Upload
lylien
View
216
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1 FIZYKA – wykład 3
DYNAMIKA UKŁADU PUNKTÓW MATERIALNYCH
WYKŁAD 3
Obłok Oorta
Pas Kupiera
Pluton
Neptun
Uran
Saturn
Jowisz
Planetoidy
Mars
Księżyc
Ziemia
Wenus
Merkury
Słońce
Układ planetarny, w którym planety i Słońce można traktować jak układ punktów materialnych
UKŁAD PUNKTÓW MATERIALNYCH – zbiór skończonej liczby punktów materialnych o zadanej
konfiguracji przestrzennej.
2 FIZYKA – wykład 3
Załóżmy, że układ jest złożony z n punktów materialnych
o masach: .
Środkiem masy albo środkiem bezwładności
tego układu nazywamy punkt S, którego położenie
dane jest wzorem:
(3.1)
DEFINICJE:
ŚRODEK MASY
n
i
iiS rmM
r1
1
n
i
imM1
gdzie:
Sr
ir
- promień wodzący i-tego punktu materialnego
- promień wodzący środka masy
(3.2)
3 FIZYKA – wykład 3
(3.3)
(3.4)
Środek masy c.d.
Obiekt o ciągłym rozkładzie masy
W przypadku ciała o ciągłym rozkładzie masy dzielimy je w myśli
na n- małych części o masach , Wzór (4.1)
przyjmuje wtedy postać: nmmm ,...,, 21
n
i
i
n
i
ii
S
m
rm
r
1
1
Gdy liczba części , wtedy n
n
i
i
n
i
ii
nS
m
rm
r
1
1lim
Granice sum w powyższym wzorze wyrażają się odpowiednimi całkami oznaczonymi, stąd
PROMIEŃ
WODZĄCY ŚRODKA MASY:
V
M
M
S dVrM
dm
dmr
r0
0
0 1
przy czym oznacza całkowitą masę; a Mdm
M
0
- gęstość ciała.
4 FIZYKA – wykład 3
(3.5)
(3.6)
Środek masy c.d.
3.2. PĘD UKŁADU PUNKTÓW MATERIALNYCH
Każde ciało można traktować jako układ punktów materialnych. Dlatego pęd ciała możemy
obliczyć jako sumę pędów wszystkich n- punktów materialnych ciała:
n
i
iivmp1
Pamiętając o wyrażeniu na prędkość:
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii rmdt
d
dt
rdmvmp
111
Po podstawieniu do wyrażenia (3.6) wzoru (3.1) , otrzymamy:
(przypomnienie)
SS
S vMdt
rdMrM
dt
dp
pęd środka
masy układu
(3.7)
Zatem:
Suma pędów układu
Punktów materialnych = Pędowi jego środka masy
(3.8)
5 FIZYKA – wykład 3
(3.9)
(3.10)
PRĘDKOŚĆ ŚRODKA MASY:
Inna postać równania ruchu środka masy układu: wypSS FaM
dt
vdM
Środek masy układu punktu materialnych porusza się tak, jak punkt materialny, w którym
skupiona jest całkowita masa układu, i na który działa siła, równa wypadkowej sił zewnętrznych
przyłożonych do układu.
3.3 UOGÓLNIONA II ZASADA DYNAMIKI NEWTONA I RÓWNANIE ŚRODKA MASY UKŁADU:
nn F
dt
dt
dt
dt
pd
,...,,, 33
22
11
Sumując stronami: , oraz uwzględniając zależność
n
i
i
n
i
i Fdt
pd
11
n
i
ism F
dt
pd
1
dt
pd
dt
pd smn
i
i
1
Otrzymujemy równanie
ruchu środka masy układu :
Z powyższego równania wynika, że:
Jest to twierdzenie o ruchu środka masy.
(3.11)
6 FIZYKA – wykład 3
Gdy , to przyspieszenie środka masy jest równe zeru, czyli środek masy albo
porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, albo spoczywa.
(3.13)
(3.12)
Dynamika układu punktów materialnych
Ze wzoru (4.20) wynika, że na każdy punkt działają siły wewnętrzne i zewnętrzne
)()( z
i
w
iii FFF
dt
pd
Oddziaływania dowolnych dwóch ciał w układzie znoszą się wzajemnie (III zasada dynamiki),
zatem:
n
i
z
i
n
i
i Fdt
pd
1
)(
1
(3.14)
WNIOSKI:
Siły wewnętrzne nie mają wpływu na ruch układu.
0)( zF
7 FIZYKA – wykład 3
Dynamika punktu materialnego
3.4. ZASADA ZACHOWANIA PĘDU
Układ odosobniony (zamknięty, izolowany): jest to układ, na który nie działają
żadne siły zewnętrzne (źródła wszystkich sił znajdują się w obrębie samego
układu; są to siły oddziaływania między ciałami układu).
Rozpatrzmy układ odosobniony złożony z n ciał o masach .Ciała te mają prędkości
. Oznaczmy siły (wewnętrzne!) jakimi ciała działają na siebie jako: – siła, jaką ciało
k-te działa na ciało i-te.
nmmm ,...,, 21
nvvv ,...,, 21 ikF
Z II zasady dynamiki Newtona:
nFFFvmdt
d1131211 ...
wypFdt
pd
nFFFvmdt
d2232122 ...
nnnnnn FFFvmdt
d ...21
…
112112
1
...
nnnn
n
i
ii FFFFvmdt
d Dodając stronami
powyższe równania: (3.15)
8 FIZYKA – wykład 3
(3.16)
(3.17)
Zasada zachowania pędu c.d.
Z III zasady dynamiki Newtona mamy: kiik FF
Podstawiając ten warunek do poprzedniego równania (4.25), otrzymujemy:
n
i
ii
n
i
ii vmdt
dvm
dt
d
11
0
Pęd układu równy jest sumie pędów poszczególnych elementów:
n
i
ii
n
i
i vmpp11
Ostatecznie, otrzymujemy:
0dt
pd
constp
stąd (3.18)
Suma wektorowa pędów wszystkich elementów układu izolowanego pozostaje stała.
ZASADĘ ZACHOWANIA PĘDU
9 FIZYKA – wykład 3
(3.19)
(3.20)
ZASADA ZACHOWANIA PĘDU C.D.
Podobny rezultat osiągniemy, gdy rozważymy działanie siły zewnętrznej a dokładniej: układ sił
zewnętrznych, których wypadkową jest .
Wtedy druga zasada dynamiki Newtona dla układu N punktów materialnych:
,0)( z
wypF
Jeżeli to
)( z
wypF
constp
Jeżeli na układ nie działają siły zewnętrzne lub oddziałujące siły się równoważą, to pęd układu
pozostaje stały.
Inna postać sformułowania zasady zachowania pędu:
Suma pędów wszystkich ciał układu w momencie początkowym równa się sumie pędów tych ciał
w dowolnym momencie późniejszym.
(Najczęściej stosowana do zagadnienia zderzeń).
ZASADA ZACHOWANIA PĘDU:
10 FIZYKA – wykład 3
Zasada zachowania pędu - konsekwencje
Przykład: ”rakieta” z butelki
Z butelki plastikowej, w połowie wypełnionej wodą i odwróconą do góry dnem, wypompowujemy
powietrze. Zwolnienie spustu umożliwia wytrysk wody w dół, zaś butelka szybuje w górę.
Pęd układu pozostaje równy zeru.
11 FIZYKA – wykład 3
DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ
POJĘCIE BRYŁY SZTYWNEJ (Czy istnieje idealna bryła sztywna?)
Każde ciało możemy uważać za układ n punktów materialnych, których suma mas równa się całkowitej
masie ciała: M
n
i
imM1
Bryła sztywna ,to takie ciało, które pod działaniem sił nie ulega odkształceniom, tzn. odległości
między dwoma dowolnymi jego punktami materialnymi pozostają stałe.
Dla bryły sztywnej obowiązują wszystkie wnioski i zależności słuszne dla układu punktów materialnych.
Rodzaje ruchu bryły sztywnej:
Pierwszym człowiekiem, który opisał śrubę, był grecki uczony i fizyk -Archimedes (około 287-212 p.n.e.).
W całym antycznym świecie śruba Archimedesa używana była do podnoszenia poziomu wody.
a) ruch postępowy- dowolny odcinek łączący dwa punkty
bryły zachowuje stale położenie do siebie równoległe.
W ruchu postępowym wszystkie punkty bryły zakreślają takie same tory,
maja jednakowe prędkości i przyspiezenia.
b) ruch obrotowy – wszystkie punkty danego ciała
poruszają się po okręgach, których środki znajdują się
na jednej prostej – osi obrotu.
3.5. DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ
12 FIZYKA – wykład 3
(3.21)
(3.22)
Ruch obrotowy c.d.
Wielkości charakteryzujące ruch obrotowy (przypomnienie):
Okres, T (1s)- czas, w którym ciało wykonuje jeden pełen
obrót.
Częstotliwość, - liczba obrotów wykonanych
przez ciało w czasie jednej sekundy; odwrotność okresu.
Częstość kołowa - zwana też predkością prędkością
kątową, kąt zakreślony w jednostce czasu przez ciało
będące w ruchu obrotowym.
)11( 1 Hzs
… i ich wzajemne związki:
(3.23)
2
2
dt
d
dt
d (3.24)
przyspieszenie kątowe
13 FIZYKA – wykład 3
DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ
MOMENT SIŁY
Rozważmy ruch bryły sztywnej wokół punktu O, zwanego środkiem obrotu ciała. Umieśćmy w
tym punkcie początek układu współrzędnych. Niech oznacza wypadkową wszystkich sił
zewnętrznych, przyłożonych do punktu i-tego.
.
iF
Moment siły względem punktu O: iF
iii FrM
(3.25) (definicja wektorowa)
14 FIZYKA – wykład 3
(4.26)
(3.27)
MOMENT BEZWŁADNOŚCI UKŁADU PUNKTÓW MATERIALNYCH
. 3.5.1 MOMENTEM BEZWŁADNOŚCI bryły sztywnej względem pewnej osi nazywamy
wyrażenie:
W przypadku ciał rzeczywistych, a więc takich dla których masa
jest rozłożona w sposób ciągły stosuje się postać całkową definicji
pozwalającą obliczać rzeczywiste momenty bezwładności:
Gdzie: r2- oznacza zmienną określającą odległość elementu masy dm od osi obrotu.
Momenty bezwładności kilku popularnych brył:
a) rura
b) walec pełny
c) kula
d) pręt
POSTAĆ CAŁKOWA:
(WYPROWADZENIA WZORÓW NA TABLICY)
15 FIZYKA – wykład 3
d
O O’
m
(3.28)
Dynamika bryły sztywnej
3.5.2. TWIERDZENIE STEINERA (twierdzenie o osiach równoległych)
Załóżmy, że znamy moment bezwładności ciała ( ) względem pewnej
osi obrotu ( ), ale ciało obraca się względem innej osi ( ),
równoległej do niej (rys). O
Jeżeli moment bezwładności bryły o masie M liczony
względem osi przechodzącej przez jej środek masy wynosi I0, to
moment bezwładności I liczony względem innej osi równoległej do
poprzedniej i oddalonej od niej o d jest równy :
'O
2
0 mdII
WNIOSKI: * Moment bezwładności zależy od wyboru osi obrotu.
*Gdy środek masy ciała oddala się od osi obrotu, to moment bezwładności
ciała względem tej osi wzrasta.
16 FIZYKA – wykład 3
(3.29)
(3.30)
3.5.3. RÓWNANIE NEWTONA DLA RUCHU OBROTOWEGO
DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ
II Zasada dynamiki Newtona
dla ruchu obrotowego z
z
I
M
Przyspieszenie kątowe bryły sztywnej obracającej się wokół nieruchomej osi jest wprost
proporcjonalne do wypadkowego momentu (względem tej osi) wszystkich sił zewnętrznych
działających na ciało i odwrotnie proporcjonalny do momentu bezwładności ciała.
17 FIZYKA – wykład 3
(3.31)
(3.32)
Dynamika bryły sztywnej
Momentu pędu
Związek między momentem
pędu a prędkością kątową
def.
Czy wektory momentu pędu i prędkości kątowej bryły sztywnej zawsze są równoległe?
18 FIZYKA – wykład 3
(4.33)
Dynamika bryły sztywnej
Równanie ruchu obrotowego –c.d.
Równanie Newtona dla ruchu obrotowego wiąże moment siły działającej na punkt materialny
będący w ruchu obrotowym z pochodną po czasie jego momentu pędu.
Szybkość zmiany momentu pędu ciała względem nieruchomej osi obrotu równa się
wypadkowemu momentowi (względem tej osi) sił zewnętrznych działających na ciało.
19 FIZYKA – wykład 3
(3.34)
3.5.4. ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU
Z zasady dynamiki dla ruchu obrotowego: Mdt
Ld
wynika wprost: tconstLdt
LdM
00
Jeżeli wypadkowy moment sił zewnętrznych względem nieruchomego punktu ciała równa
się zeru, to moment pędu ciała względem tego punktu nie zmienia się w czasie.
Można pokazać, że również: moment pędu zamkniętego układu ciał względem dowolnego
punktu nieruchomego jest stały.
Podobnie: jeśli siły zewnętrzne dają moment względem nieruchomej osi równy zeru, to
moment pędu ciała względem tej osi nie zmienia się podczas ruchu.
(Pokazy: wahadło Oberbecka, żyroskop, stołeczek + hantle, koło rowerowe)
Dynamika bryły sztywnej
20 FIZYKA – wykład 3
(3.45)
3.5.5. ENERGIA KINETYCZNA RUCHU OBROTOWEGO
DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ
2
2IEK
Aby zwiększyć energie kinetyczną ciała w ruchu obrotowym trzeba nie tylko nadać mu
dużą prędkość kątową, ale także uczynić możliwie dużym jego moment bezwładności.
Można to zrealizować zwiększając masę ciała, co nie zawsze jest wygodne w praktyce,
a można też (i to skuteczniej, bo zależność od kwadratu) poprzez rozmieszczenie masy
w możliwie dużej odległości od osi obrotu.
WNIOSEK:
Energia kinetyczna ciała
w ruchu obrotowym
21 FIZYKA – wykład 3
Dwa walce (rys.) o tej samej masie i średnicy staczają się z tej samej równi pochyłej.
Który pierwszy osiągnie podstawę ? Co jest powodem tej różnicy?
Dynamika bryły sztywnej
Przykład. (Rola momentu bezwładności)
22 FIZYKA – wykład 3
Dziękuję za uwagę !