พลศาสตร์ (Dynamics)pioneer.chula.ac.th/~rchanat/2103213 MechI/Dynamics...Dynamics/ Chapter 3 Kinetics of Particles 1 พลศาสตร์ (Dynamics) . บทที่

Dynamics/ Chapter 3 Kinetics of Particles 1

พลศาสตร (Dynamics)

บทท 3 จลนศาสตรของอนภาค (สวนท 2)

งานและพลงงานเปนอกวธการหนงทจะใชแกปญหาการเคลอนทของอนภาคได และในหลายๆ กรณ

การใชวธงานและพลงงานจะสามารถแกปญหาไดงายกวาการใชกฏการเคลอนทของนวตนดวย สาหรบ

ในชวงแรกของหวขอนจะกลาวถงงานทเกดจากแรงกระทาบนอนภาคกอน ลาดบตอไปจะกลาวถงพลงงาน

และการนาหลกการของงานและพลงงานไปใชในการแกปญหาตอไป

3/5 งาน

แรง F จะทาใหเกดงานบนอนภาคไดกตอเมออนภาคนนมการเคลอนทในทศทางของแรง (หรอใน

ทศทางของสวนประกอบของแรง) รปท 1 แสดงแรง F ซงกระทากบอนภาค โดยอนภาคมการเคลอนทตาม

แนวเสนทาง S จากรปจะเหนวาแรง F มสวนประกอบของแรงทอยในทศทางเดยวกบการเคลอนท ดงนน

กรณนจะเกดงานจากแรง F ซงงานยอยๆ ทจดใดๆ สามารถคานวณไดจากสมการ

θcosFdsdU = (1)

หรออาจเขยนในรปแบบเวคเตอรไดดงสมการ

rdFdU ⋅= (2)

เนองจากงานเปนผลคณของปรมาณแรงกบระยะทาง ดงนนหนวยของงานจงเปน N.m หรอจล (Joule, J)

รปท 1 แรงและการเคลอนทของอนภาค

ตารางท 1 แสดงใหเหนถงความสมพนธของงานทเกดขน เมอมแรงทศทางตางๆ มากระทา และ

อนภาคมการเคลอนทตางๆ กน โดยหากแรงและการเคลอนทมทศทางไปทางเดยวกนแลว จะไดวาแรงท

คานวณไดจากสมการท (1) หรอ (2) จะเปนบวก ( 0cos >θ ) แตหากแรงกระทามทศทางตรงกนขามกบ


การเคลอนทแลว งานจากแรงนนกจะมคาเปนลบ ( 0cos <θ ) ในกรณท 3 หากออกแรงกระทาตงฉากกบ

การเคลอนท กจะพบวาแรงทเกดขนจะมคาเปนศนย ( 0cos =θ ) และในกรณสดทาย หากออกแรงกระทา

แลวอนภาคไมเกดการเคลอนท กจะไมเกดงานขนเชนกน ( 0=ds )

ตารางท 1 งานทเกดในกรณทแรงกระทาในทศทางตางๆ กนและอนภาคเคลอนทตางๆ กน

รปท 2 แสดงตวอยางงานของแรงตางๆ ทกระทากบรถลากขณะขนและลงเนน ในกรณลากรถขน

เนนนน แรงทลากจะอยในทศทางเดยวกบทศการเคลอนท งานทเกดจงเปนบวก สวนนาหนกของรถและ

สงของบนรถนนจะมสวนประกอบในทศทางตรงขามกบการเคลอนท งานจากนาหนกจงมคาเปนลบ สวน

งานจากแรง Normal force จะมคาเปนศนยเนองจากทศทางแรงกระทาตงฉากกบการเคลอนทตลอดเวลา

สาหรบแรงเสยดทานในกรณการลากรถขนเนนนน แรงเสยดทานจะมทศทางชลงตรงขามกบการเคลอนท

งานจากแรงเสยดทานจงมคาเปนลบ

รปท 2 งานของแรงตางๆ ทกระทากบรถลากขณะขนและลงเนน

Force Displacement Work

Positive

Negative

0

Fixed point (zero disp.)

0

Force Work (Positive/ Negative)

Towingforce T Negative

Weight W Positive

Normal force N 0

Friction Negative

Force Work (Positive/ Negative)

Towingforce T Positive

Weight W Negative

Normal force N 0

Friction Negative

Up Hill Downhill


สาหรบกรณลงเนนนน ผลากจะตองออกแรง T ตานทานการเคลอนทของรถ ดงนนงานจากแรง T

จงมคาเปนลบ ในกรณนรถจะเคลอนทลงเนนเนองจากผลของนาหนก W ซงมสวนประกอบของแรงในทศ

เดยวกบทศทางการเคลอนท งานจากนาหนกจงมคาเปนบวก สาหรบงานจากแรง Normal force นนจะมคา

เปนศนยเชนเดยวกบกรณขนเนนเนองจากแรงมทศทางตงฉากกบการเคลอนทตลอดเวลา สวนแรงเสยด

ทานซงมทศทางตรงขามกบทศทางการเคลอนทตลอดเวลานน งานทเกดจากแรงเสยดทานจงมคาเปนลบ

งานจากแรงรปแบบตางๆ

งานจากแรงรปแบบใดๆ กตาม สามารถคานวณไดรวมงานยอยๆ ณ จดใดๆ จากสมการท (1) และ

(2) โดยการอนทเกรต ในทนจะแสดงตวอยางของสมการของงานสาหรบแรงรปแบบตางๆ ทมกจะพบไดดงน

1. งานจากแรงทไมคงท

งานจากแรงไมคงทแสดงในรปท 3(ก) ในกรณนจะสามารถหางานขณะใดๆ ไดโดยแตกแรงใหอยใน

ทศทางเดยวกบทศการเคลอนทในขณะนน และคณดวยระยะขจดยอยๆ ดงสมการ

∫∫ =⋅=−

2

1

2

1

cos21

s

s

r

r

dsFrdFU θ (3)

หรอสามารถหาไดจากพนทใตกราฟของกราฟ θcosF กบ s

(ก)

(ข)

รปท 3 งานจากแรงตางๆ (ก) แรงไมคงท (ข) แรงคงทเคลอนตามแนวเสนตรง


2. งานจากแรงคงทและอนภาคเคลอนทตามแนวเสนตรง

งานจากแรงคงท และอนภาคเคลอนทตามแนวเสนตรงสามารถคานวณไดจากสมการ

∫∫ ==−

2

1

2

1

coscos21

s

sc

s

sc dsFdsFU θθ

)(cos 1221 ssFU c −=− θ (4)

หรอคานวณไดจากพนทใตกราฟของกราฟ θcosF กบ s ดงรปท 3(ข)

3. งานจากนาหนก

รปท 4 แสดงการเคลอนทของอนภาคจากจด 1S ซงมเวคเตอรบอกตาแหนง 1r ไปยง 2S ซงม

เวคเตอรบอกตาแหนง 2r ในระหวางการเคลอนทแรงจากนาหนกจะมทศทางชลงในแนวดง (ทศ –y ในรปท

4) ตลอดเวลา ในกรณนจะหางานระหวางจด 1S และจด 2S ไดจาก

∫∫ ++⋅−=⋅=−

2

1

2

1

)ˆˆˆ()ˆ(21

r

r

r

r

kdzjdyidxjmgrdFU

)( 1221

2

1

yymgdymgUr

r

−−=−= ∫−

ymgU ∆−=−21 (5)

จากสมการท (5) จะเหนวางานจากนาหนกขนอยกบระยะในแนวดงทเคลอนทเพยงอยางเดยว โดย

ไมขนกบเสนทางการเคลอนทเลย ไมวาจะเคลอนทจากจด 1S ไปยง 2S ดวยเสนทางใดกตาม หากวตถ

เคลอนทข นดงแสดงในตวอยาง ซงตรงกนขามกบทศทางของแรงจากนาหนก งานจะมคาเปนลบ แตหาก

วตถเคลอนทลง จะไดวางานจากนาหนกจะมคาเปนบวก ( 0<∆y )

รปท 4 งานจากนาหนก


4. งานจากแรงสปรง

การพจารณางานจากแรงสปรงจะตองแยกใหชดเจนวาตองการพจารณางานจากแรงทกระทาทสปรง

หรองานจากแรงเนองจากสปรงทกระทาบนวตถทตดสปรงไว รปท 5(ก) แสดงแรงทกระทาทสปรง สวนรปท

5(ข) แสดงแรงทกระทาทวตถทตดอยกบสปรง สาหรบความสมพนธระหวางขนาดของแรงสปรงกบระยะยด

หดเปนดงสมการ ksFs = และสามารถแสดงความสมพนธไดดงกราฟในรปท 5(ค)

4.1 งานจากแรงทกระทาทสปรง:

ในกรณนจะพบวาทศทางของแรงกระทา กบทศทางการยดหดของสปรงจะเปนทศทางเดยวกน จง

สามารถทราบไดแตตนวางานจากแรงทกระทาทสปรงจะตองมคาเปนบวก ขนาดของงานสามารถหาไดจาก

∫∫ ==−

2

1

2

1

21

s

s

s

ss dsksdsFU

21

2221 2

121 ksksU −=− (6)

งานทไดจะมคาเทากบพนทใตกราฟ (ทแรเงา) ของกราฟแรง sF กบระยะยดหด s ดงรปท 5(ก)

4.2 งานจากสปรงเมอพจารณาทวตถทตดอยกบสปรง:

จากรปท 5(ข) จะพบวาทศทางของแรงสปรงทกระทาบนวตถจะมทศทางตรงกนขามกบทศทางการ

เคลอนทของวตถ หากวตถเคลอนทออกแรงสปรงทกระทาบนวตถจะพยายามดงวตถกลบเขาสตาแหนง

สมดล ในทางตรงขามหากวตถเคลอนทเขา แรงสปรงกจะพยายามดนวตถออก เนองจากทศทางของแรงตรง

ขามกบทศทางการเคลอนท งานจากแรงสปรงทกระทากบวตถจงมคาเปนลบ ตรงขามกบงานในสมการ (6)

(ก)

(ข)

(ค)

รปท 5 การหางานเนองจากแรงสปรง


งานจากแรงสปรงทกระทากบวตถทตดอยกบสปรง หาไดจาก

−−=−

21

2221 2

121 ksksU (7)

3/6 หลกการของงานพลงงาน

ในหวขอนจะกลาวถงการสรางสมการเพอนาหลกการของงาน และพลงงานไปใชในปญหาทางกล

พจารณารปท 6 ซงแสดงการเคลอนทของอนภาค ตามแนวเสนโคงจากจดท 1 ไปยงจดท 2 โดยทตาแหนงท

แสดงในรป อนภาคถกกระทาดวยแรงลพธ RFF

=∑ แรงลพธนสามารถเขยนใหอยในผลรวมของแรงใน

แนวตงฉาก nF

และแนวสมผส tF

ไดดงสมการ

tnR FFFF

+==∑

งานททาโดยแรงลพธ จากจด 1 ไปยงจด 2 หาไดจาก

∫∫∫ ⋅+⋅=⋅=−

2

1

2

1

2

1

21

r

rt

r

rn

r

rR rdFrdFrdFU

เนองจากแรงในแนวตงฉาก nF

ตงฉากกบทศทางการเคลอนทเสมอ แรง nF

จงไมทาใหเกดงาน ดงนน

∫∫ ⋅=⋅=−

2

1

2

1

21

r

rt

r

rR rdFrdFU

สมการนสามารถเขยนใหอยในรปปรมาณสเกลารไดเปน

∫∫∫ ==⋅=−

2

1

2

1

2

1

21

s

st

s

st

r

rt dsmadsFrdFU

รปท 6 แรงและการเคลอนทของอนภาค


จากสมการความสมพนธของการเคลอนท การขจด ความเรว และความเรง dsavdv t= แทนลงในสมการ

ดานบนจะได

21

2221 2

1212

1

mvmvdvmvUs

s

−== ∫− (8)

หากความเรวตน 01 =v และความเรวทจดท 2 vv =2 สมการท (8) จะเขยนไดเปน

221 2

1 mvU =− (9)

เรยกงานจากแรงลพธททาใหอนภาพเคลอนทจากหยดนงจนกระทงมความเรว v ตามสมการท (9) วา

พลงงานจลน (Kinetic energy, T) ตามนยามของพลงงานจลนขางตน สามารถเขยนสมการ (8) ใหอยในรป

ของพลงงานจลนไดดงสมการ

TTTU ∆=−=− 1221 (10)

หรอ 2211 TUT =+ − (11)

จากสมการท (11) อาจกลาวไดวา พลงงานจลนของอนภาคทจดเรมตน บวกกบงานของแรงลพธ จะได

พลงงานจลนของอนภาคทจดสดทาย สมการท (10) หรอ (11) นจะเปนสมการพนฐานทใชในการแกปญหา

แรงและการเคลอนทของอนภาคตอไป

Note: งานทใชคานวณในสมการท (10) และ (11) จะตองเปนงานจากแรงลพธเทานน หากคดงานจากแรง

ไมครบทงหมดจะไมสามารถใชสมการ (10) หรอ (11) ได

3/7 งานและพลงงานในระบบของอนภาค

หลกการของงานและพลงงานในหวขอทแลว สามารถนาไปประยกตใชกบปญหาทประกอบดวย

อนภาคหลายๆ ชน หรอระบบของอนภาคไดเชนกน พจารณาแรงทกระทาของอนภาคหนงในกลมของ

อนภาคทแสดงในรปท 7

รปท 7 แรงและการเคลอนทของอนภาคหนงในระบบของอนภาค


จากรปจะไดวาแรงลพธทกระทากบอนภาค i ใดๆ อาจพจารณาไดวาเปนผลรวมของแรงภายนอก

iF

และแรงภายใน if

ดงสมการ

iiRi fFF

+=

จากสมการ (11) เมอพจารณาทอนภาค i จะได

22

21 2

1)()(21 2

1

2

1

ii

s

sti

s

stiii vmdsfdsFvm

i

i

i

i

=++ ∫∫ (12)

จากสมการ (12) จะเหนวาแรงภายนอกและแรงภายในจะคดแคทศทางตามแนวการเคลอนท t เทานน

เนองจากแรงในทศทาง n จะตงฉากกบการเคลอนทตลอดจงไมเกดงาน

สาหรบงานพลงงานของทงระบบ สามารถหาไดรวมงานและพลงงานของอนภาคยอยๆ ในสมการท

(12) เขาดวยกน ดงสมการ

∑∑ ∫∑ ∫∑ =++ 22

21 2

1)()(21 2

1

2

1

ii

s

sti

s

stiii vmdsfdsFvm

i

i

i

i

(13)

พจารณารปท 8 ซงแสดงตวอยางระบบอนภาค ซงมอนภาค i และ j อย จะเหนวาแรงภายใน

ระหวางอนภาค if และ jf เปนคของแรงกรยาและปฏกรยากน แรงทงสองนจะมขนาดเทากน และม

ทศทางตรงกนขาม อยางไรกตามงานทกระทาโดยแรงกรยาและแรงปฏกรยาคนจะไมหกลางกนพอด

เนองจากเสนทางการเคลอนทของอนภาค i และ j แตกตางกน

อยางไรกตามในบางกรณตอไปน งานจากแรงภายในของคแรงกรยาและปฏกรยาจะหกลางกนได

1. การเคลอนทของวตถแขงเกรงแบบเลอนท ซงเสนทางการเคลอนทของทกๆ อนภาคจะเปน

เชนเดยวกน

2. อนภาคเชอมตอกนดวยเคเบลทไมสามารถยดได และเคลอนทในระบบทไมมแรงเสยดทาน (หรอละ

แรงเสยดทาน) เชน ระบบทประกอบดวยมวลและเชอมกนดวยรอก

FBD

รปท 8 แรงคกรยาและปฏกรยาของอนภาคในระบบอนภาคและเสนทางการเคลอนท

i j

AB i

j

fjfi


3/8 กาลงและประสทธภาพ

กาลงเปนปรมาณสเกลาร ทแสดงปรมาณงานททาไดในหนงหนวยเวลา จากนยามนจะสามารถ

เขยนสมการของกาลง P ไดดงน

dtdUP = (14)

และจากความสมพนธของงานแรงและการขจดจะได

vFdtrdF

dtrdF

dtdUP

⋅=⋅=⋅

== (15)

ประสทธภาพเปนปรมาณสเกลาร แสดงถงสดสวนของกาลงขาออกสวนดวยกาลงขาเขา หรอเทากบ

พลงงานขาออกหารดวยพลงงานขาเขาดงสมการ

inputEnergy outputEnergy

inputPower outputPower

==ε (16)

ในบางครงประสทธภาพอาจบอกเปนเปอรเซนต โดยคณ 100 เขาไปในสมการท (16) จะเหนวา

ประสทธภาพจะมคานอยกวา 1 หรอนอยกวา 100% เสมอ

3/7 The flatbed truck, which carries an 80-kg crate,

starts from rest and attains a speed of 72 km/h in a

distance of 75 m on a level road with constant

acceleration. Calculate the work done by the friction

force acting on the crate during this interval if the

static and kinetic coefficients of friction between the

crate and the truck bed are (a) 0.30 and 0.28,

respectively, or (b) 0.25 and 0.2 respectively. [Engineering Mechanics Dynamics 5th edition, Meriam &

Kraige, Ex.3/12]

วธทา

เนองจากรขอมลความเรว และระยะทางทรถบรรทกเคลอนทได จงหาความเรงของรถบรรทก Ta กอนดงน

[ ]adsvdv = ∫∫ =75

0

6.3/72

0

dsavdv T

)75(2

6.3/72

0

2

Tav=

2m/s 67.2=Ta


เมอพจารณาทกลองจะพบวาเปนไปได 2 กรณ คอ

1. กลองตดกบรถ ไมมการเคลอนทสมพทธระหวางกน ในกรณน ความเรงของกลองจะเทากบรถบรรทก

2. กลองไถลบนพนรถ โดยเลอนไปทางทายรถ ในกรณนความเรงของกลองจะนอยกวาความเรงของ

รถบรรทก

จาก FBD ของกลองจะได

[ ]∑ = 0yF 0=− mgN mgN = (1)

[ ]∑ = xx maF maf = (2)

(a) 3.0=sµ , 28.0=kµ

เนองจากไมทราบวาการเคลอนทเปนไปตามกรณท 1 หรอ 2 จะสมมตใหเปนกรณท 1 กอน

โดยหากเปนไปตามกรณท 1 แลว จะตองคานวณไดวา ความเรงของกลองเทากบความเรงของรถบรรทก

และแรงเสยดทานระหวางกลองกบรถบรรทกตองนอยกวาแรงเสยดทานสงสดทจะเกดได หรอ

NFf ss µ=≤ max

จากสมการ (2) N 213)67.2(80 ==== Tmamaf

ตรวจสอบ maxsF N 235)81.9)(80(3.0max ==== mgNF sss µµ

ในกรณนจะเหนวา maxsFf ≤ ดงนนกลองจะตดไปกบรถบรรทก ระยะทางทกลองเคลอนทจงเทากบ

ระยะทางทรถบรรทกเคลอนท

งานจากแรงเสยดทาน J 16000)75)(213(21 ===− fsU หรอเทากบ 16 kJ ANS

ในกรณนงานจากแรงเสยดทานมคาเปนบวก เนองจากทศทางของแรงมทศเดยวกบทศทางการเคลอนทของ

กลอง คอไปทางดานหนา

(b) 25.0=sµ , 2.0=kµ

ในกรณน N 2.196)81.9)(80(25.0max ==== mgNF sss µµ

ตามขอ (a) จะเหนวาการทกลองจะตดกบรถไปไดนนจะตองมแรงเสยดทาน 213 N แตในกรณนแรงเสยด

ทานสงสดเกดไดเพยง 196.2 N ดงนนในกรณนกลองจงไถลบนพนรถ ความเรงของกลองจงไมเทากบ

ความเรงของรถบรรทกดวย

กรณนแรงเสยดทานหาไดจาก N 0.157)81.9)(80(2.0 ==== mgNf kk µµ

ความเรงของกลองหาไดจาก สมการ (2)

mg

Nf

a

x

y

FBD กลอง


[ ]∑ = xx maF maf = a80157 =

2m/s 962.1=a

เมอกลองไถลบนพนรถแลว ระยะเคลอนทของกลองจงไมเทากบ 75 m ซงเปนระยะการเคลอนทของ

รถบรรทก จงตองหาระยะการเคลอนทของกลองกอน

เนองจากการเคลอนทในขอนมความเรงคงท ดงนนจะหาความสมพนธระหวางระยะทาง เวลา และความเรง

ไดจาก 2

21 atuts += แตเนองจากความเรวตนของการเคลอนท = 0 ดงนน 2

21 ats =

สาหรบรถบรรทก 2

21 tas TT = (3)

สาหรบกลอง 2

21 tas cc = (4)

(4)/(3) จะได T

c

T

c

aa

ss

= m 2.5567.2

962.175 =×=cs

งานจากแรงเสยดทาน J 8660)2.55)(157(21 ===− fsU หรอเทากบ 8.66 kJ ANS

ในกรณนงานจากแรงเสยดทานกมคาเปนบวกเชนกน เนองจากทศทางของแรงเสยดทานเปนทศทาง

เดยวกบทศทางการเคลอนทของกลอง

3/8 The 50-kg block at A is mounted on rollers so that it

moves along the fixed horizontal rail with negligible

friction under the action of the constant 300-N force in

the cable. The block is released from rest at A, with the

spring to which it is attached extended an initial amount

x1 = 0.233 m. The spring has a stiffness k = 80 N/m.

Calculate the velocity v of the block as it reaches

position B. [Engineering Mechanics Dynamics 5th edition,

Meriam & Kraige, Ex.3/13]


รปดานบนทางดานซายแสดงถงแรงทกระทากบระบบ ในทนไมไดแสดงแรงในแนวดงซงไดแกแรง mg และ

แรงปฏกรยา N เนองจากแรงทงสองสมดลกน และตงฉากกบการเคลอนทตลอดเวลา จงไมทาใหเกดงานขน

โดยงานจะเกดจากแรง 300 N และแรงจากสปรงในรปเทานน

[ ]TU ∆=−21 )(21 22

NmgN 300spring AB vvmUUUU −=+++

)(21 22

N 300spring AB vvmUU −=+ (1)

งานจากสปรง เนองจากในกรณนเปนงานทกระทากบวตถทตดอยกบสปรง ดงนนในการคานวณงานจงตอง

ใสเครองหมายลบไวขางหนาดวย

( ) J 804080 433.1233.0

22.1233.0

233.0spring −=−=−=−= ∫∫

+

xdxxFdxU

งานจากสปรง อาจพจารณาวาเปนบวกหรอลบได โดยอาศยหลกทวาแรงทกระทาโดยสปรงมทศทาง

เดยวกบการเคลอนท หรอทศตรงขามกบการเคลอนท สาหรบกรณนงานจากแรงสปรงมทศตรงขามกบการ

เคลอนทของมวล ดงนนคานวณออกมาจงตองมคาเปนลบ

งานจากแรง 300 N งานจากแรงนหาไดโดยเอาขนาดของแรงคณดวยระยะทแรงเคลอนทได โดยระยะทแรง

เคลอนทไดสามารถพจารณาไดดงน

ในตาแหนงแรก วตถอยทตาแหนง A จด A' และ C' ในรปคอจดทอยบนเสนเชอกและทบกบจด A และจด C

ในตาแหนงแรก เมอดงวตถถงตาแหนง B ในรปดานขวามอแลว จะพบวา จด A' จะเลอนมาทจด B สวนจด

C' จะเคลอนทไปทางขวามอเปนระยะ s ซงระยะ s นเปนระยะทแรง 300 N เคลอนท

จากรปความยาวเชอก จากจด A' ไป C' เทากบ sVL +=

ดงนนระยะทแรงเคลอนท m 6.09.0)9.02.1( 22 =−+=−= VLs

งานจากแรง 300 N J 180)6.0(300N 300 === FsU

แทนงานจากสปรงและแรง ในสมการ (1) ได )0(502118080 2 −=+− Bv

m/s 2=Bv ANS

A'

C'

B

V

s

A'

C'

A

B

L


3/9 The blocks A and B have a mass of 10 kg and 100 kg,

respectively. Determine the distance B travels from the point where

it is released from rest to the point where its speed becomes 2 m/s. [Engineering Mechanics Dynamics 12th edition, Hibbeler, Ex.14/6]

จากโจทย พจารณาระบบและแรงทกระทากบระบบดงรป

จากรปจะเหนวาแรงจากนาหนกของมวล A และ B ทาใหเกดงาน

เนองจากมวลมการเคลอนท แตแรง T, R1 และ R2 ไมทาใหเกดงาน

เนองจากตาแหนงทแรงกระทาไมมการเคลอนท [ ]TU ∆=−21

21

21

22

22N 981N 98.1 2

121

21

21

BBAABBAA vmvmvmvmUU −−+=+

002)100(21)10(

219811.98 22

2 −−+=∆+∆ ABA vss

เนองจากระยะการเคลอนทของมวลทง 2 กอนมความสมพนธกน จงตอง

หาความสมพนธนกอน

จากรปโจทย จะไดวาความยาวเชอก BA ssL 4+=

ดงนนจะได BA ss ∆+∆= 40 หรอ BA ss ∆−=∆ 4

และ BA vv 4−=

แทนความสมพนธทงหมดลงในสมการงานพลงงาน จะได

22 2)100(21)24)(10(

21981)4(1.98 +×−=∆+∆− BB ss

m 883.0=∆ Bs ANS


3/9 แรงอนรกษและพลงงานศกย

จากหวขอ 3/5 งานจากแรงประเภทตางๆ พบวา งานจากแรงบางชนดจะไมขนอยกบเสนทางการ

เคลอนท แตขนอยเพยงแคตาแหนงของวตถ แรงทมพฤตกรรมเชนนเรยกวาแรงอนรกษ (Conservative

forces) ตวอยางของแรงอนรกษไดแก นาหนก และแรงสปรง ซงจะเหนวางานของแรงทงสองชนดนจะ

ขนกบตาแหนงเพยงอยางเดยว สาหรบแรงททาใหเกดงาน แตงานทเกดขนกบเสนทางการเคลอนทดวย จะ

เรยกแรงนนวาแรงไมอนรกษ (Nonconservative forces) ตวอยางของแรงไมอนรกษ ไดแก แรงเสยดทาน

ซงจะพบวาหากเสนทางการเคลอนทยาวกวา งานเนองจากแรงเสยดทานกจะมากกวางานทเกดในเสนทางท

ส นกวา

พลงงานศกย (Potential Energy)

พลงงานหมายถงความสามารถทจะทางาน สวนพลงงานศกยหมายถงปรมาณงานทแรงอนรกษจะ

สามารถทาได เมอวตถทแรงนกระทาเคลอนทจากตาแหนงทกาหนดกลบสตาแหนงอางอง (Datum)

พลงงานศกยอาจเขยนแทนดวย P.E. หรอ V

1. พลงงานศกยโนมถวง

พจารณากรณของงานจากนาหนกทางดานซายมอของรปท 9 กาหนดใหตาแหนงอางองแสดงโดย

เสนแนวระดบ จะเหนวาหากวตถเคลอนไปอยทตาแหนงทสงกวาตาแหนงอางองแลว เมอปลอยวตถ วตถจะ

ตกลงมาทตาแหนงอางองได แสดงใหเหนวาทตาแหนงสงกวาตาแหนงอางองวตถจะมความสามารถทจะ

ทางานเพอใหวตถกลบเขาตาแหนงอางอง ซงความสามารถในการทางานทกลาวถงกคอพลงงานศกยนนเอง

สาหรบพลงงานศกยซงเกดจากนาหนกนจะเรยกวาพลงงานศกยโนมถวง โดยขนาดของงานหรอขนาดของ

พลงงานศกยโนมถวงหาไดจาก

mgyWyUVg === (17)

รปท 9 พลงงานศกยโนมถวงและพลงงานศกยสปรง

mgyWyVg == 2

21 ksVe = (always positive)

Gravitational P.E. Elastic P.E.


ในทางกลบกนหากวตถเคลอนไปอยทตาแหนงตากวาตาแหนงอางองแลว เมอปลอยวตถ วตถไม

สามารถจะกลบไปสตาแหนงอางองทสงกวาไดเอง การทจะทาใหวตถกลบไปตาแหนงอางองไดจะตองใส

พลงงานภายนอกเขาไป ในกรณนพลงงานศกยโนมถวงจงมคาเปนลบเพราะทางานเองไมได โดยขนาด

พลงงานศกยหาไดจาก mgyWyUVg −=−==

เมอเปรยบเทยบพลงงานศกยโนมถวงกบงานจากนาหนกททาเพอวตถไปอยในตาแหนงทกาหนด

แลวจะพบวามขนาดเทากนแตมเครองหมายบวกลบตรงกนขามกน ดงสมการ

P.E. = -(the work of a weight) (18)

เชน ทตาแหนงสงกวาตาแหนงอางอง พลงงานศกยโนมถวงมคาเปนบวก แตงานจากนาหนกเพอทาใหวตถ

จากตาแหนงอางองเคลอนไปอยทตาแหนงสงกวาจะมคาเปนลบ

2. พลงงานศกยสปรง

รปท 9 ทางดานขวามอแสดงงานจากสปรง โดยตาแหนงอางองในกรณนคอตาแหนงทสปรงไมมการ

ยดหด จะเหนวาไมวาสปรงจะยดหรอหดกตามเมอปลอยสปรง สปรงกสามารถจะกลบไปสทตาแหนงอางอง

ไดเสมอ ดงนนในกรณนพลงงานศกย ซงเรยกวาพลงงานศกยสปรงจงมคาเปนบวกเสมอ โดยขนาดของ

พลงงานศกยสปรงหาไดจาก

20

21 ksdsFUV

sse =−== ∫ (19)

เมอเปรยบเทยบพลงงานศกยสปรงกบงานจากแรงสปรงทกระทาบนวตถ เพอทาใหวตถเคลอนจาก

ตาแหนงอางองไปอยในตาแหนงทกาหนดแลว จะพบวามขนาดเทากนแตมเครองหมายบวกลบตรงขามกน

เชนเดยวกบกรณของพลงงานศกยโนมถวงในสมการท (18) ดงแสดงดวยสมการ

P.E. = -(the work of a spring force exerted on the particle) (20)

3/9 สมการของงานพลงงานเมอพจารณาแยกผลของพลงงานศกย

ในหวขอท 3/6 ไดกลาวถงสมการของงานพลงงานไปแลวครงหนง ในหวขอนจะกลาวถงการเขยน

สมการดงกลาวในอกรปแบบหนง โดยแยกสวนของงานจากแรงอนรกษ หรอพลงงานศกยออกมา พจารณา

สมการท (10) อกครงดงน

TTTU ∆=−=− 1221

ในสมการท (10) งาน 21−U เปนงานจากแรงลพธ หรอกลาวไดวาแรงทกระทาทกๆ แรงจะตองถกนามาคด

เปนงาน แรงทกระทานประกอบดวยแรงอนรกษและแรงไมอนรกษ หากแยกงานจากแรงอนรกษซงมคา

เทากบคาลบของพลงงานศกยตามสมการท (18) และ (20) ออกมา สมการท (10) จะเขยนใหมไดดงน

TVVU eg ∆=∆−+∆−+′− )()(21

หรอ eg VVTU ∆+∆+∆=′−21 (21)


หรอ ( ) ( )22221111 egeg VVTUVVT ++=′+++ − (22)

โดย 21−′U คองานจากแรงอนๆ นอกเหนอจากแรงจากนาหนกและแรงสปรง

รปท 10 แสดงความแตกตางของการใชงานสมการท (10) กบสมการท (21) หรอ (22) จากรปวตถ

ตดอยกบสปรงเคลอนทตามรองจากจด A ไปยงจด B ในกรณทใชสมการท (10) ซงแสดงในกรอบดานบน

งาน 21−U เปนงานจากแรงลพธ ดงนนแรงทงหมดตองนามาคดงาน โดยแรง N ซงตงฉากกบการเคลอนท

ตลอดเวลาจะใหงานเทากบศนย แตหากใชสมการท (21) หรอ (22) ในการคานวณ จะพจารณาเพยงแค

แรง F1, F2 โดยแรง N ไมทาใหเกดงานเทานน แรงจากนาหนก และแรงสปรงจะไมนามาคดงาน แตจะถก

รวมไวในสวนของพลงงานศกยโนมถวงและพลงงานศกยสปรงแทน ผลลพธทคานวณไดจากสมการทง 2

รปแบบจะเปนเชนเดยวกน

รปท 10 การคานวณโดยใชสมการพลงงาน

3/10 พลงงานกลและกฎการอนรกษพลงงาน

จากสมการท (22) จะเหนวาเทอมในวงเลบเปนเทอมทแสดงถงพลงงานทงหมด ซงรวมทงพลงงาน

จลน พลงงานศกยโนมถวง และพลงงานศกยสปรงในขณะนนๆ ผลรวมของพลงงานนเรยกวา พลงงานกล

ของอนภาค (Total mechanical energy of the particle) หรออาจเขยนแทนไดดงสมการ

eg VVTE ++= (23)

จากนยามพลงงานกลน ทาใหอาจเขยนสมการท (21) และ (22) ไดดงน

TTTU ∆=−=− 1221

eg VVTU ∆+∆+∆=′−21

• All forces must be considered• N ⊥ path ⇒ work = 0

• F1 and F2 are considered• Vg and Ve are added in

calculation


EU ∆=′−21 (24)

และ 2211 EUE =′+ − (25)

ในกรณทการเคลอนทของระบบไมมงานจากแรงภายนอกกระทา มเพยงแคผลจากแรงโนมถวงและ

สปรงเทานน สมการท (24) และ (25) จะกลายเปน

0=∆E หรอ Constant =E (26)

หรออาจกลาววา พลงงานกลในระบบจะมคาคงทเมอไมมงานจากแรงภายนอกใสเขามาในระบบ

หลกการนเรยกวากฎการอนรกษพลงงานนนเอง อยางไรกตามการทพลงงานในระบบมคาคงท ไมได

หมายความวาพลงงานจลนหรอพลงงานศกยจะมคาคงทตลอดเวลา พลงงานจลนอาจจะเปลยนรปไปเปน

พลงงานศกย หรอพลงงานศกยอาจเปลยนรปไปเปนพลงงานจลนกได เพยงแตวาผลรวมของพลงงานจลน

และพลงงานศกยจะมคาคงทเทานน

3/10 (3/8) The 50-kg block at A is mounted on rollers

so that it moves along the fixed horizontal rail with

negligible friction under the action of the constant 300-N

force in the cable. The block is released from rest at A,

with the spring to which it is attached extended an initial

amount x1 = 0.233 m. The spring has a stiffness k = 80

N/m. Calculate the velocity v of the block as it reaches

position B. [Engineering Mechanics Dynamics 5th edition,

Meriam & Kraige, Ex.3/13]

ตวอยางนจะแสดงการทาตวอยาง 3/8 อกครง แตจะใชสมการงานพลงงานอกรปแบบหนง

จาก ( ) ( )22221111 egeg VVTUVVT ++=′+++ −

แรงทกระทาในขอนมเพยงแรง 300 N เพยงแรงเดยว สวนแรง N ตงฉากกบการเคลอนทไมทาใหเกดงาน

ดงนน 21−′U ในกรณนจงเปนงานจากแรง 300 N เทานน

กาหนดใหระดบอางองคอระดบ เสนประแนวระดบในรป ดงนนมวลจงเคลอนทอยในแนวระดบตลอดเวลา

ตาแหนงท 1

01 =T (ไมมการเคลอนท)

01 =gV (อยทระดบอางอง)

J )233.0)(80(21

21 22

1 == kxVe


J 180)6.0(300N 30021 ====′− FsUU (การหาระยะทแรงเคลอนทดไดจากตวอยาง 3/8)


222 )50(

21

21

BB vmvT ==

02 =gV (อยทระดบอางอง)

222 )2.1233.0)(80(

21

21

+== kxVe

แทนคาทงหมดในสมการงานพลงงานจะได

++=+

++ 222 )433.1)(80(

210)50(

21180)233.0)(80(

2100 Bv

จะเหนวารปแบบสมการนจะเหมอนกบทแสดงไวในตวอยาง 3/8

ดงนนจงได m/s 2=Bv ANS

3/11 The platform P has negligible mass and is tied down so that the 0.4-m-long cords keep a 1-

m-long spring compressed 0.6 m when nothing is on the platform. If a 2-kg block is placed on the

platform and released from rest after the platform is pushed down 0.1 m, determine the maximum

height h the block rises in the air, measured from the ground. [Engineering Mechanics Dynamics 12th

edition, Hibbeler, Ex.14/4]


จากโจทย ในตาแหนงท 0 สปรงหดลงไป 0.6 m และในตาแหนงท 1 เมอกดมวลลงไปอก 0.1 m จะทาให

ทราบวากอนปลอยมวล สปรงจะหดลงไป 0.7 m

กาหนดใหระดบอางองคอระดบ ระดบพน

จาก ( ) ( )22221111 egeg VVTUVVT ++=′+++ −

ในขอนเมอปลอยมวลออกจากตาแหนงท 1 ถงตาแหนงท 2 ซงมวลลอยสงทสด จะไมมแรงภายนอกมา

กระทา ดงนน 21−′U ในกรณนจงมคาเทากบศนย ดงนนสมการจงเขยนไดวา

( ) ( )222111 egeg VVTVVT ++=++


01 =T (ไมมการเคลอนท)

)3.0)(81.9)(2(11 == mghVg

J )7.0)(200(21

21 22

1 == kxVe


02 =T (ทตาแหนงสงสด ความเรวการเคลอนทเทากบศนย)

222 )81.9)(2( hmghVg ==

222 )6.0)(200(

21

21

== kxVe

แทนคาทงหมดในสมการงานพลงงานจะได

++=

++ 2

22 )6.0)(200(

21)81.9(20)7.0)(200(

21)3.0)(81.9(20 h

ดงนนจงได m 963.02 == hh ANS

0.1 m h

0.4 m

0 1 2

Documents

พลศาสตร์ (Dynamics)pioneer.chula.ac.th/~rchanat/2103213 MechI/Dynamics...Dynamics/ Chapter 3 Kinetics of Particles 1 พลศาสตร์ (Dynamics) . บทที่