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복소수

우리는 앞서 유리수와 무리수로 구성된 실수체계에 대해 알아보았다. 실수란, Real

number라 해서, ‘실제 존재하는 수’라는 뜻이다. 이번 시간에는 실제로는 존재하지 않는

‘허수’와 실제 존재하는 수를 섞어 놓은 ‘복소수’에 대해서 학습한다.

일 때, 의 값을 생각해 보자. 제곱해서 4가 되는 수를 구하라는 의미이므로

±이다. 그럼, , 의 값은 무엇일까? 실수의 제곱은 항상 0보다 크거나 같기

때문에 제곱해서 음수가 되는 실수는 존재하지 않는다. 따라서 제곱해서 마이너스 1이 되

는 수를 라고 정의하고 허수, 즉 헛된 수라 한다. 그리고 수 체계를 실수와 허수와 복합

한 수인 복소수까지 확장시킨다. 복소수를 영어로는 Complex number라 한다. ‘복잡한’

또는 ‘복합한 수’라는 의미로 쓰인다. 이렇게 만들어진 복소수는 엠피쓰리의 압축 기술, 현

대 과학의 근간을 이루고 있는 양자역학 등에 쓰이고 있다. 실제 존재하는 수와 가상의 수

를 묶어 놓은 것이 실세계의 수학, 공학, 물리학, 역학 등에 쓰인다는 사실은 참으로 놀라

운 일이 아닐 수 없다. 이번시간에는 이러한 복소수의 개념을 알아보고, 간단한 연산 위주

의 학습을 한다.

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수체계

극형식

오일러의 공식

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1) 복소수의 개념과 연산

(1) 복소수의 정의

복소수

◉ 허수단위

허수단위( ) : 제곱하여 -1이 되는 수

※ 수학교재에서는 허수단위를 로 표시하지만 전기 및 전자공학에서 통상적으로 전

류를 로 표현하므로 이와 구분하기 위해 공업수학에서는 [제이]를 사용한다.

◉ 복소수

복소수 : 수를 확장하여 실수 외에 허수까지 포함하는 수

(단, 는 실수)

실수부 , 허수부

(단, 는 실수)에서

1) 이면 는 실수

2) 이면 는 순허수

3) 이면 는 복소수라 한다.

◉ 복소수의 순환

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예제 을 간단히 하여라.

풀이 = = =1

◉ 복소수의 표시

※ 화살표로 표시된 복소수 사이의 덧셈과 뺄셈은 벡터의 합과 차를 구하는 것과 동일

(2) 복소수의 사칙연산

◉ 복소수의 사칙연산

, 에 대하여,

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memo

공액복소수(켤레복소수)

복소수의 나눗셈을 계산하려면 원래의 복소수와 허수부의 부호가 반대인 공액복소수

(Complex conjugate)가 필요하다. 이 때, 분자, 분모에 공액 복소수를 곱해주는 것을 분

모의 실수화라 한다. 한편, 공액복소수를 라 하며 일 때,

공액 관계에 있는 두 복소수는 복소평면에서 실수축에 대응된다.

(3) 다지기

◎ 다음 문제를 풀어보자.

1 다음은 복소수 체계이다. 빈칸을 채우시오.

2 □

3 두 복소수 , 에 대하여 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 각각 구하여라.

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memo

에서

(1)

(2)

(3)

(4)

2) 복소수의 표현방식

(1) 복소수의 극형식

일 때, 그림에서와 같이

θ θ이므로

θ θ

θ θ

이것을 복소수 의 극형식이라 한다.

단, , θ ( θ )

θ 이므로 θ

θ 이므로 θ

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예제 을 극형식으로 나타내어라.

풀이

(2) 오일러 공식

◉ 오일러 공식 θ θ θ

[증명]

를 복소평면에 나타내면,

이므로 θ (π

)

θ θ

π π

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◉ 지수함수 형식

예제 를 지수함수 형식으로 나타내어라.

풀이

◉ 복소수의 표형방식 정리

예제 직각좌표 형식의 복소수 를 극좌표 형식, 삼각함수 형식,

지수함수 형식으로 나타내어라.

풀이

θ θ θ이므로

θ θ θ θ θ

따라서, 크기가 인 복소수

θ θ θ로 표현할 수 있다.

이를 지수함수 형식이라 한다.

를 복소평면에 나타내면,

이므로 θ (π

)

θ θ

π π

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(3) 복소수의 기하학적 연산

※ 직각좌표 형식은 복소수의 덧셈과 뺄셈을 계산하는데 유용하고, 극형식은 복소수의

곱셈과 나눗셈을 계산하는데 유용하게 사용된다.

(4) 복소수의 회전연산자

를 한번씩 곱할 때 마다,

도씩 회전시킨 것과 같다.

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(5) 다지기

◎ 다음 문제를 풀어보자.

※ (1~2) 주어진 행렬의 역행렬을 구하여라.

1 를 극형식으로 나타내어라.

π π

2 을 극형식으로 나타내어라.

π π

3 복소수 의 절대값과 편각을 구하여라.

절대값 :

편각 : π

4

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◉ 수체계

◉ 복소수의 표시방법

․ 직각좌표 형식

․ 극좌표 형식 θ

․ 삼각함수 형식 θ θ

․ 지수함수 형식 θ

◉ 극형식

◉ 오일러 공식

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1 를 간단히 하여라. □

2 복소수 이 순허수가 되도록 실수 의 값을 구하여라. □

3 를 극형식으로 나타내어라.

π π

4π

를 극형식으로 나타내어라.

π

π π

5 두 복소수 , 의 나눗셈 을 구하여라.

=π π

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1) 복소수의 개념과 연산

1

2 , , , 이므로

이다.

( )

3 (1)　

(2)　

(3)　

(4)　

다지기 정답 p.6

1 복소수, 유리수, 순허수

2 0

3 (1) 2, 0 (2) 0, 2 (3) 2, 0 (4) 0, 1

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2) 복소수의 표현방식

1

2

3 두 복소수 의 곱 θ θ θ θ 이므로

에서 라 하면, 다음과 같다.

다지기 정답 p.11

1 5, 5

2 3, 2, 2

3 2, 2, 7, 12

를 극형식으로 바꾸면

왼쪽 그림에서 알 수 있듯,

, θπ

이다.

π π

을 극형식으로 바꾸면

왼쪽 그림에서 알 수 있듯

θπ

이다.

π π

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θ θ θ θ

π π π π

π π

1 =

2 에서 일 때 복소수 는 순허수가 된다.

=

=

따라서, 일 때 복소수 는 순허수가 된다.

3 를 그림으로 나타내면 다음과 같다.

π π

4 오일러의 공식 θ θ θ를 이용하자.

퀴즈퀴즈 정답 p.13

1 1

2 -1

3 2, 4, 4

4 4, 3, 3

5 10, 6, 6

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오일러의 공식에 의하여 π

π π

5 , 를 극형식으로 나타내자.

=π π

,

=π π

= π π π π

= π π