우주동역학 기초

FUNDAMENTALS OF ASTRODYNAMICS

충북대학교 천문우주학과

김천휘 교수 강의 노트

- 1 -

제 장 이체 궤도 역학1

갈릴레오가 서거한 년 크리스마스 날에 한 사내아이가 의1642 Woolsthorpe-by-Colsterworth

에서 탄생하였다 그 아이는 그녀의 어머니가 후에 그에게 말한 것에 의하면 한Manor House . , ,

쿼트 잔 에 들어갈 정도로 아주 작고 그의 머리를 지탱하기 위하여 목 주위에(a quart mug) ,

지지대 를 바칠 정도로 허약했다 이 불운한 아이 는(bolster) . (unfortunate creature) ‘Issac

으로 본당 교구 기록에 등재되었다 그 현인들이 그 때를sonne of Issac and Hanna Newton' .

영광으로 여겼다는 기록은 없지만 이 아이는 세계의 사고와 습관을 바꾸는 운명을 타고 났

다.(There is no record that the wise men honored the occasion, yet this child was to

alter the thought and habit of the world.)

-James R. Newman1

목 차

역사적 배경과 기본 법칙1.1

체 문제1.2 N

이체 문제1.3

운동 상수1.4 (constant of motion)

궤도 방정식1.5

에너지 와 각운동량 의 기하학적 의미1.6 (E) (h)

타원궤도1.7

원궤도1.8

포물선 궤도1.9

쌍곡선 궤도1.10

기본 단위 표준단위1.11 ( )

- 2 -

역사적 배경과 기본 법칙1.1

티코 브라헤 요한 케플러 아이작 뉴톤(Tycho Brahe), (Johann Kepler), (Isaac Newton)

년 크리스마스날이 이성의 시대를 여는 날로 기억될 수 있었던 것은 티코 브라헤1642 (Tycho

와 요한 케플러 그 두 사람이 년 후에 뉴톤의 위대한 발견을 위한 기반Brahe) (Johann Kepler), 50

을 다져 놓았기 때문이다 요한 케플러 는 티코 브라헤 가 죽기 단지. (Johann Kepler) (Tycho Brahe)

개월 전에 만났다18 .

고상하고 귀족적인 덴마크 사람인 티코는 기계를 다루는데 뛰어난 솜씨가 있었고 행성의 위치를,

꼼꼼하고 세심하게 수집하고 정확하게 기록하였다 그는 이론적인 사색이나 수리적 능력에 대한 재.

능은 전무한 사람이었다.

가난하고 병약한 수학자인 케플러는 천성적으로 정확한 관측과는 거리가 멀었지만 티코의 자료에, ,

숨겨져 있던 비밀들을 푸는데 필요한 인내와 천부적인 수학적 이해력을 타고났다.

케플러의 법칙1.1.1

아리스토텔레스

원운동이야말로 유일하게 완전하고 자연적인 운동- .

행성들은 원 궤도로 또는 큰 원 위에서 도는 더 작은 원들의 조합 하에서 공전- .

케플러

티코의 정확한 관측자료를 분석한 결과 그는 그러한 이론과 관측을 일치시키는데 큰 어려움- .

년부터 년까지 그는 여러 가지 기하학적 곡선들을 티코의 화성 관측 자료에 맞추려고- 1601 1606

하였다 단지 분 각의 불일치 덜 정직한 사람이라면 단순히 관측 오차라고 무시했었을 정도의 수. 8 (

치 와의 싸움에서 가능한 한 해가 타원임을 드디어 발견) .

년 행성운동의 첫 번째와 두 번째 법칙 발표- 1609 : .

년 행성운동의 세 번째 법칙 발표- 1619 : .

표 케플러의 법칙1. .

제 법칙 각 행성의 궤도는 태양을 한 촛점으로 하는 타원이다1 - .

제 법칙 행성과 태양을 있는 선은 동일시간에 동일 면적을 휩쓴다2 - .

제 법칙 행성 공전주기의 제곱은 행성과 태양까지의 평균 거리의 세제곱에 비례한다3 - .

뉴톤

갈릴레오가 서거한 년 크리스마스 날 탄생- 1642

년 세의 영국 캠브리지 대학 학생 그해 페스트 발생 대학이 년 동안 휴교- 1665 23 , , 2 .

그 년 동안 중력 법칙 운동 법칙 미분 대수학의 개념 개발- 2 , ,

년 후 발표 라이브니치와의 논쟁- 20 :

핼리 뉴톤이 그의 발견을 책으로 발간토록 요청- : .

년 발간- 1687 “The Mathematical Principles of Natural Philosophy" (Principia) .

- 3 -

뉴톤의 운동 법칙1.1.2

표 뉴톤의 법칙2. .

제 법칙 정지해 있거나 일정하게 직선운동을 하는 모든 물체는 그 상태가 변하도록1 - ,

힘이 가해지지 않는다면 그 상태를 계속 유지한다, .

제 법칙 운동량의 변화율은 가해진 힘에 비례하고 그 힘과 같은 방향에 있다2 - , .

제 법칙 모든 작용에는 반대 방향으로 똑 같은 크기의 반작용이 항상 있다3 - .

제 법칙 운동방정식o 2 ( )

∑F = m r̈ (1.1-1)

여기서,

∑ F 질량 에 가해진 모든 힘의 벡터 합: m ,

r ̈ 관성계에서 측정된 가속도 벡터:

상수m :

뉴톤의 만유인력 보편중력 의 법칙1.1.3 ( )

• F g = -G M mr 2

rr

= -G M mr 3

r

(1.1-2)

여기서,

F g 질량 이 질량 에 미치는 힘: M m

r 에서 까지의 거리 벡터: M m

만유인력 상수G : (6.670×10-8 dyne cm2/g2)

Z

XY

m

O∑ F

r

X

Y

Z

M

mr

Fg

- 4 -

체 문제1.2 N

체계n ( m 1, m 2, m 3, ... ,m i, . .. ,m n 에서) m i의

운동을 공부해 보자.

운동방정식을 세워야 한다. (→ ∑ F i= m i a i )

→ m i에 작용하는 중력과 다른 외력들의 벡터 합을

결정 다른 물체에 의한 중력 지구 비구형 중력( , ,

추력 대기저항력(thrust), (air drag force),

태양복사압....)

뉴톤의 중력법칙을 이용하여,• m n에 의한 m i에 미치는 힘 F gn 은

F gn = -G m n m i

r n i3 r n i (1.2-1)

여기서, r n i = r i - r n (1.2-2)

m• i 에 미치는 모든 중력의 합 : F g

F g = -G m 1 m i

r 1i3 r 1 i-

G m 2 m i

r 2i3 r 2 i-⋅⋅⋅⋅ - G m n m i

r ni3 r ni (1.2-3)

그런데 식에서, (1.2.3) F ii (m i가 m i 자신에 미치는 힘 는)

∵ -G m i m i

r ii3 r ii = 0 (1.2-4)

이므로 포함하지 않음, .

합의 규약 에 의하여 식은(summation notation) , (1.2-3)

F g = - G m i ∑n

j = 1 , j≠ i

G m j

r ji3 r ji (1.2-5)

다른 외력:• F other 저항력 추력 복사압 비구형 섭동력 기타( , , , , )

전체의 힘•F tota l = F g + F other (1.2-6)

Fg3Fgn

Y

mi

mn

m1

m2

m3

rir1

r2

r3rn

X

Z Fother

Fg1

Fg2

- 5 -

뉴톤의 제 법칙2•

ddt(m i v i) = F total (1.2-7)

m i

d v idt

+ v id m i

dt= F total (1.2-8)

여기서 추력이 있거나 상대론적인 효과를 고려하면* ,d m i

dt≠0 시간에 따른 질량의 변화가 있기(∵

때문 따라서), F = m a 는 우주동역학에서 항상 맞는 것은 아니다.

(1.2-8) ÷ m i 하면

∴ r ̈ i = F to ta lm i

- r ̇ i m ̇ im i(1.2-9)

* F other = F drag + F thrust + F solar pressure+ F perturb + etc

가정 ①• m i = constant ( m ̇ i = 0)② F other= 0

③ F g ≠ 0

이 가정을 이용하고, (1.2-5) (1.2-9)→

r ̈ i = - G ∑n

j = 1 , j≠ i

m j

r ji3 r j i (1.2-10)

여기서 m1 지구: , m2 인공위성: , m3 달: , m4 태양: , m5 ˜ m n 다른 행성들이라 하자: .

• i 일 때의 운동방정식 지구의 운동방정식= 1 ( )

에(1.2-10) i 을 대입하면= 1

r ̈1 = - G ∑n

j = 2

m j

r j13 r j1 (1.2-11)

- 6 -

• i 일 때의 운동방정식 인공위성의 운동방정식= 2 ( )

r ̈2 = - G ∑n

j = 1 ,j≠ 2

m j

r j23 r j2 (1.2-12)

지구에 대한 인공위성의 운동 방정식은 ?•

r 1 2 = r 2 - r 1 (1.2-13)

이식을 두 번 시간 미분하면,

r ̈ 1 2 = r ̈ 2 - r ̈ 1 (1.2-14)

(1.2-11) & (1.2-12) (1.2-14)→

∴ r ̈ 1 2 = - G ∑n

j = 1 ,j≠ 2

m j

r j23 r j2 + G ∑

n

j = 2

m j

r j13 r j1 (1.2-15)

또는,

r ̈ 12 = - [ G m 1

r 123 r 12 + G ∑

n

j = 3

m j

r j23 r j2 ] - [ - G m 2

r 213 r 21 - G ∑

n

j = 3

m j

r j13 r j1 ](1.2-16)

r 12 = - r 21 ( r 12 = r 21 ) 이므로,

r ̈ 12 = - [ G ( m 1+ m 2 )

r 123 r 12 ] - ∑

n

j= 3Gm j(

r j2r j2

3 -r j1r j1

3 ) (1.2-17)

지구에 대한 인공위성의 상대 운동 방정식 상대 운동 가속도-> ( )

Om1

m2

r1

r2 r12

- 7 -

이체 문제1.3

가정1.3.1

점질량 물체는 구형대칭1. : (spherically symmetric)

두 물체 사이에 작용하는 중력을 제외한 다른 내 외력은 없다2. .∙

상대 운동 방정식1.3.2

질량이 각각 과 인 이체계M m•

좌표계 관성 직교 좌표계X'Y'Z' :

좌표계 와 평행한 비회전 직교 좌표계XYZ : X'Y'Z'

좌표계에서 각 물체의 운동 방정식X'Y'Z'•

m r ̈ m = - GMmr 2rr

Ⓐ

M r ̈ M = + GMmr 2

rr

Ⓑ

∴ r ̈ m = - GMr 3 r (1.3-1)

r ̈ M = + Gmr 3

r (1.3-2)

하면(1.3-1) - (1.3-2)

∴ r ̈ m - r ̈ M = r ̈ = - G (M + m )r 3r (1.3-3)

( r m - r M = r )

에 대한 의 상대 운동 방정식-> M m

지구 에 대한 인공위성 의 운동 방정식-> (M) (m)

과 비교해서 왼쪽항에 해당-> (1.2-17)

** (1.2-17) r ̈ 12 = - [ G ( m 1+ m 2 )

r 123 r 12 ] - ∑

n

j= 3Gm j(

r j2r j2

3 -r j1r j1

3 )

X

Z'

Y'

Y

Z

M

m

rM

rmr

O

X'

- 8 -

여기서 만약 이라면* M m (≫mM≪1)

G(M+m ) = GM (1+mM) ≃ GM = μ 중력변수( )

따라서 식은 다음과 같이 된다(1.3-3) .

r ̇̇ + μ

r 3r = 0 물체의 상대 운동 방정식(1.3-4) ->

이라면* M m -> = G (M + m)μ≃

- 9 -

운동 상수1.4 (constant of motion)

뉴톤의 만유인력 하에서 궤도 운동을 하는 이체문제에 있어서 만유인력은 등방 중심력이다 또한. ,

모든 등방 중심력은 보존력으로서 궤도 운동을 하더라도 그 계에서 변하지 않은 운동 상수가 존재한다.

그 운동 상수란 에너지와 각운동량이다.

역학 에너지의 보존1.4.1

단계 ( (1.3-4):• r ̈ + μ

r 3r = 0 )

1. r ̇⋅ ( 1.3 - 4)식-> r ̇⋅ r ̈ + μ

r 3r ̇⋅ r = 0

2. v⋅ v ̇ + μ

r 3r ̇⋅ r = 0

-> v v ̇ + μ

r 3r r ̇ = 0

3.ddt(v 2

2) = vv ̇

ddt( -μr) =

μ

r 2r ̇

ddt(v 2

2) +

ddt(-μr) = 0

일반적으로4.

ddt(v 2

2+ C -

μr) = 0

적분하면5.

E =v 2

2+ (C -

μr) (1.4-1)

여기서 적분상수 에너지E : (= )

v 2

2단위질량당의 운동에너지:

C -μr

에서 입자를 까지 움직이는데 한 일 위치에너지: r= r=r (= )∞

일 때r= C = 0 ->∞ ∴ -μr

0≤

따라서 식은(1.4-1)

E =v 2

2-μr

(1.4-2)

v r

v⋅r = |v | | r |cosθ= |v |cosθ |r |= vr

여기서,

v=| v |cosθ= r, ̇ (v≠ | v |)

θ

M

m

v t

rv

- 10 -

각운동량의 보존1.4.2

단계 (1.3-4)• r ̈ + μ

r 3r = 0

1. r× (1.3-4)식

-> r× r ̈ + r×μ

r 3r = 0

∴ r× r ̈ = 0

2. r× r ̈ = 0 ⇒ ddt( r× r ̇) , (

dd t( r× r ̇) = r ̇× r ̇+ r× r ̈ = r× r ̈)

3.ddt( r× r ) ̇ = 0 또는 d

dt( r× v ) = 0

적분하면4.

r× v = h

(1.4-3)

여기서 h 적분상수벡터 각운동량: (= )

h⊥ r , h⊥ v

인공위성은 공간상에서->

고정된 평면 궤도평면 내에 있어야 한다( ) .

비행각(flight-path angle) : φ•

식(1.4-3) : h = r× v

h = rv sin γ = rv sin (90-φ)

∴ h = rv cosφ (1.4-4)

r2

v2

v2

O

h

v1

v1

r1

- 11 -

φ

r

v

v

수평선

수직선

γ

γ

O

- 12 -

궤도 방정식1.5

운동방정식의 적분1.5.1

식(1.3-4) (• r ̈ = - μ

r 3r 에서)

(× h 하면)

r ̈× h = - μ

r 3r× h =

μ

r 3h× r (1.5-1)

좌변 : r ̈× h = ddt( r ̇× h ) = r ̈× h + r ̇× h ̇ = r ̈× h (∵ h ̇ = 0 )

우변 :

μ

r 3h× r =

μ

r 3( r× v )× r

= -μ

r 3r× ( r× v )

= -μ

r 3[ ( r⋅ v ) r - ( r⋅ r ) v ]

= -μ

r 3( r r ̇r - r 2 v )

=μrv -

μ

r 2r ̇r

= μddt(rr) -- (A )

식(1.5-1)∴

ddt( r ̇× h) = μ d

dt(rr)

적분하면

r ̇× h = μrr + B (1.5-2)

여기서, B 적분상수벡터:

r⋅ (1.5-2)하면r⋅ ( r ̇× h) = μ

rr⋅ r+ r⋅ B

좌변 = r⋅ ( r ̇× h ) = h⋅ ( r× r ̇) = h⋅ h = h 2우변 = μ r+ r B cosν

∴ h 2 = μ r + r B cos ν = r ( μ + B cos ν)

여기서 는, ν B 와 r 의 사이각

(1.5-3)∴ r=

h 2

μ+B cos ν=

h 2

μ

1+Bμcos ν

극좌표계에서 표현된 궤도 방정식≡

A = μdd t(rr)

= μdd t( r r - 1 )

= μ r - 1 r ̇- μ r - 2 r ̇r=μrr ̇- μ

r 2r ̇r

=μrv -

μ

r 2r ̇r

- 13 -

원뿔곡선의 극 방정식1.5.2 (Polar Equation of a Conic Section)

원뿔곡선 한 평면과 원뿔의 교선:•원뿔곡선의 일반적 방정식•

r =p

1 + e cos ν(1.5-4)

여기서,

상수p : (semi-latus rectum)

이심율 원뿔곡선의 형태를 결정 원 타원 포물선 쌍곡선e : (eccentricity), ( (e=0), (0<e<1), (e=1),

(e>1))

극각 또는 진근점 이각: (polar angle) (true anomaly)ν

식은 식의 궤도방정식과 수학적(1.5-4) (1.5-3)

으로 형태가 같음에 유의:

천체의 궤도운동이 임의의 원뿔곡선의 궤적을

가질 수 있다는 것을 보이는 것이기 때문에

식은 케플러의 제 법칙을 중명한 것이(1.5-3) 1

며 그것을 더 확장한 것이다, .

궤도 운동에 대한 요약*

원뿔 곡선들은 이체 문제에서 궤도 운동을 하는 단 하나의 가능한 경로를 나타낸다1. .

원뿔 곡선 궤도의 초점은 중심 천체의 중앙에 위치해야만 한다2. .

어떤 위성의 역학 에너지 운동에너지 위치에너지 는 인공위성이 원뿔곡선 궤도를3. ( + )

따라 이동하는 동안 변하지 않는다 그러나 두 에너지 사이의 에너지 교환은 있다. , .

궤도 운동은 관성 공간에서 고정된 평면에 위치한다4. .

중심 인력체에 대한 위성의 각 운동량은 일정하다5. .

rν

p

- 14 -

원뿔 곡선의 보편적 기하학적 성질1.5.3

원뿔 곡선의 빗면을 절단하면 직선이 생기고 꼭지점을 절단하면 점이 생기는데 이것을 축•퇴 되었다고 한다(degenerate) .

원뿔 곡선은 원이거나 원뿔 곡선 위에 한 점이 주어졌을 때 초점으로부터 그 점까지의 거리와 준선,•에서부터 그 점까지의 거리의 비가 일정하게 하는 점의 궤적이다.

• FPPD'

=r

k - r cos ν= e (상수 )

r = e k - r e cos ν

r (1 + e cosν) = ek

∴ r =k e

1 + e cos ν식(1.5-4)≡

대칭성 두 초점 주초점 허초점* 1. -> : F( ), F'( )

각 초점에서 곡선의 너비를 나타낸다2. latus rectum (= 2p) : p= semi-latus rectum : .

장경 반장경3. (major axis) : 2a : a= (semi-major axis)

원* -> 2c = 0, c = 0

타원 -> 2a > 2c

포물선 -> 2c , 2a∞≃ ≃∞

쌍곡선 ->(a<0) 2c < 0, 2a > 2c

• r = k e1 + e cos ν

에서

만약 근지점이각 이라면= 0 ,ν

r m in =k e1 + e

(A)

이라면= 180 ,ν

r max =k e1 - e

(B)

(A) + (B) = 2a = r min + r max = k e(11 + e

+11 - e

)

-> a = k e1

1 - e 2

∴ k e = a ( 1 - e 2) = p

F D

D'P

r

k

ν

F'

- 15 -

∴ r =a(1 - e 2 )1+ e cos ν

(1.5-6)

2c =• r max - r m in =k e1 - e

-k e1 + e

= k e (11 - e

-11 + e

)

= k e2e1 -e 2

=a (1 - e 2) 2e1 -e 2

= 2 a e

c = ae∴ → e =ca

(1.5-5)

원 : c=0 e=0→

타원 : 0<c<a 0<e<1→

포물선: c= , a= e=1∞ ∞ →

쌍곡선: | |c > | |a e>1→

식 에 의해서(1.5-6)

일때= 0ν

r min =P

1 + e cos 0=

P1+ e

=a ( 1 - e 2)1 + e

=a (1 + e)( 1 - e )

1 + e

∴ r m in = a ( 1 - e ) (1.5-7)

일때= 180ν

∴ r max = a (1+ e) (1.5-8)

이심율 벡터1.5.4

에서(1.5-3)•r =

h 2 / μ

1+Bμcos ν

(1.5-4)

r =P

1 + e cos ν

∴ e =Bμ

• e 를 다음과 같이 정의하자.e =

BμB̂ =

Bμ

궤도 장축의 양 끝점“apsis”

근점 원점(periapsis), (apoapsis)

근지점 원지점(perigee), (apogee)

근월점 원지점(periselenium), (aposelenium)

근성점 원성점(periastron), (apoastron)

e

- 16 -

(1.5-9)

여기서, e 이심율 벡터:

식(1.5-2)

r ̇× h = μ rr+ B

→ B = r ̇× h - μ rr

(A)

하면(A) (1.5-9)→

e =v× hμ

-rr

(1.5-10)

또는, μ e = v× h - μrr

→ μe = v× ( r× v ) - μrr

= ( v⋅ v ) r - ( v⋅ r) v - μ rr

= ( v 2 -μr) r - ( r⋅ v ) v

(1.5-11)

- 17 -

에너지 와 각운동량 의 기하학적 의미1.6 (E) (h)

에서(1.5-3) & (1.5-4)•p =

h 2

μ(1.6-1)

증가 증가 의 관계(h p )→ →

궤도가 열려진 정도 는 와 관계가 있다(p) h .→

• h = r× v에서h = r v sin γ = r v sin (90 - φ )

h = rv cosφ (φ :비행각 )h = rv ( φ = 0 )

v h p→ ↑ → ↑ → ↑

근점 과 원점 에서(periapsis) (apoapsis)• v⊥r

| h | = | r p× v p | = r pv p sin γ = rpv p cosφ

∴ h = r p v p = r a v a (1.6-2)

1 >r pr a

=v av p

< 1

v a < v p : r a > r p

v p =hr p

에너지 방정식 식(1.4-2)•E =

v 2

2-μr=

v p2

2-μr p

=h 2

2 r p2 -

μr p

①

에서(1.5-7) r p = a ( 1 - e ) ②

에서(1.5-6) & (1.6-1) p = a ( 1 - e 2 ) =h 2

μ

φ

r

v

v

수평선

수직선

γ

γ

O

가 증가하면 포탄의 각운동량이 증가하며 따라서 가 증가v , p .

는 각 포탄 궤적의 열려진 정도를 표시p .

- 18 -

∴ h 2 = μa ( 1 - e 2 ) ③

하면,② ③ →①

E =μa (1 - e 2 )2 a 2 (1- e) 2

-μ

a (1 - e )

=μ ( 1+ e)2a (1 - e )

-μ

a ( 1 - e )

=μ

a ( 1 - e )[1+ e - 22

]

=μ

a ( 1 - e )- ( 1 - e )2

= -μ2a

∴ E = -μ2a

(1.6-3)

* E = -μ2a

→ a = -μ2E

그런데

E =v 2

2-μr= -

μ2a

에서

만약,v 2

2< |- μr | → E < 0 → a > 0 원 타원: ,

v 2

2= |- μr | → E = 0 → a = ∞ 포물선:

v 2

2> |- μr | → E > 0 → a < 0 쌍곡선:

에너지가 궤도를 결정한다

요약*

p =h 2

μ, a = -

μ2E

①

각운동량 는 궤도의 열려진 정도 를 결정한다h( ) p( ) .

에너지 는 궤도의 크기 장반경 를 결정한다E( ) a( : ) .

식에서 가 결정된다e .①

(1.5-6) p = a ( 1 - e 2) → e = 1 -pa

②

하면① → ②

- 19 -

e = 1 -(h 2

μ)

( -μ2E

)= 1+

2Eh 2

μ 2(1.6-4)

이심율 는 와 의 함수다* e E h .

원 타원E < 0 , e < 1 ,→

포물선E = 0 , e = 1 →

쌍곡선E > 0 , e > 1 →

만약, h = 0 e = 1→

h = | r× v | → r v sin γ = 0 축퇴되었다: .

v = 0 정지상태 점: ( )

γ = 0 직선운동 자유낙하: ( )

r = 0 중심 지구: ( )

타원궤도를 만드는 간단한 방법.

- 20 -

타원궤도1.7

타원궤도의 기하1.7.1

r + r ' = 2 a (1.7-1)

r p + r a = 2a (1.7-2)

r a - r p = F F ' = 2 c (1.7-3)

이심율 e =ca

(1.5-5)

(1.7-2) & (1.7-3) (1.5-5)→

e =

r a - r p2

r a + r p2

=r a - r pr a+ r p

(1.7-4)

c = ae

a 2 = b 2+ c 2 (1.7-5)

b 2 = a 2 - c 2

= a 2 - a 2e 2

= a 2(1 - e 2)

b = a ( 1 - e 2)

여기서 는 반단경, b (semi-minor axis)

ab

c

F'

F

ara rp

- 21 -

타원궤도의 주기1.7.2

• r = r e rv =

d rd t

=dd t( r e r ) = r ̇ e r + r e ̇ r

∴ v = r ̇ e r + r ν ̇ e ν

속력의 수평성분 : v cosφ = rν ̇(1.4-4) h = rv cos φ = r( r ν ) ̇ = r 2ν ̇ = r 2 dν

dt

dt =r 2

hdν (1.7-6)

동경벡터 가 동안 움직일 때 휩쓴 면적(radius vector) d dAν

dA =12×밑변×높이 =

12r 2dν ---(A)

(A) (1.7-6)→

dt =2hdA

∴dAdt

=h2

단위시간당 휩쓴 면적 면적속도: = = constant

면적속도 일정( h = constant)∵

케플러의 제 법칙을 증명2→

dt =2hdA

⌠⌡

P

0d t =

2h⌠⌡

A

0dA

P =2hA 타원 =

2hπ a b

∴ P =2 π a bh

--- ①

b 2 = a 2 - c 2 = a 2 - a 2e 2 = a 2 (1 - e 2 ) = a p

b = a 1 -e 2

b = ap --- ②

에서(1.6-1) h = μp --- ③

,② ③ → ①

∴ P =2πμa 2/3 (1.7-9)

P 2 =4π 2

μa 3 케플러의 제 법칙: 3

r dν

e reν

r ̇

- 22 -

원궤도1.8

타원궤도중 인 경우 따라서 타원궤도에서 유도한 모든 공식이 원궤도에서도 성립한다* e = 0 , .

에서(1.7-9) a = r cs

P cs =2πμr cs

3/2 (1.8-1)

원궤도위성의 속력1.8.1 v cs (→ 원궤도로 돌게하는 속력을 구한다)

정거장궤도 주차궤도* parking orbit : ,

• F P = r = r cs 에서 원궤도를 가질 조건

1) ( r = r cs )⊥ ( v = v cs ) 이어야 한다.

2) v cs = ?

에너지 방정식으로부터

E =v 2

2-μr= -

μ2a

v 2 = μ (2r-1a) 방정식: vice-viva

원궤도 a = r = r cs

v cs2 = μ (

2r cs

-1r cs) =

μr cs

v cs =μr cs

(1.8-2)

rcs

rcs

vcs

rcs

지구

vcsF

P

- 23 -

포물선 궤도1.9

E=0, e = 1,•

열린 궤도와 닫힌 궤도의 경계 궤도*

가령 혜성이 나타나서 궤도를 알고 싶은데* E =v 2

2-μr에서 을 모른다면v & r

관측을 통해서 얻은 정보를 통해서 궤도 결정을 한다.

궤도를 모르는 물체의 궤도를 결정하기 위해서 포물선 궤도라고 가정한 후에 계산한다* .

포물선의 기하1.9.1

포물선 방정식 (e = 1)•r =

p1+ ecos ν

=p

1+ cos ν

ν = 0 에서

r =p2= r p -→ p = 2r p (1.9-1)

∴ r =2r p

1+ cos ν

탈출속력1.9.2

• E = v 2

2-μr=v 2∞2-μr ∞

= 0 --→v 2

2=μr

운동 위치: ( E = E)

→ v 2 =2μr, v ∞ = 0

∴ v esc =2μr

중력장 탈출 속도( ) (1.9-2)

예 지구 표면에서 높이 상공에서 인공위성이) 100km

원운동을 하고 있다 이 위성의 속력은 얼마인가. ?

이 위성이 연료을 분사하여 지구를 탈출하려면

얼마만한 속력을 더 내야 되는가?rcs

vcs

v△

쌍곡선의 기하.

- 24 -

풀이:

∇v = v esc - v cs =2μr-

μr

=μr( 2 - 1 )

=GM ⊕

R⊕+100km×0.4142

쌍곡선 궤도1.10

유성이나 행성탐사선의 궤도○

쌍곡선의 기하1.10.1 ddot

• c 2 = a 2+ b 2 (1.10-1)

e =ca→ c = ae

- a- c

=ac= cos ( 90 〫 - δ

2)

ac= sin

δ2

(1.10-2)

1e= sin

δ2

(1.10-3)

* δ↑ ⇒ e↓ , δ↓ ⇒ e↑

(∵ 0 〫 < δ < 180 〫 ⇒ 0 〫 < δ2< 90 〫 : δ 가 커질수록 sin

δ2는 증가 )

쌍곡선 과다 속력1.10.2

E =v bo

2

2-μr bo

=v ∞

2

2-μr ∞

쌍곡선 궤도에서→ v∞ 0≠

∴ v ∞2 = v bo

2 -2μr bo

= v bo2 - v esc

2

∴ v ∞2 = v bo

2 - v esc2 (1.10-5)

여기서, v∞ 과다 속력:

영향권1.10.3 (Sphere of Influence)

영향권 중심천체의 인력을 받는다고 생각되는 공간상의 구:•반경* (l 을 정하기 모호하다) .

- 25 -

두 천체가 있으면 쉽다* .

기본 단위 표준단위1.11 ( )

표준화된 단위 (normalized unit)•거리 질량 시간* , ,

기준 궤도 원궤도1.11.1 (= )

예 중심 천체 태양) -•거리단위DU = : 1 AU

기준궤도는 반경인 인 원궤도 원궤도의 길이* 1AU ( =2 AU)π

질량단위MU = : 1M⊙ = 1.99 * 1033g

시간단위 기준 원궤도의 속력이 가 되도록 를 정함TU = : 1AU/TU TU

이런 단위계를 선택하면( , vP = 2π AU이므로, P =2π AUv

=2π AU

1AUTU

= 2π TU 이며,

따라서 케플러 제 법칙, 3 ( P 2 =4 π 2

GM ⊙

a 3 에서) GM⊙ 이 된다 만약 중심 천체가 태양이고 지구인=1 . ,

경우에 이 단위계를 적용하면 지구가 태양을 한번 돌 때 실제 공전주기는, P=1y 이므로(=2 TU) ,π

1 TU=1y 일 일이다 즉 일을 시간단위로 사용했다는 말이/2 = 365.2422 /(2 ) = 58.1301 . , 58.1301π π

다.)

예 중심 천체 지구) -

거리단위DU = : re = 1 DU = 6371 Km

질량단위MU = : 1M⊕ = 3.99 * 1027g = 1 MU

시간단위TU = : v = 1DUTU

이 되는 시간단위

* vP = 2πa → P=2πav= 2π(

av)

가 이라는 표준화된 속도로 간다면v 1∴

P = 2πDU

DU/TU= 2π TU