展開を用いたユニタリー・フェルミ気体の研究

西田 祐介 (INT, ワシントン大学 )

1. 実験的背景 ： ユニタリー・フェルミ気体2. 理論： 展開の定式化 ( = 4-d, d-2)

3. LO + NLO での結果4. まとめと結論

“ expansion for a Fermi gas at infinite scattering length” Y. N. & D. T. Son, Phys. Rev. Lett. 97, 050403 (2006)

Phys. Rev. A 75, 063617 (2007) Y. N., Phys. Rev. A 75, 063618 (2007)

2/15フェルミ粒子からなる様々な系引力相互作用 超伝導・超流動

金属超伝導 ( 電子 )Kamerlingh Onnes (1911), Tc = ~9.2 K

液体ヘリウム 3Lee, Osheroff, Richardson (1972), Tc = 1~2.6 mK

高温超伝導 ( 電子 or ホール )Bednorz and Müller (1986), Tc = ~160 K

冷却原子気体 (40K, 6Li)Regal, Greiner, Jin (2003), Tc ~ 50 nK

• 核物質 ( 中性子 ): ?, Tc ~ 1 MeV

• カラー超伝導 ( クォーク ): ??, Tc ~ 100 MeV

BCS theory

(1957)

3/15フェッシュバッハ共鳴

原子間の引力の強さを外磁場によって任意に制御できる

C.A.Regal and D.S.Jin, Phys.Rev.Lett. (2003)

S 波散乱長 “ a” : [0, ]

a<0 束縛状態なし

40K

a (rBohr)

引力大 a+0 引力小 a-0

a>0

束縛分子を形成

フェッシュバッハ共鳴

ゼロ束縛エネルギー|a|

B (Gauss)

原子気体 　実験環境を自由にデザイン　（統計性、分極、格子、・・・）

4/15BCS-BEC クロスオーバー

原子気体の BCS 状態弱い引力 : akF-0

束縛分子の BEC 状態弱い斥力 : akF+0

Eagles (1969), Leggett (1980)Nozières and Schmitt-Rink (1985)

ユニタリー・フェルミ気体• 強結合極限 : |a kF|• 原子気体 @ フェッシュバッハ共鳴

超流動相

強結合領域

0

?

強結合系のプロトタイプ　（高温超伝導、クォーク物質、・・・）原子気体 強相関量子多体系を議論する理想的な環境

5/15ユニタリー・フェルミ気体 George Bertsch (1999), “Many-Body X Challenge”

原子気体 @ フェッシュバッハ共鳴 : r0 << kF-1 << |a|

散乱長が無限大 (a ) の コンタクト相互作用

(r0 0) をする スピン 1/2 のフェルミ粒子 強結合極限 a kF= : 摂動展開は破綻 展開パラメータがないため 解析計算は難しい

• これまでのアプローチ…1. 平均場近似（ + 揺らぎ）2. モンテ・カルロ数値シュミレーション …

• 空間次元による系統的な展開 展開

6/15展開によるアプローチ ( = 4-d, d-2)

BECBCS 　強結合の

ユニタリー領域

d=4

d=2

g

g

• d4 : 弱く相互作用する　フェルミ & ボーズ粒子の系 　有効結合定数 : g~(4-d)1/2

• d2 : 弱く相互作用する　フェルミ粒子の系　有効結合定数 : g~(d-2)

様々な物理量について、“ 4-d” あるいは “ d-2” を展開パラメータとする系統的な“摂動”展開が可能

7/15

一般の空間次元 d での T 行列

場の理論を用いた定式化

iT =

(p0,p) 1 n

“a”

散乱振幅は d=2,4,… にゼロ点を持つゼロ相互作用極限に対応

コンタクト相互作用するスピン 1/2 のフェルミ粒子 :真空中での 2 体散乱 ( ゼロ密度 =0)

8/15

d=4- (<<1) のときの T 行列

d=4, d=2 近傍での振る舞い

iT = ig igiD(p0,p)

フェルミ & ボーズ粒子間は弱い結合g = (82

)1/2/m

d=2+ (<<1) のときの T 行列

iT =ig

フェルミ粒子間は弱い結合

g = 2 /m

9/15計算例１ ： 有効ポテンシャル（ NLO ）

O(1) O()

+ +Veff (0,) =

• d=4 近傍での有効ポテンシャルとギャップ方程式

+ O(2)

O(1) O()

+Veff (0,) =

• d=2 近傍での有効ポテンシャルとギャップ方程式

+ O(2)

10/15ゼゼゼゼゼゼゼゼゼゼゼ

• d=4, d=2 近傍での普遍パラメータ

ゼゼゼゼゼゼ (=4-d, d-2) を用いた系統的な展開 !

• ユニタリー・フェルミ気体の状態方程式

１粒子当たりのエネルギー :

11/15計算例２ ： 超流動中の準粒子

- i (p) =

• フェルミ準粒子の分散関係 : (p)

エネルギー・ギャップ :

対応する運動量 :

NLO 自己エネルギー

0

=4-d による展開

=d-2 による展開

or

O() O()

12/15d=4- ゼゼゼゼゼゼゼゼゼゼゼ• LO + NLO の結果を =1 に外挿

J.Carlson and S.Reddy,

Phys.Rev.Lett.95, (2005)

モンテ・カルロ数値シュミレーションの結果とよく一致

NLO 項は LO 項と比べて小さい

5 ~ 35 %

NLO 項は LO 項の 100 %cf. d=2+ ゼゼ d=3 へ外挿

13/154-d 展開と d-2 展開のマッチング• ボレル変換 + パデ近似子

• d=3 に内挿した結果

“d-2” による展開結果

d

♦=0.42

4d

2d

“4-d” による展開

14/15超流動相転移の臨界温度• 4-d, d-2 展開による臨界温度

NLO の補正項は

小さい ~4 %

• d=3 に内挿した結果

数値シュミレーション

d

Tc / F

4d

2d

• Bulgac et al. (’05): Tc/F = 0.23(2)

• Lee and Schäfer (’05): Tc/F < 0.14

• Burovski et al. (’06): Tc/F = 0.152(7)

• Akkineni et al. (’06): Tc/F 0.25

15/15

1. ユニタリー・フェルミ気体の問題は =4-d, d-2 を使って“摂動論”的に解ける！• d=4 近傍では、弱く相互作用するフェルミ & ボーズ粒子の系• d=2 近傍では、弱く相互作用するフェルミ粒子の系

2. 様々な物理量 (, , 0, Tc ,…) を LO+NLO で計算• 4-d 展開の NLO 項は LO 項に比べて十分小さい• d=3 に外挿した結果は、 MC シミュレーションとよく一致

3. 今後の課題• 高次補正項の計算 + 展開の解析的性質の理解

信頼できる定量的な方法へ

まとめと結論

弱く相互作用するフェルミ & ボース粒子の系というユニタリー・フェルミ気体の描象は現実の d=3 でもよい出発点かもしれない

16/15

Back up slides

17/15d=4 と d=2 の特殊性2 体の（ s 波）相対波動関

数

Z.Nussinov and S.Nussinov, cond-mat/0410597

2 体の相対波動関数は原点に集中

ユニタリー・フェルミ気体は d4 で自由なボーズ気体に帰着

ユニタリー極限 ( a ) での規格化積分は d4 のとき原点 (r0) で発散

d2 では、どんな引力ポテンシャルも束縛状態を持つ

“a” はゼロ相互作用に対応

d2 で自由なフェルミ気体に帰着

18/15 展開の結果（ NLO ）と比較• 基底状態のエネルギー MC 　　　 平均

場数値計算　　近似

~0.42 　　　 0.591

• フェルミ準粒子の励起エネルギー・ギャップ

~1.2 　　　 1.16

• 凝縮の割合 ~0.58 　　　 0.699

• 臨界温度 ~ 0.25 　　　0.500

数値計算と定量的に近い ・ 平均場近似より改善

1.31

0.249

0.661

0.475

19/15NNLO correction for • NNLO correction for

Arnold, Drut, Son, Phys.Rev.A (2006)

Fit two expansions using Padé approximants

d

Interpolations to 3d

• NNLO 4d + NNLO 2d

cf. NLO 4d + NLO 2d

Nishida, Ph.D. thesis (2007)

20/15Unitary Fermi gas George Bertsch (1999), “Many-Body X Challenge”

r0

V0(a)

kF-1

kF is the only scale !

Atomic gas : r0 =10Å << kF-1=100Å << |a|=1000Å

Energy per particle

0 r0 << kF-1 << a

cf. dilute neutron matter |aNN|~18.5 fm >> r0 ~1.4 fm

is independent of systems

What are the ground state properties ofthe many-body system composed of

spin-1/2 fermions interacting via a zero-range,

infinite scattering length contact interaction?

21/15

• Mean field approx., Engelbrecht et al. (1996): <0.59• Linked cluster expansion, Baker (1999): =0.3~0.6• Galitskii approx., Heiselberg (2001): =0.33• LOCV approx., Heiselberg (2004): =0.46• Large d limit, Steel (’00)Schäfer et al. (’05): =0.440.5

Universal parameter

Models

Simulations

Experiments Duke(’03): 0.74(7), ENS(’03): 0.7(1), JILA(’03): 0.5(1),

Innsbruck(’04): 0.32(1), Duke(’05): 0.51(4), Rice(’06): 0.46(5).

No systematic & analytic treatment of unitary Fermi gas

• Carlson et al., Phys.Rev.Lett. (2003): =0.44(1)• Astrakharchik et al., Phys.Rev.Lett. (2004): =0.42(1)• Carlson and Reddy, Phys.Rev.Lett. (2005): =0.42(1)

• Strong coupling limit Perturbation a kF=

• Difficulty for theory No expansion parameter

22/15

Boson’s kinetic term is added,

and subtracted here.

=0 in dimensional regularization

Expand with

Ground state at finite density is superfluid :

Lagrangian for expansion

• Hubbard-Stratonovish trans. & Nambu-Gor’kov field :

• Rewrite Lagrangian as a sum : L = L0+ L1+ L2

23/15Feynman rules 1

• L0 :

Free fermion quasiparticle and boson

• L1 :

Small coupling “g” between and

(g ~ 1/2)

Chemical potential insertions ( ~ )

24/15

+ = O()

Feynman rules 2

• L2 :

“Counter vertices” to cancel 1/ singularitiesin boson self-energies

p p

p+k

k+ = O()

p p

p+k

k

1.

2.

O()

O()

25/15

1. Assume justified later

and consider to be O(1)

2. Draw Feynman diagrams using only L0 and L1

3. If there are subdiagrams of type

add vertices from L2 :

4. Its powers of will be Ng/2 + N

5. The only exception is = O(1) O()

Power counting rule of

or

or

Number of insertions

Number of couplings “g ~ 1/2”

26/15Expansion over = d-2

1. Assume justified later

and consider to be O(1)

2. Draw Feynman diagrams using only L0 and L1

3. If there are subdiagrams of type

add vertices from L2 :

4. Its powers of will be Ng/2

Lagrangian

Power counting rule of

27/15

(i) Low : T ~ << T ~ /

(ii) Intermediate : < T < /

(iii) High : T ~ / >> ~ T

• Fermion excitations are suppressed

• Phonon excitations are dominant

Hierarchy in temperature

T

(T)

0Tc ~ /

(i) (ii) (iii)

At T=0, (T=0) ~ / >> 2 energy scales

• Condensate vanishes at Tc ~ /• Fermions and bosons are excited

Similar power counting• /T ~ O()• Consider T to be O(1)

~

28/15Large order behavior

• d=2 and 4 are critical pointsfree gas r0≠02 3 4

• Borel transform with conformal mapping=1.23550.0

050

• Boundary condition (exact value at d=2)=1.23800.0

050

O(1) 2 3 4 5 Lattice

1 1.167 1.244 1.195 1.338 0.892 1.239(3)

• Critical exponents of O(n=1) 4 theory (=4-d 1)

expansion is asymptotic series but works well !

29/15

• Borel summation with conformal mapping=1.23550.0050 & =0.03600.0050

• Boundary condition (exact value at d=2)=1.23800.0050 & =0.03650.0050

expansion in critical phenomena

O(1) 2 3 4 5 Lattice Exper.

1 1.167 1.244 1.195 1.338 0.892 1.239(3)

1.240(7) 1.22(3) 1.24(2)

0 0 0.0185 0.0372 0.0289 0.0545 0.027(5) 0.016(7) 0.04(2)

Critical exponents of O(n=1) 4 theory (=4-d 1)

expansion isasymptotic seriesbut works well !

How about our case???

30/15Critical temperature

Veff = + + + insertions

• Gap equation at finite T

• Critical temperature from d=4 and 2NLO correctionis small ~4 %

Simulations : • Lee and Schäfer (’05): Tc/F < 0.14• Burovski et al. (’06): Tc/F = 0.152(7)• Akkineni et al. (’06): Tc/F 0.25

• Bulgac et al. (’05): Tc/F = 0.23(2)

31/15

d

Tc / F

4d

2d

Matching of two expansions (Tc)

• Borel + Padé approx.

• Interpolated results to 3d

Tc / F P / FN E / FN / F S / N

NLO 1 0.249 0.135 0. 212 0.180 0.698

2d + 4d 0.183 0.172 0.270 0.294 0.642

Bulgac et al. 0.23(2) 0.27 0.41 0.45 0.99

Burovski et al. 0.152(7) 0.207 0.31(1) 0.493(14) 0.16(2)

32/15Comparison with ideal BEC

• Unitarity limit

1 of 9 pairs is dissociated all pairs form molecules

• Ratio to critical temperature in the BEC limit

• BEC limit

Boson and fermion contributions to fermion density at d=4

33/15

unitarity

BCS BEC

Gapped superfluid

1-plane waveFFLO : O(6)

Polarized normal state

Polarized Fermi gas around d=4• Rich phase structure near unitarity point in the plane of and : binding energy

Stable gapless phases (with/without spatially varying condensate) exist on the BEC side of unitarity point

Gapless superfluid