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5 5 6 8 7 4 8 2 9 8 * 2 4 8 1 7 8 ! 6 : 8 4 ! 8 6 8 4 5 5 8 1 2 7 5

5 5 1 5 2 7 9 ; 7 7 8 1 2 7 ; 5 % 2 # 4 8 ; 2 4 ; 5 ; 9 4 5 9

2 # 4 8 ; 4 2 5 2 4 2 ; 7 7 8 1 2 7 ; + 9 5 3 7 8 6 : 8 2 4 8 5 7 8

6 5 7 2 4 2 % 7 7 8 1 2 7 ; 2 # 4 8 ; - ) 5 ; 5 % : ( 2 2 # $

4 8 ; 8 9 ; 5 5 : 5 6 : 8 9 8 * 2 4 8 8 2 6 : 5 8 ( 9 2 2 4 8 2 # : ; 2 : 4 " #

7 7 m : 7 7 5 4 8 % r 8 7 ; 5 : 5 7 2 % v 9 2 8 ; 5 6 5 7 : 9 4 2 4 8 + 7

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8 7 5 7 ; 5 : 5 7 8 7 9 2 2 6 : 8 v ∼ c ; 5 4 2 ! 8 ( 2

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4 8 2 9 8 * 2 4 8 6 : 9 5 5 9 8 4 7 4 6 : 9 2 4 8 2 5 7 8 z 8 7 $

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7 1 2 : 2 ( 2 ; : 5 9 " ; 5 5 : 8 4 " (x, y, z) 7 5 5 4 5 , 2 4 8 8

r = exx + eyy + ezz , dr = exdx + eydy + ezdz ,

9 ; 5 5 : " # ei

- 2 8 4 8 1 4 " 2 9 2 ; 5 : " 9 5 7 5 5 9 2 7 9 + . 8 #

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5 : " 9 " 2 2 4 4 " 4 6 : 9 2 4 8 2 & 2 5 5 3 " 1 4 5 6 : 8 4 8 + (

5 7 x

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2 8 4 8 1 4 " 2 9 2 ; 5 : " 9 5 : 8 7 $ 9 2 ; 5 : 8 9

6 2 : 6 2 4 8 ; : 4 5 2 4 6 : 9 2 4 8 8 5

r = err , dr = erdr + eϕrdϕ .

: 8 9 8 * 2 4 8 8 1 7 8 ! " 4 6 5 7 ; 5 7 8 2 / : 2 ; 5 : 8 5 * 2

3 " ( 4 9 9 8 2 : 9 4 2 4 8 y(x) 2 ; : 5 9 " # ; 5 5 : 8 4

8 8 9 9 8 2 : 9 4 2 4 8 r(ϕ) 6 5 : 4 " # ; 5 5 : 8 4

E 4 P @ 7 4 9 F @ 4 F 9 : : P I @ 8 F ( / 7 : 7 7 5 4 8 2 r

5 1 7 8 ! " 6 5 : 4 " 5 θ 2 * 5 7 + z 8 : 8 7 $

9 2 ; 5 : 5 1 7 8 ! " 8 ( 8 4 " 5 ϕ 2 * 5 7 + x 8

6 : 5 2 ; ! 8 2 % : 8 7 $ 9 2 ; 5 : 4 6 5 7 ; 5 7 xy

& : 8 7 ' 2 8

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6 : 2 2 # 0 ≤ θ ≤ π 7 8 4 1 5 7 8 7 2 " ; 5 5 : 8 4 6 5 2 $

7 8 9 ! 2 4 : 2 5 3 7 ( 4 4 5 5 : 8 7 r 7 7 2 9 2 : 4 " 6 5 $

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9 5 2 : 8 8 4 ; + ( 8 4 " % 5 - 9 5 , 8 : 5 $

" ; 9 5 7 5 ; 3 5 ( 4 1 8 1 2 : 2 ( er eθ

8 eϕ

2 8 4 8 1 4 " 2 9 2 ; 5 : "

9 5 : 8 7 $ 9 2 ; 5 : 9 5 2 : 8 8 4 8 9 5 , 8 : 5 " 5 $

r = err, dr = erdr + eθrdθ + eϕr sin θdϕ.

E 9 : P : 6 v(t) # : ; 2 : 8 ( 2 3 " 7 : 5 8 ( 2 4 2 4 8 : 8 7 $

9 2 ; 5 : 8 5 6 : 2 2 2 7 ; ; 6 : 5 8 ( 9 5 4 : 8 7 $ 9 2 ; 5 : 6 5

9 : 2 2 4 8 2

v(t) =dr(t)

dt.

8 ( 8 ; 2 6 5 : 2 3 8 2 4 9 5 7 # 5 . ; + 5 4 : 8 ! 8

5 3 5 ( 4 1 6 : 5 8 ( 9 5 4 + 6 5 9 : 2 2 4 8 5 1 ; 5 % 4 7 5 5 9 2 7 9 $

+ . 2 % 6 2 : 2 2 4 4 5 % 2 5 3 5 ( 4 1 7 ; 5 : 5 7 ; 2

v(t) =dr(t)

dt≡ r(t) .

2 1 2 4 8 2 9 : 2 2 4 8 ; 5 4 2 ! 9 2 ; 5 : v(t) 9 8 * 2 7 6 5 ; : 8 $

9 5 % ; 5 5 : 4 ( " 9 2 7 H : I : H P F : 9 : P : @

4 9 4 5 2 9 " : * 2 4 8 2 ) 2 2 4 : 4 5 5 6 2 : 2 2 . 2 4 8 dr

5 * 4 5 4 % 8 ; 5 6 5 4 2 4 " 7 ; 5 : 5 7 8 9 2 ; : 5 9 " # ; 5 5 : 8 4 $

# 2

vx = x, vy = y, vz = z .

8 4 8 1 4 " 2 9 2 ; 5 : " ex ey

8 ez

9 ( 8 4 5 5 : 5 5 4 4 " ?

ei ej = δij , i, j = x, y, z ,

2 δij

- 7 8 9 5 : 5 4 2 ; 2 : δij = 1 2 7 8 i = j 8 δij = 0 2 7 8

i 6= j 5 ) 5 ; 9 : 7 ; 5 : 5 7 8 v2 : 9 2 4 7 2 ; 9 : 5 9

7 5 5 9 2 7 9 + . 8 # ; 5 6 5 4 2 4 7 ; 5 : 5 7 8 2

v2 = x2 + y2 + z2 .

: 8 9 2 / ; * 2 4 5 8 1 4 " 2 5 : " 6 5 : 4 " # ; 5 $

5 : 8 4

vr = r, vϕ = rϕ; v2 = r2 + (rϕ)2

8 7 2 : 8 1 2 7 ; 8 # ; 5 5 : 8 4

vr = r, vθ = rθ, vϕ = rϕ sin θ; v2 = r2 + r2θ2 + r2ϕ2 sin2 θ .

! 2 2 4 : 4 5 2 6 2 : 2 2 . 2 4 8 2 dr 4 6 : 9 2 4 5 6 : 2 4 5 ; $

7 2 4 5 % ; : 2 ; 5 : 8 8 9 5 1 ; 2 r(t) 6 5 ) 5 9 2 ; 5 : 7 ; 5 : 5 7 8

v(t) = dr(t)/dt ; * 2 6 : 2 2 4 ; 7 2 4 5 % ; : 2 ; 5 : 8 8

1 7 8 ! " 4 5 8 1 4 5 ) 2 2 4 : 4 5 2 6 : 8 : . 2 4 8 2 7 ; 5 : 5 7 8 dv

4 6 : 9 2 4 5 6 : 2 4 5 ; 7 2 4 5 % ; 5 5 : 7 ; 5 : 5 7 8 9

5 1 ; 2 v(t) 6 5 ) 5 9 2 ; 5 : dv/dt ; * 2 6 : 2 2 4 ; 7 2 $

4 5 % ; 5 5 : 7 ; 5 : 5 7 8

( & B B - # & C ) ? ? ) + ) ) a b $ C ,

# ab (a,b) ) & C ) ? G ? ) ) +

+ * α B D ? + B ! ab = ab cos α - ) # ex ex = 1 - ex ey = 0 % ? %

P & C ) ? ) ) B D ) E C # C ? ) E

B & E ! ab = axbx + ayby + azbz %

J %:% -$ * & ? + * B * C +

J %9%< ? * A -$ * & ? + * B * C +

7 7 5 : 8 6 : 5 7 5 % 6 : 8 2 : 9 8 * 2 4 8 1 7 8 ! " 4 6 5 7 ; 5 $

7 8 xy ( 4 4 5 5 : 9 4 2 4 8 8x

x(t) = tv0 cos α , y(t) = tv0 sin α − 1

2gt2 .

c C * + A C C ) - # r & B ,

) ) + ? ) D G -$ * # @ G v0

& ?

+ * B α * C + - & r B x & ) * C - y

> & ) ) ) %

?

! 8 : 9 4 2 4 8 ( + : 2 ; 5 : 8 + 1 7 8 ! 9 4 2 9 4 5 9 8 2

9 4 5 2 9 " : * 2 4 8 2 : 2 ; 5 : 8 8 5 * 4 5 6 5 1 8 2 7 8 4 % $

8 t 8 ( 6 2 : 9 5 5 : 9 4 2 4 8 8 6 5 7 9 8 9 5 9 5 : 5 2 2

y(x) = x

α − g

2v20 cos2 α

x2 .

7 + 9 8 4 5 1 5 ; 5 4 2 ! : 8 7 $ 9 2 ; 5 : 9 8 * 2 7 6 5 6 : 3 5 $

2 & : 8 7 '

; 5 : 5 7 1 7 8 ! " : 9 4

vx(t) = v0 cos α , vy(t) = v0 sin α − gt ,

2 5 5 : 7 ; 5 : 5 7 8 - 6 : 6 : 2 4 5 7 8 vy& : 8 7 '

8 7 $ 9 2 ; 5 : 1 7 8 ! " r(t) 5 * 2 8 ( 2 4 7 ; ; 6 5

8 4 2 ; 8 6 5 4 6 : 9 2 4 8 + M " 9 8 8 1 5 3 " 7 : 5 ) 8 #

8 ( 2 4 2 4 8 % 5 6 : 2 2 2 7 9 : ( 4 " 8 7 5 7 9 + . 8 8 7 ; 5 $

: 5 7 8 2 6 : 5 5 4 5 % & 9 5 : 8 7 $ 9 2 ; 5 : r

' 8 6 5 6 2 : 2 1 4 5 %

& 5 : 5 5 4 4 5 % ; : 8 7 $ 9 2 ; 5 : ' ( 3 2 : / 3 5 2 2 6 5 : 5 3 4 5

9 5 6 : 5 7 5 7 5 7 9 + . 8 # 9 2 ; 5 : 7 ; 5 : 5 7 8 ) 5 5 : 7 7 5 $

: 8 9 4 1 2 7 6 2 ! 8 4 " % 7 1 % ; 5 : 8 7 $ 9 2 ; 5 : 1 7 8 $

! " r(t) 8 ( 2 4 2 7 5 ; 5 6 5 4 6 : 9 2 4 8 + ! 5 ( 4 1 8 1 5

1 7 8 ! 9 : . 2 7 & 4 2 5 3 ( 2 4 5 : 9 4 5 2 : 4 5 R ' 6 5 5 ; : * $

4 5 7 8 7 1 7 8 ! 9 8 * 2 7 6 5 5 ; : * 4 5 7 8 : 8 7 R

& : 8 7 N '

2 4 : 6 5 : 4 5 % 7 8 7 2 " ; 5 5 : 8 4 6 5 2 7 8 9 ! 2 4 : 2

5 ; : * 4 5 7 8 5

x(t) = R cos ϕ(t) , y(t) = R sin ϕ(t) , | r(t) |= R .

8 7 $ 9 2 ; 5 :

r = R(cos ϕ, sin ϕ)

?

J %3%w ) D # = E & + D ? + R

8 7 ; 5 : 5 7

v = (x, y) = Rϕ (− sin ϕ, cos ϕ)

9 ( 8 4 5 5 : 5 5 4 4 "

rv = xvx + yvy = 0 .

2 8 1 8 4 9 2 ; 5 : 7 ; 5 : 5 7 8

v =√

v2x + v2

y = R | ϕ |

( 9 8 7 8 5 5 9 5 % 7 ; 5 : 5 7 8 1 7 8 ! " ϕ(t)

: 2 7 9 8

: 8 7 $ 9 2 ; 5 : r 9 9 8 2

r(t) = R er(t) , er ‖ r ,

2 er(t) - 2 8 4 8 1 4 " % 9 2 ; 5 : 4 6 : 9 2 4 4 " % 9 5 r 5 $

7 ; 5 : 5 7 5 1 ; 8 9 8 * . 2 % 7 6 5 5 ; : * 4 5 7 8 5 6 : 2 2 8 $

7 6 : 5 8 ( 9 5 4 5 % 6 5 9 : 2 2 4 8 5 9 2 ; 5 : er(t) ; 5 5 : 5 : 5 5 $

4 4 9 2 ; 5 : r

v = Rer , er = ϕ (− sin ϕ, cos ϕ) , er ⊥ r .

5 3 . 2 7 1 2 : 8 7 $ 9 2 ; 5 :

r(t) = r(t) er(t)

? ?

5 * 2 8 ( 2 4 7 ; ; 6 5 4 6 : 9 2 4 8 + & ( 7 1 / 8 ( 2 4 2 4 8

9 2 ; 5 : er(t)

' ; 8 6 5 9 2 8 1 8 4 2 & ( 7 1 / 8 ( 2 4 2 4 8 4 ; ! 8 8

r(t)

'

5 ) 5 9 2 ; 5 : 7 ; 5 : 5 7 8

v = r er + r er

5 3 4 5 : ( 5 * 8 4 9 2 7 5 7 9 + . 8 2 2 vt

- 9 5 : 8 7 $

9 2 ; 5 : 8 vn

- 9 6 5 6 2 : 2 1 4 5 ; 4 2 4 6 : 9 2 4 8 8 2

v = vt + vn , vt = r er , vn = r er , vt ‖ ±r , vn ⊥ r .

5 ; * 2 1 5 6 : 5 5 4 & 8 4 1 2 F 8 H 4 8 @ F 5 6 8 F ' 7 5 7 9 $

+ . vt

( 9 2 2 8 ( 2 4 2 4 8 2 8 4 " : 8 7 $ 9 2 ; 5 :

6 5 6 2 : 2 1 4 & 8 4 1 2 8 : P F 5 6 8 F ' 7 5 7 9 + . vn

( 9 2 2

6 5 9 5 : 5 5 : 8 7 $ 9 2 ; 5 : 7 ( 9 : 2 dt 1 7 8 ! 6 2 : 2 $

2 7 8 7 4

dr = vdt = rdt er + r erdt .

( 2 4 2 4 8 2 8 4 " : 8 7 $ 9 2 ; 5 : ( 5 2 9 : 2 dt : 9 4 5 2

dr = rdt 5 6 : 2 2 2 7 6 : 5 5 4 5 % 7 5 7 9 + . 2 % 7 ; 5 : 5 7 8 2

dr = rdt = vt dt , vt ≡ vr

r=

dr

dt.

: 5 % 7 5 : 5 4 " ( ) 5 9 : 2 : 8 7 $ 9 2 ; 5 : 6 5 9 2 : 4 2 7 4

" % 5

dϕ =vndt

r,

; 1 5 5 9 7 ; 5 : 5 7 9 : . 2 4 8 : 8 7 $ 9 2 ; 5 :

dϕ

dt=

vn

r

( 9 8 7 8 5 6 5 6 2 : 2 1 4 5 % 7 5 7 9 + . 2 % 7 ; 5 : 5 7 8

m

6 : 2 2 8 5 2 * 9 : 8 7 $ 9 2 ; 5 : 8 r1

8 r2 ; 5 5 : " 2 ( 4 4 " 7 9 5 8 8 7 2 : 8 1 2 7 ; 8 8 ; 5 5 : 8 4 8 2

r1 = (r1, θ1, ϕ1)

8 r2 = (r2, θ2, ϕ2)

? x

" , / 4 4 " % 7 2 4 4 # 5 8 7 4 3 2 : 2 3 7 ; 5 5 5 $

: 9 5 1 ; 2 A

& : 8 7 > ' 5 : 2 9 5 1 ; 2 B 5 4 2 2 9 , ; 7 $

7 5 4 8 2 AC = 12CB = l 7 2 4

3 2 2 9 : ( 3 " 7 : 2 2 1 2

6 9 2 ; ; 5 : 7 7 5 4 8 8 x 7 2 4 5 * 2 43 : 5 7 8 7 9

9 5 1 5 3 " 9 : 2 9 8 * 2 4 8 5 5 1 ; 8 A 5 5 1 ; 8 B

3 " 5

4 8 2 4 , 8

J %0%K C ? # 1 %.

9 ; 5 : 3 5 6 " 8 5 4 5 9 : 2 2 4 4 5 8 ( 6 4 ; 5 9 A 8 B ; 5 5 : 8 4 8 a = (30; 0) ; 8 b =(0; 30) ; 7 5 5 9 2 7 9 2 4 $

4 5 1 8 7 ; 5 : 5 7 8 ; 5 : 3 2 % 6 5 7 5 4 4 " 8 v1 = (− 20; 0)

; 1 8 v2 = (20; − 30) ; 1 4 % 8 : 7 7 5 4 8 2 8 # 4 8 2 4 $

, 2 5 7 3 8 * 2 4 8

9 , : 3 : 5 7 + 8 ( 5 4 5 % 5 1 ; 8 4 6 5 9 2 : # 4 5 7 +

( 2 8 9 6 : 5 8 9 5 6 5 5 * 4 " 2 7 5 : 5 4 " 9 5 : 8 ( 5 4 4 5 4 6 : 9 $

2 4 8 8 7 5 7 ; 5 : 5 7 8 v1 = 2, 5 7 8 v2 = 4 7 1 2 : 2 ( ; ; 5 2

9 : 2 9 2 ; 5 : " 7 ; 5 : 5 7 2 % , : 5 9 5 ; * 7 6 2 : 6 2 4 8 ; : 4 " $

8 : : 6 : 8 7 9 5 3 5 4 5 6 2 4 8 8 9 6 5 2 * 2 7 8 & 7 ; 5 $

: 2 4 8 2 7 8 " * 2 7 8 g = 10 72 ' 1 2 9 ) 5 5 2 4 3

: 9 4 " : 7 7 5 4 8 2 2 * , : 8 8 8 # 7 ; 5 : 5 7 8

?

!

5 5 3 4 5 5 ; ; 3 " 7 : 5 8 ( 2 4 2 4 8 : 8 7 $ 9 2 ; 5 : r(t)

# : ; 2 : 8 ( 2 7 2 5 6 : 5 8 ( 9 5 4 5 % 6 5 9 : 2 2 4 8 dr/dt = v ;

8 3 " 7 : 5 8 ( 2 4 2 4 8 7 ; 5 : 5 7 8 7 5 9 : 2 2 4 2 5 * 2 3 " 5 # $

: ; 2 : 8 ( 5 9 4 6 : 5 8 ( 9 5 4 5 % 7 ; 5 : 5 7 8 6 5 9 : 2 2 4 8 ! 9 2 8 $

1 8 4 4 ( " 9 2 7 9 : P 4 8 @ 4

a(t) =dv(t)

dt.

7 ; 5 : 2 4 8 2 9 2 7 9 5 : 5 % 6 : 5 8 ( 9 5 4 5 % 5 r 1 5 53 5 ( 4 1 +

9 5 1 ; 8 4 : 8 7 $ 9 2 ; 5 : 5 2

a(t) =d2r(t)

dt2≡ r(t) .

M " ( 4 2 1 5 9 2 ; 5 : 7 ; 5 : 5 7 8 v(t) = dr(t)/dt 6 : 2 $

2 4 ; 7 2 4 5 % ; : 2 ; 5 : 8 8 1 7 8 ! " 4 5 8 1 4 5 9 2 ; 5 :

7 ; 5 : 2 4 8 a = dv/dt 6 : 2 2 4 ; 7 2 4 5 % ; 5 5 :

7 ; 5 : 5 7 8 4 5 5 * 2 3 " 4 6 : 9 2 4 6 : 5 8 ( 9 5 4 5 6 5 5 4 5 , 2 $

4 8 + ; : 2 ; 5 : 8 8 1 7 8 ! " & 7 : 8 7 '

7 8 7 ; 5 : 2 4 8 2 6 5 7 5 4 4 5 a(t) = a = const 5

v(t) = v(0) +

∫ t

0

a dt = v(0) + a t ,

r(t) = r(0) +

∫ t

0

v(t) dt = r(0) + v(0) t +1

2a t2 .

: 8 7 9 5 3 5 4 5 6 2 4 8 8 9 3 8 ( 8 6 5 9 2 : # 4 5 7 8 2 8 7 ; 5 : 2 4 8 2a(t) ≈ const = g 2 g ≈ 9, 8 72

i

; 5 : 5 7 1 7 8 ! " v(t) 5 * 2 8 ( 2 4 7 ; ; 6 5 8 4 2

; 8 6 5 4 6 : 9 2 4 8 + 6 5 4 5 % 4 5 8 8 7 : 7 7 5 : 2 4 4 "

? S

9 " , 2 8 ( 2 4 2 4 8 2 : 8 7 $ 9 2 ; 5 : 3 " 7 : 5 ) 8 # 8 ( 2 4 2 4 8 %

9 2 ; 5 : 7 ; 5 : 5 7 8 5 6 : 2 2 2 7 9 : ( 4 " 8 7 5 7 9 + $

. 8 8 7 ; 5 : 2 4 8 2 at

- 6 : 5 5 4 5 % & 9 5 9 2 ; 5 : v' 8 an

- 6 5 6 2 : 2 1 4 5 % & 5 : 5 5 4 4 5 % ; 9 2 ; 5 : 7 ; 5 : 5 7 8 ' 6 : 8 1 /

at = dv/dt 5 6 : 2 2 2 7 ; 5 : 5 7 8 ( 2 4 2 4 8 8 4 " 9 2 ; 5 :

v(t) 9 5 9 : 2 ; ; an

5 6 : 2 2 2 7 ; 5 : 5 7 6 5 9 5 : 5 9 2 ; $

5 : v(t) ( 3 2 : / ) 5 9 5 6 : 5 7 3 5 2 2 6 5 : 5 3 4 5 ) 5 5

9 2 : 4 / 7 ; 9 8 * 2 4 8 + 1 7 8 ! " 6 5 5 ; : * 4 5 7 8 & 7 : 8 7 N '

) 5 7 1 2 7 ; 5 : 2 4 8 2

a = (vx, vy) = Rϕ(− sin ϕ, cos ϕ) − Rϕ2(cos ϕ, sin ϕ)

5 * 4 5 6 : 2 7 9 8 9 9 8 2 7 " 9 # 9 2 ; 5 : 5 9 a = at + an. 2 : 9 " % 8 ( 4 8 #at = Rϕ(− sin ϕ, cos ϕ) =

ϕ

ϕv, at = Rϕ =

dv

dt

4 6 : 9 2 4 9 5 9 2 ; 5 : v 6 : 8 ϕ/ϕ > 0 8 8 6 : 5 8 9 9 2 ; 5 :

v 6 : 8 ϕ/ϕ < 0 8 4 ( " 9 2 7 F 8 H 4 8 @ F 5 6 8 9 : P 4 8 @ 4

5 : 5 %

an = −Rϕ2(cos ϕ, sin ϕ) = −ϕ2 r, an = Rϕ2 =v2

R

4 6 : 9 2 4 6 : 5 8 9 5 6 5 5 * 4 5 : 8 7 $ 9 2 ; 5 : 2 ; 5 7 8 9 : $

. 2 4 8 8 6 5 5 5 : 5 5 4 2 4 9 2 ; 5 : 7 ; 5 : 5 7 8 an·v = 0.

5

4 ( " 9 + 8 : P F 5 6 8 @ 5 @ 4 8 P : P 4 @ 4 5 6 8 9 : P 4 G

8 @ 4

M 5 * 4 5 7 ; ( 1 5 6 5 9 5 : 5 9 2 ; 5 : 7 ; 5 : 5 7 8 5 6 : 2 $

2 2 7 9 2 ; 5 : 5 an 9 5 9 : 2 ; ; 8 ( 2 4 2 4 8 2 9 2 8 1 8 4 "

9 2 ; 5 : 7 ; 5 : 5 7 8 ( 9 8 7 8 5 at

: 8 at = 0 5 9 5 2 7 ; 5 : 2 $

4 8 2 ϕ 5 7 7 9 2 ϕ = 0 8 9 2 ; 5 : v 9 : . 2 7 7 6 5 7 5 4 $

4 5 % 5 9 5 % 7 ; 5 : 5 7 + ϕ 5 7 9 7 4 2 8 ( 2 4 4 " 6 5 9 2 8 1 8 4 2

v = R | ϕ |= .

?

n

5 3 . 2 7 1 2 : ( 5 * 8 9 2 ; 5 : 7 ; 5 : 2 4 8 a 4 7 5 7 9 $

+ . + at

9 5 9 2 ; 5 : 7 ; 5 : 5 7 8 v 8 7 5 7 9 + . + an

9

6 5 6 2 : 2 1 4 5 ; 9 2 ; 5 : 7 ; 5 : 5 7 8 4 6 : 9 2 4 8 8

a = at + an , at ‖ ±v , an ⊥v .

5 9 5 : 6 : 2 " . 8 2 9 " ; ; 8 9 2 ; 5 : 7 ; 5 : 5 7 8 6 5 $

1 2 1 5 4 2 4 ! 8 4 5 2 7 ; 5 : 2 4 8 2 at

( 9 2 2 8 ( 2 4 2 4 8 2

9 2 8 1 8 4 " 9 2 ; 5 : 7 ; 5 : 5 7 8

dv = at dt , at ≡ av

v=

dv

dt,

4 5 : 4 5 2 8 8 ! 2 4 : 5 7 : 2 8 2 4 5 2 7 ; 5 : 2 4 8 2 an

( 9 2 $

2 6 5 9 5 : 5 5 9 2 ; 5 : 4 " % 5

andt

v.

J %2%F $ @ + # @ ) @ * ? ) D

5 3 . 2 7 1 2 5 * 4 5 6 : 5 9 2 7 8 5 ; : * 4 5 7 1 2 : 2 ( : 8

3 8 ( ; 8 # 5 1 ; 8 : 2 ; 5 : 8 8 r(t − ∆t), r(t), r(t + ∆t) : 8

?

" # ∆t 9 8 * 2 4 8 2 1 7 8 ! " 6 5 ; 5 % : 2 ; 5 : 8 8 4 2 3 2

5 8 1 7 5 9 8 * 2 4 8 6 5 ; ( 4 4 5 % 5 ; : * 4 5 7 8 & : 8 7 '

8 7 6 5 7 : 5 2 4 4 5 % 6 : 8 ∆t → 0 5 ; : * 4 5 7 8 R (t) 4 ( " 9 2 $

7 P F I @ : 9 P @ B @ J 8 P F 4 9 : P @ @ 9 : 7 7 : 8 9 2 5 % 5 1 ; 2

r(t) 5 5 * 4 5 4 % 8 6 5 5 : 2

R (t) =v2

an, an = a − at = a − (av)

v2v .

7 8 1 7 8 ! 9 8 * 2 7 9 6 5 7 ; 5 7 8 xy 5 2 ; 5 6 : 5 9 2 : 8

1 5

an =|axvy − ayvx|

v=

|v3x|v

y′′(x) ,

5 ; 6 5 1 2 5 3 4 + 5 : : 8 7 ; : 8 9 8 ( 4 "

: 2 ; 5 : 8 8 1 7 8 ! " 2 7 8 : 9 4 2 4 8 2 : 2 ; 5 : 8 8 ( 4 4 5 9

5 : 2 y(x) 2

R (x) =1 + [y′(x)]23/2

|y′′(x)| .

m

1 7 8 ! 9 8 7 9 5 6 : 5 % 7 6 5 7 5 4 4 " 7 ; 5 $

: 2 4 8 2 ax

8 3 2 ( 4 1 4 5 % 7 ; 5 : 5 7 8 9 2 1 2 4 8 2 9 : 2 2 4 8 τ

6 5 7 2 1 2 5 7 9 8 7 7 7 ; 5 : 2 4 8 2 −ax

1 2 : 2 ( ; ; 5 2

9 : 2 6 5 7 2 7 2 4 " ( 4 ; 7 ; 5 : 2 4 8 1 7 8 ! 9 2 : 4 / 7 9 6 2 : $

9 5 4 1 4 5 2 6 5 5 * 2 4 8 2

1 7 8 ! 9 8 * 2 7 9 6 5 7 ; 5 7 8 xy 6 5 ( ; 5 4 2 x = αt

y = αt(1−βt) 2 α 8 β - 6 5 5 * 8 2 4 " 2 6 5 7 5 4 4 " 2 % $

8 2 : 9 4 2 4 8 2 : 2 ; 5 : 8 8 y(x) O 7 ; 5 : 5 7 8 7 ; 5 : 2 4 8 2 1 7 8 $

! " O 5 2 4 9 : 2 2 4 8 t0 9 ; 5 5 : "% 9 2 ; 5 : 7 ; 5 : 5 7 8 7 5 7 9 2

5 π/4 7 9 2 ; 5 : 5 7 ; 5 : 2 4 8

; 2 2 6 5 5 : 8 ( 5 4 4 5 % 6 : 5 % 7 6 5 7 5 4 4 5 %

7 ; 5 : 5 7 + u 4 2 / 3 : 5 7 8 ; 2 4 4 2 5 6 " 4 " % 5 # 5 4 8 ; 6 : 8 $

1 / 3 : 5 7 5 ; 3 " 7 2 4 3 2 ( 6 : 2 * 2 4 8 2 9 5 2 4 3 : 5 7 ;

?

J %8%K C ? # . %;

7 ; 5 : 5 7 ; 4 v

3 " 4 6 : 9 2 4 ; ; : ( 4 ; 6 5 $

5 α ; 5 : 8 ( 5 4 & : 8 7 Q' ; ; 5 % 9 " 7 5 2 2 2 ; 2 7 8

; 2 4 9 7 2 $ ; 8 6 5 6 9 4 2 /

1 7 8 ! 9 8 * 2 7 9 6 5 7 ; 5 7 8 xy 6 5 : 2 ; 5 : 8 8 5 6 : 2 $

2 2 5 % : 9 4 2 4 8 8 x = a sin ωt y = a(1 − cos ωt) % 8

6 6 : 5 # 5 8 " % 1 7 8 ! 2 % ( 9 : 2 t 8 5 2 * 9 2 ; 5 $

: 8 7 ; 5 : 5 7 8 8 7 ; 5 : 2 4 8

5 7 2 4 ; 2 5 ( 7 ; 8 9 + 3 : 2 9 4 5 ; 1 5 2 5 9 2 : # $

4 8 % ; 5 4 2 ! 9 8 * 2 7 7 6 5 7 5 4 4 5 % 7 ; 5 : 5 7 + v 4 8 * 4 8 %

6 2 : 2 9 8 2 7 6 5 ( 2 2 % 8 5 9 + 7 ; 5 : 5 7 8 5 9 5 2

7 ; 5 : 2 4 8 2 5 1 2 ; 3 : 2 9 4 9 5 2 4 9 : 2 2 4 8 t

: ( 8 ; 6 5 9 2 , 2 4 4 4 8 8 4 5 4 4 5 % 4 4 2 9 2 7 5 $

+ ; , ; : 8 7 R 7 ( ; : 2 6 / 4 4 5 % 5 7 + 9 : . 2 4 8 O

& : 8 7 = ' 4 1 4 " % 5 2 4 : ( 8 ; 5 6 7 ; + 3 2 ( 4 1 $

4 5 % 7 ; 5 : 5 7 8 % 8 ( 9 8 7 8 5 7 5 9 : 2 2 4 8 7 ; 5 : 5 7 8 v(t)

6 : 5 5 4 5 % at(t)

8 6 5 6 2 : 2 1 4 5 % an(t) 7 5 7 9 + . 8 # 7 ; 5 : 2 4 8

; * 2 6 5 4 5 5 7 ; 5 : 2 4 8 a(t) 5 1 ; 8 A 4 5 3 5 2 ; , ; 8

2 4 3 : 5 , 2 4 7 4 1 4 5 % 7 ; 5 : 5 7 + v0 = 20 7

6 5 5 α = 60o ; 5 : 8 ( 5 4 % 8 : 8 7 ; : 8 9 8 ( 4 " : $

2 ; 5 : 8 8 4 4 1 4 5 1 7 ; 2 8 9 9 2 : # 4 2 % 1 7 8 : 2 ; 5 : 8 8

7 ; 5 : 2 4 8 2 7 9 5 3 5 4 5 5 6 2 4 8 g = 10 72

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J %1 /%K C ? # . %3

8 8 4 : : 8 7 R ; 8 7 3 2 ( 6 : 5 7 ; ( " 9 4 8 6 5

5 : 8 ( 5 4 4 5 % 6 5 7 ; 5 7 8 : 2 ; 5 : 8 ; 5 5 : + 5 6 8 7 " 9 2

5 1 ; A 4 5 3 5 2 ! 8 8 4 : 6 : 2 7 9 2 7 5 3 5 % ! 8 ; 5 8

% 8 : 8 7 ; : 8 9 8 ( 4 " : 2 ; 5 : 8 8 9 5 1 ; 2 : 7 6 5 5 * 2 4 4 5 %

4 : 7 7 5 4 8 8 2R 5 6 5 7 ; 5 7 8 6 5 ; 5 5 : 5 % ; 8 7 ! 8 8 4 : 5 * 2 9 5 6 : 5 7 5 1 ; 8 : 2 ; 5 : 8 8 : 7 6 5 5 * 2 4 4 5 % 4 : 7 $

7 5 4 8 8 R 5 6 5 7 ; 5 7 8 6 5 ; 5 5 : 5 % ; 8 7 ! 8 8 4 :

; 6 : 5 9 5 5 ; 8 ( 5 4 9 5 : 2 ) 8 6 7 : 9 4 2 $

4 8 2 ; 5 5 : 5 5

x2

a2 +y2

b2 = 1 .

5 ) 8 6 7 7 6 5 7 5 4 4 5 % 6 5 9 2 8 1 8 4 2 7 ; 5 : 5 7 + v 9 8 * 2 $

7 3 7 8 4 ; % 8 ; 7 8 4 5 2 8 8 4 8 4 5 2 7 ; 5 : 2 4 8 2

3 7 8 4 ; 8

! !

2 # 4 8 ; 2 6 : 8 4 8 + 7 ; ; 5 3 5 3 . 2 4 8 2 5 6 " 4 " # ; 5 9

7 2 + . 8 2 7 9 5 % 7 9 6 : 5 7 : 4 7 9 8 9 : 2 2 4 8 2 P : P F 8 B :

x

: I 8 : P : I 8 : & 2 9 7 2 5 1 ; 8 6 : 5 7 : 4 7 9 : 9 4 5 6 : 9 4 " ' @ @ J : G

P : 8 : & 2 9 7 2 4 6 : 9 2 4 8 9 6 : 5 7 : 4 7 9 2 : 9 4 5 6 : 9 4 " '

B P 4 : I 8 : P : I 8 : ; 5 6 : 5 7 : 4 7 9 2 9 8 * 2 4 8 2 ; ; 8 6 5 $

; 5 % 9 7 2 5 4 5 7 8 2 4 " 2 5 7 1 / & 8 7 9 ( 4 4 " 2 7 4 8 8

1 7 " ' 6 5 5 4 5 , 2 4 8 + ; ; 5 5 : " : 7 7 : 8 9 2 7 9 8 * 2 4 8 2

5 3 : ( + @ 4 : 7 A F

: 2 8 9 7 2 9 5 ( 5 * 4 " # 7 8 7 2 5 7 1 / 5 7 5 3 5 2 ( 4 1 2 4 8 2 8 2 $

+ 8 4 2 : ! 8 4 " 2 7 8 7 2 " 5 7 1 / 5 6 : 2 2 2 " 2 7 2 + $

. 8 5 3 : ( 5 4 1 9 9 2 / 6 5 4 8 2 7 9 5 3 5 4 5 5 2 E B : G

: I 8 4 ( " 9 2 7 2 5 4 7 5 ; 5 2 4 4 5 2 5 : 8 # 2

1 5 8 # 9 8 4 8 2 4 9 8 * 2 4 8 2 4 4 5 5 2 5 * 4 5 6 : 2 4 2 $

3 : 2 1 8 7 2 5 7 1 / 7 9 ( 4 4 7 4 3 5 : 5 6 5 ; 5 . 8 # 7

: 5 4 5 7 8 2 4 5 : 7 9 5 3 5 4 " # 2 4 ( " 9 2 7 @ 8 4 P @ G

F 5 6 8 : "

4 2 : ! 8 4 " 2 7 8 7 2 " 9 + 7 9 " 2 2 4 4 " 8 8 ( 5 9 7 2 #

9 5 ( 5 * 4 " # 7 8 7 2 5 7 1 / 8 2 2 3 " 5 7 5 ( 4 4 7 2 + $

. 8 % 4 2 4 4 " % ; 2 9 + 3 " # 5 6 " 6 5 7 9 2 4 $

4 " # 5 8 4 ; 5 9 " 5 3 : ( 5 9 9 # : ( 4 " # 8 4 2 : ! 8 4 " 7 8 $

7 2 # 5 7 1 2 + 5 8 4 8 5 * 2 : 2 ( ! 5 9 2 : $

* 2 4 8 2 7 5 7 9 2 7 5 2 : * 4 8 2 P @ 8 @ F : 8 : @ 4 5 6 8 : @

& 8 2 % 4 ; : 2 ! % 4 , 2 % 4 ' 2 !

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4 5 % 7 8 7 2 " 5 7 1 2 ; : 5 % 8 4 2 : ! 8 4 5 % 7 8 7 2 2 5 $

7 1 2 3 5 3 . 2 4 8 2 5 6 " 4 " # ; 5 9 9 2 7 !

@ , $ ) # E C # C B

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@ , $ ) # E C # C B

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2 7 9 5 3 5 4 5 2 2 5 9 + 3 5 % 8 4 2 : ! 8 4 5 % 7 8 7 2 2

5 7 1 / 9 8 * 2 7 : 9 4 5 2 : 4 5 8 6 : 5 8 4 2 % 4 5

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9 2 : * 2 4 8 2 5 5 1 5 ( ; 5 4 " 2 # 4 8 ; 8 4 2 8 ( 2 4 + 7

6 : 8 6 2 : 2 # 5 2 5 5 4 5 % 8 4 2 : ! 8 4 5 % 7 8 7 2 " 5 7 1 / S ;

: 5 % 8 4 2 : ! 8 4 5 % 7 8 7 2 2 5 7 1 / S ′ 7 5 2 : * 8 6 5 7 . 2 $

7 9 7 2 + . 8 % : 9 2 : * 2 4 8 %

; 5 4 " 2 # 4 8 ; 8 4 2 8 ( 2 4 + 7 6 : 8 7 9 8 2 7 8 7 2 " 5 $

7 1 / 4 6 : 5 8 ( 9 5 4 " % 9 2 ; 5 : (a, b, c) 2 6 : 8 6 : 2 53 : ( 5 9 $

4 8 # 9 8 & : 8 7 '

x = x′ + a, y = y′ + b, z = z′ + c, t′ = t .

! 5 9 2 : * 2 4 8 2 9 2 7 7 2 7 9 8 2 6 : 2 6 5 5 * 2 4 8 5 3 5 $

4 5 : 5 4 5 7 8 6 : 5 7 : 4 7 9 2 5 3 5 7 7 9 8 8 ; ; 8 # $ 8 3 5 9 " $

2 2 4 4 " # 9 6 : 5 7 : 4 7 9 2 5 1 2 ;

J %1 1%P ? ) * B E ?

< ; 5 4 " 2 # 4 8 ; 8 4 2 8 ( 2 4 + 7 6 : 8 6 5 9 5 : 5 2 7 8 7 2 "

5 7 1 / 5 4 5 7 8 2 4 5 6 : 5 8 ( 9 5 4 5 % 5 7 8 4 6 : 8 2 : 6 : 8 6 5 9 5 $

x ?

J %1 .%I ) B E ?

: 5 2 9 5 ; : 5 7 8 z 4 5 ϕ

& : 8 7 < ' 2

x = x′ cos ϕ− y′ sin ϕ, y = y′ cos ϕ + x′ sin ϕ, z = z′, t′ = t .

! 5 9 2 : * 2 4 8 2 9 2 7 7 2 7 9 8 2 6 : 2 6 5 5 * 2 4 8 5 3 8 ( 5 $

: 5 6 8 8 6 : 5 7 : 4 7 9 2 5 3 5 7 7 9 8 8 ; ; 8 # $ 8 3 5 9 " 2 2 4 $

4 " # 9 4 / 4 6 : 9 2 4 8 %

; 5 4 " 2 # 4 8 ; 8 4 2 8 ( 2 4 + 7 6 : 8 7 9 8 2 6 5 5 7 8 9 : 2 $

2 4 8 2 6 : 8 6 : 2 5 3 : ( 5 9 4 8 # 9 8

x = x′, y = y′, z = z′, t = t′ + τ .

! 5 7 2 7 9 8 2 6 : 2 6 5 5 * 2 4 8 5 3 5 4 5 : 5 4 5 7 8 9 : 2 2 4 8 2

5 3 5 7 7 9 8 8 1 2 $ 8 3 5 9 " 2 2 4 4 " # 5 2 4 5 9 9 : 2 2 4 8

; 5 4 " 2 # 4 8 ; 8 4 2 8 ( 2 4 + 7 6 : 8 6 : 2 5 3 : ( 5 9 4 8 #

7 5 5 9 2 7 9 + . 8 # : 9 4 5 2 : 4 5 6 5 7 6 2 4 5 & 3 2 ( 9 : $

. 2 4 8 ' 9 8 * 2 4 8 + 7 8 7 2 " 5 7 1 / S ′ 5 4 5 7 8 2 4 5 8 4 2 : ! 8 $

4 5 % 7 8 7 2 " 5 7 1 / S 7 4 2 ; 5 5 : 5 % 6 5 7 5 4 4 5 % 7 ; 5 : 5 7 +

V = const 2 9 7 5 5 9 2 7 9 + . 8 % 7 9 8 8 6 5 9 5 : 5 9 6 : 5 $

7 : 4 7 9 2 8 7 9 8 6 5 5 7 8 9 : 2 2 4 8 " 5 * 2 6 : 8 9 2 7 8 ) 8

9 2 8 4 2 : ! 8 4 " 2 7 8 7 2 " ; 7 4 : 4 5 % 7 # 2 2 6 : 8 ; 5 5 : 5 %

x x

J %1 ;%c = E B E # H S

t, x, y, z

S ′ t′, x′, y′, z′

9 ) 8 # 9 # 7 8 7 2 # 9 4 1 4 " % 5 2 4 9 : 2 2 4 8 t = t′ = 0

4 1 5 7 1 / 8 4 6 : 9 2 4 8 5 7 2 % 7 5 9 6 + 8 5 7 8 x 8 x′

6 : 2 4 " 6 5 7 5 4 4 5 9 2 ; 5 : 7 ; 5 : 5 7 8 V

& : 8 7 '

8 ( ; 5 4 5 9 6 : 2 5 3 : ( 5 9 4 8 ; 5 5 : 8 4 8 9 : 2 2 4 8 7 . 2 $

7 9 2 4 4 5 : ( 8 1 2 7 9 4 2 : 2 8 9 8 7 7 ; 5 % 2 # 4 8 ; 2 & 6 : 2 5 3 : $

( 5 9 4 8 8 2 ' 8 9 : 2 8 9 8 7 7 ; 5 % 2 # 4 8 ; 2 & 6 : 2 5 3 : ( 5 9 $

4 8 5 : 2 4 ! ' 1 5 7 9 ( 4 5 7 : ( 8 1 8 2 9 5 7 4 5 9 4 " # 6 5 5 * 2 $

4 8 # & 6 5 7 # ' ) 8 # 9 # 2 5 : 8 %

! ! " !

; 8 1 2 7 ; 8 4 2 : 2 8 9 8 7 7 ; 8 2 5 : " 6 : 2 5 3 : ( 5 9 4 8

; 5 5 : 8 4 r = r′ + Vt 8 7 ; 5 : 5 7 2 % v = v′ + V 8 ( 9 2 7 4 " 8 (

, ; 5 4 5 5 ; : 7 8 ( 8 ; 8 8 ; * 7 9 6 5 4 2 5 1 2 9 8 4 " 8 5

* 2 9 : 2 7 5 5 9 2 7 9 + . 8 2 : 2 8 9 8 7 7 ; 8 2 5 : " 9 " $

7 : 4 4 " 8 8 4 2 6 5 4 4 " 8 1 5 3 " 6 : 5 . 2 6 : 5 7 2 8 8 7 $

5 ; 8 : ( 8 1 8 9 ) 8 # 5 : # 6 5 2 ( 4 5 6 : 5 4 8 ( 8 : 5 9

x

8 ( ; ; 8 # 6 : 2 6 5 5 * 2 4 8 % 6 5 9 + 7 6 5 4 4 " 2 8 5 1 2 9 8 4 " 2

4 2 : 2 8 9 8 7 7 ; 8 2 5 : " ; 5 % 4 8 ( 4 6 2 : 9 " % 9 (

; * 2 7 7 5 9 2 : , 2 4 4 5 8 ( 8 , 4 8 3 ; 9 5 2 7 ; 8 5 4 ; 5 5 4 6 5 $

5 * 2 5 7 5 ( 4 9 ; ; 5 6 4 ; 2 6 : 5 # 5 8 9 5 5 : ( 2 2 *

6 : 2 5 3 : ( 5 9 4 8 8 8 2 8 5 : 2 4 !

4 2 : 2 8 9 8 7 7 ; 5 % 2 # 4 8 ; 2 6 : 2 6 5 + 7 7 6 : 9 2 8 $

9 " 8 7 2 + . 8 2 5 3 5 3 . 2 4 8 5 6 " 4 " # 4 4 " # 6 5 1 2 4 4 " 2

6 : 8 7 ; 5 : 5 7 # v c 2

: 5 8 4 P @ 8 @ : 8 : @ 4 5 6 8 : @

: I 7 F : B 8 4 @ J 4 8 4 P @ 4 P 4 : I 4 : : I 8 : " @ 8 4 P G

@ F 5 6 8 : " @ 4 : 7 A F 9 I P H : " @ 8 4 P @ F 5 6 8 : " @ 4

: 7 A F 2

t = t′ .

P : I : 5 6 8 4 P F J 4 P 4 5 8 4 @ J 4 8 & ; ; 6 5 ; ( 4 5

4 8 * 2 5 6 5 4 8 2 4 " % 6 5 7 5 4 2 8 ( 2 4 4 5 7 8 6 5 6 2 : 2 1 4 5 5

: ( 2 : 2 4 2 4 * 2 4 ' 5 : 8 ( 5 9 4 4 5 9 8 2 ) 5 9 2 : $

* 2 4 8 2 9 " 8 7 2 + . 8 5 3 : ( 5 6 : 2 2 8 7 4 1

6 5 4 8 2 : ( 2 : 2 4 2 6 5 9 8 * 4 5 5& 9 S ′ $ 8 7 2 2 ' 2 $

: 7 7 5 4 8 2 2 * 9 2 5 5 1 ; 8 l′12 = |r′1 − r′2| 5 * 2

3 " 8 ( 2 : 2 4 5 6 : 5 7 " 7 : 9 4 2 4 8 2 ) 5 5 : 7 7 5 4 8 7 ) 5 $

4 5 6 : 8 1 / ; 5 5 : 8 4 " ; 5 4 ! 5 9 r′1

8 r′2

5 3 " 8 ( 2 : 2 4 "

9 5 8 4 8 5 * 2 8 8 : ( 4 " 2 5 2 4 " 9 : 2 2 4 8 & 9 2 2 5 6 5 ; 5 $

8 7 9 S ′ $ 7 8 7 2 2 ' 9 8 * . 2 5 7 & 9 S $ 7 8 7 2 2' 2 2 7 2 $

7 9 2 4 4 5 5 6 : 2 2 8 2 5 : ( 2 : 1 2 : 2 ( : 7 7 5 4 8 2 l12

2 * 2 $

8 * 2 9 2 5 5 1 ; 8 r1

8 r2 9 ( " 8 9 5 8 4 8 5 * 2 & 9

S $ 7 8 7 2 2' 5 2 4 9 : 2 2 4 8 t 5 2 7 l12 =| r1(t)− r2(t) | $

; 8 5 3 : ( 5 4 4 " % 6 5 7 9 2 : * 2 7 2 + . 2 2 2 2 7 8

9 2 5 1 ; 8 7 6 : 5 5 4 " 8 ; 5 5 : 8 4 8 x′1

8 x′2

4 2 6 5 9 8 * 4 "

9 7 8 7 2 2 S ′ 5 9 7 8 7 2 2 S 9 ; 5 5 : 5 % ) 8 5 1 ; 8 9 8 * 7

6 : 5 5 4 5 2 : 7 7 5 4 8 2

x1(t) − x2(t) = x′1 − x′

2 .

x S

9 2 : * 2 4 8 5 * 4 5 3 " 5 3 " 4 ( 9 6 5 7 8 $

8 2 2 : 9 " 2 7 2 7 9 8 8 ( ) 8 # 6 5 7 5 9 2

5 3 " 8 5 4 5 9 : 2 2 4 4 " 2 9 5 4 5 % 8 4 2 : ! 8 4 5 % 7 8 7 2 $

2 5 7 1 2 9 5 8 1 2 7 ; 8 5 ; ( " 9 + 7 5 4 5 9 : 2 2 4 4 " 8 8 9

+ 3 " # : 8 # 8 4 2 : ! 8 4 " # 7 8 7 2 # 5 7 1 2 & 9 2 t = t′

R '

; 1 5 B 8 4 P 4 5 @ B @ 9 : " 4 F 8 @ 9 4 : I 8 : B P 4 4 8 8 : 6 B G

5 4 F : 5 8 : 8 @ 4 ! 5 9 2 : * 2 4 8 2 ; * 2 7

4 7 5 ; 5 7 5 5 1 2 9 8 4 " 1 5 2 5 4 : , 2 4 8 2 9 : 2 8 9 8 7 $

7 ; 5 % 5 3 7 8 5 ; ( 5 7 4 8 3 5 2 2 3 5 2 ( 4 2 4 4 5 9 5 7 6 : 8 4 8 2 $

" ; 5 4 5 9 5 % 2 5 : 8 8

J %1 :%F ? ) D ? ) + =

: 4 P 4 7 8 4 P F J 4 P I B @ 4 H : 4 5 F 8 4 @ J 4 8 G

1 5 6 : 5 7 2 2 8 ( 6 : 8 4 ! 8 6 5 4 5 7 8 2 4 5 7 8 8 8 ( 5 : 5 $

6 8 8 6 : 5 7 : 4 7 9 7 7 5 : 8 5 4 5 7 8 2 4 5 2 9 8 * 2 4 8 9 #

5 8 4 ; 5 9 " # ; 5 2 ! 9 7 8 7 2 2 6 5 ; 5 5 4 5 5 8 8 : 5 5 ; 5 !

& : 8 7 '

2 4 : " ; 5 2 ! : 7 6 5 5 * 2 4 " 4 5 4 5 % 5 7 8 & 5 7 8 x

'

6 5 7 ; 5 7 8 ; 5 2 ! 6 2 : 6 2 4 8 ; : 4 " ) 5 % 5 7 8

4 1 6 : 5 9 2 / : 7 7 5 : 2 4 8 2 9 7 8 7 2 2 5 7 1 / 9 ; 5 5 $

: 5 % 9 5 : 5 2 ; 5 ! 5 & 2 5 : 8 7 : 9 2 4 R

' 6 5 ; 5 8 7 6 2 : 9 5 2

9 8 * 2 7 7 5 7 ; 5 : 5 7 + V 9 5 5 7 8 x 6 5 7 ; 5 7 8 ; 5 !

9 7 2 4 6 : 9 2 4 8 : 9 4 5 6 : 9 4 " 6 5 ) 5 6 2 : 9 5 5 ; 5 ! 5 $

* 2 8 ( 2 4 8 7 5 ; 5 2 5 : 8 7 : 2 6 5 5 * 8 1 5 : 8 7

9 8 * . 2 5 7 ; 5 ! 2 4 , 2 R 5 6 2 : 9 5 2 ; 5 ! 5 6 : 5 % /

9 4 : 8 9 5 : 5 5

x

2 6 : 5 9 2 / : 7 7 5 : 2 4 8 2 9 7 8 7 2 2 5 7 1 / 9 ; 5 5 $

: 5 % 6 2 : 9 5 2 ; 5 ! 5 & 2 5 : 8 7 : 9 2 4 R

' 6 5 ; 5 8 7 5 9 5 $

: 5 2 9 8 * 2 7 7 5 7 ; 5 : 5 7 + V 6 : 5 8 9 5 7 8 x 5 7 4 5 4 , 2 $

6 : 2 6 5 5 * 2 4 8 + : 8 7 9 8 * . 2 5 7 ; 5 ! & 4 ) 5 : (

9 5 : 5 5 ' 2 4 , 2 R

! 5 5 ( 4 1 2 1 5 9 4 4 5 7 1 2 9 5 $

: 5 2 ; 5 ! 5 6 : 5 % / 9 4 : 8 6 2 : 9 5 5 4 ; 5 ) 5 6 : 5 8 9 5 : 2 $

1 8 6 : 8 4 ! 8 6 5 4 5 7 8 2 4 5 7 8 7 5 7 4 5 ; 5 5 : 5 : 2 (

4 2 5 * 2 4 ( 9 8 7 2 5 9 " 3 : 4 4 5 % 7 8 7 2 " 5 7 1 / 7 +

7 2 2 1 5 4 , 2 8 7 # 5 4 5 2 6 : 2 6 5 5 * 2 4 8 2 5 5 1 5 : 8 7

9 8 * . 2 5 7 ; 5 ! 2 4 , 2 R 5 , 8 3 5 1 4 5

5 1 4 5 ; 8 8 * 2 : 7 7 * 2 4 8 8 5 * 4 5 6 5 ; ( 1 5 : $

8 7 9 8 * . 2 5 7 ; 5 ! 4 2 5 * 2 3 " 3 5 , 2 R 8 5 2

" 6 : 8 # 5 8 ; 9 " 9 5 1 5 6 2 : 2 1 4 " 2 : ( 2 : " 9 8 * . 2 5 7

2 4 2 8 ( 2 4 + 7 6 5 ) 5 4 2 8 ( 2 4 + 7 8 6 5 6 2 : 2 1 4 " 2

; 5 5 : 8 4 " 2

y = y′, z = z′ .

P : I : 5 6 8 4 9 : : P I @ 8 F @ J 4 8 8 F B 4 5 @ 7 @ 8 V t

P : " I 4 8 8 : H : @ 4 : " S ′ @ 2

x = x′ + V t .

7 + 7 1 / 5 ( ; 5 4 6 : 2 5 3 : ( 5 9 4 8 9 : 2 2 4 8 t = t′ 6 5 $

1 2

x = x′ + V t′ .

; 8 5 3 : ( 5 P 4 : P F J : B F 8 @ ? F 5 @ 5 4 8 2 + 9 8

x = x′ + V t′, y = y′, z = z′, t = t′ 8 8 r = r′ + Vt′, t = t′ .(4.1a) 3 : 4 " 2 6 : 2 5 3 : ( 5 9 4 8 8 2 6 5 1 + 7 5 7 + ( 2 $

4 8

r ↔ r′, t ↔ t′, V → −V (4.2)

x

8 8 2 2 9 8

x′ = x − V t, y′ = y, z′ = z, t′ = t 8 8 r′ = r − Vt, t′ = t.

(4.1b) 6 : 2 2 8 9 7 ; 5 : 5 7 1 7 8 ! " 9 7 8 7 2 2 S 7 5 5 4 5 , 2 4 8 2

v =dr

dt,

9 7 8 7 2 2 S ′ 7 5 5 4 5 , 2 4 8 2

v′ =dr′

dt′,

6 5 1 8 8 ( 6 : 2 5 3 : ( 5 9 4 8 % 8 2 ; 5 5 : 8 4 8 9 : 2 2 $

4 8 & ' 8 4 P 4 5 @ B @ 9 @ " J F 9 : 8 P 4 : P F J : B F 8 @ 9 : P : 4 " 2

vx = v′x + V, vy = v′y, vz = v′z (4.3a)

8 8

v = v′ + V. (4.3b)

4 5 8 1 4 5 7 ; 5 : 2 4 8 a = dv/dt 9 S $ 7 8 7 2 2 8 7 ; 5 $

: 2 4 8 a′ = dv′/dt′ 9 S ′ $ 7 8 7 2 2 8 ( & ' & ' 6 5 1 2

a = a′ , (4.4) 2 9 ! !

" !

6 5 4 8 ; * 2 1 5 : ( 2 : " 2 & 9 2 8 1 8 4 l12

' 8 9 : 2

t 9 + 7 8 4 9 : 8 4 8 6 : 2 5 3 : ( 5 9 4 8 % 8 2

m

; 9 5 ( : 5 % 6 1 / & 5 . 8 4 : 5 h ; 5 4 ! 2 4 : ! 8

n

' 9 8 + . 8 # 7 7 5 7 ; 5 : 5 7 + u 6 : 5 2 2 : 5 8 2 $

+ . 2 2 7 ; 5 : 5 7 v 6 : 8 1 / 7 ; 5 : 5 7 8 : 5 8 : 9 ( 8 4 5

x

J %1 9%K C ? # : %1

5 : 5 5 4 4 " u ⊥ v

& : 8 7 '

: 2 6 5

1 5 7 ; 5 : 5 7 8 : 5 8 $

: 4 2 8 ( 2 4 + 7 4 % $

8 ; 5 8 1 2 7 9 5 6 1 / ; 5 5 $

: " # ; 5 7 4 / 7 : 5 8 $

7 : R

J %1 3%K C ? # : %.

5 ; 5 : 3 + 9 8 * . 2 7 8 ( 6 4 ; A 7 ; 5 5 : 8 4 $

8 (0; 5) ; 9 6 4 ; B 7 ; 5 5 : 8 4 8 (5; 0) ; 7 5 7 ; 5 : 5 7 +

u = 50 ; 1 9 " 6 . 2 4 5 : 6 2 2 / 7 ; 5 : 5 7 v = 200 ; 1

& : 8 7 N '

: : ; 2 " 8 ( 4 1 ; 5 5 : 8 4 8 ; 5 : 3 8 (

5 1 ; 8 A 6 : 5 8 7 # 5 8 5 4 5 9 : 2 2 4 4 5 5 ; ; 8 5 α 5 * $

4 3 " 9 " 6 . 2 4 5 : 6 2 1 5 3 " 5 4 6 5 6 9 ; 5 : 3 1 2 $

: 2 ( ; ; 5 2 9 : 2 5 : 6 2 6 5 : ( 8 ! 2

3 5 8 7 4 # 5 8 7 9 < = 5 6 : 5 8 4 2 % 4 5 % : $

2 ; 5 : 8 8 1 ; 5 : 5 7 1 = 7 ; 5 : 5 7 3 5 8 $

7 7 : 8 ; ; 8 # 4 1 4 " # 6 5 5 * 2 4 8 # 1 3 5 8 7

7 5 * 2 5 4 2 5

; 5 9 3 2 6 : 5 5 * 8 2 4 5 7 6 5 / 7 5 / 8 (

M 5 7 ; 9 " 9 2 2 : 3 : 8 5 3 : 4 5 6 : 5 8 7 # 5 . 2 5 6 5 6 : 5 % 2 7 $

§

x

8 9 2 1 2 4 8 2 9 7 2 5 6 5 / 9 2 2 : 2 7 5 7 ; 5 : 5 7 + u 6 5 5

α ; 8 4 8 8 6 5 / ; 5 : 5 7 7 5 / 5 4 5 7 8 2 4 5 9 5 ( #

v : 7 7 5 4 8 2 5 M 5 7 ; 9 " 5 2 2 : 3 : L

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4 8 8 2 4 2 9 2 : 4 " 6 : 8 2 : 5 4 8 * 2 9 8 * . 7 8

4 # 5 . 7 9 6 5 ; 5 2 4 2 7 3 8 4 1 7 8 ! 8 2 2 : ( 4 5 2 9 : 2 $

* 8 ( 4 8 O 7 ; 5 : 5 7 7 9 2 8 7 6 . 2 4 4 5 5 6 5 8 6 : 5 8 9 9 8 * 2 4 8

2 8 5 ; ( " 9 2 7 5 4 5 % 8 5 % * 2 O 4 8 4 5 4 5 7 ; 5 : 8 2 2

4 2 5 7 : ( 5 4 1 7 8 ! " 5 7 ; 5 : 5 7 2 % 6 : 2 9 " , + . 8 #

7 ; 5 : 5 7 7 9 2 9 9 ; 2 c 8

p

5 9 5 ; 6 4 5 7 5 2 1 2 4 4 " # ; 5 9 & 8 4 5 8 # : 8 # R ' 5 * $

4 5 5 3 7 4 8 2 7 8 6 : 8 4 7 2 + . 8 2 6 5 7 " & ! % 4 $

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P @ 8 @ : 8 : @ 4 5 6 8 : @ P F B 4 I 5 @ B 8 4 : 5 6 9 : I 5

4 F 8 @ 7 4 9 @ 9 F 9 : 5 : ? F 5 @ 5 4 > 8 : @I 5 5 I P G

H @ B 7 F 8 : @ > 5 4 9 P : F H 8 @ 8 @ J @ 7 4 9 @ B 5 4 8 @ " <

E 4 B 4 P 4 I 4 5 6 8 F 9 : P : 6 I B @ 4 8 @ 7 F @ @

P F P : P F 8 4 8 @ B J F @ : I 4 " B @ " 4 4 B 4 8 8 : > : 8 FI : 5 G

8 F 6 : I 8 : " @ : " 4 B P F J 5 @ 7 8 @ 8 4 P @ F 5 6 8 @ 4 G

F : 7 4 F F P 4 I 4 5 6 8 F 9 : P : 6 : B F I F 4 : 9 : P : G

6 B 4 F B : 4 c < 2 : 9 " 2 7 2 7 9 8 8 ( ) 8 # 6 5 7 5 9 2

8 : @ 4 5 6 8 : 6 : I 8 : B P 4 4 8 8 : @ 7 8 9 4 2 : 2 8 $

9 8 7 7 ; 5 % 2 # 4 8 ; 2 7 5 3 " 8 5 4 5 9 : 2 2 4 4 " 2 9 5 4 5 % 8 4 2 : ! 8 $

4 5 % 7 8 7 2 2 5 7 1 2 9 5 8 1 2 7 ; 8 5 ; ( " 9 8 7 5 4 5 9 : 2 $

2 4 4 " 8 8 9 + 3 " # : 8 # 8 4 2 : ! 8 4 " # 7 8 7 2 # 5 7 1 2

5 2 6 2 : : I 8 : B P 4 4 8 8 : 6 F 8 : B @ : 8 : @ 4 5 6 8 : G

8 @ 4

: 8 2 : 2 9 7 9 2 5 9 " # 7 8 4 6 : 8 , 2 , 8 # 8 ( 7 2 : 2 8 4 "

: 2 8 9 8 7 7 ; 5 5 6 5 2 ( ; 2 5 ; 5 4 ! A 8 B

& : 8 7 > ' 7 8 $

7 2 2 S ′ & 6 5 2 ( ' ) 8 7 5 3 " 8 5 4 5 9 : 2 2 4 4 "

t′A = t′B =l′/2

c,

2 l′ - 8 4 6 5 2 ( 9 2 5 7 8 7 2 2 6 5 ; 5 7 8 7 2 2 S

& 6 2 : $

: 5 4 ' 7 9 2 7 5 7 4 5 9 5 : 5 6 5 7 9 8 * 2 7 6 5 8 6 : 5 $

8 9 9 8 * 2 4 8 6 5 2 ( 7 5 4 5 % 8 5 % * 2 7 ; 5 : 5 7 + c 6 5 ) 5

- & ) ? ? ) B - ) * B E B r & B B %

M = & ? D & $ C ) - C ) E ) & ? ) * B ,

B - E C B + ) ) & & ? C ? @

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) $ ? B & & = &

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C ) M = ) G & + ? $ E B B B # B & H B B -

B G * + $ @ A C # @ B E ) ) + G ) @ B ,

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J %1 0%J ) @ & C ?

5 4 7 6 2 : 9 5 7 8 2 9 8 * . 2 5 7 4 9 7 : 2 1 7 5 7 ; 5 : 5 7 + V

# 9 5 7 5 9 5 5 9 5 4 B 5 ; 5 6 5 5 3 2 + . 2 5 5 5 9 4 5 5

9 5 4 A ; 8 53 : ( 5

tA =l/2

c − V> tB =

l/2

c + V,

2 l - 8 4 6 5 2 ( 9 7 8 7 2 2 S

: 4 P 4 7 8 4 P F J 4 P I B @ 4 H : 4 5 F 8 4 @ J 4 8 G

! 5 9 2 : * 2 4 8 2 5 7 4 5 9 4 5 4 6 : 8 4 ! 8 6 2 5 4 5 7 8 2 4 5 7 8

8 8 ( 5 : 5 6 8 8 6 : 5 7 : 4 7 9 8 6 5 5 7 6 : 9 2 8 9 5 8 9 : 2 8 $

9 8 7 7 ; 5 % 2 # 4 8 ; 2 7 + & ; ; 8 9 4 2 : 2 8 9 8 7 7 ; 5 7 $

1 2 ' 7 2 2 ( ; 5 4 6 : 2 5 3 : ( 5 9 4 8 6 5 6 2 : 2 1 4 " # ; 5 5 : 8 4 2

y = y′ , z = z′ .

pm

7 7 5 : 8 : 7 6 : 5 7 : 4 2 4 8 2 7 9 2 5 9 5 5 7 8 4 2 *

9 4 2 6 5 9 8 * 4 " 8 9 S ′ $ 7 8 7 2 2 ( 2 : ; 8 : 7 6 5 5 * 2 4 $

4 " 8 9 5 5 7 8 y′ 6 5 7 ; 5 7 8 ; 5 5 : " # 5 : 5 5 4 4 " ) 5 % 5 7 8 7 9 S ′ $ 7 8 7 2 2 : 7 6 : 5 7 : 4 2 4 8 2 ) 5 5 7 8 4 8 ( 5 1 ; 8

A 9 5 1 ; B 8 5 3 : 4 5 9 5 5 7 8 y′ 6 : 5 8 7 # 5 8 ( 9 : 2 ∆t′

?

2 y′B − y′A = 12 c ∆t′

& : 8 7 F '

7 8 7 2 2 S ) 5 * 2 7 8 4 6 : 5 # 5 8 6 8 ( 5 1 ; 8 A1

9

5 1 ; B 8 5 3 : 4 5 9 5 1 ; A2

& 7 : 8 7 ' ( 9 : 2 ∆t

6 : 8 1 /

(

1

2c∆t

)2

= (yB − yA)2 +

(

1

2V ∆t

)2

=

(

1

2c∆t′

)2

+

(

1

2V ∆t

)2

,

5 7 + 7 2 2 1 5

∆t′ =√

1 − (V/c)2 · ∆t , (5.1)

5 2 7 ∆t′ < ∆t - I B @ @ 4 7 F @ I 4 I 5 4 8 8 4 4 : 9 : G

@ 9

γ =1

√

1 − (V/c)2

: ( J %1 2%w ) D + # ) B D ? + ! > & ? ) D E B ) S ′ , B

$ > ? ) D + B ) S , B C B - & D E B ) ?

y′

5 1 2 : ; 4 2 1 5 9 S ′ $ 7 8 7 2 2 7 5 3 " 8 5 ; 5 5 : " # 8 2

: 2 1 6 : 5 8 7 # 5 9 5 4 5 % 8 5 % * 2 5 1 ; 2 A 9 7 8 7 2 2 S

- 9 : ( 4 " # 5 1 ; # A1

8 A2.

x

p

7 7 5 : 8 5 * 2 5 6 " 4 5 7 ( 2 : ; 8 : 7 6 5 5 * 2 4 4 " $

8 9 5 5 7 8 x′ 6 5 7 ; 5 7 8 ; 5 5 : " # 5 : 5 5 4 4 " ) 5 % 5 7 8

& : 8 7 Q ' S ′ $ 7 8 7 2 2 c∆t′ = 2l′ 2 l′ = x′B − x′

A

- 8 $

4 7 2 : * 4 4 ; 5 4 ! # ; 5 5 : 5 5 7 4 5 9 2 4 " 4 2 6 5 9 8 * 4 " 2 9

) 5 % 7 8 7 2 2 ( 2 : ; S $ 7 8 7 2 2∆t = ∆t1 + ∆t2 ,

2

c∆t1,2 = l ± V ∆t1,2 .

2 7 l - 8 4 9 8 * . 2 5 7 7 2 : * 4 7 ( 2 : ; 8 7 +

∆t =l

c − V+

l

c + V=

2l

c [1 − (V/c)2]

8 7 1 2 5 & ' 6 5 1 8

l =√

1 − (V/c)2 · l′ , (5.2)

2 l < l′ - P : I : 5 6 8 4 P F J 4 P I B @ 4 H : 4 5 F : 9 P F G

F 9 γ : ( 5 1 2 : ; 4 2 1 5 l′ = x′B − x′

A

2 ; 5 5 : 8 4 " ; 5 4 ! 5 9

7 2 : * 4 x′A

8 x′B

5 3 " 8 ( 2 : 2 4 " 9 5 8 4 8 5 * 2 8 8

: ( 4 " 2 5 2 4 " 9 : 2 2 4 8 & 9 2 7 2 : * 2 4 6 5 ; 5 8 7 9 S ′ $ 7 8 7 $

2 2 ' l = xB − xA 2 ; 5 5 : 8 4 " ; 5 4 ! 5 9 9 8 * . 2 5 7

7 2 : * 4 xA

8 xB

4 2 6 : 2 2 4 4 5 5 * 4 " 3 " 8 ( 2 : 2 4 " 9 5 8 4

8 5 * 2 & 9 7 8 7 2 2 S

' 5 2 4 9 : 2 2 4 8

! " ! !

! " ! !

7 4 2 ; 5 5 : 5 7 5 3 " 8 + 9 S ′ $ 7 8 7 2 2 7 5 5 9 2 7 9 + ; 5 $

5 : 8 4 " x′, y′, z′ 8 9 : 2 t′ 9 7 8 7 2 2 S - ; 5 5 : 8 4 "

J %1 8%w ) D + # ) B D ? + ! > & ? ) D E B ) S ′ , B

$ > ? ) D + B ) S , B C B - & D E B ) ?

x′

x, y, z 8 9 : 2 t 5 6 2 : 2 1 4 " 2 : ( 2 : " 8 ; 5 5 : 8 4 " 4 2 8 ( $

2 4 + 7 2 y′ = y, z′ = z

J %. /%K ) E ) ? + & $ C ) @ M =

: 5 5 4 ; 5 5 : 8 4 x 7 ; " 9 2 7 8 ( : 7 7 5 4 8 V t

5 4 1 5 7 1 2 O′ 7 8 7 2 " S ′ 8 7 5 ; : . 2 4 4 5 % 8 4 " 9 8 $

* . 2 5 7 5 : 2 ( ; O′x′ & : 8 7 < = ' 2

x = V t +√

1 − (V/c)2 · x′ ,

5 ; 4 # 5 8

x′ =x − V t

√

1 − (V/c)2. (6.1)

S

3 : 4 5 2 6 : 2 5 3 : ( 5 9 4 8 2 6 5 1 2 7 5 7 + 6 : 5 7 " 8 ( 2 $

4 8 x ↔ x′, t → t′, V → −V

& 7 & < ' ' 8 8 2 2 9 8 x =

x′ + V t′√

1 − (V/c)2.

5 7 9 8 9 ) 5 9 " : * 2 4 8 2 9 & ' 4 % / t =

t′ + V x′/c2

√

1 − (V/c)2.

3 : 4 5 2 6 : 2 5 3 : ( 5 9 4 8 2 2

t′ =t − V x/c2

√

1 − (V/c)2.

8 5 2 6 5 1 2 6 : " 2 8 5 3 : 4 " 2 6 : 2 5 3 : ( 5 9 4 8 5 $

: 2 4 ! 2

x = γ(x′ + V t′), y = y′, z = z′, t = γ

(

t′ +V

c2x′)

, (6.2a)

x′ = γ(x − V t), y′ = y, z′ = z, t′ = γ

(

t − V

c2x

)

. (6.2b)

2 7 γ =

1√

1 − (V/c)2- ; 4 ( " 9 2 " % 5 : P 4 8 G F 9 : P 4 2 : 2 8 9 8 7 7 ; 5 6 : 2 $

2 2 6 : 8 V c 5 : 2 4 ! $ ; 5 : : 9 2 4 1 6 : 2 53 : ( 5 9 4 8

5 : 2 4 ! & < ' 7 5 9 6 + 7 6 : 2 5 3 : ( 5 9 4 8 8 8 2 & '

5 : " & < ' 9 " 6 8 7 4 " 1 7 4 5 5 9 " 3 5 : 5 7 8 x 9 5

4 6 : 9 2 4 8 7 ; 5 : 5 7 8 V

2 : 4 5 6 5 1 8 4 5 8 1 4 " 2

5 : " 6 : 8 6 : 5 8 ( 9 5 4 5 2 2 * 5 7 + x 8 7 ; 5 : 5 7 +

V

) 5 5 5 7 5 1 4 5 6 : 2 7 9 8 9 2 ; 5 : r 9 9 8 2 9 #

7 5 7 9 + . 8 # 2 r‖ - 9 5 9 2 ; 5 : 7 ; 5 : 5 7 8 V 8 r⊥ - 9 6 5 $

6 2 : 2 1 4 5 4 6 : 9 2 4 8 8 2

r = r‖ + r⊥ , r‖ = V(Vr)

V 2 , r⊥ = r − r‖ ,

( 2 6 2 : 2 6 8 7 & <a

' 9 9 8 2

r‖ = γ(

r′‖ + Vt′)

, r⊥ = r′⊥ , t = γ

(

t′ +(Vr′)

c2

)

. (6.2c)

( : 9 2 4 7 9 & <a

' 4 # 5 8

dx = γ(dx′ + V dt′), dy = dy′, dz = dz′, dt = γ

(

dt′ +V

c2dx′)

8 ( ; 5 4 6 : 2 5 3 : ( 5 9 4 8 ; 5 6 5 4 2 4 7 ; 5 : 5 7 8 v = dr/dt 9 7 8 $

7 2 2 S 1 2 : 2 ( ; 5 6 5 4 2 4 " 7 ; 5 : 5 7 8 v′ = dr′/dt′ 9 S ′ $ 7 8 7 2 2 2

vx =v′x + V

1 +v′xV

c2

, vy =v′y/γ

1 +v′xV

c2

, vz =v′z/γ

1 +v′xV

c2

. (6.3)

3 : 4 5 2 6 : 2 5 3 : ( 5 9 4 8 2 6 5 1 2 7 5 7 + 8 ( 9 2 7 4 5 % ( 2 $

4 5 % v ↔ v′, V → −V 8 8 2 2 9 8

v′x =vx − V

1 − vxV

c2

, v′y =vy/γ

1 − vxV

c2

, v′z =vz/γ

1 − vxV

c2

. (6.4)

6 : 2 2 4 5 7 1 8 V c 5 7 + 6 5 1 + 7 5 : $

" 4 2 : 2 8 9 8 7 7 ; 5 5 6 : 2 5 3 : ( 5 9 4 8 7 ; 5 : 5 7 8 & ' 7 $

7 5 : 8 2 6 2 : : 5 % 6 : 2 2 4 " % 7 1 % ; 5 7 ; 5 : 5 7

v′ = (c, 0, 0) 1 5 7 5 5 9 2 7 9 2 : 7 6 : 5 7 : 4 2 4 8 + 7 9 2 9 5

5 7 8 x′ ) 5 5 7 1 8 ( & ' " 4 % / & 6 : 8 6 : 5 8 ( 9 5 $

4 5 ( 4 1 2 4 8 8 V

' 1 5 7 ; 5 : 5 7 v = (c, 0, 0) 9 6 5 4 5 7 5 7 8 8

7 5 9 5 : " 6 5 7 5 ! % 4 , 2 % 4 7 6 5 ( 5 : " & <c

'

4 2 : 4 5 6 5 1 8 ( ; 5 4 6 : 2 5 3 : ( 5 9 4 8 7 ; 5 : 5 7 2 % 6 : 5 $

8 ( 9 5 4 5 % 5 : 8 2 4 ! 8 8 9 2 ; 5 : V 5 4 5 7 8 2 4 5 5 7 8 x ( 9 6 : 5 8 ( 9 5 4 + 6 5 9 : 2 2 4 8 5 2 9 5 % 8 6 : 9 5 % 1 7 8

: 9 4 2 4 8 & ' 2 ; 5 3 2 8 7 1 5 7 ; 5 : 2 4 8 2 : 2 8 9 8 7 $

7 ; 5 % 1 7 8 ! " : ( 8 1 4 5 9 : ( 4 " # 8 4 2 : ! 8 4 " # 7 8 7 2 # 5 $

7 1 / & 9 5 8 1 8 2 5 4 2 : 2 8 9 8 7 7 ; 5 5 6 : 2 2 9 ; 5 5 : 5

7 ; 5 : 2 4 8 2 1 7 8 ! " 8 2 2 5 4 5 8 5 * 2 ( 4 1 2 4 8 2 9 : ( 8 1 4 " #

8 4 2 : ! 8 4 " # 7 8 7 2 # 5 7 1 / - 7 & ' '

m

! 2 4 : 2 : 2 8 9 8 7 7 ; 5 5 6 5 2 ( 9 8 * . 2 5 7 7 5 7 ; 5 $

: 5 7 + V 5 4 5 7 8 2 4 5 6 2 : : 5 4 9 7 6 " # 8 9 2 6 5 1 ; & 7

: 8 7 N '

1 2 : 2 ( ; ; 5 2 9 : 2 7 9 2 5 % 2 5 ; 5 4 ! 5 9 A 8 B 9

7 8 7 2 2 6 5 2 ( 8 9 7 8 7 2 2 6 2 : : 5 4 8 4 6 5 2 ( 9 2 5 7 5 3 $

7 9 2 4 4 5 % 7 8 7 2 2 5 7 1 / : 9 4 l0

; 5 4 ! # 5 5 * 2 : 2 8 9 8 7 7 ; 5 5 6 5 2 ( 5 4 5 9 : 2 $

2 4 4 5 9 S ′ $ 7 8 7 2 2 & 6 5 2 ( ' 9 7 6 " # 8 9 + 6 5 1 ; 8 % 8 9 : 2 $

7 8 4 5 9 5 4 8 # ( : 2 8 7 : 8 : 5 9 4 4 5 2 5 4 8 4 3 + 2 2

9 S $ 7 8 7 2 2 & 6 2 : : 5 4 '

1 5 9 8 : ( 8 1 4 " 2 4 3 + 2 8 : 2 8 9 8 7 7 ; 5 5

6 5 2 ( 2 7 8 9 ( 4 & 5 4 5 9 : 2 2 4 4 5 6 5 7 9 5 8 1 7 ' 4 1 $

7 " 4 # 5 . 8 2 7 4 6 : 5 8 9 4 8 # 4 6 2 : : 5 4 2 : 2 6 5 2 7

1 5 6 7 7 * 8 : 4 # 5 . 8 % 7 9 7 2 : 2 8 4 2 6 5 2 ( 9 8 2 1 5

1 7 " 4 6 2 : : 5 4 2 6 5 ; ( " 9 + 5 * 2 9 : 2 1 5 8 2 5 7 5 3 7 9 2 4 $

4 " 2 1 7 "

4 5 3 5 : 5 1 5 9 8 : ( 8 1 4 " 2 4 3 + 2 8 7 5 . 8 2

9 5 6 2 : : 5 4 2 7 8 9 ( 4 & 5 4 5 9 : 2 2 4 4 5 6 5 7 9 5 8 1 7 '

4 1 7 " 4 # 5 . 8 2 7 4 6 : 5 8 9 4 8 # 9 6 : 5 # 5 . 2 : 2 8 $

9 8 7 7 ; 5 6 5 2 ( 2 : 2 6 5 2 7 1 5 4 3 + 2 4 # 5 $

. 8 % 7 4 6 : 5 8 9 7 2 : 2 8 4 " 6 5 2 ( 9 8 2 1 5 1 7 " 4 6 5 2 ( 2

6 5 ; ( " 9 + 5 * 2 9 : 2 1 5 8 2 5 7 5 3 7 9 2 4 4 " 2 1 7 "

; 5 4 ! # 9 8 * . 2 5 7 7 5 7 ; 5 : 5 7 + V : 2 8 9 8 7 $

7 ; 5 5 6 5 2 ( 7 4 5 9 2 4 " 9 5 . 4 " # ( 2 : 4 6 : 9 2 4 4 " #

; 6 5 9 2 : # 4 5 7 8 ( 2 8 7 6 " , ; ) 8 # ( 2 : 5 9 5 7 9 2 4

6 2 : : 5 4 2 9 1 / ; 8 # 7 2 % 8 : 7 7 5 4 8 2 2 * ) 8 8

7 2 8 2 7 8 9 7 6 " , ; 8 6 : 5 8 ( 5 , 8 5 4 5 9 : 2 2 4 4 5 9 7 8 7 2 2

6 5 2 ( & 9 7 8 7 2 2 6 2 : : 5 4 ' 8 4 6 5 2 ( 9 2 5 7 8 7 2 2 6 5 $

; 5 : 9 4 l0

8 4 7 5 : 5 4 " : 9 4 5 7 5 : 5 4 4 2 5 : 2 5 4 8 ; 9 2 5

7 5 3 7 9 2 4 4 5 % 7 8 7 2 2 5 7 1 / S ′ : 9 4 a0

7 8 7 2 2 S : 2 $

5 4 8 ; 9 8 * 2 7 7 : 2 8 9 8 7 7 ; 5 % 7 ; 5 : 5 7 + V 9 5 5 $

4 5 % 8 ( 7 5 : 5 4 % 8 6 2 : 8 2 : ) 5 5 : 2 5 4 8 ; 9 7 8 7 $

2 2 S

5 8 9 , 8 % 7 9 5 7 2 : 2 2 8 4 9 " 7 5 2 h = 20 ;

+ 5 4 7 6 2 9 2 5 7 9 5 2 5 : 7 6 5 2 2 5 6 5 9 2 : # 4 5 7 8

2 8 # 5 2 5 7 5 3 7 9 2 4 4 5 2 9 : 2 * 8 ( 4 8 τ ; 5 9 5 1 5 9 2 $

8 1 8 4 cτ = 660 % 8 5 4 5 7 8 2 4 5 2 5 8 1 8 2 7 ; 5 : 5 7 8

+ 5 4 v 5 7 ; 5 : 5 7 8 7 9 2 2 9 2 8 1 8 4 (c − v)/c

: 8 2 8 2 8 9 + 7 7 9 8 2 2 8 : 2 ; 5 5 ( : 2 8 $

. 2 : 2 8 9 8 7 7 ; 8 % 4 2 5 6 5 ( 4 4 4 " % 2 + . 8 % 5 3 2 ; & '

8 7 6 " " 9 2 5 3 5 9 5 2 7 5 : 2 4 8 2 7 : 2 8 9 8 7 7 ; 8 6 5 2 ( 5

: 2 6 5 1 5 7 ; 5 : 5 7 8 v 8 6 5 2 ( V 4 2 8 ( 2 4 + $

7 9 6 : 5 ! 2 7 7 2 7 5 : 2 4 8 4 % 8 ( ; ; 5 2 9 : 2 & 9 7 8 7 2 2

2 8 ' 6 : 5 2 8 7 ; 9 5 ( 6 5 2 ( 8 4 6 5 2 ( 9 2 5 7 5 3 $

7 9 2 4 4 5 % 7 8 7 2 2 : 9 4 l0

M 8 5 : 6 : 5 2 2 6 : 5 5 4 6 4 2 7 5 7 ; 5 $

: 5 7 + V 4 6 : 9 2 4 8 2 ; 5 5 : 5 % 6 : 2 4 5 4 8 * 4 2 % ; : 5 ; 2

J %. 1%K C ? # 3 %2

6 4 2 8 AB

& : 8 7 < ' M : 9 8 2 ; 8 7 + 7 5 7 ; 5 : 5 7 +

v 9 4 6 : 9 2 4 8 8 6 2 : 6 2 4 8 ; : 4 5 4 6 : 9 2 4 8 + 9 8 * 2 4 8

6 4 2 8 2 ( 5 : 3 5 " : 9 2 7 8 4 8 AC 4

6 4 2 8 % 8 5 ∠BAC 7 1 ; 5 2

' v = V = 1 7 O

3 '

v = V = 0, 8 c

( 2 8 4 3 + + ( 6 5 / 5 9 # : ; 2 7 ; 5 : 5 7 8

; 5 5 : " # v1 = v2 = 0, 8 c 5 2 * 4 8 8 α = 60 % $

8 7 ; 5 : 5 7 9 5 : 5 % : ; 2 " 7 5 1 ; 8 ( : 2 4 8 6 8 5 6 2 : 9 5 % : $

; 2 " ! " ! !

7 7 5 : 8 9 7 5 3 " 8 5 4 5 8 ( ; 5 5 : " # 6 : 5 8 ( 5 , 5 9 5 $

2 4 9 : 2 2 4 8 t1 9 5 1 ; 2 7 ; 5 5 : 8 4 8 r1 9 5 : 5 2 6 : 5 8 ( 5 $

, 5 9 5 2 4 9 : 2 2 4 8 t2 9 5 1 ; 2 7 ; 5 5 : 8 4 8 r2

: 2 $

8 9 8 7 7 ; 5 % 2 # 4 8 ; 2 : 7 7 5 4 8 2 2 * 9 6 : 5 7 : 4 $

7 9 2 4 4 " 8 5 1 ; 8 l12 = |r1− r2| 9 5 53 . 2 5 9 5 : 8 ( 2 4 2 7

6 : 8 6 2 : 2 # 5 2 8 ( 5 4 5 % 8 4 2 : ! 8 4 5 % 7 8 7 2 2 5 7 1 / 9 : $

+ : 8 ; 5 6 2 : 2 # 5 2 8 ( 2 4 + 7 ; * 2 8 : ( 4 8 ! t1 − t2

2 * 9 9 : 2 2 4 4 " 8 5 1 ; 8 ; ( " 9 2 7 5 4 ; 5 1 5

7 . 2 7 9 2 ; 5 3 8 4 ! 8 8 ( t1− t2

8 l12 ; 5 5 : 5 7 / 7 4 2 8 ( $

2 4 4 5 % 6 : 8 6 : 2 5 3 : ( 5 9 4 8 # 5 : 2 4 ! ; 5 % 9 2 8 1 8 4 5 % 9 $

2 7 8 4 2 : 9 = 8 4 P B F 5 : s12

2 * 9 7 5 3 " 8 8

(t1, r1)

8 (t2, r2)

4 ( " 9 2 7 9 2 8 1 8 4

s12 =√

c2(t1 − t2)2 − (r1 − r2)2. (7.1)

2 8 1 5 ; 9 : 8 4 2 : 9 s212

5 * 2 3 " 8 6 5 5 * 8 $

2 4 " 8 5 : 8 ! 2 4 " 7 5 5 9 2 7 9 2 4 4 5 7 8 4 2 : 9 s12

5 * 2 3 " 9 2 . 2 7 9 2 4 4 " 8 8 4 8 " : 5 9 2 : 2 6 : 5 %

6 5 7 4 5 9 ; 5 % 1 5 9 2 8 1 8 4 s212

8 4 9 : 8 4 4 5 4 5 7 8 2 4 5

6 5 9 5 : 5 5 9 5 7 2 % ; 5 5 : 8 4 8 6 : 2 5 3 : ( 5 9 4 8 % 5 : 2 4 !

9 7 5 3 " 8 ; 5 5 : " # s212 > 0 4 ( " 9 + 7 B P 4 4 G

8 @ : I : 8 @ ) 8 # 7 5 3 " 8 % 4 % 2 7 ; 8 4 2 : ! 8 $

4 7 8 7 2 5 7 1 / S ′ 9 ; 5 5 : 5 % 5 4 8 6 : 5 8 7 # 5 9 5 4 5 %

S

6 : 5 7 : 4 7 9 2 4 4 5 % 5 1 ; 2 4 5 4 2 ; 5 % 7 8 7 2 " S ′ 9 ; 5 5 $

: 5 % 3 " 5 4 8 6 : 5 8 7 # 5 8 8 5 4 5 9 : 2 2 4 4 5 & 8 3 5 2 7 8 t′1 = t′2 5

s212 = −(r′1 − r′2)

2 < 0

'

5 2 2 5 5 2 7 8 9 5 : 5 2 7 5 3 " 8 2 6 : 5 $

8 ( 5 , 5 6 5 ( * 2 6 2 : 9 5 5 t2 > t1 5 ) 5 4 2 : 9 2 4 7 9 5 3 2 7 6 : $

9 2 8 9 5 8 9 + 3 5 % : 5 % 8 4 2 : ! 8 4 5 % 7 8 7 2 2 5 7 1 / S ′

2 % 7 9 8 2 4 5 8 ( 4 2 : 9 2 4 7 9 s212 > 0 7 2 2 4 2 : 9 2 4 7 9 5

c(t2 − t1) > |r1 − r2| 9 7 8 7 2 2 S ′ 6 5 1 8

c(t′2 − t′1) = γ(V )

[

c(t2 − t1) −V

c(x2 − x1)

]

> 0 .

; 8 5 3 : ( 5 2 7 8 9 7 5 3 " 8 9 : 2 2 4 8 6 5 5 3 4 " 5 5 4 5 8 (

4 8 # 9 2 7 F : 5 8 : I @ 6 5 5 4 5 , 2 4 8 + ; : 5

4 5 8 1 4 5 9 7 5 3 " 8 ; 5 5 : " # s212 < 0 4 ( " 9 + $

7 P : P F 8 B 4 8 8 : : I : 8 @ ) 8 # 7 5 3 " 8 % 4 % 2 7

; 8 4 2 : ! 8 4 7 8 7 2 5 7 1 / S ′ 9 ; 5 5 : 5 % 5 4 8 6 : 5 $

8 7 # 5 5 4 5 9 : 2 2 4 4 5 4 5 4 2 ; 5 % 7 8 7 2 " S ′ 9 ; 5 5 : 5 %

3 " 5 4 8 6 : 5 8 7 # 5 8 8 9 5 4 5 % 6 : 5 7 : 4 7 9 2 4 4 5 % 5 1 ; 2 ; 8

5 3 : ( 5 2 7 8 9 7 5 3 " 8 6 : 5 7 : 4 7 9 2 4 4 5 6 5 5 3 4 " 5 5 4 8

9 2 7 F : 5 8 : I F 5 4 8 8 @

; 5 4 2 ! 9 7 5 3 " 8 4 ( " 9 + 7 B 4 : : I : 8 @ 2 7 8

s212 = 0 7 9 7 5 3 " 8 8 5 ; 5 5 : " # , : 2 1 9 + 7

6 5 5 * 2 4 8 2 2 : 8 4 5 % 5 1 ; 8 9 9 3 8 ( ; 8 # 5 2 4 9 : 2 $

2 4 8 (t, r) 8 (t + dt, r + dr) 6 : 8 ) 5 ; 5 4 2 1 4 5 c dt > |dr| 5 5 9 2 7 9 + . 8 % 9 : 2 2 4 8 6 5 5 3 4 " % 8 4 2 : 9

ds =√

(c dt)2 − (dr)2 .

( 5 9 2 : B 4 8 8 B P 4 4 8 4 τ 9 2 8 1 8 4 ) 2 2 4 ; 5 5 : 5 %dτ 5 6 : 2 2 2 7 7 5 5 4 5 , 2 4 8 2

dτ =ds

c=√

1 − (dr/cdt)2 · dt =

√

1 − v2

c2· dt. (7.2)

S

7 4 5 1 5 dτ 7 5 9 6 2 7 53 " 1 4 " 9 : 2 2 4 2 dt 9 7 8 7 2 2 5 $

7 1 / 9 ; 5 5 : 5 % 1 7 8 ! 6 5 ; 5 8 7 & 6 : 8 v = 0

'

: 5 %

7 5 : 5 4 " 7 5 3 7 9 2 4 4 5 2 9 : 2 dτ 5 3 4 5 2 1 5 9 2 7 8 4 $

9 : 8 4 5 6 : 2 5 3 : ( 5 9 4 8 % 5 : 2 4 !

4 2 % , 2 5 3 4 5 5 6 2 : 2 2 4 4 5 % t 6 2 : 2 % 8 ; 6 2 : 2 2 4 $

4 5 % x0 = ct 5 6 : 2 53 : ( 5 9 4 8 5 : 2 4 ! 6 : 8 3 5 2 2 7 8 $

2 : 8 1 4 " % 9 8 2

x0 = γ

(

x′0 +

V

cx′)

, x = γ

(

x′ +V

cx′

0

)

, y = y′, z = z′.

(7.3)

1 2 " : 2 # 2 : 4 5 2 4 5 * 2 7 9 5 6 : 5 7 : 4 7 9 2 4 4 " # ; 5 5 : 8 $

4 8 5 2 4 5 9 9 : 2 2 4 8 4 ( " 9 2 7 7 4 P 4 4 P 8

P : P F 8 B : G B P 4 4 8 4 5 1 ; 9 ) 5 6 : 5 7 : 4 7 9 2 ( $

2 7 G P F I @ G B 4 9 : P :

xµ = (x0, x, y, z) = (x0, r),

: 7 7 5 4 8 2 2 * 9 5 1 ; 8 - 8 4 2 : 9 5 s12 5 8 1 8 2 5 6 : 8 9 " 1 4 5 5 ) 9 ; 8 5 9 5 5 6 : 5 7 : 4 7 9 ; 9 :

8 4 " $ : 8 7 $ 9 2 ; 5 : 5 6 : 2 2 2 7 7 5 5 4 5 , 2 4 8 2

x2µ ≡ x2

0 − r28 9 2 7 8 4 9 : 8 4 5 6 : 2 5 3 : ( 5 9 4 8 % 5 : 2 4 ! : 5 2 ) 5 $

5 $ : 8 7 $ 9 2 ; 5 : 9 4 2 % , 2 " 3 2 : 7 7 : 8 9

8 : 8 2 $ 9 2 ; 5 : " 3 5 : 9 2 8 1 8 4

Aµ = (A0, Ax, Ay, Az) = (A0,A)

4 ( " 9 2 7 G B 4 9 : P : 2 7 8 6 : 8 9 : . 2 4 8 # 8 6 : 2 5 3 : ( 5 9 $

4 8 # 5 : 2 4 ! 9 2 8 1 8 4 " Aµ

6 : 2 5 3 : ( + 7 ; * 2 ; ; 8 ; 5 $

6 5 4 2 4 " xµ 2 6 : 8 6 : 2 5 3 : ( 5 9 4 8 # 5 : 2 4 !

A0 = γ

(

A′0 +

V

cA′

x

)

, Ax = γ

(

A′x +

V

cA′

0

)

,

S ?

Ay = A′y, Az = A′

z. (7.4)

9 : 8 4 " $ 9 2 ; 5 : 7 : 5 8 7 4 5 8 1 4 5 ; 9 :

$ : 8 7 $ 9 2 ; 5 :

A2µ ≡ A2

0 − A2 (7.5)

8 9 2 7 8 4 9 : 8 4 5 6 : 2 5 3 : ( 5 9 4 8 % 5 : 2 4 ! 4 5 8 1 $

4 5 9 2 8 1 8 4

AµBµ = A0B0 − AB (7.6)

5 * 2 3 " 4 ( 9 4 7 ; : 4 " 6 : 5 8 ( 9 2 2 4 8 2 $ 9 2 ; 5 : 5 9 Aµ

8 Bµ ) 9 2 8 1 8 4 ; * 2 9 2 7 8 4 9 : 8 4 5 6 : 2 5 3 : ( 5 $

9 4 8 % 5 : 2 4 !

: 8 9 2 2 6 : 8 2 : ; ; ; xµ

8 dxµ

9 + 7 $ 9 2 ; 5 : 8

dτ - 8 4 9 : 8 4 6 : 2 5 3 : ( 5 9 4 8 % 5 : 2 4 ! 5 5 4 5 , 2 4 8 2

uµ =dxµ

dτ(7.7a)

9 2 7 $ 9 2 ; 5 : 5 2 8 1 8 4 uµ

4 ( " 9 2 7 G 9 : P : 6

7 1 2 5 & < ' ; 5 6 5 4 2 4 " uµ

8 2 + 9 8

uµ = (u0,u) , u0 =c

√

1 − v2

c2

, u =v

√

1 − v2

c2

; (7.7b)

$ 7 ; 5 : 5 7 5 ; * 2 7 6 5 2 ( 4 5 % 5 6 : 2 2 2 4 8 8 $ 8 6 7

1 7 8 ! " 9 : 2 8 9 8 7 7 ; 5 % 8 4 8 ; 2 9 : $ 7 ; 5 : 5 7 8 9 $

2 7 8 4 9 : 8 4 5 6 : 2 5 3 : ( 5 9 4 8 % 5 : 2 4 ! 8 : 9 2 4

u2µ = u2

0 − u2 =c2

1 − v2

c2

− v2

1 − v2

c2

= c2. (7.8)

m

2 7 3 8 4 1 7 8 ! : 7 6 2 7 9 7 5 7 5 4 8 8 6 5 ; 5

( 9 : 2 τ = 2 · 10−6 7 9 8 7 7 3 5 , 5 % 7 ; 5 : 5 7 + )

1 7 8 ! 6 : 5 2 2 5 2 7 5 3 : ( 5 9 4 8 5 2 7 : 7 6

: 7 7 5 4 8 2 l = 36 ; ; ; 5 2 9 : 2 5 4 6 : 5 2 2 ) 5

6 7 2 5 1 ; 8 6 5 9 2 : # 4 5 7 8 7 2 : " 5 4 5 9 : 2 2 4 4 5 8 ( 1 $

+ 5 1 2 4 ; 5 : 5 ; 8 2 8 6 7 " 7 9 2 ; 5 5 : " 2 4 6 : 9 2 4 " ;

2 / 5 1 2 1 4 5 ! 2 4 : ; 5 ; 5 9 : 2 2 4 8 3 2 5 7 9 2 . / 4 ) 5

! 2 4 : 7 5 1 ; 8 ( : 2 4 8 4 3 + 2 6 : 5 2 + . 2 5 7 5 7 ; 5 : 5 $

7 + V = c/4 8 5 7 2 : "

; 5 : 5 7 9 8 * 2 4 8 1 6 5 ) ; : 4 5 7 ! 8 5 :

v = 0, 1 c 7 4 1 5 9 8 * 2 4 8 6 : 5 8 7 # 5 8 9 5 2 4 9 : 2 $

2 4 8 t1 9 5 1 ; 2 7 ; 5 5 : 8 4 8 r1 ; 5 4 2 ! 9 8 * 2 4 8 - 9

5 2 4 9 : 2 2 4 8 t2 9 5 1 ; 2 7 ; 5 5 : 8 4 8 r2

7 8 $

; 8 4 2 : ! 8 4 7 8 7 2 5 7 1 / S ′ 9 ; 5 5 : 5 % ) 8 7 5 3 " 8

5 4 5 9 : 2 2 4 4 " & 5 4 5 2 7 4 " '

R S T S

' $ , $ / - * ( ( . * . ) & -

( ' & # ( ) &

' & # $ ' * & / 0 ' $

& ( # + $ . * ( -

7 + 4 8 * 2 : 7 7 : 8 9 2 7 9 8 * 2 4 8 2 2 9 8 4 2 : ! 8 $

4 5 % 7 8 7 2 2 5 7 1 / ; 5 % 7 8 7 2 2 7 9 5 3 5 4 1 7 8 ! 9 8 $

* 2 7 7 6 5 7 5 4 4 5 % 7 ; 5 : 5 7 + 2 v = const.

2 7 8 v 6= const

5 1 7 8 ! 4 2 9 2 7 7 9 5 3 5 4 5 % 5 4 8 7 6 " " 9 2 9 5 ( 2 % $

7 9 8 2 : 8 # 2 E 4 4 8 6 B : J I 4 " B @ 4 I P H @ 4 5 8 F I F 8 G

8 : 4 8 F J B F 4 @ 5 : " M " 5 3 7 8 9 9 5 ( 5 * 4 " # 7 6 5 7 5 3

; 5 8 1 2 7 9 2 4 4 5 5 5 6 : 2 2 2 4 8 ) 5 5 6 5 4 8 6 2 : 9 " %& 9 ) 5

: ( 2 2 ' - 3 5 2 2 6 : 5 7 5 % 8 6 5 5 5 3 4 " % 4 1 4 5 5

8 ( 5 * 2 4 8 9 5 : 5 % - 3 5 2 2 3 7 : ; 4 " % 4 5 8 3 5 2 2 3 5 $

; 8 % 3 2 : 7 7 5 : 2 4 9 =

n

2 6 2 4 9 5 ( 2 % 7 9 8 : ( 8 1 4 " # 2 4 4 4 5 2 5 * 4 5 5 6 : 2 $

2 8 7 : 9 4 8 9 2 / 7 5 7 2 6 2 4 + 9 5 ( 2 % 7 9 8 4 2 ; 5 5 : 5 % ) $

5 4 4 5 % 7 8 " ; 1 2 7 9 2 ; 5 5 ) 5 4 7 8 " 5 * 4 5 9 " 3 :

4 6 : 8 2 : 6 : * 8 4 ; : 7 4 + 4 5 6 : 2 2 2 4 4 + 8 4

S S

2 6 2 4 9 5 ( 2 % 7 9 8 ; 5 % 6 : * 8 4 ; 5 % 4 ( 5 9 2 ) 5 4 5 F0 ; ( 9 2 . 2 8 4 6 : 9 2 4 8 2 9 5 ( 2 % 7 9 8 6 5 1 8 9 2 ; 5 : ) $

5 4 4 5 % 7 8 " F0.

7 8 4 2 5 9 5 4 5 8 5 * 2 4 6 : 9 2 4 8 8

2 % 7 9 2 n ; 8 # 6 : * 8 4 5 ; 5 ; 5 2 9 5 ( 2 % 7 9 8 2 5 9 2 1 2

7 8 2 nF0.

2 4 3 5 : 9 7 2 9 5 ( 5 * 4 " # 6 : * 8 4 5 ; 8 9 " 3 8 :

8 # ; 8 5 3 : ( 5 1 5 3 " 6 : 8 2 % 7 9 8 8 8 # 9 5 4 5 4 6 : 9 $

2 4 8 8 : 2 ( 7 5 9 6 7 2 % 7 9 8 2 ) 5 4 4 5 % 6 : * 8 4 ; 8

" 7 5 * 2 5 6 : 2 2 8 : 5 3 4 " 2 1 7 8 5 F0 8 5 2 " 6 5 $

1 2 9 5 ( 5 * 4 5 7 8 ( 2 : 6 : 5 8 ( 9 5 4 + 7 8 1 2 : 2 ( ) $

5 4 4 + ; 5 9 5 5 6 : 2 2 2 4 8 2 7 8 " 9 : ; # 6 2 : 9 5 5 7 6 5 7 5 3

Z

^

: 9 4 8 9 9 5 ( 2 % 7 9 8 2 : ( 8 1 4 " # 6 5 9 2 8 1 8 4 2 8 4 6 : 9 $

2 4 8 + 7 8 Fi

4 5 4 8 * 2 1 7 8 ! 4 % 2 1 5 ) 8 7 8 "

6 : 8 9 5 1 7 8 ! ; 9 8 * 2 4 8 + 7 : ( 4 " 8 7 ; 5 : 2 4 8 8 ai

6 : 8 1 2 9 2 ; 5 : " 7 ; 5 : 2 4 8 % ai

8 2 + 5 * 2 4 6 : 9 2 4 8 2 1 5

8 9 2 ; 5 : " 7 8 Fi 5 4 5 , 2 4 8 2 8 4 ) 8 # 9 2 ; 5 : 5 9 |Fi| / |ai|

8 2 2 5 4 5 8 5 * 2 ( 4 1 2 4 8 2 4 2 ( 9 8 7 . 2 2 5 4 5 2 : i 8 4 " 8

7 5 9 8

F ∝ a. (8.1) 9 2 : * 2 4 8 2 5 5 1 5 ! !

! !

! ! $

7 + 7 2 2 1 5 5 4 5 , 2 4 8 2

| F || a |4 2 ( 9 8 7 8 4 8 5 7 8 " 4 8 5 7 ; 5 : 2 4 8 8 8 7 ; 5 : 5 7 8 1 7 8 $

! " 8 6 5 5 9 2 7 # : ; 2 : 4 5 % 4 4 5 % 1 7 8 ! " ; 5 4 $

7 4 5 % 4 ( " 9 2 5 % F : " 7 2 7 9 2 4 4 5 1 5 ( 4 1 2 4 8 2 ) 5 %

; 5 4 7 4 " 5 * 4 5 3 " 5 4 8 8 2 * 2 9 : ( 8 1 4 " # 8 4 2 : $

! 8 4 " # 7 8 7 2 # 5 7 1 / : 8 ; 5 5 6 : 2 2 2 4 8 8 7 7

S

9 " 7 6 2 ; ; 4 P F @ 8 4 P @ @ 2 2 : 7 6 5 7 5 3 4 5 7 8 2 6 : 5 $

8 9 8 7 6 5 6 " ; 8 ( 2 4 8 2 5 7 5 7 5 4 8 2 6 5 ; 5 8 8 6 : 5 $

8 4 2 % 4 5 5 : 9 4 5 2 : 4 5 5 9 8 * 2 4 8 3 5 ( 4 1 8 9 ) ; 5 4 7 4

1 2 : 2 ( m 5 * 2 9 2 7 5 & ' ( 6 8 7 F = kma 2 ; 5 ) 8 $

! 8 2 4 k ( 9 8 7 8 5 7 5 , 2 4 8 5 4 5 7 8 2 4 5 9 " 3 5 : 2 8 4 8 !

8 ( 2 : 2 4 8 7 7 " 8 7 8 " ) 5 ; 5 ) 8 ! 8 2 4 : 9 2 4 1

; 1 5 7 5 5 4 5 , 2 4 8 2 & ' 9 6 : 8 4 8 2 5 :

F = ma = mr. (8.2)

5 5 3 7 5 2 7 9 5 1 5 7 8 5 ; ( 7 6 : 5 6 5 : ! 8 5 4 4

8 2 4 4 5 9 5 : 5 % 6 : 5 8 ( 9 5 4 5 % 6 5 9 : 2 2 4 8 5 r 2 7 ) ; 7 6 2 : 8 2 4 $

4 " % ; 5 8 1 2 7 ; 5 % 5 1 ; 8 ( : 2 4 8 5 8 3 " 3 " 8

: 8 2 7 5 5 4 5 , 2 4 8 2 * 7 8 5 % 8 ; 8 4 2 8 1 2 7 ; 8 8 # : ; $

2 : 8 7 8 ; 8 9 8 * 2 4 8 4 6 : 8 2 : 2

F = md2r

dt2+ c1

d3r

dt3,

2 c1

- 4 2 ; 5 5 : ; 5 4 7 4 ; + 8 6 5 2 8 1 2 7 ; + 6 : 8 $

1 8 4 4 + 8 8 4 2 7 8 2 : 8 1 4 + 2 # 4 8 ; 6 " 7 : ( 9 8 9

& 6 : 9 3 2 ( 7 6 2 # ' 8 ( 9 2 7 4 " % 7 : 5 4 5 5 ( " : 2 9

_ Z

3 5 3 . 2 4 8 2 ) ; 7 6 2 : 8 2 4 4 " # 4 4 " # 9 2 7 8 !

!

i k ! !

Fik = −Fki. (8.3)

2 7 Fik

- 7 8 7 ; 5 5 : 5 % 4 1 7 8 ! i 2 % 7 9 2 1 7 8 ! k : 5 2 5 5 7 6 : 9 2 8 9 ; * 2

Fik ! k

i ! !

4 2 : 2 8 9 8 7 7 ; 5 % 2 # 4 8 ; 2 ) 7 8 ( 9 8 7 8 5 ; 5

S

5 : 7 7 5 4 8 ri−rk

2 * 1 7 8 ! 8 7 8 9 ( 8 5 2 % 7 9 $

+ . 8 2 2 4 2 9 + 7 5 1 2 1 4 " 8 5 7 8 8 # 9 ( 8 5 2 % $

7 9 8 5 * 4 5 4 % 8 : ( 3 8 9 ; * 5 2 2 5 4 " 2& 6 5 1 8 5 $

1 2 1 4 " 2 ' 1 7 ; 8 8 8 7 6 5 ( ( ; 5 4 4 2 ( 9 8 7 8 5 7 8 2 % 7 9 8

7 8 ) 8 # " # 1 7 ; 5 9

a

i Z

7 7 5 : 8 7 8 7 2 8 ( N 1 7 8 ! ; 5 5 : " 2 9 ( 8 5 2 % 7 9 $

+ 5 ; 5 : 7 : 5 ; + 7 8 7 2 1 7 8 ! 4 ( " 9 +

J F 9 8 : " 4 2 / 7 6 : 9 2 8 9 " : 9 4 2 4 8 9 8 * 2 4 8

miri = Fi =∑

k 6=i

Fik(ri − rk); i, k = 1, 2, ..., N. (8.4)

! 8 : 9 4 2 4 8 5 9 2 9 5 : + 6 : 8 4 ! 8 6 5 4 5 7 8 2 4 5 7 8

- 5 4 8 ; 5 9 : 8 4 4 " 5 4 5 7 8 2 4 5 6 : 2 5 3 : ( 5 9 4 8 % 8 2

2 % 7 9 8 2 4 5 6 : 8 6 2 : 2 # 5 2 9 : + 8 4 2 : ! 8 4 + 7 8 7 2 $

5 7 1 / 7 ; 5 : 2 4 8 8 : 7 7 5 4 8 2 * 1 7 8 ! 8 4 2 8 ( $

2 4 + 7 ri = r′i, ri − rk = (r′i + Vt) − (r′k + Vt) = r′i − r′k,

6 5 ) 5 8 ( & ' 7 2 + : 9 4 2 4 8

mir′i =∑

k 6=i

Fik(r′i − r′k) , (8.5)

2 9 4 5 9 5 % 7 8 7 2 2 5 7 1 / : 9 4 2 4 8 9 8 * 2 4 8 9 4 5 9 " # 6 2 $

: 2 2 4 4 " # & ' 8 2 + 5 1 4 5 ; 5 % * 2 9 8 ; ; 8 7 : " 2 : 9 $

4 2 4 8 9 8 * 2 4 8 & ' 9 7 : " # 6 2 : 2 2 4 4 " #

pn Z

3 7 6 : 8 2 4 8 5 7 8 5 3 7 * 2 " # ( 2 7 ( ; 5 4 5 9 8 4 $

8 ; 8 5 # 9 " 9 2 9 7 + 4 2 : 2 8 9 8 7 7 ; + ; 7 7 8 1 2 7 ; + 2 # $

4 8 ; : 8 6 2 : 2 # 5 2 9 : 2 8 9 8 7 7 ; + 5 3 7 6 : 8 # 5 8 7

S

1 8 " 9 4 8 1 8 2 6 5 2 % 8 ( 6 ( " 9 4 8 2 9 ( 8 5 2 % 7 9 8

5 ; 1 5 9 2 # 4 8 ; 2 + 5 4 7 8 " 9 ( 8 5 2 % 7 9 8

2 * 1 7 8 ! 8 ( 9 8 7 8 , 5 8 # 9 ( 8 4 5 5 : 7 7 5 4 8

5 ( 4 1 2 1 5 + 3 5 2 7 2 . 2 4 8 2 5 4 5 % 1 7 8 ! " 4 5 9 2 4 4 5 8 ( 2 $

4 2 7 8 2 / 9 5 ( 2 % 7 9 8 4 : + 1 7 8 ! ! 5 4 2 5 3 # 5 8 5

6 : 2 6 5 2 3 2 7 ; 5 4 2 1 4 5 3 5 , + 7 ; 5 : 5 7 : 7 6 : 5 7 : 4 2 4 8

9 ( 8 5 2 % 7 9 8 % : 2 8 9 8 7 7 ; 5 % 2 # 4 8 ; 2 4 6 : 5 8 9 7 5 $

6 : 5 ! 2 4 4 5 1 8 " 9 2 7 5 ; 1 5 9 6 : 8 : 5 2 4 2 9 ( 8 5 $

2 % 7 9 8 % : 7 6 : 5 7 : 4 + . 8 # 7 7 5 7 ; 5 : 5 7 + 3 5 , 2 7 ; 5 : 5 $

7 8 7 9 2 9 6 7 5 2 5 ) 5 : 9 4 2 4 8 + 5 4 4 2 6 : 2 2 4 4 5

5 * 4 " 3 " 5 8 8 ! 8 : 5 9 4 4 " 9 5 3 7 8 3 5 , 8 # 7 ; 5 : 5 $

7 2 % : 5 % 7 5 : 5 4 " 9 ; 9 4 5 9 5 % 2 # 4 8 ; 2 6 5 4 8 2 : 2 ; $

5 : 8 8 1 7 8 ! " 2 : 2 7 9 5 % 5 1 4 " % 7 " 7 6 8 7 4 8 2 9 8 * 2 $

4 8 1 7 8 ! 6 : 8 5 3 : 2 2 9 2 : 5 4 5 7 4 " % # : ; 2 : : 5 2 5 $

5 9 ; 9 4 5 9 5 % 2 # 4 8 ; 2 9 5 ( 5 * 4 " ; 4 ( " 9 2 " 2 5 3 2 4 $

4 " 2 9 ( 8 5 2 % 7 9 8 4 2 7 9 5 . 8 2 7 ; 6 : 5 7 " 6 : 4 " 7 8

2 * 1 7 8 ! 8

t

) 5 : ( 2 2 " ; 5 : 5 ; 5 5 3 7 8 ; ; 5 * 4 5 1 8 7 2 4 4 5

: 2 , : 9 4 2 4 8 + 5 4 7 6 5 5 . + ) 2 ; : 5 4 4 " # 9 " 1 8 7 $

8 2 4 " # , 8 4 & ! M ' ( 9 8 8 2 9 " 1 8 7 8 2 4 5 % 2 # 4 8 ; 8

4 2 : ( : " 9 4 5 7 9 ( 4 5 7 2 / 8 7 6 5 ( 5 9 4 8 2 9 7 5 * 4 " # 2 # 4 8 $

1 2 7 ; 8 # : 7 1 2 # 8 4 1 4 " # 8 7 7 2 5 9 4 8 # 5 1 ; 5 7 1 / $

) : " ! M 6 : 8 4 5 7 1 8 7 5 ( 4 4 + 9 2 4 7 8 9 4 7 ; 5

4 8 9 2 : 7 8 2 2 9 Q ) 2 ; : 5 4 4 + 9 " 1 8 7 8 2 4 + , 8 $

4 $ O 2 / 6 : 2 : " 2 5 3 . 8 % 9 2 7 = " 7 ) 2 ; : 5 4 4 " #

6 " 7 5 6 2 : ! 8 % 9 7 2 ; 4 2 7 1 % 4 5 2 / 6 2 : 9 " 6 : 8 $

2 4 2 4 8 2 3 " 5 4 " % 6 : 5 2 ; 2 : 9 5 % ! M 7 4 5 9 $

S

2 4 4 5 % 9 3 " , 8 4 M < < = 5 4 ( 4 8 9 7 2 2 9 5 2

; : " 5 9 5 : 5 5 ) * 9 4 5 5 ; 5 : 6 7 4 8 8 ( 7 " # ( 4 $

1 8 " # 2 / 6 : 8 2 4 2 4 8 % 3 " 5 5 2 8 : 5 9 4 8 2 8 ( 8 1 2 7 ; 8 # # 8 $

8 1 2 7 ; 8 # 8 ) ; 5 4 5 8 1 2 7 ; 8 # 6 : 5 ! 2 7 7 5 9 9 1 2 3 4 " # ! 2 # 5

7 5 9 : 2 2 4 4 " 2 ! M 6 5 9 7 2 6 : 2 : 4 5 5 ; : 4 5 6 : 2 9 5 7 $

# 5 7 9 5 8 # 6 : 2 , 2 7 9 2 4 4 8 ! 7 6 2 # 8 9 " 1 8 7 8 2 4 5 % $

2 8 ; 8 9 6 2 1 + . 8 2 5 7 4 5 9 4 " 2 6 : 8 4 ! 8 6 " : 2 , 2 4 8 8 $

2 : 2 4 ! 8 4 " # : 9 4 2 4 8 % 7 6 5 5 . + ! M 5 7 8 7 6 : 2 * $

4 8 8 7 7 5 : 8 7 2 + . + 5 2 4 + ( 1 2 : 7 7 1 8

9 8 * 2 4 8 2 7 4 : 7 7 " m 9 " 2 2 9 , 2 5 6 5 5 α ; 5 $

: 8 ( 5 4 2 7 8 4 7 4 : 6 5 8 5 7 8 " * 2 7 8 mg 2 % 7 9 2

7 8 : 2 4 8 6 : 5 6 5 : ! 8 5 4 4 7 ; 5 : 5 7 8 7 4 : 2 F = −kv

& ( 2 7 k - 6 5 5 * 8 2 4 ; 5 4 7 4 # : ; 2 : 8 ( + . 8 4 $

2 4 7 8 9 4 5 7 : 2 4 8 ' : 2 6 5 2 7 1 5 ( 4 " 5 6 : 2 2 / 4 $

4 " 2 4 1 4 " 2 ( 4 1 2 4 8 ; 5 5 : 8 4 r0

8 7 ; 5 : 5 7 8 v0

,

5 2 4 ( 1 9 2 7 9 5 6 : 2 2 / 4 4 5 7 " 7 2 5 1 2 4 6 : 5 $

7 5 % 2 % 7 9 8 2 4 5 : 9 4 2 4 8 2 9 8 * 2 4 8 4 , 2 5 7 1

8 2 2 9 8

mdv

dt= −kv + mg (8.6)

8 9 2 7 : 9 4 2 4 8 2 6 2 : 9 5 5 6 5 : ; 5 4 5 7 8 2 4 5 6 2 : 2 $

2 4 4 5 % v(t) 2 3 5 2 2 6 : 5 7 " 1 2 8 6 8 1 4 5 2 : 9 4 2 4 8 2

+ 5 4 - : 9 4 2 4 8 2 9 5 : 5 5 6 5 : ; 5 4 5 7 8 2 4 5 6 2 : 2 $

2 4 4 5 % r(t) : 9 4 2 4 8 2 & N ' 8 2 2 5 1 4 5 2 4 8 8 1 2 7 ; 5 2 : 2 $

, 2 4 8 2

v(t) = v0 e−kt/m +mg

k

(

1 − e−kt/m)

, (8.7)

9 1 / 5 * 4 5 3 2 8 7 6 : 5 % 6 5 7 4 5 9 ; 5 % 9 " : * 2 4 8 & > '

9 : 9 4 2 4 8 2 & N '

5 4 ) 5 6 : 5 7 5 6 : 8 2 : 2 5 3 4 5 5 3 7 8 5 7 4 5 9 4 " 2

8 2 8 5 5 ; ; 5 * 4 5 1 8 7 2 4 4 5 : 2 , 8 : 9 4 2 4 8 2 + 5 4 9

3 5 2 2 7 5 * 4 " # 7 1 # " 3 2 : 2 4 1 5 2 ; : 5 9 5 % 7 8 7 2 "

; 5 5 : 8 4 9 4 1 2 : 2 ; 5 : 8 8 5 7 x 4 6 : 9 8 6 5 5 : 8 ( 5 4 $

8 5 7 y - 6 5 9 2 : 8 ; 8 9 6 5 7 ; 5 7 8 9 2 ; 5 : 5 9 g 8 v0 9 8 * 2 4 8 2 7 4 : 3 2 6 : 5 8 7 # 5 8 9 6 5 7 ; 5 7 8 xy 7 4 $

1 4 " 8 4 4 " 8 r0 = (0, 0) 8 v0 = (v0 cos α, v0 sin α) 6 8 , 2 : 9 4 2 4 8 9 8 * 2 4 8 7 4 : 9 9 2 6 : 5 . / 4 4 " 2

5 3 5 ( 4 1 2 4 8 vx = U, vy = V 2

mdU

dt= −kU , m

dV

dt= −kV − mg . (8.8)

1 8 7 2 4 4 5 2 : 2 , 2 4 8 2 ) 5 5 : 9 4 2 4 8 6 : 2 6 5 2 ( 2 4

4 2 6 : 2 : " 9 4 5 % ( 1 8 8 7 ; : 2 4 5 % 8 8 ; ; 5 9 5 : : 2 3 2

8 7 ; : 2 8 ( ! 8 8 ( 1 8 ) 5 5 : ( 5 3 2 6 2 : 8 5 9 : 2 2 4 8 T

4 ; 5 5 : 5 " # 5 8 8 2 : 2 , 2 4 8 2 4 N 5 : 2 ( ; 5 9 : ( 2 : 5

τ = T/N

; 5 2 : ( 3 8 2 4 8 2 4 ( " 9 2 7 4 9 : " ; * 5 % i $ %

5 1 ; 2 ) 5 % 7 2 ; 8 5 6 : 2 2 8 8 7 ; : 2 4 " 2 7 2 5 1 4 " 2 4 ; ! 8 8

Ui, Vi

2 6 : 2 6 5 1 5 U 8 V - ; 8 2 4 ; ! 8 8

2 9 + 3 5 % 5 1 ; 2 5 * 4 5 4 % 8 8 # 6 : 5 8 ( 9 5 4 " 2 6 5 9 : 2 2 4 8

2 6 2 : ( 2 4 8 6 : 5 8 ( 9 5 4 " 2 9 : 9 4 2 4 8 # & ' 8 # ; 5 4 2 1 4 " 8

: ( 4 5 7 8 2

dU

dt≈ Ui+1 − Ui

τ,

dV

dt≈ Vi+1 − Vi

τ.

2 6 6 : 5 ; 7 8 8 : 2 6 : 5 8 ( 9 5 4 " 2 8 # 8 4 2 % 4 " 8 6 : 8 3 8 * 2 $

4 8 8 ; 6 6 : 5 ; 7 8 ! 8 2 5 1 4 2 2 1 2 2 4 , 2 ,

7 2 ; 8 τ : 2 ( 2 ( 2 4 8 9 9 8 7 # 5 4 " # : 9 4 2 4 8 # 6 : 5 $

8 ( 9 5 4 " 2 4 8 # ; 5 4 2 1 4 " 2 : ( 4 5 7 8 " 6 5 1 8 ; 8 2 8 7 $

; : 2 4 " 2 & 8 8 P F J 8 : 8 4 ' : 9 4 2 4 8 2

mUi+1 − Ui

τ= −kUi , m

Vi+1 − Vi

τ= −kVi − mg . (8.9)

! 8 : 9 4 2 4 8 5 * 4 5 6 : 2 7 9 8 9 9 8 2 5 : 8 : 7 1 2

7 ; 5 : 5 7 8 4 7 2 + . 2 i + 1 $ , 2 2 7 8 8 ( 9 2 7 4 5 ( 4 1 2 4 8 2

7 ; 5 : 5 7 8 4 6 : 2 " . 2 i $ , 2 2

Ui+1 = Ui −τk

mUi , Vi+1 = Vi −

τk

mVi − τg . (8.10)

4 2 9 5 , 2 " 8 7 6 5 ( 2 4 1 4 " 2 ( 4 1 2 4 8 7 ; 5 : 5 $

7 2 % U0 = v0 cos α 8 V0 = v0 sin α ( 2 8 : 7 1 / 6 5 5 :

& = ' 5 6 : 2 2 8 7 ; 5 : 5 7 8 9 5 9 7 2 # 5 7 9 , 8 # 7 5 1 ; # : ( 4 5 7 $

4 5 % 7 2 ; 8 4 7 ; 5 : 5 7 8 U(t) = dx/dt 8 V (t) = dy/dt 2 2

5 * 4 5 : 7 7 1 8 ( 9 8 7 8 5 7 ; 5 5 : 8 4 x 8 y 5 9 : 2 2 4 8

2 4 % 8 : 2 ; 5 : 8 + 7 4 :

7 2 7 9 2 4 4 5 9 5 ( 4 8 ; 2 9 5 6 : 5 7 5 5 1 4 5 7 8 6 5 1 2 4 4 5 5 : 2 $

, 2 4 8 5 3 . 2 7 1 2 6 5 : 2 , 4 5 7 8 7 9 ( 4 4 " 2 7 ( 2 4 5 %

6 : 5 8 ( 9 5 4 " # 4 ; 5 4 2 1 4 " 2 6 : 8 : . 2 4 8 5 4 : 7 7

; * " , 5 5 7 5 3 2 4 4 5 2 7 8 , 7 2 ; 8 5 1 2 4 3 5 , 5 %

: 2 5 * 2 4 4 7 # 2 4 9 2 : 4 5 2 7 6 : 5 7 4 5 4 2 7

) 2 ; 8 9 4 2 ( 1 8 7 2 4 4 5 5 : 7 1 / 5 * 2 7 8 4 5

5 8 1 7 5 5 1 4 5 5 & > ' 2 7 8 , 7 2 ; 8 9 " 3 : 4 4 2 5 7 $

5 1 4 5 " ) 5 7 1 2 5 9 5 : 5 4 2 7 5 % 1 8 9 5 7 8 : ( $

4 5 7 4 5 % 7 # 2 " 9 " 3 : 4 4 5 % 7 # 2 " : 7 1 / 5 9 4 ( " 9 2 5 %

B 8 : " 4 : " 4 * 4 5 9 ( ; 5 2 1 8 7 5 5 1 2 ; 7 2 ; 8 N 1 5 3 "

2 2 , 5 9 2 9 5 : 7 5 9 8 + 2

τk

m 1 . (8.11)

2 4 , , 7 2 ; 8 " 9 2 8 1 8 9 2 5 1 4 5 7 1 8 7 2 4 4 5 5

: 7 1 2 4 ; 5 9 : 8 7 5 8 ( : * ! M 6 2 : 2 " $

9 4 8 2 1 8 7 2 2 7 8 5 1 2 : 2 4 5 2 2 4 , 2 4 8 2 , 5 1 4 2 : 2 $

( 4 5 6 : 2 9 " , 2 4 2 5 3 # 5 8 + 4 5 1 4 5 7 8 8 /

5 1 4 5 7 6 : 2 9 " , + . + 7 ; 5 5 : 5 % " ( 4 2 ; 5 4 7 4 "

g, m 8 k 9 # 5 . 8 2 9 : 9 4 2 4 8 2 : 2 , 2 4 8 ; 8 # ( 1 6 : 8 4 5 4 5 5 # 5 : 5 , 8 # 7 5 % $

1 8 9 " # 8 3 5 2 2 5 1 4 " # 7 # 2 , 7 # 2 6 6 : 5 ; 7 8 8 : 2 5 1 $

4 5 2 : 2 , 2 4 8 2 7 5 , 8 3 ; 5 % 6 : 5 6 5 : ! 8 5 4 4 5 % 6 2 : 9 5 % 7 2 6 2 4 8 6 $

?

: 2 : τ : 5 ; + 7 # 2 5 9 5 : 1 5 5 4 4 P B : H : : P I 9 F

F P : 9 @ F @ @ 9 5 ; 6 : 8 2 : ; 7 # 2 2

Ui+1 = Ui−τk

m

Ui + Ui+1

2, Vi+1 = Vi−

τk

m

Vi + Vi+1

2−τg (8.12)

4 ( " 9 2 7 8 4 B 8 : " 4 : " 6 5 7 ; 5 ; i+1 $ 2 ( 4 1 2 4 8 2 9 # 5 8

9 6 : 9 + 1 7 7 # 2 " 5 : 8 5 6 : 2 2 2 4 8 Ui+1

8 Vi+1

1 2 $

: 2 ( 8 # ( 4 1 2 4 8 4 6 : 2 " . 2 , 2 5 1 2 9 8 2 4 8 5 8 1 2 7

5 & = ' ! 7 # 2 8 2 2 9 5 : 5 % 6 5 : 5 ; 6 6 : 5 ; 7 8 ! 8 8 2 /

5 , 8 3 ; 6 6 : 5 ; 7 8 ! 8 8 6 : 5 6 5 : ! 8 5 4 4 τ 2 - ; 9 : ,

7 2 ; 8 4 7 5 . 2 2 9 : 2 7 . 2 7 9 2 4 5 * 2 7 9 5 6 ; 2 5 9 : 2 $

8 ( + . 8 # : 2 , 2 4 8 2 2 8 1 2 7 ; 8 # ( 1 4 6 2 : 7 5 4 4 " #

; 5 6 + 2 : # 2 ; 5 5 : " 2 8 ( ; 8 # 6 ; 2 5 9 + : 2 , 2 4 8 2 8

9 4 8 8 1 2 7 ; 5 % 5 : 2 2 7 8 5 4 5 7 . 2 7 9 2 8 3 5 2 2 : 7 $

6 : 5 7 : 4 2 4 4 " 8 9 + 7 - & ' ( - & - >

- & - >

- & - >

- . ' 2 7 6 5 2 ( 4 5 ( 2 8 1 5 8 # ) 2 ; 8 9 4 5 2 6 : 8 2 4 2 $

4 8 2 4 2 5 7 9 5 3 5 * 2 7 2 4 5 4 2 5 3 # 5 8 5 7 8 ( 4 5 7 4 5 9 "

9 " 1 8 7 8 2 4 5 % 2 8 ; 8 & # 5 3 " 5 5 1 5 3 " 9 " $

3 8 : 8 8 8 4 + 7 # 2 : 7 1 / 7 7 4 " 6 5 4 8 4 8 2 2 /

7 8 4 " # 8 7 3 " # 7 5 : 5 4 '

m

; 5 5 : 8 ( 5 4 4 5 7 5 2 4 # 5 7 9 2 2

7 5 2 8 4 / 4 4 " # 4 8 + : 2 2 2 5 6 5 9 2 , 2 4 5 4 4 8 8 1 2 : 2 (

; 8 % 3 5 ; & : 8 7 < < ' % 8 7 ; 5 : 2 4 8 2 2 8 4 * 2 4 8

4 8 2 % 2 7 8 7 7 " 2 : 9 4 " m1 = 1 ; m2 = 2 ; 8 m3 = 3 ;

7 ; 5 : 2 4 8 2 7 9 5 3 5 4 5 5 6 2 4 8 g = 10 72

% 8 7 ; 5 : 2 4 8 2 2 7 8 7 2 " 8 ( 5 3 : * 2 4 4 5 % 4

: 8 7 < 5 7 5 4 4 7 8 F 6 : 8 5 * 2 4 6 5 4 6 : 9 2 4 8 + 4 8 8

; 5 4 5 8 ( 2 7 7 " m

M 7 7 5 % / ; 5 5 3 5 ; 6 : 2 4 2 3 : 2 1

4 2 3 5 , + , % 3 7 7 " m 2 * . + 4 ; 5

5 : 8 ( 5 4 4 5 7 5 2 9 5 2 4 9 : 2 2 4 8 t0 = 0 4 1 2 % $

x

J %. .%K C ? # 2 %1

J %. ;%K C ? # 2 %.

7 9 5 9 7 8 ( 9 8 7 . 5 9 : 2 2 4 8 6 5 ( ; 5 4 F = βt 2 β

- 6 5 7 5 4 4 6 : 9 2 4 8 2 ) 5 % 7 8 " 9 7 / 9 : 2 7 5 7 9 2

5 α 7 5 : 8 ( 5 4 & : 8 7 < ' % 8 2

' 7 ; 5 : 5 7 , % 3 " 9 5 2 4 5 : " 9 5 7 5 O

3 ' 6 6 : 5 % 2 4 4 " % , % 3 5 % ; ) 5 5 2 4

J %. :%K C ? # 2 %:

: 8 ; 6 2 3 2 ( 4 1 4 5 % 7 ; 5 : 5 7 8 9 4 2 ; 5 5 : 5 %

7 6 5 , 4 5 % 7 : 2 2 9 ; 5 5 : 5 % 7 8 7 5 6 : 5 8 9 2 4 8 6 : 5 6 5 : ! 8 5 $

4 4 7 ; 5 : 5 7 8 , : 8 ; F = −kv % 8 ( 9 8 7 8 5 7

5 9 : 2 2 4 8 7 ; 5 : 5 7 8 , : 8 ; 7 ; 5 : 2 4 8 8 6 : 5 % 2 4 4 5 5 6 $

8 7 7 5 : 2 6 5 : 5 3 4 2 2 6 : 2 2 4 " 2 7 1 8 ; 5 9 : 2

t 5 8 8 9 2 8 ; 5 6 5 7 : 9 4 2 4 8 + 7 # : ; 2 : 4 " 9 : 2 2 4 2

τ = m/k

7 5 9 8 # 6 : 2 " . 2 % ( 1 8 : 7 7 5 : 2 ; 5 % 9 $

: 8 4 2 , : 8 ; 3 : 5 , 2 4 4 " % 9 2 : 8 ; 4 5 9 9 2 : # 7 5 7 ; 5 : 5 7 + v1

9 2 : 4 7 9 4 1 4 + 5 1 ; 7 5 7 ; 5 : 5 7 + v2 % 8 9 : 2 2 5

9 8 * 2 4 8

2 8 1 8 4

pi = mivi

4 ( " 9 + @ 5 6 : i $ % 1 7 8 ! " 5 ; * 2 1 5 ( ; 4 5 %

7 8 7 2 " 1 7 8 ! 6 5 4 " % 8 6 7 7 5 # : 4 2 7

s m

5 4 7 8 F 2 % 7 9 + . 4 ( ; 4 + 7 8 7 2 1 $

7 8 ! 5 * 2 3 " 9 " : * 2 4 1 2 : 2 ( 7 8 " 9 ( 8 5 2 % 7 9 8 6 :

1 7 8 ! 2

F =

N∑

i=1

Fi =∑

i

∑

k 6=i

Fik .

2 : 2 6 8 7 9 ) 5 9 " : * 2 4 8 2 9 7 8 2 : 8 1 4 5 9 8 2

F =1

2

∑

i,k; i 6=k

(Fik + Fki)

8 8 7 6 5 ( 5 9 9 : 2 8 % ( ; 5 4 + 5 4 & ' 4 % / 1 5 6 5 $

4 7 8 : 9 4 4 + 2

F = 0 .

S

! 5 * 2 7 5 5 4 5 , 2 4 8 2 5 * 4 5 6 2 : 2 6 8 7 9 9 8 2 & 7 & ' '∑

i

Fi =∑

i

mivi =d

dt

(

∑

i

mivi

)

= 0 ,

5 ; 7 2 2 !

2

P =∑

i

mivi = const . (9.1)

7 8 7 8 7 2 1 7 8 ! 4 2 9 2 7 ( ; 4 5 % 8 4 4 2 / 2 % $

7 9 2 9 4 2 , 4 7 8

F =∑

i

Fi ,

5

dP

dt= F , (9.2a)

2 !

!

s

6 : 2 2 8 : 8 7 $ 9 2 ; 5 : R 4 8 P F F & 8 4 1 2 4 8 P F

@ 8 4 P @ @ ' 6 : 5 8 ( 9 5 4 5 % 7 8 7 2 " 1 7 8 ! 7 5 5 4 5 , 2 4 8 2

R =

∑

i miri

M, M =

∑

i

mi , (9.3a)

5 7 ; 5 : 5 7 9 8 * 2 4 8 ! 2 4 : 7 7

V = R =P

M, P =

∑

i

pi . (9.3b)

7 8 7 8 7 2 1 7 8 ! ( ; 4 5 2 / 6 5 4 " % 8 6 7 P 8

7 2 5 9 2 4 5 7 ; 5 : 5 7 ! 2 4 : 7 7 V 7 5 # : 4 + 7 7 8

7 8 7 2 1 7 8 ! 4 2 9 2 7 ( ; 4 5 % 5 7 ; 5 : 5 7 9 8 * 2 4 8

! 2 4 : 7 7 8 ( 2 4 2 7 7 5 7 4 5 & < '

MV = F . (9.2b)

5 5 4 5 , 2 4 8 & < ' & ' 6 5 ( 9 5 + : 7 7 : 8 9 6 5 7 6 $

2 4 5 2 9 8 * 2 4 8 2 7 8 7 2 " 1 7 8 ! ; ; 9 8 * 2 4 8 2 5 4 5 % 1 $

7 8 ! " 7 7 7 5 % M =∑

i mi

8 7 ; 5 : 5 7 + V.

! 5 5 ( 4 1 2

1 5 9 4 2 : 2 8 9 8 7 7 ; 5 % 2 # 4 8 ; 2 7 6 : 9 2 8 9

!

2 8 1 5 ) 5 9 2 : * 2 4 8 2 9 2 7

6 : " 7 2 7 9 8 2 ( ; 5 4 5 9 + 5 4 : 2 8 9 8 7 7 ; 5 % 2 $

# 4 8 ; 2 : 9 4 2 4 8 + 5 4 4 2 6 : 8 2 4 8 " 8 ; ; 3 2 6 5 ; $

( 4 5 ( ; 5 4 8 8 9 4 5 7 8 7 7 5 7 7 9 2

sm

7 7 5 : 8 ( ; 4 + 7 8 7 2 2 7 5 7 5 . + 8 ( 9 # 1 $

7 8 ! 7 8 9 ( 8 5 2 % 7 9 8 ; 5 5 : " # ( 9 8 7 8 8 , 5 9 ( 8 $

4 5 5 : 7 7 5 4 8 2 * 1 7 8 ! 8 & ; 4 ( " 9 2 J F I F 7 F

I B 4 5 ' 2

F12 = −F21 = F(r1 − r2) .

: 9 4 2 4 8 9 8 * 2 4 8

m1r1 = F(r1 − r2) , m2r2 = −F(r1 − r2) (9.4)

5 * 4 5 7 . 2 7 9 2 4 4 5 6 : 5 7 8 2 7 8 9 9 2 7 8 9 2 7 5 6 2 : 2 2 4 $

4 " # r1

8 r2

4 5 9 " 2 6 2 : 2 2 4 4 " 2 - : 8 7 $ 9 2 ; 5 : ! 2 4 : 7 7R =

m1r1 + m2r2

m1 + m2

8 : 8 7 $ 9 2 ; 5 : 5 4 5 7 8 2 4 5 5 : 7 7 5 4 8 2

r = r1 − r2 .

) 8 # 6 2 : 2 2 4 4 " # : 9 4 2 4 8 & ' : ( 2 + 7 2

R = 0, mr = F(r) . (9.5)

2 8 1 8 4

m =m1m2

m1 + m2(9.6)

4 ( " 9 + P @ B 4 I A 8 8 : " F : " 2 8 1 5 6 : 8 m2 m1

6 : 8 9 2 / 4 4 7 7 " 6 5 1 8 7 5 9 6 2 7 7 7 5 % / ; 5 % 1 7 8 ! "

m ≈ m1 ; 8 5 3 : ( 5 ( 1 9 # 2 7 9 5 8 7 ; : 9 4 5 2 : 4 5

8 6 : 5 8 4 2 % 4 5 9 8 * 2 4 8 + ! 2 4 : 7 7 7 8 7 2 "

R = R0 + Vt

8 ; 9 8 * 2 4 8 + 5 4 5 % 1 7 8 ! " 7 6 : 8 9 2 / 4 4 5 % 7 7 5 % m 6 5

2 % 7 9 8 2 7 8 " F(r)

m

: 8 2 : 8 7 " 7 : 2 2 8 ( 6 , ; 8 ; 1 5 3 " : 5

7 7 " m 6 5 6 5 9 4 2 6 : 8 2 7 ; 8 % 2 : 9 " 2 2 9 , 2 2 8 (

6 , ; 8 : 5 7 8 7 9 2 : # 5 3 : 5 4 M + 4 # ( 2 4 7 7 ; 5 5 : 5 5

5 m

( $ ( ) 5 5 : 5 4 2 5 2 2 5 ! 2 8 1 8 6 5 7 ;

3 : 5 4 4 : 5 3 7 5 + 4 5 4 2 6 : 8 : 5 4 % 8 ; ; +

1 7 6 8 5 4 2 6 : 8 2 7 ; 5 5 2 : 2 6 : 8 / 7 6 : 5 % 8

6 2 , ; 5

( 9 ( ; 5 4 2 ! 4 8 8 ( 6 5 7 ; 5 5 ; 3 ; 4 7 5 2 4 $

1 8 4 + 6 5 4 8 2 / 7 6 5 7 5 4 4 5 % 7 ; 5 : 5 7 + v 6 5 9 2 : 8 ; 8

9 9 2 : # 8 4 2 % 4 6 5 4 5 7 4 8 8 ρ % 8 ( 9 8 7 8 5 7 7 8 "

6 : 8 5 * 2 4 4 5 % ; ; 5 4 ! 4 8 8 5 9 " 7 5 " 6 5 4 5 % 1 7 8 4 8 8

7 ; 5 : 2 4 8 2 7 9 5 3 5 4 5 5 6 2 4 8 : 9 4 5 g

5 : 7 7 " m0

4 1 8 4 2 9 8 7 9 6 : 9 5 6 5

2 % 7 9 8 2 6 5 7 5 4 4 5 % 5 : 8 ( 5 4 4 5 % 7 8 " F

& : 8 7 < '

(

4 2 6 5 9 8 * 4 5 5 3 4 ; 2 : 4 4 2 / 9 " 7 " 6 2 7 6 2 7 5 ; ; 5 : 5 7 6 5 $

: ( ; 8 6 5 7 5 4 4 8 : 9 4 µ ; 7 % 8 ( 9 8 7 8 5 7 5 9 : 2 $

2 4 8 7 ; 5 : 5 7 8 8 7 ; 5 : 2 4 8 6 5 : " 9 6 : 5 ! 2 7 7 2 6 5 : ( ; 8

J %. 9%K C ? # 8 %;

5 2 : 5 ; : 2 : 5 3 9 " 6 5 4 2 4 8 ( 5 4 5 : 5 4 5 % 5 4 $

; 5 % 6 7 8 4 " 9 5 : 2 8 7 ; : 8 7 R 9 ; 5 5 : 5 9 " : 2 ( 4 5

5 9 2 : 7 8 2 9 5 : 2 ; : : 8 7 R/2 ! 2 4 : ; 5 5 : 5 5 4 # 5 $

8 7 4 : 7 7 5 4 8 8 R/2 5 ; : 4 5 2 : ; & : 8 7 < N ' % 8

; 5 5 : 8 4 " ! 2 4 : 7 7 4 5 2 : ;

! !

5 8 5 5 5 6 5 # 5 ; ( ; 5 4 8 4 8 ; 8 ; 5 5 : " % 8 ( 5 $

* 2 4 9 8 Q 5 6 : 2 2 2 4 4 " 2 6 : 2 8 . 2 7 9 5 * 2 6 : 2 7 9 $

2 : 4 8 9 4 " % 6 5 # 5 5 7 4 5 9 4 4 " % 4 ( ; 5 4 2 7 5 # : $

4 2 4 8 8 6 7 : 8 ) 5 6 2 : 9 8 1 4 " 7 1 8 2 7 7 2 + . 2 2

5 3 5 3 . 2 4 8 2 5 6 " 4 " # 4 4 " # 2 9 F I : " 7 F @ 4 : 8 : P @ @ G

F 6 : P 4 I 4 5 4 8 8 9 : 8 F 8 mi >8 F J B F 4 F : " > F 9

7 : I 5 J F 9 8 : " @ 4 7 F @

∑

i

mivi = const.

J %. 3%K C ? # 8 %:

2 8 1 8 4 mi

5 * 4 5 5 6 : 2 2 8 8 7 7 2 9 ( 8 5 2 % 7 9 8 2 i $ %

1 7 8 ! " 7 1 7 8 ! 2 % 7 7 ; 5 5 : 5 % m0

6 : 8 4 ( ) 5 4 4 +

7 9 4 2 ; 5 5 : " % 5 2 4 9 : 2 2 4 8 7 ; 5 : 5 7 8 1 7 8 ! : 9 4 " vi

8 v0 1 2 : 2 ( 4 2 ; 5 5 : 5 2 9 : 2 ) 8 * 2 7 ; 5 : 5 7 8 5 ; ( 8 7 : 9 $

4 " 8 v′i

8 v′0

5 8 ( ( ; 5 4 7 5 # : 4 2 4 8 8 6 7 7 2 2

: 9 2 4 7 9 5

mivi + m0v0 = miv′i + m0v

′0 ,

6 5 ( 9 5 + . 2 2 5 6 : 2 2 8 7 7 i $ % 1 7 8 ! " 2

mi = m0| v′

0 − v0 || v′

i − vi |.

) 5 6 5 # 5 2 7 8 Fi 2 % 7 9 + . 4 i $ + 1 7 8 ! : P 4 G

I 4 5 4 ; ; 6 : 5 8 ( 9 5 4 6 5 9 : 2 2 4 8 5 8 6 7 1 7 8 ! " 2

Fidef=

dpi

dt. (10.1)

5 2 : * 2 4 " 9 2 : * 2 4 8 2 6 : 5 ; 5 6 : 2 2 2 4 4 + 7 8

9 2 7 7 2 + . 2 2 5 3 5 3 . 2 4 8 2 5 6 " 4 " # 4 4 " # 2 4 ; ! 8

Fi

( 9 8 7 8 8 , 5 ; 5 5 : 8 4 & 8 3 " 5 * 2 7 ; 5 : 5 7 2 % '

9 ( 8 5 2 % 7 9 + . 8 # 1 7 8 ! 2

dpi

dt= Fi(ri, r2, . . . ,v1,v2, . . .) . (10.2)

2 7 5 : 4 ; * . + 7 6 : 5 7 5 ) 5 9 2 : * 2 4 8 2 9 $

2 7 5 7 5 1 4 5 7 8 4 " 2 4 4 5 5 4 5 6 5 ( 9 5 2 : 7 7 : 8 $

9 & < ' ; ; : 9 4 2 4 8 2 9 8 * 2 4 8 5 5 4 5 , 2 4 8 & ' & < ' ) ; $

9 8 9 2 4 4 " 9 5 : 5 ( ; 5 4 + 5 4 ( 4 8 # 7 2 2 1 5

4 # 5 * 2 4 8 9 8 * 2 4 8 7 8 7 2 " 1 7 8 ! 5 7 5 1 4 5 ( 4

7 8 " Fi(r,v) 8 4 1 4 5 2 7 5 7 5 4 8 2 7 8 7 2 " 1 7 8 ! 2 4 $

1 4 " 2 ( 4 1 2 4 8 ; 5 5 : 8 4 8 7 ; 5 : 5 7 2 % 1 7 8 !

7 7 5 : 8 ( ; 4 + 7 8 7 2 8 ( 9 # 9 ( 8 5 2 % 7 9 + $

. 8 # 1 7 8 ! 4 2 / 8 ( 7 5 # : 4 2 4 8 8 6 7 p1+p2 = const

7 2 2

dp1

dt= F12 = −dp2

dt= −F21,

2 : 2 8 % ( ; 5 4 + 5 4

" ! ! "

!

7 7 5 : 8 1 7 8 ! 6 2 : 2 2 . + . + 7 6 5 2 % 7 9 8 2 7 8 $

" F(r) 8 ( 5 1 ; 8 9 5 1 ; 9 5 4 2 ; 5 5 : 5 5 6 8 l ) 2 2 4

; 5 5 : 5 5 - 9 2 ; 5 : dl

& : 8 7 < > '

5 4 4 8 F P 8 : " P F : : " 7 8 " F 4 ( " 9 2 7 7 ; : 4 5 2 6 : 5 $

8 ( 9 2 2 4 8 2 7 8 " 4 9 2 ; 5 : 6 2 : 2 2 . 2 4 8 dl 2

dA = Fdl .

F : : " 7 8 " F 4 6 8 l 8 ( 5 1 ; 8 9 5 1 ; 4 ( " 9 2 7

9 2 8 1 8 4

A12 =

∫ 2

1

Fdl =

∫ 2

1

Fldl . (11.1)

J %. 0% # = E - ? ) D + @ C # ) # +

: 8 ( 4 4 5 % 4 ; ! 8 8 F(r) : 3 5 A12

( 9 8 7 8 9 5 5 3 . 2 5 $

9 5 : 4 2 5 ; 5 5 ; 5 5 : 8 4 5 1 2 ; 8 4 5 8 5 9 8 6 8 l ( 5 9 2 9 @ 8 4 @ 7 4 9 : " 8 4 P H @ 4 " 1 7 8 ! " 9 2 8 1 8 4

K =1

2mv2 .

; ; ;Fdl = m

dv

dtdl = mdv

dl

dt= mvdv = d

(

1

2mv2

)

= dK,

5 8 4 2 : 8 : ) 5 7 5 5 4 5 , 2 4 8 2 6 5 1 2

A12 =

∫ 2

1

Fdl =

∫ 2

1

dK = K2 − K1 , (11.2) 2 ! !

! " 2

mv22

2− mv2

1

2= A12 . (11.3)

! 5 7 5 5 4 5 , 2 4 8 2 9 2 7 6 5 2 ( 4 5 ; ; ; 7 9 ( " 9 2 5 ; $

4 " 2 # : ; 2 : 8 7 8 ; 8 1 7 8 ! " & 7 ; 5 : 5 7 8 9 ; 5 4 ! 2 8 4 1 2 : $

2 ; 5 : 8 8 ' 7 8 4 2 : 4 5 % # : ; 2 : 8 7 8 ; 5 % & : 3 5 5 % 7 8 " 4

4 4 5 6 8 '

?

m

2 5 7 7 " m 5 1 2 4 2 2 4 4 5 9 . 8 8 4 5 : ;

2 % 7 9 7 4 2 ; 5 5 : 5 % 6 2 : 2 2 4 4 5 % 6 5 9 2 8 1 8 4 2 7 8 5 % ! 7 8 $

9 ; * 5 % 5 1 ; 2 4 6 : 9 2 4 6 5 ; 7 2 4 5 % ; : 2 ; 5 : 8 8

& : 8 7 < - 6 : 8 2 : 4 5 ; 2 % 7 9 2 2 4 ; 8 % 1 2 5 9 2 ; ; 5 5 $

: " % 4 2 5 : 5 6 8 9 5 9 7 ; 8 9 2 7 4 ; 8 4 5 : ; ' % 8 : 3 5

) 5 % 7 8 " 2 7 8 9 " 7 5 5 : ; 8 h 8 4 5 7 4 5 9 4 8 a 8 ; 5 ) $

8 ! 8 2 4 : 2 4 8 µ J %. 2%K C ? # 1 1 %1

: 8 ; 6 2 3 2 ( 4 1 4 5 % 7 ; 5 : 5 7 8 9 6 5 2 * 2 $

7 8 : 2 6 5 1 5 7 8 7 5 6 : 5 8 9 2 4 8 9 5 ( # 6 : 5 6 5 : ! 8 $

5 4 4 ; 9 : 7 ; 5 : 5 7 8 , : 8 ; 4 % 8 ( 9 8 7 8 5 7 7 ; 5 $

: 5 7 8 5 9 2 8 1 8 4 " 6 : 5 % 2 4 4 5 5 6 8

!

7 8 9 5 9 7 2 6 : 5 7 : 4 7 9 2 ( 4 7 ; : 4 4 ; ! 8 f(r)

8 8 9 2 ; 5 : 4 4 ; ! 8 f(r) 5 5 9 5 : 5 9 F 5 P 8 : @ 5 @ B 4 9 G

: P 8 : : 5 4 : 8 2 : " - 7 ; : 4 5 2 6 5 2 2 6 2 : : (

T (r) 9 2 ; 5 : 4 5 2 6 5 2 7 ; 5 : 5 7 2 % * 8 ; 5 7 8 v(r) 8 4 $

4 5 7 1 2 6 5 2 - 1 8 7 5 2 8 1 2 7 ; 5 2 6 5 4 8 2

x

n

7 ( 4 5 6 5 2 7 8 " F(r).

7 8 : 3 5 ) 5 % 7 8 " 6 5

5 : J F 9 8 : 6 8 : 9 4 4 + 5 ; 7 8 4 ( " 9 $

2 7 : 4 8 @ F 5 6 8 : " @ 5 @ 9 : 8 4 P B F @ B 8 : " < 6 5 2 % ; 8 #

7 8 : 3 5

∫ 2

1

Fdl

4 2 ( 9 8 7 8 5 9 8 6 8 & 5 ; * 8 2 R ' ( 9 8 7 8 8 , 5 ; 5 $

5 : 8 4 5 1 ; 8 8 5 1 ; 8 5 ) 5 4 8 # 5 * 4 5 9 9 2 7 8

6 5 4 8 2 : 4 8 @ F 5 6 8 : " 8 4 P H @ @ 5 1 ; 8 6 5 7 : 9 4 2 4 8 + 7 6 5 $

2 4 ! 8 4 5 % ) 4 2 : 8 2 % 5 1 ; 8 5 6 : 2 2 8 9

U(r2) − U(r1) = −∫ 2

1

F(r)dl . (12.1)

7 +

dU = −Fdl , Fl = −∂U

∂l,

9 1 7 4 5 7 8

Fx = −∂U

∂x, Fy = −∂U

∂y, Fz = −∂U

∂z.

: 8 6 5 7 2 4 8 # 7 5 5 4 5 , 2 4 8 5 * 4 5 ( 6 8 7 9 ; 5 6 ; 4 5

9 8 2

F = −∂U

∂r, (12.2)

9 9 2 9 2 ; 5 : 4 " % 8 2 : 2 4 ! 8 4 " % 5 6 2 : 5 :

∂

∂r≡(

∂

∂x,

∂

∂y,

∂

∂z

)

.

( 5 6 : 2 2 2 4 8 9 " 2 ; 2 1 5 U(r) 8 U(r) + 7 5 5 $

9 2 7 9 + 5 4 5 8 5 * 2 6 5 + 7 8 6 5 ) 5 ) 8 9 2 6 5 $

2 4 ! 8 4 " 2 ) 4 2 : 8 8 8 ( 8 1 2 7 ; 8 ) ; 9 8 9 2 4 4 "

7 7 5 : 8 4 2 7 ; 5 ; 5 7 5 2 : * 2 4 " # 6 : 8 2 : 5 9

; 1 2 7 9 2 6 2 : 9 5 5 6 : 8 2 : : 7 7 5 : 8 7 8 : 2 4 8 !

7 8 5 3 " 1 4 5 4 6 : 9 2 4 6 : 5 8 9 5 6 5 5 * 4 5 7 ; 5 : 5 7 8 6 5 ) 5

2 / : 3 5 6 5 + 3 5 ( ; 4 5 ; 5 4 : 5 : 8 ! 2 4 2

∮

Fdl =

∮

Fv dt < 0 .

! 5 5 ( 4 1 2 1 5 7 8 : 2 4 8 4 2 9 2 7 6 5 2 4 ! 8 4 5 %

; 1 2 7 9 2 9 5 : 5 5 6 : 8 2 : : 7 7 5 : 8 6 5 2 5 4 5 2 : 4 5 %

7 8 " 9 8

F(r) = (f(x), 0, 0) . (12.3)

7 8 2 2 7 4 2 ; 5 5 : " % ( ; 4 " % ; 5 4 : l : 5 9 2 2 9 2

6 5 7 ; 5 7 8 5 : 5 5 4 4 " 2 5 7 8 x 8 6 2 : 2 7 2 ; + . 8 2 2 / 9 5 1 ; #

x 8 x + dx 7 5 5 9 2 7 9 2 4 4 5& : 8 7 < Q ' 7 ) 8 6 5 7 ; 5 7 8 9 " $

J %. 8%J $ ? B @ E ) ? C B + * & +

2 4 4 , 2 ; 5 4 : 2 9 1 7 ; dl1 8 dl2 : 4

: 3 5 7 8 " & ' 4 ) 8 # 9 # 1 7 ; # : 9 4 4 + 2F(r1) dl1 + F(r2) dl2 = f(x)dx − f(x)dx = 0 ,

S

5 ; 7 2 2 1 5 8 6 5 4 : 3 5 7 8 " & ' 4 9 7 / ( ; 4 $

5 ; 5 4 : 2 ; * 2 : 9 4 4 +

∮

Fdl = 0 .

7 7 * 2 4 8 ; 5 5 : 5 2 ; 5 6 5 9 5 : 8 8 6 : 5 8 ( 9 5 $

4 5 5 ( ; 4 5 5 ; 5 4 : 9 ; 5 5 : 5 9 2 ; ( 4 4 " 2 6 5 7 ; 5 7 8

9 " 2 4 2 9 6 : 5 8 ( 9 5 4 5 2& 4 5 5 3 ( 2 4 5 1 / 4 5 2 R ' 1 8 7 $

5 1 7 ; 5 9 8 6 dl1 8 dl2 8 5 2 " 5 ; * 2 1 5 4 4 5 2

6 5 2 7 8 9 2 7 6 5 2 4 ! 8 4 "

; 5 9 " 8 9 + 7 4 6 : 8 2 : 6 5 2 * 2 7 8 9 3 8 ( 8 6 5 $

9 2 : # 4 5 7 8 2 8 2 & 6 : 8 9 " 3 5 : 2 5 7 8 x 9 5 9 2 : 8 ; 8'

f(x) = −mg, U(x) − U(a) = mg(x − a),

8 6 5 2 7 8 5 4 5 2 : 4 5 5 8 4 2 % 4 5 5 5 7 ! 8 5 : ; 5 5 : 5 5

f(x) = −kx, U(x) − U(a) =1

2k(x2 − a2).

3 " 1 4 5 9 " 3 8 : + a = 0 8 U(a) = 0.

! 2 4 : 4 5 6 5 2 7 8 F(r) 4 6 : 9 2 4 6 5 8 8 6 : 5 8 9

: 8 7 $ 9 2 ; 5 :

F(r) ‖ ±r ,

6 5 ) 5 9 2 ; 5 : 4 4 ; ! 8 F(r) 8 2 2 9 8

F(r) = f(r) · rr

,

2 7 ; : 4 4 ; ! 8 f(r) ( 9 8 7 8 5 ; 5 5 5

: 8 7 $ 9 2 ; 5 : r ≡ |r| ; ; ; F(r) dl = f(r) dr 5 + $3 5 5 ( ; 4 5 5 ; 5 4 : 5 * 4 5 6 5 9 5 : 8 6 : 2 " . 2 2 5 ; $

( 2 7 9 5 7 2 8 4 7 9 2 4 4 " 8 ( 2 4 2 4 8 2 - ( 2 4 5 % 9 # 6 5 7 $

; 5 7 2 % 6 2 : 2 7 2 ; + . 8 2 5 7 x 9 5 1 ; # x 8 x+dx 4 9 2 7 2 : "

7 : 8 7 8 r 8 r + dr ) 5 7 1 2 8 2 2 & : 8 7 ='

J %; /%J $ = @ E ) ? C B + * & +

F(r1) dl1 + F(r2) dl2 = f(r)dr − f(r)dr = 0 ,

5 ; 7 2 2 1 5

∮

Fdl = 0 ,

2 ! 2 4 : 4 5 2 6 5 2 9 2 7 6 5 2 4 ! 8 4 "

L 5 : 8 : B 9 : 4 : 5 4

F(r) =α

r2 ·r

r, U(r) − U(a) =

α

r− α

a;

5 3 " 1 4 5 9 " 3 8 : + a = ∞ 8 U(a) = 0

= J : P : 8 " H F P : 8 @ 7 4 9 @ " : @ 5 5 : P

F(r) = −kr , U(r) − U(a) =1

2k r2 − 1

2k a2;

5 3 " 1 4 5 9 " 3 8 : + a = 0 8 U(a) = 0

m

9 + 7 8 6 5 2 4 ! 8 4 " 8 6 5 7 8 2

' F(x, y) = (αy, 0) O3 '

F(x, y) = (αx, βy)

% 8 6 5 2 4 ! 8 4 + ) 4 2 : 8 + 6 5 2 % 7 8 2

' F(x, y) = (α/x2, 0) O

§

3 '

F(r) = αrr2 + b2

% 8 7 8 F(r) 7 5 5 9 2 7 9 + . + 6 5 2 4 ! 8 4 5 %

) 4 2 : 8 8

U(r) = −α

r+

β

r2 .

: 8 ; 8 ( 9 8 7 8 5 7 8 5 r 6 5 2 4 ! 8 4 5 % ) 4 2 : 8 8 U(r)

8 : 8 4 5 % 7 5 7 9 + . 2 % 7 8 " Fr(r)

! !

7 8 1 7 8 ! 9 8 * 2 7 6 5 2 % 7 9 8 2 6 : 5 8 ( 9 5 4 5 % 7 8 "

5 8 ( 2 4 2 4 8 2 2 / ; 8 4 2 8 1 2 7 ; 5 % ) 4 2 : 8 8 : 9 4 5 : 3 5 2 ) 5 % 7 8 "

& ' 2

K2 − K1 = A12 .

7 8 * 2 ) 7 8 9 2 7 6 5 2 4 ! 8 4 5 % 5 5 6 5 4 8 2 4 5

2 / : 3 5 5 * 2 3 " 9 " : * 2 4 1 2 : 2 ( 8 ( 2 4 2 4 8 2 6 5 2 4 ! 8 $

4 5 % ) 4 2 : 8 8 1 7 8 ! " & < ' 2

K2 − K1 = A12 = − (U2 − U2) . ( 6 5 7 2 4 2 5 7 5 5 4 5 , 2 4 8 9 8 4 5 1 5 9 ) 5 7 1 2 : 5 8 F

8 4 P H @ 1 7 8 ! "

E = K + U

7 5 # : 4 2 7 2

E2 = K2 + U2 = K1 + U1 = E1 .

7 7 5 : 8 2 6 2 : ( ; 4 + 7 8 7 2 8 ( N 1 7 8 ! 9 ( 8 $

5 2 % 7 9 + . 8 # : 7 : 5 1 2 : 2 ( 6 5 2 4 ! 8 4 " 2 7 8 "

Fik = −∂Uik(ri − rk)

∂ri.

! 4 2 : 8 ) 5 % 7 8 7 2 "

E = K + U, K =∑

i

1

2mv2

i , U(r1, ..., rN) =∑

i,k;i<k

Uik(ri − rk)

(13.1)

7 5 # : 4 2 7 ; ; ; 7 1 2 5 & '

dE

dt=∑

i

(dK

∂vivi +

∂U

∂riri

)

=∑

i

vi(mivi − Fi) = 0.

7 7 5 : 8 2 6 2 : 4 2 ; 5 5 : + 6 5 7 8 7 2 8 ( s 1 7 8 ! ; 5 $

5 : 9 # 5 8 9 5 3 7 * 2 + 7 8 7 2 2 s < N

5 2 4 ! 8 $

4 ) 4 2 : 8 ) 5 % 6 5 7 8 7 2 " Us

( 9 8 7 8 * 2 4 2 5 ; 5

5 9 ( 8 4 " # : 7 7 5 4 8 % 2 * 1 7 8 ! 8 ) 5 % 6 5 7 8 7 2 "

ri−rk

& 6 : 8 i ≤ s 8 k ≤ s

' 4 5 8 5 9 ( 8 4 " # : 7 7 5 4 8 % 2 * $

1 7 8 ! 8 6 5 7 8 7 2 " 8 5 7 4 " 8 1 7 8 ! 8 ( ; 4 $

5 % 7 8 7 2 " 2 ri − rk

& 6 : 8 i ≤ s 4 5 k > s

'

7 7 5 : 8 7 $

1 % ; 5 5 7 4 " 2 1 7 8 ! " 8 : + : 5 9 4 2 , 4 8 # 7 5 9 8 %

9 ; 5 5 : " # 6 : 5 8 7 # 5 8 9 8 * 2 4 8 2 : 7 7 : 8 9 2 5 % 6 5 7 8 7 2 $

" 2 ; 5 9 2 8 1 8 4 " rk

6 : 8 k > s 9 + 7 8 ( 9 2 7 4 " 8

( 4 4 " 8 4 ; ! 8 8 9 : 2 2 4 8 rk = rk(t), k = s + 1, ..., N. 5 6 5 2 4 ! 8 4 ) 4 2 : 8 Us

6 : 2 7 9 2 7 5 3 5 % 4 ; $

! 8 + ; 5 5 : 8 4 1 7 8 ! 6 5 7 8 7 2 " 8 9 : 2 2 4 8 2

Us(r1, r2, ..., rs, t) =

s∑

i<k;i,k=1

Uik(ri−rk)+

s∑

i=1

N∑

k=s+1

Uik(ri−rk(t)).

: 8 9 8 * 2 4 8 8 1 7 8 ! 6 5 7 8 7 2 " 2 2 ) 4 2 : 8 Es = Ks + Us

Ks = 12

∑si=1 miv

2i ,

9 5 5 3 . 2 5 9 5 : 4 2 7 5 # : 4 2 7 ; ; ;dEs

dt=

s∑

i=1

vi(mivi − Fi) +∂Us

∂t=

∂Us

∂t. (13.2)

5 ; 5 9 5 7 1 2 2 7 8 ∂Us/∂t = 0 2 2 7 8 9 4 2 , 4 8 2

7 5 9 8 7 ! 8 5 4 : 4 " ) 4 2 : 8 Es

7 5 # : 4 2 7

m

4 ; 8 7 7 " m 7 ; " 9 + 7 7 5 : ; 8 8 6 : 5 % 6 5

5 : 8 ( 5 4 4 5 % 6 5 9 2 : # 4 5 7 8 6 a 5 7 4 9 8 9 + 7 % $

8 : 3 5 7 8 : 2 4 8 4 9 7 / 6 8 2 7 8 5 : ; 6 : 2 7 9 2

7 5 3 5 % 4 ; 5 4 4 + 6 5 7 ; 5 7 7 5 7 9 + . + 5 α 7 5 : 8 ( 5 4 $

5 ; 5 ) 8 ! 8 2 4 : 2 4 8 9 7 + : 9 2 4 µ

5 4 ! 8 8 4 : 8 1 2 7 ; 5 % 8 ( " 7 7 " M 4 # 5 $

. 2 % 7 4 ; 5 % 5 : 8 ( 5 4 4 5 % 6 5 9 2 : # 4 5 7 8 6 : 8 ; : 2 6 2 4

6 : * 8 4 ; * 2 7 ; 5 7 8 k 9 " 7 6 + . 4 : 7 7 5 4 8 2 x0

5

; : 8 ( " & : 8 7 ' : 8 ; 7 7 " m 4 2 2 4 6 : * 8 4 $

; % 8 8 4 8 4 + 7 ; 5 : 5 7 , : 8 ; 4 2 5 3 # 5 8 +

5 5 1 5 3 " ! 2 4 : , : 8 ; 5 2 2 5 5 9 2 : 7 8 8 ( "

J %; 1%K C ? # 1 ; %.

2 3 5 , 5 2 2 5 4 1 8 4 2 7 5 7 ; ( " 9 7 9 2 : , 8 4 "

( ; : 2 6 / 4 4 5 % 6 5 7 2 : " : 8 7 R

& : 8 7 < ' % 8 9 " 7 5

h 4 ; 5 5 : 5 % 2 5 5 5 : 9 / 7 5 6 5 7 2 : "

J %; .%K C ? # 1 ; %;

8 4 4 + ; + 7 6 8 ! 4 2 " 9 2 3 7 8 4 ; 8

7 7 " m 8 M

4 1 4 " % 5 2 4 / ; 3 7 8 4 ; 8 2 2

7 ; 5 : 5 7 v0

8 4 2 2 4 6 5 ; 5 8 9 , + 7 * / + 3 7 8 4 ;

& : 8 7 ' 5 7 2 6 : 5 5 7 5 : 2 4 8 / ; 3 7 8 4 ; 9 8 * 2 $

7 9 5 3 : 4 5 4 6 : 9 2 4 8 8 8 6 : 5 5 : * 2 7 5 ( , ; 8

4 2 9 5 ; : + 7 6 8 ! " 5 7 2 7 2 : 8 8 ; 8 # 7 5 : 2 4 8 % 4 7 $

6 8 5 2 4 ; 5 7 ; 5 : 5 7 / ; 5 % 3 7 8 4 ; 8 7 4 2 6 5 1 8 : 9 $

4 7 ; 5 : 5 7 8 * 2 5 % 3 7 8 4 ; 8

J %; ;%K C ? # 1 ; %:

2 4 A 6 : 2 2 5 6 : 2 2 8 ) 8 ; 5 4 2 1 4 " 2 7 ; 5 : 5 7 8

v 8 7 6 5 ( ( ; 5 4 7 5 # : 4 2 4 8 8 6 7 2 6 : 2 6 5 : $

9 2 4 7 9 5 mv0 = (m+M)v 7 + 5 4 4 , / ( 4 1 2 4 8 2 7 ; 5 : 5 7 8

v = mv0/(m + M) 2 4 B 6 : 2 2 5 6 : 2 2 8 7 ; 5 : 5 7 v 8 7 6 5 (

( ; 5 4 7 5 # : 4 2 4 8 ) 4 2 : 8 8 2 6 : 2 6 5 : 9 2 4 7 9 5

1

2mv2

0 =1

2(m + M)v2 .

7 + 5 4 4 , 2 ( 4 1 2 4 8 2 v =√

m/(m + M) v0 5 6 : 5 3 % 2 : 2 , 8 ) 5 7 6 5 :

! !

: 8 6 2 : 2 # 5 2 8 ( 5 4 5 % 8 4 2 : ! 8 4 5 % 7 8 7 2 " 5 7 1 / S

9 : + 8 4 2 : ! 8 4 + 7 8 7 2 5 7 1 / S ′ 6 5 2 4 ! 8 4

) 4 2 : 8 ( 9 8 7 . 5 9 ( 8 4 " # : 7 7 5 4 8 % 4 2 8 ( 2 4 2 7

; 8 4 2 8 1 2 7 ; ) 4 2 : 8 8 ( 2 4 2 7 2

K =1

2

∑

i

mi (v′i + V)

2= K ′ +

1

2MV2 + P′V ,

P′ =∑

i

miv′i , M =

∑

i

mi.

7 8 S ′ 7 8 7 2 2 7 7 8 7 2 ! 2 4 : 7 7 5 P′ = 0 8

K = K +1

2MV2

, E = E +1

2MV2

. (14.1)

5 7 4 5 ) 5 : 9 4 2 4 8 + 7 5 * 4 5 2 2 5 7 5 7 5 . 2 2 8 ( 9 ( $

8 5 2 % 7 9 + . 8 # 2 : 8 4 " # 5 1 2 ; 8 2 2 4 8 2 4 , +

) 4 2 : 8 + 9 7 8 7 2 2 ! 2 4 : 7 7 ! ) 4 2 : 8 + 4 ( " 9 + B 8 G

P 4 8 8 4 " 8 4 P H @ 4 " 2 2

E = E .

: 8 : 7 6 2 6 5 ; 5 8 9 , 2 5 7 7 5 * 4 5 5 2 4 4 2 7 ; 5 ; 5 3 5 $

2 2 6 : 5 7 " # 2 7 6 : 9 2 8 9 " ( ; 5 4 " 7 5 # : 4 2 4 8

E =∑

i

(

E i +1

2MiV

2i

)

,∑

i

MiVi = 0, (14.2) ; 1 5 : 7 6 9 5 ( 5 * 2 4 8 , 6 : 8

E >∑

i

E i. (14.3)

; 8 2 7 5 ; 4 5 9 2 4 8 6 : 8 ; 5 5 : " # 2 6 5 7 2 4 2 ; 5 5 : 5 5

7 3 8 * 2 4 8 : 7 # 5 7 3 2 ( 8 ( 2 4 2 4 8 7 9 5 2 5 9 4 : 2 4 4 2 5 7 5 $

7 5 4 8 & ( 4 1 8 8 9 4 : 2 4 4 2 % ) 4 2 : 8 8' 4 ( " 9 + 7 P G

H @ @ : 5 9 8 : B 4 8 @ @ < 7 7 5 : 8 6 : 8 2 7 5 : 2 4 8 9 #

1 7 8 ! 8 3 2 5 2 1 , : 8 # 5 ( 4 1 2 4 8 8 6 7 5 9 1 $

7 8 ! 6 5 7 2 7 5 : 2 4 8 ; 8 # 7 5 : 2 4 8 % 9 " 6 5 4 + 7

( ; 5 4 " 7 5 # : 4 2 4 8 6 5 4 5 5 8 6 7 8 6 5 4 5 % ; 8 4 2 8 1 2 7 ; 5 %

?

) 4 2 : 8 8 7 8 7 2 2 ! 2 4 : 7 7 ) 8 ( ; 5 4 " 7 5 # : 4 2 4 8 8 2 +

9 8

p1 + p2 = 0 = p′1 + p′

2 ,p2

1

2m1+

p22

2m2=

(p′1 )

2

2m1+

(p′2 )

2

2m2,

5 ; 7 2 + 7 5 5 4 5 , 2 4 8 2

p1 = −p2 , p′1 = −p′

2 , | p1 |=| p2 |=| p′1 |=| p′

2 | .

(14.4) 3 5 : 5 : 4 5 % 7 8 7 2 2 & 9 ; 5 5 : 5 % 9 5 : 1 7 8 ! 5 7 5 $

: 2 4 8 6 5 ; 5 8 7 ' ( ; 5 4 7 5 # : 4 2 4 8 6 5 4 5 5 8 6 7 7 8

p1 = p′1 + p′

2 .

; ; ; ! 2 4 : 7 7 9 8 * 2 7 9 3 5 : 5 : 4 5 % 7 8 7 2 2 7 5 7 ; 5 $

: 5 7 +

V =p1

m1 + m2,

5 7 9 ( 8 6 7 5 9 9 3 5 : 5 : 4 5 % 7 8 7 2 " 7 8 6 7 8 9

7 8 7 2 2 ! 2 4 : 7 7 ; 5 9 2

p1 = p1 + m1V ; p′1 = p′

1 + m1V , p′2 = p′

2 + m2V .

(14.5) 7 7 5 : 8 2 6 5 : 5 3 4 2 2 7 1 % 5 8 4 ; 5 9 " # 7 7 m1 = m2

; * 2 7 1 8 m1 m2

8 m1 m2. : 8 " ! ! 6 : 8 ; 5 5 : 5 9 2 1 $

7 8 ! " 6 : 2 9 : . + 7 9 5 4 9 " 6 5 4 2 7 ( ; 5 4 7 5 # : 4 2 4 8

8 6 7

p1 + p2 = p′ ,

4 5 4 1 4 ; 8 4 2 8 1 2 7 ; ) 4 2 : 8

K =p2

1

2m1+

p22

2m2

4 2 : 9 4 ; 5 4 2 1 4 5 % ; 8 4 2 8 1 2 7 ; 5 % ) 4 2 : 8 8

K ′ =(p′)2

2(m1 + m2).

x

: 8 8 ; 7 8 : 5 9 4 4 5 % 4 1 4 5 % ; 8 4 2 8 1 2 7 ; 5 % ) 4 2 : 8 8 K 6 5 $

2 : ; 8 4 2 8 1 2 7 ; 5 % ) 4 2 : 8 8 9 : 2 ( 2 7 5 : 2 4 8 K − K ′

; 7 8 4 ; 5 K ′ = 0 2 ; 5 7 5 : 2 4 8 2 6 : 5 8 7 # 5 8

9 7 8 7 2 2 ! 2 4 : 8 4 2 : ! 8 8 & 4 2 : 2 8 9 8 7 7 ; 8 % 4 5 6 : 2 8 $

. 2 7 9 9 7 : 2 1 4 " # 6 1 ; 5 9 '

m

: 7 7 " m1 8 2 + . 8 % 7 ; 5 : 5 7 v 4 2 2 4

4 2 6 5 9 8 * 4 " % , : 7 7 " m2

% 8 7 ; 5 : 5 7 8 v1

8 v2

, : 5 9

6 5 7 2 ! 2 4 : 4 5 5 6 : 5 5 : 7 7 5 : 2 6 5 : 5 3 4 2 2

7 1 8 m1 = m2 m1 m28 m1 m2

/ ; 8 % , : 8 ; 7 7 " m : 7 6 5 5 * 2 4 4 4 2 3 5 , 5

: 7 7 5 4 8 8 4 * / " , : 5 7 7 " M m ; 1 5 8 #

! 2 4 : " 4 # 5 7 4 5 4 5 % 9 2 : 8 ; 8 4 : 7 7 5 4 8 8 h 5

6 5 & : 8 7 '

4 1 4 " % 5 2 4 2 5 6 7 ; + 3 2 ( 4 $

1 4 5 % 7 ; 5 : 5 7 8 : 7 5 6 5 * / " % , : 5 7 ; ; 8 9 2

8 6 : 5 7 ; 8 9 2 7 7 / ; 8 , : 8 ; 5 ; ; + 9 " 7 5

6 5 4 8 2 7 / ; 8 % , : 8 ;

J %; :%K C ? # 1 : %.

: 7 7 " M 4 2 2 4 4 2 6 5 9 8 * 4 " % , : 7 7 "

m < M

% 8 ; 7 8 4 " % 5 5 ; 5 4 2 4 8 4 2 + . 2 5

, : 6 5 7 2 4 2 ! 2 4 : 4 5 5 6 : 5 5 :

!

! "

7 2 8 ( 1 2 " 2 9 ; 7 7 8 1 2 7 ; 5 % 2 # 4 8 ; 2 7 8 " 7 9 5 7 ;

4 2 4 4 " 7 8 : 9 8 ! 8 5 4 4 5 5 8 ) 2 ; : 5 4 8 $

4 5 5 9 ( 8 5 2 % 7 9 8 2 : 4 5 % 8 ( 8 ; 2 9 5 3 7 8 " # : 7 $

5 4 8 % . 10−15 7 . 2 7 9 2 4 4 + : 5 8 : + 7 8 4 5 2 8 7 3 5 2

9 ( 8 5 2 % 7 9 8

` p m

! 2 ; : 5 4 8 4 5 2 9 ( 8 5 2 % 7 9 8 2 5 9 2 7 9 2 4 4 5 ( 7 : 5 2 $

4 8 2 5 5 9 8 5 2 ; ( 6 : 8 2 7 8 " 7 8 " : 2 4 8 8 : 2 ; $

! 8 8 5 6 5 :

* 4 5 % 6 2 : 9 8 1 4 5 % # : ; 2 : 8 7 8 ; 5 % ) 2 2 4 : 4 " # 1 7 8 !

9 2 7 8 # ) 2 ; : 8 1 2 7 ; 8 % ( : q 8 8 2 5 5 7 7 9 8 2 M 2 * $

5 8 4 ; 5 9 " 8 ( : * 2 4 4 " 8 1 7 8 ! 8 9 5 ( 4 8 ; 2 5 $

; 8 9 4 8 2 M 2 * 1 7 8 ! 8 : ( 4 " # 8 6 5 9 5 3 " 7 8 "

8 3 5 6 : 8 * 2 4 8 8 3 5 5 ; 8 9 4 8 ; ; ; ) 2 ; : 5 4 8

6 : 5 5 4 & 6 2 : 9 " 2 5 ; : " " 2 ) 2 2 4 : 4 " 2 1 7 8 ! " ' 6 : 8 8 9 $

+ 7 : ; : 5 7 5 9 4 5 ( : ) 2 ; : 5 4 6 : 8 6 8 7 " 9 $

2 7 ( 4 ; 8 4 7 ( : 6 : 5 5 4 ( 4 ; 6 + 7 3 7 5 + 4 " 2

9 2 8 1 8 4 " ) 8 # ( : 5 9 5 ; ( 8 7 5 8 4 ; 5 9 " 2

qp = −qe = e ≈ 1, 6 · 10−19 ,

2 e - ; 4 ( " 9 2 " % 5 4 4 8 F P 8 " J F P I 5 3 " 1 4 5 9 2 $

. 2 7 9 2 ( : q = (Zp −Ze) e 2 Zp

8 Ze

- 1 8 7 5 6 : 5 5 4 5 9 8

) 2 ; : 5 4 5 9 9 4 4 5 9 2 . 2 7 9 2 5 1 2 1 4 " # ( : 5 9 9 2 8 $

S

1 8 4 5 + q1

8 q2

6 : 8 vi c 7 6 : 9 2 8 9 & > '

F21 = k q1 q2r

r3, r = r2 − r1 , (15.1)

2 k ≈ 9 · 109 · 2 2 5 4 5 9 7 ; 5 % 7 8 2 7 5 5 9 2 7 9 2

6 5 2 4 ! 8 4 ) 4 2 : 8 9 ( 8 5 2 % 7 9 8 9 # 1 7 8 !

U12 = kq1q2

| r2 − r1 |. (15.2)

4 ; ( : 8 2 5 9 2 8 1 8 4 : 8 # ) 2 2 4 : 4 " # 1 $

7 8 ! 2 6 2 : 5 * 4 5 7 4 5 9 8 4 3 + 8 # 9 ( 8 5 2 % 7 9 8 2

7 1 7 8 ! 8 ( : ; 5 5 : " # 8 ( 9 2 7 2 4 8 9 8 2 4 5 % 5 7 5 3 2 4 $

4 5 7 + ( : 9 2 7 5 1 5 9 7 2 # ( : * 2 4 4 " # ) 2 2 4 : $

4 " # 1 7 8 ! & ( 4 1 8 8 9 7 2 # ( : * 2 4 4 " # 2 ' 5 4 5 ; ( 7

6 5 3 7 5 + 4 5 % 9 2 8 1 8 4 2 ! 2 " ; : 4 " 5 ) 2 2 4 : 4 5 5

( : e 2 8 1 8 4 ( : 4 2 8 ( 2 4 2 7 6 : 8 6 2 : 2 # 5 2 5 5 $

4 5 % 8 4 2 : ! 8 4 5 % 7 8 7 2 " 5 7 1 / ; : 5 % 8 4 2 : ! 8 4 5 %

7 8 7 2 2 5 7 1 / 4 8 8 ( 4 2 4 4 " # ( ; 5 4 5 9 6 : 8 : 5 $

" 9 2 7 ! ! 2 ( ; 4 5 % 7 8 7 2 $

" 2 ∑

i

qi = . 4 8 ( 4 8 3 5 2 2 5 1 4 " # 6 : 5 9 2 : 5 ; ) 5 5 ( ; 5 4 - 6 5 7 $

3 8 4 5 7 8 ) 2 ; : 5 4 ! ; 7 6 2 : 8 2 4 4 5 7 4 5 9 2 4 5 1 5

9 : 2 * 8 ( 4 8 ) 2 ; : 5 4 τe > 4, 6 · 1026 2

7 8 ( : * 2 4 4 " 2 2 4 2 9 + 7 5 1 2 1 4 " 8 5 7 8

8 # 9 ( 8 5 2 % 7 9 8 5 * 4 5 4 % 8 : ( 3 8 9 ; * 5 2 2 5 4 $

" 2 & 6 5 1 8 5 1 2 1 4 " 2 ' 1 7 ; 8 8 6 : 8 2 4 8 9 5 : & '

9 ( 8 5 2 % 7 9 8 ) 8 # " # 1 7 ; 5 9 7 4 6 : 8 2 : 9 ( $

8 5 2 % 7 9 + 9 6 : 5 * 2 4 4 " # 2 7 ( : 8 q 8 q′ 2 : $

9 5 2 2 5 : ( 5 3 / 4 " 2 1 7 ; 8 7 ( : 8 qi : 8 7 $

9 2 ; 5 : " ; 5 5 : " # ri 9 5 : 5 2 - 4 " 2 1 7 ; 8 7 ( : 8

q′j

8 : 8 7 $ 9 2 ; 5 : 8 r′j 5 7 8 9 ( 8 5 2 % 7 9 8 ) 8 # 2

F21 =∑

ij

k qi q′j

rji

r3ji

, rji = r′j − ri . (15.3)

5 ( 7 ) 8 2 5 5 5 * 4 5 6 5 ; ( 1 5 : 9 4 5 2 : 4 5

( : * 2 4 4 " 2 7 2 : " 8 , : " 9 ( 8 5 2 % 7 9 + ; ; ; 3 5

8 # ( : " 7 5 7 : 2 5 5 1 2 4 " 9 8 # ! 2 4 : # 5 * 2 9 : 2 9 ( 8 $

5 2 % 7 9 8 2 : 9 4 5 2 : 4 5 ( : * 2 4 4 " # ; 5 2 ! 8 8 8 7 ; 5 9 ( 9 8 $

7 8 4 2 5 ; 5 5 : 7 7 5 4 8 2 * 8 # ! 2 4 : 8 4 5 8 5 8 #

9 ( 8 4 5 % 5 : 8 2 4 ! 8 8

3 7 6 : 8 2 4 8 5 7 8 ( ; 5 4 5 4 6 : 5 7 8 : 2 7 5 7 $

" # 3 5 , 8 # 5 " # : 7 7 5 4 8 % ∼ ~/(mec) ≈ 4 · 10−13

2 9 5 ( 4 8 ; + ; 9 4 5 9 " 2 6 5 6 : 9 ; 8 ∼ ke2/ (~c) ≈ 1/137 : 2 8 9 8 7 7 ; 5 % 5 3 7 8 7 8 9 ( 8 5 2 % 7 9 8 2 * ( $

: 8 * 2 4 2 5 6 8 7 " 9 2 7 ( ; 5 4 5 5 4 4 5 9 8 7

4 2 5 3 # 5 8 " 1 8 " 9 ( 6 ( " 9 4 8 2 9 ( 8 5 2 % 7 9 8 8 8 ( $

1 2 4 8 2 7 ; 5 : 2 4 4 5 9 8 * . 8 # 7 ( : 5 9 5 7 2 5 9 2 4 5 2

5 6 8 7 4 8 2 ) 2 ; : 5 4 8 4 5 5 9 ( 8 5 2 % 7 9 8 6 : 8 1 / 2 2 5 $

: 8 8 5 4 5 7 8 2 4 5 7 8 8 ; 9 4 5 9 5 % 2 # 4 8 ; 8 / 7 ; 9 4 5 9 5 %

) 2 ; : 5 8 4 8 ; 5 % 7 5 ( 4 4 5 % 9 5 7 4 5 9 4 5 9 Q Q &

2 % $

4 4

9 8 4 2 : 5 5 4 % 7 5 4'

; 9 4 5 $

9 5 % ) 2 ; : 5 8 4 8 ; 2 ) 2 ; : 5 4 8 4 5 2 6 5 2 : 7 7 : 8 9 2 $

7 ; ; 4 3 5 : ; 9 4 5 9 6 5 5 5 4 5 9 ( : * 2 4 4 " 2 1 7 8 $

! " 4 6 : 8 2 : ) 2 ; : 5 4 " 8 8 # 4 8 1 7 8 ! " 6 5 ( 8 : 5 4 " -

; ; ; 9 4 " ) 2 ; : 5 4 4 5 $ 6 5 ( 8 : 5 4 4 5 5 6 5 ( 8 5 2 % 7 9 8 2

) 2 ; : 5 4 5 9 : 7 : 5 8 8 7 6 5 ( 8 : 5 4 8 6 : 5 8 7 # 5 8 9

: 2 ( 2 5 3 2 4 5 5 4 8 2 * 4 8 8 ( 9 8 " % 4 5 7 4 5 $

9 2 ; 8 # 6 : 2 7 9 2 4 8 % 2 8 1 2 7 ; 8 % 6 6 : ; 9 4 5 9 5 %

) 2 ; : 5 8 4 8 ; 8 6 5 ( 9 5 2 6 : 5 9 5 8 : 7 1 / " ) 2 ; : 5 $

4 8 4 " # 6 : 5 ! 2 7 7 5 9 7 9 " 7 5 1 % , 2 % 5 1 4 5 7 + 2 " % : 6 : 2 $

7 ; ( 4 8 % ; 9 4 5 9 5 % ) 2 ; : 5 8 4 8 ; 8 6 : 5 9 2 : 7 9 1 7 4 5 $

7 8 9 5 6 " # 4 9 7 : 2 1 4 " # ) 2 ; : 5 4 $ 6 5 ( 8 : 5 4 4 " # 6 1 ; #

` p m

: 9 8 ! 8 5 4 4 5 2 9 ( 8 5 2 % 7 9 8 2 9 7 2 7 5 5 9 2 7 9 2 6 : 8 $

* 2 4 8 + 1 7 8 ! 3 + 6 2 4 8 , : 5 9 : ( 8 1 4 5 % 7 7 "

8 2 % 7 4 5 9 8 1 5 !

m 6 5 ) 5 F ∝ m 7 2 5 9 2 4 5

9 # 9 ( 8 5 2 % 7 9 + . 8 # 2 4 2 5 3 # 5 8 5

F21 ∝ m1m2 .

( 6 : 2 6 5 5 * 2 4 8 1 5F ∝ 1

r2,

+ 5 4 7 5 9 " 9 2 7 8 ( ; 5 4 " 2 6 2 : 9 8 * 2 4 8 6 4 2

& 7 < N ' ; 8 5 3 : ( 5 5 1 2 1 4 " # 7 7 m1

8 m2

6 : 8

vi c 7 6 : 9 2 8 9 ! & + $

5 4 N > ' 2

F21 = −G m1 m2r

r3, r = r2 − r1 , (15.5)

2 G - : 9 8 ! 8 5 4 4 6 5 7 5 4 4 ! 5 ( ; 5 4 5 8 1 2 7

5 ( ; 5 4 5 4 & ' ( 2 4 5 % k q1 q2 → −G m1 m2 ; 1 5

5 * 4 5 7 1 8 1 5 : 5 : 9 8 ! 8 5 4 4 " # ( : 5 9 8 : +

7 7 " 9 ( 8 5 2 % 7 9 + . 8 # 2 . 2 7 9 2 4 4 : ( 4 8 ! 7 5 7 5 $

8 9 5 1 5 ) 2 ; : 8 1 2 7 ; 8 2 ( : " 5 6 : 8 8 9 7 8 8

5 ; 8 9 7 9 5 9 : 2 ; ; : 9 8 ! 8 5 4 4 " 2 7 8 " 9 7 2

9 + 7 7 8 8 6 : 8 * 2 4 8

5 2 4 ! 8 4 ) 4 2 : 8 : 9 8 ! 8 5 4 4 5 5 9 ( 8 5 2 % 7 9 8

9 # 1 7 8 ! : 9 4

U12 = −Gm1m2

| r2 − r1 |. (15.6)

+ 5 4 5 ; ( 1 5 5 4 5 : 5 4 " 2 7 2 : " 8 , : " 9 ( 8 5 $

2 % 7 9 + ; ; ; 3 5 8 # 7 7 " 7 5 7 : 2 5 5 1 2 4 " 9 8 # ! 2 4 $

: #

> Q 9 2 4 8 , 8 7 6 5 ( 7 4 5 9 ; 7 ; : 8 4 " 8

9 2 7 8 5 6 : 2 2 8 ( 4 1 2 4 8 2 : 9 8 ! 8 5 4 4 5 % 6 5 7 5 4 4 5 %

G ≈ 6, 7 · 10−11

3

; · 72 .

5 4 " # 9 2 4 8 # : 9 8 ! 8 5 4 4 " 2 7 8 " 4 2 8 : + 4 8 $

; ; 5 % : 5 8 : 9 4 8 4 6 : 8 2 : : 9 8 ! 8 5 4 4 " 2 8 ) 2 ; : 8 $

1 2 7 ; 8 2 7 8 " 9 5 2 9 5 5 : 5 2

F

F

=Gmemp

ke2∼ 10−39 (15.7)

& 7 7 ) 2 ; : 5 4 me ≈ 0, 9·10−30 ; 6 : 5 5 4 mp ≈ 2 000 me

'

8 " 5 2 4 8 2 * 5 3 " 1 4 " 8 ; : 5 7 ; 5 6 8 1 2 7 ; 8 8 2 $

8 ; * 2 " ; 9 4 2 3 5 , 8 # 2 7 7 7 8 ∼ 1 ;

4 : 7 7 5 4 8 8 ∼ 1 6 : 8 8 9 + 7 : ; : 7 7 8 8

∼ 10−10 5 : 9 8 ! 8 5 4 4 " # 7 8 9 5 ( : 7 2 6 : 8 6 2 : 2 # 5 2

; 5 3 2 ; 3 5 , 2 5 7 , 3 1 5 ; 7 2 7 7 : 5 4 5 8 1 2 $

7 ; 8 # 2 5 7 8 " : 9 8 ! 8 8 8 : + 9 8 # 9 8 * 2 4 8 8 5 6 : 2 2 $

+ . + : 5 ! 2 ; : 5 7 8 1 2 7 ; 8 2 7 8 " 9 ; 8 # 7 , 3 #

; ; 6 : 9 8 5 4 8 1 5 * 4 " ; ; ; ) 8 2 9 ! 2 5 6 : ; 8 1 2 $

7 ; 8 ) 2 ; : 5 4 2 % : 4 " 7 4 2 3 2 7 4 2 # 4 8 ; 5 7 4 5 9 4 4

( ; 5 4 2 9 7 2 8 : 4 5 5 5 2 4 8

6 " 9 2 4 8 , 8 4 5 4 ( " 9 + 9 ( 9 2 , 8 9 4 8 2 2 8

; ; ; 5 4 6 5 ( 9 5 8 5 6 : 2 2 8 7 7 2 8 2 % 7 9 8 2 4 5

2 5 7 7 " m 4 6 5 9 2 : # 4 5 7 8 2 8 6 : 8 8 9 2 7 7 7 8 5 %

mg = Gm m

R2

,

2 R ≈ 6 400 ; - : 8 7 2 8 7 +

m =g R2

G≈ 6 · 1024 ; . (15.8)

4 5 8 1 4 5 ( 4 7 ; 5 : 2 4 8 2 2 8 9 2 / 5 8 1 4 5 9 8 * 2 4 8 8

9 5 ; : 5 4 ! a = ω2R = (2π/T )2 R 5 * 4 5 5 6 : 2 2 8 7 $

7 5 4 ! m = aR2/G

& ( 2 7 T = 1 5 8 R ≈ 150 4 ;

- 6 2 : 8 5 5 3 : . 2 4 8 8 : 8 7 5 : 3 8 " 2 8 '

9 : . 2 4 8 7 6 4 8 ; 9 3 8 ( 8 6 5 9 2 : # 4 5 7 8 2 8 4 2 5 3 $

# 5 8 5 6 : 8 2 4 P B 9 : @ 7 4 9 9 : P : 6 v1 5 6 : 2 $

2 2 + 8 ( : 2 3 5 9 4 8 1 5 3 " 6 : 5 8 ( 9 2 2 4 8 2 7 7 " 2 m

4 2 5 ! 2 4 : 5 7 : 2 8 2 4 5 2 7 ; 5 : 2 4 8 2 an = v21/R

: 9 4 5 7

7 8 2 : 9 8 ! 8 5 4 4 5 5 6 : 8 * 2 4 8 2

mv2

1

R

= Gmm

R2

= mg ,

5 ; 6 5 1 2

v1 =√

gR ≈ 8 ; 7 . (15.9) 2 4 8 2 7 6 5 9 2 : # 4 5 7 8 2 8 4 3 2 7 ; 5 4 2 1 4 5 7

4 2 5 3 # 5 8 5 6 : 8 2 B : P 9 : @ 7 4 9 9 : P : 6 v2

5 6 : 2 2 2 + 8 ( : 9 2 4 7 9 ) 4 2 : 8 % 2 9 3 8 ( 8 6 5 9 2 : # 4 5 7 8

2 8 8 4 3 2 7 ; 5 4 2 1 4 5 7 8 2

1

2mv2

2 − Gmm

R

= 0 .

; 8 5 3 : ( 5

v2 =√

2 v1 ≈ 11 ; 7 . (15.10)

5 ; 1 5 7 8 : 9 8 ! 8 5 4 4 5 5 6 : 8 * 2 4 8 6 : 5 6 5 : $

! 8 5 4 4 7 7 2 2 3 " 7 4 5 9 2 4 8 2 2 9 5 7 5 1 4 5

: 3 " # 5 6 " # 5 2 2 5 1 4 " 2 5 6 " " 6 5 ; ( 8 1 5 ) 5 9 2 : $

* 2 4 8 2 9 " 6 5 4 2 7 7 5 1 2 4 9 " 7 5 ; 5 % 5 1 4 5 7 + 4 2 4 $

4 5 2 ( 4 1 2 4 8 2 ) 5 5 ; 3 " 5 5 7 5 ( 4 4 5 ! % 4 , 2 % 4 5 8

6 5 5 * 2 4 5 9 5 7 4 5 9 7 5 ( 4 4 5 % 8 9 Q : 2 8 9 8 7 7 ; 5 %

2 5 : 8 8 5 2 4 8 ! % 4 , 2 % 4 4 ( 9 2 / : 4 " 4 : P @ 4 " : G

8 : @ 4 5 6 8 : @ 5 7 4 5 9 2 7 5 9 : 2 2 4 4 " # 5 2 2 % 5 3 : ( 5 9 4 8

8 : ( 9 8 8 7 2 2 4 4 5 % 2 * 8 4 2 7 ! 8 5 4 : 4 5 2 : 2 , 2 4 8 2 : 9 $

4 2 4 8 % 5 3 . 2 % 2 5 : 8 2 % 5 4 5 7 8 2 4 5 7 8 4 % 2 4 4 5 2 : 8 $

4 5 9 Q < < 4 5 9 1 7 4 5 7 8 5 6 7 ; 5 7 . 2 7 9 5 9 4 8 2

: 7 , 8 : + . 2 % 7 7 2 1 2 4 8 2 9 : 2 2 4 8 7 2 2 4 4 5 % 1 5 3 " 5

6 5 9 2 : * 2 4 5 7 : 5 4 5 8 1 2 7 ; 8 8 4 3 + 2 4 8 8 & ! 3 3

Q < Q '

! 8 4 3 + 2 4 8 7 4 5 9 8 8 1 5 9 8 8 7 2 2 4 4

: 7 , 8 : 2 7 8 ; 8 ; 8 + 7 : 5 : 7 6 5 $

( 8 ( 9 2 7 4 " 2 8 ( 8 1 2 7 ; 8 2 ( ; 5 4 " 5 * 4 5 6 : 5 ; : 8 6 2 4 $

; 4 ( 8 6 : 2 7 9 8 1 5 6 : 5 8 7 # 5 8 5 9 8 7 # 5 4 " % 5 2 4

8 8 : " 2 4 (

4 2 % , : ( : 3 5 ; ) 5 % 8 2 8 6 : 8 9 2 ; 8 6 5 2 ( 2

5 , 5 5 9 ( : " 9 & 5 9 Q N ' 7 5 7 4 5 ; 5 5 : 5 % 7 2 2 4 $

4 5 3 : ( 5 9 7 6 : 8 2 : 4 5 14 : 2 5 4 ( 8 ( 7 7 ;

9 2 . 2 7 9 5 1 2 4 5 5 : ( 2 : ! 5 7 7 5 ; 8 2 5 : 5 4 +

6 5 4 5 7 2 6 2 : : 8 9 2 4 8 2 : 2 8 2 4 5 : 7 , 8 : $

7 7 7 5 ; 5 7 " 9 9 2 4 8 2 9 4 / 6 5 ; ; : 8 4

: ( 9 8 8 7 2 2 4 4 5 % 6 5 9 2 : * 2 7 9 9 * 4 " 8 ; $

8

8 1 8 2 8 ; : 5 9 5 4 5 9 5 5 5 4 5 9 5 5 8 ( 1 2 4 8 6 : 8 # 5 $

. 2 5 4 2 + 6 5 1 8 8 ( 5 : 5 6 4 5 7 5 9 7 2 # 7 5 : 5 4 & ; 4 ( " 9 $

2 5 2 P 4 5 @ 9 : B : 4 @ J 5 7 4 8 @ 4 '

Q N 2 : 8 ; 4 7 ; 8 2 8 ( 8 ; 8 2 4 ( 8 7 8 8 7 5 4 5 3 $

4 : * 8 8 1 5 7 2 2 4 4 4 6 5 4 2 4 ) 2 ; : 5 4 8 4 " 8 ( $

1 2 4 8 2 9 8 ; : 5 9 5 4 5 9 5 8 6 ( 5 4 2 1 7 5 ; 7 8 8 4 $

2 4 7 8 9 4 5 7 8 6 : 8 # 5 8 7 4 8 4 " 9 5 4 5 ; 5 5 5 7 2 $

+ . 8 2 8 ( 2 : 2 4 8 6 5 ; ( 8 1 5 ) 5 # : ; 2 : 4 5 2 8 ( 1 2 4 8 2

7 9 5 % 7 9 2 4 4 5 2 5 3 2 ; 7 2 6 2 : : 5 % 5 ; 5 5 −270 o & 8 8

' 2 9 7 2 5 4 : 8 : 7 9 " , 2 3 7 5 + 4 5 5 4 5

7 8 2 4 ( 8 7 8 8 7 5 4 5 6 : 2 2 8 8 2 6 2 : : 7 2 2 4 4 5 %

6 5 7 2 5 5 ; ; 5 4 5 7 " 9 6 5 7 2 5 , 5 5 9 ( : " 9 4 6 : 5 $

* 2 4 8 8 6 : 8 2 : 4 5 : 2

<

" 7 5 ; : 7 6 : 5 7 : 4 2 4 4 5 7 2 8 9 5 7 2 2 4 4 5 % 7 5 5 $

9 2 7 9 + . 6 : 8 2 : 4 5 1 2 9 2 : 5 % 1 7 8 9 7 2 # 5 4 " # 2 :

6 5 7 7 2

4 4 7 2 2 4 4 9 6 2 : 9 " 2 8 ; : 5 7 2 ; 4 " 6 5 7 2 5 , 5 5

9 ( : " 9 3 " 5 1 2 4 5 : 1 2 % 2 / 2 6 2 : : 7 5 7 9 : 8 $

8 5 4 " : 7 5 9 5 2 4 5 , 5 5 9 ( : " 9 5 * 4 5 3 " 5

6 : 5 % 8 5 ; 5 5 : 2 # 8 4 6 : 2 * 2 1 2 7 2 2 4 4 5 7 " 4 $

7 5 ; 5 1 5 3 " ) 2 2 4 : 4 " 2 1 7 8 ! " 4 1 8 5 3 : ( 5 9 " 9

7 5 % 1 8 9 " 2 : 2 ; 8 # ) 2 2 4 5 9 4 ; 5 ) 5 6 2 : 9 8 1 4 5 2 5 3 $

: ( 5 9 4 8 2 2 : & ; 4 ( " 9 2 " % 8 9 5 4 : @ 8 4 J ' 4 : 4 4 2 %

7 8 8 : 7 , 8 : 2 4 8 7 2 2 4 4 5 % 6 : 5 5 * 7 5 1 2 4 4 2 5 5

7 ; 5 : 2 6 5 7 2 6 2 : 9 " # : 2 # 8 4 1 7 8 ! " : ( 2 2 8 7 ;

2 ; 5 : 5 : 1 5 7 5 ; 4 5 9 2 4 8 2 * 4 8 8 7 8

; : % 4 2 : 2 ; 8 8 ) 5 ; : ; 8 % 6 2 : 8 5 6 2 : 9 8 1 4 5 5 4 ; 2 $

5 7 8 4 2 ( 9 : 2 ( 2 7 5 : 2 4 8 % 6 : 5 5 4 5 9 8 4 2 % : 5 4 5 9 8 5 3 $

: ( 5 9 7 2 % 2 : 8 % & * 2 " % 8 ( 5 5 6 9 5 5 : 5 7 5 4 8 6 : 5 $

5 4 5 8 5 4 8 4 2 % : 5 4 5 9 : 2 ' ' 2 8 % $ & 9 6 : 5 5 4 8

4 2 % : 5 4 ' 2 8 % $ & 9 6 : 5 5 4 8 9 4 2 % : 5 4 ' 8 9 4 2 ( 4 $

1 8 2 4 5 ; 5 8 1 2 7 9 2 8 8 % $ > & : 8 6 : 5 5 4 8 1 2 " : 2 4 2 % $

: 5 4 ' 7 2 3 5 2 2 * 2 " 2 ) 2 2 4 " 5 3 : ( 5 9 8 7 6 5 ( * 2

* 2 6 : 8 5 : 8 : 5 9 4 8 8 ( 9 2 ( 2 5 : 8 5 , 5 5 9 ( : " 9 6 5 ( $

?

9 5 2 5 6 : 2 2 8 2 6 2 : : : 4 4 2 % 7 2 2 4 4 5 % 8 1 7 5

7 5 : 2 4 8 % 1 7 8 ! 9 4 2 % ; 7 2 7 9 8 2 " 5 * 2 : 7 7 1 8 $

7 5 5 4 5 , 2 4 8 2 1 8 7 : ( 8 1 4 " # 2 : 2 ; 8 # ) 2 2 4 5 9

4 6 2 : 9 8 1 4 5 % 7 8 8 : ( 9 8 8 7 2 2 4 4 5 % : 9 4 8 9 ) 8 6 : 5 $

4 5 ( " 7 : 2 4 5 4 3 + 2 " 7 5 5 4 5 , 2 4 8 2 2 ; 8 # ) 2 2 4 $

5 9 & 7 6 5 6 : 9 ; 5 % 4 8 # 5 3 : ( 5 9 4 8 2 9 ( 9 2 ( # ' " 5 3 4 : $

* 8 9 2 9 6 2 1 + . 2 2 7 5 5 9 2 7 9 8 2 2 * 2 5 : 8 2 % 8 4 3 + $

2 4 8 8

` p

( 9 2 7 4 5 1 5 9 6 : 8 : 5 2 7 . 2 7 9 + 7 3 8 4 " 2 : 5 $

5 9 8 2 + . 8 2 " % : ( 2 : 6 5 : ; 10−15 ÷ 10−14 8 7 5 7 5 $

. 8 2 8 ( 6 : 5 5 4 5 9 p 8 4 2 % : 5 4 5 9 n 1 5 3 " 2 : * 8 9 6 : 5 $

5 4 " 8 4 2 % : 5 4 " 9 : 2 5 * 4 5 7 . 2 7 9 5 9 : 5 2 6 5 $

8 5 ) 2 ; : 5 4 8 4 5 5 9 ( 8 5 2 % 7 9 8 2 ) 8 # 1 7 8 ! ; 5 2

@ 5 6 8 : 4 @ 5 @ I 4 P 8 : 4 B J F @ : I 4 " B @ 4 7 5 5 9 2 7 9 2 7 8

5 5 : 8 7 8 3 5 , 5 % 8 4 2 4 7 8 9 4 5 7 8 : 8 7 3 8 * 2 4 8 8

2 : 4 " # 1 7 8 ! 4 " 2 : 7 7 5 4 8 5 4 5 9 7 6 2 9 8 : 8

6 : 8 9 5 8 ; 8 4 2 4 7 8 9 4 5 5 3 : ( 5 9 4 8 + 4 5 9 " # 2 : 8 8 1 $

7 8 ! : 8 7 5 : 2 4 8 8 2 : 4 " # 1 7 8 ! 9 " 7 5 ; 5 % ) 4 2 : 8 8 5 $

* 2 6 : 5 8 7 # 5 8 4 5 * 2 7 9 2 4 4 5 2 5 3 : ( 5 9 4 8 2 1 7 8 ! 6 : 8 $

2 : 6 : 8 ! 2 4 : 4 5 7 5 : 2 4 8 8 2 : ( 5 5 : ( 5 4 4 4 " #

5 9 " 7 5 ; 5 % ) 4 2 : 8 8 4 7 ; 5 : 8 2 2 $ & : ; # ) 9 2 4 '

5 3 : ( 2 7 4 2 7 ; 5 ; 5 " 7 1 9 5 : 8 1 4 " # 1 7 8 !

2 : 4 5 % 8 ( 8 ; 2 ; : 5 2 7 8 4 5 5 9 ( 8 5 2 % 7 9 8 7 . 2 $

7 9 2 ; * 2 5 F : 4 B J F @ : I 4 " B @ 4 5 9 2 7 9 2 4 4 5 2 ( : 7 $

6 4 5 8 # 5 5 * 8 9 . 8 # 1 7 8 ! 8 ( : 2 ; ! 8 8 7 1 7 8 2 $

; 8 # 1 7 8 ! ; ; 4 2 % : 8 4 5 ν ; 5 5 : " 2 4 2 1 7 9 + 9 ) 2 ; : 5 $

4 8 4 5 8 7 8 4 5 9 ( 8 5 2 % 7 9 8 # 8 4 8 ( 6 2 : 9 " # 8 7 $

7 2 5 9 4 4 " # 6 : 5 ! 2 7 7 5 9 5 3 ( 4 4 " # 7 3 5 9 ( 8 5 2 % 7 9 8 +

3 " : 7 6 4 2 % : 5 4 " 5 5 3 4 : * 2 4 5 1 5 7 9 5 3 5 4 " % & 9 4 2

x

: ' 4 2 % : 5 4 ( 9 : 2 6 : 8 2 : 4 5 900 : 7 6 2 7 4 6 : 5 $

5 4 ) 2 ; : 5 4 8 4 2 % : 8 4 5 & 5 1 4 2 2 4 8 4 2 % : 8 4 5 ν

' 2n → p + e + ν .

3 5 : 5 : 4 " # 7 5 9 8 # 4 2 % : 8 4 5 9 " 7 5 ; 8 # ) 4 2 : 8 % 6 5 $

1 + 9 5 7 4 5 9 4 5 ( 7 1 / : 7 6 4 2 9 " 7 5 ; 5 ) 4 2 : 8 1 4 " #

6 8 $ 2 ( 5 4 5 9 π 4 + 5 4 " µ 8 4 2 % : 8 4 5 2π− → µ− + ν .

5 1 2 4 4 " 2 ; 8 5 3 : ( 5 6 1 ; 8 4 2 % : 8 4 5 5 * 4 5 8 7 6 5 ( 5 $

9 8 ( 1 2 4 8 9 ( 8 5 2 % 7 9 8 4 2 % : 8 4 5 7 : 8 8 1 7 8 $

! 8 6 : 8 2 : 6 : 8 7 5 : 2 4 8 8 4 2 % : 8 4 5 9 " 7 5 ; 8 # ) 4 2 : 8 %

7 6 : 5 5 4 5 5 3 : ( 2 7 + 5 4 8 4 2 ; 5 5 : 5 2 1 8 7 5 9 5 : 8 1 4 " #

1 7 8 ! & 9 5 7 4 5 9 4 5 6 8 $ 2 ( 5 4 5 9' 2

ν + p → µ+ + 9 5 : 8 1 4 " 2 1 7 8 ! " . (15.11)

7 4 5 9 4 " 8 # : ; 2 : 8 7 8 ; 8 9 ( 8 5 2 % 7 9 8 9 + 7

: 8 7 2 % 7 9 8 7 8 8 8 # 8 4 2 4 7 8 9 4 5 7 ; 1 2 7 9 2 4 4 5

: 5 9 4 2 9 7 2 9 ( 8 5 2 % 7 9 8 5 6 8 7 " 9 + 7 6 5 2 4 ! 8 4 5 % ) 4 2 : $

8 2 % 9 8

U(r) =Q2

re−r/R , (15.12)

2 9 2 8 1 8 4 Q 5 ( 4 1 2 7 5 5 9 2 7 9 + . 8 % ( : R - G

4 9 @ B 8 " P F I @ I 4 " B @ @ 5 : 8 4 5 # : ; 2 : 8 ( 5 9

7 8 9 ( 8 5 2 % 7 9 8 3 2 ( : ( 2 : 4 5 % 9 : 8 F 8 : " B J F @ : I 4 " G

B @ 2

α =Q2

~c. (15.13)

: 9 4 8 9 5 : & < ' 7 4 5 8 1 4 " 9 " : * 2 4 8 2 & < '

) 2 ; : 5 4 8 4 5 5 9 ( 8 5 2 % 7 9 8 ) 2 ; : 5 4 5 9 8 8 6 : 5 $

5 4 5 9 4 # 5 8 1 5 Q2 9 ) 5 7 1 2 7 5 9 6 2 7 9 2 8 1 8 4 5 %

ke2 R 5 3 : . 2 7 9 3 2 7 ; 5 4 2 1 4 5 7 ; 5 4 7 4 9 ( 8 5 $

2 % 7 9 8 7 5 9 6 2 7 6 5 7 5 4 4 5 % α

& ' 2

R = ∞ , α =ke2

~c≈ 1

137. (15.14) .

4 5 8 1 4 5 : 9 8 ! 8 5 4 4 5 5 9 ( 8 5 2 % 7 9 8 4 # 5 8

7 : 9 4 8 9 & < ' 7 ; 8 * 2 9 " : * 2 4 8 2 & N ' : 9 8 ! 8 5 4 $

4 5 5 9 ( 8 5 2 % 7 9 8 9 # 6 : 5 5 4 5 9 1 5

R = ∞ , α =Gm2

p

~c≈ 10−38 . (15.15)

7 8 4 5 5 9 ( 8 5 2 % 7 9 8 ) 2 ; 8 9 4 " % : 8 7 2 % $

7 9 8 7 8 ; 5 4 7 4 9 ( 8 5 2 % 7 9 8 6 5 1 8 9 = = : (

3 5 , 2 ) 2 ; : 5 4 8 4 5 % 2

R ≈ 10−15 , α ≈ 100 α ≈ 1 . (15.16)

5 9 : 2 2 4 4 2 5 : 8 7 8 4 " # 9 ( 8 5 2 % 7 9 8 % 4 ( " 9 2 7

9 B F 8 : B : " P : : I @ 8 F @ 9 : " 7 8 7 8 4 5 9 ( 8 5 2 % 7 9 + $

. 8 2 1 7 8 ! " 4 ( " 9 + 7 F I P : 8 F @ 5 , 8 4 7 9 5 : 5 4 5 9

6 : 2 7 9 2 7 5 3 5 % 4 2 7 3 8 4 " 2 1 7 8 ! " 8 # 1 8 7 5 7 5 7 9 $

2 4 2 7 ; 5 ; 5 7 5 2 4 8 ; * " % 5 ; ; 6 : 9 8 5 6 : 5 8 7 # 5 8

5 ; : " 8 2 4 2 7 ; 5 ; 8 # 4 5 9 " # : 5 4 5 9 ; 9 4 5 9 5 % # : 5 5 8 $

4 8 ; 2 9 7 2 : 5 4 " 6 : 2 7 9 + 7 5 3 5 % 7 9 ( 4 4 " 2 7 5 7 5 4 8

3 5 2 2 4 2 4 4 " # 1 7 8 ! - 9 B F P 9 : B ; 5 5 : " # 4 7 1 8 " $

9 2 7 9 7 2 5 , 2 7 9 : ; 8 9 ( 8 5 2 % 7 9 + : 7 : 5 9

: 2 ( 2 5 3 2 4 H 5 : 8 F @ 5 8 1 8 2 5 : 5 4 5 9 ; 9 : ; 8

8 + 5 4 " 5 3 + 7 6 2 ! 8 8 1 2 7 ; 5 % # : ; 2 : 8 7 8 ; 5 % ; 5 5 $

: 3 " 7 5 9 4 5 4 ( 9 4 B 4 : 9 5 6 5 1 2 9 4 ( 9 4 8 8

2 5 : 8 8 7 8 4 5 5 9 ( 8 5 2 % 7 9 8 6 : 8 7 7 9 2 7 5 9 5 # : 5 5 $

& 8 8 ! 9 2 5 $ ' 8 4 8 ;

; 5 4 2 ! 7 3 5 2 9 ( 8 5 2 % 7 9 8 2 5 3 2 2 . / 3 5 2 2 "

: 8 7 5 9 ( 8 5 2 % 7 9 8 2 5 ; 5 4 7 4 9 ( 8 5 2 % 7 9 8

2 4 , 2 1 2 ) 2 ; : 5 4 8 4 5 5 4 5 3 5 , 2 1 2 : 9 8 $

! 8 5 4 4 5 5 9 ( 8 5 2 % 7 9 8 2

R ≈ 10−18 , α ≈ 10−6 . (15.17)

2 5 : 8 5 6 8 7 " 9 + . 7 3 " 2 9 ( 8 5 2 % 7 9 8 3 " 7 5 ( $

4 7 : 9 4 8 2 4 5 4 2 9 4 5 3 5 2 9 ( 8 5 2 % 7 9 8 2 9 5 ( 4 8 ; 2

9 : 2 ( 2 5 3 2 4 5 7 5 3 " 8 1 7 8 ! 8 - W 8 Z

3 5 ( 5 4 $

8 ; 8 1 2 7 ; 8 9 ) 5 % 2 5 : 8 8 3 " : 2 8 ( 5 9 4 2 8 4 " % 6 5 $

# 5 ; 5 6 8 7 4 8 + ; ; 7 3 " # ; 8 ) 2 ; : 5 4 8 4 " # 9 2 4 8 %

2 3 " 7 5 ( 4 : 4 I @ 8 A 8 8 F 4 : P @ 5 4 9 P : F H 8 @ 8

@ 5 F B J F @ : I 4 " B @ " & % 4 3 2 :

) $

, 5 Q N > ' 5 9 " 2 1 7 8 ! " W 8 Z

3 5 ( 5 4 " 9 9 2 / 4 4 " 2 9 ) 5 %

2 5 : 8 8 9 7 ; 5 : 2 3 " 8 5 ; : " " ) ; 7 6 2 : 8 2 4 4 5

3 2 8 4 / 4 4 2 5 : 8 ) 2 ; : 5 4 8 4 " # 8 7 3 " # 9 ( 8 $

5 2 % 7 9 8 % 8 ; 9 4 5 9 # : 5 5 8 4 8 ; 5 3 : ( + ; 4 ( " $

9 2 + E F 8 I F P 8 : I 4 5 6 9 ( 8 5 2 % 7 9 8 ) 2 2 4 : 4 " #

1 7 8 ! ; 5 5 : # 5 : 5 , 5 5 6 8 7 " 9 2 : 5 4 + 7 5 9 5 ; 6 4 5 7

) ; 7 6 2 : 8 2 4 4 " # ; 5 9 5 * 2 9 : 2 7 . 2 7 9 2 4 2 ; 5 $

5 : 5 2 ; 5 8 1 2 7 9 5 9 * 4 " # ; 5 9 ; 5 5 : " 2 ( 7 9 + $

1 5 9 7 ; 5 : 2 " 7 2 2 ; ( 5 7 5 1 4 5 5 6 : 2 2 / 4 4 5

5 3 7 6 : 8 2 4 8 5 7 8 4 : 4 5 % 5 2 8 8 9 8 2 2 / : 7 $

, 8 : 2 4 8 2

R S T S

, $ / - * ( ( . * . ) & - ( ' & # ( ) &

!

2 : 2 8 9 8 7 7 ; 8 % 8 6 7 mv = dr/dt 4 2 9 2 7 ; 5 6 5 $

4 2 4 5 % ; ; 5 5 $ 8 3 5 $ 9 2 ; 5 : 6 5 ) 5 ( ; 5 4 7 5 # : 4 2 4 8 6 5 $

4 5 5 4 2 : 2 8 9 8 7 7 ; 5 5 8 6 7 ( ; 4 5 % 7 8 7 2 " 2 4 2

8 2 2 ; 5 9 : 8 4 4 5 5 9 8 2 5 * 2 4 : , 7 6 : 8 5 : 2 4 $

! 2 9 " # 6 2 : 2 # 5 # ; : 8 8 4 2 : ! 8 4 " 7 8 7 2 5 7 1 /

7 2 7 9 2 4 4 5 2 : 2 8 9 8 7 7 ; 5 2 5 3 5 3 . 2 4 8 2 8 6 7 7 5 7 5 8 9

( 2 4 2 7 ; 5 : 5 7 8 v 9 4 2 : 2 8 9 8 7 7 ; 5 9 " : * 2 4 8 8 p = mv

4 $ 7 ; 5 : 5 7 uµ 5 6 : 2 2 / 4 4 + 5 : 5 % & > > ' 2

mv = mdr

dt→ pµ = muµ = m

dxµ

dτ, (16.1a)

2

pµ = (p0,p) , p0 =mc

√

1 − v2

c2

, p =mv

√

1 − v2

c2

. (16.1b)

` t n a j

1 2 " : 2 ; 5 6 5 4 2 4 " pµ

5 3 : ( + G B 4 9 : P 8 4 P H @ @

@ 5 6 F & 8 8 G @ 5 6 ' 5 4 2 9 ; 5 6 5 4 2 4 5 4 5 $

* 2 4 4 4 c

ε = cp0 =mc2

√

1 − (v2/c2)(16.2a)

4 ( " 9 2 7 P 4 5 @ B @ 9 : " 8 4 P H @ 4 " B : : I 8 : " 7 F @

6 : 2 2 ε 6 : 8 v → 0 2

ε0 = mc2 , (16.2b)

4 ( " 9 2 7 8 4 P H @ 4 " : 9 : ; 5 : 5 7 1 7 8 ! " 7 9 ( 4 7 2 /

) 4 2 : 8 2 % 8 8 6 7 5 7 5 5 4 5 , 2 4 8 2 v =

p

εc2 . (16.3)

7 2 8 2 + . 8 2 7 ) ; 7 6 2 : 8 2 4 4 " 2 4 4 " 2 6 5 9 2 : * +

1 5 6 : 8 7 5 : 2 4 8 # 8 : 7 6 # 8 2 2 2 7 5 !

! ! !

: 2 ( 2 : 2 ; ! 8 8 1 8 7 5 1 7 8 ! N 5 * 2 8 ( 2 4 8 7 4 5

7 : 4 : 2 8 9 8 7 7 ; 5 % ) 4 2 : 8 1 7 8 ! 5 7 5 : 2 4 8 8 8

: 7 6 5 3 ( 2 4 5 : 9 4 7 : 4 5 % : 2 8 9 8 7 7 ; 5 % ) 4 2 : $

8 8 4 5 9 " # 1 7 8 ! 6 5 7 2 7 5 : 2 4 8 8 8 : 7 6 O 5 * 2 7 5 2

9 " 6 5 4 2 7 8 7 : 4 5 5 : 2 8 9 8 7 7 ; 5 5 8 6 7 2

N∑

i=1

εi =

N ′∑

j=1

ε′j ,N∑

i=1

pi =

N ′∑

j=1

p′j . (16.4)

! 8 ( ; 5 4 " 7 5 # : 4 2 4 8 5 * 4 5 6 : 2 7 9 8 9 ; 5 6 ; 4 5 9 8 $

2 8 7 6 5 ( $ 9 2 ; 5 : " ) 4 2 : 8 8 $ 8 6 7 2

N∑

i=1

(pµ)i =

N ′∑

j=1

(p′µ)j , µ = 0, x, y, z . (16.5)

; ; ; 9 2 8 1 8 4 " ε/c 8 p - ; 5 6 5 4 2 4 " $ 8 6 7 pµ 5

8 # ( ; 5 4 6 : 2 5 3 : ( 5 9 4 8 * 2 8 ( 9 2 7 2 4 & 7 & > ' ' 2

ε = γ (ε′ + V p′x) , px = γ

(

p′x +V

c2ε′)

, py = p′y, pz = p′z ,

(16.6a)

2 5 : 2 4 ! $ ; 5 :

γ =1

√

1 − (V/c)2.

3 : 4 5 2 6 : 2 5 3 : ( 5 9 4 8 2 8 2 2 9 8

ε′ = γ (ε − V px) , p′x = γ

(

px −V

c2ε

)

, p′y = py, p′z = pz .

(16.6b) 9 : $ 9 2 ; 5 : pµ

: 9 2 4 & 7 : & > ' '

p2µ = p2

0 − p2 =(ε

c

)2

− p2 = m2c2 (16.7)

8 9 2 7 8 4 9 : 8 4 5 6 : 2 5 3 : ( 5 9 4 8 % 5 : 2 4 ! 7 +

9 8 4 5 1 5 : 2 8 9 8 7 7 ; 8 2 ) 4 2 : 8 8 8 6 7 7 9 ( 4 " 7 5 5 $

4 5 , 2 4 8 2

ε =√

m2c4 + p2c2 . (16.8)

9 2 / ; * 2 P 4 5 @ B @ 9 9 @ 8 4 @ 7 4 9 8 4 P H @

: 9 4 + : ( 4 5 7 8 : 2 8 9 8 7 7 ; 5 % ) 4 2 : 8 8 8 ) 4 2 : 8 8 6 5 ; 5 2

K = ε − mc2 . (16.9)

9 8 7 8 5 7 : 2 8 9 8 7 7 ; 5 % ; 8 4 2 8 1 2 7 ; 5 % ) 4 2 : 8 8 8 : 2 8 $

9 8 7 7 ; 5 5 8 6 7 5 7 ; 5 : 5 7 8 6 5 ; ( 4 4 : 8 7 7 6 5 , 4 " $

J %; 9%< A A + = @ K(v2) p(v)

8 8 4 8 8 7 : 9 4 2 4 8 4 ) 5 * 2 : 8 7 4 ; 2 6 4 ; 8 : 4 " $

8 8 4 8 8 6 5 ; ( 4 " ) 8 * 2 9 2 8 1 8 4 " 9 " 1 8 7 2 4 4 " 2 7 5 7 $

4 5 4 2 : 2 8 9 8 7 7 ; 8 5 : 8 4 5 1 5 : 2 ( ; 5 2 : ( 8 1 8 2

2 * : 2 8 9 8 7 7 ; 8 8 8 4 2 : 2 8 9 8 7 7 ; 8 8 ( 9 8 7 8 5 7 $

8 4 7 6 2 9 : % 5 4 2 7 ; 5 : 5 7 2 % 7 : 9 4 8 " # 7 5 7 ; 5 : 5 7 +

7 9 2 2 % 7 9 8 2 4 5 9 4 2 : 2 8 9 8 7 7 ; 5 6 : 2 2 2ε = mc2 +

1

2mv2 , K =

1

2mv2 , p = mv 6 : 8 v c ,

(16.10)

6 : 8 v → c : 2 8 9 8 7 7 ; 8 2 ) 4 2 : 8 8 8 6 7 7 : 2 7 ;3 2 7 ; 5 4 2 1 4 5 7 8 2

ε ≈ K ≈ c|p| → ∞ 6 : 8 v → c . (16.11)

4 2 % , 2 5 ; * 2 7 5 3 4 " 8 7 6 5 ( 5 9 5 : 2 4 ! $

; 5 : 1 7 8 ! " γ(v) 8 6 2 : 2 6 8 7 & '& < ' 9 9 8 2

ε = γ(v) mc2 , p = γ(v) mv , γ(v) =1

√

1 − (v2/c2). (16.12)

` t

; 5 4 " 7 5 # : 4 2 4 8 & ' 6 5 ( 9 5 + 6 : 5 9 5 8 4 8 ( 7 5 ; $

4 5 9 2 4 8 % 8 : 7 6 5 9 6 : 8 2 : 4 5 ; * 2 ; ; ) 5 2 5 7 9 4 2 : 2 $

8 9 8 7 7 ; 5 % 2 # 4 8 ; 2 & 3 5 2 2 6 5 : 5 3 4 5 ) 8 9 5 6 : 5 7 " : ( 3 8 : $

+ 7 9 ' : 8 ) 5 9 5 ( 4 8 ; 2 5 4 ; 5 4 2 7 ; 5 ; 5 9 * 4 " #

5 8 1 8 % : 5 7 4 8 8 # 4 6 : 5 7 2 % , 2 6 : 8 2 : 2 2 7 ; 8 9 2 7

1 7 8 ! 7 7 7 5 % m1 7 ; 5 : 5 7 + v1

8 4 2 6 5 9 8 * 4 1 7 8 ! 7

7 7 5 % m2 9 : 2 ( 2 : 2 ; ! 8 8 5 3 : ( 2 7 4 2 8 ( 9 2 7 4 1 $

7 8 ! X

; 4 % 8 7 7 ) 5 % 1 7 8 ! " M 8 2 / 7 ; 5 : 5 7 V

4 2 : 2 8 9 8 7 7 ; 5 % 2 # 4 8 ; 2 5 9 2 # 5 : 5 , 5 8 ( 9 2 7 2 4 2 2 7 ( $

; 5 4 7 5 # : 4 2 4 8 7 7 " 6 5 ) 5

M = m1 + m2 , (16.13)

7 ; 5 : 5 7 5 * 4 5 4 % 8 8 ( ( ; 5 4 7 5 # : 4 2 4 8 4 2 : 2 8 9 8 7 $

7 ; 5 5 8 6 7 m1v1 = MV 5 ; 6 5 1 2

V =m1v1

m1 + m2. (16.14)

: 2 8 9 8 7 7 ; 5 % 2 # 4 8 ; 2 ( ; 5 4 " 7 5 # : 4 2 4 8 : 2 8 9 8 7 $

7 ; 8 # ) 4 2 : 8 8 8 8 6 7 8 2 + 9 8

γ1m1c2 + m2c

2 = γMc2 , γ1m1v1 + 0 = γMV , (16.15)

2 γ1 = γ(v1)

8 γ = γ(V ) 2 , 7 5 9 2 7 4 5 ) 8 : 9 4 2 4 8

4 % / 7 7 1 7 8 ! " X

M =√

(m1 + m2)2 + 2m1m2(γ1 − 1) (16.16)

8 2 / 7 ; 5 : 5 7

V =γ1m1v1

γ1m1 + m2. (16.17)

4 2 : 2 8 9 8 7 7 ; 5 6 : 2 2 2 & 6 : 8 γ1 → 1

' 7 5 5 4 5 , 2 4 8

& N '& > ' 6 2 : 2 # 5 9 4 2 : 2 8 9 8 7 7 ; 8 2 5 : " & ' & '

5 3 . 2 * 2 7 1 2 9 5 ( 4 8 ; + 7 2 + . 8 2 6 : 8 4 ! 8 6 8 4 " 2

5 8 1 8 ! !

9 5 3 7 * 2 5 % : 2 ; ! 8 8 7 7 5 3 : ( 5 9 9 , 2 % 7

1 7 8 ! " & N ' 5 ; ( " 9 2 7 3 5 , 2 7 " 7 7 8 7 # 5 4 " # 1 $

7 8 ! 2

M > m1 + m2 . (16.18)

6 : 8 2 : 9 : 2 ; ! 8 8 5 3 : ( 5 9 4 8 4 2 % : 4 5 5 6 8 $ 2 ( 5 4 π0

6 : 8 7 5 : 2 4 8 8 ) 2 ; : 5 4 8 6 5 ( 8 : 5 4

e− + e+ → π0

7 7 5 3 : ( 5 9 9 , 2 % 7 1 7 8 ! " 6 5 1 8 9 = : ( 3 5 , 2 7 "

7 7 8 7 # 5 4 " # 1 7 8 !

: 5 2 5 5 ! ! "

! "

"

! 1 / ) 5 5 5 3 7 5 2 7 9

5 * 2 6 : 8 9 2 7 8 ; 8 ( 2 4 2 4 8 + 6 : 8 9 " 1 4 " # 4 2 : 2 8 9 8 7 7 ; 8 #

6 : 2 7 9 2 4 8 % ; 9 : 7 7 : 8 9 2 5 7 1 2 7 ; 5 : 5 7 9 8 $

* 2 4 8 ! 2 4 : 8 4 2 : ! 8 8 & ! 2 4 : 7 7 ' 7 ; 8 9 + . 8 # 7 1 7 8 !

9 4 2 : 2 8 9 8 7 7 ; 5 % 2 # 4 8 ; 2 5 6 : 2 2 2 7 8 ( 9 2 7 4 5 % 5 : $

5 % & Q ' 8 4 , 2 5 7 1 2 : 9 4

V =m1v1(t) + m2v2(t)

m1 + m2, (16.19)

2 v1(t)

8 v2(t)

7 ; 5 : 5 7 8 6 2 : 9 5 % 8 9 5 : 5 % 7 ; 8 9 + . 8 # 7

1 7 8 ! 9 + 3 5 % 5 2 4 9 : 2 2 4 8 5 7 5 : 2 4 8 ( ( ; 5 4

7 5 # : 4 2 4 8 8 6 7 7 2 2 1 5 7 ; 5 : 5 7 V 6 5 7 5 4 4 8

7 5 9 6 2 7 5 7 ; 5 : 5 7 + 5 3 : ( 5 9 9 , 2 % 7 1 7 8 ! " & '

: 2 8 9 8 7 7 ; 5 % 2 # 4 8 ; 2 7 ; 5 : 5 7 9 8 * 2 4 8 ! 2 4 :

8 4 2 : ! 8 8 7 ; 8 9 + . 8 # 7 1 7 8 !

V (t) =γ1(t)m1v1(t) + γ2(t)m2v2(t)

γ1(t)m1 + γ2(t)m2, γi(t) =

1√

1 − [vi(t)/c]2

(16.20)

( 9 8 7 8 9 5 5 3 . 2 5 9 5 : 5 9 : 2 2 4 8 8 5 ; ( " 9 2 7 6 5 7 5 4 $

4 5 % 8 7 5 9 6 + . 2 % 7 5 7 ; 5 : 5 7 + 9 8 * 2 4 8 5 3 : ( 5 9 9 , 2 % 7

1 7 8 ! " & > ' 5 ; 5 2 7 8 5 * 4 5 6 : 2 4 2 3 : 2 1 8 6 7 5 8

) 4 2 : 8 2 % 6 5 7 5 ( 9 2 5 5 7 ; 8 9 + . 8 8 7 1 7 8 ! 8

` te

8 9 : 2 8 9 8 7 7 ; 5 % 2 # 4 8 ; 2 2 7 2 7 9 2 4 4 5 9 9 5 8 4

5 7 4 5 9 2 ( ; 5 4 7 5 # : 4 2 4 8 : 2 8 9 8 7 7 ; 5 5 8 6 7 2 8 7 $

6 5 ( 6 5 # 5 : ( 9 8 " % 9 = ) 5 7 1 2 P 4 5 @ B @ G

9 F @ 5 F

F =dp

dt= mγa + mγ3(av)v

c2, γ =

1√

1 − (v2/c2)(16.21)

5 ; ( " 9 2 7 ( 9 8 7 . 2 % 4 2 5 ; 5 5 7 ; 5 : 2 4 8 a 4 5 8 5 7 ; 5 $

: 5 7 8 v 1 7 4 5 7 8 2 7 8 7 ; 5 : 5 7 8 7 ; 5 : 2 4 8 6 : 2 $

4 " 5 7 8

F = mγ3a 6 : 8 v ‖ a ,

?

2 7 8 7 ; 5 : 5 7 8 7 ; 5 : 2 4 8 9 ( 8 4 5 6 2 : 6 2 4 8 ; : 4 " 5

7 8

F = mγa 6 : 8 v ⊥ a .

3 5 7 8 " 5 6 : 2 2 2 7 ; * 2 ; ; 8 9 4 + 5 4 5 9 7 ; 5 %

2 # 4 8 ; 2 & 7 ' 5 5 4 5 , 2 4 8 4 5 8 1 4 " 2 & < ' 8 2 +

9 8

Fdl =dp

dtdl = vdp =

cp√

m2c2 + p2dp = dε . (16.22)

4 2 : 8 : ) 5 : 9 2 4 7 9 5 6 5 1 2 7 9 ( 2 * : 3 5 5 % : 2 $

8 9 8 7 7 ; 5 % 7 8 " 8 8 ( 2 4 2 4 8 2 : 2 8 9 8 7 7 ; 5 % ; 8 4 2 8 1 2 $

7 ; 5 % ) 4 2 : 8 8 2

A12 = ε2 − ε1 = K2 − K1 , (16.23)

4 5 8 1 4 + * 2 7 4 5 9 2 4 4 5 % 9 4 2 : 2 8 9 8 7 7 ; 5 % 2 # 4 8 $

; 2 m

% 8 7 ; 5 : 5 7 1 7 8 ! " 6 : 8 ; 5 5 : 5 % 2 / : 2 8 9 8 7 $

7 ; 8 % 8 6 7 9 < : ( 6 : 2 9 " , 2 ( 4 1 2 4 8 2 8 6 7 9 " 1 8 7 $

2 4 4 5 5 6 5 4 2 : 2 8 9 8 7 7 ; 5 % 5 : 2

9 2 1 7 8 ! " 8 2 + . 8 2 7 7 " m1

8 m2

8 2 . 8 2

4 9 7 : 2 1 : : 7 5 7 ; 5 : 5 7 8 v1

8 v2 7 8 6 + 7 9 5 4

1 7 8 ! % 8 7 7 8 7 ; 5 : 5 7 5 3 : ( 5 9 9 , 2 % 7 1 7 8 ! "

; + : 3 5 4 2 5 3 # 5 8 5 7 5 9 2 : , 8 1 5 3 " 9 2 8 $

1 8 7 ; 5 : 5 7 1 7 8 ! " 7 7 7 5 % m 5 v1 = 0, 6 c 5 v2 = 0, 8 c

: 9 4 8 6 5 1 2 4 4 " % : 2 ( 7 5 ( 4 1 2 4 8 2 9 " 1 8 7 2 4 4 "

6 5 4 2 : 2 8 9 8 7 7 ; 5 % 5 : 2

1 7 8 ! 7 7 " m 9 5 2 4 9 : 2 2 4 8 t = 0 4 1 8 4 2

9 8 7 6 5 2 % 7 9 8 2 6 5 7 5 4 4 5 % 7 8 " F = const % 8

( 9 8 7 8 5 7 5 9 : 2 2 4 8 : 2 8 9 8 7 7 ; 5 5 8 6 7 1 7 8 ! "

p 8 2 / 7 ; 5 : 5 7 8 v ; * 2 9 2 8 1 8 4 " 6 : 5 % 2 4 4 5 5 2 + 6 8 l

§

x

7 7 5 : 2 6 5 : 5 3 4 2 2 9 : 2 2 4 " 2 8 3 5 , 8 2 6 5 7 : 9 4 2 $

4 8 + 7 # : ; 2 : 4 " 9 : 2 2 4 2 τ = mc/F

!

2 # 4 8 ; 2 + 5 4 4 2 1 7 8 ! 7 7 7 5 % : 9 4 5 % 4 +

8 3 5 4 8 # : 9 4 " 4 + ; 8 4 2 8 1 2 7 ; ) 4 2 : 8 K = mv2/ 2 8

8 6 7 p = mv 6 : 5 8 9 9 : 2 8 9 8 7 7 ; 5 % 2 # 4 8 ; 2 ) 4 2 : $

8 8 8 6 7 ; 8 # 1 7 8 ! 5 3 " 5 8 1 4 " 5 4 (

5 : " & N ' 6 : 8 m = 0 4 % / 7 9 ( ) 4 2 : 8 8 8 8 6 7

) 5 5 7 1 2

ε =| p | c , (17.1)

8 ( 7 5 5 4 5 , 2 4 8 & N ' 6 5 1 8 1 5 7 ; 5 : 5 7 ; 8 # 1 7 8 !

4 2 6 : 2 2 4 4 5 : 9 4 7 ; 5 : 5 7 8 7 9 2 c 2 8 5 6 5 4 8 2 4 5

1 5 8 7 # 5 4 " 2 7 5 5 4 5 , 2 4 8 & N ' & N < ' 7 5 9 2 7 8 " 9 6 : 2 2 $

2 v → c, m → 0 ; 5 % 1 7 8 ! 2 % 7 m = 0 8 v = c 9 2 7 5 5 4 γ - ; 9 4

) 2 ; : 5 4 8 4 5 5 6 5 5 7 ; ) 2 ; : 5 4 8 4 9 5 4

1 7 5 " ω 5 * 2 : 7 7 : 8 9 7 ; ; 6 5 5 ; 5 5 4 5 9 - 1 $

7 8 ! 7 ) 4 2 : 8 2 %

ε = ~ω (17.2)

8 8 6 7 5

| p |= ε

c=

~ω

c, (17.3)

4 6 : 9 2 4 8 2 ; 5 5 : 5 5 7 5 9 6 2 7 4 6 : 9 2 4 8 2 : 7 6 : 5 7 : $

4 2 4 8 9 5 4 "

7 8 9 7 8 7 2 2 S ′ 8 7 6 7 ; 2 7 5 5 4 7 ) 4 2 : 8 2 % ε′ 6 5 $

5 ϕ′ ; 5 7 8 x′ 2

p′ =ε′

c(cos ϕ′, sin ϕ′, 0),

5 9 7 8 7 2 2 S 2 5 ) 4 2 : 8 : 9 4

ε = γ (ε′ + V p′x) = γε′ ·(

1 +V

ccos ϕ′

)

. (17.4)

7 + 6 5 1 2 5 : 4 9 F : 5 4 P F 1 7 5 "

ω = ω′ ·1 +

V

ccos ϕ′

√

1 − (V/c)2. (17.5)

1 7 4 5 7 8 2 7 8 8 7 5 1 4 8 ; 8 ( 1 2 4 8 : 7 6 5 5 * 2 4 4 " % 9

7 8 7 2 2 S ′ 6 : 8 3 8 * 2 7 ; 4 3 + 2 + 9 7 8 7 2 2 S

& 6 : 8

) 5 5 ϕ′ = 0

' 5

ω = ω′ · 1 + (V/c)√

1 − (V/c)2= ω′ ·

√

1 + (V/c)

1 − (V/c), (17.6a)

2 ω > ω′ ; 5 % ) 2 ; 9 2 8 1 2 4 8 1 7 5 " 4 ( " 9 2 7

@ : 5 4 : B 4 4 8 @ 4 : 8 4 2 3 5 , 8 # 7 ; 5 : 5 7 # 6 : 8 3 8 $

* 2 4 8 8 7 5 1 4 8 ; 8 ( 1 2 4 8 V c 8 2 2 5 7 + 6 : 5 7 5 2

7 5 5 4 5 , 2 4 8 2

ω =

(

1 +V

c

)

ω′ . (17.6b)

7 8 * 2 8 7 5 1 4 8 ; 8 ( 1 2 4 8 2 7 5 4 3 + 2

& 6 : 8 ) 5 5 ϕ′ = π

' 5

ω = ω′ · 1 − (V/c)√

1 − (V/c)2= ω′ ·

√

1 − (V/c)

1 + (V/c)(17.7a)

2 ω < ω′ ; 5 % ) 2 ; 2 4 , 2 4 8 1 7 5 " 4 ( " 9 2 $

7 9 P F 8 4 4 8 @ 4 : 8 V c 6 5 1 2 ; : 7 4 5 5

7 2 . 2 4 8 5 :

ω =

(

1 − V

c

)

ω′ . (17.7b)

S

! 2 ; 5 6 6 2 : 4 # 5 8 4 5 5 1 8 7 2 4 4 " 2 6 : 8 2 4 2 4 8

: 8 9 2 / 9 # : ; 2 : 4 " # 6 : 8 2 :

: 8 7 : 9 4 2 4 8 8 1 7 5 " 8 ( 1 2 4 8 5 6 : 2 2 / 4 4 5 5 5 9

3 5 : 5 : 4 " # 7 5 9 8 # 7 1 7 5 5 % ; 5 5 8 ( 1 2 4 8 9 7 6 2 ; $

: 2 ( 9 2 ( " 5 * 4 5 5 6 : 2 2 8 7 ; 5 : 5 7 9 8 * 2 4 8 ) 5 % ( 9 2 ( "

& ; * 2 5 4 5 7 8 2 4 " 2 7 ; 5 : 5 7 8 9 5 % 4 " # ( 9 / ( - 7 ( 1

> '

" 7 4 8 5 7 1 5 3 8 * % , 8 2 ; 4 ( 9 / ( " 8 2 + : ( $

8 1 4 " 2 7 ; 5 : 5 7 8 8 # 8 ( 1 2 4 8 2 6 5 ; ( " 9 2 ; ; ; : 7 4 5 2 ; 8

8 5 2 5 9 5 2 7 2 . 2 4 8 2 5 8 ( 1 2 4 8 2 2 ; 8 # 7 5 3 : 4 8 % ( 9 / (

- ; 8 ; - 7 5 5 9 2 7 9 2 ; : 7 4 5 7 2 . 2 4 8 + 5 2 2 5 5

3 " 5 5 3 4 : * 2 4 5 1 5 1 2 , 2 : 7 6 5 5 * 2 4 ; 8 ;

2 3 5 , 2 4 2 / 9 2 8 1 8 4 ; : 7 4 5 5 7 2 . 2 4 8 5 5 9 2 7 9 $

+ . ( 9 8 7 8 5 7 8 2 2 9 8 & ; 4 ( " 9 2 " % J F 9 : 8 F 5 F '

ω′ − ω

ω=

H

cr , (17.8)

2 ω′ - 1 7 5 8 ( 1 2 4 8 ; 8 ; 8 O ω - 1 7 5 6 : 8 4 8 $

2 ( 2 4 " 8 4 3 + 2 8 O r - : 7 7 5 4 8 2 5 4 3 + $

2 5 % ; 8 ; 8 8 H - 6 5 7 5 4 4 3 3 5 : & '

6 : 8 V c 5 * 2 3 " 6 2 : 2 6 8 7 4 9 9 8 2 V = H r ;

; ; 6 5 7 5 4 4 H 4 2 ( 9 8 7 8 5 4 6 : 9 2 4 8 5 8 2 2 2 7 5

6 : 6 : 5 6 5 : ! 8 5 4 4 5 7 2 * 9 2 ; : 5 7 ; 5 : 5 7 8 ( 9 2 ( "

8 2 / : 8 7 $ 9 2 ; 5 : 5 2

V = H r . (17.8)

; 5 % # : ; 2 : : ( 3 2 4 8 / ; 8 # 5 3 2 ; 5 9 7 5 5 9 2 7 9 2

7 ! 2 4 : 8 + 9 ; 5 5 : 5 7 2 2 4 4 : 7 , 8 : 2 7 6 5 7 2 5 , 5 5

9 ( : " 9 5 : " ) 2 ; 5 6 6 2 : 7 6 : 9 2 8 9 " ; 5 4 2 1 4 5

+ 3 5 % ) 2 ; : 5 4 8 4 5 % 9 5 4 " 9 1 7 4 5 7 8 8 : 8 5 $

9 5 4 4 1 7 5 6 5 7 4 4 5 5 : : 5 7 8 4 8 8 ( 2 :

1 7 5 5 : * / 4 4 5 5 7 5 / 5 8 8 9 5 5 3 8 2 7 8 4

5 * 4 5 5 6 : 2 2 8 7 ; 5 : 5 7 9 8 * 2 4 8 4 4 5 5 7 5 / 8 8

9 5 5 3 8

m

5 ; ( 1 5 8 ( 1 2 4 8 2 8 8 6 5 5 . 2 4 8 2 5 5 4

7 9 5 3 5 4 " ) 2 ; : 5 4 5 4 2 9 5 ( 5 * 4 5 5 ( 5 * 4 8 5 4 5 5 $

5 4 4 4 4 8 8 ! 8 ) 2 ; : 5 4 8 6 5 ( 8 : 5 4 2 : 2 ; ! 8

e+ + e− → γ

; ; 5 % 7 ; 5 : 5 7 + 5 * 4 3 " 3 " 9 8 7 9 5 $

, 8 4 1 5 3 " ; : 7 4 " % 7 9 2 7 9 2 5 5 : &

λ = 0, 7 ; ' 6 : 2 $

9 : 8 7 9 ( 2 / 4 " % &λ′ = 0, 55 ; '

! 2 ; 5 6 6 2 : 6 5 ( 9 5 8 8 7 7 2 5 9 9 5 % 4 " 2

( 9 / ( " 7 5 / 4 4 " 2 1 5 : ( : 2 , 2 4 8 2 8 # 7 6 5 5 . + 2 $

2 7 ; 5 6 5 ; ( 5 7 4 2 9 5 ( 5 * 4 " 6 2 ; : 4 " 2 8 4 8 8 $

; 8 # ( 9 / ( 6 2 : 8 5 8 1 2 7 ; 8 7 4 5 9 7 9 5 % 4 " 8 8 ( 1 2 5 5 * 4 5

6 : 2 6 5 5 * 8 1 5 8 7 5 1 4 8 ; 5 9 + 7 9 2 ( 9 2 ( " 9 : . $

+ . 8 2 7 9 5 ; : 8 # ! 2 4 : 7 7 1 8 7 7 " 5 3 2 8 # ( 9 / (

5 8 4 ; 5 9 " 8 4 % 8 : 7 7 5 4 8 2 2 * 4 8 8 8 8 # 7 7 "

2 7 8 ; 7 8 4 5 2 : 7 . 2 6 2 4 8 2 7 6 2 ; : 4 " # 8 4 8 % : 9 4 5

(∆λ/λ)max = 1, 2 · 10−4 6 : 8 1 / 5 4 5 9 5 ( 4 8 ; 2 1 2 : 2 ( ; * " 2

τ = 30 4 2 %

! !

!

) 5 6 : : 2 " : 7 7 5 : 8 4 2 7 ; 5 ; 5 ( 1

: 2 , 2 4 8 ; 5 5 : " # 5 7 5 1 4 5 ( ; 5 4 5 9 7 5 # : 4 2 4 8 $ 9 2 ; 5 :

) 4 2 : 8 8 $ 8 6 7

n

M 7 7 " 4 5 8 # 4 2 7 3 8 4 " # 1 7 8 ! 5 6 : 2 2 + 7 9 : 2 $

( 2 8 7 7 2 5 9 4 8 6 : 5 ; 5 9 8 # : 7 6 ; 4 6 : 8 2 :

7 7 " π0 2 ( 5 4 5 * 2 3 " 5 6 : 2 2 2 4 6 5 2 5 : 7 6 4

9 5 5 4 2 π0 → γ + γ 8 4 8 ( 4 8 3 5 2 2 5 1 4 " # 7 6 5 7 5 3 5 9

5 6 : 2 2 2 4 8 7 7 " Z

3 5 ( 5 4 - 6 5 2 5 : 7 6 4 ) 2 ; : 5 4 8

6 5 ( 8 : 5 4 2 Z → e+ + e− 7 7 5 : 8 ; ; 5 * 2 3 " 5 6 : 2 2 $

2 4 7 7 4 2 7 3 8 4 5 % 1 7 8 ! " 6 5 8 ( 2 : 2 4 4 " $ 8 6 $

7 (εj/c, pj), j = 1, . . . , N 6 : 5 ; 5 9 : 7 6 7 6 5 (

( ; 5 4 7 5 # : 4 2 4 8 $ 8 6 7 4 # 5 8 ) 4 2 : 8 +

ε =∑

j

εj

8 8 6 7

p =∑

j

pj

4 2 7 3 8 4 5 % 1 7 8 ! " 5 7 2 ) 5 5 7 7 M 4 2 7 3 8 4 5 %

1 7 8 ! " 5 6 : 2 2 2 7 8 ( 8 ( 9 2 7 4 5 5 7 5 5 4 5 , 2 4 8 & N > ' 2

M 2c2 =ε2

c2− p2 =

∑

j

εj

c

2

−

∑

j

pj

2

. (18.1)n

4 8 6 : 5 5 4 p

3 " 5 ; : " 9 : 2 ; ! 8 8

p + p → p + p + p + p (18.2)

4 7 ; 5 : 8 2 2 9 2 : ; 8 & ' ; 5 5 : " % 4 ( " 9 7 ; 5 7 5 $

: 5 4 & 1 2 3 2 : 2 4 2 : 2 8 4 6 7 8 4 8 7 Q O ) : 3 5

3 " 5 7 5 2 4 4 5 3 2 2 9 7 ; 5 % 6 : 2 8 8 ' ) 5 7 ; 5 : 8 2 2 6 : 5 $

5 4 " : ( 5 4 8 7 5 ; 8 4 2 8 1 2 ; 5 % ) 4 2 : 8 8 Kmax = 6, 3

)

8 ( 2 7 5 : 8 7 7 4 2 6 5 9 8 * 4 " 8 6 : 5 5 4 8 6 : 2 2 $

8 8 4 8 4 + & 8 4 1 2 - 6 5 : 5 5 9 + ' ) 4 2 : 8 + 4 2 + . 2 $

5 6 : 5 5 4 6 : 8 ; 5 5 : 5 % 7 4 5 9 8 7 9 5 ( 5 * 4 5 % : 2 ; ! 8 & < '

3 5 ( 4 1 8 1 2 : 2 ( p1µ

8 p2µ

$ 9 2 ; 5 : " ) 4 2 : 8 8 $ 8 6 7 4 2 $

+ . 2 5 8 6 5 ; 5 8 9 , 2 5 7 6 : 5 5 4 7 5 5 9 2 7 9 + . 8 2 9 2 8 1 8 $

4 " 5 3 : ( 5 9 9 , 8 # 7 1 7 8 ! 3 2 5 2 1 , : 8 # 5 p′jµ

j = 1, 2 , 3 , 4 ; 5 4 7 5 # : 4 2 4 8 $ 9 2 ; 5 : ) 4 2 : 8 8 $ 8 6 7

4 4 5 % : 2 ; ! 8 8 5 * 4 5 ( 6 8 7 9 9 8 2

pµ = p′µ ,

2

pµ = (p1 + p2)µ , p′µ = (p′1 + p′2 + p′3 + p′4)µ .

7 7 5 : 2 4 8 2 5 3 4 5 4 1 9 7 8 7 2 2 ! 2 4 : 8 4 2 : ! 8 8

7 ; 8 9 + . 8 # 7 6 : 5 5 4 5 9 9 ; 5 5 : 5 % 7 : 4 " % 8 6 7 4 $

1 4 " # & 8 ; 5 4 2 1 4 " # ' 1 7 8 ! : 9 2 4 4 + p = p′

= 0 ) 5 %

7 8 7 2 2 8 4 8 4 ) 4 2 : 8 7 ; 8 9 + . 8 # 7 6 : 5 5 4 5 9 5 $

9 2 1 2 7 1 + 5 3 : ( 5 9 4 8 1 2 " : / # 5 8 4 ; 5 9 " # 6 5 7 7 2 1 $

7 8 ! 9 6 5 ; 5 2 ε′ = 4mpc2

; 8 5 3 : ( 5 ; 9 : $ 9 2 ; 5 :

p′µ

: 9 2 4

(p′)2µ =(

ε′ /c)2 −

(

p′

)2= 16m2

pc2 . (18.3)

8 7 2 5 7 1 / 7 9 ( 4 4 + 7 7 ; 5 : 8 2 2 3 2 4 ( " 9

3 5 : 5 : 4 5 % 9 4 2 % 9 5 : 5 % 6 : 5 5 4 6 5 ; 5 8 7 6 5 ) 5

pµ =(

(ε1 + mpc2)/c, p1

)

. (18.4)

L ? @ A C r * - & ) - C B ) r ,

) r L %I & ? G 1 r L r * - + G & $

r - & @ ? C & = ) 1 L - G ? 1 r L 1 -3·10−19w D %

" D B D - # 1 r L 106 r L -1 < r L 109 r L - r * & r ,

- & & , B C ) E ! mec2 = 0, 51

r L - mpc2 = 0, 94

< r L

mπc2 = 140

r L %

" 1 8 7 ; 9 : $ 9 2 ; 5 : pµ

9 3 5 : 5 : 4 5 % 7 8 7 2 2 7 8 $

7 2 2 6 5 1 2 & 7 1 / 5 7 5 5 4 5 , 2 4 8 ε21 − p2

1 c2 = m2

pc4

' 2

p2µ = 2m2

pc2 + 2ε1 mp . (18.5)

; ; ; p2µ

9 2 7 8 4 9 : 8 4 5 8 : 9 2 4 8 4 9 : 8 4 (p′)2µ 5

" 4 2 2 2 4 4 5 6 5 1 2 ε1 = 7mpc2

7 + 8 4 8 4

; 8 4 2 8 1 2 7 ; ) 4 2 : 8 : 9 4

Kmin = ε1 − mpc2 = 6 mpc

2 = 5, 6

) , (18.6)

2 ( 2 4 5 2 4 , 2 ) 4 2 : 8 8 Kmax = 6, 3

) 5 ; 5 5 : 5 %

5 8 3 " 7 ; 5 : 2 4 " 6 : 5 5 4 " 4 ; 5 7 5 : 5 4 2

7 7 5 : 8 6 : 8 2 7 5 : 2 4 8 4 6 : 8 2 : 2 4 9 F

L : : 8 F - : 7 7 2 4 8 5 5 4 4 ) 2 ; : 5 4 2 2

γ + e → γ + e . (18.7)

( ( ; 5 4 7 5 # : 4 2 4 8 $ 8 6 7 (pγ + pe)µ = (p′γ + p′e)µ

6 5 $

1 8 8 4 9 : 8 4 4 5 2 7 5 5 4 5 , 2 4 8 2

(p′e)2µ = (pγ + pe − p′γ)

2µ

8 8

(p′γ)µ(pγ + pe)µ = (pγ)µ(pe)µ . (18.8)

7 8 8 ( 9 2 7 4 " ) 4 2 : 8 8 8 8 6 7 " 4 1 4 " # 1 7 8 ! 5 8 (

) 5 5 : 9 4 2 4 8 5 * 4 5 4 % 8 ) 4 2 : 8 + ; 5 4 2 1 4 5 5 5 5 4 9

( 9 8 7 8 5 7 8 5 2 5 9 " 2 5 ; * 2 ) 5 9 # : ( $

8 1 4 " # 4 1 4 " # 7 5 9 8 %

D <L : : 8 F < ) 8 # 5 6 " # : 2 4 2 $

4 5 9 7 ; 8 2 1 8 7 1 7 5 5 % ω 8 8 4 5 % 9 5 4 " λ = 2πc/ω : 7 7 2 $

8 9 8 7 4 5 # 2 8 7 : 8 : 5 9 8 7 : 7 7 2 4 4 " 2 : 2 4 2 4 5 9 $

7 ; 8 2 1 8 7 2 4 , 2 4 4 5 % 1 7 5 5 % ω′ 8 9 2 8 1 2 4 4 5 % 8 4 5 %

9 5 4 " λ′ = 2πc/ω′ 6 : 8 1 / ) 8 8 ( 2 4 2 4 8 3 " 8 2 3 5 , 2

1 2 3 5 , 2 3 " 5 : 7 7 2 4 8 θ 7 2 7 9 2 4 4 5 2 5 3 7 4 2 4 8 2

) 8 5 6 " 5 9 ; 5 9 5 2 : 2 4 2 4 5 9 7 ; 8 2 1 8 2 7 4 3 5 : 1 7 8 !

5 5 4 5 9 ; 5 5 : " 2 8 7 6 " " 9 + : 7 7 2 4 8 2 4 5 : 4 " # ) 2 ; $

: 5 4 # 6 : 8 1 / 6 5 7 2 4 8 2 9 4 4 " # 7 5 9 8 # 5 : 7 7 $

: 8 9 7 ; ; 6 5 1 8 7 9 5 3 5 4 " 2 & ) 4 2 : 8 7 9 ( 8 ) 2 ; : 5 4 5 9 9

5 2 4 5 5 2 4 , 2 ) 4 2 : 8 8 4 2 + . 8 # 5 5 4 5 9 ' 4 " 8

7 5 9 8 5 6 5 4 4 3 + : 2 ; ! 8 + & > ' 9 ; 5 5 : 5 %

(pγ)µ =~ω

c(1, 1, 0, 0) , (pγ)

′µ =

~ω′

c(1, cos θ, sin θ, 0) ,

(pe)µ = (mec, 0, 0, 0) .

5 7 9 ) 8 ( 4 1 2 4 8 9 : 9 4 2 4 8 2 & ' 6 5 1 2 7 5 5 4 5 $

, 2 4 8 2

~ω′ (mec2 + ~ω − ~ω cos θ

)

= ~ω mec2 ,

8 ( ; 5 5 : 5 5 2 ; 5 4 % 8 8 ( 2 4 2 4 8 2 8 4 " 9 5 4 " : 7 7 2 4 4 " #

6 5 5 θ : 2 4 2 4 5 9 7 ; 8 # 1 2 % 2

λ′ − λ = 2λe sin2 θ

2, λe =

2π~

mec≈ 2, 4 · 10−12 , (18.9)

# 5 : 5 , 5 5 6 8 7 " 9 + . 2 2 ) ; 7 6 2 : 8 2 4 4 " 2 4 4 " 2 2 8

1 5 2 4 , 2 4 8 2 ) 4 2 : 8 8 : 7 7 2 4 4 5 5 5 5 4 - 2 7 2 7 9 2 4 4 5 2

7 2 7 9 8 2 5 5 1 5 1 7 ) 4 2 : 8 8 4 1 4 5 5 5 5 4 6 2 : 2 $

/ 7 6 : 2 * 2 6 5 ; 5 8 9 , 2 7 ) 2 ; : 5 4

E : I F P 4 8 @ 4 5 6 P F P 4 5 @ B @ @ 9 : H : 5 4 9 P : 8 F @ 5 F J 4 P 8 : G

H : : : 8 F < 4 7 5 . 2 2 9 : 2 : 3 5 2 ! 2 " % : 7 4 5 9 5 ;

9 ; 5 5 : " # 6 1 5 ; ) 2 ; : 5 4 5 9 9 " 7 5 ; 5 % ) 4 2 : 8 8 εe mec2 7 $

; 8 9 2 7 7 2 . 8 4 9 7 : 2 1 7 7 ; 5 ( 2 : 4 " # 5 5 4 5 9

) 4 2 : 8 ; 5 5 : " # εγ ∼ 1 ) ! 8 7 4 5 9 ; 8 7 *

6 5 1 2 4 8 5 5 4 5 9 9 " 7 5 ; 5 % ) 4 2 : 8 8 ; ; ; ; 5 4 2 1 4 " % 5 $

5 4 : 7 7 2 8 9 2 7 9 5 7 4 5 9 4 5 4 ( 2 6 5 1 8 9 5 4 6 : 9 $

2 4 8 2 4 1 4 5 5 ) 2 ; : 5 4 8 5 3 8 : 2 4 1 4 5 5 ) 2 ; $

: 5 4 ( 4 1 8 2 4 + 5 + 2 5 ) 4 2 : 8 8 : 8 ; 5 % 6 5 7 4 5 9 ; 8

) ; 7 6 2 : 8 2 4 $ 8 6 7 " 1 7 8 ! 8 2 + 9 8

(pe)µ =(εe

c, |pe|, 0, 0

)

, (pγ)µ =εγ

c(1, −1, 0, 0) ,

(pγ)′µ =

ε′γc

(1, 1, 0, 0) .

5 7 9 ) 8 ( 4 1 2 4 8 9 : 9 4 2 4 8 2 & ' 4 # 5 8 ) 4 2 : 8 +

; 5 4 2 1 4 5 5 5 5 4 2

ε′γ =εγ(εe + c | pe |)

2εγ + εe − c | pe |.

: : 2 8 9 8 7 7 ; 5 5 ) 2 ; : 5 4

εe + c | pe |≈ 2εe , εe − c | pe |≈m2

ec4

2εe,

6 5 ) 5 9 8 5 2 8 2 2

ε′γ ≈ x

x + 1εe, x =

4εγεe

m2ec

4. (18.10)

: 8 9 2 / 9 # : ; 2 : 4 " # 6 : 8 2 :

5 6 " # 8 ; 2 : & 5 9 5 7 8 3 8 : 7 ; Q Q > ' ) 2 ; : 5 $

4 " 7 ; 5 : 8 2 ! $ M 7 ) 4 2 : 8 2 % εe = 5

) 7 ; 8 9 8 7

7 ( 2 : 4 " 8 5 5 4 8 7 ) 4 2 : 8 2 % εγ = 1, 2 ) & 8 4 : ; : 7 $

4 " % ( 2 : 4 4 2 5 8 5 9 5 7 2 ; 2 ' ) 5 7 1 2 2 ; 5 : 7 $

7 1 8 8 7 6 5 ( 5 : & = ' 1 5 x = 0, 092 8 1 5 ) 4 2 : 8

; 5 4 2 1 4 5 5 5 5 4 : 9 4 ε′γ = 0, 42

) 2 9 2 8 1 8 7 9

= 4 : ( 5 5 4 " ; 8 # ) 4 2 : 8 % 4 2 5 3 # 5 8 " 8 7 7 2 5 $

9 4 8 7 : ; : " : 8 ) 2 2 4 : 4 " # 1 7 8 ! ; * 2

7 : 9 4 2 4 8 1 5 9 5 3 " 1 4 " # : 2 4 2 4 5 9 7 ; 8 # 7 4 5 9 ; # 6 5 1 $

+ 5 5 4 " 7 ) 4 2 : 8 2 % 9 7 2 5 = = = ; )

5 6 " # 4 7 ; 5 : 8 2 2 # & ) 4 5 : Q Q N ' ) 2 ; : 5 4 "

7 ) 4 2 : 8 2 % εe = 46

) 7 ; 8 9 8 7 7 ( 2 : 4 " 8 5 5 4 8

?

7 ) 4 2 : 8 2 % εγ = 1, 2 ) ) 5 7 1 2 x = 0, 85 8 : 7 7 2 4 4 " %

) 2 ; : 5 4 8 2 ) 4 2 : 8 + ε′γ = 21

) 2 5 3 8 : 4 1 $

4 5 5 ) 2 ; : 5 4 6 5 1 8 6 5 5 9 8 4 2 5 ) 4 2 : 8 8

a

5 , 8 4 7 9 5 7 9 2 2 4 8 % 5 3 ) 2 2 4 : 4 " # 1 7 8 ! # 8 8 # 9 ( $

8 5 2 % 7 9 8 # 6 5 1 2 4 5 8 ( 5 6 " 5 9 4 7 ; 5 : 8 2 # 5 3 " 1 $

4 " # 7 ; 5 : 8 2 # 6 1 5 ; ( : * 2 4 4 " # 1 7 8 ! : ( 5 4 4 4 " #

) 2 ; : 5 4 8 4 " 8 6 5 8 7 4 5 9 ; 8 7 5 : 2 7 7 4 2 6 5 $

9 8 * 4 5 % 8 , 2 4 + : 8 ) 5 ) 4 2 : 8 4 1 4 5 % 1 7 8 ! " ε1

: 7 # 5 2 7 4 2 5 ; 5 4 5 3 : ( 5 9 4 8 2 ; 5 4 2 1 4 " # 1 7 8 ! & 1 5

; ; 6 : 9 8 5 8 6 : 2 7 9 2 5 7 4 5 9 4 5 % 8 4 2 : 2 7 9 ; 5 5 : 5

5 6 " # ' 4 5 8 4 6 : 8 4 8 2 ; 5 4 2 1 4 " 1 7 8 ! 7 : 4 5 5

8 6 7 : 9 4 5 5 7 : 4 5 8 6 7 4 1 4 " # 1 7 8 !

p1

! 5 5 ( 4 1 2 1 5 5 ; 5 1 7 6 2 : 9 5 4 1 4 5 % ) 4 2 : 8 8

: 7 # 5 2 7 6 5 ( " 2

; 8 # 4 2 5 7 ; 5 9 8 , 2 4 " 7 ; 5 : 8 2 8 7 5 9 7 : 2 1 4 " 8 6 1 $

; 8 9 ; 5 5 : " # 7 : 4 " % 8 6 7 7 ; 8 9 + . 8 # 7 1 7 8 !

: 9 2 4 4 + p = p1 + p2 = 0 ) 5 7 1 2 9 7 6 2 : $

9 5 4 1 4 ) 4 2 : 8 8 / 9 2 5 2 : 9 " 2 7 ; 5 : 8 2 8 7 5

9 7 : 2 1 4 " 8 6 1 ; 8 3 " 8 7 5 ( 4 " 9 Q N 6 5 : ; 5 9 5 $

7 9 5 ; 2 : 9 & 5 9 5 7 8 3 8 : 7 ; ' 8 8 # 2 $

: 9 7 4 5 9 4 : 4 5 7 9 8 # 7 5 ( 4 8 8 ( ; + 1 7

9 5 1 5 3 " 4 1 8 7 6 5 1 8 2 : * 8 9 4 5 : 3 8 2

9 2 1 2 4 8 2 8 2 4 5 5 9 : 2 2 4 8 5 7 5 1 4 5 6 5 4 " 2 9 7 : 2 1 $

4 " 2 6 1 ; 8 : 8 7 5 : 2 4 8 8 6 1 ; 5 9 5 % ; 5 4 ! 2 4 : ! 8 8 8 4 $

2 : 2 7 4 " 2 ; " 7 5 ; 4 5 9 2 4 8 % 3 6 : 5 8 7 # 5 8 : 2 ; 5 8 : $

3 5 7 ; 5 : 8 2 3 2 5 ) 2 ; 8 9 4 5 % 8 + 7 : ! 8 8

6 : 8 9 2 / 6 : 2 : " : 3 5 + . 2 5 7 ; 5 : 8 2 7 5 9 7 : 2 1 4 " $

8 ) 2 ; : 5 4 $ 6 5 ( 8 : 5 4 4 " 8 6 1 ; 8 ! $ M 2 9 9 ; $

4 5 % : 3 2 7 ; 5 : 8 2 8 4 5 % N N 2 + 9 5 9 7 : 2 1 4 " #

x

4 6 : 9 2 4 8 # ) 2 ; : 5 4 4 " % 8 6 5 ( 8 : 5 4 4 " % 7 7 ; 8 7 5 2 : * $

. 8 2 6 : 8 2 : 4 5 5 8 4 ; 5 9 5 2 1 8 7 5 1 7 8 ! 1, 5 ·1011 8 7 7 $

; 8 9 5 3 7 8 9 7 : 2 1 8 4 6 5 8 4 + 5 4 ; + 8 4 4 + 2 4 5 1 ; 2

8 4 7 7 ; 7 6 5 6 2 : 2 1 4 " % 5 : 8 ( 5 4 4 " % : ( 2 :

6 5 6 2 : 2 1 4 " % 9 2 : 8 ; 4 " % : ( 2 : = : 8 2 : 4 5 8 8 $

5 4 : ( 9 7 2 ; 4 ) 8 7 7 ; 8 7 ; 8 9 + 7 9 2 7 2 9 7 : 2 1 8

9 4 : 8 2 2 ; 5 : : 2 ( " ; 8 # 9 7 : 2 1 : 2 8 7 : 8 : + 7

4 5 5 1 8 7 2 4 4 " 8 6 : 8 3 5 : 8 8 ( 6 8 7 " 9 + 7 & 6 5 7 2 6 : 2 9 $

: 8 2 4 5 5 5 3 5 : ' 4 4 8 4 + 2 4 8 8 8 7 ; 8 3 : 3 5 $

; 6 5 1 2 4 4 5 % 8 4 5 : ! 8 8 9 2 2 7 9 9 5 8 1 2 7 ; 5 : 2 * 8 $

2 4 2 : 2 7 4 5 5 2 8 1 5 4 2 : 4 2 3 " 6 2 : 9 5 4 1 4 5 7 5 $

( 4 8 ( 8 ; 8 ; ; : ( 5 3 2 4 8 4 5 : ! 8 2 % 6 5 1 2 4 4 5 %

4 7 ; 5 : 8 2 #

; 7 9 ( 4 " 2 * 7 5 3 5 % ) 4 2 : 8 8 9 3 5 : 5 : 4 5 % 7 8 7 2 $

2 5 7 1 / & 9 ; 5 5 : 5 % : 3 5 + : 8 ! 8 5 4 4 " 2 7 ; 5 : 8 2 8 ' 8

9 7 8 7 2 2 ! 2 4 : 8 4 2 : ! 8 8 & 9 ; 5 5 : 5 % : 3 5 + 3 5 , 8 4 7 9 5

7 ; 5 : 8 2 2 % 7 5 9 7 : 2 1 4 " 8 6 1 ; 8 ' 4 9 : 8 4 (p1 + p2)2µ9 3 5 : 5 : 4 5 % 7 8 7 2 2 ( 9 8 7 8 5 ) 4 2 : 8 8 4 2 + . 2 % 1 $

7 8 ! " ε1 8 7 7 7 5 : + . 8 # 7 1 7 8 ! & 7 : & ' ' 2

(p1 + p2)2µ = m2

1c2 + m2

2c2 + 2ε1 m2 , (18.11a)

9 7 8 7 2 2 ! 2 4 : 8 4 2 : ! 8 8 5 * 2 8 4 9 : 8 4 : 9 2 4

(p1 + p2)2µ = (ε1 + ε2 )

2 /c2 . (18.11b)

: 8 : 9 4 8 9 ) 8 9 9 " : * 2 4 8 4 # 5 8

ε =ε2

+ (m22 − m2

1)c4

2m2c2, ε = ε1 + m2c

2, ε = ε1 + ε2 .

(18.12) : 5 8 + 7 : 8 : 2 ) 8 5 : " 7 2 + . 8 6 : 8 2 : 5

7 7 5 : 8 : 2 ; ! 8 + 5 3 : ( 5 9 4 8 : 5 $ 2 ( 5 4 e+ + e− → ρ

; 5 5 : 3 " 5 4 5 % 8 ( 6 2 : 9 " # 8 7 2 5 9 4 4 4 7 ; 5 : 8 2 2

! $ < 9 7 : 2 1 4 " # 6 1 ; # ρ $ 2 ( 5 4 : 5 * 2 7 9 6 5 ; 5 2

6 5 ) 5 ) 4 2 : 8 ε = mρc2 = 0, 776

) 5 5 1 5 $

3 " ρ $ 2 ( 5 4 53 : ( 5 9 7 9 7 5 : 2 4 8 8 6 5 ( 8 : 5 4 7 4 2 6 5 9 8 * $

4 " ) 2 ; : 5 4 5 & 3 5 : 5 : 4 7 8 7 2 ' 4 * 4 5 7 5 7 4 5 & < '

: ( 5 4 6 5 ( 8 : 5 4 5 ) 4 2 : 8 8 6 5 1 8 9 = = : ( 3 5 , 2 % 2

ε1 = ε − mec2 =

ε2

2mec2− mec

2 =m2

ρc2

2me− mec

2 ≈ 590

) .

2 8 1 5 7 ; 5 : 8 2 ! $ < 4 1 : 3 5 6 : 8 2 : 4 5

: 8 ! 2 5 4 ( 7 ; 5 : 8 2 2 % 7 ) 4 2 : 8 2 % 6 5 ( 8 : 5 4

Q = ) 4 2 5 7 8 # 6 5 :

m

2 ; 1 7 8 ! X0 : 7 6 2 7 4 2 4 9 γ $ ; 9 4

& : 8 7 N ' 9 " 2 + . 8 # 7 8 2 : 8 1 4 5 6 5 8 θ1 = θ2 = 45o

; 4 6 : 9 2 4 8 + 9 8 * 2 4 8 1 7 8 ! " X0 7 5 8 4 ; 5 9 " 8 ) 4 2 : $

8 8 ε1 = ε2 = 0, 7

) % 8 6 5 ) 8 4 4 " 7 7 1 $

J %; 3%K C ? # 1 2 %1

7 8 ! " X0

: 2 ( 2 7 5 ; 4 5 9 2 4 8 9 # 1 7 8 ! 8 2 + . 8 #

7 7 " m1

8 m2

8 7 ; 5 : 5 7 8 v1

8 v2 5 3 : ( 5 9 7 1 7 8 !

§

S

7 7 " M

% 8 7 ; 5 : 5 7 8 ; 8 4 2 8 1 2 7 ; + ) 4 2 : 8 + 5 3 : ( 5 $

9 9 , 2 % 7 1 7 8 ! "

π0 $ 2 ( 5 4 : 7 6 2 7 4 2 4 9 γ $ ; 9 4 % 8

) 4 2 : 8 + π0 $ 2 ( 5 4 2 7 8 7 1 / 1 8 ; : 7 6 5 5 * 2 4 4 " % 6 5 5

θ = 60o ; 4 6 : 9 2 4 8 + 9 8 * 2 4 8 π0 $ 2 ( 5 4 ( : 2 8 7 : 8 : 5 9

γ $ ; 9 4 7 ) 4 2 : 8 2 % M ) M 7 7 π0 $ 2 ( 5 4 m = 140

M ) c2

) 4 5 : 2 & 8 5 : 4 8 ' : 3 5 2 7 ; 5 : 8 $

2 $ $ $ 7 4 2 7 8 2 : 8 1 4 " 8 9 7 : 2 1 4 " 8 e+e− 6 1 ; 8

9 ; 5 5 : 5 ) 2 ; : 5 4 " : ( 5 4 + 7 5 ) 4 2 : 8 8 ε− = 9

)

6 5 ( 8 : 5 4 " - 5 ) 4 2 : 8 8 ε+ = 3, 1 ) % 8 7 7 1 7 8 ! "

X 5 3 : ( 5 9 9 , 2 % 7 9 : 2 ( 2 : 2 ; ! 8 8 e+ + e− → X

!

5 : 2 3 2 4 8 2 ) 4 2 : 8 8 9 8 : 2 7 : 2 8 2 4 5 : 7 / 9 2 8 $

1 8 9 7 2 * 2 5 4 5 6 : 8 2 : 4 5 4 < ! 5 5 ( 4 1 2 9 5 2 4 8 2

6 5 : 2 3 2 5 % ) 4 2 : 8 8 ; * " 2 = 2 6 7 " 5 : 4 8 1 2 7 ; 5 $

5 5 6 8 9 & 4 2 8 ( ; 2 4 4 5 5 ' 9 2 7 5 : 4 8 1 2 $

4 " 6 5 ) 5 ; 9 * 4 " 6 5 8 7 ; 8 2 : 4 8 9 4 " # 8 7 5 1 4 8 ; 5 9

) 4 2 : 8 8 ) 5 : ( 2 2 " 5 3 7 8 ; 5 : 5 ; 5 6 : 8 4 ! 8 6 8 $

4 " 2 6 : 5 3 2 " ) 4 2 : 2 8 ; 8 1 2 5 9 2 1 2 7 9 7 4 5 9 5 % ; 5 5

5 3 7 * 2 4 8 9 + 7 4 2 4 4 " 2 ( ; 5 4 " 8 ( 8 ; 8 9

1 7 4 5 7 8 ( ; 5 4 7 5 # : 4 2 4 8 : 2 8 9 8 7 7 ; 5 % ) 4 2 : 8 8 8 ; $

( 4 4 9 N 7 9 ( ) 4 2 : 8 8 6 5 ; 5 1 7 8 ! " ε0

7 2 / 7 7 5 % m 2

ε0 = mc2 . (19.1)

` s

Y

7 7 5 7 9 4 5 2 2 5 7 7 " m : 7 6 2 7 8 ( 7 5 7 5 4 8

6 5 ; 5 4 N 2 9 ) 5 7 1 2 ( ; 5 4 7 5 # : 4 2 4 8 : 2 8 9 8 7 $

7 ; 5 % ) 4 2 : 8 8 7 8 2

ε0 = mc2 =

N∑

j=1

εj =

N∑

j=1

(

mjc2 + Kj

)

,

2 mj

8 Kj

- 7 7 8 : 2 8 9 8 7 7 ; ; 8 4 2 8 1 2 7 ; ) 4 2 : 8

5 4 5 5 8 ( 6 : 5 ; 5 9 : 7 6 ; ; ; Kj ≥ 0 5 : 7 6

9 5 ( 5 * 2 4 2 7 8 5 ; 5 m >∑

j mj 2 8 1 8 4

∆m =

N∑

j=1

mj − m

4 ( " 9 2 7 I 4 4 9 : F ; 8 5 3 : ( 5 : 7 6 9 5 ( 5 * 2 4

5 ; 5 2 7 8 2 2 ; 7 7 5 : 8 ! 2 2 4 ) 5 7 1 2 7 : $

4 ; 8 4 2 8 1 2 7 ; ) 4 2 : 8 6 : 5 ; 5 9 : 7 6 2 8 4 P H : B G

I 4 5 4 8 @ 4 P 4 F 9 @ @ Q 6 : 5 7 9 ( 4 5 7 2 2 ; 5 7 7 2

Q =

N∑

j=1

Kj = −∆m · c2 .

: 8 ∆m > 0 : 7 6 4 2 9 5 ( 5 * 2 4 9 2 8 1 8 4 ∆m · c2 2 7

8 4 P H @ B J @ : 9 4 8 4 8 4 5 % : 3 5 2 ; 5 5 : + 4 5 ( $

: 8 1 5 3 " : 7 . 8 2 5 4 N 7 5 7 9 4 " # 1 7 2 %

ε = ∆m · c2 .

; 8 5 3 : ( 5 2 2 ; 7 7 - ) 5 5 1 2 4 5 3 4 ; 5 8 1 2 $

7 9 2 4 4 # : ; 2 : 8 7 8 ; 2 # 6 : 5 ! 2 7 7 5 9 ; 5 5 : " 2 6 : 8 ( 9 4 "

7 4 3 * 4 7 ) 4 2 : 8 2 %

; 8 1 2 7 ; 8 " : 7 6 5 2 : 2 6 : 8 4 ! 8 6 8 4 " 8 6 $

8 6 : 5 " , 2 4 4 5 5 6 5 1 2 4 8 ) 4 2 : 8 8 2 : 9 " % 6 - 8 7 $

6 5 ( 5 9 4 8 2 ) 4 2 : 8 7 5 : 4 8 5 : 4 8 1 2 7 ; 5 5 5 6 8 9 ! 2 $

2 4 : 4 " % 6 : 5 ! 2 7 7 9 ) 5 7 1 2 - # 8 8 1 2 7 ; : 2 ; ! 8 7 9 $

( 4 4 7 6 2 : 2 7 : 5 % ; 5 % ) 2 ; : 5 4 4 " # 5 3 5 5 1 2 ; 5 5 9 8 5 $

2 ; : 8 ) 5 8 7 6 5 ( 2 7 ; 8 4 2 8 1 2 7 ; ) 4 2 : 8 9 4 5 9

5 3 : ( 5 9 4 4 " # 9 : 2 ( 2 : 2 ; ! 8 8 5 5 9 8 8 5 2 ;

6 2 : 2 7 : 5 % ; ) 2 ; : 5 4 4 " # 5 3 5 5 1 2 ; 5 9 2 1 + 7 8 " ) 2 ; : 5 $

4 8 4 5 5 9 ( 8 5 2 % 7 9 8

5 : 5 % 6 - 8 7 6 5 ( 5 9 4 8 2 : 4 5 % ) 4 2 : 8 8 ! 2 2 4 $

: 4 " % 6 : 5 ! 2 7 7 9 ) 5 7 1 2 - : 7 6 * 2 " # 5 4 " #

2 : 4 3 5 2 2 2 ; 8 2 8 8 7 6 5 ( 5 9 4 8 2 ; 8 4 2 8 1 2 7 ; 5 % ) 4 2 : 8 8

6 : 5 ; 5 9 : 7 6

: 2 8 % 6 - 8 7 6 5 ( 5 9 4 8 2 : 5 2 : 4 5 % ) 4 2 : 8 8 ! 2 $

2 4 : 4 " % 6 : 5 ! 2 7 7 9 ) 5 7 1 2 - 7 8 4 8 2 / ; 8 # 5 4 " #

2 : 9 3 5 2 2 * / " 2 8 8 7 6 5 ( 5 9 4 8 2 ; 8 4 2 8 1 2 7 ; 5 % ) 4 2 : 8 8

6 5 1 8 9 , 8 # 7 6 : 5 ; 5 9 7 8 4 2 (

7 6 8 7 8 4 2 ( 2 : 9 9 # 6 5 7 2 4 8 # 7 1 # 6 : 5 8 7 # 5 8

9 5 7 4 5 9 4 5 ( 7 1 / 7 8 4 5 5 9 ( 8 5 2 % 7 9 8 # 5 ) 2 ; : 8 $

1 2 7 ; 5 2 5 ; 8 9 4 8 2 6 : 5 5 4 5 9 8 : 2 5 6 : 2 2 / 4 4 + : 5 9

2 4 , 2 4 8 8 ) 4 2 : 8 8 7 9 ( 8 8 9 8 2 4 7 5 9 8 6 : 5 2 ; 4 8

2 : 4 " # : 2 ; ! 8 %

7 7 5 : 8 6 5 : 5 3 4 2 2 ) 8 : 8 9 5 ( 5 * 4 5 7 8 8 5 ! 2 4 8 7 5 $

5 9 2 7 9 + . 8 2 2 2 ; " 7 7 8 9 5 ( 5 * 4 5 2 ) 4 2 : 5 9 " 2 2 4 8 2

` s

! 4 2 : 8 2 % # 8 8 1 2 7 ; 8 # : 2 ; ! 8 % 6 5 ( 5 9 8 7 2 . / 4 , 8 6 2 $

. 2 : 4 " 2 6 : 2 ; 8 6 5 1 2 / 6 / 7 * 8 4 8 : 5 9 2 3 $

7 9 2 8 5 * 4 5 5 2 8 : 5 9 ) 5 6 : 5 ! 2 7 7 # 8 8 $

1 2 7 ; 5 % : 2 ; ! 8 2 % 7 5 2 8 4 2 4 8 2 : 5 & 5 7 4 5 9 4 5 % ; 5 6 5 4 2 4

: 5 9 ' 7 ; 8 7 5 : 5 5 9 5 ( #

2

2

) 5 % : 2 ; ! 8 8

4 2 5 3 # 5 8 5 4 ; * " % 5 2 : 5 8 2 5 8 4 5 5 $

2 ; : 4 5 5 ; 8 7 5 : 5 & 4 6 5 4 8 1 5 5 8 4 5 ) 5 6 : 8 $

2 : 4 5 6 · 1023 5 5 9 8 8 5 2 ; ' 7 8 9 ( 5 8 4 5

& 2 < 2 : 5 ' 8 5 8 4 5

2

& 2 < ; 8 7 5 : 5 '

6 5 1 8 7 5 8 4 5 2 ; 8 7 5 5 ( 2 : 5 6 5 4 5 7 +

7 5 : 8 ( 5 7 3 " 1 5 9 8 5 2 " 5 * 4 " 6 5 1 8

2 ; 8 7 5 5 ( - ; 7 8 4 2 : 2 8 9 8 7 7 ; 8 % ( ; 5 4 7 5 $

# : 4 2 4 8 7 7 " 7 4 5 9 2 4 4 " % 2 . / 9 5 9 : 2 2 4 5 5 4 5 7 5 9

8 9 ( 2 4 ; 5 9 ) 5 7 1 2 2 2 ; 7 7 3 " 3 " : 9 2 4

4 + 8 ) 4 2 : 5 9 " 2 2 4 8 2 ; 5 % : 2 ; ! 8 8 5 * 2 3 " 5 3 " 4 2 $

9 " 5 5 ; 9 5 ( 4 8 ; 4 2 2 6 5 2 9 2 8 1 2 4 8 2 ; 8 4 2 $

8 1 2 7 ; 5 % ) 4 2 : 8 8 # 5 8 1 2 7 ; 5 5 9 8 * 2 4 8 5 2 ; ! 4 2 : 8

9 " 2 8 7 5 ; 5 9 5 7 1 2 2 7 8 7 7 ; 5 4 2 1 4 " # 5 2 ;

2 ; 8 7 5 5 ( 3 2 2 4 , 2 7 : 4 5 % 7 7 " 4 1 4 " #

5 5 9 2 : 5 8 5 2 ; ; 8 7 5 : 5 7 8 3 " 9 5 9 : 2 2 4

9 ( 2 5 * 4 5 3 " 5 8 ( 2 : 7 7 7 5 1 2 4 9 " 7 5 ; 5 % 5 1 $

4 5 7 + 5 4 5 3 ( 2 4 5 ( 2 8 3 " 2 4 , 2 4 8 2 7 : 4 5 %

7 7 " 9 : 2 ( 2 : 2 ; ! 8 8 ! 2 4 8 2 2 ; 7 7 6 : 8 # 8 $

8 1 2 7 ; 8 # : 2 ; ! 8 # 4 , 2 7 1 2 8 ( 9 2 7 4 5 1 5 ) 4 2 : 8

9 " 2 + . 7 9 : 2 ( 2 7 5 : 4 8 5 4 5 5 5 2 : 5

: 9 4 Q = 4 · 105 * 7 5 5 9 2 7 9 2 4 4 5 3 7 5 + 4 9 2 8 1 8 4

2 2 ; 7 7 " 5 4 5 5 5 2 ; 8 7 5 5 ( 7 5 7 9 8

∆m =Q

c2 = 4, 4 · 10−12 ; ,

2 5 5 4 5 7 8 2 4 9 2 8 1 8 4 2 4 , 2 5 4 5 % 2 7 8 8 8 5 4 $

4 5 % 5 8 6 : 5 ! 2 4 2

∆m

m≈ 10−9 = 10−7 % .

; 8 2 8 ( 2 4 2 4 8 8 9 4 , 2 9 : 2 4 2 / 7 8 ( 2 : 8 6 : $

" 8 2 5 8 7 8 6 2 : 2 7 1 8 ) 4 2 : 2 8 1 2 7 ; 8 % 9 " # 5 4

5 4 5 2 ; 2 ; 8 7 5 5 ( 5 4 7 5 7 9 8 5 ; 5 5 ) $

: ; 2 : 4 " 2 ( 4 1 2 4 8 ) 4 2 : 8 8 # 8 8 1 2 7 ; 5 % 7 9 ( 8 2 * 9 8 4 $

2 : 9 2 = ) 2 8 2 . 2 5 4 5 7 5 3 2 4 4 5 7 6 5 1 2 4 8

) 4 2 : 8 8 6 2 7 * 8 4 8 2 1 5 3 " : 2 ; ! 8 6 5 , : 5 9 4 2 5 3 $

# 5 8 5 6 5 * 2 1 2 4 : 2 5 2 6 2 : : " = = =

` s

g

5 4 " 2 : 7 5 7 5 8 ( 6 : 5 5 4 5 9 p 8 4 2 % : 5 4 5 9 n

7 5 9 2 7 4 5 5 4 8 2 4 5 9 4 8 6 : 5 5 4 5 9 8 4 2 % : 5 4 5 9 8 7 6 5 ( +

2 : 8 4 8 9 5 : 8 3 5 ( 4 1 8 1 2 : 2 ( Z 1 8 7 5 6 : 5 5 4 5 9 8 1 2 : 2 (

N 1 8 7 5 4 2 % : 5 4 5 9 5 6 5 4 5 2 1 8 7 5 4 ; 5 4 5 9 9 : 2 : 9 $

4 5 A = Z +N

7 mA

- 7 7 : 7 1 8 7 5 4 ; 5 4 5 9 A

5 2 2 ; 7 7 ; 5 5 : : 9 2 4

∆m = Zmp + Nmn − mA ,

3 5 , 8 4 7 9 2 : 5 4 5 7 8 2 4 9 2 8 1 8 4 2 2 ; 7 7

7 5 7 9 2 2 7 " 2 5 8 6 : 5 ! 2 4 1 5 9 8 8 5 4 " : ( 6 : 2 $

9 " , 2 2 5 ( 4 1 2 4 8 2 # 8 8 1 2 7 ; 8 # : 2 ; ! 8 % 5 , 8 2 2 $

2 ; " 7 7 6 : 8 2 : 4 " # 6 : 2 9 : . 2 4 8 # 8 5 6 : 2 2 + 9 " $

7 5 ; + ) 2 ; 8 9 4 5 7 2 : 4 5 % 8 2 : 5 2 : 4 5 % ) 4 2 : 2 8 ; 8

: 5 7 5 6 5 1 2 4 8 5 % * 2 7 5 % ) 4 2 : 8 8 2 : 4 " # 8 8

2 : 5 2 : 4 " # : 5 9 : 2 3 2 7 9 8 8 5 4 " : ( 2 4 , 2 1 2

5 3 " 1 4 " # : 5 9 ( 2 4 2 4 8 9 5 4 " # : # 6 : 5 8 7 # 5 7 1 $

7 8 2 5 1 8 # 2 : 4 " # 7 8 8 7 5 6 : 5 9 5 * + 7 4 2 7 : 9 4 8 5

3 5 , 8 9 " 2 2 4 8 2 ) 4 2 : 8 8 1 2 + # 8 8 1 2 7 ; 8 2 6 : 5 ! 2 7 $

7 " 9 ; 5 5 : " # 2 % 7 9 + 4 2 5 1 2 4 5 . 4 " 2 & 9 7 : 9 4 2 4 8 8 7

2 : 4 " 8 ' ) 2 ; : 5 4 8 4 " 2 7 8 " ! 4 2 : 8 8 7 9 ( 8 4 ; 5 4 5 9

9 : 2 9 8 8 5 4 " : ( 3 5 , 2 ) 4 2 : 8 8 # 8 8 1 2 7 ; 5 % 7 9 ( 8

; 8 5 3 : ( 5 5 4 5 8 ( 9 4 " # 5 7 5 8 4 7 9 2 : 4 5 % ) 4 2 : $

2 8 ; 8 7 5 7 5 8 9 5 1 5 ; * " % 1 7 9 + . 8 % 9 2 2 5

9 " 2 9 8 8 5 4 " : ( 3 5 , 2 ) 4 2 : 8 8 1 2 6 : 8 # 8 8 1 2 $

7 ; 8 # : 2 ; ! 8 # 5 : 5 2 5 7 5 8 4 7 9 5 7 5 7 5 8 9 5 1 5 ( 6 7 "

2 : 4 5 5 5 6 8 9 5 7 5 1 4 5 9 2 8 ; 8 2 : 4 5 5 7 8 4 2 (

& 2 ) 4 2 : 8 + 6 5 1 + 9 5 7 4 5 9 4 5 8 ( 8 ( 5 5 6 5 9 9 5 5 : 5 ; 5 $

5 : " 2 5 * 4 5 8 ( 9 2 ; 8 ( 5 3 " 1 4 5 % 9 5 " ' 5 4 8 6 : ; 8 1 2 7 ; 8

3 2 ( : 4 8 1 4 "

?

2 7 4 2 5 3 # 5 8 5 7 2 9 * 4 5 2 ( 2 1 4 8 2 ! 4 2 : 8 7 9 $

( 8 4 5 8 4 4 ; 5 4

ε1 =∆mc2

A.

8 2 2 ; 7 8 ≈ M ) 2 : * 2 2 ( & 6 : 8 A ≈ N '

! 4 2 : 8 ε1

7 4 5 9 8 7 2 4 , 2 ; ; 3 5 2 2 * / " # ) 2 $

2 4 5 9 ; 8 3 5 2 2 / ; 8 # ! 5 5 ( 4 1 2 1 5 ) 4 2 : 8

3 2 9 " 2 7 ; ; 6 : 8 2 2 4 8 8 3 5 2 2 * / " # 2 : ;

8 6 : 8 7 8 4 2 ( 2 2 : 8 ( 3 5 2 2 / ; 8 #

2 # 4 8 1 2 7 ; 8 3 5 2 2 6 : 5 7 " 5 ; ( 5 7 : 2 8 ( 5 9 2 2 4 8 2

: 4 5 9 " # 8 : 4 7 : 4 5 9 " # ) 2 2 4 5 9 ; 1 2 7 9 2 2 : 4 5 5

5 6 8 9 1 . 2 9 7 2 5 8 7 6 5 ( 2 7 235 : 5 ; 5 5 : 5 5 6 5 7 2

( # 9 2 6 5 9 5 5 4 2 % : 5 4 2 8 7 4 9 4 5 9 " # : 8

; : 5 2 5 5 8 7 6 7 ; 2 7 4 2 7 ; 5 ; 5 3 " 7 : " # 4 2 % : 5 4 5 9 2

n +235 →A1

+A2

+ (2 ÷ 3)n .

8 3 5 2 2 9 2 : 5 4 " 5 7 ; 5 ; 8 2 2 4 8 ; 5 5 : " # A1 = 95 8

A2 = 138 5 4 8 ; ; 6 : 9 8 5 : 8 5 ; 8 9 4 " ! 4 2 : 5 9 " 2 2 4 8 2

) 5 % : 2 ; ! 8 8 Q 7 5 7 9 2 6 : 8 2 : 4 5< = = M ) 5 4 5 7 8 2 $

4 " % 2 2 ; 7 7 : 9 2 4

∆m

m=

Q

(mU + mn)c2 ≈ 0, 1 % .

1 5 3 " : 2 ; ! 8 2 2 4 8 6 : 5 5 * 7 4 2 5 3 # 5 8 5 ( 2 $

8 3 " 7 : " 2 4 2 % : 5 4 " 7 ; 5 5 : " 8 : 5 235 6 : ; 8 1 2 $

7 ; 8 4 2 : 2 8 : 2 5 2 4 , 8 # ) 4 2 : 8 % 4 5 6 : 8 ) 5 2

: 2 8 : 5 9 ; 5 4 ! 2 4 : ! 8 + 2 6 5 9 " # 4 2 % : 5 4 5 9 ; 1 5 3 "

6 : 9 2 " % 6 : 5 ! 2 7 7 2 2 4 8 4 2 6 2 : 2 , / 9 5 4 " % 9 ( : " 9

5 * 4 2 % , 8 2 7 8 7 2 " 9 5 8 ; 8 7 2 ( ) 8 6 : 5 ! 2 7 7 5

1 2 : 4 5 3 " 7 ; ; 7 : 5 7 9 5 ( 5 * 4 5 % 4 2 8 ( $ ( 5 ; $

( 9 5 8 ; 8 8 ( $ ( 2 / 5 ; + 1 2 4 8 6 5 # 4 5 7 8 8 4 8 ( ; 5 %

; 9 8 8 ; ! 8 8 6 2 : 7 5 4 2 2 4 , 2 % 6 : 5 3 2 5 % 9 2 7

?

6 5 5 5 9 ; 5 6 8 9 4 " # ) 2 2 4 5 9 : 2 3 + . 7 " # 9 " 7 5 ; 8 #

2 # 4 5 5 8 % ; : 5 2 ) 5 5 4 2 5 3 # 5 8 5 3 2 ( 5 6 7 4 " 6 2 ( 3 8 $

: ) 4 2 : 8 + 9 ; 8 9 4 5 % ( 5 4 2 8 6 2 : 2 9 2 2 : 3 5 2 4 2 : $

5 : 4 " 7 4 5 9 ;

7 5 * 2 4 8 + 6 2 : 9 5 2 6 : ; 8 1 2 7 ; 5 2 8 7 6 5 ( 5 9 4 8 2 2 : 4 5 %

) 4 2 : 8 8 6 : 5 8 ( 5 , 5 9 5 : 2 5 4 5 % 3 5 3 : 8 : 5 9 ; 8 5 : 5 5 9

8 : 5 7 8 " 8 7 ; 8 9 9 7 2 Q 7 6 " 4 8 2 6 2 : 9 5 %

7 5 9 2 7 ; 5 % 5 4 5 % 3 5 3 " 7 5 7 5 5 7 9 9 7 2 Q Q

4 7 5 . 2 2 9 : 2 9 8 : 2 * 2 : 3 5 2 3 5 2 2 = = !

8 # 5 3 . 5 . 4 5 7 7 5 7 9 2 3 5 2 2 8 : 5 9 5 % ) 4 2 : 2 8 $

; 8 5 2 4 " # 7 : 4 # ) 5 6 : 5 ! 2 4 9 " , 2 2 9 5 : 4 ! 8 8 -

> 9 6 5 4 8 8 - 9 - < = 9 5 7 7 8 8 - > ( $

9 2 4 4 " # ( 6 7 5 9 : 4 * 2 7 1 2 5 : 5 7 6 5 : 2 3 2 4 8

) 2 ; : 5 ) 4 2 : 8 8 6 5 5 ! 2 4 ; # 9 8 4 7 5 4 8 2 7 4 5 9 4 " 2

6 : 5 3 2 " 7 9 ( 4 " 7 5 7 5 * 4 5 7 + 8 8 ( ! 8 8 5 5 * 8 9 . 8 #

: 8 5 ; 8 9 4 " # 5 # 5 5 9 8 9 5 ( 5 * 4 5 7 + 6 5 1 2 4 8 4 !

5 : * 2 % 4 5 5 6 5 4 8 8 : 4 9 5 7 : 7 9 # 7 4 2 6 : 2 7 ; ( $

2 5 % 6 5 8 8 ; 5 %

` sa_

) 5 6 4 2 3 5 2 2 6 : 8 9 2 ; 2 4 " 6 : 2 7 9 2 7 2 : $

5 2 : 4 " % 7 8 4 2 ( 7 2 5 6 : ; 8 1 2 7 ; 8 4 2 8 7 1 2 : 6 2 " % 8 7 5 1 4 8 $

; 5 5 6 8 9 8 5 7 7 9 8 2 : 8 5 ; 8 9 4 " # 5 # 5 5 9 8 3 5 2 2

6 : 5 7 " 8 5 7 : 2 ; ! 8 8 7 8 4 2 ( : 2 8 8 ( 9 5 5 : 5 $

8 2 5 8 ( 5 5 6 5 9 2 % 2 : 8 & 2 5 : 5 d 7 5 7 5 8 8 ( 6 : 5 5 4

8 4 2 % : 5 4 ' 8 : 8 8 & 2 5 : 5 t 7 5 7 5 8 8 ( 6 : 5 5 4 8 9 #

4 2 % : 5 4 5 9 ' 2 4 4 5 ; 8 2 : 2 ; ! 8 8 6 : 5 # 5 9 ( 9 2 ( # 9 5

1 8 7 2 9 4 , 2 5 4 ! 2 5 7 3 8 4 5 7 8 : 3 5 " ) 5 5 2 : $

5 2 : 4 5 5 : 2 ; 5 : ( 9 8 7 8 9 7 2 * 8 9 5 2 4 2 2 2 6 : 9 $

2 " 2 : 2 ; ! 8 8 7 8 4 2 ( 9 6 2 : 9 " 2 : 2 8 ( 5 9 4 " 1 2 5 9 2 1 2 7 9 5

? ?

3 5 2 2 6 5 9 2 ; 4 ( 9 ; 4 ( " 9 2 " # 9 5 5 : 5 4 " # 3 5 3 #

6 : 9 2 5 5 7 8 4 2 ( 5 4 5 % 8 ( 4 8 3 5 2 2 6 2 : 7 6 2 ; 8 9 $

4 " # 9 2 7 : 2 ; ! 8 5 3 : ( 5 9 4 8 : 2 8 6 : 8 7 5 : 2 $

4 8 8 : 2 % 2 : 8 8 : 8 8 7 9 " 2 5 3 " 7 : 5 5 4 2 % : 5 4 2

2d +3 t →4 + n .

! 4 2 : 5 9 " 2 2 4 8 2 ) 5 % : 2 ; ! 8 8 Q 7 5 7 9 2 6 : 8 2 : 4 5

M ) 5 4 5 7 8 2 4 " % 2 2 ; 7 7 : 9 2 4

∆m

m=

Q

(mU + mn)c2 ≈ 0, 4 % .

: 5 3 2 6 5 1 2 4 8 2 : 4 5 5 5 6 8 9 ; 5 % : 2 ; ! 8 %

2 9 " 2 2 4 8 2 2 % 2 : 8 8 : 8 8 9 6 : 5 " , 2 4 4 " # 7 , $

3 # 9 4 7 5 . 2 2 9 : 2 5 * 2 7 1 8 7 : 2 , 2 4 4 5 % & # 5 5 8 4

; * 2 5 % 9 5 "

2

6 5 ! 2 4 2 7 5 8 ( 2 : 8 7 ! 2 4 5 % ; ( 5 5 '

5 4 6 8 6 : 5 " , 2 4 4 5 % : 2 8 ( ! 8 8 6 : 9 2 5 5 2 : 5 $

2 : 4 5 5 7 8 4 2 ( 7 . 2 7 9 2 ! 2 " % : 6 : 5 3 2 8 ( ; 5 5 : " #

5 7 4 5 9 4 " 8 9 + 7 7 2 + . 8 2 : 8

: ( * 8 4 8 ) 5 5 5 6 8 9 : 2 3 + 7 2 6 2 : : "

9 7 5 4 8 8 8 5 4 5 9 : 7 5 9 1 5 3 " ( : * 2 4 4 " 2 : 2 % 2 $

: 8 8 : 8 8 6 : 2 5 5 2 8 7 8 " ; 5 4 5 9 7 ; 5 5 5 ; 8 9 4 8 8

7 3 8 ( 8 8 7 4 4 2 5 3 # 5 8 5 2 4 1 : 2 ; ! 8 8 : 7 7 5 4 8 2

< 5 4 5 7 2 : 2 % 2 : 8 8 : 8 8 9 ( 5 4 2 : 2 ; ! 8 8 5 * $

4 3 " 5 7 5 1 4 5 9 2 8 ; 1 5 3 " 3 " 5 7 5 1 4 5 9 " 7 5 ; 5 %

9 2 : 5 4 5 7 8 # 7 5 ; 4 5 9 2 4 8

5 4 : 2 ; ! 8 8 ( 6 5 4 2 4 9 " 7 5 ; 5 2 6 2 : : 4 5 % 6 ( 5 %

& 7 2 7 + 8 ( 2 : 8 ) 2 ; : 5 4 5 9 ' ) 6 ( 5 * 4 2 : * 8 $

9 7 9 6 : 5 7 : 4 7 9 2 4 2 ; 7 7 7 2 4 5 ; : 2 ; 5 :

2 : 9 8 9 5 : 6 : 5 3 2 " : 2 , 2 4 " 9 9 5 5 : 5 4 5 % 3 5 3 2 9

; 5 5 : 5 % 6 2 : 9 8 1 4 " % 5 4 " % 9 ( : " 9 8 7 6 5 ( 2 7 4 : 2 $

9 4 8 8 7 * 8 8 7 # 5 4 " # 6 : 5 ; 5 9 7 8 4 2 ( 2 2 8 /

? x

4 2 6 : 9 2 2 : 5 2 : 4 : 2 ; ! 8 7 9 " 2 2 4 8 2 5 : 5 $

4 5 % ) 4 2 : 8 8

4 8 8 ( 6 : 5 7 " # 4 6 2 : 9 " % 9 ( 7 6 5 7 5 3 5 9 : 2 , 2 4 8 6 : 5 $

3 2 ; ( 5 7 8 7 6 5 ( 5 9 4 8 2 6 ( 2 4 4 " # 5 3 : ( 5 9 4 8 % : ( 5 $

: 2 9 2 " # ) 2 ; : 8 1 2 7 ; 8 5 ; 5 8 6 5 2 : * 8 9 2 " # 9 6 : 5 $

7 : 4 7 9 2 7 8 7 2 5 % ) 2 ; : 5 4 8 4 " # 6 5 2 % : 2 2 4 8 2 6 5 $

1 8 9 " 7 5 ; 5 2 6 2 : : 4 + 6 ( 4 5 ; 4 5 7 7 : ( 4

4 2 7 ; 5 ; 5 5 1 2 4 7 5 * 4 " # ( 1 5 $ 6 2 : 9 " # 4 2 * 5 2 / 4 $

: 2 5 4 5 8 # 8 8 5 4 5 9 : 7 5 9 5 $ 9 5 : " # 1 5 3 " 7 5 $

# : 4 8 9 " 7 5 ; + 2 6 2 : : 6 ( " 4 * 4 5 8 ( 5 8 : 5 9

2 2 5 7 2 4 5 ; : 2 ; 5 : 7 5 ( 7 9 5 2 5 : 5 6 ( 2 4 4 5 2 5 3 ; 5

$ : 2 8 # ) 5 5 3 ; 5 4 2 5 3 # 5 8 5 7 2 3 7 5 + 4 5 7 5 % $

1 8 9 " 1 5 3 " 5 4 5 9 8 7 2 5 9 6 : 5 7 : 4 7 9 2 4 2 7 2 . 7 8 4 8

; 1 2 4 2 6 : 8 ; 7 7 8 3 5 2 2 6 2 : 7 6 2 ; 8 9 4 " 8 5 ; ( 8 7

7 4 5 9 ; 8 6 5 1 8 9 , 8 2 4 ( 9 4 8 2 M - 7 5 ; : . 2 4 8 2

5 6 5 4 5 5 4 ( 9 4 8 P : @ I F 5 6 8 F L D 4 P F D H 8 @ 8 : "

L F 9 : " 6 ( 2 4 4 5 7 7 ; 2 7 5 ( 9 8 ) 2 ; : 8 1 2 7 ; 8 %

5 ; 7 6 5 5 . + 9 4 2 , 4 2 5 4 8 4 5 5 6 5 5 6 : 2 2 2 4 4 5 % ; 5 4 $

8 : ! 8 8 2 : * 8 9 8 6 ( 2 4 4 5 2 5 3 ; 5 9 ! 2 4 : 2 ; 2 : "

4 2 6 5 ( 9 5 2 7 5 6 : 8 ; 7 7 7 5 7 2 4 ; 8 ; 2 : 3 " $

9 " 6 5 4 2 4 9 5 : 2 5 : 7 2 1 5 3 " 5 ; 8 2 ; 8 9 4 : 8

) 5 5 3 3 8 ;

1 2 4 7 ; 5 : 5 9 " 7 4 8 5 7 1 5 7 7 5 ; 4 : 2 5 % 9 5 5 : 5 4 5 %

6 ( " 6 5 9 2 , 2 4 4 " % 9 4 8 4 5 6 5 2 5 ; ( 7 4 2 7 5 % 1 8 $

9 " 4 5 9 5 4 5 3 " 7 : 5 ( " 7 1 4 " 2 5 8 7 2 ; 4 " : 7 6 $

7 8 9 " 9 8 9 7 4 7 2 4 ; 8 ; 2 : " 5 7 2 6 2 4 4 5 9 5 ( 4 8 ; $

5 6 5 4 8 4 8 2 6 : 8 : 5 " ) 8 # 4 2 7 5 % 1 8 9 5 7 2 % ( 2 6 5 9 $

8 7 6 : ; 8 1 2 7 ; 8 2 : 2 ; 5 2 4 ! 8 8 6 5 6 5 9 " , 2 4 8 + 7 5 % 1 8 $

9 5 7 8 6 ( " 6 : 8 2 : 8 7 6 5 ( 5 9 5 6 5 4 8 2 4 5 $

5 4 : 2 9 5 . 4 5 2 8 ( 1 2 4 8 2 9 " 7 5 ; 5 % 1 7 5 " : 5 2 5 5

7 5 7 4 5 1 5 9 : 2 7 5 % 1 8 9 5 5 2 : * 4 8 6 ( " 9 5 ( $

: 7 2 7 9 2 8 1 2 4 8 2 : ( 2 : 5 9 7 4 5 9 ; 8 : 6 4 2 % , 5 2 $

1 2 7 9 2 4 4 , 8 4 M $ * 2 8 2 5 : 5 8 4 +

9 ; 4 + ; 2 : 7 9 4 2 , 4 8 8 2 : 5 3 3 8 ; 3 5 2 2

: 6 4 " 2 8 7 7 2 5 9 2 7 ; 8 2 5 ; ; 8 3 " 8 6 5 7 : 5 2 4 " 9 5 7 $

7 8 8 6 5 4 8 8 : 4 ! 8 8 4 8 8 4 2 7 ; 5 ; 5 2 4 $

( 7 6 2 ! 8 8 7 " 6 : 8 , 8 ; 9 " 9 5 1 5 5 7 9 , 8 2 7 4 2 : 2 , / 4 $

4 " 2 6 : 5 3 2 " 4 * 4 5 8 7 7 2 5 9 4 7 4 5 9 ; 2 ; 7 8 $

4 5 6 : 8 3 8 * 2 4 4 5 % ; : 2 4 5 ) 4 2 : 2 8 1 2 7 ; 5 2 : 5 2 : 4 5 $

: 2 ; 5 : 8 5 ; 5 5 3 2 8 4 2 4 4 " 8 8 4 2 2 ; 4 " 8 8

) ; 5 4 5 8 1 2 7 ; 8 8 7 8 8 8 8 # 5 * 4 5 4 ; 5 4 2 ! : 2 , 8

! 5 6 5 4 8 4 8 2 8 6 : 8 9 2 5 ; : 3 5 6 5 7 5 ( 4 8 + 2 * $

4 : 5 4 5 5 8 7 7 2 5 9 2 7 ; 5 5 : 2 ; 5 : ! < = = N 5 $

7 8 4 " 5 5 9 5 : / 4 4 5 7 8 5 2 5 7 5 9 2 7 4 5 7 : 5 8 2 7 9 2 9 5

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R S T S

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2 4 ! 8 4 5 6 5 2 U(x) 2 8 ; 2 # 5 : 5 , 5 8 ( 9 2 7 4 5 1 5

: 9 4 2 4 8 2 9 8 * 2 4 8 & : 9 4 2 4 8 2 + 5 4 '

mx = Fx(x) = −dU(x)

dx(20.1)

7 ( 4 4 " 8 4 1 4 " 8 7 5 9 8 8 x(t0) = x0 x(t0) = v0

8 2 2 2 8 4 7 9 2 4 4 5 2 : 2 , 2 4 8 2 x(t) : 5 % 7 5 : 5 4 " 6 : 8 9 8 $

* 2 4 8 8 9 ; 5 6 5 2 7 5 # : 4 2 7 ) 4 2 : 8

E =1

2mx2 + U(x) = const . (20.2)

! 4 2 : 8 6 : 2 7 9 2 7 5 3 5 % 6 : 8 2 : @ 8 4 H P F 5 F I B @ 4 8 @

2 4 ; ! 8 8 ; 5 5 : 8 4 8 7 ; 5 : 5 7 2 % ; 5 5 : 7 5 # : 4 2 7

6 : 8 9 8 * 2 4 8 8 7 8 7 2 " 5 4 5 2 : 4 5 5 9 8 * 2 4 8 4 8 1 8 2

; 5 5 8 4 2 : 9 8 * 2 4 8 / 9 5 ( 5 * 4 5 7 9 2 7 5 : 9 $

4 2 4 8 9 5 : 5 5 6 5 : ; & ' 8 7 6 5 ( 5 9 : 9 4 2 4 8 2 6 2 : 9 5 5

6 5 : ; & < ' 8 4 % 8 ( ; 5 4 9 8 * 2 4 8 x(t) 9 5 : 2 5 6 : 2 2 / 4 $

4 5 5 8 4 2 :

2 % 7 9 8 2 4 5 6 5 4 1 4 " 4 4 " 4 # 5 8 ; 5 4 7 4

E =1

2mv2

0 + U(x0) ,

?

6 5 7 2 1 2 5 9 : 9 4 2 4 8 8 6 2 : 9 5 5 6 5 : ; 6 5 1 2 4 4 5 5 8 ( & < '

dx

dt= ±

√

2

m[E − U(x)] ( x ≷ 0) (20.3)

6 2 : 2 2 4 4 " 2 x 8 t : ( 2 + 7

dt = ±√

m

2

dx√

E − U(x)(20.4a)

8 5 9 2 8 2 2 9 8

t = ±√

m

2

∫ x

x0

dx√

E − U(x)+ t0 . (20.4b)

x1 x2 x3 x

U

E

Um

xmx1 x2 x3 x

U

E

Um

xmx1 x2 x3 x

U

E

Um

xm

J %; 0%< = E ? ) D ) & = B &

5 7 ; 5 ; ; 8 4 2 8 1 2 7 ; ) 4 2 : 8 K = E − U(x) 6 5 5 * 8 $

2 4 5 9 8 * 2 4 8 2 9 5 ( 5 * 4 5 8 , 9 5 3 7 8 ( 4 1 2 4 8 % x 9

; 5 5 : 5 % E > U(x) 5 1 ; 8 xi 9 ; 5 5 : " # U(xi) = E 5 6 : 2 2 $

+ : 4 8 ! " 5 3 7 8 9 8 * 2 4 8 1 7 8 ! " & : 8 7 > '

) 8 #

?

5 1 ; # ; 8 4 2 8 1 2 7 ; ) 4 2 : 8 : 9 4 4 + K = E−U(xi) = 0

8 7 ; 5 : 5 7 vi = 0 4 5 7 ; 5 : 2 4 8 2 ai = −U ′(xi)/m

5 * 2 3 "

5 8 1 4 5 5 4 7 7 5 : 8 6 : 8 2 : 6 5 2 4 ! 8 4 5 % ) 4 2 : $

8 8 5 ; 4 " ; 7 8 5 Um

& 7 : 8 7 > ' ; 5 6 5 2

6 : 8 ) 4 2 : 8 8 E < Um

9 8 * 2 4 8 2 9 5 ( 5 * 4 5 8 , 9 9 # 5 3 $

7 # 2 6 : 8 x1 ≤ x ≤ x2

8 6 : 8 x ≥ x3

7 ; 5 : 2 4 8 a1,2,3 6= 0

6 : 8 1 2 a1,3 > 0 a2 < 0 6 5 ) 5 93 8 ( 8 5 1 2 ; x1,2,3

9 8 * 2 $

4 8 2 5 ; ( " 9 2 7 6 : 8 3 8 * 2 4 4 5 : 9 4 5 7 ; 5 : 2 4 4 " & 8 8 : 9 4 5 $

( 2 2 4 4 " ' 8 ) 8 5 1 ; 8 9 + 7 5 1 ; 8 6 5 9 5 : 5 5 3 $

7 8 x > x3

1 7 8 ! # 5 8 4 3 2 7 ; 5 4 2 1 4 5 7 2 / 9 8 * 2 4 8 2

@ 8 @ 8 @ 8 : 5 3 7 8 x1 ≤ x ≤ x2

1 7 8 ! 7 5 9 2 : , 2 ; 5 2 $

3 4 8 & 9 8 * 2 4 8 2 @ 8 @ 8 : 4 ' 7 6 2 : 8 5 5

T (E) =√

2m

∫ x2

x1

dx√

E − U(x). (20.5)

5 3 . 2 7 1 2 9 : 5 4 F 8 @ @ 4 ( " 9 + 7 ; 8 2 9 8 * 2 $

4 8 ; 5 5 : " 2 5 1 4 5 8 8 6 5 1 8 5 1 4 5 6 5 9 5 : + 7 5 2 3 4 8

9 7 : 2 1 + 7 9 5 9 7 2 # 5 3 7 # 8 ( 8 ; 8 6 : 8 2 : 8 9 + $

7 2 ; 5 2 3 4 8 4 8 ; O ; 5 2 3 4 8 9 2 4 8 9 5 ( # - ( 9 ; O

; 5 2 3 4 8 ) 2 ; : 8 1 2 7 ; 5 5 8 4 8 4 5 5 6 5 - : 8 5 7 9 2 O

; 5 2 3 4 8 5 5 9 9 5 2 ; # O ; 5 2 3 4 8 6 : 5 5 4 5 9 8 4 2 % : 5 $

4 5 9 9 : 2 8 5 8 5 6 2 : 8 5 ; 5 2 3 4 8 % 6 5 2 ( 4 5 9 9 2 7 8

; * 2 1 7 5 ; 5 2 3 4 8 % ν - 1 8 7 5 ; 5 2 3 4 8 % 9 2 8 4 8 ! 9 : 2 $

2 4 8 ; 5 5 : 7 9 ( 4 7 6 2 : 8 5 5 ; 5 2 3 4 8 % 7 5 5 4 5 , 2 4 8 2

ν =1

T. (20.6)

8 4 8 ! 2 % 8 ( 2 : 2 4 8 1 7 5 " 9 2 7 H 4 P 1

! 7 5 5 9 2 $

7 9 2 5 4 5 ; 5 2 3 4 8 + 9 7 2 ; 4

m

% 8 ( ; 5 4 9 8 * 2 4 8 x(t) 1 7 8 ! " 7 7 " m 9 6 5 $

2 4 ! 8 4 5 6 5 2 U(x) = −αx4 2 7 8 ) 4 2 : 8 1 7 8 ! " : 9 $

?

4 4 + 4 1 4 " % 5 2 4 1 7 8 ! 4 # 5 8 7 9 5 1 ; 2

x(0) = a 7 7 5 : 2 9 9 : 8 4 9 8 * 2 4 8 7 5 5 9 2 7 9 $

+ . 8 # 6 5 5 * 8 2 4 5 % 8 5 : 8 ! 2 4 5 % 4 1 4 5 % 7 ; 5 : 5 7 8

% 8 ( 9 8 7 8 5 7 6 2 : 8 5 ; 5 2 3 4 8 T (E) 1 7 8 ! "

7 7 " m 9 6 5 2 U(x) = βx4 5 ) 4 2 : 8 8 1 7 8 ! " E

!

: 2 8 9 7 2 9 5 ( 5 * 4 " # ; 5 2 3 4 8 % 5 1 2 4 9 * 4 " 8 9 + $

7 ; 4 ( " 9 2 " 2 8 4 2 % 4 " 2 ; 5 2 3 4 8 9 5 ( 4 8 ; + . 8 2 6 5 1 8

9 7 2 ; 5 6 : 8 # 5 8 7 : 7 7 : 8 9 9 8 * 2 4 8 2 1 7 8 ! " 9

6 5 2 4 ! 8 4 5 6 5 2 9 3 8 ( 8 8 4 8 6 5 2 4 ! 8 4 5 % ) 4 2 : $

8 8 4 8 5 ; ( " 9 + 7 9 " 2 2 4 " 4 2 5 ; 5 6 : 5 7 5 5 % : 2 , 2 $

4 8 4 5 8 2 ; 5 1 5 4 5 8 2 3 5 2 2 7 5 * 4 " 2 ; 5 2 3 4 8

5 3 " 6 : 2 7 9 2 4 " ; ; 5 4 5 7 8 2 4 5 6 : 5 7 7

8 4 2 % 4 " # ; 5 2 3 4 8 %

^

7 6 5 2 4 ! 8 4 ) 4 2 : 8 U(x) 8 2 2 5 ; 4 " % 8 $

4 8 9 4 2 ; 5 5 : 5 % 5 1 ; 2 xmin

! 5 1 ; 9 2 7 5 1 ; 5 %

7 5 % 1 8 9 5 5 : 9 4 5 9 2 7 8 ; ; ; 6 : 8 " # 5 ; 5 4 2 4 8 # 5

5 1 ; 8 xmin

9 5 ( 4 8 ; + 7 8 " 7 : 2 . 8 2 7 9 2 : 4 1 7 8 ! 9

6 5 5 * 2 4 8 2 : 9 4 5 9 2 7 8 2 7 8 4 1 5 5 7 1 2 ; 5 5 : 8 4 9

5 1 ; xmin

8 : ( 5 * 8 6 5 2 4 ! 8 4 + ) 4 2 : 8 + 9 : 6 5 $

" 5 ; 5 4 2 4 8 x 5 4 1 ; 5 5 : 8 4 2

U(x) = U(0)+U ′(0)x+1

2U ′′(0)x2+

1

3!U ′′′(0)x3+

1

4!U ′′′′(0)x4+. . . .

(21.1) 5 4 7 4 U(0) 4 2 7 . 2 7 9 2 4 4 8 2 / 5 * 4 5 5 6 7 8 9 "3 : 9

4 1 5 5 7 1 / 6 5 2 4 ! 8 4 5 % ) 4 2 : 8 8 5 U(0) 2 : 9 6 : 5 $

?

8 ( 9 5 4 5 3 : . 2 7 9 4 9 5 1 ; 2 8 4 8 U ′(0) = 0 7 8 9 5 : 6 : 5 8 ( 9 5 4 5 3 : . 2 7 9 4 U ′′(0) = 0 5

4 2 6 : 2 2 4 4 5 8 : 2 6 : 5 8 ( 9 5 4 U ′′′(0) = 0 8 5 : ( 5 $

* 2 4 8 2 U(x) 4 1 8 4 2 7 7 1 2 4 5 9 6 : 5 6 5 : ! 8 5 4 4 " # x4 5 5 $

9 2 7 9 2 4 4 5 7 8 Fx ∝ x3 9 2 7 4 2 8 4 2 % 4 5 % 4 ; ! 8 2 % x 8

; 5 2 3 4 8 9 ) 5 7 1 2 4 ( " 9 + 7 8 4 5 @ 8 4 " 8 @ 5 2 7 8

U ′′(0) 6= 0 5 4 2 6 : 2 2 4 4 5 U ′′(0) > 0 53 5 ( 4 1 8

U ′′(0) = k > 0 . (21.2)

; " # 5 ; 5 4 2 4 8 % x 5 6 5 5 * 2 4 8 : 9 4 5 9 2 7 8

6 5 2 4 ! 8 4 ) 4 2 : 8 9 5 7 5 1 4 5 5 3 . 8 # 6 : 2 6 5 5 * 2 4 8

2 7

U(x) =1

2kx2 , (21.3)

6 5 4 ) 4 2 : 8 E =

1

2mx2 +

1

2kx2 . (21.4)

2 % 7 9 + . 7 8

Fx = −dU

dx= −kx

9 2 7 5 @ 8 4 " 8 : " 4 ; ! 8 2 % 7 2 . 2 4 8 ; 5 2 3 4 8 4 ( " 9 $

+ 7 5 @ 8 4 " 8 @ @ 5 @ H F P : 8 @ 7 4 9 @ @ 5 ) 8 ! 8 2 4 k 4 $

( " 9 2 7 4 9 : 6 ) 5 7 1 2 : 9 4 2 4 8 2 9 8 * 2 4 8

8 2 2 9 8

mx = −kx

8 8

x + ω2x = 0 , ω2 =k

m> 0 (21.5)

7 4 1 4 " 8 7 5 9 8 8

x(0) = x0 , x(0) = v0 . (21.6)

x

8 7 2 6 5 1 8 4 + . + 7 ; 5 : 9 4 2 4 8 + 4 ( " 9 + 5 @ G

8 4 " 8 @ 5 @ H F P : 8 @ 7 4 9 @ : @ 5 5 : P :

2 , 2 4 8 2 : 9 4 2 4 8 & ' 2 ; 5 4 % 8 8 7 6 5 ( 6 5 # 5 : ( $

9 8 " % 9 6 : 2 " . 2 6 : : 2 ) 5 5 6 5 4 1 4 "

4 4 " 9 " 1 8 7 8 ) 4 2 : 8 +

E =1

2mv2

0 +1

2mω2x2

0 ,

( 2 : 4 8 ! " 5 3 7 8 ; 5 2 3 4 8 % 1 7 8 ! "

−a ≤ x ≤ a

4 % / 8 ( 7 5 9 8

U(±a) =1

2mω2a2 = E , (21.7)

1 5 / ( 4 1 2 4 8 2

a =

√

x20 +(v0

ω

)2

. (21.8)

5 7 9 8 9 4 % 2 4 4 5 2 ( 4 1 2 4 8 2 ) 4 2 : 8 8 9 : 9 4 2 4 8 2 & < = b)

9 " : ( 8 t 1 2 : 2 ( x 2

t(x) =±1

ω

∫ x

x0

dx√a2 − x2

=1

ω

(

∓ arccosx

a− ϕ

)

,

ϕ = ∓ arccosx0

a.

7 + 4 % / ( 9 8 7 8 5 7

x(t) = a cos (ωt + ϕ) . (21.9)

1 / 2 6 2 : 4 1 4 " 2 7 5 9 8 2

x(0) = x0 = a cos ϕ , x(0) = v0 = −aω sin ϕ , (21.10)

5 ; 5 4 1 2 4 " % 5 9 2 8 2 2 9 8

x(t) = x(0) cos ωt +v0

ωsin ωt . (21.11)

x

8 4 2 % 4 5 5 5 7 ! 8 5 : 6 : 8 4 7 2 + . 2 : 8 4 5 5 $

8 2 a - 6 8 ; 5 2 3 4 8 % O ωt+ϕ - ( ; 5 2 3 4 8 % O ϕ -

4 1 4 ( ; 5 2 3 4 8 % O ω - ; : 5 9 1 7 5 ; 5 2 3 4 8 %

9 8 7 8 5 7 6 8 " ; 5 2 3 4 8 % 5 4 1 4 " # 7 5 9 8 % $

/ 7 5 : 5 % & ' 4 1 4 ( ; * 2 5 6 : 2 2 2 7 4 $

1 4 " 8 7 5 9 8 8 2 ϕ = − v0

ωx0. (21.12)

: 5 9 1 7 5 ω

& 2 / 1 7 5 4 ( " 9 + 6 : 5 7 5 1 7 5 5 % '

7 9 ( 4 7 6 2 : 8 5 5 T 8 ! 8 ; 8 1 2 7 ; 5 % 1 7 5 5 % ν 7 5 5 4 5 , 2 4 8 $

8 2

ω =2π

T= 2πν , T =

1

ν=

2π

ω= 2π

√

m

k. (21.13)

2 1 2 4 5 % 5 7 5 3 2 4 4 5 7 + 8 4 2 % 4 5 5 5 7 ! 8 5 : 9 2 $

7 5 ; 1 5 2 5 4 P @ : I 9 : 5 4 F 8 @ 8 4 J F B @ @ : F G

5 @ I @ 5 @ : 8 4 P H @ @ 9 : 5 4 F 8 @ " 8 5 6 : 2 2 2 7 5 ; 5

* 2 7 ; 5 7 + k 8 7 7 5 % m

5 2 4 ! 8 4 U = kx2/ 2 8 ; 8 4 2 8 1 2 7 ; K = mx2/ 2

) 4 2 : 8 8 8 4 2 % 4 5 5 5 7 ! 8 5 : ; 5 2 3 + 7 7 2 1 2 4 8 2 9 : 2 $

2 4 8

U =1

4mω2a2 [1 + cos (2ωt + 2ϕ)] , (21.14)

K =1

4mω2a2 [1 − cos (2ωt + 2ϕ)] ,

6 5 4 ) 4 2 : 8 E = K + U = mω2a2/ 2 7 5 # : 4 2 7

n

2 ; 5 5 3 5 3 . 8 6 5 1 2 4 4 " 2 : 2 ( " 4 7 1 % ; 5

6 5 2 4 ! 8 4 ) 4 2 : 8 ( 9 8 7 8 5 ; ; 5 % $ 8 3 5 5 3 5 3 . 2 4 4 5 %

; 5 5 : 8 4 " q 4 2 53 ( 2 4 5 8 2 + . 2 % : ( 2 : 4 5 7 8 4 "

x ?

U = U(q) ; 8 4 2 8 1 2 7 ; ) 4 2 : 8 ( 9 8 7 8 5 q 8 q 8 8 2 2

9 8

K(q, q) =1

2f(q) q2 . (21.15)

7 q0

2 7 5 1 ; 9 ; 5 5 : 5 % 6 5 2 4 ! 8 4 ) 4 2 : 8 8 2 2

5 ; 4 " % 8 4 8 9 2 2 5 ; 5 4 2 4 8 2 5 6 5 5 * 2 4 8 : 9 $

4 5 9 2 7 8 x = q− q0

8 : ( 5 * 8 6 5 2 4 ! 8 4 + ) 4 2 : 8 + 9 :

6 5 7 2 6 2 4 x 5 9 5 7 5 1 4 5 5 3 . 8 # 6 : 2 6 5 5 * 2 4 8 #

U(q) =1

2k x2 + . . . , (21.16a)

2 ) 2 ; 8 9 4 * 2 7 ; 5 7

k =d2U(q0)

dq2. (21.16b)

( 2 2 f(q) 9 : 6 5 7 2 6 2 4 x 8 1 8 " 9 1 5

q = x 6 5 1 2

K(q, q) =1

2m x2 + . . . , (21.17a)

2 ) 2 ; 8 9 4 7 7

m = f(q0) . (21.17b)

8 5 2 " # ; 5 2 3 4 8 % 6 5 4 ) 4 2 : 8 8 2 2 9 8

E =1

2m x2 +

1

2k x2 , (21.18)

; 5 5 : " % 5 8 1 2 7 5 4 % 2 4 4 5 5 9 " , 2 8 , ( 2 4 5 % 7 7 "

m → m 8 * 2 7 ; 5 7 8 k → k 5 4 ) 4 2 : 8 4 2 ( 9 8 7 8

5 9 : 2 2 4 8 6 5 ) 5 8 2 : 2 4 ! 8 : ) 5 : 9 4 2 4 8 2 6 5 t 4 $

# 5 8 : 9 4 2 4 8 2 9 8 * 2 4 8 4 5 8 1 4 5 2& ' 2

m x = −k x

8 8

x + ω2x = 0 , ω =

√

k

m

(21.19)

5 : 2 , 2 4 8 2 8 2 2 9 8 & Q ' & '

x x

7 1 7 8 ! 7 7 " m ; 5 2 3 2 7 9 9 2 : 8 ; 4 5 % 6 5 7 ; 5 $

7 8 4 4 2 9 2 7 5 5 7 2 : * 4 2 8 4 " l 9 6 5 2 * 2 7 8 7 7 ; 5 : 2 $

4 8 2 g

& : 8 7 ' ; 1 2 7 9 2 5 3 5 3 . 2 4 4 5 % ; 5 5 : 8 4 " 5 3 4 5

9 " 3 : 5 ϕ 5 7 1 8 " 9 2 " % 5 6 5 5 * 2 4 8 : 9 4 5 9 2 7 8

J %; 2% B # @ B

5 K =

1

2m(lϕ)2 , U = mgl(1 − cos ϕ) .

( 5 * 8 6 5 2 4 ! 8 4 + ) 4 2 : 8 + 9 : 6 5 ϕ 2

U = mgl(1 − cos ϕ) =1

2mglϕ2 + . . . .

; 8 5 3 : ( 5 ) 2 ; 8 9 4 " 2 7 7 8 * 2 7 ; 5 7 : 9 4 "

m = ml2 , k = mgl ,

6 2 : 8 5 " # ; 5 2 3 4 8 %

T = 2π

√

m

k

= 2π

√

l

g(21.20)

x

4 2 ( 9 8 7 8 5 6 8 " ; 5 2 3 4 8 % : 8 1 / 2 7 2 + . 8 #

1 2 4 5 9 : ( 5 * 2 4 8 6 5 2 4 ! 8 4 5 % ) 4 2 : 8 8 6 5 ϕ 2

U = mgl(1 − cos ϕ) =1

2mglϕ2 − 1

24mglϕ4 + . . .

; 5 2 3 4 8 7 4 5 9 7 4 2 8 4 2 % 4 " 8 6 2 : 8 5 ; 5 2 3 4 8 % 4 $

1 8 4 2 ( 9 8 7 2 5 6 8 " ; 5 2 3 4 8 % & 6 5 6 : 5 3 % 2 4 % 8

) ( 9 8 7 8 5 7 8 7 6 5 ( : 9 4 2 4 8 2& < =

b

' '

^

: 8 9 2 2 ; * 2 : 5 % 7 6 5 7 5 3 : 2 , 2 4 8 : 9 4 2 4 8 & ' ; 5 $

5 : " % 2 ; 5 5 3 5 3 . 2 7 4 3 5 2 2 7 5 * 4 " 2 7 1 8 7 7 5 $

: 8 5 @ 8 4 " 8 : 4 : I 8 : P : I 8 : 4 I @ 4 P 4 8 @ F 5 6 8 : 4 P F B 8 4 8 @ " : G

: 8 8 @ 9 : @ @ 4 8 F @ 2

andnx

dtn+ an−1

dn−1x

dtn−1+ . . . + a1

dx

dt+ a0 x = 0 . (21.21)

; 8 # : 9 4 2 4 8 % 7 6 : 9 2 8 9 P @ 8 @ 4 P : J @ @ @ 2 2 7 $

8 x1(t)

8 x2(t)

9 + 7 : 2 , 2 4 8 8 : 9 4 2 4 8 5 8 # 8 4 2 % $

4 ; 5 3 8 4 ! 8

C1x1(t) + C2x2(t) (21.22)

7 6 : 5 8 ( 9 5 4 " 8 ; 5 ) 8 ! 8 2 4 8 C1,2

; * 2 9 2 7 : 2 , 2 $

4 8 2 4 4 5 5 : 9 4 2 4 8 4 # 5 * 2 4 8 : 2 , 2 4 8 : 9 4 2 $

4 8 & < ' 9 2 8 ; 2 8 7 6 5 ( 2 7 7 2 + . 8 % 7 4 : 4 " %

6 : 8 2 2 8 . 2 : 2 , 2 4 8 2 ) 5 5 : 9 4 2 4 8 9 9 8 2

x(t) = Re eγt , (21.23)

; 5 5 : " % 5 3 2 4 2 1 5 6 : 5 8 ( 9 5 4 " 2 5 ) 5 5 9 " : * 2 4 8

5 8 1 + 7 5 8 7 # 5 4 5 5 5 ; 5 6 5 7 5 4 4 " 4 5 * 8 2 2 dx

dt= Re γ eγt , . . . ,

dnx

dtn= Re γn eγt . (21.24)

L & ) E r + ) - & , ) ? B B + -< @ - ) ) $

G E ) $ $ B ) * & + %

x S

5 7 9 8 9 & < ' & < ' 9 : 9 4 2 4 8 2 & < ' 4 % / 1 5 & < ' 5 $

9 2 9 5 : 2 8 2 : 2 4 ! 8 4 5 : 9 4 2 4 8 + & < ' 2 7 8 9 " 6 5 $

4 2 7 F P F 9 4 P @ @ 7 4 9 : 4 2 3 : 8 1 2 7 ; 5 2 : 9 4 2 4 8 2

6 : 2 : γ 2

an γn + an−1 γn−1 + . . . + a1 γ + a0 = 0 . (21.25)

7 γ1, γ2, . . . , γn

- ; 5 : 4 8 ) 5 5 : 9 4 2 4 8 5 5 3 . 2 2

: 2 , 2 4 8 2 : 9 4 2 4 8 & < ' 8 2 2 9 8 x(t) =

n∑

j=1

Re Cj eγjt . (21.26)

8 4 2 % 4 5 5 5 7 ! 8 5 : & ' # : ; 2 : 8 7 8 1 2 7 ; 5 2 : 9 $

4 2 4 8 2 ; 5 9 5 2 γ2 + ω2 = 0 2 5 ; 5 : 4 8 γ1,2 = ±iω 6 5 ) 5

x(t) = Re C1 eiωt + C2 e−iωt = a cos (ωt + ϕ) , (21.27)

1 5 ; 5 4 2 1 4 5 7 5 9 6 2 7& Q '& '

7 8 6 : 9 1 7 8 4 2 % 4 5 5 8 2 : 2 4 ! 8 4 5 5 : 9 4 2 $

4 8 7 6 5 7 5 4 4 " 8 ; 5 ) 8 ! 8 2 4 8 5 8 1 4 5 4 8 : 9 4

4 2 ; 5 5 : 5 % 4 ; ! 8 8 F (t) 2

andnx

dtn+ an−1

dn−1x

dtn−1+ . . . + a1

dx

dt+ a0 x = F (t) , (21.28)

5 ; 5 2 : 9 4 2 4 8 2 4 ( " 9 2 7 8 4 : I 8 : P : I 8 5 : 2 , 2 4 8 2

6 : 2 7 9 2 7 5 3 5 % 7 9 # 7 2 " # - 5 6 8 7 4 4 5 5 9 " $

, 2 5 3 . 2 5 : 2 , 2 4 8 5 4 5 : 5 4 5 5 : 9 4 2 4 8 8 1 7 4 5 5 : 2 , 2 $

4 8 4 2 5 4 5 : 5 4 5 5 : 9 4 2 4 8 2

x(t) = x @ (t) + x @ (t) . (21.29)

m

% 8 1 7 5 " " # ; 5 2 3 4 8 % 7 8 7 2 8 ( 5 3 : * / 4 $

4 " # 4 : 8 7 Q

x

J %; 8%K C ? # . 1 %1

1 7 5 " # ; 5 2 3 4 8 % 5 2 ; " 9 5 5 : 5 2 : 9 $

4 ω0

; 5 9 1 7 5 " # ; 5 2 3 4 8 % 5 2 ; " 2 % 2 : 8

2

8 5 2 ; "

% 8 1 7 5 " # ; 5 2 3 4 8 % 4 8 ; 6 : 2 7 9 $

+ . 2 5 7 5 3 5 % 4 2 9 2 7 5 " % 7 2 : * 2 4 4 4 8 * 4 2 ; 5 4 ! 2 ; 5 5 $

: 5 5 4 : 7 7 5 4 8 8 a 5 5 7 8 9 : . 2 4 8 O ( ; : 2 6 2 4 : ( 7 $

7 " M 4 9 2 : # 4 2 ; 5 4 ! 2 4 : 7 7 5 4 8 8 b 5 5 7 8 9 : . 2 4 8

( ; : 2 6 2 4 2 ; 8 % : ( 8 ; 7 7 " m

& : 8 7 ='

J %: /%K C ? # . 1 %;

7 8 4 ; 7 ; 5 ( 8 6 5 ; 5 % 6 : 5 9 5 5 ; 2 8 2 + . 2 %

5 : ) 8 6 7

x2

a2 +y2

b2 = 1 ,

6 5 5 7 ; 5 5 : 5 5 a 5 : 8 ( 5 4 4 3 5 , 6 5 5 7

b 4 6 : 9 2 4 6 5 9 2 : 8 ; 8 7 ; 5 : 2 4 8 2 7 8 " * 2 7 8 : 9 4 5

§

x g = (0, −g)

% 8 1 7 5 " # ; 5 2 3 4 8 % 3 7 8 4 ; 8

2 5 7 7 " m 6 5 7 9 " 7 5 " h 4 1 , ; 6 : * 8 4 $

4 " # 9 2 7 5 9 & : 8 7 ' M 7 7 " 1 , ; 8 8 6 : * 8 4 " 6 : 2 4 2 3 : 2 * 8 5

" * 2 7 ; 5 7 6 : * 8 4 " k : 8 8 6 4 9 ; 1 , ; 2 2 5 4 $

1 8 4 2 7 5 9 2 : , : 5 4 8 1 2 7 ; 8 2 ; 5 2 3 4 8 9 9 2 : 8 ; 4 5

4 6 : 9 2 4 8 8 % 8 6 8 ; 5 2 3 4 8 % 8 8 # ) 4 2 : 8 +

J %: 1%K C ? # . 1 %9

1 7 8 ! 7 7 " m 9 8 * 2 7 9 6 5 7 ; 5 7 8 xy 6 5 2 % $

7 9 8 2 7 8 " F = −kr % 8 : 2 ; 5 : 8 + 1 7 8 ! " 2 7 8 8 ( $

9 2 7 4 " 2 / 4 1 4 " 2 ; 5 5 : 8 4 " r(0) = (r0, 0) 8 7 ; 5 : 5 7

v(0) = (0, v0)

"

; : 5 7 ; 5 6 8 1 2 7 ; 8 # 7 8 7 2 # 9 7 2 2 7 : 2 4 8 2 4 5 5 $

* 2 ; 1 2 7 9 2 4 4 5 8 ( 2 4 8 ; 5 2 3 4 8 : ; 2 : 7 8 : 2 4 8

: ( 8 1 2 7 6 : 8 7 ; 5 * 2 4 8 8 7 5 6 : 8 ; 7 + . 8 # 7 9 / : " # 2

8 6 : 8 9 8 * 2 4 8 8 9 / : 5 5 2 9 * 8 ; 5 7 8 8 8 ( 2 4 $

4 5 8 7 2 + . 2 6 : : # " : 7 7 5 : 8 5 ; 5 ) 5

6 5 7 2 4 8 % 7 1 %

7 7 5 : 8 9 8 4 8 2 : 2 4 8 4 7 9 5 3 5 4 " 2 ; 5 2 3 4 8 5 4 5 $

2 : 4 5 5 : 5 4 8 1 2 7 ; 5 5 5 7 ! 8 5 : 5 6 8 7 " 9 2 5 5 ; 5 5 : 8 $

4 5 % x ( 5 6 " 8 ( 9 2 7 4 5 1 5 7 8 : 2 4 8 4 6 : 9 2 4 9

7 5 : 5 4 6 : 5 8 9 5 6 5 5 * 4 + 7 ; 5 : 5 7 8 9 8 * 2 4 8 x 8 6 : 8 $

x

5 3 7 5 + 4 5 ( 4 1 2 4 8 8 7 ; 5 : 5 7 8 6 : 5 6 5 : ! 8 5 4 4 2 % ! 5

6 5 ( 9 5 2 ( 6 8 7 7 8 : 2 4 8 9 9 8 2

F x = −αx ,

2 α - 6 5 5 * 8 2 4 ; 5 4 7 4 # : ; 2 : 8 ( + . 8 4 2 4 $

7 8 9 4 5 7 : 2 4 8 : 9 4 2 4 8 2 9 8 * 2 4 8 8 2 2 9 8

mx = −αx − kx . (22.1)

( 2 8 2 5 4 m 8 9 9 2 / 5 3 5 ( 4 1 2 4 8

ω20 =

k

m, λ =

α

2m. (22.2)

2 7 ω0

- 1 7 5 7 9 5 3 5 4 " # ; 5 2 3 4 8 % 9 5 7 7 9 8 2 : 2 4 8

9 2 8 1 8 4 λ 4 ( " 9 2 7 9 : @ @ 4 8 : J F F 8 @ : 9 $

4 2 4 8 2 7 9 5 3 5 4 " # ; 5 2 3 4 8 % ( 6 8 , 2 7 9 9 8 2

x + 2λx + ω20x = 0 . (22.3)

5 x = Re eγt 6 5 1 2 γ ; 9 : 4 5 2 # : ; 2 $

: 8 7 8 1 2 7 ; 5 2 : 9 4 2 4 8 2

γ2 + 2λγ + ω20 = 0 ,

: 2 , 2 4 8 ; 5 5 : 5 5 7

γ1,2 = −λ ±√

λ2 − ω20 . (22.4)

3 . 2 2 : 2 , 2 4 8 2 2 7 8 4 2 % 4 7 6 2 : 6 5 ( 8 ! 8 9 # : 2 , 2 4 8 % 2

x(t) = Re

C1 eγ1t + C2 eγ2t

.

: 8 7 8 4 5 : 2 4 8 8 (λ > ω0)

5 3 # : ; 2 : 8 7 8 1 2 7 ; 8 #

6 5 ; ( 2 5 : 8 ! 2 4 " ; 5 2 9 8 * 2 4 8 2 4 ( " 9 2 7 F 4 P @ G

: I @ 7 4 9 @ J F F 8 @ 4 7 1 ; 5 4 1 4 5 2 7 2 , 2 $

4 8 2 5 8 1 4 5 5 4 4 1 4 7 ; 5 : 5 7 : 9 4 4 + 6 2 $

: 8 5 8 1 2 7 ; 5 2 : 2 , 2 4 8 2 x(t) 3 " 9 3 2 ( ; 5 2 3 4 8 % 7 : 2 8 7

x

x

t

J %: .%O & ? # ? ) D & x(0) > 0 - x(0) = 0

x

t

J %: ;%O & ? # ? ) D & x(0) = 0 - x(0) > 0

; 4 + & : 8 7 < ' : 8 7 6 : 2 7 9 2 4 5 : 2 , 2 4 8 2 ; 5 4 $

1 4 5 2 7 2 , 2 4 8 2 : 9 4 5 4 + 4 1 4 7 ; 5 : 5 7 5 8 1 4

5 4 ) 5 7 1 2 6 : 5 8 7 # 5 8 5 4 5 4 2 6 5 4 5 2 ; 5 2 3 4 8 2

7 4 2 % , 8 6 : 8 3 8 * 2 4 8 2 ; 4 + 5 3 . 2 7 1 2 ; 5

5 8 1 4 " 5 4 8 4 1 4 5 2 7 2 . 2 4 8 2 8 4 1 4 7 ; 5 : 5 7

5 * 2 6 : 5 8 ( 5 % 8 5 4 5 ; 5 2 3 4 8 2 & : 8 7 '

: 8 3 5 2 2 7 3 5 : 2 4 8 8 (λ < ω0)

# : ; 2 : 8 7 8 1 2 7 ; 8 2 6 5 $

x

t

J %: :%O & ? # ? ) D & x(0) > 0 - x(0) < 0

; ( 2 8 ; 5 6 2 ; 7 4 5 7 5 6 : * 2 4 " 2

γ1,2 = −λ ± i√

ω20 − λ2 (22.5)

8 : 2 , 2 4 8 2 8 2 2 9 8

x = ae−λt cos

(

√

ω20 − λ2 t + ϕ

)

, (22.6)

2 a 8 ϕ - 9 2 . 2 7 9 2 4 4 " 2 6 5 7 5 4 4 " 2 ; 5 2 9 8 * 2 4 8 2 6 : 2 $

7 9 2 7 5 3 5 % J F F @ 4 9 : 5 4 F 8 @ & : 8 7 ' : ; 2 : 4 5 2

9 : 2 ( # 4 8 ; 5 2 3 4 8 %

τ =1

λ

& 2 5 8 4 5 4 ( " 9 + B P 4 4 8 4 @ J 8 @ 5 7 ! 8 5 : '

9 * 4 5 6 : 2 2 4 5 7 1 2 λ ω0

9 2 8 1 8 4 a e−λt 6 5 1 8

4 2 8 ( 2 4 2 7 ( 9 : 2 5 4 5 5 ; 5 2 3 4 8 6 5 ) 5 2 / 7 5 9 $

4 5 5 * 4 5 4 ( 9 6 8 5 % ; 5 2 3 4 8 : 2 4 8 2 ( 6 2 : 8 5

5 4 5 5 ; 5 2 3 4 8 ; 9 : " ; 5 5 : 8 4 " 8 7 ; 5 : 5 7 8 5 * 4 5

9 " 1 8 7 7 1 8 4 5 * 8 2 e−λt 6 5 7 5 4 4 " ! 8 7 : 2 4 8 2

; 9 : " 6 : 5 6 5 : ! 8 5 4 4 " e−2λt 8 ) 4 2 : 8 ; 5 2 3 4 8 % 3 " $

§

J %: 9%q + G $

9 2 6 5 ) 5 * 2 ( ; 5 4 2E(t) = E0 e−2λt .

m

7 ! 8 5 : 7 : 2 4 8 2 6 5 ; 5 8 7 9 6 5 5 * 2 4 8 8 : 9 4 5 $

9 2 7 8 % 8 ; 5 5 : 8 4 5 7 ! 8 5 : x(t) 2 7 8 9 4 1 4 " %

5 2 4 9 : 2 2 4 8 2 7 5 5 3 . 8 8 7 ; 5 : 5 7 v0

1 7 5 7 9 5 3 5 $

4 " # ; 5 2 3 4 8 % 9 5 7 7 9 8 2 : 2 4 8 ω0

8 ; 5 ) 8 ! 8 2 4 5 ( $

# 4 8 λ 5 7 ! 8 5 : 7 1 8 + 7 8 ( 9 2 7 4 " 8

" !

7 7 5 : 8 9 8 * 2 4 8 2 5 7 ! 8 5 : 7 : 2 4 8 2 6 5 2 % 7 9 8 $

2 9 4 2 , 4 2 % : 5 4 8 1 2 7 ; 5 % 7 8 " F (t) = f cos (ωt + ϕ) : 9 $

4 2 4 8 2 9 8 * 2 4 8 ( 6 8 , 2 7 9 9 8 2 & 7 : & > ' '

x + 2λx + ω20x =

f

mcos (ωt + ϕ) . (23.1)

2 , 2 4 8 2 ) 5 5 4 2 5 4 5 : 5 4 5 5 8 4 2 % 4 5 5 : 9 4 2 4 8 6 : 2 7 9 $

2 7 5 3 5 % 7 9 # 7 2 " # & < ' - 5 6 8 7 4 4 5 5 9 " , 2

?

7 9 5 3 5 4 5 5 9 8 * 2 4 8 8 9 " 4 * 2 4 4 5 5 & 7 4 5 9 8 9 , 2 5 7 ' ; 5 $

2 3 4 8

" 4 * 2 4 4 5 2 ; 5 2 3 4 8 2 2 7 2 7 9 2 4 4 5 8 7 ; 9 9 8 2 : 5 $

4 8 1 2 7 ; 5 5 ; 5 2 3 4 8 5 % * 2 1 7 5 " ω 1 5 9 4 2 , 4 2 % 7 8 "

4 5 7 9 5 ( 5 * 4 " 7 9 8 5 ( " δ 2

x(t) = b cos (ωt + ϕ + δ) . (23.2)

; 8 9 7 1 2 7 9 5 3 5 4 " # ; 5 2 3 4 8 % 5 3 4 5 8 7 6 5 ( 5 9

; 5 6 2 ; 7 4 + 5 : 6 2 : 2 2 4 4 5 % x(t) ) 5 5 ( 6 8 , 2

cos (ωt + ϕ) = Reei(ωt+ϕ) .

" 7 ; 8 9 : 2 , 2 4 8 2 9 9 8 2

x(t) = ReBei(ωt+ϕ) ,

4 # 5 8 ; 5 6 2 ; 7 4 + 6 8

B = beiδ =f

m(ω20 − ω2 + 2iλω)

.

2 : 2 6 8 7 9 ) 5 9 " : * 2 4 8 2

B = beiδ =f

m

ω20 − ω2 − 2iλω

(ω20 − ω2)2 + 4λ2ω2 ,

9 8 8 1 5 4 8 1 7 B 9 7 2 5 : 8 ! 2 4 2 % 7 9 8 $

2 4 1 7 6 : 8 9 5 ( : 7 4 8 8 ω 5 4 53 2 7 ; 5 4 2 1 4 5 7 8

2 4 2 ( 4 ; 7 6 5 5 * 8 2 4 5 5 4 5 : 8 ! 2 4 " % 6 : 8 ω = ω0

O

( 4 1 8 : 2 4 δ 8 ( 2 4 2 7 9 8 4 2 : 9 2 0 > δ > −π

9 2 . 2 7 9 2 4 4 5 % 6 8 " b 8 : 2 4 δ 8 2 2

b =f

m√

(ω20 − ω2)2 + 4λ2ω2

, ctg δ =ω2 − ω2

0

2λω. (23.3)

: 8 ; 8 4 ; ! 8 % b 8 δ 9 ( 9 8 7 8 5 7 8 5 1 7 5 " 9 " 4 * $

+ . 2 % 7 8 " ω 6 : 2 7 9 2 4 " 4 : 8 7 N 8 4 5 1 5 6 : 8 5

xb

f/k

ω0 ω

δ

0

−π/2

−π

ω0 ω

J %: 3%q ) B B & + ? E ) E + D ? E $ @ b A C E δ

# E ) E + D ? G @ E ω ? C # E C # @ r A A =

C + λ

B B C # B λ ) ) + G $ ) E & ,

D E ) E * A b(ω)

: 2 4 8 8 6 8 b : 2 ( ; 5 9 5 ( : 7 2 6 : 8 5 6 : 2 2 2 4 4 5 % 1 $

7 5 2 9 4 2 , 4 2 % 7 8 " - 4 7 6 2 P 4 J : 8 F 8

2 ; 5 4 % 8 1 5 6 : 8 ( 4 4 5 % 6 8 2 7 8 " f $

6 8 9 " 4 * 2 4 4 " # ; 5 2 3 4 8 % b ; 7 8 4 4 1 7 5 2

ω =√

ω20 − 2λ2

7 7 5 : 8 5 ; : 2 7 4 5 7 : 2 ( 5 4 4 7 9 6 : ; $

8 1 2 7 ; 8 4 8 3 5 2 2 8 4 2 : 2 7 4 5 7 1 2 7 3 5 5 : 2 4 8 λ ω0 3 5 ( 4 1 ε = ω − ω0

8 ( 2 4 6 : 8 3 8 * 2 4 4 5

ω2 − ω20 = (ω + ω0)(ω − ω0) ≈ 2ω0ε, 2iλω ≈ 2iλω0 ,

6 5 1 2

b ≈ f

2mω0

√ε2 + λ2

, ctg δ ≈ ε

λ, ε = ω − ω0 .

M ; 7 8 4 6 8 9 " 4 * 2 4 4 " # ; 5 2 3 4 8 % 5 3 : 4 5

6 : 5 6 5 : ! 8 5 4 4 λ 2

bmax =f

2mω0λ.

9 : 6 8 " ; 5 2 3 4 8 % 6 : 5 6 5 : ! 8 5 4 4 " % ) 4 2 : 8 8

; 5 2 3 4 8 % 2 4 , 2 7 9 < : ( 6 5 7 : 9 4 2 4 8 + 7 ; 7 8 $

4 " ( 4 1 2 4 8 2 6 : 8 ε = ±λ ( 2 4 2 4 8 2 ( " δ ; * 2 6 : 5 $

8 7 # 5 8 9 5 7 4 5 9 4 5 9 ) 5 * 2 8 4 2 : 9 2 1 7 5 ; 8 5 3 $

: ( 5 # : ; 2 : 4 , 8 : 8 4 5 3 7 8 : 2 ( 5 4 4 7 6 5 1 7 5 2 ω

: 9 4 λ 1 8 " 9 1 5 7 9 5 3 5 4 " 2 ; 5 2 3 4 8 9 5 7 ! 8 5 : 2 7 : 2 $

4 8 2 ( # + 9 8 8 1 5 7 5 9 : 2 2 4 2 5 7 + 7 5 ; 5 9 " $

4 * 2 4 4 " 2 ; 5 2 3 4 8 9 8 & < ' ; ; ; ( δ 5 : 8 ! 2 4

: 2 4 ; 5 7 8 4 7 ) 5 5 : 2 , 2 4 8 ωt + ϕ + δ 8 2 2 ( 4 1 2 4 8 2

; 5 5 : 5 2 : 2 4 ; 5 7 8 4 7 9 " 4 * + . 2 % 7 8 " ωt+ϕ 8 2 93 5 2 2 : 4 4 8 % 5 2 4 9 : 2 2 4 8 ; 8 5 3 : ( 5 B 8 I 4 8 8 : 4

9 : 5 4 F 8 @ 4 : F 4 : F J 4 : B 8 I F 4 " @ 5

m

: 8 ; 7 7 " m 6 5 9 2 , 2 4 4 " % 4 4 2 9 2 7 5 5 % 6 : * 8 4 $

; 2 * 2 7 ; 5 7 8 k 5 * 2 7 5 9 2 : , 9 2 : 8 ; 4 " 2 ; 5 23 4 8 7

; 5 ) 8 ! 8 2 4 5 ( # 4 8 λ 5 2 % 7 9 8 2 9 4 2 , 4 2 % 9 2 : 8 $

; 4 5 % 7 8 " F (t) = F0 cos ωt , : 8 ; 7 5 9 2 : , 2 7 4 5 9 8 9 $

, 8 2 7 : 5 4 8 1 2 7 ; 8 2 ; 5 2 3 4 8 % 8 7 : 2 4 + + ( 6 2 : 8 5

; 5 2 3 4 8 % 5 . 4 5 7 〈P 〉 7 8 " F (t) 8 1 7 5 ω 7 8 " F (t)

6 : 8 ; 5 5 : 5 % 〈P 〉 ; 7 8 4

R S T S

# + # $ ' * ( # / 0 . &

$ ' * , & / 0 ' + $ + / $

; 6 5 ; ( 4 5 9 Q 8 ( ; 4 5 % 7 8 7 2 " 1 7 8 !

7 6 : 9 2 8 9 " 4 2 4 4 " 2 ( ; 5 4 " 7 5 # : 4 2 4 8 ) 4 2 : 8 8

8 8 6 7 ; ( " 9 2 7 ( ; 4 5 % 7 8 7 2 " 1 7 8 ! 7 . 2 $

7 9 2 2 . / 5 8 4 4 2 4 4 " % ( ; 5 4 - ( ; 5 4 7 5 # : 4 2 4 8

5 2 4 8 6 7

a

5 6 : 2 2 2 4 8 5 2 4 8 6 7 4 6 5 4 5 3 8 7 6 5 $

4 8 2 9 2 ; 5 : 4 5 5 6 : 5 8 ( 9 2 2 4 8 9 2 ; 5 : 5 9 4 9 : P 8 : 4 P : @ J G

B 4 I 4 8 @ 4 B 4 9 : P : B a 8 b 53 5 ( 4 1 2 7 ; ; a×b 8 8 ; ; [a,b]

8 6 : 2 7 9 2 7 5 3 5 % 9 2 ; 5 : 4 6 : 9 2 4 4 " % 6 2 : 6 2 4 8 ; : $

4 5 6 5 7 ; 5 7 8 9 ; 5 5 : 5 % 2 * 9 2 ; 5 : a 8 b

& : 8 7 > ' 8 4

; 5 5 : 5 5 : 9 4 6 : 5 8 ( 9 2 2 4 8 + 8 4 9 2 ; 5 : 5 9 a 8 b 8 7 8 4 7

α 2 * 4 8 8 2

a × b ≡ [a,b] = c, c ⊥ a, c ⊥ b, c = a b sin α .

7 + 9 8 4 5 1 5 9 2 ; 5 : 4 5 2 6 : 5 8 ( 9 2 2 4 8 2 6 5 5 + : 9 4 5

6 5 . 8 6 : 2 5 : 6 5 7 : 5 2 4 4 5 5 4 9 2 ; 5 : # a 8 b

J %: 0%L & C ) ? ) )

8 4 8 8 6 2 : 6 2 4 8 ; : 4 5 % 6 5 7 ; 5 7 8 9 2 ; 5 : 5 9 a 8 b

4 6 : 9 2 4 8 2 9 2 ; 5 : c 9 "3 8 : 2 7 ; 1 5 3 " 9 2 ; 5 : " a b

8 c 53 : ( 5 9 " 9 6 : 9 5 9 8 4 5 9 + : 5 % ; 9 2 ; 5 : 5 9 6 5 5 3 4 +

: 5 % ; 2 2 8 4 8 1 4 " # 9 2 ; 5 : 5 9 ex ey

8 ez 4 6 : 9 2 4 4 " # 9 5

2 ; : 5 9 " # 5 7 2 % xyz

4 # 5 * 2 4 8 2 ; : 5 9 " # ; 5 6 5 $

4 2 4 9 2 ; 5 : 4 5 5 6 : 5 8 ( 9 2 2 4 8 6 5 2 ( 4 5 ; ( 5 8 1 4 " 2 5

4 9 2 ; 5 : 4 " 2 6 : 5 8 ( 9 2 2 4 8 2 8 4 8 1 4 " # 9 2 ; 5 : 5 9 2

ex × ey = −ey × ex = ez , ey × ez = −ez × ey = ex ,

ez × ex = −ex × ez = ey ,

6 5 7 2 1 2 5 2 ; 5 4 % 8 2

[a, b]x = aybz − azby , [a , b]y = azbx − axbz ,

[a,b]z = axby − aybx .

; 5 6 ; 4 5 9 8 2 ) 8 7 5 5 4 5 , 2 4 8 5 * 4 5 6 : 2 7 9 8 ; ;

5 6 : 2 2 8 2 2

[a, b] =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

ex ey ez

ax ay az

bx by bz

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

( ) 5 5 9 " : * 2 4 8 9 8 4 5 1 5 7 ; : 4 5 2 6 : 5 8 ( 9 2 2 4 8 2 9 2 ; $

5 : [a,b] 8 9 2 ; 5 : c 5 * 4 5 6 : 2 7 9 8 ; ; 5 6 : 2 2 8 2

6 5 7 : 5 2 4 4 " % 8 ( ; 5 6 5 4 2 4 9 7 2 # : / # 9 2 ; 5 : 5 9 2

([a, b] , c) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

ax ay az

bx by bz

cx cy cz

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

; 8 ( 9 2 7 4 5 6 : 8 ! 8 ; 8 1 2 7 ; 5 % ( 2 4 2 7 : 5 ; 9 5 6 : 2 2 8 2 2

2 5 9 2 8 1 8 4 4 2 8 ( 2 4 2 7 6 5 ) 5 8 2 + 2 7 5 : 9 2 4 7 9 2

([a,b], c) = ([b, c], a) = ([c, a], b) .

a

^

^

7 7 8 F 6 : 8 5 * 2 4 9 5 1 ; 2 r 6 : 2 2 8 : 4 8

@ 5 K : 9 2 4 7 9 5 K = r × F , (22.1)

: 4 8 @ 5 6 F M 1 7 8 ! " 4 # 5 . 2 % 7 9 5 1 ; 2 r 8

8 2 + . 2 % 8 6 7 p = mv : 9 2 4 7 9 5

M = r × p = mr × v . (22.2)

M 2 * 7 8 5 % 8 5 2 4 5 7 8 " & ; * 2 ; ; 2 * 8 6 $

7 5 8 5 2 4 5 8 6 7 ' 8 2 2 7 5 6 : 2 2 / 4 4 5 2 7 # 5 7 9 5

M " ( 4 2 1 5 5 2 4 5 % 1 7 8 ! " 8 ( 2 4 2 4 8 2 8 6 7

5 6 : 2 2 2 7 2 % 7 9 + . 2 % 4 1 7 8 ! 7 8 5 % 2

dp

dt= F . (22.3)

4 5 8 1 4 5 5 2 4 5 % 1 7 8 ! " 8 ( 2 4 2 4 8 2 5 2 4 8 $

6 7 5 6 : 2 2 2 7 5 2 4 5 7 8 " ; ; ;

dM

dt= r × p + r × p = r × F = K . (22.4)

: 5 % 7 5 : 5 4 " 8 2 2 7 8 7 . 2 7 9 2 4 4 5 2 5 8 1 8 2 4 4 5 %

8 4 2 : ! 8 4 5 % 7 8 7 2 2 5 7 1 / 8 6 7 8 7 8 4 2 ( 9 8 7 5

; 5 4 ; : 2 4 5 5 9 " 3 5 : 4 1 5 7 1 / ) 5 % 7 8 7 2 " 6 : 8 7 2 $

. 2 4 8 8 4 1 5 7 1 / 2 6 : 8 6 : 2 5 3 : ( 5 9 4 8 8 9 8

x = x′ + a, y = y′ + b, z = z′ + c , (22.5)

4 8 8 6 7 4 8 7 8 4 2 8 ( 2 4 + 7 5 * 2 9 : 2 5 2 4

7 8 " 8 5 2 4 8 6 7 6 : 5 7 9 ( 4 " 7 9 " 3 5 : 5 4 1

5 7 1 / 8 8 ( 2 4 + 7 6 : 8 6 : 2 5 3 : ( 5 9 4 8 8 & '

6 7 8 5 2 4 8 6 7 6 : 2 5 7 9 + 4 9 * 4 " 2

7 9 2 2 4 8 5 : 2 ; 5 : 8 8 1 7 8 ! " 5 7 ; 5 ; 7 ; 5 : 5 7 1 7 8 ! "

v = p/m 5 4 6 : 9 2 4 8 2 8 6 7 7 5 9 6 2 7 4 6 : 9 2 4 8 $

2 ; 7 2 4 5 % ; : 2 ; 5 : 8 8 1 7 8 ! " 5 7 5 4 7 9 5 8 6 7

5 ( 4 1 2 1 5 : 2 ; 5 : 8 1 7 8 ! " 9 2 7 6 : 5 % 8 4 8 2 %

6 : 9 2 4 8 2 5 2 4 8 6 7 M = mr × v 5 : 5 5 4 4 5

: 8 7 $ 9 2 ; 5 : r 8 7 ; 5 : 5 7 8 1 7 8 ! " v 5 7 5 4 7 9 5 5 2 4

8 6 7 5 ( 4 1 2 1 5 : 2 ; 5 : 8 1 7 8 ! " 9 2 7 6 5 7 ; 5 %

; : 8 9 5 % 7 8 2 % 7 9 + . 4 1 7 8 ! 7 8 9 2 7 ! 2 4 : 4 5 %

2 7 8 F ‖ ±r 5 8 6 7 8 ( 2 4 2 7 7 5 7 4 5 : 9 4 2 4 8 +

& ' : 2 ; 5 : 8 1 7 8 ! " 4 2 9 2 7 9 5 5 3 . 2 5 9 5 : 6 : 5 %

8 4 8 2 % 6 : 5 8 9 5 2 4 8 6 7 9 ) 5 7 1 2 7 5 # : 4 $

2 7 ; ; ; 5 2 4 7 8 " : 9 2 4 4 + 2 K = r × F = 0 ; 8 5 3 : ( 5 !

! !

! !

!

a

; 5 4 7 5 # : 4 2 4 8 5 2 4 8 6 7 5 * 4 5 6 : 8 4 $

4 " % 2 5 2 : 8 1 2 7 ; 8 % 7 " 7 8 7 6 5 ( 6 5 4 8 2 7 2 ; 5 : 8 $

4 5 % 7 ; 5 : 5 7 8 7 ( 9 : 2 dt 1 7 8 ! 7 2 7 8 7 8 ( 5 1 $

; 8 r 4 : 7 7 5 4 8 2 dr = v dt

& : 8 7 '

; ; ; 5 9 2 ; $

5 : 4 5 5 6 : 5 8 ( 9 2 2 4 8 r × (r + dr) = r × dr : 9 2 4 6 5 . 8

6 : 2 5 : 7 5 7 5 : 5 4 8 r 8 r + dr 5 8 4 9 2 ; 5 :

dS =1

2[r, dr]

: 9 4 6 5 . 8 7 2 ; 5 : 5 3 : ( 5 9 4 4 5 5 9 2 ; 5 : 8 r 8 r + dr

2 6 5 . 8 ( 2 / 4 4 5 % : 8 7 $ 9 2 ; 5 : 5 1 7 8 ! " ( 9 : 2 $

J %: 2%K & ? G @

dt 2 ; 5 : 4 + 9 2 8 1 8 4 dS/dt 4 ( " 9 + 4 9 : P @ F 5 6 8 : "

9 : P : 6 5 4 : 9 4

dS

dt=

1

2

[r, dr]

dt=

1

2[r,v] . (22.6)

6 : 9 2 4 8 2 9 2 ; 5 : 7 2 ; 5 : 8 4 5 % 7 ; 5 : 5 7 8 ( 2 6 5 7 $

; 5 7 5 : 3 8 " 8 4 - 6 5 . ( 2 2 + : 8 7 $

9 2 ; 5 : 5 1 7 8 ! " 9 2 8 4 8 ! 9 : 2 2 4 8 2 ; 5 : 8 4 7 ; 5 $

: 5 7 7 9 ( 4 7 5 2 4 5 8 6 7 7 5 5 4 5 , 2 4 8 2

M = 2mdS

dt, (22.7)

6 5 ) 5 7 5 # : 4 2 4 8 2 5 2 4 8 6 7 5 ( 4 1 2 1 5

! ! !

aam

5 ; * 2 1 5 ( ; 4 5 % 7 8 7 2 " 1 7 8 ! 6 5 4 " % 5 2 4

8 6 7 7 5 # : 4 2 7 : 5 8 ( 9 5 4 6 5 9 : 2 2 4 8 5 6 5 4 5 5

S

5 2 4 8 6 7 7 8 7 2 " : 9 4 7 2 5 2 4 " # 5 2 4 5 9

7 8 2 % 7 9 + . 8 # 4 4 4 + 1 7 8 ! 7 5 7 5 : 5 4 " 9 7 2 # 5 7 $

4 " # 1 7 8 ! ( ; 4 5 % 7 8 7 2 " 2

dM

dt=∑

i

ri × Fi , (22.8)

2

Fi =∑

k 6=i

Fik .

7 2 & ' 5 3 ( 2 4 5 9 7 : 2 7 6 : " 7 2 " # 9 8

ri × Fik + rk × Fki . (22.9)

7 6 5 ( : 2 8 % ( ; 5 4 + 5 4 Fik = −Fki 5 * 2 6 2 : 2 6 8 $

7 & Q ' 9 9 8 2

ri × Fik + rk × Fki = (ri − rk) × Fik .

: 9 1 7 ) 5 5 9 " : * 2 4 8 : 9 4 4 + ; ; ; 9 2 # $

4 8 ; 2 & 7 = '

Fik ‖ ± (ri − rk) .

8 5 2 9 7 7 & ' 5 ; * 2 7 : 9 4 5 % 4 + 1 5 8 7 5 5 9 2 $

7 9 2 7 5 # : 4 2 4 8 + 6 5 4 5 5 5 2 4 8 6 7 : 7 7 : 8 9 2 $

5 % ( ; 4 5 % 7 8 7 2 2 1 7 8 !

7 8 7 8 7 2 1 7 8 ! 4 2 9 2 7 ( ; 4 5 % 5

dM

dt= K

.

m

% 8 9 2 ; 5 : 4 5 2 6 : 5 8 ( 9 2 2 4 8 2 a × b 2 7 8 2

' a = (1, 0, 0) 8 b = (1, 1, 0) O3 '

a = (1, 1, 0) 8 b = (2, 0, 0) O

9 ' a = (1, 1, 1) 8 b = (1, 1, 0)

§ S

2 4 ; 6 : 5 # 5 8 7 5 7 ; 5 : 5 7 + v = 1 7 9 5

7 2 4 " 4 : 7 7 5 4 8 8 a = 3 5 4 2 / : 8 4 9 8 2 8 ( 8 : 5 $

9 4 4 + 5 2 7 2 4 ; 8 9 9 8 2 2 : 8 4 5 % 5 1 ; 8 7 7 "

m = 50 ; 4 % 8 5 2 4 8 6 7 ) 5 % 5 1 ; 8 5 4 5 7 8 2 $

4 5 7 8 7 2 " ; 5 5 : 8 4 4 1 5 ; 5 5 : 5 % 6 5 2 . 2 4 5 9 5 4 5 8 (

5 9 ; 5 4 " 5 7 z 4 6 : 9 2 4 6 5 9 2 : 8 ; 8 5 7 8 x 8 y

5 : 8 ( 5 4 4 " 8 6 : 2 4 " 9 7 5 7 2 4 8 7 2 4 ; 5 4 $

"

J %: 8%K C ? # . : %;

6 : 5 . / 4 4 + 5 2 3 2 : 8 4 " 5 * 4 5 6 : 2 7 9 8 9

9 8 2 4 2 9 2 7 5 5 % 6 2 : 2 ; 8 4 " ; ; 5 5 : 5 % 6 : 8 ; : 2 6 2 4 " 7 8 $

2 : 8 1 4 " 2 : ( 8 ; 8 7 7 " M 8 m : 7 6 5 5 * 2 4 4 " 2 4 : 7 7 5 $

4 8 8 a 8 b 5 9 2 : 8 ; 4 5 % 5 7 8 9 : . 2 4 8 & : 8 7 Q '

7 9

4 1 4 " % 5 2 4 4 , 3 2 : 8 4 9 : . 2 7 7 5 9 5 % 7 ; 5 $

: 5 7 + ω0

; 5 9 7 4 2 5 9 7 ; 5 : 5 7 9 : . 2 4 8 3 2 : 8 $

4 " ω 2 7 8 : 7 7 5 4 8 2 : ( 8 ; 5 9 7 7 " m 2 4 , 8 7 ( 7 1 /

9 4 : 2 4 4 8 # 7 8 3 2 : 8 4 " 5 ( 4 1 2 4 8 a

% 8 5 4 5 , 2 4 8 2

ω/ω0 2 7 8 M = 3m 8 b = 4a

S ?

!

8 ( 1 2 4 8 9 8 * 2 4 8 1 7 8 ! " 9 ! 2 4 : 4 5 6 5 2 5 3 $

4 5 9 5 7 6 5 ( 5 9 7 ( ; 5 4 8 7 5 # : 4 2 4 8 ) 4 2 : 8 8 E 8 5 2 4 $

8 6 7 M 2

E =1

2mv2 + U(r) = const; (25.1)

M = mr × v = const. (25.2)

( : 9 4 2 4 8 & < ' 7 2 2 1 5 5 : 3 8 4 # 5 8 7 9 6 5 7 ; 5 7 8

6 2 : 6 2 4 8 ; : 4 5 % 6 5 7 5 4 4 5 9 2 ; 5 : M 6 7 ) 5 3 2

xy $ 6 5 7 ; 5 7 9 5 6 5 : 4 " 2 ; 5 5 : 8 4 " r 8 ϕ 9 ) 5 % 6 5 7 $

; 5 7 8 & 7 ' 6 5 1 2

E =1

2mr2 +

1

2m(rϕ)2 + U(r); (25.3)

M = (0, 0, M), M = mr2ϕ . (25.4)

7 6 5 ( & ' 8 7 ; + 1 8 ϕ 8 (& ' 5

E =1

2mr2 + U (r) , U (r) = U(r) +

M 2

2mr2. (25.5)

; 8 5 3 : ( 5 : 8 4 5 2 9 8 * 2 4 8 2 7 9 2 2 4 5 ; 5 4 5 2 : 4 5 $

9 8 * 2 4 8 + 9 ) 2 ; 8 9 4 5 6 5 2 U (r) 7 5 2 : * . 2 6 5 $

8 5 6 5 2 4 ! 8 4 5 % ) 4 2 : 8 8 U(r) 5 6 5 4 8 2 4 5 2 7 2 5 2

M 2/ (2mr2) 7 7 5 : 8 3 5 2 2 2 4 5 : 2 ; 5 : 8 + 1 7 8 ! " 8 : $

2 ; 5 : 8 8 2 ( 9 8 7 8 5 7 r(ϕ)

& 8 8 ϕ(r)

' 5 * 4 5 4 % 8 8 (

& ' 8 & ' 2 % 7 9 8 2 4 5 8 (& ' 4 # 5 8

r ≡ dr

dt= ±

√

2

m[E − U (r)] r ≷ 0 (25.6)

8 8

dt = ±√

m

2

dr√

E − U (r), (25.7)

§ S x

5 ; 8 6 5 1 2 ( 9 8 7 8 5 7 t(r)

& 7 : & < = ' ' 2

t = ±√

m

2

∫ r

r0

dr√

E − U (r)+ t0. (25.8)

2 : 2 6 8 7 9 & ' 9 5 : 2

dt =mr2

Mdϕ, (25.9)

8 7 ; + 1 8 dt 8 (& > ' 8 4 % / : 9 4 2 4 8 2 : 2 ; 5 : 8 8 2

ϕ = ± M√2m

∫ r

r0

dr

r2√

E − U (r)+ ϕ0. (25.10)

m

% 8 6 : 8 ; ; 8 # 6 : 8 ! 2 4 " # 6 : 2 : # ρ 2 2 5 $

: 8 8 2 + . 8 % 4 3 2 7 ; 5 4 2 1 4 5 7 8 7 ; 5 : 5 7 v0 6 / 4 5 4 $

! 2 & : 8 7 = ' 5 4 ! 2 7 1 8 5 4 5 : 5 4 " , : 5 : 8 7 R 8

7 7 " m 9 8 4 8 2 6 4 2 6 : 2 4 2 3 : 2 1

J %9 /%K C ? # . 9 %1

6 : 2 2 8 4 8 2 4 , 2 2 : 7 7 5 4 8 2 4 ; 5 5 : 5 2 6 : 8 $

3 8 ( 8 7 1 7 8 ! 7 7 " m 7 ( : 5 q 4 2 + . 8 (3 2 7 ; 5 $

4 2 1 4 5 7 8 7 5 7 ; 5 : 5 7 + v0

8 6 : 8 ! 2 4 " 6 : 2 : 5 ρ 4 : $

+ ; + * 2 1 7 8 ! 6 2 : 9 5 4 1 4 5 6 5 ; 5 8 9 , + 7 1 2 7

5 ; 5 ) 2 ; : 8 1 2 7 ; 5 2 5 ; 8 9 4 8 2 1 7 8 ! 8 6 : 2 4 2 3 : 2 1 8 #

: 9 8 ! 8 5 4 4 " 6 : 8 * 2 4 8 2

S

!

7 7 5 : 8 9 8 * 2 4 8 2 1 7 8 ! " 7 7 " m 9 ; 5 4 5 9 7 ; 5 6 5 $

2 6 : 8 * 2 4 8

U(r) = −α

r,

2 α = G m m 9 8 * 2 4 8 2 8 9 : 9 8 ! 8 5 4 4 5 6 5 2

5 4 ! 7 7 " m 8 8 α = ke2 9 8 * 2 4 8 ) 2 ; : 5 4 9

) 2 ; : 8 1 2 7 ; 5 6 5 2 6 : 5 5 4 & 5 9 5 5 : 5 '

t _

! 2 ; 8 9 4 6 5 2 4 ! 8 4 ) 4 2 : 8 4 4 5 5 6 5

U (r) = −α

r+

M 2

2mr2,

8 ( 5 3 : * 2 4 4 : 8 7

( 4 2 5 9 8 4 5 1 5 2 2 7 8 E1 ≥ 0 5

r1 rm in rm ax

r

E1

E2

U (r)

J %9 1%v A A ) & = r * U (r) = −α

r + M 2

2mr2

1 7 8 ! 6 : 8 # 5 . 8 ( 3 2 7 ; 5 4 2 1 4 5 7 8 3 2 5 : * 2 4 6 5 $

2 4 ! 8 4 " 3 : 2 : 5 U (r) 9 5 1 ; 2 r1

8 7 4 5 9 % / 4

S S

3 2 7 ; 5 4 2 1 4 5 7 & 8 4 8 4 8 4 5 2 9 8 * 2 4 8 2 ' 2

r ≥ r1

6 : 8 E1 ≥ 0;

2 7 8 E2 < 0 5 1 7 8 ! 8 7 6 " " 9 2 : 8 4 " 2 ; 5 23 4 8

9 5 3 7 8 & 8 4 8 4 5 2 9 8 * 2 4 8 2 '

rmin ≤ r ≤ rmax

6 : 8 E2 < 0.

: 9 4 2 4 8 2 : 2 ; 5 : 8 8 8 2 2 9 8 & < = '

ϕ = ±∫

M

r2

dr√

2mE +2mα

r− M 2

r2

+ const.

7 8 9 9 2 7 8 ; 4 ( " 9 2 " % F P F 4 P 5 : 3 8 "

p =M 2

mα

8 4 5 9 + 3 2 ( : ( 2 : 4 + 6 2 : 2 2 4 4 +

u =p

r,

5 6 5 1 8

ϕ = ∓∫

du√

e2 − (u − 1)2+ const ,

2 9 2 8 1 8 4

e =

√

1 +2EM 2

mα2

4 ( " 9 2 7 9 4 8 P @ @ 4 : 5 : 3 8 "

4 2 : 8 : 5 9 4 8 2 9 " 6 5 4 2 7 ) 2 2 4 : 4 5 2

ϕ = ± arccosu − 1

e+ const

8 8

r =p

1 + e cos(ϕ − const).

S

M " 9 8 8 1 5 r = rmin

6 : 8 ϕ = const " 3 8 : const = 0

8 2 2 r = rmin

6 : 8 ϕ = 0

& 9 8 * 2 4 8 6 4 2 " ) 5 1 $

; 4 ( " 9 2 7 4 P @ H 4 5 @ 4 ' : 2 ( 2 6 5 1 2 : 9 4 2 4 8 2

: 2 ; 5 : 8 8 9 9 8 2

r =p

1 + e cos ϕ.

! 5 8 ( 9 2 7 4 " 2 ; : 8 9 " 2 7 5 5 9 2 7 9 + . 8 2 ; 5 4 8 1 2 7 ; 8 7 2 1 2 4 8 $

6 5 4 8 1 5 ; 5 4 8 1 2 7 ; 8 8 7 2 1 2 4 8 8 4 ( " 9 + 7 ; : 8 $

9 " 2 6 5 ; 5 5 : " 6 5 9 2 : # 4 5 7 6 : 5 5 ; : 5 5 ; 5 4 7 6 2 : 2 $

7 2 ; 2 7 7 6 5 7 ; 5 7 + 7 8 7 2 ; . 6 5 7 ; 5 7 4 2 6 : 5 # 5 8

1 2 : 2 ( 9 2 : , 8 4 ; 5 4 7 5 7 2 1 2 4 8 2 3 2 8 6 2 : 3 5 5 % 6 : 3 5 $

5 % 8 8 ) 8 6 7 5 & 9 1 7 4 5 7 1 2 - 5 ; : * 4 5 7 + ' 9 ( $

9 8 7 8 5 7 8 5 5 5 6 : 2 4 8 7 2 ; . 6 5 7 ; 5 7 9

5 4 5 % 8 8 4 2 6 : 2 4 4 8 5 4 5 % 5 3 : ( + . 2 % ; 5 4 7

4 , 2 5 7 1 6 5 1 2 1 5 : 2 ; 5 : 8 2 7 2

5 ; : * 4 5 7 e = 0

& 6 : 8 E = −mα2/(2M 2)

' O

) 8 6 7 e < 1

& 6 : 8 E < 0

' O

6 : 3 5 e = 1

& 6 : 8 E = 0 O

8 6 2 : 3 5 e > 1

& 6 : 8 E > 0

'

2 8 4 ; 5 4 2 ! 1 5 6 : 2 : p : 9 2 4 ( 4 1 2 4 8 + : 8 7

6 : 8 ϕ = π/2 2

p =M 2

mα= r

(

ϕ =π

2

)

.

tm

7 7 5 : 8 3 5 2 2 6 5 : 5 3 4 5 9 * 4 " % 7 1 % E < 0 ) 5

7 1 2 : 2 ; 5 : 8 - ) 8 6 7 7 ! 2 4 : 5 C 5 ; 7 5 O 3 5 $

, 5 % 6 5 5 7 + a = CA = (1/2) DA 5 % 6 5 5 7 + b = CB 8

6 : 2 : 5 : 2 ; 5 : 8 8 p = OP

& : 8 7 < ' 5 ; 1 5 6 $

4 2 " 9 8 * 7 6 5 ) 8 6 7 9 5 ; 7 2 ; 5 5 : " # : 7 6 5 5 * 2 4 5

5 4 ! 2 7 5 7 9 2 7 5 2 : * 4 8 2 4 P B : H : J F 9 : 8 F L 4 5 4 P F

S

2b

2a

y

xA

B

OC

D

P

J %9 .%v B E r & # @

5 7 ; 5 ; : 7 7 : 8 9 2 5 2 6 5 2 9 2 7 ! 2 4 : 4 "

4 2 5 7 6 : 9 2 8 9 ( ; 5 4 7 5 # : 4 2 4 8 7 2 ; 5 : 8 4 5 % 7 ; 5 : 5 $

7 8 ; 5 5 : " % 5 * 4 5 7 5 : 8 : 5 9 9 ; 5 9 8 2 2 ( : 9 4 " 2

6 : 5 2 * ; 8 9 : 2 2 4 8 : 8 7 $ 9 2 ; 5 : 6 4 2 " ( 2 2 5 8 4 $

; 5 9 " 2 6 5 . 8 & B : P : " J F 9 : 8 L 4 5 4 P F '

5 , 6 5 5 7 a ( 9 8 7 8 5 ; 5 5 ) 4 2 : 8 8 4 5 4 2 5

5 2 4 8 6 7 2

a =1

2(OA + DO) =

1

2(rmin + rmax) =

=1

2

(

p

1 + e+

p

1 − e

)

=p

1 − e2=

α

2|E| .

2 2 4 2 : 4 5 6 5 ; ( 1 5 CO = ae OB = a 8 6 5 5

b = CB =√

(OB)2 − (CO)2 =√

1 − e2 a ,

5 ; 7 2 2 1 5 6 5 5 7 b ( 9 8 7 8 4 2 5 ; 5 5

) 4 2 : 8 8 4 5 8 5 5 2 4 8 6 7 2

b =M

√

2m|E|.

; 5 4 2 ! 9 " 6 8 , 2 6 5 2 ( 4 " 2 7 5 5 4 5 , 2 4 8 2

rmin = (1 − e) a, rmax = (1 + e) a, p = (1 − e2) a .

2 : 8 5 5 3 : . 2 4 8 5 * 4 5 4 % 8 8 7 6 5 ( 6 5 7 5 4 7 9 5

7 2 ; 5 : 8 4 5 % 7 ; 5 : 5 7 8 5 4 6 5 . S ( 2 / 4 4

: 8 7 $ 9 2 ; 5 : 5 6 4 2 " ( 5 8 4 5 3 5 : 5 : 9 4 6 : 5 8 ( 9 2 2 $

4 8 + 6 5 7 5 4 4 5 % 7 2 ; 5 : 8 4 5 % 7 ; 5 : 5 7 8 dS/dt 4 9 : 2 5 $

4 5 5 5 3 5 : 5 T 2

S =dS

dt· T =

M

2mT .

: 5 % 7 5 : 5 4 " ) * 2 9 2 8 1 8 4 2 7 6 5 . ) 8 6 7 7

6 5 5 7 8 a 8 b 2 S = πab 6 5 ) 5 6 2 : 8 5 53 : . 2 4 8

T = 2πabm

M= 2πa3/2

√

m

α.

7 + 7 2 2 P 4 @ " J F 9 : 8 L 4 5 4 P F 2

T 2

a3= 4π2m

α=

4π2

Gm

,

2 9 7 2 # 6 4 2 5 4 5 , 2 4 8 2 ; 9 : 6 2 : 8 5 5 3 : . 2 $

4 8 ; ; 3 3 5 , 5 % 6 5 5 7 8 : 2 ; 5 : 8 8 5 ; ( " 9 2 7 5 8 4 $

; 5 9 " m

7 6 4 8 ; 9 : . + . 8 % 7 6 5 ; : 5 9 5 % 5 : 3 8 2 : 8 7

; 5 5 : 5 % 9 9 5 2 3 5 , 2 : 8 7 2 8 6 5 6 2 2 2 5 : 8 5 %

* 2 7 7 " 8 ( 7 : 2 9 2 9 4 / 5 2 4 : 7 ; 5 : 5 7 2 2 5 $

: 8 4 8 6 : 2 4 7 ; 5 : 5 7 8 7 6 4 8 ; 8 9 9 5 2 2 4 , 2 2 /

6 5 9 2 8 1 8 4 2 6 / 8 5 3 : ( 5 9 9 , 7 7 8 7 2 4 2 +

R S T S

( $ ' ( $ * , + + * $ / &

. * & * ( ) &

) 5 9 2 6 5 B A P I 4 5 : " 3 2 6 5 : ( 2 9

: B : 9 8 : 6 F 4 P @ F 5 6 8 : 7 4 9 > P F : 8 @ 4 I 9 : G

: P @ 8 4 @ J 4 8 B P : 4 4 I B @ 4 8 @ ! 5 5 ( 4 1 2

1 5 " 6 : 2 4 2 3 : 2 2 9 7 2 8 9 8 8 2 5 : ! 8 8 9 / : 5 5 2 $

5 4 5 8 # 7 1 # ; 5 2 6 : 2 4 2 3 : 2 * 2 4 8 2 9 6 5 4 2 : ( 4 5

4 ; 5 ; 5 2 6 : 8 3 8 * 2 4 8 2 9 5 ( 5 * 4 5 8 , 9 4 2 : 2 8 9 8 7 $

7 ; 5 % 2 # 4 8 ; 2 8 3 5 3 7 5 + 4 5 9 / : 5 2 2 5 6 : 5 8 9 5 : 2 1 8 2 5 $

: 8 8 5 4 5 7 8 2 4 5 7 8 6 5 5 4 6 : 8 2 : 1 5 7 2 5 6 5 5 . +

5 * 4 5 3 " 5 3 " 6 2 : 2 9 7 8 4 " 7 6 : 5 8 ( 9 5 4 5 % 7 ; 5 : 5 $

7 + !

!

5 5 * 2 4 8 2 9 / : 5 5 2 9 4 2 ; 5 5 : 5 % 8 4 2 : ! 8 4 5 % 7 8 7 2 $

2 ; 5 5 : 8 4 XY Z 5 * 4 5 ( 7 2 + . 8 5 3 : ( 5 7

; ) 5 2 6 : 8 3 8 7 8 7 2 ; 5 5 : 8 4 x = x1 y = x2

z = x3

4 1 5 9 5 1 ; 2 O

& : 8 7 ' " 3 2 4 ( " 9

) 7 8 7 2 ; 5 5 : 8 4 : I B @ 8 : " 5 , 2 7 9 2 8 1 8 4 -

: 8 ; 5 5 : 8 4 " : 8 7 $ 9 2 ; 5 : R 5 1 ; 8 O 9 8 4 2 : ! 8 4 5 %

7 8 7 2 2 XY Z 8 : 8 ; 5 5 : " 2 ( + 5 : 8 2 4 ! 8 + 5 7 2 %

6 5 9 8 * 4 5 % 7 8 7 2 " xyz 5 4 5 7 8 2 4 5 5 7 2 % XY Z - 6 5 4 5 $

7 + 5 6 : 2 2 + 6 5 5 * 2 4 8 2 9 / : 5 5 2

O

ra

R

Y

z

Z

X

yx

ma

J %9 ;%c = B ? XY Z & ? ) D B

? xyz - & $ ) H ? B + +

7 9 / : 5 2 2 5 7 5 7 5 8 8 ( N 2 : 8 4 " # 5 1 2 ; 8

6 7 ma

8 ra

- 7 7 8 : 8 7 $ 9 2 ; 5 : a $ % 5 1 ; 8 9 7 8 7 2 2

; 5 5 : 8 4 xyz + 3 5 % 5 1 ; 8 a = 1, 2, . . . , N / : 8 7 $

9 2 ; 5 : 9 8 4 2 : ! 8 4 5 % 7 8 7 2 2 : 9 2 4

R + ra .

5 1 2 : ; 4 2 9 * 4 " % 4 2 % , 2 5 ; 1 5 P : 4 9 @ @

xa, ya, za

B 4 9 : P F ra

8 F : @ xyz : I B @ 8 : " @ 4 9 : : P G

I @ 8 F 8 4 @ J 4 8 P @ I B @ 4 8 @ @ B A P I : H : 4 5 F # 5

7 9 2 ; 5 : ra

5 * 2 8 ( 2 4 7 9 5 2 4 6 : 9 2 4 8 2 & 4 5 4 2 4 2

8 4 R '

: 5 8 ( 9 5 4 5 2 9 8 * 2 4 8 2 9 / : 5 5 2 5 * 4 5 6 : 2 7 9 8

; ; 7 5 9 5 ; 6 4 5 7 9 # 6 : 5 7 " # 9 8 * 2 4 8 % - 6 5 7 6 2 4 5 5

8 9 : . 2 4 5 5 : 8 : F 4 5 6 8 : 9 8 * 2 4 8 8 8 ( 2 4 2 $

7 9 2 ; 5 : R 9 2 ; 5 : ra

4 2 8 ( 2 4 2 7 9 5 2 5 4 6 : 9 2 4 8 ;

1 5 + 3 8 4 8 7 5 2 8 4 + . 9 2 6 : 5 8 ( 9 5 4 " 2 2 : 8 $

4 " 2 5 1 ; 8 4 4 5 5 9 / : 5 5 2 5 7 2 7 6 : 2 4 5 %

7 5 % 7 2 3 2 6 : 8 ; 5 9 8 * 2 4 8 8 ) 5 7 1 2 7 ; 5 : 5 7 va

+ 3 5 % 2 : 8 4 5 % 5 1 ; 8 9 / : 5 5 2 7 5 9 6 2 7 5 7 ; 5 $

: 5 7 + 9 8 * 2 4 8 5 1 ; 8 O 2

va = R ≡ V . (27.1)

: 8 1 8 7 5 B P F F 4 5 6 8 : 9 8 * 2 4 8 8 4 6 : 5 8 9 6 5 5 * 2 4 8 2

5 1 ; 8 O 4 2 8 ( 2 4 2 7 9 / : 5 2 2 5 9 : . 2 7 7 5 $

9 5 % 7 ; 5 : 5 7 + Ω 9 5 ; : 4 6 : 9 2 4 8 ( 9 2 5 5 2 8 4 8 1 $

4 " 9 2 ; 5 : 5 n 5 3 4 5 9 9 2 7 8 9 2 ; 5 : 5 9 5 % 7 ; 5 : 5 7 8

Ω = Ω · n .

5 4 2 1 4 5 ) 5 9 2 ; 5 : ( 9 8 7 8 5 9 : 2 2 4 8 Ω = Ω(t) 6 5 7 ; 5 $

; ; ; 9 2 8 1 8 4 5 9 5 % 7 ; 5 : 5 7 8 ; 8 4 6 : 9 2 4 8 2 9 : . 2 $

4 8 5 8 ( 2 4 7 7 2 1 2 4 8 2 9 : 2 2 4 8 : 8 9 : . 2 $

4 5 9 8 * 2 4 8 8 9 / : 5 5 2 7 5 7 9 + . 8 2 2 5 2 : 8 $

4 " 2 5 1 ; 8 9 : . + 7 7 5 9 5 % 7 ; 5 : 5 7 + Ω 9 6 5 7 ; 5 7 #

6 2 : 6 2 4 8 ; : 4 " # 4 6 : 9 2 4 8 + ) 5 7 1 2 a $ 2 $

: 8 4 5 1 ; 9 : . 2 7 6 5 5 ; : * 4 5 7 8 : 8 7

ρa = ra sin αa , (27.2) 2 αa

- 5 2 * 9 2 ; 5 : 8 n 8 ra 7 5 7 ; 5 : 5 7 +

va = Ωρa . (27.3)

9 : 2 dt 1 7 8 ! 6 2 : 2 2 7 8 7 4 : 7 7 5 4 8 2 |dra| =

vadt = Ωra sin αa dt 9 4 6 : 9 2 4 8 8 ( 9 2 5 9 2 ; 5 : 5

[Ω, ra] 5 ) 5

dra = [Ω, ra] dt (27.4a)

8 7 ; 5 : 5 7 a $ % 2 : 8 4 5 % 5 1 ; 8 5 * 4 5 ( 6 8 7 9 9 8 2

9 2 ; 5 : 4 5 5 6 : 5 8 ( 9 2 2 4 8

va = [Ω, ra] . (27.4b)

?

7 1 2 ; 5 9 / : 5 2 2 5 9 8 * 2 7 6 : 5 8 ( 9 5 4 5 7 ; 5 $

: 5 7 a $ % 2 : 8 4 5 % 5 1 ; 8 7 ; " 9 2 7 8 ( 7 ; 5 : 5 7 2 % 6 5 $

7 6 2 4 5 5 & ' 8 9 : . 2 4 5 5 & b

' 9 8 * 2 4 8 % 8 5 ; ( " 9 $

2 7 : 9 4 5 %

va = V + [Ω, ra] . (27.5)

1 5 6 5 9 8 * 4 5 % 7 8 7 2 " ; 5 5 : 8 4 xyz 2 5 1 ; O

5 * 2 3 " 9 " 3 : 4 7 5 9 2 : , 2 4 4 5 6 : 5 8 ( 9 5 4 5 9 5 1 8 7 2

8 9 4 2 7 5 5 9 / : 5 5 2 2 ; 5 5 3 4 : * 8 5 4 ; 5 1 5

H 5 : B F 9 : P : 6 Ω 8 4 J F B @ @ : B : P F : 7 9 @ O

! 5

5 1 2 9 8 4 5 * 2 8 ( 5 5 ; 1 5 6 5 4 " % 5 3 5 : 5 6 : 5 8 7 # 5 8

( 5 4 5 8 5 * 2 9 : 2 6 : 8 + 3 5 9 " 3 5 : 2 5 1 ; 8 O

2 : 2 ; 5

5 * 4 5 4 % 8 ; + 5 1 ; O 1 5 3 " 2 / 7 ; 5 : 5 7 V 9 4 4 " %

5 2 4 9 : 2 2 4 8 3 " : 9 4 4 + 4 " 8 7 5 9 8 9 ) 5

7 1 2 7 . 2 7 9 2 9 5 ( 5 * 4 5 7 6 : 2 7 9 8 9 8 * 2 4 8 2 9 / : $

5 5 2 ; ; 1 8 7 5 2 9 : . 2 4 8 2 5 5 9 2 7 9 + . + 5 7 9 : . 2 $

4 8 6 : 5 # 5 . + 1 2 : 2 ( 5 1 ; O 4 ( " 9 + H 8 : B 4 8 8 : " : 6

B P F 4 8 @ 4 5 F : 8 9 2 / 6 : 8 2 : 5 ; 5 2 7 5 ; 8 7 6 5

6 5 7 ; 5 7 8 3 2 ( 6 : 5 7 ; ( " 9 4 8 5 1 ; 7 5 6 : 8 ; 5 7 4 5 9 2 4 8 ; 5 $

2 7 7 6 5 7 ; 5 7 + 8 2 2 4 2 9 + 7 ; 5 : 5 7 7 8 9 " 3 : )

5 1 ; 9 ; 1 2 7 9 2 5 1 ; 8 O 5 9 7 / 9 8 * 2 4 8 2 ; 5 2 7 5 * 4 5

6 : 2 7 9 8 ; ; 1 8 7 5 2 9 : . 2 4 8 2 9 5 ; : ) 5 % 5 1 ; 8 5 4 2 1 $

4 5 9 7 2 + . 8 % 5 2 4 9 : 2 2 4 8 5 1 ; 7 5 6 : 8 ; 5 7 4 5 9 2 4 8 7

6 5 7 ; 5 7 + 3 2 5 9 2 1 : 5 2 7 4 ; 5 2 7 2 ; 1 5

4 5 9 2 4 4 5 7 9 : . 2 4 8 9 : ( 4 " 2 5 2 4 " 9 : 2 2 4 8 6 : 5 # 5 $

8 1 2 : 2 ( : ( 8 1 4 " 2 5 1 ; 8 ; 5 2 7 8 6 5 7 ; 5 7 8

§ x

! !

!

6 7 9 / : 5 5 2 : 9 2 4 7 2 8 6 7 5 9 2 : 8 $

4 " # 5 1 2 ; 4 4 5 5 2 2

P =

N∑

a=1

mava . (28.1a)

5 7 9 8 9 & < > ' 8 9 9 2 5 3 5 ( 4 1 2 4 8 7 7 " 9 7 2 5 9 / : 5 5

2 8 : 8 7 $ 9 2 ; 5 : 2 5 ! 2 4 : 7 7

m =∑

a

ma , r =

∑

a mara

m, (28.2)

4 % 2

P = mV + m [Ω, r ] . (28.1b)

7 8 4 1 5 5 7 1 / 6 5 9 8 * 4 5 % 7 8 7 2 " ; 5 5 : 8 4 xyz 6 5 $

2 7 8 9 ! 2 4 : 7 7 9 / : 5 5 2 ; 1 5 r = 0 5

P = mV , (28.3)

2 @ 5 6 B A P I : H : 4 5 F : 9 F 4 P F B 4 8 @ 5 6 F G

4 P @ F 5 6 8 : " : 7 9 @ F : " m @ 9 : P : 6 > P F B 8 : " 9 : P : @

I B @ 4 8 @ 4 8 P F F V = V

8 4 2 8 1 2 7 ; ) 4 2 : 8 9 / : 5 5 2 : 9 4 7 2 ; 8 4 2 8 $

1 2 7 ; 8 # ) 4 2 : 8 % 2 : 8 4 " # 5 1 2 ; 4 4 5 5 2 2

K =1

2

N∑

a=1

mav2a . (28.4a)

5 7 9 8 9 & < > ' 8 8 7 6 5 ( 5 9 9 5 3 5 ( 4 1 2 4 8 & < ' 4 % /

K =1

2mV2 +

1

2

∑

a

ma (Ω × ra)2 + mΩ (r × V) . (28.4b)

7 8 4 1 5 5 7 1 2 7 8 7 2 " ; 5 5 : 8 4 xyz 6 5 2 7 8 9

! 2 4 : 7 7 9 / : 5 5 2 5

K =1

2mV2

+1

2

∑

a

ma (Ω × ra)2 , (28.5)

2 9 @ 8 4 @ 7 4 9 F 8 4 P H @ B A P I : H : 4 5 F : 9 F 4 P F B 8 : "

4 9 @ 8 4 @ 7 4 9 : " 8 4 P H @ @ F 4 P @ F 5 6 8 : " : 7 9 @ F G

: " m @ 9 : P : 6

V @ 9 @ 8 4 @ 7 4 9 : " 8 4 P H @ @ B P F 4 8 @

B 4 P I : H : 4 5 F & 4 6 5 4 8 1 5 4 5 8 1 4 " % : 2 (

6 : 5 8 ( 9 5 4 5 % 7 8 7 2 " 2 : 8 4 " # 5 1 2 ; " * 2 6 5 1 $

8 9 '

7 7 5 : 8 3 5 2 2 6 5 : 5 3 4 5 7 1 % ; 5 5 1 ; O 6 5 ; 5 8 $

7 ; 1 5 9 7 ; 8 4 2 8 1 2 7 ; ) 4 2 : 8 9 / : 5 5 2 9 2 7

) 4 2 : 8 2 % 9 : . 2 4 8

K =1

2

∑

a

ma (Ω × ra)2 . (28.6)

7 9 / : 5 2 2 5 9 : . 2 7 7 5 9 5 % 7 ; 5 : 5 7 + Ω 9 5 ; :

4 6 : 9 2 4 8 ( 9 2 5 5 2 8 4 8 1 4 " 9 2 ; 5 : 5 n 9 ) 5 7 $

1 2 a $ 2 : 8 4 5 1 ; 9 : . 2 7 6 5 5 ; : * 4 5 7 8 : 8 $

7 ρa

7 5 7 ; 5 : 5 7 + va = Ωρa

& 7 & < >< '& < > ' '

5 ) 5

; 8 4 2 8 1 2 7 ; ) 4 2 : 8 ; 5 5 9 : . 2 4 8 : 9 4

K =1

2In Ω2 , (28.7)

2 9 9 2 2 4 5 5 3 5 ( 4 1 2 4 8 2

In =∑

a

ma ρ2a (28.8)

: 4 8 F @ 8 4 P @ @ 9 / : 5 5 2 5 4 5 7 8 2 4 5 5 7 8 n 1 7 4 5 7 8 5 2 4 " 8 4 2 : ! 8 8 5 4 5 7 8 2 4 5 5 7 2 % 6 5 9 8 * $

4 5 % 7 8 7 2 " ; 5 5 : 8 4 xyz : 9 4 "

I1 ≡ Ix =∑

a

ma (y2a +z2

a) , I2 ≡ Iy =∑

a

ma (x2a +z2

a) , (28.9)

S

I3 ≡ Iz =∑

a

ma (x2a + y2

a) .

7 + 7 2 2 1 5 7 9 # : ( 4 " # 5 2 4 5 9 8 4 2 : ! 8 8 Ii

9 7 2 3 5 , 2 8 8 : 9 4 + 3 5 5 5 2 4 8 4 2 : ! 8 8 ;

I1 +I2 =∑

a

ma(xa+y2a +2z2

a) ≥∑

a

ma(x2a+y2

a) = I3 . (28.10)

( ) 5 5 * 2 7 5 5 4 5 , 2 4 8 9 8 4 5 1 5 6 5 7 ; 5 5 9 / : 5 $

5 2 : 7 6 5 5 * 2 4 4 5 5 9 6 5 7 ; 5 7 8 xy

& 9 ) 5 7 1 2 9 7 2

; 5 5 : 8 4 " za = 0

' 8 2 2 2 7 5 : 9 2 4 7 9 5

I1 + I2 = I3 . (28.11)

7 7 5 : 8 7 1 % ; 5 4 1 5 O 7 8 7 2 " ; 5 5 : 8 4

xyz 6 5 2 . 2 4 5 9 ! 2 4 : 7 7 9 / : 5 5 2 4 1 5 : 5 %

7 8 7 2 " ; 5 5 : 8 4 x′y′z′ - 5 1 ; O′ - 7 2 . 2 4 5 4 4 2 ; 5 5 : 5 2

: 7 7 5 4 8 2 6 5 4 8 1 5 9 2 ; 5 : 5 9 5 % 7 ; 5 : 5 7 8 8 2 5 4 $

6 : 9 2 4 8 2 n 4 2 ( 9 8 7 5 9 "3 5 : 4 1 6 5 9 8 * 4 5 % 7 8 7 2 "

; 5 5 : 8 4 : 8 6 2 : 9 5 9 " 3 5 : 2 ; 8 4 2 8 1 2 7 ; ) 4 2 : 8 9 : . 2 $

4 8 : 9 4

K =1

2I

n Ω2 ,

6 : 8 9 5 : 5 9 " 3 5 : 2 -

K =1

2I ′n Ω2 .

! 5 : 5 * 4 5 ; * 2 6 2 : 2 6 8 7 ; * 2 9 9 8 2 & ' 2

K =1

2mV2

+ K .

1 8 " 9 1 5 7 ; 5 : 5 7 9 8 * 2 4 8 ! 2 4 : 7 7 9 x′y′z′ 7 8 $

7 2 2 ; 5 5 : 8 4 : 9 4 V = BΩ 2 B - : 7 7 5 4 8 2 2 * $

5 7 8 9 : . 2 4 8 6 : 5 # 5 . 8 8 1 2 : 2 ( 5 1 ; 8 O 8 O′ 6 5 $

1 2 7 5 5 4 5 , 2 4 8 2 & ; 5 5 : 5 2 8 4 5 4 ( " 9 2 7 4 : P 4 : "

? " H 4 8 F 4 " 8 4 P F '

I ′n = I

n + mB2 . (28.12)

( ) 5 % 5 : " 9 8 4 5 1 5 5 2 4 8 4 2 : ! 8 8 8 2 2 4 8 2 4 $

, 2 2 ( 4 1 2 4 8 2 9 7 8 7 2 2 ! 2 4 : 7 7 9 2 : 5 5 2

! ! ! m !

R " 3 2 : 2 4 1 5 7 8 7 2 " ; 5 5 : 8 4 xyz 9 ! 2 4 : 2 ; 5 !

6 5 7 ; 5 7 xy 7 5 9 2 7 8 7 6 5 7 ; 5 7 + ; 5 ! : 8 9 " 1 8 7 2 $

4 8 8 I3

1 2 1 5 : 7 7 5 4 8 2 ρa

5 + 3 5 % 5 1 ; 8 ; 5 ! 5

5 7 8 9 : . 2 4 8 - 5 7 8 z - : 9 4 5 R 6 5 ) 5 I3 = mR2 7 8

7 8 2 : 8 8 5 2 4 " 8 4 2 : ! 8 8 I1

8 I2

7 5 9 6 + 8 & 7 1 2 5

& ' ' : 9 4 " I1 = I2 = I3/2 ; 8 5 3 : ( 5 ; 5 !

I1 = I2 =1

2mR2 , I3 = mR2 . (28.13)

! ! ! m ! R ; 5 % 8 7 ; 5 3 4 5 : 7 7 : 8 9 ; ; 7 5 9 5 ; 6 4 5 7 5 4 ; 8 #

; 5 2 ! : 8 7 r 8 5 . 8 4 5 + dr 7 7 ; 5 5 ; 5 !

dm =m

πR22πrdr .

7 +

I3 =

∫

r2dm =2m

R2

∫ R

0

r3dr =1

2mR2 , I1 = I2 =

1

2I3 =

1

4mR2.

(28.14)

! ! ! ! AB

m l " 3 2 : 2 4 1 5 7 8 7 2 " ; 5 5 : 8 4 xyz

9 5 1 ; 2 A 5 7 x 7 5 9 2 7 8 7 5 7 2 : * 4 2 & : 8 7 '

! 2 2 4

7 2 : * 4 8 4 5 % dx : 7 6 5 5 * 2 4 4 " % 9 5 1 ; 2 x 8 2 2 7 7 dm = (m/l) dx 6 5 ) 5

I2 = I3 =

∫

x2 dm =m

l

∫ l

0

x2dx =1

3ml2 , I1 = 0 . (28.15)

§

J %9 :%K # H + B B = D

m

% 8 5 2 4 " 8 4 2 : ! 8 8 I1 I2 I3

5 4 5 : 5 4 5 % 7 2 : "

: 8 7 R 8 7 7 " m 5 4 5 7 8 2 4 5 7 8 7 2 " ; 5 5 : 8 4 xyz

7 ! 2 4 : 5 9 ! 2 4 : 2 7 2 : "

% 8 5 2 4 " 8 4 2 : ! 8 8 I1 I2 I3

5 4 5 : 5 4 5 5 , :

7 7 " m 8 : 8 7 R 5 4 5 7 8 2 4 5 7 8 7 2 " ; 5 5 : 8 4 xyz

7 ! 2 4 : 5 9 ! 2 4 : 2 , :

5 4 ; 5 4 4 5 % 6 5 7 ; 5 7 8 7 ; " 9 2 7 3 2 ( 6 : 5 7 ; $

( " 9 4 8 5 4 ; 5 7 2 4 4 " % ! 8 8 4 : : 8 7 R

; + 7 ; 5 : 5 7

3 2 8 2 ! 2 4 : ! 8 8 4 : 7 ; 8 9 , 2 5 7 3 2 ( 4 1 4 5 %

7 ; 5 : 5 7 8 7 9 " 7 5 " h

2 , 8 2 ; + * 2 ( 1 7 6 5 , 4 5 $

5 ! 8 8 4 :

!

M 5 2 4 8 6 7 9 / : 5 5 2 : 9 2 4 7 2 5 2 4 5 9 8 $

6 7 2 : 8 4 " # 5 1 2 ; 4 4 5 5 2 2

M =

N∑

a=1

ma [R + ra, V + [Ω, ra]] = (29.1)

= m[R,V] +∑

a

ma [ra, [Ω, ra]] + m[r ,V] + m [R, [Ω, r ]] .

7 8 4 1 5 5 7 1 2 7 8 7 2 " ; 5 5 : 8 4 xyz 6 5 2 7 8 9

! 2 4 : 7 7 9 / : 5 5 2 5

M = m[R,V ] +∑

a

ma [ra, [Ω, ra]] , (29.2)

2 : 4 8 @ 5 6 F B A P I : H : 4 5 F : 9 F 4 P F B 4 8 G

4 : 4 8 F @ 5 6 F F 4 P @ F 5 6 8 : " : 7 9 @ F : " m >

P F I @ : G B 4 9 : P : R @ : 9 : P : 6 > P F B 8 : " 9 : P : @I B @ G

4 8 @ 4 8 P F F > @ : 4 8 F @ 5 6 F > : : B 4 B G

4 H : B P F 4 8 @ B A P I : H : 4 5 F : 8 : @ 4 5 6 8 : : 7 9 @ O H G

5 : B : " 9 : P : 6 Ω

7 7 5 : 8 3 5 2 2 6 5 : 5 3 4 5 7 1 % ; 5 5 1 ; O 6 5 ; 5 8 $

7 ; 1 5

M =∑

a

ma [ra, [Ω, ra]] . (29.3)

7 5 6 : 2 2 2 4 4 5 7 8 5 7 9 : . 2 4 8 n 7 5 9 6 2 7 5 7 +

Z 5 a $ 2 : 8 4 5 1 ; 9 : . 2 7 6 5 5 ; : * 4 5 7 8

: 8 7 ρa

& < >< ' 9 6 5 7 ; 5 7 8 6 : 2 4 5 % 6 5 7 ; 5 7 8 XY

7 5 7 ; 5 : 5 7 + va = Ωρa 2 * . 2 % 9 5 % * 2 6 5 7 ; 5 7 8 8 6 2 : $

6 2 4 8 ; : 4 5 % : 8 7 9 : . 2 4 8 ) 5 7 1 2 ; 5 6 5 4 2 4

5 2 4 8 6 7

MZ =∑

a

maρava = IZΩ , (29.4)

2 IZ

- 5 2 4 8 4 2 : ! 8 8 9 2 : 5 5 2 & < > ' 5 4 5 7 8 2 4 5

5 7 8 Z 7 6 5 ( & ' 2 ; 5 6 5 ; ( & 7 1 2 5 & < N ' ' 1 5

1

2MΩ =

1

2

∑

a

ma (Ω × ra)2 = K . (29.5)

; ; ; ; 8 4 2 8 1 2 7 ; ) 4 2 : 8 K 6 5 5 * 8 2 4 5 5

2 * 9 2 ; 5 : 8 M 8 Ω 9 7 2 2 4 , 2 90

§

! !

1 4 / 7 : 9 4 2 4 8 8 6 7 9 / : 5 5 2 7 :

5 8 ( 9 2 7 4 5 5 ( ; 5 4 + 5 4 9 8 * 2 4 8 a $ % 2 : 8 $

4 5 % 5 1 ; 8 6 5 2 % 7 9 8 2 7 8 " fa 2

d(mava)

dt= fa .

8 : ) 5 : 9 4 2 4 8 2 6 5 9 7 2 2 : 8 4 " 5 1 ; 9 / : $

5 5 2 6 5 1 2

dP

dt= F , (30.1)

2 P - 8 6 7 9 / : 5 5 2 5 6 : 2 2 2 4 4 " % 5 : 8

& < '& < '

F =∑

a

fa

- 6 5 4 2 % 7 9 + . 4 2 5 7 8 ; ; ; 9 4 : 2 4 4 8 2 7 8 $

" 2 % 7 9 + . 8 2 2 * 2 : 8 4 " 8 5 1 ; 8 9 / : 5 5

2 7 5 7 4 5 : 2 2 ( ; 5 4 + 5 4 9 ( 8 4 5 7 ; 5 6 2 4 $

7 8 : 5 9 4 " 5 ; 8 1 2 7 ; 8 7 8 F 2 7 6 5 4 9 4 2 , 4 7 8

2 % 7 9 + . 4 9 / : 5 2 2 5 7 8 4 1 5 5 7 1 2 6 5 9 8 * $

4 5 % 7 8 7 2 " ; 5 5 : 8 4 xyz 6 5 2 7 8 9 ! 2 4 : 7 7 9 2 : 5 5

2 & 7 & < ' ' 5 P = mV

4 5 8 1 4 5 5 * 2 3 " 6 5 1 2 4 5 : 9 4 2 4 8 2 5 2 4

8 6 7 9 / : 5 5 2 2

dM

dt= K , (30.2)

2 M - 5 2 4 8 6 7 9 2 : 5 5 2 5 6 : 2 2 2 4 4 " % 5 : $

8 & < Q ' & < Q '

K =∑

a

[ra, fa]

- 6 5 4 " % 2 % 7 9 + . 8 % 4 2 5 5 2 4 7 8 & ; ; ; 9 4 $

: 2 4 4 8 2 5 2 4 " 7 8 9 ( 8 4 5 7 ; 5 6 2 4 7 8 : 5 9 4 " 5 ; 8 $

1 2 7 ; 8 K 2 7 6 5 4 " % 5 2 4 9 4 2 , 4 8 # 7 8 2 % 7 9 + . 8 # 4

9 / : 5 2 2 5 ' : 8 9 : . 2 4 8 8 9 2 : 5 5 2 9 5 ; : 4 2 6 5 9 8 * $

4 5 % 5 7 8 4 6 : 8 2 : 5 7 8 Z ; 5 6 5 4 2 4 5 2 4 MZ = IZΩ 8

: 9 4 2 4 8 2 & < ' 6 : 8 4 8 2 9 8

d(IZΩ)

dt= KZ . (30.3)

5 4 5 8 # 7 1 # * 8 ( 4 2 4 4 " % 5 6 " 6 : 9 8 4 5 6 5 7 ; ( " $

9 2 4 ; ; 3 2 8 ( 2 4 7 9 8 * 2 4 8 2 4 2 9 : . + . 2 5 7

9 / : 5 5 2 6 : 8 9 5 ( 2 % 7 9 8 8 4 4 2 5 5 % 8 8 8 4 5 % 7 8 5 %

4 " 8 7 5 9 8 " 5 9 5 4 5 1 7 5 5 * 2 6 : 9 8 4 5 $

: 2 , 2 4 8 2 : 9 4 2 4 8 & ' 2 7 ; 5 ; 5 8 4 7 8 ! 8 8 2 $

2 2 7 5 6 5 5 4 5 , 2 4 8 + ; : 9 4 2 4 8 + & < ' : 8 9 4 2 , 4 2 7 # 5 $

7 9 2 2 5 7 : 9 4 2 4 8 2 & ' " 4 2 : 2 ; 5 7 ; 8 9 2 7 7 ; $

8 7 5 9 2 : , 2 4 4 5 4 2 5 * 8 4 4 5 5 6 5 9 2 2 4 8 9 : . + . 2 5 7 9 2 : $

5 5 2 6 : 8 9 5 ( 2 % 7 9 8 8 4 4 2 5 4 2 ; 5 5 : 5 5 5 2 4 7 8

7 5 3 2 4 4 5 1 7 5 ) 5 7 1 2 7 ; 4 ( " 9 2 " # H @ P : 9 : : B

- 3 " 7 : 5 9 : . + . 8 # 7 2 5 7 9 : . 2 4 8 ; 5 5 : " # 5 * 2

8 ( 2 4 7 9 5 / 4 6 : 9 2 4 8 2 7 7 5 : 8 7 2 + . 8 % 6 : 5 7 5 %

8 : 5 7 ; 5 6 5 5 7 4 5 9 4 5 % ) 2 2 4 - / ; 8 % 7 2 : * 2 4 AB 4

; 5 4 ! 2 A ; 5 5 : 5 5 ( ; : 2 6 / 4 4 2 3 5 , 5 % : ( 8 ; m 4 ; 5 4 ! 2

B - 8 7 ; ; 5 % * 2 7 7 " 8 : 8 7 R 7 6 5 7 5 3 4 " % 9 : . 7

9 5 ; : 8 4 8 8 AB

& : 8 7 F' 7 8 6 : 8 3 8 7 8 7 2 5 7 1 /

xyz ; 7 2 : 2 8 4 2 7 2 : * 4 8 4 6 : 9 8 5 7 z ; 8 7 ; 5 5 2 4

8 4 2 : ! 8 8 I3 = mR2 : 8 7 $ 9 2 ; 5 : " 5 1 2 ; A 8 B 7 9 ( 4 "

7 5 5 4 5 , 2 4 8 2 rA = −rB ! 5 7 2 : * 2 4 6 5 2 . + 4 6 5 7 9 ; 4 ; 5 5 : 5 % 5 4

5 * 2 9 : . 7 9 5 ; : 9 2 : 8 ; 4 5 % 8 8 5 : 8 ( 5 4 4 5 %

5 7 2 % 6 : 5 # 5 . 8 # 1 2 : 2 ( ! 2 4 : 7 2 : * 4 & 7 : 8 7 '

) 8 # 7 9 5 2 5 3 : ( 4 " # 9 2 7 # 7 4 9 8 9 2 7 : 9 4 5 9 2 7 8 2 & 7 2 : $

' 3 '

J %9 9%I B ? * &

* 2 4 6 : 8 4 8 2 5 : 8 ( 5 4 4 5 2 6 5 5 * 2 4 8 2 ' 4 2 ( 9 8 7 8 5 5

5 5 9 : . 2 7 8 7 ; 4 ; 5 4 ! 2 B 8 8 4 2 7 8 7 8 7 2 " 5 $

7 1 / XY Z 7 9 ( 4 " 7 ( ; : 2 6 / 4 4 5 % 6 5 7 9 ; 5 % 6 : 8 1 / 5 7

Z 4 6 : 9 2 4 6 5 9 2 : 8 ; 8 5 7 8 X 8 Y - 9 5 : 8 ( 5 4 4 5 %

6 5 7 ; 5 7 8 2 7 1 8 1 5 9 4 1 4 " % 5 2 4 7 2 : * 2 4

: 7 6 5 2 7 9 5 5 7 8 Y

5 3 9 8 2 6 2 : ; : ( 8 ; 4 ; 5 4 ! 2 A 4 2 3 5 , 5 % 6 2 : 2 : $

( 5 ; 7 7 " µ& 2 5 : 8 7 $ 9 2 ; 5 : : 9 2 4 rA

' 7 8 8 7 ; 4 2 9 : $

. 2 7 5 & 9 6 5 4 5 7 5 7 8 8 7 4 , 8 8 5 * 8 4 8 8 ' : 9 4 5 $

9 2 7 8 2 4 : , 8 7 8 ; 5 4 2 ! A 5 6 7 8 7 7 8 * 2 8 7 ; 9 : . 2 $

7 7 3 5 , 5 % 5 9 5 % 7 ; 5 : 5 7 + Ω 9 5 ; : 4 6 : 9 2 4 8 AB

5 6 : 8 5 3 9 2 4 8 8 6 2 : 2 : ( ; 6 : 5 8 ( 5 % / 4 2 1 5 4 2 5 * 8 4 $

4 5 2 2 : 9 4 5 9 2 7 8 2 4 2 4 : , 8 7 8 ; 5 4 2 ! A 4 2 5 6 7 8 7 2 7 5

) 5 5 7 2 : * 2 4 4 2 8 ( 2 4 7 9 5 2 5 5 : 8 ( 5 4 4 5 5 6 5 5 * 2 $

4 8 4 1 8 4 2 9 : . 7 9 5 ; : 9 2 : 8 ; 4 5 5 4 6 : 9 2 4 8

7 4 2 3 5 , 5 % 5 9 5 % 7 ; 5 : 5 7 + ω

; 5 2 9 8 * 2 4 8 2 7 2 : * $

4 4 ( " 9 + P 4 4 @ 4 " 5 6 : 5 3 2 : ( 5 3 : 7 6 5 1 2 ) 5

6 : 5 8 7 # 5 8 8 4 % / 9 2 8 1 8 4 7 ; 5 : 5 7 8 6 : 2 ! 2 7 7 8 8 ω

: 8 5 3 9 2 4 8 8 4 2 3 5 , 5 5 6 2 : 2 : ( ; 4 7 2 : * 2 4 4 1 8 $

4 2 2 % 7 9 5 9 4 2 3 5 , 5 % 5 2 4 7 8

K = [rA, µg] . (30.4)

?

! 5 5 2 4 7 8 4 6 : 9 2 4 9 5 5 7 8 X 8 7 : 2 8 7 : ( 9 2 : $

4 7 2 : * 2 4 9 5 ; : ) 5 % 5 7 8 ! 5 8 6 : 5 8 7 # 5 8 9 7 1 2

; 5 8 7 ; 4 2 9 : . 2 7 6 : 2 * 2 4 2 6 5 9 8 * 4 5 5 7 2 : * 4

1 2 : 2 ( 9 : 2 dt 6 5 9 2 7 9 7 5 7 8 8 7 : 9 4 2 4 8 2 & < ' 5 $

2 4 8 6 7 dM = Kdt 8 : 9 4 5 9 2 7 8 2 4 : , 2 7 : 8 5 1 2 4 3 " 7 : 5 9 : . 2 4 8 8 8 7 ; 5 2 4 8 6 7

7 2 : * 4 M 6 : ; 8 1 2 7 ; 8 7 5 9 6 2 6 5 4 6 : 9 2 4 8 + 7 4 6 : 9 $

2 4 8 2 5 7 8 z

& 5 ! 2 4 : 7 2 : * 4 ; 8 7 ; 8 4 " 8 7 5 9 8

9 2 ; 5 : M 6 : 2 2 4 9 2 ; 5 : rB = −rA

' 6 5 9 2 8 1 8 4 2 7 5

( 4 1 2 4 8 2 I3Ω 6 5 ) 5

rA = − M

I3ΩrA . (30.5)

5 7 9 & ' 8 & ' 9 : 9 4 2 4 8 2 & < ' 6 5 1 2

dM

dt=

[

µrA

I3Ωg,M

]

. (30.6)

! 5 5 ( 4 1 2 1 5 7 2 : * 4 8 2 + . 2 5 9 4 1 2 5 2 4 8 $

6 7 4 6 : 9 2 4 4 " % 6 5 5 7 8 Y 1 2 : 2 ( 9 : 2 dt 6 5 9 2 7

6 : 8 : . 2 4 8 2 5 2 4 8 6 7

dM =

[

µrA

I3Ωg,M

]

dt , (30.7)

4 6 : 9 2 4 4 5 2 6 5 5 7 8 X

5 2 7 8 8 ( 2 4 2 4 8 2 9 2 ; 5 : 5 : 5 5 $

4 4 5 2 7 5 5 ) 5 5 ( 4 1 2 1 5 9 2 ; 5 : 6 : 5 7 5 6 5 $

9 2 : 4 7 & 7 : 5 3 7 * 2 4 8 2 6 2 : 2 : 9 4 2 4 8 2& < >

a

' ' 5 9

7 ; 5 : 5 7 ; 5 5 6 5 9 5 : 5 - 7 ; 5 : 5 7 6 : 2 ! 2 7 7 8 8 - : 9 4

ω =µgrA

I3Ω(30.8)

8 4 6 : 9 2 4 6 5 9 2 ; 5 : g : 8 9 2 / # : ; 2 : 4 " 2 ( 4 1 2 4 8 2 5 4 7 : ! 8 5 4 4 5 5

6 : 8 3 5 : & 7 : 8 7 ' 2 7 7 : ( 8 ; m ∼ 0, 1 ; 7 7

x

6 2 : 2 : ( ; µ ∼ 0, 01 ; : 7 7 5 4 8 2 5 ! 2 4 : 7 2 : * 4 5

2 5 ; 5 4 ! rA ∼ 0, 25 : 8 7 8 7 ; R ∼ 0, 05 8 7 ; 2 2

6 : 8 2 : 4 5 = " 7 5 3 5 : 5 5 9 9 8 4 1 5 7 5 5 9 2 7 9 2 5 $

9 5 % 7 ; 5 : 5 7 8 Ω ∼ 103

/ 7 7 6 5 ( 5 : & ' 4 2 : 4 5

5 ! 2 4 8 5 9 + 7 ; 5 : 5 7 6 : 2 ! 2 7 7 8 8 ω 8 8 9 : 2 5 4 5 5 53 5 $

: 5 7 2 : * 4 2

T =2π

ω= 2π

mR2Ω

µgrA∼ 1 8 4 .

m

5 4 ; 4 8 4 5 4 4 ; , ; ; 5 5 : 6 : 2 $

7 9 2 7 5 3 5 % 5 4 5 : 5 4 + : 3 5 1 ; : 8 7 R 8 7 7 " m

7 : 2 7 6 8 ! 8 & : 8 7 N ' * 7 6 8 ! - 5 4 ; 8 % 5 4 5 : 5 $

J %9 3%K C ? # ; / %1

4 " % 7 2 : * 2 4 7 7 " m

, ; 5 * 2 9 : . 7 9 5 ; :

( ; : 2 6 / 4 4 5 % 5 7 8 O

7 9 5 3 5 4 5 ; 5 4 ! 4 8 8 6 5 9 2 , 2 4

8 : ; 7 7 " m ; 5 5 : + 5 6 7 ; + 3 2 ( 4 1 4 5 % 7 ; 5 : 5 7 8

% 8 7 ; 5 : 2 4 8 2 8 7 ; 5 : 5 7 8 : ; 8 1 2 : 2 ( 9 : 2 t ; * 2

6 : 5 % 2 4 4 " % 2 + 6 7 ; 5 : 2 4 8 2 7 9 5 3 5 4 5 5 6 2 4 8 : 9 4 5 g

" ! !

9 / : 5 2 2 5 5 3 + . 2 2 7 2 : 8 1 2 7 ; 5 % 7 8 2 : 8 2 % 3 2

4 ( " 9 F P : B B : 5 7 9 : 9 / : 5 2 2 5 5 3 + . 2 2 7 8 $

2 : 8 2 % 9 : . 2 4 8 5 4 5 7 8 2 4 5 4 2 ; 5 5 : 5 % 5 7 8 & : @ @ 4 G

P @ @ ' 3 2 4 ( " 9 @ 4 P @ 7 4 9 @ B : 5 7 9 :

: 8 7 9 5 3 5 4 5 9 8 * 2 4 8 8 9 / : 5 5 2 9 4 2 , 4 7 8 8

5 2 4 7 8 " : 9 4 " 4 + F = K = 0 8 6 5 5 8 6 7 8

5 2 4 8 6 7 9 / : 5 5 2 7 5 # : 4 + 7 ! 2 4 : 7 7

9 8 * 2 7 7 6 5 7 5 4 4 5 % 7 ; 5 : 5 7 + " 3 2 : 2 8 4 2 : ! 8 4 +

7 8 7 2 9 ; 5 5 : 5 % ! 2 4 : 7 7 6 5 ; 5 8 7 8 6 5 2 7 8 4 1 5

5 7 1 2 8 4 2 : ! 8 4 5 % 7 8 7 2 " XY Z 8 6 5 9 8 * 4 5 % 7 8 7 2 "

xyz 9 ! 2 4 : 7 7 9 / : 5 5 2 , : 5 9 5 5 9 5 1 ; 5 2 4 " 8 4 2 : ! 8 8 I1 = I2 = I3 6 5 ) 5

M = I1Ω . (31.1)

7 + 9 8 4 5 1 5 6 : 8 7 9 5 3 5 4 5 9 8 * 2 4 8 8 , : 5 9 5 5 9 5 1 ;

7 5 # : 4 2 7 4 2 5 ; 5 5 2 4 8 6 7 M 4 5 8 7 5 4 6 : 9 2 4 $

4 " % 7 4 8 9 2 ; 5 : 5 9 5 % 7 ; 5 : 5 7 8 Ω

; 5 4 5 9 7 5 # : 4 2 4 8 8 6 7 8 5 2 4 8 6 7 5 7 $

5 1 4 5 8 5 6 : 2 2 2 4 8 7 9 5 3 5 4 5 5 9 8 * 2 4 8 7 8 2 : 8 1 2 $

7 ; 5 5 9 5 1 ; # 5 2 5 9 8 * 2 4 8 2 8 9 " 8 ( 2 4 5 7 5 * $

4 2 2 6 5 7 ; 5 ; 9 ) 5 7 1 2 9 2 ; 5 : 5 9 5 % 7 ; 5 : 5 7 8 Ω 9 5 $

5 3 . 2 5 9 5 : 4 2 7 5 # : 4 2 7 8 4 2 7 5 9 6 2 6 5 4 6 : 9 2 4 8 +

7 9 2 ; 5 : 5 6 5 7 5 4 4 5 5 5 2 4 8 6 7 M

( ) 5 5 5 3 $

. 2 5 9 2 : * 2 4 8 2 7 9 9 * 4 " # 8 7 ; + 1 2 4 8 5 ; * 2

1 5 9 2 ; 5 : " Ω 8M 5 ; ( " 9 + 7 6 : 2 4 " 2 7 8 5 9

7 ; 5 : 5 7 Ω 6 : 2 4 8 8 6 2 : 6 2 4 8 ; : 4 5 7 8 7 8 2 $

: 8 8 9 5 1 ;

7 5 9 7 ; 5 : 5 7 Ω 6 : 2 4 5 7 8 7 8 2 : 8 8

9 5 1 ; 7 7 5 : 8 a $ + 2 : 8 4 + 5 1 ; 9 5 1 ; 2 2 5 $

S

2 4 8 6 7 : 9 2 4

Ma = mara × va .

7 8 2 : 8 1 2 7 ; 5 5 9 5 1 ; ; * 5 % 2 : 8 4 5 % 5 1 ; 2 a

5 * 4 5 7 5 6 5 7 9 8 7 8 2 : 8 1 4 + 2 : 8 4 + 5 1 ; a

6 5 1 2 4 4 + 6 : 8 6 5 9 5 : 5 2 9 5 ; : 5 7 8 7 8 2 : 8 8 4 180 : 7 7 : 8 9 2 5 7 1 2 ) 8 # 9 # 7 8 2 : 8 1 4 " # 5 $

J %9 0%L B B # * ) # ) + * B B

1 2 ; 9 " 6 5 4 + 7 7 2 + . 8 2 7 5 5 4 5 , 2 4 8 & : 8 7 > ' 2

va = −va ⊥ Ω , (31.2a)

: ( 4 5 7 ra − ra

5 : 5 5 4 4 5 7 8 7 8 2 : 8 8 6 5 ) 5

(ra − ra) × va ‖ Ω . (31.3a)

7 6 5 ( ) 8 7 5 5 4 5 , 2 4 8 7 " 5 2 4 5 9 8 6 7

9 # 7 8 2 : 8 1 4 " # 2 : 8 4 " # 5 1 2 ; 6 5 1 2

Ma + Ma = ma (ra − ra) × va , (31.4a)

1 5 7 1 2 5 & a

' 8 5 ; ( " 9 2 5 ; 1 5 9 : 7 7 : 8 9 $

2 5 7 1 2 7 : 4 " % 5 2 4 8 6 7 9 5 1 ; M 6 : $

2 2 4 5 9 5 % 7 ; 5 : 5 7 8 2

M ‖ Ω, 2 7 8 Ω ‖ 5 7 8 7 8 2 : 8 8 . (31.5a)

7 2 6 2 : 5 9 7 ; 5 : 5 7 Ω 6 2 : 6 2 4 8 ; : 4 5 7 8

7 8 2 : 8 8 9 5 1 ; 1 8 " 9 ; ; 8 9 " , 2 a $ + 8 a $ + 7 8 2 $

J %9 2%L B B # * ) # ) + * - & & ? + ,

@ B B

: 8 1 4 " 2 5 1 ; 8 6 5 1 2 : 8 2 7 5 5 4 5 , 2 4 8 & : 8 7 ' 2

va = va ⊥ Ω , (31.2b)

7 ra + ra

4 6 : 9 2 4 6 5 5 7 8 7 8 2 : 8 8 6 5 ) 5

(ra + ra) × va ‖ Ω . (31.3b)

7 6 5 ( ) 8 7 5 5 4 5 , 2 4 8 7 " 5 2 4 5 9 8 6 7

9 # 7 8 2 : 8 1 4 " # 2 : 8 4 " # 5 1 2 ; 6 5 1 2 Ma + Ma = ma (ra + ra) × va , (31.4b)

1 5 7 1 2 5 & b

' 8 5 ; ( " 9 2 5 ; 1 5 9 : 7 7 : 8 9 $

2 5 7 1 2 7 : 4 " % 5 2 4 8 6 7 9 5 1 ; M 6 : $

2 2 4 5 9 5 % 7 ; 5 : 5 7 8 2

M ‖ Ω, 2 7 8 Ω ⊥ 5 7 8 7 8 2 : 8 8 . (31.5b)

( 5 * 8 5 9 + 7 ; 5 : 5 7 Ω 4 7 5 7 9 + . 8 2 Ω‖

8 Ω⊥

6 : 2 4 " 2 8 6 2 : 6 2 4 8 ; : 4 " 2 5 7 8 7 8 2 : 8 8 9 5 1 ;

2 2 5 * 2 7 5 2 8 5 2 4 8 6 7 9 5 1 ; M 5 $

8 ( 5 ; ( 4 4 " # 7 9 5 % 7 9 6 5 1 8 7 5 5 4 5 , 2 4 8

M‖ = I‖Ω‖ , M⊥ = I⊥Ω⊥ ,

I‖

8 I⊥ - 7 5 5 9 2 7 9 + . 8 2 5 2 4 " 8 4 2 : ! 8 8 9 2 ; 5 : 4 5 %

5 : 2 ) 8 : 9 4 2 4 8 5 * 4 5 6 : 2 7 9 8 9 9 8 2

Ω = Ω‖ + Ω⊥ =M‖I‖

+M⊥I⊥

.

7 8 9 9 2 7 8 2 8 4 8 1 4 " % 9 2 ; 5 : e‖ 9 5 5 7 8 7 8 2 : 8 8 9 5 1 $; 5 ) 5 : 5 * 4 5 6 : 2 7 9 8 9 9 8 2

Ω =

(

M‖I‖

− M‖I⊥

)

e‖ +M

I⊥. (31.6)

! 5 : 5 1 2 4 5 3 4 4 8 ( 9 8 * 2 4 8 9 5 1 ; (

4 2 2 7 2 2 1 5 : 8 9 2 ; 5 : M Ω 8 e‖ 9 7 2 2 * 9 5 4 5%

6 5 7 ; 5 7 8

: 8 7 9 5 3 5 4 5 9 8 * 2 4 8 8 6 5 4 " % 5 2 4 8 6 7 9 5 1 $

; M = I‖Ω‖ + I⊥Ω⊥

8 2 5 ; 8 4 2 8 1 2 7 ; ) 4 2 : 8 K 7 5 # : 4 $

+ 7 7 6 5 ( K 9 " : * 2 4 8 2 & < Q ' 2 K = MΩ/ 2

6 5 1 2

M2 = I2‖Ω

2‖ + I2

⊥Ω2⊥ = const ; (31.7)

2K = MΩ = I‖Ω2‖ + I⊥Ω2

⊥ = const . (31.8)

Ω @ @

x1

Ωпр

M

Ω

x3

!

J %9 8%P ) $ ? ? ) D B B # * ) #

5 5 4 5 , 2 4 8 & > ' 8 & ' 5 9 " 6 5 4 7 5 4 5 9 : 2 2 4 4 5

5 ; 5 2 7 8 5 8 9 2 ; 5 : 5 9 Ω‖

8 Ω⊥

7 5 # : 4 + 7 ! 5 5 ( 4 $

1 2 1 5 : 8 9 2 ; 5 : M Ω 8 e‖ 4 2 5 ; 5 9 7 2 2 * 9 5 $

4 5 % 6 5 7 ; 5 7 8 4 5 8 7 5 # : 4 + 9 ) 5 % 6 5 7 ; 5 7 8 4 2 8 ( 2 4 4 "

9 ( 8 4 5 2 : 7 6 5 5 * 2 4 8 2 8 7 9 5 8 8 4 " 7 + 7 2 2 1 5

9 : 7 7 : 8 9 2 5 % 8 4 2 : ! 8 4 5 % 7 8 7 2 2 ; 5 5 : 8 4 & 9 ; 5 5 $

: 5 % 5 2 4 8 6 7 4 2 6 5 9 8 * 2 4 ' 9 2 ; 5 : " Ω 8 e‖ 2 * 9

5 4 5 % 6 5 7 ; 5 7 8 8 9 : . + 7 6 5 ; 5 4 8 1 2 7 ; 8 6 5 9 2 : # 4 5 7

9 5 ; : 4 6 : 9 2 4 8 5 2 4 8 6 7 & : 8 7 Q ' 7 5 4 5 % 8

5 % * 2 5 9 5 % 7 ; 5 : 5 7 + ; 5 2 9 8 * 2 4 8 2 9 5 1 ; 4 ( " 9 2 $

7 P 4 H 5 P 8 : " P 4 4 @ 4 " 2 5 5 9 7 ; 5 : 5 7 - 7 ; 5 : 5 7

6 : 2 ! 2 7 7 8 8 Ω - 5 * 2 3 " 4 % 2 4 8 ( 7 2 + . 8 # 7 5 5 3 : $

* 2 4 8 % 5 : & N ' 6 : 2 7 9 2 7 5 3 5 % : ( 5 * 2 4 8 2 & 6 5 6 : 9 8

6 : 2 5 : ' 9 2 ; 5 : 5 9 5 % 7 ; 5 : 5 7 8 9 5 1 ; 6 5 9

4 6 : 9 2 4 8 2 9 5 9 : . + . 2 % 7 5 7 8 7 8 2 : 8 8 8 9 5

4 2 6 5 9 8 * 4 5 5 5 2 4 8 6 7 2 : 9 5 2 7 2 5 2 4 6 : 9 $

2 4 4 5 2 9 5 5 7 8 7 8 2 : 8 8 4 2 9 8 2 4 9 8 * 2 4 8 2 ) 5 % 5 7 8

5 ) 5 8 2 4 4 5 9 5 : 5 2 7 2 5 2M/I⊥

( 9 2 2 9 8 * 2 4 8 $

2 5 7 8 7 8 2 : 8 8 9 5 1 ; 2

Ω =M

I⊥. (31.9)

2 : 9 5 2 * 2 7 2 5 2 5 6 : 2 2 2 9 : . 2 4 8 2 9 5 1 ; 9 5 ; :

9 : . + . 2 % 7 5 7 8 7 8 2 : 8 8 4 ( " 9 2 5 2 : B 4 8 8 B P F G

4 8 @ 4 9 5 1 ; 2

Ω @ @ =

(

M‖I‖

− M‖I⊥

)

e‖ . (31.10)

m 5 3 7 6 : 2 7 9 2 7 5 3 5 % 5 4 5 : 5 4 + 7 2 :

: 8 7 R 8 7 7 " m 4 6 5 + 7 # ; 5 5 : 5 % 6 : 8 ; : 2 6 2 4 " $

J %3 /%K C ? # ; 1 %1

2 4 ; 8 2 ; ( 2 8 ; * " % 8 ( 4 8 # 8 2 2 7 7 m/3

& : 8 7 N = '

4 1 4 " % 5 2 4 5 3 7 6 : 8 9 2 8 9 5 9 : . 2 4 8 2 ; 1 5

2 5 5 9 7 ; 5 : 5 7 Ω : 7 6 5 5 * 2 4 9 6 5 7 ; 5 7 8 4 5 9 5 7 8 3 8 : $

7 ; 5 5 2 : 8 8 4 8 4 6 : 9 2 4 6 5 5 θ = 45o ; 8 4 8 8

2 9 2 : $ 6 8 7 7 9 5 3 5 4 5 2 9 8 * 2 4 8 2 5 3 7 9 1 7 4 5 7 8

4 % 8 9 ; ; 5 6 5 5 * 2 4 8 8 5 ; * 2 7 5 9 5 7 8 3 8 : 7 ; 9 5 2 4

; 5 7 2 9 2 : 4 " % 6 5 + 7 9 4 5 9 9 2 : 4 / 7 9 6 : 2 * 4 2 2 6 5 5 * 2 4 8 2

E F @ 9 F 8 ( 1 2 7 5 9 8 : 9 4 5 9 2 7 8 2 2 8 6 5 5 8 2 $

2 9 * 4 5 2 ( 4 1 2 4 8 2 6 : 8 4 8 ( 2 7 5 % 1 8 9 5 7 8 8 6 : 5 1 4 5 7 8

( 4 8 % , 8 4 8 2 # 4 8 ( 5 9 8 ; 6 5 ( 9 5 2 5 9 2 8 8

4 4 2 ; 5 5 : " 2 9 5 6 : 5 7 " ; 7 + . 8 2 7 9 8 * 2 4 8 2 2 4 # 5 8

4 2 5 3 # 5 8 " 2 7 5 9 8 9 8 * 2 4 8 : ( 5 9 6 5 2 % 7 9 8 2 : " 1 $

6 : 8 8 7 6 5 ( 5 9 4 8 8 8 : 9 8 1 2 7 ; 8 # 8 9 8 4 5 9 " # 5 ; : $

5 9 8 7 4 5 9 4 " 2 : 9 4 2 4 8 7 8 ; 8 5 * 4 5 6 5 1 8 8 (

5 3 . 8 # : 9 4 2 4 8 % 9 8 * 2 4 8 9 2 : 5 5 2 & = ' & = < ' 2

dP

dt= F ,

dM

dt= K ,

6 : 8 1 2 2 5 5 1 5 9 7 8 1 2 7 ; 5 7 1 2 6 5 4 " % 8 6 7

2 P 8 6 5 4 " % 5 2 4 8 6 7 M : 9 4 " 4 + ! 5 6 : 8 $

9 5 8 ; : 9 4 2 4 8 7 8 ; 8 2

F = 0 , K = 0 , (32.1)

2 ! ! " !

!

7 7 5 : 8 6 : 8 2 4 2 4 8 2 ) 8 # 7 5 9 8 % 4 6 : 5 7 5 6 : 8 2 $

: 2 : " 1 : # 8 2 & : 8 7 N ' 2 9 2 7 5 " % 5 : 8 ( 5 4 4 " %

7 2 : * 2 4 AB 8 2 2 5 6 5 : 9 5 1 ; 2 O 6 : 9 5 ; 5 4 ! 2 7 2 : * $

4 4 # 5 8 7 : ( 7 7 " m 4 2 9 5 ; 5 4 ! 2 6 : 8 5 * 2 4 7 8

F 4 6 : 9 2 4 4 6 5 5 α ; 7 2 : * 4 + 8 : 7 6 5 5 * 2 4 4 9

J %3 1%J E # * O B ?

9 2 : 8 ; 4 5 % 6 5 7 ; 5 7 8 7 5 9 8 : 9 4 5 9 2 7 8 : 2 3 2 1 5 3 "

6 5 4 7 6 : 8 5 * 2 4 4 " # 7 8 : 9 4 7 4 + 2

F + mg + FO = 0 ,

2 FO

- 7 8 2 % 7 9 + . 4 : " 1 7 5 7 5 : 5 4 " 5 6 5 : "

7 xy - 9 2 : 8 ; 4 6 5 7 ; 5 7 9 ; 5 5 : 5 % : 7 6 5 5 * 2 $

4 " 2 % 7 9 + . 8 2 7 8 " 4 1 5 7 8 7 2 " ; 5 5 : 8 4 6 5 2 7 8

9 5 1 ; 5 6 5 : " O : 7 7 5 4 8 2 AO = a 8 : 7 7 5 4 8 2 OB = b ) 5 7 1 2 5 2 4 7 8 " FO

5 ; * 2 7 : 9 4 " 4 +

5 7 9 , 8 # 7 7 8 5 ; 5 z $ ; 5 6 5 4 2 4 " 5 2 4 5 9 7 8 5 8 1 4 "

5 4 6 : 8 1 / z $ ; 5 6 5 4 2 4 5 2 4 7 8 " F 6 5 5 * 8 2 4

8 : 9 4 aF sin α

& 5 4 7 5 5 9 2 7 9 2 9 : . 2 4 8 + : " 1 6 : 5 8 9

1 7 5 9 5 % 7 : 2 ; 2 ' z $ ; 5 6 5 4 2 4 5 2 4 7 8 " * 2 7 8 5 $

: 8 ! 2 4 8 : 9 4 (−bmg)

& 5 4 7 5 5 9 2 7 9 2 9 : . 2 4 8 + : " $

1 6 5 1 7 5 9 5 % 7 : 2 ; 2 ' 5 ) 5 7 5 9 8 2 : 9 4 5 9 2 7 8 8 2 2

9 8

Kz = aF sin α − bmg = 0

8 8

F =b

a sin αmg . (32.2)

7 8 6 : 9 5 2 6 2 1 5 : " 1 b 4 5 5 2 4 , 2 2 9 5 5 6 2 1

?

a sin α 5 ( 4 1 8 2 4 " % : ( 5 * 4 5 2 : * 8 9 & 8 6 5 4 8 $

R ' 7 6 5 5 . + 5 4 5 7 8 2 4 5 4 2 3 5 , 5 % 7 8 " F

1 2 4 1 7 5 8 7 7 2 5 9 4 8 2 7 5 % 1 8 9 5 7 8 2 5 * 4 5 6 : 5 9 2 $

7 8 4 8 ( 8 : 8 ( 2 4 2 4 8 2 6 5 2 4 ! 8 4 5 % ) 4 2 : 8 8 2 6 : 8

" # 5 ; 5 4 2 4 8 # 5 6 5 5 * 2 4 8 : 9 4 5 9 2 7 8 : " 7 @ B :

P F B 8 : B 4 @ 2 7 5 5 9 2 7 9 2 8 4 8 6 5 2 4 ! 8 4 5 % ) 4 2 : $

8 8 6 5 7 ; 5 ; 9 ) 5 7 1 2 6 : 8 5 ; 5 4 2 4 8 8 5 ; 5 5 6 5 $

5 * 2 4 8 9 5 ( 4 8 ; + 7 8 " 9 5 ( 9 : . + . 8 2 2 5 9 6 5 5 * 2 4 8 2

: 9 4 5 9 2 7 8 & 7 ; 5 % 4 8 ( 4 6 : 8 2 : 2 8 4 2 % 4 5 5 5 7 ! 8 $

J %3 .%K C + & D @ ) )

5 : 9 < ' : 8 7 N < 6 5 5 * 2 4 8 7 5 % 1 8 9 5 5 : 9 4 5 9 2 7 8

7 5 5 9 2 7 9 + 5 1 ; 8 x1

8 x3

- 5 1 ; 8 5 ; 4 5 5 8 4 8

6 5 2 4 ! 8 4 5 % ) 4 2 : 8 8 5 1 ; 8 x2

8 x5

7 5 5 9 2 7 9 + 5 ; $

4 " ; 7 8 9 ) 8 # 5 1 ; # + 3 5 2 5 ; 5 4 2 4 8 2 5 6 5 5 $

* 2 4 8 : 9 4 5 9 2 7 8 3 2 9 " ( " 9 7 8 9 2 8 1 8 9 + . + ) 5

5 ; 5 4 2 4 8 2 1 5 5 9 2 1 2 8 4 : " 7 @ B : P F B 8 : B 4 @ 5 1 $

; 6 2 : 2 8 3 6 5 2 4 ! 8 4 5 % ) 4 2 : 8 8 x4

; * 2 4 * 4 5 7 1 8

4 2 7 5 % 1 8 9 5 % 8 4 ; 5 4 2 ! 7 2 . 2 4 8 9 5 3 7 8 x > x6

4 2 9 " $

( " 9 + 8 ( 2 4 2 4 8 % 6 5 2 4 ! 8 4 5 % ) 4 2 : 8 8 - ) 5 5 3 7 4 J G

P F J 5 @ 7 8 : H : P F B 8 : B 4 @ 4

2 : 2 ; 5 & 4 5 4 2 9 7 2 R ' 7 7 8 8 7 5 2 4 5 9 7 8

x

2 % 7 9 + . 8 # 4 9 / : 5 2 2 5 5 * 4 5 ( 2 4 8 5 4 5 % 7 8 5 %

6 : 8 5 * 2 4 4 5 % 9 5 6 : 2 2 / 4 4 5 % 5 1 ; 2 ; + 7 8 4 ( " 9 +

P F B 8 : I 4 " B 4 " 7 7 5 : 8 ; 6 : 8 2 : 9 / : 5 2 2 5 9

6 5 2 * 2 7 8 ) 5 7 1 2 7 : 4 7 8 * 2 7 8 8 7 $

: 4 " % 5 2 4 7 8 * 2 7 8 : 9 4 "

F =∑

a

mag , K =∑

a

ra × (mag) .

9 2 5 3 5 ( 4 1 2 4 8 7 7 " 9 7 2 5 9 / : 5 5 2 m 8 : 8 7 $

9 2 ; 5 : r

2 5 ! 2 4 : 7 7 & < <' 5 * 2 6 : 2 7 9 8 ) 8 7 5 $

5 4 5 , 2 4 8 9 9 8 2

F = mg , K = r × F ,

8 ( ; 5 5 : 5 5 7 2 2 1 5 9 ) 5 7 1 2 : 9 4 5 2 % 7 9 + .

7 8 : 9 4 9 2 7 2 5 1 ; 5 % 2 / 6 : 8 5 * 2 4 8 9 2 7 ! 2 4 :

7 7 & 8 2 4 4 5 6 5 ) 5 ! 2 4 : 7 7 4 2 : 2 ; 5 4 ( " 9 + 4 8 P :

4 @ '

7 7 5 : 8 ; 5 % 6 : 8 2 : 4 5 : 5 4 5 : 8 ( 5 4 4

3 ; AB 7 7 " m 5 6 8 : 2 7 7 9 5 8 8 ; 5 4 ! 8 4 9 2 5 6 5 : "

& : 8 7 N ' : ( 9 2 7 5 P 9 8 7 8 9 5 1 ; 2 O

3 ; 8 % 8 F1,2

-

J %3 ;% * + C B &

7 8 " 9 2 4 8 4 5 6 5 : " 3 ; 2 % 7 9 + 7 8 " : 2 ; ! 8 8

5 6 5 : " N1,2 = −F1,2 : 2 ( 8 : + . 7 8 * 2 7 8 3 ; 8

mg 6 : 8 5 * 2 4 4 5 % 9 ! 2 4 : 23 ; 8 C 8 9 2 7 : ( 5 7 ; 5 ;

6 : 8 : 9 4 5 9 2 7 8 8 7 7 8 9 2 4 8 5 * 4 3 " : 9 4 9 2 7

3 ; 8 8 : ( 7 : 4 " % 5 2 4 7 8 : 2 ; ! 8 8 5 6 5 : " 8 7 8 $

" * 2 7 8 3 ; 8 5 4 5 7 8 2 4 5 5 1 ; 8 6 5 9 2 7 : ( 5 * 2 4

3 " : 9 2 4 4 + 5 " 8 2 2 9 : 9 4 2 4 8 2

F1 + F2 = mg + P , F2 · OB − F1 · AO − mg · OC = 0 ,

; 5 5 : " 2 8 : 2 , + ( 1

2 : 2 ; 5 6 : 8 4 8 ( 2 2 % 7 9 8 7 5 * 4 " # 6 5 2 4 " # 2 # $

4 8 ( 5 9 3 " 9 2 6 : 5 . 2 4 2 : 7 7 : 8 9 3 4 7 7 8 8 5 2 4 $

5 9 7 8 9 5 7 6 5 ( 5 9 7 ( ; 5 4 5 7 5 # : 4 2 4 8 ) 4 2 : 8 8 8 6 : 8 $

: 9 4 : 3 5 7 8 6 : 8 6 5 2 2 8 ( 2 4 2 4 8 + 6 5 2 4 ! 8 4 5 %

) 4 2 : 8 8 6 5 4 8 2 5 5 2 7 7 1 8 2 4 6 : 8 2 : ; ; + 7 8 $

F 4 2 5 3 # 5 8 5 6 : 8 5 * 8 ; : ; 5 ; 2 9 8 4 5 9 5 5 5 ; :

1 5 3 " 4 1 6 5 4 8 : ( 7 7 5 % m

7 , 9 8 4

5 ; : : 9 2 4 h 8 4 : ; 5 ; 8 : 9 4 L 5 6 : 8 5 4 5

5 3 5 : 5 2 : ; 5 ; 8 " 7 5 9 2 : , 2 : 3 5 A = F2πL ; 5 5 :

6 5 % / 5 ; 5 4 9 2 8 1 2 4 8 2 6 5 2 4 ! 8 4 5 % ) 4 2 : 8 8 : (

∆U = mgh 2 7 8 5 * 4 5 6 : 2 4 23 : 2 1 : 2 4 8 2 ( : 9 2 4 7 9

A = ∆U 6 5 1 2 8 7 ; 5 + 7 8 2

F =h

2πLmg .

7 8 5 3 2 7 6 2 1 8 5 7 5 4 5 , 2 4 8 h/L 5 7 8 8 % 7 : 2 4 2 5

1 2 5 9 2 ; 9 6 5 4 2 # 9 8 6 5 / 10 $ 5 4 4 5 5 : ( 5 9 8 ;

m

; 5 % 7 2 4 " 6 5 5 α ; 6 5 6 : 8 7 9 8 8

2 7 4 8 ! : 8 ; ; 5 ; 5 ) 8 ! 8 2 4 2 : 2 4 8 2 7 4 8 ! " 7 6 5 5

µ 5 4 3 2 7 5

S

: 2 7 9 8 7 2 3 2 1 5 2 * M 5 7 ; 9 5 % 8 2 2 : 3 : 5

6 : 5 : " 8 6 : 5 8 4 2 % 4 " % 5 4 4 2 1 8 2 + 5 4 5 : 5 $

4 " , : 5 4 % 8 5 1 ; : 9 4 5 9 2 7 4 5 5 6 5 5 * 2 4 8 ; 5 5

, : 8 ; 6 5 2 . / 4 4 5 5 9 ) 5 5 4 4 2

" # $ C ?

O ( c K O c F J c F ( F P c M ( F P c

1 2 3 4 5 2 6 5 7 5 3 8 2

5 : 2 4 8 2 : 8 7 4 ; 5 9 8 ; 5 2 9

2 ; 5 : E<<D 8 I P 4 4 B F

5 6 8 7 4 5 9 6 2 1 < = = >

5 : N = N 7 2 4 6 2 1

1 $ 8 ( 7 $ 6 2 1 8 : * ) ; (

; (

2 ; ! 8 5 4 4 5 8 ( 2 7 ; 8 % ! 2 4 :

N = = Q = 5 9 5 7 8 3 8 : 7 ; Q = 8 : 5 5 9 <

Documents

E 0 r b 0 1 r Ntelnov/mech/uchebniki/MTO-Kocheev-Serbo.pdf · 2010. 8. 2. · E & + % 1 / 3 b 1 8 % w A B J = ? C E 9] n f X Z [g ` p b. / % F? B ) D & = I $ @ % 1. 9 b. 1 % M @ E