cos2

1

2

0

D

tek

ptu

t

cos1

2

10



برای حالت حذف جواب گذرا:

کمی بزرگتر از یک است و مستقل Dضریب بزرگنمایی ( تغییرات نیرو آهسته است)اگر 1.

.پس رفتار دینامیکی مانند تغییر شکل استاتیکی است–از میرایی

.سختی سیستم کنترل کننده است*

.1.....

به سمت صفر میل می کند و میرایی اثرDبا افزایش مقدار ( تغییرات نیرو سریع است)اگر 2.

:تعیین کننده است و تقریبا داریمDبرای مقادیر بزرگ ترم در بیان عبارت . زیادی ندارد

1

k

pu

0

max

1D

1

4

2

2

2

0

1

k

pD



جرم کنترل کننده است*

.1....

.2....

بسیار به درصدDمقدار ( فرکانس بارگذاری و فرکانس طبیعی سیستم تقریبا برابر است)اگر 3.

.تغییر شکل دینامیکی خیلی از تغییر شکل استاتیکی بزرگتر است. میرایی حساس است

.میرایی کنترل کننده است*

2

0

2

2

0

m

p

k

p دامنه حرکت

1

c

pk

p

0

0

2



مثال:

یکییک سیستم معادل یک درجه آزادی تحت اثر دو حالت بارگذاری هارمون( با تقریب )دامنه حرکت

مطلوبست تخمین درصد میرایی سیستم؟. بصورت زیر است

5 520.0

: 5

52

10

k

p 5.002.025

10

0

2

0 k

pk

p

k

p

%505.0


برآورد در صد میرایی از روش تشدید هارمونیکی

نوسان کننده ساده مستهلک شونده با فرکانس زاویه ای: تئوری

tptp sin0

1

tk

ptutu

p

cos2

2

1

2

0

tk

ptu

cos

2

0



نیروی در فنر–الف

نیروی در میراگر–ب

Sf tkuf

S

k

pa

20دامنه

tucfD

. Df

umfmcm

cD

222

tatutatu sincos

tamtamfD

sin2sin22



takfkmm

kD

sin222

tak

ft

ak

fDD

2

2

sin2

sin2

2

222

1cos1sina

utt

تابع بیضی

2

2

2

2

12 a

u

ak

fD



ه دردریک سیکل کامل مقدار انرژی پتانسیل در فنر تماما پس داده می شود ولی انرژی استهالک شد

:میراگر مصرف می شود و مقدار آن برابر سطح زیر بیضی است

رابطه بین مجموع دو نیروی وتغییر

:مکان

kaA2

2ka

A

22

SDff ,

u

شکل بدست آمده برای حالت تئوریک و ایده آل بوده است



محاسبه و درصد میرایی نسبی تخمین زده می شودمقدار –از شکل مساحت بیضی ak ,

kaA

22

4% شدهفوالدی جوش

%7فوالدی پیچ و مهره

5% بتن پیش تنیده

%7بتن مسلح

(منحنی در حالت واقعی) (توصیه سازمان انرژی اتمی آمریکا)



انرژی مستهلک شده یک سیستم مقدارSDOF در یک سیکل تحت اثر tptp sin0

(:جواب پایدار) dtucdtuucdufE

DD

2

0

2

0

2

2

22

0cos

cdttc

:توجه از قبل داشتیم ttutup

sin



مثال:

نیروی مقاوم برای حرکت جسمی در یک سیال با توان دو سرعت رابطه دارد

حت اثرمطلوبست تعیین ضریب میرایی معادل لزجی برای چنین نیرویی که بر سیستم مرتعش ت

نیروی هارمونیکی با دامنه حرکت و فرکانس زاویه ای و هم چنین تخمین در حالت

اگر زمان از حالت تغییر مکان حداکثر منفی در نظر باشد: حل:

2ubf

D

eqc

ttu cos

dtuubdtufdtufdufEcDDDDeq

2

0 0 0

222

32

0

333

3

8sin2

btdtb



bcbceqeq

3

8

3

8 322

از قبل

c

p0

21

2

0

8

3

p

b


کاهندگی ارتعاش

انتقال حرکت از تکیه گاه : الف

به سازه

.... زلزله-انفجار-عبور قطار-ماشین آالت

tuututugggg

cossin00

نشان میدهیمرا با برای سادگیt

uu

0gg

uukuucum



tuctkukuucumgg

cossin00

tp sin0

...................................

22

2

2

2

2

m

c

m

c

k

c

222

0021

0

kuckugpg

2tank

c

tuctku

k

pu

tpkuucum

gg

cossin

21

1

sin

00222

0

max

0

crc

tuحداکثر تغییر مکان منتقله از پی سازه به خود سازه وقتی پی بصورت ارتعاش می کندg

sin0



مساله مهم در کاهندگی ارتعاش:

.حفاظت سیستم از ارتعاشات مزاحم ناشی از حرکت تکیه گاه است

ضریب قابلیت انتقال:

معیاری جهت تعیین میزان انتقال حرکت از پی به دستگاه

222

2

2

0

222

0

max

21

21

21

1

21

1

0

k

p

k

p

u

uTR

g



در بارگذاری

sin

21

1

222

D

2

21 DTR



حداکثر تغییر )همه منحنی ها از یک نقطه عبور و به ازای

(.ارتعاش پی( دامنه)مکان منتقله به سیستم برابر حداکثر

ییر بزرگتر باشد ضریب انتقال کاهش می کند بنابراین تغهر چه از.مکان منتقله کمتر می شود

ی مهم وتاثیر نیروی میرای! هر چه کمتر باشد ضریب انتقال کمتر می شود

!نقش نیروی میرایی؟ نا مطلوب. هر چه کمتر باشد بهتر است

باید تغییر تغییر مکان حداکثر سیستم است ولی برای نیروی داخلی سازه در اثر حرکت تکیه گاهی

:مکان نسبی معلوم باشد

21TR

2

maxu

ru


کاهندگی ارتعاشgr

uuu

tmuumkuucumggrrr

sin2

0

geffump

222

2

max

21

10

k

muu

g

r

222

2

max2

2

22

210

g

r

u

u

k

m

2

max 0

Duugr



مثال:

26/101.2 cmkgE

21450 cmI

%5

?TR

حداکثر تنش موجود در ستونها؟



3

6

3500

1450101.26/2.146

6 cmkgf

h

EIk

mNk /1432761008.92.146

cmug

4.00

sRadm

k /84.4106

8.9143276

4

826.084.4

4/4 sRad



046.3

826.005.02826.01

1

222

D

056.3826.005.021046.32TR

cmDuugr

83.0826.0046.34.022

max 0

نیروی هر ستون kgf67.602

83.02.146

cmkgfM 3033550067.60max

2

max/3.188

91450

30335cmkgf

h

IM

لنگر حداکثر هر ستون

918 hINP



انتقال نیرو از سازه به تکیه گاه: ب

.در طراحی پی های ماشین های مرتعش بکار می رود

سازه مرتعش است و هدف تعیین مقدار نیروی منتقله از سازه به تکیه گاه است



ستاتیک در ا. برآیند نیروهای انتقال یافته از سازه به پی برابر مجموع نیروهای فنر و کمک فنر است

.فقط نیروی منتقل می شود اما در دینامیک ، و منتقل می شود

tpkuucum sin0

جواب پایدار ttu sin

D

k

p

k

p

0

222

0

21

1

kukuuc

uckuffRDS



tck

tctkR

sin

cossin

222

2arctan

k

c

زاویه فاز

22

2

41

2

tantan1

tantantan

tkt

k

ckR sin21sin1

2

2

222

2

0

max

21

21

pR



TR :ه به حداکثر نیرویقابلیت انتقال در این حالت عبارت از نسبت حداکثر نیروی انتقال یافته به تکیه گا

.هارمونیکی وارد بر سازه است

کنند ، انتقال حرکت از تکیه گاه به سازه و انتقال نیرو از سازه به تکیه گاه از یک قانون پیروی می

( .مشابه است TRمنحنی تغییرات )

2

222

2

0

max21

21

21

D

p

RTR شبیه حالت الف



مثال:

نیروی انتفال یافته از موتور به تیر ؟

%10

Nttp 40sin1034

44250 cmI

x

26/101.2 cmkgE از وزن تیر صرفنظر می شود ،



حل:

cmkgfl

EIk /6694

400

4250101.24848

3

6

3

mNk /65601201008.96694

sRadm

k /77.561020

8.96560120

3

7.07.56

40

cmk

pu

st46.0100

6560120

1034

0



89.1

7.01.027.01

1

222

D

cmDk

p87.089.146.0

0 حداکثر تغییر مکان

91.17.01.02189.12122

DTR

NTRpp 44

0max1073.591.1103 تاثیر نیروی دینامیکی


Periodic Excitation به بارگذاری پریودیک SDOF پاسخ سیستم

نیروی پریودیک نیرویی که تابع آن پس از یک پریود ثابت ، عینا تکرار شود( پریودTp )نیروی ،

یلیپروانه کشتی ، امواج روی سکوهای دریایی ، نیروی گردابی باد بر ساختمانهای بلند و الغر و خ

نیروهای دیگر ، پریودیک یا نزدیک

:به آن هستند

شبیه سازی زلزله و حرکت اتوموبیل

روی دهانه بلند پل ها به دلیل اثر بلند

مدت خزش از آن جمله می باشند ،



(.ه خطی رفتار ساز)با کمک بسط سری فوریه ، نیروی پریودیک به ترم های هارمونیک تبدیل می شود

پریودیک

1 1

0sincos

n n

nntnbtnaatp

pT

p

dttpT

a0

0

1در یک پریود P(t)مقدار متوسط

,...3,2,1

2

n

Tp



در تئوری ترم ولی در عمل چند ترم اول برای همگرایی کافی است .

pT

p

ndttntp

Ta

0cos

2

pT

p

ndttntp

Tb

0sin

2

1 1

0sincos

n n

nntnbtnaatpkuucum

1

2

2

n

T

nT

T

Tn

p

pn

n1

nn



از حل معادله برای هر ترم بارگذاری

یک تابع پریودیک با پریود

یب تاثیر نسبی هر ترم بستگی مستقیم به مقدار و از مولفه نیرو و همینطور ضر

. دارد

tu

tbat

bakk

atu

nnnnnn

n

nnnn

nn

cos21sin

12

21

11

2

1

2

222

0

tup

T

na

nb

n tp



مطلوبست تحلیل یک : مثالSDOF تحت اثر نیروی پریودیک

0

0

p

ptp

p

p

p

TtT

Tt

2

20

pT

p

dttpT

a0

00

1



0coscos2 2

02

00

pp

p

TT

T

p

ndttnpdttnp

Ta

n

pdttnpdttnpT

b

pp

p

TT

T

p

n 0

2

02

00 4

0sinsin

2 n زوج

n فرد

5,3,1

0sin

14

n

ntn

n

ptptp

222

22

5,3,1

0

21

cos2sin114

nn

nn

n

tntn

nk

ptu


(انتگرال دوهامل)در بار گذاری اختیاری و کلی SDFتحلیل دینامیکی

Duhamel’s integral )Response to Arbitrary Force(

ی دیده، تحلیل دینامیکی در برابر بار آن( بدون محدودیت خاص)قبل از پرداختن به بار گذاری کلی

مدت زمان اعمال بار بقدری کوتاه که سیستم . می شود

فرصت عکس العمل ندارد ، بنابراین تغییر مکان در فاز

بارگذاری تقریبا صفر است ، میرایی در این نوع بارگذاری

جواب سیستم در فاز ارتعاش آزاد. اثر بسیار ناچیز دارد

d: خواهد بود tt


( انتگرال دوهامل)در بار گذاری اختیاری و کلی SDF تحلیل

دینامیکی

شرایط اولیه در لحظهtd نوشته می شود ( بدون میرایی)برآورد شده و رابطه ارتعاش آزاد .

معموال اگر باشد ، جواب تقریبی فوق ، قابل قبول خواهد بود.

ضربه = اندازه مقدار حرکت dd

d

tt

t

umuumumdttp 00

0#dt

u و

m

dttpu

dt

رابطه ارتعاش آزاد

tm

dttptut

utu

d

d

d

t

t

t

sincossin

0

4

Tt

d

صفر

صفر


(انتگرال دوهامل)در بار گذاری اختیاری و کلی SDFتحلیل دینامیکی

یک سیستم –مثالSDF باT=0.4 sec تحت بار ذوزنقه ای شکل است .

?8.1 tu

sRadT

/7.154.0

22

43.0

Tt

d


( انتگرال دوهامل)در بار گذاری اختیاری و کلی SDF تحلیل دینامیکی

روش مستقیم یا........

Iفقط فاز

7.1sin2

1.07.1

41.0

0

1m

ptu

Tt

d

IIفقط فاز

6.1sin1.0

6.14

1.00

2m

ptu

Tt

d

IIIفقط فاز

5.1sin2

1.05.1

41.0

0

3m

ptu

Tt

d

سیستم خطی

5.1sin6.1sin27.1sin2

1.08.1

0

321

m

puuutu



tm

dptdu

sin

dtpm

tudutt

sin1

00



انتگرال دوهامل برای حالت بدون میرایی

جواب خیلی دقیق است چون

پاسخ انتگرال دوهامل برای حالت با میرایی

در عمل ،اگر تابع پیچیده باشد یا شکل خاصی نداشته باشد ، از روش برآورد عددی استفاده می شود ،

. روش های عددی انتگرال دوهامل از کارایی خوبی بر خوردار نمی باشند

4

Td

dtep

mtu

D

tt

D

sin1

0

tp



دینامیکی



دینامیکی

مطلوبست تحلیل یک –مثالSDF با روش انتگرال دو هامل برای بار گذاری زیر:

حالت بدون میرایی

dt

tptp 1

0 dtt 0

t

d

dtt

pm

tu0

0sin1

1



دینامیکی

( :ارتعاش آزاد)برای

. باید و در لحظه بر آورد شود و در رابطه ارتعاش آزاد قرار گیرد

(:شرایط اولیه صفر فرض شده است )پس از عملیات پر حجم انتگرال گیری

t

tt

t

t

k

ptp

dd

sin1

cos10

dtt 0

dtt

uudt


در چند حالت بار گذاری خاصSDFپاسخ سیستم

الف–STEP FORCE

در این حالت به ازای لحظه ای که پاسخ حداکثر می شود.

یا انتگرال دوهامل قابل حصول است ( حل معادله دیفرانسیل ) تحلیل باال از روش مستقیم.

0

ptpkuum

جواب بدون میرایی

tk

ptu cos1

0

حالت با میرایی

k

ptu

0

max2

ttek

ptu

DD

t

sin

1

cos12

0



ب–RAMP FORCE ( نیروی افزاینده خطی)

r

t

tptp

0

رفتار سازه خطی است و 0:sin

0

rrt

t

t

t

k

ptu



ج–STEP FORCE with FINITE RISE TIME ( بدون میرایی)

0

0

p

ttp

tp r

r

r

tt

tt

rrt

t

t

t

k

ptu

sin0

rtt



r

r

ttttk

ptu

sinsin

11

0

rtt

220

maxsincos1

11

rr

r

tttk

ptu

r

tt

ضریب بزرگنمایی دینامیکی

T

t

T

t

k

p

uD

r

r

sin

1

0

max



طیف جواب برای بارگذاری فوق

حالت بدون میرایی


در برابر بارگذاری ضربه ایSDFتحلیل دینامیکی سیستم

PULSE EXCITATION

بر سازه ها اثر می کنند...... انواع بار گذاری ضربه ای مثلثی ، مستطیلی ، نصف هارمونیک و.

جزئیات تحلیل برای نمونه در مورد بار ضربه ای نصف سینوس ارائه می شود .

موج انفجار ، ترمز جرثقیل های بزرگ ، افزایش ناگهانی

نیروی موتور از جمله بارهای ضربه ای هستند ،

معموال اثر میرایی خیلی کم است ،

IIو فاز Iفاز : تحلیل در دو فاز انجام می شود



PULSE EXCITATION

تحلیل فاز بار گذاری(I )

آیا در فازI است یاII؟

dtt 0

tpkuum sin0

ttk

ptu

sinsin

1

1

2

0

maxu

0coscos

1

1

2

0

tt

k

p

dt

du

tttt coscos0coscos



PULSE EXCITATION

برای اینکه حداکثر در فازIباشد باید

بارگذاری نصفsin پس سیکل اول(n=1)و اگر با عالمت منفی ادامه دهیم خواهیم داشت

. بررسی می کنیم + و عالمت n=1که معنی ندارد پس رابطه شرطی را با

tnt 2 لحظه پاسخ حداکثر

T

t

nnt

d2

1

22max

d

d

t

T

T

t

22

22

dtt

max

1



PULSE EXCITATION

d

d

t

T

tt

21

2

11

2max

d

t1

1

2

d

ddp

tttT

2

22

یا 1یا dt

T

2



PULSE EXCITATION

تحلیل فاز ارتعاش آزاد(II)

برای رابطه ارتعاش آزاد باید تغییر مکان و

(.لحظه یعنی ) سرعت در لحظه تعیین شوند

:مقادیر محاسبه می شوند Iاز رابطه فاز

dtt

ttuttu

tu

cos0sin0

dt0td

tt

dd ttuوu

0sinsin dd

tt

ddd

ttk

ptu

sinsin

1

1

2

0

2

0

1

sin

k

ptu

tt

d

d

d



PULSE EXCITATION

برای محاسبه:

:پس

d

tu

ddd

ttk

ptu

coscos

1

1

2

0

cos1

12

0

k

ptu

d

tt

k

ptu

cossinsincos1

12

0



PULSE EXCITATION

برآورد حداکثر تغییر مکان در فازII :

ttu sin که

2

2

d

d

t

t

uu

tumax که اگر بجای از معادل آنها استفاده شود:

dd ttuوu

IIدر فاز

2cos

1

2

2

0

max

k

pu



PULSE EXCITATION

تهیه طیف پاسخ بار گذاری نصف سینوسی

با توجه به تعیین تغییر مکان حداکثر در فازI وII می توان ضریب بزرگنمایی را محاسبه و بر حسب

.های مختلف ، منحنی مربوط ترسیم شود

T

td



PULSE EXCITATION

0.5پریود طبیعی قاب برابر . قاب یک طبقه مطابق شکل مفروض است –مثال secو ستون ها از

، مطلوبست تعیین پاسخ حداکثر قاب تحت اثر بار (E= 2.1 106 kg/cm2)می باشد IPB 16مقطع

منظور از پاسخ در این مساله حداکثر . td= 0.25 secو ton 1.8ضربه ای نیم سینوس با حداکثر مقدار

تغییر مکان در باالی قاب و حداکثر تنش خمشی در ستونها؟

34311249216 cmWوcmIIPB

xx

5.15.05.0

25.0 D

T

td طیف مربوطه



PULSE EXCITATION

cmkgh

EIk /85.322

10065.3

2492101.233

3

6

3

یک ستون

قاب cmkgk /7.64585.3222

cmk

p79.2

7.645

18000

cmDk

pu 185.45.179.2

0

max



PULSE EXCITATION

برآورد لنگر از روش دیگر:

mt

cmkguh

EIM

93.4

86.493171185.4365

2492101.233

2

6

max2

tonDpkufs

7.25.18.10maxmax

mtonhf

Ms

93.465.32

7.2

2

max

2

5

/1585311

1093.4cmkg

W

M



PULSE EXCITATION

تحت اثر نیروی 80برج آب مثال های قبل با ارتفاع –مثالp(t) ناشی از انفجار قرار می گیرد .

مطلوبست تعیین حداکثر برش و لنگر خمشی در پای برج؟



PULSE EXCITATION

حل مثال:

:استفاده می شود ( مساحت منحنی بارگذاری ) از قانون ذوزنقه برای محاسبه انتگرال

:از مثال های قبل

برج

sec12.1

/2.8

T

inkipsk

پر

25.0071.012.1

08.0

T

td

روش تقریبی

m

I

m

dttput

m

dttpdttp

max

08.0

0sin



PULSE EXCITATION

in

Tk

Iu 821.0

12.12.8

22.12max

kipskufs

73.6821.02.8maxmax

برش حداکثر kipsVb

73.6 و

ftkipMb

5388073.6


به روش عددیSDFارزیابی پاسخ دینامیکی سیستم

Numerical Evaluation of Dynamic Response of SDF

برای انواع بارگذاری دینامیکی بویژه اگر نیرو دارای تابع ریاضی مشخصی نباشد:

شدقت ، همگرایی ، پایداری و نکات برنامه نویسی و اجرا در کامپیوتر در مورد رو:مسائل مهم

عددی مورد نظر

تفاظل محدود در بیان سرعت و –درون یابی تابع نیرو : سه روش کلی عددی :انواع روش

فرض تغییرات مختلف شتاب–شتاب

tp







روش های عددی متکی بر درون یابی در تابع نیرو–الف

Numerical Solution Based on Interpolation of the Excitation

درون یابی ثابت تابع نیرو

ii

ppp ~

یا

یا

1ip

2

1

iipp




درون یابی خطی تابع نیرو

i

i

it

ppp




1-درون یابی ثابت تابع نیرو

: جواب کلی از دو قسمت تشکیل شده است –از میرایی صرفنظر می کنیم :برای سادگی

جواب سیستم تحت اثر نیروی ثابت در فاصله زمانی بدون شرایط اولیه1.

(ارتعاش آزاد ) جواب سیستم درحالتی که نیرو وجود ندارد و فقط شرایط اولیه وجود دارد 2.

it

k

pupukum

i

pi

~~~~~

cossin~

21AAu

c




( :نیرو وجود ندارد)ارتعاش آزاد

cossin

~~

21AA

k

pu

i 00

~0

~ uu

cos1

~~

~,0

21

k

pu

k

pAA

ii

ip~

sincosˆ i

i

uuu

uuu ˆ~




cos1

~

sincos k

puuu

ii

i

sin

~

cossink

puuu

ii

i

it

1it

i

i

i

i

iiit

k

pt

utuu

cos1

~

sincos1

i

i

i

i

iiit

k

pt

utuu

sin

~

cossin1

اگر در روابط قبلی قرار گیرد ، تغییر مکان و سرعت در لحظه بدست می آید.




2– درون یابی خطی تابع نیرو

:جواب کلی از سه قسمت تشکیل شده است . جزئیات حالت بدون میرایی ارائه می شود

نیروی خطی ( + ارتعاش آزاد ) شرایط اولیه بدون نیرو + نیروی ثابت بدون شرایط اولیه

( :دیده شد و اینجا جزئیات مورد سوم 1جزئیات دو مورد اول در حالت ) بدون شرایط اولیه

i

i

it

ppp

ip

i

i

t

p

i

i

t

pukum

i

tuu 0,000




i

i

pt

p

ku

1و cossin

21AAu

c

cossin21

AAtk

puuu

i

i

cp

002 Au و

i

i

tk

pAu

100

sin1

0

i

i

tk

pu




(: مورد اول نیز لحاظ شده است 2جواب ) اگر پاسخ در لحظات بدست می آیدi

t1i

t

i

i

i

ii

i

iiit

tk

pt

k

pt

utuu

cos1

1sincossin

0

1

ii

i

i

ii

i

iiitt

tk

pt

k

pt

utuu

sin

1cos1sincos

0

1




روابط مربوط به درون یابی خطی تابع نیرو در حالت میرایی

iiiii

iiiii

uDuCpBpAu

uDCuBpApu

11

11

t

tt

te

tkA

DD

D

t

cos

21sin

1

2121

2

2

t

tt

te

tkB

DD

D

t

cos

2sin

1221

12




teDtteCD

D

t

DD

t

sin

1cossin

12

tt

t

t

etk

ADD

t

cos

1sin

11

11

22

ttetk

BDD

t

cossin

1

11

2

tteDteCDD

t

D

t

sin

1

cossin

122




دقت روش وابسته به. اگر ثابت فرض شود ، ضرائب تا یکبار محاسبه می شود

ردر حالت جوابها قابل قبول است ، مساله د. است که هر چه کوچکتر باشد ، بهتر است

.حالت خطی صادق است

itAD t

10

Tt

Alireza

Typewriter

Earthquake.blog.ir



طیروش عددی استوار بر درون یابی تابع نیرو بصورت خ

یک سیستم معادل یکدرجه آزادی با سختی معادل و وزن–مثال

تحت اثر نیروی هارمونیک بصورت ( سکون ) با شرایط اولیه صفر

.می باشد

(حالت بدون میرایی ) جواب سیستم را برای فاصله زمانی بدست آورید

مساله را برای حالت . و از مبانی درون یابی خطی تابع نیرو استفاده شود

. تحلیل و جوابها را مقایسه کنید ( پاسخ از روش حل معادله دیفرانسیل حرکت ) دقیق

inibk 40

ibW 6.38 tp

ttptp 10cos10cos0

sec2.00 t 0

sec02.0t


روش عددی استوار بر درون یابی تابع نیرو بصورت خطی

جدول مساله مطابق ضمیمه تهیه و تنظیم می شود .

20

386

6.3840

mk

sRad

310312.1

A

410613.6

B

110211.9

C

210947.1

D

210604.9

A

210868.9

B

788.7C

110211.9

D




روش های عددی تحلیل دینامیکی –بSDFاستوار بر تغییرات

(گام به گام ) مختلف شتاب

Numerical Solution Based on Approximating Derivative

( step – by – step Numerical Integration )

ثابت ،) در یک گام زمانی ، تغییرات شتاب در حالتهای مختلف فرض می شود :اساس روش ها

و با انتگرال گیری از رابطه شتاب ، رابطه تغییر مکان حاصل می شود ، ( متوسط یا خطی




1–روش عددی گام به گام با شتاب ثابت ابتدای گام

i

uu انتگرال

Auui 0اعمال شرایط اولیه در

iiii

uuuuAuu 0

iiiutuut

1




انتگرال رابطه

برای بدست آوردن و سرشکن کردن خطاها از رابطه اصلی تعادل کمک گرفته می شود:

بجای از و بجای از قرار می دهیم:

iii

uuBuuu 0,02

1 2

2

2

1iiii

uuuuuB

iiii

ut

utuut 2

2

1

1iu

1111

iiiipkuucum

1iu1i

u

iiiiiu

tktcutkckup

mu

2

12

11




2–روش عددی گام به گام با شتاب متوسط

1

2

1

ii

uuu

انتگرال iii

uuAuuu

0,02

111

اعمال شرایط اولیه

tuuuuuAiiii

11

2

1

1

2211

i

uut

uuut

uuiiiiii




u 2

2

14

1Auuuu

iii

انتگرال از

2

124

100

iiiiiiuuuuuuAuu

1

2

14

iiiiiuu

ttuuut

iii

iiiiiii

ut

ut

tu

uuut

tuuuu

42

4

24

22

1

2

1




iiii

utuut

u 24

2

tuut

uut

uut

tuu

iiii

iiii

2

2

4

1

1

2

iii

iiiii

uut

u

tuut

uut

u

22

2

21




در رابطه بجای و از روابط و استفاده می کنیم:

1111

iiiipkuucum و

iiiipkuucum

iiiipukucum

iu

iu

iiiiiiipukuu

tcutu

tu

tm

2

22

44

22

iiipuk




بنابراین از رابطه مقدار و در حقیقت و سپس از روابط و مقادیر

. و که و را ارائه می دهند ، حاصل می شوند

2

42

t

m

t

ckk

i

iiiiumuc

t

mpp 22

4

iu

iu

1iu

1iu

1iu

iu

iu




برای سرشکن کردن خطاها در هر گام می توان را از رابطه تعادل محاسبه نمود:

روش فوق را روش گویند.

1iu

1111

1

iiii

kuucpm

u

2

1

4

1' SNEWMARK




3–روش عددی گام به گام با شتاب خطی

t 0

1

2

2

1A

t

uuu

t

uuu

i

i

i

i

اعمال شرایط اولیه 2

12

0 t

uuuuuAuu

iiii

i

pukucumiii

2

12

1t

t

utuuut

i

iii




iiiu

ttuu

2

انتگرال از u 2

3

2

62A

t

uuuu

ii

i

62

0

3

2

2

t

uuuuuuAuu

ii

iiii

62

3

2

1

t

t

ut

utuuut

ii

iii

62

22t

ut

utuuiiii




در رابطه بجای از

در رابطه یعنی معادله جزئی حرکت بجای و از معادل آنها از و قرار

: می دهیم

از رابطه iiiiuu

tu

tu 3

66

2

iu

iiiiu

tuu

tu

23

3

iu

iu




به این روش ، روش نیز می گویند .

iiiiiiipuku

tuu

tcuu

tu

tm

12

23

33

66

iipuk~~

ct

mt

kk

36~

2

iiiiiiu

tucuu

tmpp

233

6~

2

1

6

1' SNEWMARK




در هر گام می توان مقدارc وk ( .برای رفتار غیر خطی ) آن لحظه را قرارداد

.در این روش نیز می توان برای سرشکن کردن خطاها ، مقدار را از معادله حرکت محاسبه نمود

( :از نظر پایداری و دقت )مساله به حساس است

پایداری روش های :اشارهNewmark بصورت زیر بیان می شود:

جزئیات در مباحث پیشرفته دینامیک سازه ها

برای حالت شتاب متوسط

1iu

t

2

1

2

1

T

t

4

1

2

1 551.0

T

t




ر یعنی روش شتاب متوسط به ازای هر مقدار ، پایدار است ، البته در عمل مقادیر منطقی در نظ

. گرفته می شود

برای حالت شتاب خطی

اریعنی پایداری روش مشروط است ، البته در عمل ، معموال کوچک فرض می شود و این شرط بر قر

رابربرای مثال در حالت زلزله ، برای در نظر گرفتن تغییرات شتاب زلزله ثبت شده معموال ب. است

0.551در نظر گرفته می شود که با توجه به پریود طبیعی سازه ها ، این کمتر از، 0.01یا 0.02

T معموال مناسب است . خواهد بود .

t

6

1

2

1551.0

T

t

t

t

10

Tt

t




خالصه نتایج روش های عددی گام به گام

روش شتاب ثابت ابتدای گام-1

iiiii

iii

iiii

utk

tcutkckupm

u

utuu

ut

utuu

2

1

2

2

11

1

2

1




iiiii

iiii

iiiii

uutuut

u

uut

uu

kt

c

t

muu

tu

tmpu

121

11

2211

4

2

2444

روش شتاب متوسط–2




روش شتاب خطی–3

iiiii

iiiii

iiiiiiii

ut

utuut

u

ut

uuut

u

kt

c

t

mu

tuu

tcuu

tu

tmpu

3

6

22

3

36

22

366

2

121

11

2211I

II

III




روش عددی گام به گامWilson –

اساس روش مشابه روش گام به گام شتاب خطی است با

فرض می کند شتاب E.L.Wilsonاین تفاوت که

در فاصله کمی بزرگتر از ، خطی است

این امر برای تضمین پایداری شتاب.

در 2تا 1.4خطی است و مقدار معموال بین

.نظر گرفته می شود

t

t




روابط اصلی این روابطI ،II ،III از روش شتاب خطی است و فقط بجای از

.و بجای از استفاده شده است

1i

i t

i

iiiii

ut

utuut

u 3

62

2

iiiii

ut

uuut

u 2

23

kt

c

t

m

ut

uut

cuutt

umpu

iiiii

i

ii

36

22

32

66

2

2




ین چون فرض شده که شتاب بطور خطی از زمان تا تغییر می کند ، بنابرا

:نیروی موثر هم فرض می شود که در این فاصله زمانی ، خطی تغییر می کند و بصورت

از رابطه مقدار بدست آمده و آنرا در رابطه قرار داده و محاسبه می شود ،

:شتاب در گام زمانی معمولی از رابطه زیر بدست می آید

ti ti

ip

1

11

ii

ii

iippt

t

pppp

iu

iu

t

ii

ii

uuuu

1




مقدار را در رابطه

و همینطور در رابطه

. از روابط شتاب خطی قرار داده و سرعت و تغییر مکان در لحظه بدست می آید

1iu

112

iiiiuu

tuu

1

22

163

iiiiiu

tu

tutuu

1it




روش عددی تحلیل دینامیکی –جSDFاستوار بر تفاضل محدود سرعت و شتاب

Central Difference Method (Finite Difference F.D.)

یکی از روش های حل دستگاه معادله دیفرانسیل

آن است که به نحوی شتاب و سرعت را بر

حسب تغییر مکان بیان نمود ، در این حالت

مساله دینامیکی به صورت استاتیکی تبدیل

. می شود




x

y

dx

dy

dx

dy

x

yx

0

limریاضیات

در ریاضیات کاربردیdx

dy

x

y

t

tuttu

t

u

dt

dutu

شکل مشکل برای حلشکل آسان برای حل




تفاضل محدود پیش روندهForward F.D.

تفاضل محدود پس روندهBackward F.D.

تفاضل محدود مرکزیCentral F.D.

معموال در روش های عددی ، روش تفاضل محدود مرکزی از خطای کمتری نسبت به دو روش دیگر

.برخوردار است

t

tuttu

t

u

dt

du

t

t

ttutu

t

u

dt

du

t

t

ttuttu

t

u

dt

du

t

2




جزیات روش عددی تحلیل دینامیکیSDF از طریق تفاضل محدود مرکزی با توجه به اصول

:روش تفاضل محدود مرکزی

Ruut

uiii

11

2

1 خطا

t

uuii

1

1

t

uuii

1

2




iu

t

12(سرعت) تغییرات

زمان

شتاب

2

112

t

uuuu

iii

i

Ruuut

uiiii

112

21

iiiipkuucum




از خطا صرفنظر و از دو رابطه و در قرار داده و را محاسبه می کنیم:

پس از تعیین از روابط و می توان و را تعیین کرد .

با توجه به رابطه و در شروع کار ، نیاز به و می باشد ، روابط و برای

:لحظه نوشته شده و بطور همزمان حل می شوند تا رابطه حاصل شود

1iu

122

12 2

2

2

iii

u

t

m

t

cu

t

mkpu

t

c

t

m

1iu

iu

iu

0u

1u

0t1

u

00

2

01

2utu

tuu




در یک مساله واقعی ، دو پارامتراز سه پارامتر ، و کافی است.

در تمام روش ها ، یکی از سه رابطه اصلی بکار گرفته شده ، رابطه حرکت در لحظه :توجه

.بوده بجز روش تفاضل محدود مرکزی که معادله حرکت در لحظه بکار رفت

روش هایی که معادله حرکت در لحظه را الزم دارند ، روش های ضمنیImplicit گویند.

. کویند Explicitو روش هایی که معادله حرکت در لحظه را دارند ، روش های صریح

0u

0u

0u

1it

it

1it

i




وش در تحلیل سیستم های چند درجه آزادی ، عملیات محاسباتی بیشتری در روش ضمنی نسبت به ر

صریح وجود خواهد داشت ، در ضمن روش های صریح فقط بصورت مشروط پایدار خواهند بود در حالی

.که برخی روش های ضمنی بصورت غیر مشروط پایدار می باشند




ک ثانیهمطلوبست تحلیل دینامیک برج آب داده شده تحت بار نصف سینوس مطابق شکل در ی–مثال

%10

sec1.0t

kipsW 8.978

inkipsk /100معادل پایه




روش عددی شتاب ثابت ، متوسط ، خطی ، ویلسون و تفاضل محدود مرکزی5برای مقایسه ، از

. استفاده می شود

in

skips

g

Wm

2

533.24.386

8.978

sRadm

k /283.6533.2

100

sec1#283.6

22

T

101.0

Tt




در فرمول ها مقدار الزم است:

:شرایط اولیه صفر است

:روش به شرح زیر بدست می آید 5روابط اصلی

روش شتاب ثابت ابتدای گام–الف

نتایج حاصل برای یک ثانیه در جدول اول

cinskipmc /183.32

0000 uuu

(a) iiii

uuuu 005.01.01

iiiuuu 1.0

1

iiiii

uuupu 8183.0183.13100533.2

111

(b)

(c)




روش شتاب متوسط–ب

نتایج حاصل برای یک ثانیه در جدول دوم

iiiiiuuupu 533.25.1049.110769.1176

11

(d)

iiii

uuuu 11

20 (e)

iiiii

uuuuu

4040011

(f)




روش شتاب خطی–ج

نتایج حاصل برای یک ثانیه در جدول سوم

iiiiiuuupu 225.535.1583.16153.1715

11

(g)

iiiii

uuuuu 05.023011

(h)

iiiii

uuuuu 26060011

(i)




فرض می کنیم

. از روابط روش که با حروف التین در جزئیات آن بود استفاده می شود

.مقادیر را در رابطه قرار می دهیم

. از رابطه محاسبه می شود

5.1

mckt ,,,,(c)

iiiiiuuupu 305.569.10713.73913.839

1

ip(d)

iiiii

uuuuu 2407.266

(a) رابطه




در نهایت رابطه اخیر را در معادالت و قرار داده:

نتایج حاصل برای یک ثانیه در جدول چهارم

(e)از رابطهiii

uuu 3333.06667.01

(f) (g)

11

05.0

iiii

uuuu

1100167.000333.01.0

iiiiiuuuuu




:مقادیر را در رابطه قرار داده خواهیم داشت

:روابط و

و صفر,چون در مساله . برای شروع از رابطه مقدار محاسبه می شود

توجه شود در جداول )نتایج مراحل گام به گام در یک ثانیه در جدول پنجم . است پس هم صفر است

(.بجای از استفاده شده است

mckt ,,,

1139.2376.40621.269

iiiiuupu

11

5

iii

uuu

11

2100

iiii

uuuu

1u

0u

0u

0u

1u

in




روابط مربوط به محاسبه نتایج دقیق تحت اثر بار نصفSin:

. باید شرایط اولیه آن در برآورد شود ( ارتعاش آزاد)برای

sRadtT

dp

/236.56.06.02

2

2

22

kipsp 1000

ttptp 236.5sin100sin0

833.0283.6

6.0t6.0t




(میرایی)پاسخ سازه برای حالت بارگذاری

در رابطه قرار داده و تعیین می شود.

sRadD

/2515.61.01283.6122

tte

k

p

ttk

ptu

D

D

D

D

t

sin21cos2

21

cos2sin1

21

1

2

2

2

222

0

2

222

0

6.0t 6.0 tu




از فرمول مشتق گرفته و در لحظه سرعت بدست می آید.

:رابطه ارتعاش بصورت زیر است

.نتایج شتاب متوسط و خطی خوب است ولی شتاب ثابت خوب نیست

.برای شتاب ثابت باید از خیلی کوچکتر استفاده شود

tu6.0t 6.0 tu

6.0cos6.06.0sin6.06.06.0

tutuu

etuDD

D

t

t


پایداری و خطاهای محاسباتی در روش های عددیStability & Computational Error of Numerical

Proceduresابهای پایداری روش عددی یعنی الگوریتم روش طوری باشد که با تغییر کوچک در گام زمانی جو

اب در روش های ناپایدار به ازای برخی ، جوابها اشتباه و خیلی دوراز جو)مساله زیاد تغییر نکند

(.واقعی خواهد بود

با بررسی معیار خطا بر حسب های مختلف برای یک روش عددی ، می توان شرط پایداری را

(.روش های پایدار مشروط–روش های پایدار غیر مشروط )تعیین نمود

شتاب خطی و تفاضل محدود مرکزی پایدار مشروط–روش عددی شتاب متوسط پایدار غیر مشروط

t

t

t



Procedures در سیستم های معادل یک درجه آزادی ، مساله پایداری روش عددی معموال مطرح نیست چون

(.به دلیل کوچک این سیستم ها)بطور محسوسی کوچکتر از حد پایداری خواهد بود

در سیستم های چند درجه آزادی به دلیل نقش پریودهای مودهای باالتر ، مناسب و الزم است از روش های

.غیر مشروط استفاده کنیم

:خطاهای محاسباتی از چند طریق وارد روش عددی می شود

– Round–الف off errorناشی از گرد کردن اعداد تولید شده بوسیله محاسبات تکراری

T

2.05

1 و

....333.03

1

t



Proceduresلخطای نچشیدگی تولید شده در اثر جایگزینی معادله دیفرانسیPropagated error–ب

بوسیله تفاضل محدود معادل

تولید شده در اثر بیان یا توسط تعداد محدود عبارتTruncation error–ج

در بسط سری تیلور

، در روش های عددی با توجه به الگوریتم روش. ، و ضرایب ثابت که برخی صفر می شوند

.فقط برخی از سری کلی باال وجود دارد ، پس خطا خواهیم داشت

1iu

1iu

i

kil

i

kil

i

kil

lllllliRuCuBuAu

1 1

1 خطا

lA

lB

lC



Procedures

بطور کلی در مسائل متعارف رعایت پایداری و دقت قابل قبول را باعث می شود.10

Tt


تحلیل دینامیکی سیستم های غیر خطی

Analysis of Nonlinear Response یکیهندسی و فیز: از دو طریق رفتار سیستم ها از حالت خطی به غیر خطی تبدیل می شود

(.کیغیرخطی فیزی)و عدم پیروی اجزاء و مصالح از قانون هوک ( غیر خطی هندسی)تغییر مکانهای بزرگ

اق دارداساس روش های تحلیل دینامیکی ، صادق بودن قانون جمع آثار قوا بوده است که در رفتار خطی مصد

. و در حال حاضر تنها روش تحلیل دینامیکی برای سیستم های غیر خطی ، روش های عددی می باشد

ر آب ، که تحلیل د–سازه –اندر کنش خاک : دالیل دیگری برای بکار گیری روش های عددی وجود دارد

االکه باعث تحریک مودهای ب( انفجار)میدان فرکانس را ضروری می سازند ، ضربه های خیلی ناگهانی

.می شود و روش مناسب ، روش عددی است



Analysis of Nonlinear Response معادله حرکت ؟سیستم ساده جرم که توسط دو کابل کشیده نگهداشته شده هست ، –مثال

:کشش اولیه در حالت بدون تغییر مکان ریسمان اجزاء سازه از قانون هوک پیروی می کنند 0T

E

lul 22

تغییر طول کابل

l

EAT

A

Tو

l

umTtpumF sin2



Analysis of Nonlinear Response

tp

ul

ulul

l

EATum

ul

u

22

21

22

022

2sin

mرابطه غیر خطی هندسی رفتار جرم

رابطه خطی tpl

uTum

02lu اگر



Analysis of Nonlinear Response م با معموال جر. رفتار غیر خطی فیزیکی از متغیر بودن جرم ، میرایی و سختی وارد مساله می شود

از واقعیتزمان تغییر نمیکند و با توجه به عدم قطعیت در تعیین دقیق میرایی ، خطی در نظر داشتن آن دور

. نخواهد بود

بنابراین منشاء اصلی رفتار غیر خطی در سیستم های

متعارف همانا عدم پیروی از قانون هوک در

.اجزاء ومصالح سازه خواهد بود

:این رفتار توسط مبانی علم تئوری پالستیسیته تعیین می شود



Analysis of Nonlinear Response در فاصله زمانی و معادله جزئی حاکم:

سختی سکانتSecant Stiffness در فاصله گام زمانی به دلیل اینکه مشخص نمی باشد

ختی اگر فاصله زمانی کوچک باشد ، می توان از س. نمیباشد نمیتواند بکار رود چون معلوم نیست

:مماسی استفاده کرد

iisii

pfucum

i1i

iiis

ukf sec

1iu

t

Tk

iTiis

ukf



Analysis of Nonlinear Response ام ثابت بنابراین در الگوریتم روش های عددی قبلی تغییر کلی رخ نمی دهد بلکه فقط مقدار در هر گ

.خواهد بود( سختی مماسی ابتدای گام)نبوده و مقدار آن برابر

:در این حالت بیان می شود ( شتاب خطی)برای نمونه کلیات روش نیومارک

ut

ut

utuii

62

22

:از قبل داشتیم

uuuوuuuiiii

11

از رابطه

iiu

tutu

tu

2

62

2

k

Tk




:که با بکار گیری در

:حال اگر ، و را در قرار دهیم

در روش نیو مارک ut

utui

2

iiuuu

1

iiu

tuu

tu

23

3

iii

i

Tu

tucu

t

umpuk

t

c

t

m

233

636

2




ا و بنابراین ب. پس از تعیین از رابطه ، مقدار آن را در قرار داده و محاسبه می شود

مقدار شتاب می تواند از رابطه یا برای. داشتن و می توان و را تعیین نمود

:سرشکن کردن خطای سختی مماسی از رابطه تعادل کلی در زمان تعیین شود

یا

pukT

iii

i

TT

ut

ucut

umpp

kt

c

t

mk

233

6

36

2

که

111

1

isii

ucttfpm

u

uu

uu1iu

1iu

1i



Analysis of Nonlinear Response برج آب با جرم و میرایی تحت انفجار قرار می گیرد ، منحنی رفتاری –مثال

داده شده است ، مطلوبست واکنش برج در لحظه با روش عددی شتاب متوسط ؟

mcufs

sec8.0



Analysis of Nonlinear Response از الگوریتم روش شتاب متوسط :حل:

iiu

tutu

tu

2

42

2

pukوuuuut

uii 2202

2

TTkk

t

c

t

mk

44

24

2

iiii

iuupucu

t

umpp

2.04.422

4

Ttوk

mT

7

11.0sec702.02

اولیه



Analysis of Nonlinear Response :به نکات زیر توجه شود . جدول مربوط تکمیل می شود

برای ، نیروی برابر

.می باشد

تغییر مکان از0.5به 0.4در فاصله زمانی

(1.5بزرگتر از )می رسد 1.7093به 1.1128

تغییر کند ولی8و از رابطه خود به مقدار ثابت

. چون بزرگ است ، محل و زمان دقیق این تغییر نا مشخص است

inu 5.1sf

kips8

sf

t



Analysis of Nonlinear Response سرعت تغییر عالمت داده ،0.6به 0.5در فاصله زمانی ،

یعنی صفر شده سپس تغییر عالمت ، بنابراین سختی از صفر باید

ولی( منحنی رو به پایین است Aپس از نقطه )تبدیل شود 8به

.محل دقیق مشخص نیست

تغییر می کند و نیروی 8، به 0.6در گام های بعد از

:ثانیه 0.7فنر در بخش تنزلی منحنی رفتار قرار دارد ، مثال در

Tk

kipsufs

2328.53459.08888


خطا در تحلیل غیر خطی دینامیکی سیستم ها

عالوه بر خطاهای رایج روش های عددی ، خطاهای دیگری که مختص حالت غیر خطی است ، بوجود

( :تغییر مکان–در بکار گیری سختی از رابطه و منحنی نیرو )می آید



خطای ناشی از استفاده سختی مماسی ابتدای گام به جای سختی واقعی–الف

تغییر مکان–تاخیر در آشکار سازی گذاری رابطه نیرو –ب

ود برای کاهش اثر خطاهای حالت ب می توان در محل های تغییر جهت منحنی ، از کوچکتر استفاده ش

ختی، خطای ناشی از بکار گیری س( کنترل و اعمال توسط کامپیوتر)که معموال از استفاده می شود

.مماسی با بکار گیری روش تکراری در هر گام ، می توان حداقل شود

t

4

t

TTk

t

c

t

mk

36

2







با توجه به شکل برای خطای مورد نظر و جهت دسترسی به نقطه واقعی از طریق

( :به شرح زیر)در یک گام بکار می رود Iterationنقطه ، روش تکراری

رابطه روش نیومارک شتاب خطی

ی از تغییردر حالت غیر خطی که سختی فنر با افزایش تغییر مکان ، کاهش می یابد ، نیروی فنر معادل ناش

اقیمکان کمتر از مقداری است که رابطه ارائه می دهد ، بعنوان نتیجه ، یک نیروی اضافی ب

یرویتغییر مکان اضافی در اثر این ن. می ماند که در شکل مالحظه می شود و آنرا با نشان دادهایم

:باقی مانده بصورت زیر است

ufsb

b

puk

T

1

1u

2r

122fpruk

T



یابد تا از این تغییر مکان اضافی ، نیروی باقی مانده جدید پیدا شده و مساله به همین ترتیب ادامه می

:مراحل تکرار در یک گام زمانی به شرح زیر است . همگرایی حاصل شود

kk

Truk

kk

i

k

iuuu

1

11

kkk

s

k

s

ku

t

cu

t

mfff

36

2

1 kk ˆ,1

kkkfrr

1



از رابطه مشخص است که مرحله تکرار با شروع می شود.

ن کلوقتی مراحل تکرار ، همگرا شد یعنی یا به اندازه کافی کوچک شد ، تغییر مکا

.نموی از رابطه حاصل می شود

شود که نرخ همگرایی می تواند بهتر شود چنانچه بجای سختی مماسی اولیه از جریان مماسی سختی استفاده

. البته بر آورد سختی مماسی جدید مستلزم محاسبات بیشتر است

pr

1

ku

kr

k

k

kuu

ˆ

1



فتاربرج آب مثال قبل مورد نظر است تحت اثر همان بار گذاری ، منتحی این بار در منحنی ر–مثال

روش عددی. نیز با دقت بیشتری بررسی شود Aقسمت انتقال . غیر خطی از روش تکراری استفاده شود

.شد شتاب متوسط بکار می رود با که در مرحله تغییر فاز از کوچکتر استفاده خواهد 1.0 tt

kk

i

k

i

kk

Tuuuوruk

1

11

kkk

s

k

s

ku

t

cu

t

mfff

24

2

1

TTTkk

t

c

t

mk

44

24

2که

kkkfrr

1



ثانیه و مراحل تکرار در قسمت غیر خطی در جدول ارائه شده است 0.8نتایج .

به شرح زیر خواهد بود 0.4تا 0.3برای نمونه مراحل مربوط به فاصله زمانی:

وiiiii

uupucuut

mpp 2.04.4224

6142.0

0968.51

3839.3111 11

p

kr

ku

TT

پس

1182.16142.03.04.011

uu



4330.306142.0448803.32885.7

245040.01182.1

11

2

1

ut

cu

t

mfff

ss

9509.04330.303839.31

2r

1368.10186.01182.14.00186.00968.51

9509.0 22 uu

8831.00186.0442885.73532.7

0186.0441182.11368.12

ss

fff



بوسیله عملیات تکراری ، زمان. ثانیه ، سرعت از مثبت به منفی تبدیل می شود 0.7و 0.6بین

.بر می گردد 8ثانیه است ، بعد از این لحظه ، سختی به 0.60339برابر

با انجام شده است 0.60339و 0.6محاسبات بین .

0678.08831.09509.0

223 frr

0013.0

0968.51

0678.03u ......و ادامه

0i

u

in

kips

00339.0 t



ثانیه با انجام گردید 0.7و 0.60339بطور مشابه محاسبات بین .

که بعد از لحظه ، نیروی فنر در قسمت تنزلی به طرف پائین می افتد طوری

( . در هر گام زمانی ) نیروی فنر به کاهش می یابد

و نیروبا مقایسه نتایج دو جدول در دو مثال اخیر ، مالحظه می شود اگر در فاصله زمانی که تغییر مکان

درمنحنی رفتار ، غیر خطی است ، از روش تکراری استفاده نشود ،

در اصالح نتایج و ملحوظ داشتن مساله غیر خطی در محاسبات ، اشتباه قابل توجهی خواهیم داشت.

09661.0 t

60339.0tsf

u8


تحلیل دینامیکی سیستم های معادل یک درجه آزادی تعمیم داده شده

Dynamic Analysis of Generalized SDF System

واهد داشت ،دقت فرکانس زاویه ای بستگی به شکل ارتعاشی مفروض خ( انعطاف پذیر)در حالت تقریبی

صلب :سیستم زیر tzxtxu ,




مختصات شاخصSDF : می تواند چرخش باشد

تابع تغییر شکل ، چون میله صلب

!یک جرم مشکل است SDFچون دو جرم متمرکز وجود دارد سیتم معادل

(انعطاف پذیر)جرم وسختی متغیر :سیستم روبرو

(اول)فرکانس اصلی –دارای بینهایت درجه آزادی

tz

xx




بطور تقریبی می توان–در ارتعاش بسیار مهم

(مود اول)تابع تغییر شکل حالت ارتعاش اصلی

در نظر گرفت و در این حالت( فقط)را

یک مختصات شاخص را انتخاب نمود ،

.مثال انتهای تیر طره

هر دو سیستم حالت تعمیم داده شده دارند چون تغییر مکان هر نقطه با رابطه

. مشخص می شود

x

tz

tzxtxu ,

tpzkzczm




حل معادله از روش های متعارف ( عالمت ستاره)جرم ، میرایی ، سختی و نیروی تعمیم داده شده ،

م داده شده امکان پذیر است ، مرحله اصلی تحلیل سیستم جدید تعمیم داده شده ، همانا ارزیابی مشخصات تعمی

.می باشد

سیستم های صلب سر هم بندی شده–حالت الف

جود در این نوع سیستم ، اجزاء صلب همراه جرم گسترده و جرم متمرکز و سختی و میرایی متمرکز و

نیوتن دارند که تحت اثر نیروی دینامیکی قرار می گیرند ، برای تشکیل معادله حرکت ، روش قانون دوم

(.ظ شوندنیروهای اینرسی در پیکره آزاد سیستم لحا)مشکل بوده و بهتر است از روش داالمبر استفاده شود




ود ، نیرویمی ش( بیان)نیروی اینرسی گسترده برای یک جسم صلب با جرم گسترده با دو مولفه جایگزین

. اینرسی ونتجه کل جرم در مرکز ثقل و ممان اینرسی جسم

:در سیستم سرهم بندی شده زیر مطلوبست تعیین–مثال

معادله حرکت-1

فرکانس طبیعی -2

در صد میرایی-3

پاسخ سیستم بدون میرایی تحت اثر ناگهانی نیروی -4

.اصالح معادله حرکت وقتی نیروی افقی در میله افقی اثر می کند -5

(. کمانش)نیروی بحرانی -6

.تغییر مکانها کوچک و مختصات شاخص ، چرخش حول نقطه در نظر است

0p

Q

o




سیستم صلب :حل–OA وBC بدون جرم-OBدارای

m1جرم گسترده کل

:لنگر می گیریم Oبا توجه به نیروها ، نسبت به نقطه

24

3

4

3

2244

22

22

2

2

2

11

ltp

llk

llc

llmllm

Ill

mI




txtxu ,

lmIو12

2

11

128282

2

2

22lmlmI




216

9

4128

137

3

22

2

2

2

1l

tpklcl

lmlm


lmوm

m2

2

1

128

137

3

وcl

c4

2

وkl

k16

92

2

ltptp

tpkcm




از حل معادله حرکت:

وm

k

mk

c

m

c

c

c

cr 22

0

0

22p

lpltptp

tkl

pt

k

pt cos1

9

8cos1

00

txtxuو , txtxu ,




اگر نیروی افقی باشد :

:در لنگر گیری

نیروی افقی فشاری ، سختی را کاهش می دهد.

Ql tpQlkcm

0

Qlk

16

9kl

l

kQ

cr

Q




سیستم های انعطاف پذیر–حالت ب




(غیر صلب ) سیستم با بینهایت درجه آزادی با سختی و جرم گسترده در حالت مرتعش

دقت مساله بستگی به تابع شکل دارد که تا چه حدی

و شرایط فیزیکی را ارضاء می نماید( هندسی ) شرایط مرزی

حالت کلی:

کار نیروها برابر صفر:کاربرد اصل کار مجازی

x

tzxtxu ,




کار مجازی االستیک i

i

iisuukudxtxuxkW

,

نیروی فنر گسترده

zutzu

zxutzxtxu

iiii

,

کار مجازی نیروهای میرایی

zzkdxxxkW

i

iis

22

i

iiiDuucudxtxuxcW ,

zutzu

zxutzxtxu

iiii

,




zzcdxxxcW

i

iiD

22

:به همین ترتیب ، کار مجازی نیروی اینرسی

zzmdxxxmW

i

iiI

22

:کار مجازی نیروهای خارجی

i

iipupudxxpW

zpdxxxpW

i

iip




با توجه به جهت نیروها و جهت تغییر مکان مجازی و عالمت کار ها ، خواهیم داشت:

0z

SDFمعادله حرکت سیستم معادل tpzkzczm

i

iimdxxxmm

22

i

iicdxxxcc

22

i

iikdxxxkk

22

i

iipdxxxpp

تعمیم داده شده با تابع SDFجرم ، میرایی ، سختی و نیروی موثر معادل سیستم x




( :انرژی پتانسیل تغییر شکل)برای بیان سختی معادل موثر از اصول مقاومت مصالح k

( :ممان)انرژی یا کار لنگر

l

dxوEI

MV

0

2

2

1

EI

M

dx

txudtxu

2

2,

,

uEIMو tzxu

dxu

EI

EIV

l2

0

2

2

1

dxtzxxEIVl

2

02

1




انرژی پتانسیل نیرویNدر اثر افت کم می شود عالمت منفی

2

2

1zkV

که dxxxEIk

l2

0

:سختی هندسی معادل موثر Ne افت راس برج آب (قائم)نیروی محوری

:از مقاومت مصالح l

dxtxute0

2,

2

1

انرژی پتانسیل آن dxtxuN

Vl

N,

2 0

2

te

اگر وزن متغیرپایه مد نظر باشد ، xN




که

dxzxxNdxtxuxNVll

N

2

0

2

0 2

1,

2

1

2

2

1zkV

GN

l

GdxxxNk

0

2

l

cr

l

GdxxNdxxxEIkkk

0

22

00

(کمانش)بحرانی

dxx

dxxxEIN

l

l

cr

0

2

0

2

محاسبه فرکانس زاویه ای معادل موثر

mk




در برج آب قبلی و در طول ارتفتع ثابت فرض می شود ، مطلوبست–مثال

(.جرم گسترده ) برآورد برای توابع مختلف شکل

اگر از فرمول اولر در پایداری سازه ها استفاده کنیم–الف

xEI xm

xm

l

xx

2cos1

mldxl

xmdxxmm

ll

228.02

cos1

2

00

2

3

42

0 2

2

0

2

322cos

4 l

EIdx

l

x

lEIdxxEIk

ll

m

EI

lmll

EI

mk

23

4653.3

228.032




اگر شکل ارتعاش برج را سهمی فرض کنیم –ب:

2

2

l

xx

mlmو 2.0

وl

EIk

3

4

m

EI

lmll

EI

23

472.4

2.0

4

:جواب دقیق از حل سیستم پیوسته

m

EI

l2

517.3




، در حالت ب

ثر است پسیعنی لنگر در طول ارتفاع ثابت است در صورتیکه در انتهای برج صفر و در تکیه گاه حداک

. تابع مد نظر یکی از شرایط فیزیکی را ارضاء نکرده و جواب از واقعیت دور است

22

22

lzz

dx

ud

2

2

l

xx

و22

22

lz

EI

M

dx

ud

x




در این حالت سعی می شود با ارضاء شرایط مرزی و فیزیکی بیشتر ، به یک تابع شکل–ج

:فرض می کنیم( چند جمله ای)3یک تابع درجه . بهتر دست یابیم

.چهار ضریب پس چهار شرط الزم است

:تغییر مکان در تکیه گاه صفر است -1

:ضریب زاویه در تکیه گاه گیردار صفر است -2

: لنگر در انتهای برج صفر است -3

x

dcxbxaxx 23

000 xu

000 xu

00 lxu




( :مختصات شاخص)همیشه در نقطه شاخص -4 1, ltztxu

اعمال شرایط وl

a3

2

1

وl

b2

2

3

0dc

وl

xl

xx 2

2

3

3

23

2

l

x

lx 1

3

2




بر آورد سختی هندسی و نیروی

mlmوl

EIk 2357.0

3

3

crN

حالت الف

m

EI

l2

568.3

l

xx

2cos1

dxxNk

l

G

0

2

l

Gl

Ndx

l

x

lNk

0

222

82sin

2

2

467.2l

EIN

cr




حالت ب 22

2 3

3

4

l

EIN

l

Nk

lxx

crG

حالت ج 22

2

3

3

5.25

6

23

2 l

EIN

l

Nk

lx

lxx

cr

حالت واقعی 267.2

l

EIN

cr


تعیین فرکانس زاویه ای بوسیله روش رایله

Rayleigh’s Method for ( ارتعاش آزاد)با استفاده از اصل بقای انرژی ، روش ساده برای برآورد 1873در سال

(سختی و جرم موثر معادل)سیستم جرم وفنر –الف

tutu sin0

tutuو cos0

uuو0max

0max

uu

حداکثر انرژی پتانسیل2

0

2

maxmax2

1

2

1kukuV

حداکثر انرژی جنبشی22

0

2

maxmax2

1

2

1muumT

mkVT

2

maxmax



Rayleigh’s Method for

سیستم با جرم و سختی گسترده بطول –بL

tzxtxu ,

tztz sin0

تغییر مکان نقطه شاخص

0max0

sin, zxutzxtxu

0max0

cos, zxutzxtxu

0max0

sin, zxutzxtxu




خرج قسمت رایلهRayleigh’ quotient

dxxxEIzVdxuxEIVll

0

22

0max

2

0 2

1

2

1انرژی پتانسیل

انرژی جنبشی dxxxmzTdxuxmTll

0

222

0max

2

0 2

1

2

1

maxmaxVT

mkdxxxmdxxxEI

il

0

2

0

2



Rayleigh’s Method for مطلوبست تعیین یک تیر ساده خمشی به روش رایله ؟ مود اصلی مد نظر است –مثال.

الف–

ب-

الف–

l

xx sin

1

l

x

l

xx

وl

x2

2

3

2

0

2

0 2

2

0max

4

2

12

2

1

l

EIzdx

lEIzV

l




ب-

302

11

2

1 22

0

2

0

22

0max

mlzdx

l

x

l

xmzT

l

m

EI

lVT

2maxmax

95.10

l

x

lx

l

x

lx

l

xx

sincossin

2

2

ll

dxl

x

lEIzdx

l

x

lEIzV

0

2

4

4

2

0

2

0 2

2

2

0maxsin

2

1sin

2

1




پیشنهاد رایله-انتخاب تابع شکل

:تغییر مکان در اثر اعمال نیروی اینرسی :تشریح حاالت

l

dxl

xmzT

0

222

0maxsin

2

1

m

EI

lm

lEIVT

2

2

4

4

maxmax

87.9

x

u

0sI

ff ارتعاش آزاد بدون میرایی

kuum




فرض میکنیم شکل تغییر مکان تحت اثر وزن سیستم بوجود می آید :پیشنهاد رایله:

. اثر کرده و شرایط تکیه گاهی نیز ارضاء می شود ( جرم ) با اینکار پارامتر اصلی

اساس روش رایله:

tzxtxu ,

tzxxmfI

sin2

0

.دقت نتایج بستگی به درستی دارد x

نیرو

mg

xuxp تغییر مکانباعث

xxmfI




حداکثر انرژی پتانسیل حاصل l

dxxuxpV0

maxmax2

1

uututuو0max0

sin

0max0

cos uututu

حداکثر انرژی جنبشی l l

dxmudxumT0 0

22

max

2

maxmax2

1

2

1

maxmax

VT

l l

dxuxpdxmu0 0

max

22

max2

1

2

1




داریم ( قاب های برشی ) در حالت سیستم با جرم های متمرکز:

فرض رایله gxmxp

dxxguxmdxxuxmll

0

2

0

2

2

1

2

l

l

l

l

dxxxmz

dxxxmg

dxxuxm

dxxuxmg

0

2

0

0

0

2

02

n

i

ii

n

i

ii

um

umg

1

2

12



Rayleigh’s Method for ر شکل در فرض رایله ، وزن گسترده یا متمرکز در جهت ارتعاش و بصورتی که باعث تغیی:توجه

.در مود ارتعاشی مورد نظر باشد ، در نظر گرفته می شود

:رعایت شرایط مرزی و سازگاری و شکل ارتعاش



Rayleigh’s Method for مثال:

مطلوبست تعیین اصلی

سیستم سه جرمی روبرو؟




k

mg

k

Fu

3

6

3

3

3

k

mguuu

233

صفر

زمین

k

mg

k

Fuuu

2

3

2

2

322

k

mg

k

mg

k

mg

k

mgu 5.3

2

72

2

32

k

mg

k

mg

k

mgu

k

mg

k

Fuuu 5.4

5.31

1

1

211




mk

m

k

k

mg

k

mgg

um

umg

ii

ii

312.025.56

5.17

235.325.41

235.325.41

222

23

1

2

3

12

mk56.0

Alireza

Typewriter

Earthquake.blog.ir



روش رایله اصالح شده

یک روش ساده با تکرار مراحل(Iteration) و مناسب برای ساختمانهای برشی

فرض تغییر مکان اولیه برای شکل ارتعاشی یا محاسبه آن از طریق اعمال وزن سازه: txu ,0

یا

یا

00

0

max

0

max

R

VT

معلوم

dxuxEIV

00

max2

1

20

2

1ii

uk

dxuxmdxuxmT

220200

max2

1

2

1

202

2

1um

i



نیرویی که باعث ایجاد تغییر مکان می شود.

ل جدیدتحت اثر نیروی اخیر ، تغییر مکان جدید را محاسبه می کنیم و سپس انرژی پتانسی

00

iiiukp

0u

2

iimk

020

iiiump

1

iu

dxupV

101

max2

1یا

10

2

1ii

up

01

0

max

1

max RTV معلوم



اگر انرژی جنبشی جدید را نیز از طریق تغییر مکان جدید محاسبه کنیم : 1

u

dxuxmT

211

max2

1 یا

212

2

1ii

um

1

max

1

maxVT 11R

معلوم

121

iiiump

به همین ترتیب

ادامه



مثال:مطلوبست تعیین قاب

سه طبقه به روش

رایله اصالح شده؟

(سقف ها صلب )



1

0

3

0

2

0

1 uuu

00uu

9002

1

2

1 200

max

2

umTi

3600002

1011111

2

1

2

1

2

3

2

2

2

1

00

max

2

kkk

ukVii

0

max

0

maxVT

sRad

R20400

900

36000000

2



برش طبقات:

020

iiiump

20

1200 p و

20

2300 p و

20

3400 p

2

1200 F

و

2

2500 F

و

2

3900 F



محاسبه : 1

iu

0

1

3

3

31

3

1

3 u

k

Fuuu

221

30025.0360000900 u

21

2004583.0 u و

21

1006253.0 u

625.32

1

2

1 4101

max ii

upV

sRadTVR

/75.152

900625.3

2

101

240

max

1

max



برای دقت بیشتر می توان. جوابها به سمت همگرایی میل می کند

01661.02

1

2

1 6121

max

2

iiumT

sRadVTR

/77.14625.32

101661.0

2

111

461

max

1

max

......

121

iiiump


دهمعادالت سیستم های پیوسته با جرم و سختی گسترSystems with Distributed Mass and Elasticity

طبقهساختمانهای چند) مدل شوند ( در یک یا چند نقطه ) اکثر سازه ها می توانند بصورت جرم متمرکز

( . با کف صلب و ساختمان هایی با اجزاء تیر و ستون با جرم نا چیز

بخش بزرگی از درس به تجزیه و تحلیل این نوع مدل ها پرداخته و می پردازد ، به دو دلیل:

بویژه اول اینکه چنین مدل هایی بصورت بسیار مناسب و موثر رفتار دینامیکی سازه را بیان می دارد

ساختمانهای چند طبقه و

ه هادوم اینکه روش های محاسباتی با کامپیوتر جهت حل معادالت دیفرانسیل معمولی حرکت این ساز

. به تعداد زیاد موجود است



ازهبا این حال برای برخی سازه ها با جرم و سختی گسترده نظیر دودکش ها ، سدهای قوسی و س

. ک گرفت روش فوق مناسب نیست و باید از روش تحلیل سیستم های پیوسته کم...... راکتورهای هستهای و

ی شود در این بخش به مسائل یک بعدی با جرم گسترده نظیر تیرها و برج ها و تحلیل آنها پرداخته م.

برای نیروی اعمالی بصورت زیر بیان می شود( حالت بدون میرایی)معادله حرکت:



، یک تیر مستقیم با ارتعاش جانبی وبا شرایط تکیه گاهی خود

:از تعادل نیروها در جهت قائم داریم

در رابطه روبرو ، اگر نیروی اینرسی نبود ، رابطه کالسیک

. بین برش و نیروی گسترده در تیرهای تحت بار گسترده حاصل می شد

2

2

t

ump

x

V



یم ،به شتاب زاویه ای جزء صرفنظر کن( وابسته ) در مقاومت مصالح اگر از لنگر اینرسی مرتبط

از تعادل چرخشی المان رابطه استاندارد روبرو را داریم

:باز هم در مقاومت مصالح اگر از تغییر شکل های برشی صرفنظر کنیم ، داریم

( ارتعاش ) اگر روابط و را در رابط قرار دهیم ، معادله حاکم بر تغییر مکان

: جانبی تیر حاصل می شود

x

MV

2

2

x

uEIM

txu ,

txpx

uxEI

xt

uxm ,

2

2

2

2

2

2



م برای حل معادله نیاز به دو شرط مرزی در هر یک از انتهای تیر و تغییر مکان و سرعت اولیه داری .

برای سادگی: مهمترین بخش حل معادله ، مرحله ارتعاش آزاد آن است

: برای حل فرض می کنیم پاسخ بصورت روبرو باشد

EIm ,

02

2

2

2

2

2

x

u

xm

EI

t

u

tqxtxu ,

tqxt

u

2

2

و tqxt

u

2

2



با بکار گیری روابط در: 0

xtq

m

EItqx

0 tqxm

EItqx

IV

2

x

x

m

EI

tq

tqIV

مقدار ثابت



رابطه کالسیک ارتعاش آزاد بدون میرایی:

از معادله به ازای هر با توجه به شرایط اولیه ، تابع مشخص خواهد شد:

02

uu

0

02

2

xEI

mx

tqtq

IV

و4

2

EI

m

04

xxIV

یا 02

xmxEI

tqtq

tqii

i

cossin0

0

tq



برای حل معادله

دایتبا اعمال شرایط مرزی در تکیه گاه ها به معادالتی مثلثاتی خواهیم رسید که ما را به بینهایت ه

( .سیستم پیوسته پس بینهایت درجه آزادی ) خواهد کرد

044

sxsx

ecsecx

1044

s iوs

xxxixieAeAeAeAx

4321

xBxBxBxBx sincossinhcosh4321

یا



بنابراین جواب ارتعاش آزاد جمع کلیه جوابها خواهد بود:

با توجه به شرایط تکیه گاهی و شرایط فیزیکی در انتهای آزاد تیرها:

tqوxiii

tqxtxui

i

ic

1

,

تغییر مکان صفر

شیب صفر

0x

0dx

d

لنگر خمشی صفر

برش صفر

02

2

dx

d

03

3

dx

d



کیه گاه در ت–در تکیه گاه گیردار ، تغییر مکان و شیب صفر –در انتهای آزاد ، لنگر و برش صفر

:غلتکی ، تغییر مکان و لنگر صفر پس در هر انتها به هر حال دو شرط مرزی خواهیم داشت

روش ساده شده:shوch sinhcosh

VxxshSSxxch sincos

SxxchTTxxsh cossin

TxxshUUxxch sincos

UxxchVVxxsh cossin



رابطه را بصورت روبرو می نویسیم:

با توجه به شرایط مرزی و استفاده از روابط ساده بین ضرایب می توان

.این ضرایب را محاسبه نمود

VCUCTCSCx4321

UCTCSCVCVCUCTCSCdx

d43214321

TCSCVCUCdx

d4321

2

2

2

.....................................

SCVCUCTCdx

d4321

3

3

3

.....................................

1234،C،C،CC



طره پیوسته همگن؟( ستون)مطلوبست برآورد فرکانس های طبیعی یک تیر –مثال

00

x

0

0

xdx

d

02

2

hxdx

d

03

3

hxdx

d



0از شرایط مرزی باال21 CCو

0cossin

0sincos

43

43

hhchChhshC

hhshChhchC

0

0

cossin

sincos

4

3

C

C

hhchhhsh

hhshhhch



نمی توانند صفر باشند چون در آنصورت ارتعاشی وجود نخواهد داشت پس دترمینان

:ماتریس ضرایب صفر است ، از آنجا داریم

34CوC

0sinsincos2

hhshhhshhhch

0sincos2cos2222

hhshhhchhhch

0cos211 hhch

01cos hhch



از روش ساده امکان حل معادله باال وجود ندارد پس به کمک روش عددی حل شده و داریم:

,....279.17,137.14,996.10,8548.7,6941.4,8751.1hi

تقریبا4iبرای

2

12

nh

iبا توجه به

m

EI4

2

m

EI

h21

516.3 و

m

EI

h22

03.22 و

m

EI

h23

70.61

وm

EI

h24

9.120

m

EIii

2



قرار دهیم و از ( درس) و آنرا در رابطه ( رابطه ) اگر را بر حسب بنویسیم

:روابط بین ضرایب در شرایط مرزی کمک بگیریم ، تابع بصورت زیر خواهد بود

3C

4C

xi

xxsh

hhsh

hchxxchCx

ii

ii

ii

iii

sin

sin

coscos

4



2T

m

EI

h

hT

i

i 2

22



مطلوبست تعیین فرکانس ها و شکل تغییر مکانی ارتعاش آزاد یک تیر ساده –مثال.

. در دو انته با توجه به تکیه گاه ها ، تغییر مکان و لنگر صفر است

0000013 BBu



0000013

2 BBEIM

xshBxBx 24

sin

00 llulx

031 BB

0sin24

lshBlB

00 lEIlM 0sin24

2 lshBlB



اگر داریم که معنی ندارد پس

از جمع دو رابطه اخیر 02

lshB در اینحالت lsh نمی تواند صفر شود

0چون صفر میشود که در ارتعاش بی معنی است پس2B 0sin

4lB

04B 0x 0sin l

nl برای ,.....3,2,1n

m

EI

l

nn 2

22

و ,.....3,2,1n

با توجه بهEI

m2

4

:اگر را در رابطه بکار ببریم nl x

l

xnBx

n

sin

4

4که مقدار اختیاری استB



m

EI

l2

2

1

12

2

24

4

m

EI

l

12

2

39

9

m

EI

l

نصف سینوس

یک سینوس

یک و نیم سینوس


رابطه ارتعاش آزاد سیستم بر اساس تئوری تیر تیموشنکو

ظ شود اگر از لنگر اینرسی چرخشی تیر صرفنظر نشود و تغییر شکل حاصل از تنش برشی ملحو

:، معادله ارتعاش آزاد بصورت زیر در می آید ( تئوری تیر تیموشنکو)

مدول ارتجاعی برشی ، شعاع ژیراسیون مقطع ، سطح مقطع و ضریب

طیلی وکه مثال برابر در مقطع مست( مربوط به غیر یکنواخت بودن تنش برشی در مقطع)شکل مقطع

( . مقاومت مصالح)در مقطع دایروی است

014

422

22

4

2

4

4

2

2

t

u

kGA

rm

tx

u

kG

Emr

x

uEI

t

um

G

A

Ir Ak

6

5

10

9


رابطه تعامد مودال در سیستم های پیوسته

Modal Orthogonalityدر این بخش خاصیت عمود بودن مودهای ارتعاش آزاد در سیستم های پیوسته مالحظه می شود ، برای

ستفاده سهولت بیان از یک تیر یک دهانه با انتهای مفصلی ، گیردار یا آزاد و بدون جرم متمرکز در انتها ا

م بازنویسییرای مود ا( معادله دیفرانسیل تفکیک شده تابع شکلی )میشود ، برای شروع رابطه

می شود

طرفین را در ضرب نموده و از صفر تا انتگرال می گیریم:

r

04

xxIV

4

2

EI

m

xxmxxEIrr

2

2

xn

l

dxxxxmdxxxEIxrn

l

rr

l

n

0

2

0



Modal Orthogonality ( :روش های انتگرال گیری ) طرف چپ را بصورت بخش بخش انتگرال می گیریم

اانتهای تیر بصورت آزاد ، ساده ی) به سادگی مالحظه می شود ، مقادیر داخل آکوالدها در

د داریم برابر صفر هستند ، زیرا اگر گیر دار باشد داریم و و اگر ساده باش( گیر دار

و به دلیل لنگر صفر و اگر آزاد باشد ، لنگر و برش صفر پس و

dxxxxEIxxEIx

xxEIxdxxxEIx

rn

ll

rn

l

rnr

l

n

00

00

lx ,0

00

000 0



Modal Orthogonality در این مرحله مقدار را در قرار می دهیم:

اینک مجددا از ابتدا شروع کرده و رابطه را برای مود ام می نویسیم و طرفین را در

: ضرب کرده و از صفر تا انتگرال می گیریم که مشابه حالت قبل خواهیم داشت

:رابطه را از رابطه تفریق می کنیم

dxxxxmdxxxxEIrn

l

n

l

rn

0

2

0

n

xr

l

dxxxxmdxxxxEIrn

l

r

l

rn

0

2

0

00

22 dxxxxm

rn

l

rn



Modal Orthogonality در نتیجه با توجه خواهیم داشت:

با استفاده از رابطه دررابطه داریم:

روابط و روابط تعامد مودها نامیده می شوند .

rn

00

dxxxxmrn

l

00

dxxxEIxr

l

n


تحلیل دینامیکی سیستم پیوسته به روش مودال Modal Analysis of Forced Dynamic

Response (.رابطه ) حرکت سیستم پیوسته را می نویسیم ( معادله)رابطه

(نشواک)اگر سیستم را برای حالت ارتعاش آزاد حل کرده باشیم و و معلوم باشند جواب

( : رابطه ) بصورت روبرو خواهد بود

. ترکیب خطی مودها که در حقیقت جمع جوابهای حاصل از معادله دیفرانسیل است

txpx

uxEI

xt

uxm ,

2

2

22

2

i

i

tqxtxur

r

r

1

,



Response ترم ام در سری باال مقدار مشارکت)بنابراین ، پاسخ از جمع آثار هر یک از مودهاست

(.مود ام در کل پاسخ است( تاثیر)

البته مجهول اصلی. را مود و را مختصات مودال می نامند که مجهول است

:را در معادله قرار می دهیم ( رابطه ) جواب مفروض . است

اینک هر ترم را در ضرب و در طول تیر انتگرال می گیریم:

txu ,r

r

q txu ,

txptqxxEItqxxm

r

rrrr

r

,

11

xn



Response

همه ترم ها در ترکیب عبارات سمت چپ( روابط و ) با توجه به خاصیت تعامد مود ها

:برابر صفر است بجز ترم مربوط که خواهیم داشت

l

n

l

n

r

rrn

r

l

r

dxxtxp

dxxxEIxtqdxxxxmtq

0

20

110

,

nr

l

n

l

nnnnndxxtxpdxxxEIxtqdxxxmtq

00

2,



Response که به صورت ساده روبرو می نویسیم:

با توجه به روابط بخش خاصیت تعامد مودها:

tptqktqMnnnnn

که l

nndxxxmM

0

2

l

nnndxxxEIxk

0

l

nndxxtxptp

0,

l

nndxxxEIk

0

2



Response و عبارت از جرم و سختی تعمیم داده شده(generalized) برای مود ام می باشد

که رابطه کلی فرکانس میان آنها بر قرار است

رابطه اخیر با نوشتن معادله برای مود ام و ضرب طرفین رابطه در و انتگرال

.بدست مآید ( روابط ) گیری ازصفر تا و استفاده از بیان و

معادله یک معادله دیفرانسیل معمولی است. نیروی تعمیم داده شده برای مود ام است

.و فقط به مود ام یعنی ارتباط دارد ( SDFمشابه ) که مجهول آن می باشد

nM

nkn

nnn

n

n

nMk

M

k 22

n xn

ln

Mn

k

tpn

n

tqn

n xn



Response قیقت در ح. بنابراین می توانیم بینهایت معادله مشابه معادله برای هر یک از مودها داشته باشیم

بود و مجهول آن است تبدیلPartialکه بصورت ( معادله ) معادله معادله دیفرانسیل اولیه

با مجهول می شود و بصورت مجزا و ( رابطه ) به بینهایت معادله دیفرانسیل معمولی

(.با توجه به نوع بار گذاری ) کالسیک قابل حل می باشند

ا می توان میزان مشارکت مود ام در تغییر مکان ر( مود ام ) وقتی معلوم باشد

:بصورت زیر بدست آورد

txu ,

txu ,

tqn

txp ,

tqnn n

tqxtxunnn

,



Response کل تغییر مکان از جمع آثار هر یک از مودها حاصل می شود

زیر لنگر خمشی و نیروی برشی در هر مقطع از تیر ناشی از تغییر مکان نقطه در لحظه بصورت

:می باشد

tqxtxutxun

n

n

n

n

11

,,

tqxxEItxMnn

n

1

,

tqxxEItxVnn

n

1

,

t



Response کان و تغییر م)مطلوبست واکنش تیر . یک تیر ساده تحت بار گذاری داده شده مد نظر است –مثال

وقتی که حالت خاص. وقتی که نیروی متمرکز در فاصله از تکیه گاه سمت چپ اثر می کند ( لنگر خمشی

.نیرو در وسط دهانه اثر می کند



Response قبال ارتعاش آزاد تیر ساده را تحلیل نموده بودیم:

مقدار را در روابط قرار می دهیم:

l

xnx

m

EI

l

n

n

n

sin

2

22

xn

2

mlM

n و 3

44

2l

EInk

n

ax دلتای دیراک axptxp 0

,

متمرکز در

aptpnn

0



Responseمعادله مودال ام

قبال حل یک سیستمSDF در بار گذاری پله ای(step) مالحظه شده بود فقط پارامتر به

:و حداکثر ، خواهد بود

، رابطه را در معادله قرار داده و توجه شود که از رابطه معلوم است

.پس بدست می آید

n nnnnn

ptqktqM0

tu tqn

nnst

kpu /0

tnEI

lpt

k

ptq

n

n

n

n

no

n

cos1

2cos1

44

3

0

xn

txu ,



Response در حالت خاص ، مقدار را در معادله قرار می دهیم سپس در رابطه:

2

l

l

xnt

n

l

EI

lptxu

n

n

n

sincos1

22,

1

44

3

0

که

,...11,7,3

,....9,5,1

,....6,4,2

1

1

0

2

n

n

nl

n



Response مقدار را در قرار داده:

تغییر مکان در وسط تیر:

ضرایب و بقیه در مخرج کسر نشان می دهد که مشارکت و تاثیر مود

. اول تعیین کننده است و سری سریعا همگرا می شود

gf

l

xt

l

xt

l

xt

l

xt

EI

lptxu

7sin

2401

cos15sin

625

cos13sin

81

cos1sin

1

cos12,

7531

4

3

0

2401

cos1

625

cos1

81

cos1

1

cos12,

2

7531

4

3

0tttt

EI

lpt

lu

1,81,625,2401



Responseلنگر خمشی از قرار دادن رابطه در بدست میآید:

لنگر خمشی در وسط دهانه:

l

xt

l

xt

l

xt

l

xt

EI

lptxM

7sin

49

cos15sin

25

cos13sin

9

cos1sin

1

cos12,

7531

3

0

49

cos1

25

cos1

9

cos1

1

cos12,

2

7531

2

0ttttlp

tl

M



Response ه در مجموعه اخیر با توجه به در مخرج کسر ، همگرایی کند است البته نسبت به رابطه ک

استمودهای باالتر در نیرو بیشتر( تاثیر ) از این مطلب در می یابیم که مشارکت . در مخرج را دارد

. نسبت به تغییر مکان

ملتوضیح مختصر در خصوص مشکالت تحلیل سیستم های پیوسته در ع

در ارضاء مشکل شرایط مرزی-مشکل متغیر بودن و در روابط و انتگرال گیری مشکل

گره های ارتباطی تیر و ستون در قابها–( امکان پذیر ولی پیچیده و طوالنی ) تیرهای سرتاسری

2n

4n

xm xEI


اصول تحلیل دینامیکی در حوزه فرکانسDynamic Analysis in the Frequency Domain

به چند دلیل ، تحلیل در حوزه فرکانسی بر تحلیل در حوزه زمانی ترجیح دارد :

(FFT–طیف طرح –مشکل انتگرال دوهامل –تابع غیر مشخص ) در بار گذاری زلزله 1.

(امپدانس خاک–FE ،BE–مدل سازی خاک )اندر کنش خاک و سازه 2.

(تحلیل ریسک –ارتعاشات تصادفی –آمار و احتماالت ) پدیده های تصادفی 3.



(پریودیک ) شکل نمایی سری فوریه برای بار گذاری دینامیکی

p

n

p

nT

ntb

T

ntaatp

2sin

2cos

11

0

p

p

TT

T

T

2

2

12

2

1

1

22

2

22

p

p

p T

T

T

Tو

TT



ضرایب مجهول است و مانند

.ضرایب و باید معلوم شوند

1

2

2

n

T

nT

T

Tn

p

pn

n 1

nn

i

eetnt

tintin

n2

sinsin11

1

2coscos

11

1

tintin

n

eetnt

n

tin

neptp 1

np

na

nb



خاصیت تعامد توابع اکسپونانسیل

با توجه به خاصیت تعامد ، طرفین رابطه را در عبارت ضرب و از صفر تا

:انتگرال می گیریم

mn

mn

Tdtee

p

T

timtin

p 0

0

11

time 1

pT

p

p

T

p

T

tin

p

n

ndttpT

p

ndtetpT

p

0

0

0

01

11 سایر مقادیر


در حوزه فرکانس SDF تحلیل سیستم

برای سهولت ، جزئیات برای ارائه می شود –از جواب گذرا صرفنظر می شود:

ود پس برای سهولت بیشتر در انتها در نظر گرفته می ش( فاکتور)چون ضریب و ثابت است

tin

neptptkutuctum 1

1n

tiepkuucum 1

1

1p

tiekuucum 1

tieHtu 1

و وti

eiHu 1

1

tieHu 12

1

1

2i

titiekicmHe 11

1

2

1



1

11

1

2

11

2

1

k

ci

k

mk

kcimH 01

tie

1

1

و و

crc

c mc

cr2

12

1111222

m

kc

c

c

kk

ccr

cr

12

1

1

2

1

1

ik

H



در حالت کلی:

ابعبنابراین در حالت کلی با توجه به فاکتور ثابت در تابع نیرو و ترکیب بار از جمالت ت

:اکسپونانسیل ، جواب معادله مورد نظر بصورت زیر خواهد بود

. رفتار سازه باید خطی باشد

n

12

1

1

2

1

21

innk

nHHn

np

tin

n

n

epnHtu 1

1


تبدیل فوریه –در بار گذاری غیر تناوبی SDF تحلیل سیستم

( . امواج تکی–زلزله ) نیروهایی که تابع آنها شکل خاصی ندارد و پریودیک نمی باشند

یک نیروی پریودیک با زمان تناوب :فرض

تغییر متغیر زمان به فرکانس

برای حل معادله دیفرانسیل تعادل دینامیکی از

: تغییر متغیر استفاده می شود ، چند تعریف

t

PT

21 و



nn 1

nnnpn

pppTp

22

1

2

nnpp

tin

n

tin

nepeptp 11

2

1

tin

n

neptp2

1



برای یافتن عبارت ، طرفین عبارت را که از قبل

:داشتیم در ضرب می کنیم

ی ازبود ، حاال بصورت متغیر پیوسته ا( نقطه ای ) که به ازای های مختلف دارای مقدار منفرد

ه آن در ضمن شکل بیانی که بصورت بود ، به شکل انتگرال در می آید که ب. در می آید

: انتگرال فوریه می گویند

n

p

p

n

Tti

p

ndtetp

Tp

0

1

pT

dtetppTpti

T

T

npn

n

p

p

2

2

pT

2

pT اگر d

nn

tp

depeptptiti

n

n

2

1

2

1



که در این انتگرال فوریه مقدار

دو رابطه اخیر و را زوج تبدیل فوریه گویند.

را تبدیل فوریه و را تبدیل معکوس فوریه می نامند .

زیکی نظیر شرط الزم وجودی تبدیل فوریه آن است که موجود باشد که البته اکثر توابع فی

.نیروها چنین خصوصیتی را دارند

خالصه نتایج روش برای متغیر فرکانس بصورت زیر می شود:

p dtetppti

p tp tp p

dttp

2

f



یا بصورت دیگر:

dfefptp

fti 2

و

dtetpfp

fti 2

dfefpfHtufti 2

dfefutufti 2 که

fpfHfu



تعیین انتگرال اخیر احتیاج به محاسبه انتگرال مرزی در صفحه مختلط دارد.

برنامهFREQ-RESP در حالت زلزله برای انتگرال ها از روش عددی–در کتاب

(زلزله ) کاربرد مطالب در تهیه طیف فوریه بار گذاری.......

tp fp

fu tu


سیستم های چند درجه آزادیFreedom Systems (MDF)Multi Degree

of (قاب برشی دو طبقه ) سیستم ساده

برای سادگی فرض می شود تیرها و کف صلب

. هستند

از تغییر شکل محوری تیرها و ستون ها و از اثر

.نیروی محوری در سختی ستون ها صرفنظر می شود

رفتار خطی است .



ofتعداد درجات آزادی مستقل برابر دو است

قانون دوم نیوتن برای حرکت هر یک از جرم ها :

21,uu

iiDiSiiumffp 2,1i

22222

11111

pffum

pffum

DS

DS



of

معادله برداری حرکتMDF:

ه که نیروی سختی بستگی به بردار تغییر مکان طبقات دارد ، سختی جانبی هر طبق

:بستگی به برش طبقه داشته و رابط بین آن و تغییر مکان طبقه است

باشد برابر سختی جانبی کل ستونهای طبقه می( درقاب برشی ) و سختی هر طبقه :

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

0

0

p

p

f

f

f

f

u

u

m

m

S

S

D

D

pffumSD

S

f uik

iV

iiikV

1

iiiuu



of ز از طبقه باال و ا: نیروی سختی موثر در سقف طبقه اول از دو بخش تشکیل می شود

:طبقه پائین

توجه شود که و هر دو

:پس . بیان کننده برش در طبقه دوم هستند پس در مقدار مساوی ولی مختلف العالمت می باشند

a

Sf

1

b

Sf

2

3

12

h

EIk

c

i

a

S

b

SSfff

211

ستونها

11u و 122

uu 212111

uukukfS

a

Sf

12Sf

1222uukf

S



of

ین میراییبطور مشابه می توان برای نیروی میرایی نیز اقدام نمود که البته به دلیل مسائل مطرح در تعی

. در عمل ، معموال بصورت در صد میرایی و در معادالت تفکیک شده اعمال می گردد

وده در نهایت معادله حرکت بصورت معادله دیفرانسیل برداری نوشته می شود که مجهوالت و ب

.که بنابراین معادله باید بصورت همزمان حل شود ( coupled)و معادله بصورت وابسنه است

2

1

22

221

2

1

u

u

kk

kkk

f

f

S

S

یا ukfS

ماتریس سختی

1u

2u



of مدول االستیسیته مطلوبست تعیین معادله حرکت قاب برشی زیر ؟ –مثالE



of

mmو 21 mm

2

331

482122

h

EI

h

EIk

cc

332

24122

h

EI

h

EIk

cc



of mmو

10

02

11

1324

3h

EIk

c

tp

tp

u

u

h

EI

u

um

c

2

1

2

1

3

2

1

11

1324

10

02



of ( . قانون دوم نیوتن ) با استفاده از مدل جرم متمرکز ، ماتریس جرم همیشه قطری خواهد بود

د ، البته دربرای تشکیل ماتریس سختی ، چگونگی استفاده از سختی طبقه در سازه های برشی مالحظه ش

رس ، اشاراتی حالت کلی از ضرایب سختی برای تشکیل ماتریس سختی استفاده می شود که در ابتدای شروع د

:، یاد آوری خالصه ( جلسات اول درس دینامیک سازه ها)به آنها شد

ه نیرو در درجه آزادی وقتی تغییر مکان واحد در اعمال می شود و سایر درجات آزادی گرفت

. شده است ( قفل )

ijij

k



of

kuukfS

0

تغییر مکان نسبی



of

جزئیات تشکیل ماتریس سختی در دروس تحلیل سازه ها تشریح می شود.

2121111ukukf

S

2221212ukukf

S

2

1

2221

1211

2

1

u

u

kk

kk

f

f

S

S


طریقه تعیین ضرایب ماتریس های سختی و جرم با استفاده ازاصول اجزاء محدود

شبکه بندی ، عناصر انتخابی ، گره ها ، توابع شکلی :اساس(shape function)

چند جمله ای هرمیتی یا الگرانژی .....( صفحه یا ) با توجه به حالت بار گذاری......

ارضاء شرایط تغییر شکلی مورد نظر در المان مورد بررسی :خواص چند جمله ای ها

جزئیات روش اجزاء محدود در درس مربوط بوده و اینجا فقط به نحوه تعیین و

. پرداخته می شود

x

ijk

ijm





32

112311

l

x

l

xxuu

a

32

22231

l

x

l

xxuu

b

11

2

44l

x

l

xxu

b

2

3311

l

xxxu

a



در حالت کلی تغییر مکان یک نقطه از تیر بصورت زیر خواهد بود:

برای تعیین ضرایب می توان از روش تعادل ، انرژی ، کار مجازی استفاده کرد .

اینجا کار مجازی:

تساوی کار نیروهای خارجی با نیروهای داخلی در یک تغییر مکان مجازی

نیروی قائم ایجاد شده در گره بر اثر چرخش. برای نمونه جزئیات مراتب برای ضریب ارائه می شود

.واحد در همان نقطه

432211

uxuxuxxu

13ka



در تیر چرخش واحد در اعمال شده و یک تغییر مکان قائم مجازی در در نظر می گیریم .

تساوی کار نیروهای داخلی با کار نیروهای خارجیIE

WWk 13

a a



انهای در این حالت کار خارجی فقط توسط مولفه قائم نیرو در نقطه انجام می شود زیرا تغییر مک

. مجازی در گره های دیگر صفر است

، کار مجازی داخلی توسط لنگرهای داخلی ناشی از بر روی انحناهای مجازی انجام می شود

انحناء و مقدار چرخش است ، :در یک تیر تحت خمش

. کار مربوطه می باشد

a

131kupuW

aaE

1a

r

1ddx

r

1

Mdوdxds # r

dsd

dx

d

r

1از طرفی

dx

dyd



مقدار انحناهای مجازی با صرفنظر کردن

:از اثرات ناشی از تغییر شکل برشی عبارت از

در حالت مورد نظر در اینجا ، تغییر

:مکان مجازی می باشد u

2

21

dx

yd

dx

dy

dx

d

dx

d

r

uy



لنگر داخلی ناشی از چرخش با توجه به

11112

2

2

21

uxuxdx

dxu

dx

d

r

1a

yEI

Mو xy

3

xxEIxM3

کار داخلیr

dxMMd

dxxxxEIuWl

I 30

11

EI

WW dxxxxEIkl

30

113



در حالت کلی ضرایب سختی مربوط به خمش تیر:

م داشت در حالت کلی با تعیین ضرایب دیگر ماتریس سختی به روش فوق برای تیر مورد نظر خواهی:

ماتریس کل یک سازه از سر هم بندی ماتریس اجزاء

dxxxxEIkj

l

iij 0 dxxxxEIk

j

l

iij 0

22

223

233

233

3366

3366

2

llll

llll

ll

ll

l

EIk


(پر)تعیین ضرایب ماتریس جرم سازگار Consistent Mass Matrix

(تساوی کارهای داخلی و خارجی ) مشابه حالت عمل می شود

برای نمونه مد نظر است .

ijk

13m



اگر تیر تحت اثر شتاب زاویه ای واحد در انتهای چپ قرار گیرد:

شتابهائی در طول تیر ایجاد می شود :

مقاوم در برابر این شتاب ( طبق اصل داالمبر)نیروی اینرسی:

13

a

u (بقیه صفر)

44332211

uuuuxu

00033 uxxu

33uxxu

33

uxxmxuxmxfI



می شوند ضرایب تاثیر جرم مربوط به این شتاب به عنوان نیروهای اینرسی گره ای ناشی از آن تعریف .

وند این نیروها به کمک اصل تغییر مکانهای مجازی از نیروی اینرسی گسترده معادله محاسبه می ش .

جی مثال با ایجاد تغییر مکان مجازی قائم و مساوی قرار دادن کار انجام شده توسط نیروی گره ای خار

شوندبا کار انجام شده توسط نیروهای اینرسی گسترده ، نیروی قائم در انتهای چپ محاسبه می

( :همان )

ap xf

I

13m

dxxuxfupWWi

IaaIE

0

dxuxxxmum

xu

l

xf I

11

03113

1



رت زیر با تعیین سایر ضرایب از توابع شکلی خود در نهایت ماتریس جرم سازگار المان تیری بصو:

برای ماتریس میرایی نیز بطور

:مشابه می توان عمل کرد

، می باشد،ولی مشکل ارزیابی که بیانگر مشخصه استهالک ویسکوز پیوسته برای هر المان است

. در عمل اثر میرایی بصورت درصد میرایی در معامالت نهایی در نظر گرفته می شود

l

dxxxxmm0

3113

l

jiijdxxxxmm

0

l

jiijdxxxxmm

0

22

22

432213

341322

221315654

132254156

420

llll

llll

ll

ll

lmm

dxxxxcCl

jiij 0

xc


بردار بارگذاری

سادهبرای تعیین بردار بارگذاری مربوط به درجات آزادی مربوط ، ساده ترین روش استفاده از اصول

ته میتواناستاتیک است که بار بین گره ها را بطور ساده به درجات آزادی گره ها تقسیم و انتقال می دهد ، الب

اده از اصل کاراز بارهای گره ای سازگار نیز استفاده کرد ، مثال تعیین نیروی سازگار متناظر با با استف

:نتیجه : مجازی

1u

dxxtxptpl

10

1,

dxxtxptpi

l

i

0,

:در حالت کلی


ارتعاش آزاد سیستم های چند درجه آزادی

Free Vibration of

MDF معادله حرکت در حالت کلی:

اگر تعداد درجات آزادیN باشد پسN معادله دیفرانسیل هموژن وابستهcoupled خواهیم داشت.

ماتریس میرایی( تعیین)حل معادله ارتعاش آزاد با میرایی امکان پذیر است ولی مستلزم داشتن

. می باشیم

جواب معادله بصورت روبرو در نظر گرفته می شود:

tpukucum

0 ukum معادله ارتعاش آزاد بدون میرایی

c

ii

tqtu



Free Vibration of

MDFشود بردار تغییر شکل که وابسته به زمان نمی باشد و متغیر زمان با تابع وارد مساله می:

ضرایب ثابت که از شرایط اولیه بدست می آید.

در معادله ( جواب)رابطه . توجه شود که مجهول هستند:

i

tqi

tDtBtAtqiiiiiii

sinsincos

iiAوB

tBtAtuiiii

sincos

ii

و

02

tqkmiiii



Free Vibration of

MDF پس:

مقادیر مشخصه ،: ریشه های معادله مشخصه یعنیEigen Values فرکانس زاویه ای از ،

ادیرالبته مقادیر نسبی دامنه حرکت و نه مق) رابطه می توان بردار را به ازای ها بدست آورد

(. مطلق آنها

0tqi 0

2

iimk یا

iii

mk 2

معادله مشخصه: 0det2

mki

0i

پس:

2

i بر حسب Nچند جمله ای مرتبه i

Ni 1 تا معلوم

i

i

i



Free Vibration of

MDF، بردار مود طبیعی ، شکل مود ارتعاشEigen Vectors ، بردار مشخصه......

Ni

i

i

i

::

2

1

......321

ترتیب شماره گذاری فرکانس ها و پریودها

.......21TT



Free Vibration of

MDF مطلوبست تعیین فرکانس زاویه ای –مثال

و مود شکل های سیستم زیر؟

ماتریس)ابتدا باید معادله حرکت نوشته شود

(:سختی و جرم

اعمال)از روش ماتریس نرمی استفاده می شود

نیروی واحد و محاسبه تغییر مکانهای حاصل در

: از تحلیل سازه ( درجات آزادی



Free Vibration of

MDFماتریس نرمی

25

516

48

3

EI

lf

165

52

7

48

3

1

l

EIfk

20

04

ml

ml

m 0 ukum



Free Vibration of

MDF2برای سادگی

4

192

7

EI

ml

2165

52

7

48

3

2

l

EImk

02165

52det

07202

2

36319.0و1 6368.9

2

42

41

2580.16

15623.3

ml

EI

ml

I



Free Vibration of

MDF 02

ii

mk

0

00.1

2

2

1

i

mk

3274.021

0

00.1

2

2

i

mk

5274.122

,3274.0

0000.1

1

5274.1

0000.1

2



Free Vibration of

MDF در قاب سه طبقه داده شده مطلوبست تعیین و ؟–مثالi

i

2111

uukfS

2113222

uukuukfS

322333

uukukfS



Free Vibration of

MDF

0,1321 uuu 0,1

312 uuu 0,1

213 uuu



Free Vibration of

MDF kو

520

231

011

101203

0.200

05.10

000.1

200m

برای سادگی600

2

ii

i

i

i

mk

2520

25.131

011

1012032



Free Vibration of

MDF 025.75.5دترمینان ماتریس اخیر صفر

23

iii

351.0و1 61.1و

2 54.3

3

210و2

1 966و

2

2 2124

2

3

sRadو /5.141 1.31و

2 1.46

3

02

ii

mk



Free Vibration of

MDF

0

0

01

2520

25.131

011

3

2

1

ii

i

i

0

0

252

25.131

0

1

3

2

i

i

0

1

252

25.13

3

2

i

i

i

i



Free Vibration of

MDF 351.0

1

0

1

3.42

2475.2

31

21

300.0

644.0

31

21

61.1

2 601.0و

22 676.0

32

54.33

57.2و23

47.233



Free Vibration of

MDF


خاصیت تعامد مودهاOrthogonality of

Modes معادله مشخصه را برای مود شماره می نویسیم:

طرفین رابطه را در ضرب می کنیم:

حال معادله را برای مودS ام می نویسیم:

02

ii

mk r

02

rrr

mk

T

S

02

r

T

Srr

T

Smk

02

SSS

mk


خاصیت تعامد مودهاOrthogonality of

Modes طرفین رابطه را در ضرب می کنیم:

چون متقارن است ، رابطه

T

r

02

S

T

rSS

T

rmk

02

r

T

SSr

T

Smk

kوm

رابطهرابطه 022

r

T

SrSm

0r

T

Sk mو

r

T

S0

رابطه تعامد مودها نسبت به ماتریس سختی و جرم

-


مقیاس کردن مودهاNormalization of Modes

یاس با تقسیم مولفه های بردار مود بر بزرگترین عدد آنها ، بردار مود به عدد یک مق–الف

.می شود

مقیاس نمودن بر حسب ماتریس جرم به نحویکه-ب

i

5.0

0.1

0.1

0.2

1i

T

im

i

i

i

M

1

ii

T

iMm

'



N

....,21

2

2

2

2

1

2

0

.

.

0

N

(فرکانس ها ) ماتریس مقادیر مشخصه

ماتریس مودال



2.3601

'

1

'

1 Mm

T

0158.0

0339.0

0527.0

3.0

644.0

0.1

1

1

1

1

M

M

M

111 m

T

در مثال قبل


تحلیل دینامیکی سیستم های چند درجه آزادی به روش مودال

Modal Analysis

از تحلیل ارتعاش آزاد مقادیر و معلوم است

تغییر متغیر از مجهول فیزیکی به مجهول مودال:

tpukucum

i

i Ni 1 تا

u

qu

N

i

iitqtu

1

tpqkqcqm



Modal Analysis طرفین رابطه را در ضرب می کنیم:

T

i

tpqkqcqmT

i

T

i

T

i

T

i

NNN

N

N

Ni

i

i

NNNN

T

Ni

i

i

q

q

q

m

m

m

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0

.

.

0

.

.

2

1

2

1

2

1

2

22

12

1

21

11

22

11

2

1



Modal Analysis

برای در نظر گرفتن میرایی معموال با روش رایله عمل می شود:

بنابراین خاصیت تعامد مودها نسبت به ماتریس میرایی نیز بر قرار می شود:

در نهایت:

i

M

i

T

i

T

i

T

iqmqmqm

i

2211

iqصفرصفر

kmc

cوS

T

r0

ii

T

icc

iiiiiiipqkqcqM



Modal Analysis

با توجه به روابط بین جرم ، سختی و میرایی

مودهای اولیه مهم است ، می توان چند مود اول را در نظر گرفت

kkوii

T

i

i

T

iptp

i

iiiiiii M

pqqq

22 معادله یک درجه آزادی مستقل Ni 1 تا

iq معلوم

N

i

iiqqu

1

r

i

iiqu

1

Nr



Modal Analysis

مطلوبست تحلیل آن ؟. یک سازه دو درجه آزادی بصورت زیر مدل شده است –مثال

kو 1000 5.0m

%2 .واحدها هماهنگ است



Modal Analysis

103.1

وkk

kkk

62

23

30

01mm

0det2

mk 0362

23

2

2

mkk

kmk

وm

k2417.12

1 m

k7584.32

2



Modal Analysis

و

3792.08792.0

0000.10000.1

sRad /32.5103.11

mmMوT

319.3111 mM 4314.1

2

kmkوT

1212.4111 kk 3798.5

2

وtp

tp

cos

0

0

tpptpT

cos8792.0011

tpptpT

cos3792.0022



Modal Analysis

i

i

iiiiiiM

pqqq

22

2

1i

iiqqu

0364.0cos0411.0

1084.0

5468.2cos5500.2

9008.2

0

0

2

1

tk

p

tk

p

u

u

اثر مود اول

اثر مود دوم

Documents

DYNAMICS OF STRUCTURES - bayanbox.irbayanbox.ir/...of-Structures-Earthquake.blog.ir.pdf · dynamics of structures اه هزاس کیمانید یگرب رسخ رتکد نارمع