МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

КЕМЕРОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ПИЩЕВОЙ

ПРОМЫШЛЕННОСТИ

Н.А. Бахтин, А.М. Осинцев, А.В. Попов

ФИЗИКА Конспект лекций

Часть I

Основы классической механики

Основы молекулярной физики и термодинамики

Кемерово 2003

УДК: 53(075)

Печатается по решению Редакционно-издательского совета Кемеровского технологического института пищевой промышленности. Рецензенты:

доцент кафедры товароведения и экспертизы товаров Кемеровского института Российского государственного торгово-экономического университета, канд. физ.-мат. наук М.Н. Сидоров;

заведующий лабораторией кемеровского филиала Института химии твердого тела и механохимии CO РАН, канд. хим. наук В.П. Бервено

Бахтин Н.А., Осинцев А.М., Попов А.В. Физика: Конспект лекций. Часть I – Кемеровский технологический институт пищевой промышленности. – Кемерово, 2003. – 92 с. В учебном пособии в краткой и доступной форме изложены теоретические сведения по основным разделам классической механики, молекулярной физики и термодинамики. Пособие может быть полезным для самостоятельной работы студентов как дневной, так и заочной форм обучения.

1603020000ФУ50(03)-03

ISBN 5-89289-236-0 – Кемеровский технологический

институт пищевой промышленности, 2003

3 Предисловие

Вы приступаете к изучению курса физики. Это краткое пособие составлено для того, чтобы сократить вам время для нахождения материала из многих учеб-ных пособий, оно содержит только информацию, необходимую для решения кон-трольных работ и сдачи экзаменов. Надеемся, что в будущем, при работе по спе-циальности, вы будете получать знания не из кратких пособий, а из более основа-тельных источников. Но у вас сейчас слишком много предметов, и мало времени, чтобы читать толстые книги. Вместе с тем, для желающих расширить свои знания по физике, глубже проникнуть в основы законов, по которым развивается Все-ленная, мы рекомендуем не ограничиваться чтением этого пособия.

Предмет физики

Физика – наука, изучающая наиболее простые и вместе с тем наиболее об-щие закономерности явлений природы, свойства и строение материи, и законы ее движения. Изучая какое-то явление, физики не ставят целью выяснить как можно больше фактов, а выделяют в этом явлении то, что объединяет его со всеми явле-ниями природы.

Слово φυσισ в переводе с греческого языка означает природа. T.e. физика вскрывает основу, сущность явления. Понять физику явления значит – понять его сущность, внутреннее основное свойство явления, скрытую закономерность.

Физика относится к естественным наукам. Однако существуют и другие ес-тественные науки: химия, биология, география, астрономия. Какое место занима-ет физика среди других наук? Отметим сразу, что физика самая фундаментальная из всех естественных наук. Она является базой для развития других естественных наук, так как именно физические законы лежат в основе всех сложных явлений природы. Например, теоретическая химия в настоящее время свелась к квантовой механике – одному из разделов теоретической физики; биология, геология, ас-трономия стали подлинными, а не описательными науками только после того, как стали применять физические методы и приборы.

Развиваясь в тесном контакте с техникой и, будучи ее фундаментом, физика проникла практически во все области промышленности, создав саму возможность появления многих новых ее отраслей. В физических лабораториях зародилась ла-зерная технология, голография, радиоэлектроника, атомная энергетика.

Инженер, работает в мире, где все определяется физическими законами. По-этому изучению физики необходимо уделить особое внимание. Мы живем в по-стоянно меняющемся мире. Для того чтобы быстро адаптироваться в этом мире, нужно иметь очень хорошую физико-математическую или, как говорят, фунда-ментальную подготовку.

Рекомендуемая литература

1. Т.И. Трофимова. Курс физики: Учебник для студентов вузов. 2. И.В. Савельев. Курс общей физики. т. 1,2,3. 3. Г.A. Зисман, О.Т. Тодес. Курс общей физики. т. 1,2.

4 ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Лекция 1. Кинематика

Механика состоит из трех разделов: кинематики, статики и динамики. Ста-тика изучает условия равновесия тел. Поскольку равновесие тел является частным случаем движения, законы статики оказываются естественным следствием зако-нов динамики. По этой причине в курсах физики статика обычно не изучается. Статику вы будете изучать в курсе теоретической механики. А мы начнем изуче-ние механики с кинематики.

Основные понятия.

Кинематикой называется раздел механики, изучающий перемещение тел без учета взаимодействий между ними. Кинематика ограничивается разработкой способов описания движения тел, не рассматривая причины, которые изменяют состояние движения.

Движение происходит в пространстве и во времени. Все тела обладают про-странственной протяженностью и как-то расположены друг относительно друга. Механическое движение состоит в изменении положения тел относительно друг друга. Т.е. движение всегда относительно. Каждое тело всегда движется относи-тельно каких-то других тел. Представим себе изолированное тело в пространстве, из которого удалены все другие тела. Говорить о движении такого тела бессмыс-ленно.

Для описания движения объектов в механике используют различные мо-дельные представления. Наиболее простыми из них являются понятия материаль-ной точки и абсолютно твердого тела.

Материальной точкой мы будем называть тело, размерами которого в ус-ловиях данной задачи можно пренебречь. Это, конечно, абстракция, которая яв-ляется простейшей моделью тела. Абсолютно твердое тело – это тело, состоящее из материальных точек, расстояния между которыми не изменяются.

Тело, относительно которого мы будем рассматривать движение другого тела, называется телом отсчета. Очень часто за тело отсчета берут Землю. С те-лом отсчета связывают систему координат. Вместе они образуют систему отсче-та (как показывает теория относительности, каждую систему отсчета необходимо

снабдить еще и собственными часами). Чаще всего мы будем пользоваться декартовой системой координат.

В декартовой системе координат положение материальной точки определяется тремя числами – координатами x, y и z. Три числа являются отраже-нием того факта, что пространство трехмерно. В системе СИ координаты измеряются в метрах (м). Положение материальной точки может быть опре-делено и с помощью радиус-вектора r

. Радиус-

ze

xe

ye

r

y

x

z

Рис. 1.

5 вектором называется вектор, проекции которого на координатные оси равны x, y, z. Его начало совпадает с началом координат, а конец лежит в точке с коорди-натами x, y, z (рис.1). Обычно в учебниках векторы обозначаются жирным шриф-том r. Мы для обозначения вектора будем использовать букву со стрелкой r

. Не-жирной буквой, соответствующей данному вектору, но без стрелки, обозначают длину вектора. Длину радиус-вектора можно найти по теореме Пифагора

2 2 2| |r r x y z= = + +

.

При движении частицы радиус вектор изменяется во времени, т.е. является функцией времени:

( ) ( ) ( ) ( )x y zr r t x t e y t e z t e= = + +

,

где , , x y ze e e

– единичные векторы (орты), направленные вдоль соответствующих

осей x, y, z. Эта функция определяет положение частицы в зависимости от време-ни, т.е. задает закон движения точки.

При движении частицы конец радиус-вектора описывает в пространстве ли-нию, которая называется траекторией частицы. Форма траектории зависит от выбора системы отсчета. Действительно, пусть тело падает в вагоне, который движется равномерно и прямолинейно относительно Земли. Тогда траектория этого тела относительно вагона будет прямая линия, относительно же Земли это будет парабола. Нельзя говорить о форме траектории вообще; речь может идти лишь о форме траектории в заданной системе отсчета. Решение кинематической за-дачи может быть существенно упрощено правильным выбором системы координат.

Пусть материальная точка переместилась вдоль некоторой траектории из точки 1, характеризующуюся радиус-вектором 1r

в точку 2, характеризующуюся ра-диус-вектором 2r

(рис.2). Расстояние между точками 1 и 2, отсчитанное вдоль траектории, называется пройден-ным путем. Будем обозначать его буквой S.

Вектор r∆

, проведенный из точки 1 в точку 2, называется перемещением частицы. Согласно правилам сложения векторов 2 1r r r∆ = −

.

Скорость

В физике под скоростью понимают векторную величину, характеризующую не только быстроту перемещения частиц по траектории, но и направление, в ко-тором частица движется в каждый момент времени.

Формулу для скорости можно получить следующим образом. Пусть за вре-мя ∆t радиус-вектор получил приращение r∆

. Отношение r t∆ ∆

дает среднее

значение скорости за время ∆t. Мгновенная скорость определяется как предел

0lim

t

r dr

t dtυ

∆ →

∆= =∆

.

s

r∆

1r

2r

Рис. 2.

6 Вектор υ направлен как и dr

, а следовательно, по касательной к траектории. Вообще говоря, величина ∆S пройденного за время ∆t пути отличается от

модуля перемещения ∆r. Однако если ∆t устремить к нулю, то предел 0

lim 1t

s

r∆ →

∆ =∆

,

откуда следует, что модуль мгновенной скорости равен производной от пути по времени:

ds

dtυ = .

В системе СИ время измеряется в секундах (с), а скорость имеет размерность м/с.

Ускорение

Скорость частицы υ может изменяться со временем как по величине, так и по направлению. Быстрота изменения вектора υ определяется производной век-тора υ по t. Обозначив эту производную буквой a

, получим d

adt

υ=

.

Величина a

, называется ускорением частицы и имеет размерность м/с2.

Ускорение при криволинейном движении

Рассмотрим участок траектории между двумя близкими соседними точками (рис.3). Скорости в этих точках 1υ и

2υ направлены по касательным к тра-ектории и отличаются друг от друга по величине и направлению. Перене-сем вектор 2υ параллельно самому себе в точку М1. Соединим теперь ко-нец вектора 1υ с концом перенесенно-го вектора 2υ вектором υ∆

. Из чер-тежа видно, что 2 1υ υ υ∆ = −

, т.е. век-тор υ∆

есть приращение вектора υ за время ∆t.

На векторе 2υ отметим точку С так, чтобы |M1A|=|M1C|. Соединим ко-нец вектора 1υ с точкой С. Из рисунка

видно, что вектор υ∆

может быть представлен как геометрическая сумма двух векторов:

k nυ υ υ∆ = ∆ + ∆

.

Вектор kυ∆

численно характеризует изменение модуля скорости за время ∆t:

2 1kυ υ υ υ∆ = − = ∆ . Если величина скорости υ во время движения не меняется, то υ∆ = 0 и kυ∆

= 0.

2

υ

2

υ

k∆ υ

r∆

С

∆S

∆ϕ

А

R М2

О

М1 1

υ

∆ υ

n∆ υ

Рис.3.

7 Вектор kυ∆

характеризует изменение направления вектора скорости за время ∆t. Он направлен в сторону вогнутости кривой. Если с течением времени направле-ние движения не меняется, то векторы 1υ и 2υ направлены вдоль одной и той же прямой и kυ∆

= 0.

Разделив υ∆

на ∆t и устремив ∆t → 0, получим:

0 0 0lim lim limk n

k nt t ta a a

t t t

υ υυ∆ → ∆ → ∆ →

∆ ∆∆= = + = +∆ ∆ ∆

.

При ∆t → 0 точки M1 и M2 приближаются друг к другу, также как и точки A и C. Тогда угол при вершине M1 равнобедренного треугольника М1АС стремится к нулю, и направления векторов 2υ и kυ∆

стремятся к направлению вектора 1υ .

Поэтому вектор 0

lim kk t

at

υ∆ →

∆=∆

также направлен вдоль вектора 1υ , т.е. по касатель-

ной к траектории. Численное значение этого вектора равно

0lim k

kt

da

t dt

υ υ∆ →

∆= =∆

,

т.е. характеризует быстроту изменения модуля вектора скорости при движении. Этот вектор называется касательным, или тангенциальным, ускорением.

Определим величину и направление второго вектора na

. Пусть все точки траектории лежат в одной плоскости. Восставим в точках М1 и М2 перпендикуля-ры к касательным до их пересечения в точке О. Дуга ∆S = M1M2 будет практиче-ски частью окружности с центром в точке О и радиусом R = OM1 = OM2.

Пусть угол между отрезками ОМ1 и ОМ2, измеряемый в радианах, равен ∆ϕ. Тогда длина дуги равна ∆S= R∆ϕ. R носит название радиуса кривизны траектории, а величина 1/R – кривизны траектории. Точка O называется центром кривизны.

Соединив точки М1 и М2, получим второй равнобедренный треугольник ОМ1М2 вдобавок к существующему М1АС. Т.к. 1 1OM AM⊥ и 2 1OM CM⊥ , эти тре-угольники подобны друг другу. Из их подобия получим

∆r/∆υn = R/υ1, или ∆υn = ∆r⋅υ1/R. Отсюда можно найти величину вектора na

: 2

1

0 0lim limn

nt t

ra

t R t R

υ υ υ∆ → ∆ →

∆ ⋅ ∆= = =∆ ⋅ ∆

. (1.1)

В пределе при ∆t → 0 угол при вершине M1 треугольника М1АС стремится к нулю, а углы при основаниях стремятся к 90°. Следовательно, na

в пределе пер-пендикулярен скорости и направлен к центру кривизны траектории. Вектор na

носит название нормального ускорения. Тангенциальное и нормальное ускорения взаимно перпендикулярны, их геометрическая сумма равна полному ускорению

k na a a= +

,

а модуль (длина) вектора полного ускорения есть 2 2k na a a= + .

8 Движение материальной точки по окружности

Пусть точка движется по окружности радиуса R с постоянной скоростью v. Тогда величина вектора нормального ускорения na

остается постоянной, а сам вектор направлен к центру окружности. В этом случае ускорение na

называют центростремительным.

Пусть за время ∆t точка прошла путь ∆S, при этом радиус-вектор повернул-ся на угол ∆ϕ. Угол, радиус-вектор и путь связаны соотношением

∆S = R⋅∆ϕ. Разделив путь на время, получим S t∆ ∆ = R⋅ t∆ ∆ϕ , или

Rυ ω= ⋅ , (1.2) где величина ω = tϕ∆ ∆ (в пределе – ω =d dtϕ ) носит название угловой скоро-сти и измеряется в рад/с. Знак угловой скорости определяет, в какую сторону со-вершается поворот: ω > 0, если точка вращается против часовой стрелки; ω < 0, если точка вращается по часовой стрелке.

Равномерное вращение характеризуется периодом обращения Т, под кото-рым понимается время, за которое точка делает один оборот, т.е. поворачивается на угол ϕ = 2π . Очевидно, что

ω = 2π/T. Число оборотов в единицу времени ν (частота вращения) равно ν = 1/T = ω /2π.

Следовательно, угловая скорость есть ω = 2πν. (1.3) Угловую скорость можно представить как вектор ω , перпендикулярный

плоскости вращения, величина которого находится из формулы (1.3), а направле-ние определяется правилом «правого винта»: оно должно быть таким, чтобы, гля-дя вдоль него, мы наблюдали вращение точки по часовой стрелке. При этом

[ ]rυ ω= ×

. Если точка движется по окружности не с постоянной скоростью, то ω из-

меняется по времени. Изменение угловой скорости со временем характеризуется величиной d dtβ ω=

, которую называют угловым ускорением.

Лекция 2. Динамика

Динамика изучает движение в связи с теми причинами, которые обуславли-вают тот или иной характер движения. В основе классической, или ньютоновской, механики лежат три закона, сформулированные Исааком Ньютоном в 1687 году.

Законы Ньютона

Первый закон Ньютона Всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейно-

го движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит

9 изменить это состояние.

Явление, описываемое первым законом Ньютона, называется инерцией. Первый закон выполняется не во всякой системе. Система отсчета, в кото-

рой выполняется первый закон, называется инерциальной. Часто первый закон Ньютона считают законом, определяющим инерциальные системы отсчета. Инерциальными системами являются также все системы, которые либо покоятся, либо движутся равномерно и прямолинейно относительно какой-то инерциальной системы отсчета, установленной с помощью первого закона Ньютона.

С большой степенью точности инерциальной можно считать гелиоцентриче-скую систему координат, т.е. систему координат, связанную с Солнцем.

Земля не является инерциальной системой координат. Однако ускорение та-кой системы настолько мало, что в большинстве случаев ее можно считать инерциальной.

Масса и импульс тела Если на тело не действуют другие тела, то оно сохраняет состояние покоя

или движется равномерно и прямолинейно. Если же на тело воздействуют другие тела, то оно изменяет свою скорость. Опыт показывает, что одинаковые воздейст-вия сообщают различным телам разные по величине ускорения. Всякое тело про-тивится попыткам изменить его состояние движения. Это свойство тел называет-ся инертностью. Количественной мерой инертности тела является масса. В сис-теме СИ масса измеряется в килограммах (кг).

Возьмем два тела с массами m1 и m2 и поставим их в такие условия, чтобы они взаимодействовали между собой. Скорости частиц получат приращение 1υ∆

и 2υ∆

. Опыт показывает, что эти приращения всегда противоположно направле-ны. Отношение модулей приращений всегда определяется выражением

1 1

2 2

m

m

υυ

∆=

∆

.

Это отношение с учетом направлений векторов можно переписать в виде

1 1 2 2m mυ υ⋅ ∆ = − ⋅ ∆

, или 1 1 2 2( ) ( )m mυ υ∆ ⋅ = −∆ ⋅

. Скорости тел изменяются различным образом, но произведение mυ для обоих тел изменяется одинаково (с точностью до знака).

Произведение массы тела на его скорость называется импульсом тела. Обо-значив импульс тела буквой p

, получим p mυ=

.

Второй закон Ньютона Скорость изменения импульса тела равна действующей на тело результи-

рующей силе: dp

Fdt

=

, где ii

F F=∑

(2.1)

Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета.

10 Если при движении масса тела не изменяется, то уравнение (2.1) можно за-

писать в следующем виде: ( )dp d m d

F mdt dt dt

υ υ= = = ⋅

, или F m a= ⋅

, (2.2)

а ускорение a F m=

. Таким образом, ускорение, приобретаемое телом, совпада-ет по направлению с действующей на него силой и равно отношению этой силы к массе тела.

Второй закон положен в основу определения единицы силы в системе СИ. За единицу силы принимают силу, которая массе в 1 кг сообщает ускорение 1 м/с2. Эта единица называется ньютоном (Н).

В механике большое значение имеет принцип суперпозиции. Если на тело действует несколько сил, то каждая из этих сил сообщает материальной точке ус-корение согласно второму закону Ньютона, как будто другие силы отсутствуют. Согласно этому принципу, силы и ускорения можно разлагать на составляющие. Использование этого принципа позволяет существенно упростить решение задач.

Третий закон Ньютона Характер взаимодействия между телами определяется третьим законом

Ньютона: Всякое действие тел друг на друга носит характер взаимодействия; силы, с

которыми действуют друг на друга тела, всегда равны по модулю, противопо-ложно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей центры инерции тел:

12 21F F= −

. Иногда третий закон Ньютона формулируют и так: сила действия равна силе

противодействия. В любом случае нужно помнить, что этот закон говорит о ра-венстве сил, приложенных к разным телам. На каждое из взаимодействующих тел действует только одна сила. Так, например, совершенно неправильно считать, что силой противодействия для притяжения тела к Земле является реакция опоры. В этом случае силой противодействия будет сила притяжения Земли к телу, а реак-ция опоры противодействует весу тела!

Принцип относительности Галилея Рассмотрим две системы отсчета,

движущиеся друг относительно друга с по-стоянной скоростью υ0 (рис. 4). Найдем связь между координатами x, y и z некото-рой точки Р в системе К и координатами x', y' и z' той же точки в системе К'. Отсчет времени ведется от момента, когда начала координат обеих систем совпадали. Как видно из рисунка,

x = x' + υ0 t ,

0υx

0tυ x'

P

x, x'

z' z

O

y K y' К'

O'

Рис. 4.

11 y = y', z=z'.

Добавим принятое в нерелятивистской механике положение о том, что время в обеих системах координат протекает одинаково:

t = t'. Совокупность этих четырех уравнений называется преобразованиями Галилея.

Продифференцировав эти соотношения по времени, найдем связь между скоростями точки по отношению к системам К и К':

0 ; ; x x y y z zυ υ υ υ υ υ υ′ ′ ′= + = = .

Три скалярных уравнения можно заменить одним векторным:

0υ υ υ′= +

. Мы получили соотношение между скоростями точек в системах К и К'. Это

соотношение называется классическим законом сложения скоростей. Докажем что любая система, движущаяся относительно некоторой инерци-

альной системы с постоянной скоростью, также будет инерциальной. Продиффе-ренцируем последнее выражение по времени. Получим

a a′=

. Ускорение тела во всех системах отсчета, движущихся друг относительно

друга прямолинейно и равномерно, оказывается одним и тем же. Но тогда и силы, действующие на тела в системах К и К', будут одинаковы. Следовательно, урав-нения динамики (второй и третий законы Ньютона) не изменяются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. С механической точки зрения все инерциальные системы отсчета эквивалентны. Практически это означает, что никакими механическими опытами, проведенными в данной системе, невозмож-но установить, находится ли она в состоянии покоя или равномерного и прямо-линейного движения.

Последнее положение носит название принципа относительности Галилея. Галилей (1564-1642) установил, что равномерное прямолинейное движение рав-ноправно состоянию покоя. При описании движения все инерциальные системы эквивалентны, и нет никаких оснований отдавать предпочтение одной из них.

Понятие состояния в классической механике

Общность фундаментальных физических теорий проявляется, прежде всего, в том, что все они вводят в качестве основного понятия – понятие состояния фи-зической системы. Главная и определяющая идея при формировании понятия со-стояния заключается в следующем: начальное состояние однозначно определяет конечное состояние в зависимости от взаимодействий внутри системы, а так-же в зависимости от внешних воздействий на систему.

Понятие состояния в физике было впервые отчетливо выявлено при по-строении классической механики. В классической механике Ньютона – механике системы материальных точек (частиц) – начальные условия задаются совокупно-стью координат ir

и импульсов ip

, (или скоростей iυ ) всех частиц. Эти величины

12 могут принимать произвольные значения: положение и импульс любой частицы не зависят от положений и импульсов всех других частиц.

Эволюция состояния системы описывается уравнениями движения. Урав-нением движения классической нерелятивистской механической системы являет-ся второй закон Ньютона, полностью определяющий поведение объектов. Это об-стоятельство является решающим для того, чтобы совокупность координат и им-пульсов всех частиц рассматривать как характеристику состояния системы. Уравнения движения однозначно описывают изменение этого состояния во вре-мени. Они определяют ускорения частиц в зависимости от сил. Силы являются однозначными функциями расстояний между частицами и их относительных ско-ростей.

Координаты и импульсы (или скорости) – основные физические величины в механике Ньютона, так как определяют состояние системы. Кроме того, все ос-тальные механические величины (наблюдаемые), представляющие интерес для механики (энергия, момент импульса, действие и др.), выражаются в виде функ-ций координат и импульсов.

Лекция 3. Силы

Сила входит во второй и третий законы Ньютона. Но что такое сила? Сила – есть мера взаимодействия тел. В настоящее время установлены фундаментальные взаимодействия, к которым, в конечном счете, сводятся силы любой природы. Получены законы сил, которые не являются фундаментальными, но имеют доста-точно большую область применимости и эффективно используются в физике и технике.

По современным представлениям все многообразие явлений, наблюдаемых во Вселенной, обусловлено четырьмя видами фундаментальных взаимодействий: гравитационными, электромагнитными, слабыми и сильными, или ядерными, взаимодействиями.

Самым слабым является гравитационное взаимодействие. Оно осуществля-ется между телами с любыми массами и проявляется в форме сил тяготения. Роль сил тяготения возрастает при переходе к большим массам. В микромире силы тя-готения практически никакой роли не играют. Их роль является определяющей только в крупномасштабных явлениях.

Электромагнитные взаимодействия осуществляются между телами, в состав которых входят электрически заряженные частицы. Эти взаимодействия обуслав-ливают существование стабильных атомов, связывают атомы в молекулы, явля-ются причиной действия сил между частицами газов, жидкостей, твердых тел, плазмы и играют основную роль во всех физико-химических и биологических процессах. К электрическим взаимодействиям сводятся все силы нефундамен-тального характера (трение, упругость).

Слабые взаимодействия не способны создавать устойчивые состояния ве-щества. Они обуславливают нестабильность многих микроскопических частиц, приводя их к распадам, и характерны только для определенного круга микроско-

13 пических квантовых процессов.

Ядерные взаимодействия являются наиболее сильными. Именно эти взаи-модействия связывают протоны и нейтроны в атомных ядрах. Характерной осо-бенностью сильных ядерных взаимодействий является их малый радиус действия. Они проявляются только в том случае, когда расстояние между сильно взаимо-действующими частицами не превышает 10–15 м.

В классической механике все силы имеют гравитационную или электромаг-нитную природу. Слабые и сильные взаимодействия играют роль в специфиче-ских микроскопических явлениях квантовой природы и не могут быть включены в схему классической механики.

Закон всемирного тяготения

История открытия закона всемирного тяготения К началу 17 века большинство ученых признало гелиоцентрическую систе-

му, предложенную Николаем Коперником (1473-1545). Согласно этой системе, все планеты движутся вокруг Солнца. Однако ученым того времени не были ясны ни законы движения планет, ни причины, определяющие характер их движения. Через полвека после Коперника И. Кеплер (1571-1630), обрабатывая точные на-блюдения Т. Браге (1546-1601), а также свои собственные, нашел три кинемати-ческих закона движения планет: 1. Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого нахо-дится Солнце (1609).

2. Радиус-вектор, связанный с планетой, “заметает” в равные промежутки времени равные площади (1609).

3. Кубы больших полуосей эллипсов пропорциональны квадратам времен обраще-ния планет (1619).

В 1687 году Ньютон опубликовал свой труд, в котором изложил закон все-мирного тяготения. Мы попытаемся проследить за ходом мысли Ньютона, упро-стив математическую сторону дела.

В первом приближении можно считать, что планеты движутся почти рав-номерно по орбитам, которые мало отличаются от окружностей. Но при движе-нии тела по окружности имеется нормальное (центростремительное) ускорение, направленное к центру орбиты, где находится Солнце. Из основного закона ди-намики следует, что это ускорение вызывается некоторой силой. Итак, Солнце действует на каждую планету с некоторой силой.

Известно, что Луна вращается вокруг Земли; очевидно, что они притягива-ются друг к другу. Ньютон выдвинул решающее предположение, что сила тяже-сти, действующая на тела вблизи поверхности Земли, и сила, с которой Земля притягивает Луну, имеет совершенно одинаковое происхождение. Сила, с кото-рой взаимодействует Солнце с планетами, имеет ту же природу.

Итак, пусть планета движется по окружности радиуса R со скоростью v. То-гда, согласно (1.1), (1.2) и (1.3),

14

an =2 2 2 2

22

4RR R

R R T

υ ω πω= = = , (3.1)

где T – период вращения. Согласно третьему закону Кеплера для двух планет 3 21 13 22 2

R T

R T= , откуда

3 31 22 2

1 2

R R

T T= = const = K.

K называется постоянной Кеплера. Она не зависит от параметров планет и всегда

равна K = 3

2

R

T. Выразив отсюда T 2 и подставив в выражение (3.1) для an, получим

an = 2

2

4R

T

π =

2

2

4 K

R

π. Т.к. F = m⋅a, то F = 2

2

14 K m

R⋅ ⋅π . Мы видим, что F ∼ 1/R2.

Для всех планет Солнечной системы коэффициент 4π 2K имеет одно и то же значение. Ньютон предположил, что этот коэффициент зависит от параметров Солнца. Т.к. сила пропорциональна массе планет, то она должна быть пропор-циональной и массе Солнца, т.е. 4π 2K = γ⋅М, откуда

F = 2

Mm

Rγ . (3.2)

Далее Ньютон сравнил ускорение свободного падения g у поверхности Зем-ли с ускорением аЛ Луны при движении вокруг Земли, которое было известно из астрономических наблюдений. Т.к. aЛ = 2,7⋅10–3 м/с2, то

Лg a ≈3600= ( )2

З-Л ЗR R ,

как и должно быть, так как расстояние от Земли до Луны составляет 60 земных радиусов: RЗ-Л = 60 RЗ.

Итак, закон всемирного тяготения формулируется следующим образом: Сила тяготения между двумя точечными телами пропорциональна массам

этих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния меду ними. Коэффициент γ, входящий в закон тяготения (3.2), называется гравитацион-

ной постоянной. Она численно равна силе, с которой действует частицы с еди-ничными массами, расположенными на расстоянии, равном единице.

Генри Кавендиш (1731-1810) в 1798 году опытным путем определил грави-тационную постоянную γ. Он получил γ = 6,717⋅10–11 Н⋅м2/кг2. По современным уточненным данным γ = 6,6745⋅10–11 м3/кг·с2.

На основании закона всемирного тяготения нетрудно определить массу и

плотность Земли. Ускорение на поверхности Земли равно g = З

2З

М

R

γ = 9,8 м/с2, по-

этому, зная радиус Земли RЗ и считая Землю однородным шаром, можно найти ее массу. Расчет дает для массы Земли значение МЗ ≈ 6⋅1024 кг. Отсюда средняя плотность Земли ρ =5500 кг/м3, это более чем вдвое превосходит плотность по-верхностных слоев Земли, что позволяет предполагать наличие внутри Земли плотного ядра.

Аналогично можно определить массу Солнца: МС ≈ 2⋅1030 кг. В настоящее время справедливость закона тяготения проверена до самых

доступных астрономам расстояний. От действия сил тяготения нельзя экраниро-

15 ваться, силы тяготения не зависят от промежуточной среды.

Силы упругости. Закон Гука

Все реальные тела под действием сил изменяют размеры и форму, т.е. де-формируются. Если деформации не слишком велики, то после снятия нагрузки тела почти полностью принимают свои первоначальные размеры и форму. Такие деформации называются упругими.

Деформации, которые остаются после прекращения действия силы, называются пластическими.

Деформации реального тела всегда пластические, т.к. полностью не исчезают после прекращения действия силы. Однако, если остаточные деформации малы, то ими можно пренебречь.

Наличие сил упругости объясняется тем, что между атомами существует электрическое взаимодействие. Если на тело воздействует внешняя сила и над ним совершается ра-бота, то его потенциальная энергия возрастает (например, пружинка растягивается). Когда действие силы прекращает-ся, система вновь стремиться перейти в состояние с мини-мальной энергией.

Введем некоторые понятия, с помощью которых описываются процессы деформации. Для этой цели рассмотрим стержень длиной L и поперечного сече-ния S (рис.5). К концу стержня приложим силу F. Длина стержня под действием силы измениться на величину ∆L.

Сила, действующая на единицу площади поперечного сечения S, называет-ся напряжением:

σ = F/S. Количественной мерой, характеризующей степень деформации, является

его относительная деформация ε = ∆L/L. Одно из первых исследований сил упругости было проделано Робертом Гу-

ком: для малых деформаций относительное удлинение и напряжение прямо про-порциональны друг другу:

Eσ ε= ⋅ . В этой формуле коэффициент пропорциональности Е называется модулем Юнга.

Закон Гука можно записать в виде, знакомом вам из школьного курса.

ε = L F

L E SE

σ∆ = = , или F = ES

LL

∆ =k⋅∆L,

где k = ES/L называется коэффициентом упругости, а для пружины – коэффици-ентом жесткости.

Итак, удлинение стержня при упругой деформации пропорционально дей-ствующей силе.

F

L + ∆L L

Рис. 5.

16 Деформация сдвига

Деформацию сдвига можно осуществить, если взять брусок, имеющий форму прямоугольного паралле-лепипеда, и приложить к нему силу Fτ , касательную к его поверхности (рис. 6). Относительная деформация оп-ределяется в этом случае по формуле

tga

bγ = .

Тангенциальным напряжением называется величина τ = F Sτ , где S – площадь поверхности бруска. Опыт показывает, что G=γ τ , где G – модуль сдвига.

Силы трения

Всякое тело, движущееся по горизонтальной поверхности другого тела, при отсутствии действия на него со стороны других тел, с течением времени останав-ливается. В соответствие с законами динамики, это можно объяснить существо-ванием некоторой силы, которая препятствует движению. Эта сила – сила сопро-тивления, или трения, направленная противоположно относительному перемеще-нию данного тела и приложенная по касательной к соприкасающимся поверхно-стям.

Различают внешнее (сухое, т.е. трение без смазки) и внутреннее (жидкое или вязкое) трение. Если соприкасающиеся тела неподвижны друг относительно друга, то говорят о трении покоя.

Рассмотрим некоторые закономерности внешнего трения. Пусть к телу, лежащему на горизонтальной плоскости, приложена горизон-

тальная сила F (рис. 7). Тело придет в движение, ко-гда приложенная сила будет больше силы трения Fтр. Французские физики Гильом Амонтон (1663 -1705) и Шарль Кулон (1736 – 1806) опытным путем устано-вили следующий закон: сила трения скольжения пропорциональна силе нормального давления

Fтр = µ⋅N, где µ – коэффициент трения скольжения, зависящий от свойств соприкасаю-щихся поверхностей, а N – сила, с которой одно тело давит на другое перпенди-кулярно плоскости соприкосновения.

Интересно, что трение скольжения не зависит от скорости движения. Оно лишь немного падает с увеличением скорости и колеблется около среднего зна-чения.

Еще одна особенность силы сухого трения: сила трения покоя и сила тре-ния скольжения не зависят от площади соприкасающихся поверхностей.

Как объяснить этот факт? Самые совершенно отполированные поверхности имеют беспорядочно расположенные выступы, высота которых составляет не-сколько сотен атомных диаметров. Поэтому две прижатые друг к другу поверхно-сти можно схематически изобразить так: молекулярное соприкосновение проис-

Fтр F N

mg Рис. 7.

Fτ

b

a

γ

Рис. 6.

17 ходит только в малых, строго локализованных зонах. Общее сечение всех этих зон составляет лишь очень малую часть бруска. Но в этих зонах давления очень высоки. Упроченные зоны обеих тел, там, где они соприкасаются, могут склеи-ваться посредством адгезии (прилипания).

При повышении нагрузки поперечные сечения вследствие пластической деформации увеличиваются. В результате общее сечение зависит только от силы давления, которая сжимает тела. Сумма площадей всех зон не зависит от площа-ди соприкосновения тел, на которой распределены зоны.

Трение качения Пусть колесо радиуса r прижато к горизонтальному полотну дороги силой

N. Чтобы заставить это колесо катиться с постоянной скоростью, следует прило-жить силу

Fкач = µкач⋅N

r.

Отношение силы трения качения к силе трения скольжения имеет очень ма-лую величину. Понять это можно, рассматривая оба вида трения как обрыв адге-зионных связей: при скольжении адгезионные связи на контакте обрываются од-новременно, а при качении – последовательно и притом весьма малыми порция-ми. Попробуйте, например, оторвать липкую ленту от гладкой поверхности стола, прикладывая усилие к одному из ее концов в первом случае горизонтально, вдоль ленты, а во втором – вертикально.

Внутреннее трение или вязкость Опыт показывает, что сила вязкого трения между двумя слоями жидкости,

движущимися параллельно друг другу, определяется выражением

F = η⋅x

υ∆∆

⋅S,

где S – площадь каждого слоя, ∆x – их толщина, ∆v – разность скоростей их дви-жения, η – коэффициент вязкости.

Если в жидкости движется тело, то при не очень большой скорости его движения сила вязкого трения пропорциональна этой скорости:

F = kv. Например, для шарика, движущегося с малой скоростью (как оценить степень малости мы обсудим в дальнейшем), сила трения определяется формулой Стокса

F = 6π⋅r⋅v. Особенностью силы вязкого трения является отсутствие силы трения покоя.

Поэтому можно малой силой сдвинуть с места большой корабль в воде.

Лекция 4. Закон сохранения энергии

Мы переходим к рассмотрению законов сохранения. Так же как и принцип относительности, законы сохранения импульса, энергии и ряда других величин выделяются среди всех физических законов своей всеобщностью, т.е. высшей сте-

18 степенью фундаментальности.

Своим происхождением законы сохранения обязаны свойствам симметрии природы. Эта идея была впервые сформулирована в 1918 году А.Э. Нётер.

Нётер доказала фундаментальную теорему, носящую теперь её имя. Со-гласно этой теореме, из инвариантности относительно сдвига во времени (что вы-ражает физическое свойство равноправия всех моментов времени: однородность времени) следует закон сохранения энергии; из инвариантности относительно пространственных сдвигов (свойство равноправия всех точек пространства: одно-родность пространства) – закон сохранения импульса; из инвариантности отно-сительно пространственного вращения (свойство равноправия всех направлений в пространстве: изотропность пространства) – закон сохранения момента количе-ства движения и другие.

Законы сохранения представляют собой мощное орудие исследования. Час-то бывает, что точное решение уравнений движения оказывается весьма слож-ным. В этих случаях с помощью законов сохранения можно и без решений урав-нений движения получить ряд важных данных о протекании процесса. Законы со-хранения не зависят от характера действующих сил. Иногда из законов сохране-ния вытекает, что что-то оказывается невозможным. Мы, например, не тратим попросту время на разработку конструкции вечного двигателя.

Далее мы получим законы сохранения энергии, импульса и момента им-пульса из законов Ньютона. Однако следует иметь в виду, что законы сохранения обладают гораздо большей общностью, чем законы Ньютона. Законы сохранения являются точными законами, которые выполняются всегда.

Работа. Мощность

Обсуждение законов сохранения начнем с понятия работы, или, точнее го-воря, с понятия механической работы.

Пусть на тело действует сила F

, а перемещение тела dr

. Механической ра-ботой называют величину

A = F dr⋅

, равную скалярному произведению силы на перемещение, или

A = F ⋅ dr ⋅ cos α , (4.1) где α – угол между направлением силы и направлением перемещения.

Если тело не перемещается, то работа силы равна нулю. Работа зависит также от угла между силой и перемещением: если 0 < α < π/2, то А > 0, если π/2 < α < π то A<0. При α = π/2 A=0.

Работа переменной силы Рассмотрим такой пример. Пусть величина проекции силы на направление

движения изменяется во время движения. График проекции силы на направление движения представлен на рис. 8. Для вычисления работы весь путь от S1 до S2 следует разбить на элементарные участки ∆Si, взяв их столь малыми, чтобы за время прохождения каждого из этих участков величину силы можно было считать

19 постоянной. Тогда работа силы на элементарном участке i равна

∆Ai = Fi⋅∆Si, а работа на всем пути может быть вычислена как сумма элементарных работ:

A = Σ ∆Ai = Σ Fi⋅∆Si. При устремлении всех ∆Si к нулю перейдем к точ-ному равенству

2

1

( )S

S

A F S dS= ∫ .

Т.е. работа численно равна площади фигуры под кривой F(S). В качестве примера найдем работу, совершаемую при растяжении пружин-

ки. Растяжение будем производить медленно, чтобы внешнюю силу можно было бы считать равной силе упругости. Тогда

A = 0

x

F dx⋅∫ = 0

x

kx dx⋅∫ = 2

2kx

.

Если бы мы растягивали пружинку от координаты x1 до координаты x2, то получили бы другое выражение для работы внешней силы

A =2

1

x

x

kx dx⋅∫ =2 22 1

2 2

kx kx− .

Единицы работы В системе СИ единицей работы является джоуль. Джоуль – это работа, со-

вершаемая силой в 1 Н на расстоянии 1 м : т.к. A = FS, то 1 Дж = 1 Н ⋅ 1 м. В тех-нике часто работа измеряется в килограммометрах: 1 кгм = 1 кгс ⋅ 1 м = 9,81 Дж.

Мощность На практике часто имеет значение не только величина работы, но и время t,

за которое она совершается. Средней мощностью за промежуток времени ∆t на-зывается отношение работы, совершаемой за это время, к промежутку времени:

Nср = A

t

∆∆

.

Мгновенной мощностью называется предел

N = 0

limt

A

t∆ →

∆∆

= dA

dt.

Мгновенную мощность можно выразить через силу и мгновенную скорость

N = dA

dt =

F dS

dt

⋅ = F⋅v.

Единицей измерения мощности в системе СИ служит ватт: 1 Вт = 1 Дж/с. Внесистемной единицей мощности является лошадиная сила: 1 л.с. = 75 кг⋅м/с = 749,5 Вт.

∆Si S

F(S)

S1 S2

Fi

Рис. 8.

20 Кинетическая энергия.

Допустим, что мы имеем тело, не подвергающееся воздействию со стороны каких либо других тел в некоторой системе координат. Такое тело называется свободным. Пусть начальная его скорость равна v1. Если мы приложим к этому телу постоянную силу F, тело начнет двигаться с постоянным ускорением a. За время t оно пройдет путь S = at2/2 + v1t и приобретет скорость v2 = v1 + a⋅t. Со-вершенная работа будет равна

F⋅S =2

12at

ma tυ +

= m⋅at⋅ 12

at υ +

.

Но at = v2 – v1, поэтому

F⋅S = m(v2 – v1) 2 1

2

υ υ+=

2 22 1

2 2

m mυ υ− .

Итак, работа силы, действующей на тело, идет на изменение величины T = 2 2mυ , называемой кинетической энергией:

A = T2 – T1. Очевидно, единицей кинетической энергии является джоуль.

В общем случае сила и перемещение не параллельны друг другу. В этом случае силу можно разложить на две составляющие: параллельную и перпенди-кулярную скорости. Работа силы, перпендикулярной скорости, равна нулю со-гласно уравнению (4.1). Такая сила лишь изменяет направление скорости, но не меняет ее величины, а в выражение кинетический энергии входит модуль скоро-сти.

Потенциальная энергия

Движущееся тело обладает энергией, т.е. может совершить работу. Однако тело может совершить работу и, находясь в особом положении среди других тел. Для того, чтобы охарактеризовать или описать это положение тела, введем ряд новых понятий.

Если тело поставлено в такие условия, что оно подвержено действию дру-гих тел с силой, закономерно изменяющейся от точки к точке, то говорят, что те-ло находится в поле сил. Так, например, тело вблизи поверхности Земли находит-ся в поле сил тяжести – в каждой точке пространства на него действует сила

P = m⋅g. Если в каждой точке пространства действующая сила одинакова по величине и направлению, поле называют однородным.

Два тела, например, Солнце и Земля, взаимодействуют по закону всемирно-го тяготения

F = 1 22

M M

rγ .

Это поле характерно тем, что сила, действующая на Землю в любой точке траек-тории Земли, проходит через центр Солнца. Поле сил, обладающее таким свойст-вом, называется центральным. Таким же свойством обладает электрическое поле,

21 созданное неподвижным точечным зарядом.

Существуют силы – к их числу относятся упругие, гравитационные, куло-новские – работа которых не зависит от формы траектории. Такие силы назы-ваются консервативными (от латинского conservatio – сохранение).

Условились называть потенциальной энергией величину П, зависящую от относительного расположения составных частей системы, уменьшение которой равно положительной работе внутренних сил:

П1 – П2 = А или dA = – dП. Здесь П1 – начальное, а П2 – конечное значения потенциальной энергии.

Заметим, что понятие потенциальной энергии можно ввести только для по-ля консервативных сил. Совершенно недопустимо говорить о потенциальной энергии тела, не указывая поле, в котором находится это тело.

Легко доказать, что работа консервативной силы по замкнутой траектории равна нулю. Действительно, если траектория замкнута, то начальная и конечная точки совпадают, и тогда П1 = П2, откуда следует, что A=0.

Заметим еще, что потенциальную энергию можно найти только с точностью до некоторой произвольной постоянной. Т.е. нулевой уровень потенциальной энергии может быть выбран произвольно.

Работа внешней силы по растяжению пружинки A = kx2/2, следовательно, потенциальная энергия пружинки равна П = kx2/2.

Аналогично может быть найдена потенци-альная энергия пробного тела в поле сил тяготе-ния, создаваемых телом массы М.

Пусть маленькое пробное тело массой m перемещается по произвольному пути между точками 1 и 2 (рис. 9). Работа силы тяготения на элементарном участке dl

равна

dA =2 2

cosM m dl M m drFdl

r r

αγ γ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= =

(мы учли, что dl⋅cosα = dr). Отсюда для работы на полном пути от положения 1 до 2 получается выра-

жение

Aсил.тяг =2

21

drMm

rγ ∫

= – 2

1

Mm

r

γ=

1 2

1 1Mm

R Rγ

−

= m⋅(ϕ1 – ϕ2). (4.2)

Функцию

ϕ = – M

r

γ + const (4.3)

называют потенциалом, создаваемым телом массы М. Из уравнения (4.2) следует, что работа сил поля не зависит от формы пути, она полостью определяется поло-жением начальной и конечной точек.

Работа сил поля не зависит и от постоянной в уравнении (4.3), поэтому ее можно выбрать произвольно. В рассматриваемом случае ее разумно положить равной нулю, т.к. на бесконечности (r →∞ ) тела не взаимодействуют . Тогда вы-

2

dl

F

α

1

r

r+dr

M Рис. 9.

22 ражение для потенциала упростится:

ϕ = – M

r

γ.

Закон сохранения энергии

Рассмотрим систему, в которой действуют только консервативные силы. Физическая величина Е, равная сумме кинетической и потенциальной энергии, называется механической энергией системы.

Е = П + Т. Допустим, что механическая система является замкнутой, это значит, что в

ней действуют только внутренние силы. С одной стороны следует, что работа внутренних сил равна изменению кинетической энергии, с другой – изменению потенциальной энергии. Итак,

А = Т2 – Т1 и А = П1 – П2. Приравнивая правые части этих выражений и сгруппировав члены, получим:

П1 + Т1 = П2 + Т 2. Следовательно, сумма кинетической и потенциальной энергии, т.е. механи-

ческая энергия системы, сохраняется: Е = Т + П =const. Мы получили закон сохранения энергии в механике: механическая энергия

замкнутой консервативной системы сохраняется.

Лекция 5. Закон сохранения импульса

Введем некоторые понятия, которыми мы будем оперировать: 1. Совокупность тел, рассматриваемых как единое целое, называется механиче-ской системой.

2. Внутренние силы – это силы взаимодействия между составными частями сис-темы. Согласно третьему закону Ньютона эти силы попарно параллельны и противоположно направлены, поэтому если произвести векторное сложение всех внутренних сил, то в результате получится нуль.

3. Внешние силы – это силы, приложенные к составным частям системы со сторо-ны тел, не включенных в систему. Если на систему не действуют внешние си-лы, то систему называют изолированной.

Рассмотрим систему, состоящую из трех тел (рис. 10). Запишем основное уравнение динамики для каждого тела.

112 13 1

dpf f F

dt= + +

,

221 23 2

dpf f F

dt= + +

,

331 32 3

dpf f F

dt= + +

,

m3

m2 m1

23f

32f

31f

13f

21f

12f

3F

2F

1F

Рис. 10.

23 где ijf

– внутренние, а iF

– внешние силы. Складывая почленно эти уравнения,

получим:

( )1 2 3 1 2 3

dp p p F F F

dt+ + = + +

,

1 2 3

dpF F F

dt= + +

.

Мы учли, что сумма внутренних сил в соответствии с третьим законом Ньютона равна нулю. Если система изолирована, то все внешние силы равны нулю. Тогда

dp

dt

= 0.

Иначе говоря, p

= const. Итак, импульс замкнутой системы остается величиной постоянной, т.е.

не изменяется с течением времени.

Абсолютно неупругий удар

Удар называется абсолютно неупругим, если после соударения двух тел они движутся с одинаковой скоростью, образуя одно тело. Примером может служить удар пластилинового шарика о другой такой же шарик.

Рассмотрим два шара массами m1 и m2, центры которых движутся вдоль од-ной прямой (рис. 11). Пусть в некоторый момент времени происходит удар этих шаров, называемый в нашем случае центральным ударом. При этом шары де-формируются, кинетическая энергия частично или полностью превращается во внутреннюю энергию. При абсолютно неупругом ударе выполняется только закон сохранения импульса, закон же сохранения механической энергии не выполняется.

Пусть скорости шаров до удара равны v1 и v2. Им-пульс после удара должен равняться импульсу до удара:

m1⋅v1 + m2⋅v2 = (m1 + m2) u, где u – скорость шаров после удара. Отсюда

u = 1 1 2 2

1 2

m m

m m

υ υ⋅ + ⋅+

.

При абсолютно неупругом ударе произойдет потеря механической энергии, которая переходит в тепло. Она равна разности механической энергии до и после удара:

∆E =2 2 2

1 1 2 2 1 2 2( )

2 2 2

m m m m u++ −υ υ .

Подставляя в это выражение скорость шаров после удара, находим:

∆E = 2

1 2 1 2

1 2

( )

2( )

m m

m m

υ υ⋅ −+

.

1υ 2υ

u

До удара

После удара

Рис. 11.

24 Абсолютно упругий удар

Удар называется абсолютно упругим, когда сохраняется вся механическая энергия.

Обозначим массы шаров через m1 и m2, скорости их до удара через v1 и v2, а после удара – через u1 и u2 (рис. 12). Так как удар центральный, а движение одно-мерное, то законы сохранения энергии и импульса (в проекции на ось х) будут иметь вид:

m1⋅v1 + m2⋅v2 = m1⋅u1 + m2⋅u2 , 2

1 1

2

mυ + 2

2 2

2

m υ =2

1 1

2

m u + 2

1 2

2

m u .

Перенеся члены, относящиеся к m1, влево, а к m2 – вправо и сокращая на 2, получим систему уравне-ний:

m1(v12 – u1

2) = m2(u22 – v2

2), m1(v1 – u1) = m2(u2 – v2). (5.1)

Разделив почленно первое уравнение на второе, получаем:

v1 + u1 = u2 + v2 . (5.2) Мы освобождаемся, таким образом, от квадратов в уравнениях. Решая совместно (5.1) и (5.2), находим:

u1 = 2 2 1 2 1

1 2

2 ( )m m m

m m

υ υ+ −+

, (5.3)

u2 = 1 1 2 1 2

1 2

2 ( )m m m

m m

υ υ+ −+

. (5.4)

Если шары имеют одинаковую массу (m1 = m2), то из (5.3) и (5.4) получим u1 = v2, u2 = v1.

Т.е. при упругом центральном ударе двух тел одинаковой массы они обменива-ются скоростями.

Если одно из двух тел очень массивно (например, второе: m2>>m1), то на основании полученных формул получим:

u1 ≅ – v1 + 2 v2 , u2 ≅ v2. Как видим, скорость массивного тела фактически не изменяется.

Реактивное движение

Движение ракеты также объясняется законом сохранения импульса. При сгорании топлива из сопла с большой скоростью вырываются газы, в результате чего ракета движется в противоположном направлении так, что сумма импульсов ракеты и газов остается постоянной величиной.

Пусть в некоторый момент времени t0 масса ракеты (вместе с горючим и окислителем) равна М, а скорость ее относительно Земли v. При сгорании неко-торого количества топлива ракета к моменту времени t1 = t0 + ∆t будет иметь мас-су М – ∆m и скорость относительно Земли v + ∆v. Скорость истечения газов от-носительно ракеты равна u и направлена в сторону, противоположную движению

1υ 2υ

1u

2u

До удара

После удара

x

Рис. 12.

25 ракеты. Тогда скорость газов относительно Земли в момент t1 равна разности ско-рости ракеты и скорости истечения газов:

vгаз = v + ∆v – u. Поскольку система «ракета и газы» является замкнутой, то к ней применим

закон сохранения импульса: M⋅v = (M – ∆m)⋅(v +∆v) + ∆m(v + ∆v – u). Раскрыв скобки и сделав соответствующие преобразования, получим M⋅∆v = ∆m⋅u. (5.5) Газы, вырываясь из сопла ракеты, действуют на нее с некоторой силой, ко-

торая называется реактивной тягой. Чтобы найти ее, разделим обе части равенст-ва на ∆t. Учитывая, что M⋅ tυ∆ ∆ = F представляет собой силу тяги, а µ = m t∆ ∆ – ежесекундный расход топлива, получим

F = – µ⋅u. Итак, реактивная сила тяги равна произведению расхода топлива и скорости

истечения газов. Она направлена в сторону, противоположную направлению ис-течения газов.

Далее, т.к. ∆M = – ∆m, из (5.5) получим

M⋅ d

dt

υ = – u⋅ dM

dt.

Разделив переменные и проинтегрировав, найдем:

v = –u⋅ dM

M∫ = – u⋅ln М + C.

Значение постоянной С определим из начальных условий. Если в началь-ный момент времени скорость ракеты равна нулю, а ее масса М0, то С = u⋅ln M0. Следовательно,

v = u⋅ln 0M

M.

Это выражение называется формулой Циолковского.

Лекция 6. Механика твердого тела

До сих пор мы рассматривали движение материальной точки. Далее мы бу-дем рассматривать движение абсолютно твердого (недеформируемого) тела. Из-вестно, что если заметных деформаций тела не происходит, то его любое сложное движение может быть представлено суммой вращательного и поступательного движения.

Поступательным называется такое движение, при котором прямая, прове-денная через две любые точки тела, остается параллельной сама себе. Следова-тельно, все точки тела описывают в пространстве одинаковые траектории, и дви-жение полностью задается любой точкой (например, центром масс тела).

Вращательное движение вокруг оси – это такое движение твердого тела, при котором траектория любой его точки является окружностью. Центры всех окруж-ностей лежат на одной прямой, называемой осью вращения.

Рассмотрим подробнее вращательное движение твердого тела. Мы ограни-

26 чимся рассмотрением вращения тела вокруг одной оси. Ось может быть непод-вижна, как, например, ось ротора электродвигателя; возможно перемещение оси в пространстве, например, ось, называемая мгновенной, вращения колеса, катяще-гося по шоссе, которая в каждый момент совпадает с линией соприкосновения колеса с шоссе. Тело, вращающееся вокруг оси, имеет одну степень свободы и его положение однозначно определяется углом поворота ϕ.

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения являются его угловая скорость ω и угловое ускорение β. Для любой точки, от-стоящей от оси на расстояние r, ее линейная скорость υ = ω⋅r, касательное уско-рение a = β⋅r, нормальное ускорение an = ω2⋅r и полное ускорение a = r⋅ 2 4β ω+ .

Обобщая результаты наблюдений, можно заключить, что тело, вращающее-ся вокруг оси, проходящей через центр масс, если на него не действуют другие тела (например, нет трения об ось), должно сохранять вращение сколь угодно долго. Это заключение аналогично первому закону Ньютона для поступательного движения. Далее получим для вращательного движения закон, аналогичный вто-рому закону Ньютона.

Момент силы и момент инерции

При рассмотрении вращения твердого тела понятие о силах заменяется понятием о моментах сил, а понятие о массе – понятием о моменте инерции. Для того чтобы вы-яснить содержание этих понятий, рассмотрим вначале вращение одной материальной точки А с массой m по ок-ружности радиуса r (рис. 13). Пусть на точку А действует постоянная сила f, направленная по касательной к окруж-ности. Тогда точка А приобретает постоянное тангенциаль-ное ускорение aτ , определяемое равенством:

f = m⋅aτ . (6.1)

Введем угловое ускорение β = а

rτ . Тогда равенство (6.1) заменится выражением

f = m⋅r⋅β . (6.2) Умножив правую и левую части этого уравнения на r, получим

f⋅r = m⋅r2⋅β . Величина М = f⋅r, численно равная произведению величины силы на длину

перпендикуляра, опущенного на направление силы из точки О (центра вращения), называется моментом силы относительно точки О.

Величина I = m⋅r2, численно равная произведению массы точки на квадрат расстояния от оси вращения, называется моментом инерции точки относительно оси.

Введя понятия момента силы и момента инерции, можно представить урав-нение (6.2) в виде

М = I⋅β.

O

f A

r

Рис. 13.

27 Перейдем теперь к рассмотрению твердого тела, вращающегося вокруг оси

ОО' (рис. 14). Разобьем тело на большое число весьма малых элементов с масса-ми ∆mi . Пусть расстояние от одного из таких элементов до оси вращения равно ri, а сила, действующая на него, равна iF

. Раскладывая вектор iF

на три составляю-

щих, как показано на рисунке, мы видим, что только сила if

влияет на движение

выбранного элемента. Для этого элемента запишем уравнение fi = ∆mi⋅ai , или fi = ∆mi⋅ri⋅β, или, домножив на ri , fi ri = ∆mi⋅ri

2⋅β. Такие же равенства мы можем записать

для всех остальных элементов, а затем просум-мировать их:

Σ fi ri = Σ ∆mi⋅ri2⋅β. (6.3)

Величина I = Σ ∆mi⋅ri2 представляет собой

момент инерции тела относительно оси ОО'. Величина M = Σ fi⋅ri является полным мо-

ментом сил, действующих на тело, относительно оси вращения ОО'. Момент сил можно предста-вить в виде вектора, если определить его как

[ ]i iM r f= ×∑

.

Т.к. угловое ускорение тоже является вектором, то, используя эти понятия, равен-ство (6.3) можно переписать так:

dM I I

dt

ωβ= =

. (6.4)

Если момент инерции не изменяется, то (d I dL

Mdt dt

ω)= =

, (6.5)

где L I=

ω носит название момента импульса. Уравнения (6.4)-(6.5) аналогичны уравнениям (2.1)-(2.2). Роль массы играет

момент инерции, роль линейного ускорения – угловое ускорение, роль силы – суммарный момент внешних сил. Иногда его называют вторым законом Ньюто-на для вращательного движения.

Моменты инерции некоторых тел

Как следует из определения (6.6) момент инерции тела – аддитивная вели-чина, то есть момент инерции тела, состоящего из нескольких частей, относи-тельно некоторой оси равен сумме моментов инерции этих частей относительно той же оси. Разбив тело на маленькие части массами ∆mi , для его момента инер-ции получим:

I= Σ∆mi⋅ri2,

где⋅ri – расстояния от i-й точки до оси вращения. Введя понятие плотности ρi=∆mi /∆Vi, можно преобразовать формулу для момента инерции тела

I = Σρi ri2⋅∆Vi

O′

ir

O

if

iF

∆mi

Рис. 14.

28 Перейдем к пределу при ∆Vi → 0, тогда суммирование заменится интегрировани-ем

тела

2

V

I r dVρ= ⋅∫ .

Момент инерции тонкостенного полого цилиндра Разобьем цилиндр на полоски, идущие па-

раллельно его оси (рис. 15). Ввиду малой толщины стенок цилиндра мы можем считать, что все части такой полоски лежат на одинаковых расстояниях от оси ОО'. Поэтому момент инерции одной такой полоски равен

∆I = ∆mi⋅R2, где ∆mi – масса полоски. Момент инерции всего тонкостенного полого ци-линдра

I = Σ∆mi⋅R2 = R2⋅Σ∆mi . Но Σ∆mi есть масса всего цилиндра, поэтому I = m⋅R2.

Относительно какой-либо другой оси момент инерции того же цилиндра будет иным.

Mомент инерции однородного диска. Разобьем диск на кольцевые слои толщиной dr

(рис. 16). Все точки одного слоя будут находиться на одинаковом расстоянии от оси, равном r. Объем такого слоя равен dV = 2π⋅b⋅r⋅dr, где b – толщина диска. Под-ставим значение для элемента объема в интеграл

I = 2

0

R

r dVρ∫ = 3

0

2R

br drρ π∫ = 42

4b Rπ ρ

,

где R – радиус диска. Т.к. масса диска m = ρ⋅π⋅b⋅R2, то

I = 1

2m⋅R2.

Кинетическая энергия вращающегося твердого тела

Кинетическая энергия вращающегося твердого тела представляет собой ал-гебраическую сумму кинетических энергий отдельных его элементов, т.е.

Eкин=21

2 i imυ∆∑ = 2 21

2 i im r ω∆∑ =2

2ω 2

i im r∆∑ =2

2Iω

.

Найдем работу внешней силы при повороте тела на угол ∆ϕ. Пусть к телу приложена сила F

. Величина момента этой силы относительно оси вращения есть

М = F⋅r⋅sinα, где α – угол между векторами r

и F

(см. рис.

R

∆mi

O

O'

Рис. 15.

R

dr

r

b

Рис. 16.

∆α∆ϕ

r

F

∆S

Рис. 17.

29 17). При повороте тела на угол ∆ϕ точка приложения силы переместится на длину дуги ∆S, откуда работа, совершенная силой F, будет равна

∆А = F⋅∆S⋅cos(α − π/2) = F⋅∆S⋅sin α . Но ∆S = r⋅∆ϕ. Поэтому ∆А = F⋅∆ϕ⋅r⋅sin α. Или, так как F⋅r⋅sin α = М,

∆А = М⋅∆ϕ. В случае, когда момент М постоянен, то работа, совершаемая при повороте

тела на угол ϕ, будет А = М⋅ϕ. Если тело движется поступательно со скоростью v и одновременно враща-

ется вокруг некоторой оси с угловой скоростью ω, то полная кинетическая энер-гия его равна

T = 2

2

mυ + 2

2

Iω .

Теорема Штейнера

Если для какого-либо тела известен момент инерции относительно оси, про-ходящей через центр тяжести, то легко может быть найден момент инерции относительно оси, параллельной данной. Определение этого момента произво-дится по теореме Штейнера:

Момент инерции тела I относительно произвольной оси равен сумме мо-мента инерции I0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и произведения массы этого тела на квадрат расстояния между осями:

I = I0 + m⋅a2. Докажем эту теорему. Если тело вращается вокруг оси, не проходящей через центр масс, то его

кинетическая энергия может быть найдена по формуле:

Екин = 2

2mυ

+ 2

0

2

I ω.

Здесь I0 – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс; v – скорость движения оси, проходящей через центр масс тела. Эта скорость рав-на v = ω⋅a, где a – расстояние от оси вращения до оси, проходящей через центр масс. С учетом этого

Екин = 2 2

2m aω

+ 2

0

2

I ω =

2 20( )

2

I ma ω+ =

2

2Iω

,

откуда I = I0 + m⋅a2.

Закон сохранения момента импульса

Основной закон динамики вращательного движения можно преобразовать так:

M = I⋅β = I⋅t

ω∆∆

, или M⋅∆t = I⋅∆ω.

30 Пусть момент инерции твердого тела относительно данной оси величина

постоянная, тогда M⋅∆t = ∆(I⋅ω). Величина М⋅∆t называется импульсом момента сил, а величина L = I⋅ω –

моментом импульса тела. Равенство означает, что изменение момента импульса тела равно импульсу момента сил приложенному к телу.

Если M = 0, то ∆(I⋅ω) = 0, откуда L = I⋅ω = const. Итак, если момент внешних сил равен нулю (например, в замкнутой системе), то момент импульса тела остается постоянным. Это утверждение называется за-коном сохранения момента импульса тела.

Гироскопы

Гироскопом (или волчком) называется массивное симметричное тело, вра-щающееся с большой скоростью вокруг оси симметрии. Эту ось называют осью гироскопа.

Если к вращающемуся гироскопу приложить пару сил, стремящуюся повернуть его около оси, пер-пендикулярной к оси его вращения, то он станет по-ворачиваться около третей оси, перпендикулярной к первым двум. Пусть, например, гироскоп вращается около оси ОО' в направлении, указанном стрелкой, а пара сил 1F

и 2F

, перпендикулярных плоскости ри-сунка, стремятся повернуть его около оси АА' (рис. 18). Гироскоп, однако, повернется вокруг оси ВВ'. Странное поведение гироскопа полностью соответст-вует законам динамики вращательного движения.

В самом деле, момент сил M

направлен вдоль прямой АА'. Согласно уравнению (6.5), за время dt момент импульса гироскопа L

получит приращение dL

= M

⋅ dt, которое имеет такое же направление, как и M

. Спустя время dt момент импульса гироскопа бу-дет равен результирующей 1L

= L

+ dL

, лежащей в плоскости рисунка. Направле-ние 1L

совпадает с новым направлением оси гироскопа. Таким образом, ось ги-роcкопа повернется вокруг оси ВВ' на некоторый угол dϕ.

Найдем скорость этого углового поворота Ω = dϕ / dt. Т.к. dϕ = dL/L = Mdt/L, то отсюда следует, что поворот гироскопа происходит с угловой скоростью Ω = M/L.

В результате гироскопического эффекта гироскоп стремится расположить ось своего вращения таким образом, чтобы она образовала возможно меньший угол с осью вынужденного вращения, и чтобы оба вращения совершались в од-ном направлении.

A'

O

O'

1F

2F

A

B

B'

M

L I=

ω

1L

dL

dϕ

Рис. 18.

31 Лекция 7. Неинерциальные системы отсчета

Законы Ньютона справедливы в инерциальных системах отсчета. Выполня-ются ли они в системах, движущихся ус-коренно?

Представим себе длинный вагон, вдоль которого протянут горизонтальный стержень (рис. 19). Вдоль стержня может без трения скользить шар с отверстием. Будем считать систему, связанную с Зем-лей, инерциальной. Пусть вагон начал движение относительно Земли с постоян-

ным ускорением 0a

. Рассмотрим, как явления, происходящие в вагоне, описыва-ют наблюдатели, находящиеся в различных системах координат. Систему, свя-занную с Землей, мы обозначим через XYZ, а систему, связанную с движущимся вагоном, – через X'Y'Z'. Наблюдатель в системе XYZ. Он видит, что на шар никакие силы не действу-

ют, и в соответствии с первым законом Ньютона его скорость не меняется, т.е. относительно Земли он движется без ускорения, а в нашем примере покоится. Но вагон движется относительно Земли с ускорением 0a

, и поэтому относи-тельно вагона шар движется с ускорением – 0a

. Наблюдатель в вагоне, т.е. в системе X'Y'Z'. Хоть на шар никакие силы и не

действуют, однако он имеет ускорение относительно вагона! Значит, в систе-ме X'Y'Z' закон инерции нарушен: здесь возникает ускорение, не вызванное силами.

Итак, в ускоренно движущейся системе отсчета нарушается закон инерции. Поэтому такая система является неинерциальной.

Силы инерции и принцип Даламбера

Законы Ньютона в неинерциальных системах отсчета не выполняются. Од-нако можно сформулировать правило, позволяющее формально пользоваться вто-рым законом Ньютона и в неинерциальных системах отсчета. При этом, однако, будет необходимо отказаться от первого и третьего законов Ньютона.

В неинерциальных системах координат вводят дополнительные силы, кото-рые носят название сил инерции.

Вернемся к анализу явлений, происходящих в вагоне при его ускоренном движении. В первом опыте, когда шар не взаимодействовал с другими телами, он все же двигался относительно вагона с ускорением – 0a

. Таким образом, шар вел себя так, как если бы в вагоне на него действовала некая сила IF

= –m 0a

, которая и сообщала ему ускорение.

Величина 0IF ma= −

, где 0a

– ускорение неинерциальной системы отсчета, называется силой инерции.

Пользуясь этим понятием, можно записать основное уравнение динамики в

0a

– 0a

Y' Y

Z' Х

Х'

Z

Рис. 19.

32 системе движущейся с ускорением, следующим образом:

IF F m a+ = ⋅

. Эта формула является математическим выражение принципа Даламбера: Векторная сумма всех сил взаимодействия и сил инерции равна произведе-

нию массы тела на его ускорение относительно неинерциальной системы от-счета.

Равномерно вращающаяся система отсчета. Центробежная сила

Перейдем к рассмотрению событий, происходящих во вращающейся систе-ме отсчета.

Поставим на горизонтально расположенный диск маятник и приведем диск во вращение вокруг вертикальной оси OO' (рис. 20). Маятник отклонится от вер-тикали.

Рассмотрим его поведение с точки зрения наблюдателя, находящегося в неподвижной сис-теме координат, связанной с Землей. Так как ма-ятник движется по окружности, то должна суще-ствовать сила F

, постоянно заворачивающая его, т.е. сообщающая ему центростремительное уско-рение. Этой силой является векторная сумма силы тяжести и натяжения нити

F

=T mg+

= mц

a

= –mω2 ρ ,

где ρ – радиус-вектор, проведенный от оси вращения до тела. Как видно из рисунка, тангенс угла отклонения маятника равен

tgα = F

mg =

2

g

ω ρ ,

т.е. чем дальше от оси (чем больше ρ), тем на больший угол отклоняется маятник. Если ρ = 0, то он не отклоняется совсем.

Рассмотрим поведение того же маятника с точки зрения наблюдателя, на-ходящегося на диске. В этой системе маятник покоится. Чтобы сохранить закон Ньютона, мы должны ввести силу инерции

цбF

, удовлетворяющую условию:

T mg+

+цб

F

= 0,

откуда получим

цбF

= –(T mg+

) = – F

= m ω2 ρ . Эту силу принято называть центробежной силой инерции.

Движение во вращающейся системе отсчета. Сила Кориолиса

Если тело перемещается во вращающейся системе координат, то для описания его движения в

α

F

T

mg

O'

O ρ

Рис. 20.

∆S

А

ω

B

O

∆ϕ

Рис. 21.

33 подвижной системе координат нужно ввести еще одну силу инерции, называемую силой Кориолиса.

Над диском вдоль его радиуса укрепим неподвижную линейку (рис. 21). Линейка играет роль неподвижной системы отсчета, связанной с Землей.

Проведем мелом линию из центра вдоль линейки со скоростью u. Если диск не вращается, то мел оставит след в виде прямой линии OA вдоль его радиуса.

При вращении диска c угловой скоростью ω мел опишет из центра криво-линейную траекторию OB.

Рассмотрим это явление из разных систем отсчета. Неподвижная система отсчета, связанная с Землей. В этой системе, пока мел

движется по прямой вдоль радиуса со скоростью u, диск успевает повернуться на угол ∆ϕ = ω∆t, и поэтому мел попадает в точку B. Длина дуги АB равна

∆S = R∆ϕ = uω⋅(∆t)2. Подвижная система. В этой системе мел движется по криволинейной траекто-

рии, а значит, на него действует сила, перпендикулярная радиусу. Мел откло-няется от прямолинейной траектории на ∆S = АB. Ускорение, сообщенное этой силой, есть

aкор = 2

2 S

t

∆∆

= 2uω.

Это ускорение перпендикулярно векторам ω и u .

Можно показать, что при произвольном направлении скорости u получи-

лось бы ускорение

корa = 2⋅ [ ]u × ω ,

которое называется ускорением Кориолиса. Чтобы тело с массой m двигалось с таким ускорением, на него должна действовать сила

корf

= mкор

a = 2m⋅ [ ]u × ω ,

называемая силой Кориолиса.

Лекция 8. Колебания

Колебания представляют один из наиболее распространенных видов дви-жений в природе. Можно привести множество примеров: вибрации машин, коле-бания струн и мембран, тепловое движение атомов в узлах кристаллической ре-шетки.

Некоторые колебательные движения могут привести к катастрофическим последствиям, например колебания моста, возникающие от толчков, сообщаемых ему колесами поезда на стыках рельсов. В таких случаях задача состоит в том, чтобы предотвратить такие последствия. С другой стороны, колебательные про-цессы лежат в основе различных областей техники, например, в радиотехнике.

Наиболее общими признаками колебательного движения является их по-вторяемость и движение в ограниченном пространстве. Можно дать такое опре-деление колебаниям:

Колебания – это движение (процесс), при котором состояние системы

34 точно или приблизительно повторяется во времени.

Если движение или процесс повторяется через определенные промежутки времени Т, то колебание называется периодическим, а время Т – периодом коле-баний. Число повторений движения или процесса в единицу времени ν называет-ся частотой колебаний. Очевидно, что ν = 1/T. Единицей частоты служит 1 Герц (Гц) – частота колебаний, которые совершаются 1 раз в одну секунду.

Гармонические колебания

Важнейшим примером среди периодических колебаний являются простые, или гармонические, колебания. Оказывается, что все прочие колебания можно представить как результат наложения некоторого числа гармонических колебаний разных частот, называемых гармониками. Математически эта возможность выра-жается разложением функции в ряд Фурье.

Гармонические колебания представляют собой периодический процесс, в котором изменение величины происходит по закону синуса или косинуса.

Для гармонического колебания величина удаления от положения равнове-сия является синусоидальной функцией времени

x = A·sin(ω0t + ϕ0), где x – элонгация, или величина удаления от положения равновесия;

А – величина максимального удаления от положения равновесия, называе-мая амплитудой гармонического колебания;

ω0t + ϕ0 – фаза гармонического колебания; ϕ0 – начальная фаза гармонического колебания; ω0 – циклическая частота.

Циклическая, или круговая, частота связана с периодом соотношением ω =2π/T. Скорость и ускорение при гармоническом колебании находятся как первая

и вторая производные от элонгации по времени:

v = dx

dt = ω0 A cos(ω0t + ϕ0) = ω0 A sin(ω0t + ϕ0 +

2

π );

a = 2

2

d x

dt = d

dt

υ = – ω02 A sin(ω0t + ϕ0).

Из последнего выражения видно, что величина ускорения "колеблется" в проти-вофазе с элонгацией:

2

2

d x

dt = – ω0

2x. (8.1)

Уравнение (8.1) является дифференциальным уравнением гармонического колебания, выражающим общее свойство синусоидальной функции.

Если вторая производная какой-либо функции по времени пропорциональна с обратным знаком этой функции, то эта функция изменяется по гармониче-скому закону, причем коэффициент пропорциональности равен квадрату круго-вой частоты гармонического колебания.

35 Динамика гармонического колебания

Соотношение (8.1) между ускорением и элонгацией позволяет определить условие, которому должна удовлетворять сила, чтобы под ее воздействием мате-риальная точка совершала гармонические колебания. Действительно, по второму закону Ньютона

F = –m a = – m⋅ω02x. (8.2)

Это значит, что для поддержания гармонического колебания нужна сила, которая изменялась бы пропорционально –x, т.е. пропорционально величине отклонения колеблющейся точки от положения равновесия. Знак "минус" указывает, что сила должна быть направлена против отклонения x, т.е. направлена к положению рав-новесия. Кроме того, при x = 0 сила не действует: F = 0. Таким условиям удовле-творяет сила, возникающая при деформации пружины:

F = – kx. (8.3) Сравнивая это с выражением (8.2), найдем:

k = mω02, ω0 =

k

m, ν = 0

2

ωπ

= 1

2πk

m и T = 1

ν = 2π

m

k.

Таким образом, значение массы колеблющейся материальной точки и вели-чина коэффициента упругой силы однозначно определяют частоту и период гар-монического колебания.

Если сила не является по своей природе упругой, но подчиняется закону (8.3), то она называется квазиупругой силой (по латыни quasi означает «как бы»).

Маятники

Математический маятник Математическим маятником называют идеализированную

систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на ко-торой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке.

Достаточно хорошим приближением к математическому ма-ятнику служит тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити.

Отклонение маятника от положения равновесия будем харак-теризовать углом α, образованным нитью с вертикалью (рис. 22). При отклонении маятника от положения равновесия возникает вра-щательный момент М, равный по величине mgl·sin(α). Этот момент стремится вернуть маятник к положению равновесия, т.е. аналогичен квазиупругой силе, по-этому моменту М и угловому смещению α нужно приписывать разные знаки. Следовательно,

M = – mgl·sinα. Т.к. момент инерции маятника равен I = ml2, а угловое ускорение β

= 2 2d dtα α≡ , то уравнение динамики вращательного движения M = Iβ для на-шего маятника выглядит так:

l

mg

α

l sin(α)

Рис. 22.

36 ml2α= – mgl sinα. Ограничимся рассмотрением малых колебаний. В этом случае sinα α≈ .

Введя, кроме того, обозначение g/l = ω02, придем к выражению α + ω0

2α = 0, ко-торое подобно уравнению (8.1), полученному ранее. Его решение имеет вид

α = α0 сos(ω0t + ϕ). Следовательно, при малых колебаниях угловое отклонение математическо-

го маятника изменяется во времени по гармоническому закону. Угловая частота равна

ω0 = g

l, а период Т = 2π

l

g. (8.4)

Физический маятник Рассмотрим теперь колебания физического маятника, которым может слу-

жить любое твердое тело (рис. 23), способное свободно вращаться вокруг непод-вижной горизонтальной оси, не проходящей через центр масс.

Момент внешних сил относительно этой оси равен M = – mgl0 sinα,

где m – масса физического маятника, l0 – расстояние от оси вращения до центра масс. Знак "минус" означает, что момент М препятствует повороту на угол α. При малых углах поворота sinα ≈ α. Обозначив момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса, через I, можно написать

I α = – mgl0α или α + ω02α = 0, где ω0

2 = mgl0/I. Из уравнения движения маятника видно, что при малых отклонениях от по-

ложения равновесия физический маятник совершает гармонические колебания, частота которых зависит от массы маятника, момента инерции маятника относи-тельно оси вращения и расстояния между осью вращения и центром инерции ма-ятника. Период колебаний маятника определяется выражением

T = 2π 0

I

mgl. (8.5)

Из сопоставления формул (8.4) и (8.5) видно, что математический маятник длиной

lпр = 0

I

ml

будет иметь такой же период колебаний, как и данный физический маятник. Ве-личину I/(ml0) называют приведенной длиной физического маятника.

Затухающие колебания

Если помимо квазиупругой силы на колеблющуюся точку действует сила трения, то она приводит к уменьшению механической энергии системы.

Рассмотрим груз, колеблющийся на пружинке. Выведем его из положения равновесия и отпустим. На тело будут действовать упругая сила Fупр = –kx и сила

l0

m g

α

Рис. 23

37 трения Fтр. Будем считать, что сила трения пропорциональна скорости: Fтр = –µυ (знак минус указывает на то, что сила трения направлена противоположно скоро-сти). Тогда уравнение движения груза (второй закон Ньютона) запишется так:

–kx – µυ = ma, или, т.к. υ = x , a a = x,

x+m

xµ + k

mx = 0.

Вводя обозначения m

µ = 2β, k

m= ω0

2, можно записать

x+ 2β⋅ x + ω02x = 0.

Это однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение имеет вид

x = a0 e–β t cos(ω1t + ϕ), (8.6)

где ω1 – частота колебаний, определяемая выражением ω1

2 = ω02 – β 2.

Движение тела можно рассматривать как гармоническое колебание частоты

ω с амплитудой, меняющейся по закону 0tx a e β−= . Степень затухания колебаний

определяется величиной

β = 2m

µ ,

которую называют коэффициентом затухания. Найдем время τ, за которое амплитуда уменьшается в е раз. Т.к. a0e

–βτ = a0e–1,

получим βτ = 1. Следовательно, коэффициент затухания обратен по величине то-му промежутку времени τ, за которое амплитуда уменьшается в е раз, т.е. β = 1/τ.

Найдем число колебаний Ne, которое совершит система за время τ :

Ne = T

τ = 1

Tβ = 1

λ.

Для характеристики колебательной системы часто употребляется величина

Q = πλ

= π Ne,

называемая добротностью колебательной системы. Как видно, добротность про-порциональна числу колебаний за время, в течение которого амплитуда уменьша-ется в е раз.

Последовательные максимальные отклонения тела от положения равнове-сия будут наступать через равные промежутки времени Т = 2π /ω1. Если первый из них равен x0, то второй будет x0 e

–β T, третий – x0 e–2β T и т.д. Отношение преды-

дущего размаха к последующему является декрементом затухания: δ = eβ T,

а его логарифм – логарифмическим декрементом затухания: λ = ln δ = βT. Еще раз вернемся к уравнению затухающих колебаний (8.6). При β = ω0

частота колебаний делается равной нулю, а при β > ω0 она становится даже мни-мой величиной, и движение становится непериодическим или, как говорят, апе-

38 риодическим. Так, например, шарик на пружине или физический маятник, погру-женные в достаточно вязкую жидкость, возвращаясь к положению равновесия, будут приближаться к нему с неограниченно убывающей скоростью без колеба-ний. Это используется, например, для успокоения стрелок электроизмерительных приборов.

Вынужденные колебания. Резонанс

Вынужденными называются такие колебания, которые возникают в колеба-тельной системе под действием внешней периодически изменяющейся силы (так называемой вынуждающей силы).

Пусть вынуждающая сила изменяется со временем по гармоническому за-кону

f = F0 cos(ω t). Составим уравнение движения с учетом вынуждающей силы:

–kx – µ x + F0 cos(ω t) = m x. Преобразуем это выражение:

x+ 2β⋅ x + ω02x = f0 cos(ω t),

где f0 = 0F

m, β =

2m

µ , ω02 = k

m.

Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с посто-янными коэффициентами. Общее решение такого уравнения складывается из об-щего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения не-однородного уравнения. Общее решение однородного уравнения, которое описы-вает затухающие колебания, мы уже знаем (уравнение (8.6)). Частное решение неоднородного уравнения имеет вид

xнеодн = a cos(ω t + ϕ), где

a = 0

2 2 2 2 20( ) 4

f

ω ω β ω− +. (8.7)

Довольно быстро свободные колебания затухают, и амплитуда определяет-ся выражением (8.7).

Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей си-лы, и при некоторой частоте она достигает максимального значения. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота – резонансной частотой.

Чтобы определить резонансную частоту ωрез, нужно найти максимум функ-ции (8.7). Продифференцировав выражение для амплитуды по частоте и прирав-няв к нулю, мы получим условие, определяющее ωрез:

– 4(ω02 – ω2) ω + 8β 2ω = 0.

Это уравнение имеет три корня: ω = 0 и ω = ± 2 22ω β− . Подставив последнее значение в формулу (8.7), получим выражение для

амплитуды при резонансе:

39

aрез = 0

2 202

f

β ω β−.

При отсутствии сопротивления среды (β = 0) амплитуда при резонансе стре-милась бы к бесконечности. При малом затухании амплитуда при резонансе при-ближенно равна

aрез

0

02

f≈βω

.

Разделим это выражение на смещение x0 из положения равновесия под дей-ствием постоянной силы F0, равное x0 = 2

0 0f ω . В результате получим

рез 0

0 2

a

x≈

ωβ

= πλ

= Q.

Таким образом, добротность показывает, во сколько раз амплитуда колеба-ний в момент резонанса превышает смещение колеблющегося тела из положения равновесия под действием постоянной силы той же величины, что и амплитуда вынуждающей силы.

Автоколебания

При затухающих колебаниях энергия системы постоянно расходуется. Если восполнять эту энергию, то колебания можно сделать незатухающими. Пополнять энергию можно за счет толчков извне в такт с собственными колебаниями. Одна-ко можно сделать так, чтобы сама колеблющаяся система управляла внешними воздействиями. Такая система называется автоколебательной.

Лекция 9. Элементы механики жидкостей и газов

Раздел механики, в котором изучается движение жидкости, называется гид-родинамикой, а движение газа – аэромеханикой.

Изучаемые вещества рассматриваются как сплошные, непрерывно распре-деленные в занятой ими части пространства. Плотность жидкости мало зависит от давления. Плотность же газов от давления зависит сильно. Однако при решении многих задач сжимаемостью жидкости и газа можно пренебречь и пользоваться понятием несжимаемой жидкости.

Рассмотрим основные параметры, которыми характеризуется состояние жидкости или газа.

Давление

Закон Паскаля Поместим в покоящуюся жидкость пластинку пло-

щадью ∆S (рис. 24). Части жидкости, находящиеся по раз-ные стороны от нее, будут действовать на нее с силами ∆F, которые, независимо от того, как пластинка ориентирова-на, будут равны по величине и направлены перпендикулярно к пластинке.

∆F

∆F

∆S

Рис. 24.

40 Физическая величина, равная отношению нормальной силы, действующей

со стороны жидкости на некоторую площадь, к этой площади, называется давле-нием жидкости:

P = F

S

∆∆

.

Единица давления – паскаль (Па). Один паскаль равен давлению, создавае-мому силой в 1 Н, равномерно распределенной по нормальной к ней поверхности площадью 1 м2 : 1 Па = 1 Н/м2.

Давление при равновесии подчиняется закону Паскаля: Давление в любом месте покоящейся жидкости одинаково по всем направ-

лениям, причем давление одинаково передается по всему объему, занятому по-коящейся жидкостью.

Гидростатическое давление Рассмотрим распределение давления внутри покоящейся несжимаемой

жидкости. При равновесии жидкости давление по горизонтали всегда одинаково, иначе не было бы равновесия. Поэтому свободная поверхность жидкости вдали от стенок всегда горизонтальна. Если плотность постоянна (жидкость несжимаема), то при поперечном сечении S столба жидкости, его высоте h и плотности ρ вес жидкости равен ρ ghS, и тогда давление на нижнее основание будет

p = ghS

S

ρ = ρ gh,

т.е. давление покоящейся жидкости меняется линейно с высотой столба (с глуби-ной). Это давление называется гидростатическим.

Закон Архимеда Т.к. гидростатическое давление растет с глубиной, то на нижние части тела

будет действовать большая сила, чем на его верхние части. На тело, погруженное в жидкость, действует со стороны этой жидко-

сти направленная вверх сила (сила Архимеда), равная весу жидкости в объеме погруженной части тела.

FА = ρ gV. Сила Архимеда приложена к центру тяжести тела.

Уравнение неразрывности

Движение жидкости изображается с помощью линий тока, которые проводятся так, чтобы касательные к ним совпадали по направлению с вектором скорости жидкости в соответствующих точках пространства. Линии тока про-водятся так, чтобы густота линий была больше там, где скорость больше. Таким образом, по картине линий тока можно определить со-стояние движения жидкости (рис. 25).

Часть жидкости, ограниченную линиями тока, называют трубкой тока. Те-чение жидкости называется стационарным, или устоявшимся, если форма и рас-

v

v v

Рис. 25.

41 положение линий тока, а также значения скоростей в каждой точке со временем не изменяются.

Рассмотрим одну из трубок тока (рис. 26). Выберем два ее сечения S1 и S2. За время dt через сечение S1 проходит объем S1⋅v1⋅dt, а через S2 – объем S2⋅v2⋅dt. Если жидкость несжимаема, то через оба сечения пройдет один и тот же объем, т.е.

S1⋅v1⋅dt = S2⋅v2⋅dt, или S1 v1 = S2 v2. Следовательно, произведение скорости течения не-

сжимаемой жидкости на поперечное сечение трубки тока есть величина постоянная для данной трубки тока. Это соот-ношение называется уравнением неразрывности для несжи-маемой жидкости.

Уравнение Бернулли

Выделим в стационарно текущей идеаль-ной жидкости (жидкости без вязкости), трубку тока, ограниченную сечениями S1 и S2 (рис. 27). Пусть в сечении S1 скорость v1, давление р1 и вы-сота, на котором расположено сечение, h1. Ана-логично в сечении S2 скорость v2, давление р2, высота h2. По истечении малого промежутка времени жидкость переместится от сечения S1 к S1', а от S2 – к S2'. Согласно закону сохранения энергии изменение полной энергии должно быть равно работе внешних сил; трубка с жидкостью как бы скатится с горки.

Энергия каждой частицы складывается из ее кинетической энергии и потенциальной энер-

гии в поле сил тяжести. Вследствие стационарности течения частицы, находя-щиеся спустя время t в незаштрихованной части, имеют такую же скорость, как и те частицы, что были там раньше. Поэтому приращение энергии рассматриваемо-го объема от S1 до S2 при его перемещении в положение от S1' до S2' можно вы-числить как разность энергий заштрихованных объемов.

Возьмем сечение трубки тока настолько малым, что всем точкам его можно было бы приписать одно и то же значение v, p и h. Тогда приращение энергии за-пишется следующим образом:

∆E = 22

22

mgh V

υ ρ + ∆

–

21

12

mgh V

υ ρ + ∆

. (9.1)

В идеальной жидкости трение отсутствует. Приращение энергии должно равняться работе внешних сил. Силы давления на боковую поверхность перпен-дикулярны и работы не совершают. В сечениях же S1 и S2 совершается работа

A = p1S1∆l1 – p2S2∆l2 = (p1 – p2)⋅∆V . (9.2)

S1

S2

v2

v1

Рис. 26.

h1

h2

p

p

p1

p1

Рис. 27.

S2

S2'

S1

S1' ∆V

∆V

∆l1

∆l2

42 Приравнивая (9.1) и (9.2), сокращая на ∆V и перенося члены с одинаковыми

индексами в одну часть, получим: 22

2 22gh p

ρυ ρ+ + = 21

1 12gh p

ρυ ρ+ + .

Т.к. сечения S1 и S2 были взяты совершенно произвольно, то для любого се-чения можно записать уравнение Бернулли

2

2gh p

ρυ ρ+ + = const.

Уравнение Бернулли есть приложение закона сохранения энергии к стацио-нарному движению жидкости. В этом уравнении р называется статическим дав-лением, 2 2ρυ – динамическим давлением, ρ·gh – гидростатическим давлением.

Вязкость жидкостей

Вязкость (внутреннее трение) – это свой-ство реальных жидкостей оказывать сопротив-ление перемещению одной части жидкости от-носительно другой. При перемещении одних слоев жидкости относительно других возникают силы внутреннего трения F, направленные по касательной к поверхности слоев (рис. 28). Дей-ствие этих сил проявляется в том, что со стороны слоя, движущегося быстрее, на слой, движущийся медленнее, действует ускоряющая сила, а на движущийся бы-стрее – тормозящая сила. Сила внутреннего трения тем больше, чем больше рас-сматриваемая поверхность, и зависит от того, насколько быстро меняется ско-рость при переходе от слоя к слою (т.е. от отношения ∆v/∆x). Опыт показывает, что

F = η x

υ∆∆

S,

где η – динамическая вязкость или просто вязкость. Единица вязкости – Пас-каль-секунда (Па·с). Это такая вязкость, при которой при ламинарном течении и градиенте 1м/с на 1 м возникает сила трения 1 Н.

Движение вязкой жидкости

Существует два вида течения вязкой жидкости. Течение называется лами-нарным, или слоистым, если каждый выделенный слой скользит относительно соседних слоев и не перемешивается с ними. Турбулентным, или вихревым, назы-вается течение, при котором происходит интенсивное перемешивание жидкости.

Английский ученый Рейнольдс (1842-1912) доказал, что характер течения зависит от безразмерного коэффициента, который называется числом Рейнольдса

Re = lρυ

η =

lυν

,

υ∆

2υ S

x∆

1υ F

F

Рис. 28.

43

где ν = ηρ

– кинематическая вязкость, ρ – плотность жидкости, l – характерный

линейный размер (например, диаметр трубы, диаметр шарика). Поток в трубе будет ламинарным, если Re < 1000. В случае, когда Re >

1500, поток турбулентный. При промежуточных числах 1000…1500 течение не-стабильно.

В случае сферы, движущейся в жидкости, ламинарным движение будет, ко-гда Re < 5.

Движение тел в жидкостях и газах

Одной из задач гидро- и аэромеханики является исследование движения твердых тел в жидкостях и газах и, в частности, изучение сил, действующих на эти тела.

Силу, действующую на движущееся тело в жидкости или газе, можно раз-ложить на две составляющие (рис.29). Одна сила, Rx, противоположна движению, а вторая, Ry, называемая подъемной, – перпендикулярна движению. Если тело симметрично, то на него действует только сила Rx лобового сопротивления. В идеальной жидкости лобовое сопротивление отсутствует.

Иначе обстоит дело при движении тел в вязкой жидкости. Вследствие вязкости среды в области, прилегающей к поверхности тела, об-разуется пограничный слой частиц, движущих-ся с меньшими скоростями. В результате тор-мозящего действия этого слоя возникает вра-щение частиц, и движение в пограничном слое становится вихревым. Если тело не имеет обте-

каемой формы, то пограничный слой отрывается и образует вихри. Если скорости меньше скорости звука, то подъемная сила и лобовое сопро-

тивление тел выражаются следующими зависимостями, полученными экспери-ментально:

Ry = Cy⋅ S 2

2ρυ

и Rx = Cх⋅ S 2

2ρυ

,

где Сy и Сx – безразмерные коэффициенты, зависящие от числа Рейнольдса и фор-мы тела.

Методы определения вязкости жидкости

Метод Стокса. Этот метод основан на измерении скорости падения шарика в жидкости.

Движение должно быть таким, чтобы не было превзойдено число Рейнольдса, т.е. ламинарным.

На шарик в жидкости действуют три силы (рис. 30): сила тяжести P mg=

, си-

YR

R

XR

υ

Рис. 29

44

ла Архимеда 3ж

4

3AF r gπ ρ=

, и сила вязкого трения или сила Стокса C 6F rπη υ= −

.

При равномерном, установившемся, движении векторная сумма этих сил равна нулю.

0.AP F F+ + =

Спроецировав это уравнение на ось Y и, подставив значение этих величин, получим

4

3πr3ρт g – 4

3πr3ρж⋅g – 6πηrυ = 0.

Откуда найдем η = 2

т ж2( )

9

grρ ρυ

−.

Измерив скорость падения шарика, можно определить вязкость жидкости.

Метод Пуазейля В этом методе вязкость определяется по количеству жидкости прошедшей

через капилляр. Рассмотрим капилляр радиусом R и длиной l (рис. 31). В капилляре выделим цилиндр радиусом r. На этот цилиндр со стороны внешних слоев жидкости действует задерживающая сила

F = –η d

dr

υS = – η d

dr

υ2πrl,

где S – боковая поверхность выделенного цилиндра радиуса r. Сила сопротивления уравновешивается разностью давлений ∆p=P1–P2

на концах выделенного цилиндра: –η

d

dr

υ2πrl = ∆pπr2, откуда получим

dv = – 2

p r dr

lη∆ ⋅ ⋅

.

Возьмем интеграл от обеих частей и, учтя, что скорость у стенок равна нулю,

найдем: v = 2 2( )

4

p R r

lη∆ −

.

Для нахождения объема вытекшей жидкости за время t выделим в жидкости цилиндрический слой радиуса r и толщиной dr (рис. 32). Будем считать, что ско-рость в этом слое постоянна и равна v. Через этот слой за время t пройдет объем

dV = 2πv trdr. Проинтегрировав это выражение от нуля до R, по-

лучим

V = 0

2R

r t drπ υ ⋅∫ = 2

4

pt

l

πη∆ 2 2

0

( )R

r R r dr−∫ =4

8

p R t

l

πη

⋅∆ ⋅.

Рис. 32.

mg

CF

AF

Рис. 30

Рис. 31

45 Из последнего выражения можно выразить вязкость

η = 4

8

p R t

Vl

π ⋅ ∆ ⋅ ⋅.

Лекция 10. Элементы специальной теории относительности

Известно, что Аристотель считал состояние покоя неким предпочтительным состоянием, в котором всегда должно оказываться тело, если на него не действует сила. Из законов Ньютона же следует, что единого эталона покоя не существует. Например, играя в поезде в настольный теннис, вы обнаружили бы, что траекто-рия шарика подчиняется законам Ньютона, как если бы вы играли на неподвиж-ном столе, и вы не могли бы сказать, что именно движется – поезд или земля.

И Аристотель, и Ньютон верили в абсолютное время. Иными словами, они считали, что временной интервал между двумя событиями можно однозначно из-мерить, и что результат будет одинаков независимо от того, кто производит изме-рения, лишь бы у измеряющего были правильные часы. Время было полностью отделено от пространства и считалось не зависящим от него.

Представления, основанные на "здравом смысле", относятся к сравнительно медленным объектам (яблоко, планета), но они оказываются совершенно неуме-стными, когда скорости становятся близкими к скорости света. По современным данным значение скорости света с = 299792458 м/с.

Настоящей теории распространения света не существовало до 1865 г., когда английский физик Максвелл сумел объединить электричество и магнетизм в еди-ную теорию. Эта теория предсказывала, что радиоволны и свет должны распро-страняться с некоторой фиксированной скоростью. Но поскольку теория Ньютона покончила с представлением об абсолютном покое, теперь, говоря о фиксирован-ной скорости света, нужно было указать, относительно чего измеряется эта ско-рость. В связи с этим было постулировано существование субстанции, заполняю-щей все пространство, названной эфиром. Световые волны распространяются в эфире так же, как звуковые в воздухе, и, следовательно, их скорость – это ско-рость относительно эфира. Наблюдатели, движущиеся относительно эфира с раз-ными скоростями, должны видеть, что свет идет к ним с разной скоростью. В ча-стности, коль скоро Земля движется в эфире по своей орбите вокруг Солнца, ско-рость света, измеренная в направлении движения Земли, должна отличаться от скорости света, измеренной под прямым углом к направлению движения.

В 1887 г. Майкельсон и Морли поставили очень точный эксперимент по сравнению значения скорости света, измеренной в направлении движения Земли, с ее значением, измеренным в перпендикулярном направлении. Оба значения оказались совершенно одинаковыми.

С 1887 по 1905 г. был сделан ряд попыток (наиболее известная из которых принадлежит Лоренцу) объяснить результат эксперимента Майкельсона и Морли тем, что все движущиеся в эфире объекты сокращаются в размерах, а все часы замедляют свой ход.

В 1905 г. служащий патентного бюро Альберт Эйнштейн опубликовал рабо-

46 ту, в которой было показано, что никакого эфира не нужно, если отказаться от понятия абсолютного времени.

Постулаты Эйнштейна

Специальная теория относительности (СТО) Эйнштейна базируется на двух постулатах, являющихся обобщением опытных данных.

1. Обобщенный принцип относительности.

Во всех инерциальных системах отсчета все физические явления подчиняют-ся одним и тем же законам, т.е. никакими физическими опытами, включая элек-тромагнитные, нельзя обнаружить прямолинейное и равномерное движение одной системы относительно другой.

2. Постулат постоянства скорости света.

Скорость света в вакууме во всех инерциальных системах отсчета одинакова и не зависит от скорости источника и приемника света.

Относительность времени

Замечательным следствием из постулатов СТО является революция в наших представлениях о пространстве и времени. По теории Ньютона, если световой импульс послан из одной точки в другую, то время его прохождения, измеренное разными наблюдателями, будет одинаковым (поскольку время абсолютно), но пройденный им путь с точки зрения этих наблюдателей может оказаться разным (так как пространство не является абсолютным). Так как скорость света есть пройденное светом расстояние, деленное на время, разные наблюдатели будут получать разные скорости света.

В теории относительности все наблюдатели должны считать, что скорость распространения света одинакова для всех инерциальных систем отсчета. И по-скольку расстояние, пройденное светом, для них может быть неодинаковым, вре-мя, затраченное светом на прохождение между двумя точками, также различно.

Иными словами, теория относительности покончила с понятием абсолютного времени. Оказалось, что у каждого наблюдателя должен быть свой масштаб вре-мени, измеряемого с помощью имеющихся у него часов, и что показания одина-ковых часов, находящихся у разных наблюдателей, не обязательно согласуются.

Преобразования Лоренца

Поскольку неверны представления Ньютона о свойствах пространства и вре-мени, то также ошибочны и преобразования Галилея, из которых они вытекают. Таким образом, актуальной становится задача о нахождении таких преобразова-ния координат, которые не противоречили бы преобразованиям Галилея для слу-чая малых скоростей и объясняли бы указанные выше экспериментальные факты и противоречия.

47 Рассмотрим две системы координат (рис. 33). Одну из систем (К) с осями x,

y, z будем считать условно неподвижной. Другая, подвижная система (К′) с ко-ординатами x′, y′, z′ движется относительно x, y, z со скоростью υ вдоль оси x. Время будем отсчитывать от момента t = t′ = 0, когда начала координат обеих систем совпадали: x = x′ = 0.

Рассмотрим вначале преобразования x и x′, вдоль которых происходит относительное пе-ремещение систем. Учитывая, что в силу одно-родности пространства преобразования коор-динат должны быть линейными, будем искать их в виде

x′ =γ⋅(x – υ t), x =γ⋅(x′+υ t′) (10.1) (таким образом, эти преобразования лишь множителем γ отличаются от галиле-евских, см. стр. 10).

Наша задача заключается в том, чтобы найти γ. Пусть в момент времени t = t′ = 0 в начале координат произошла вспышка света. Координаты x и x′ фронта вол-ны (которые мы будем называть xсиг и x′сиг) в моменты времени t и t′ (которые мы будем называть tсиг и t′сиг) будут равны, соответственно,

xсиг = с tсиг и x′сиг = с t′сиг . Подставляя эти соотношения в выражения (10.1), получим:

с t′сиг =γ⋅(с – υ) tсиг , с tсиг = γ⋅(с + υ) t′сиг . Выразив t′сиг из первого уравнения, подставив во второе и сократив на tсиг, найдем,

что 2 21 1 cγ υ= ± − . Мы выбираем в этом выражении «плюс», что означает сохранение выбранного направления вдоль осей x и x′.

Подставляя это значение в x и x′ и обозначая β = υ /с, находим координаты:

21

x tx

υβ

−′ =−

, 21

x tx

υβ

′ ′+=−

. (10.2)

Исключив из этих уравнений x′ (или x) и преобразовав, получим закон пре-образования времени:

2

xt t

c

υγ ′ = −

, 2

xt t

c

υγ′ ′= +

. (10.3)

В направлении осей y и z смещения не происходит, т.е. в направлениях, пер-пендикулярных скорости, координаты преобразуются тождественно. Итак, преоб-разования Лоренца имеют вид:

K ⇒ K′: 21

x tx

υβ

−′ =−

, y′ = y, z′ = z, 2

21

t x ct

υβ

−′ =−

;

K′ ⇒ K: 21

x tx

υβ

′ ′+=−

, y = y′, z = z′, 2

21

t x ct

υβ

′ ′+=−

. (10.4)

Эти преобразования впервые были получены Лоренцем и поэтому носят его

υ

Рис. 33.

48 имя. Рассмотрим некоторые следствия этих преобразований.

1. Преобразования Лоренца – это преобразования не только координат, но и вре-мени. В СТО пространство и время представляют собой единое многообразие, причем его принципиально нельзя разбить на два независимых многообразия. Это дало возможность одному из университетских учителей Эйнштейна, Герману Минковскому, изложить теорию относительности как четырехмерную теорию, в которой все векторы имеют не три, а четыре компоненты.

2. Формулы преобразования для штрихованных величин отличаются от формул для нештрихованных только знаком у скорости. Это соответствует равноправию обеих систем отсчета согласно первому постулату Эйнштейна.

3. Перейдя в формулах Лоренца к пределу при β → 0, получим формулы преобра-зований Галилея (см. лекцию 2, стр. 10). Таким образом, ньютоновская механика является предельным случаем СТО для малых скоростей.

4. При υ ≥ с преобразования Лоренца теряют смысл. Это означает, что в СТО ско-рость света является предельно возможной скоростью движения системы.

Релятивистская кинематика

Релятивистское сокращение длины. Относительность длины в СТО. Рассмотрим твердый стержень, расположенный вдоль оси x′ и движущийся

вместе с подвижной системой координат. Относительно этой системы стержень покоится, его концы имеют координаты x′1 и x′2 и длина стержня l0 = x′2 – x′1 = const.

Измерим длину стержня l = x2 – x1 в неподвижной системе координат, отно-сительно которой он движется со скоростью υ. Для этого необходимо измерить координаты его концов в один и то же момент времени t в этой системе.

l0= x′2 – x′1 = 2 1

2 21 1

x t x tυ υβ β

− −−− −

= 2

12

1 β−− xx

= 21 β−l

. (10.5)

Т.е. в неподвижной системе отсчета длина стержня становится меньше в 1/ 2(1 )β −− раз.

Длина стержня, т.е. расстояние между двумя взаимно неподвижными точка-ми пространства, в СТО является величиной относительной: один и тот же стер-жень имеет разные длины в различных системах отсчета. В СТО вводится так на-зываемая собственная длина (в нашем случае l0) – это длина стержня в той систе-ме, относительно которой он покоится. Собственная длина является наибольшей по сравнению его с длиной в любой другой инерциальной системе, движущейся относительно первой. Формула (10.5) характеризует релятивистское или лорен-цево сокращение длины.

49 Релятивистское замедление времени.

Пусть в некоторой точке x′0 движущейся системы координат произошли два последовательных события в моменты времени t′1 и t′2. Промежуток времени ме-жду этими событиями равен ∆t′ = t′2 – t′1.

В неподвижной системе эти события происходят в разных точках. Промежу-ток времени в неподвижной системе координат равен:

∆t = t2 – t1 =2 2

2 0 1 0

2 21 1

t x c t x cυ υβ β

′ ′ ′ ′+ +−− −

= 2 1

21

t t

β′ ′−−

=21

t

β′∆

−. (10.6)

Видно, что в неподвижной системе координат эти события будут разделены бóльшим промежутком времени, чем в подвижной.

Релятивистский эффект замедления времени, как и сокращение длин, заме-тен только при скоростях, сравнимых со скоростью света. Если же относительные скорости систем много меньше скорости света, то время едино для всех систем, как и считал Ньютон.

Парадокс близнецов Представим себе двух близнецов, один из которых (назовем его А) остается

на Земле, а другой (В) отправляется в космическое путешествие со скоростью, близкой к с. Каждый из братьев отсчитывает время по своим часам: космонавт – по часам корабля (∆t′), землянин – по земным часам (∆t). Представим далее, что космонавт вернулся на Землю и встретился со своим братом. Если братья захотят выяснить, сколько времени длилось путешествие, то установят, что по часам кос-монавта оно длилось, например, 3 года, а по земным часам – целых 10 лет: ведь согласно формуле (10.6) движущиеся часы космонавта отмечают меньшее время, чем «неподвижные» часы на Земле, т.е. «движущиеся часы отстают». Итак, кос-монавт «помолодел» на 7 лет. Он окажется моложе своего брата-близнеца.

Сразу отметим, что подобное путешествие в будущее других людей, а не в свое собственное будущее, не противоречит теории относительности и не являет-ся парадоксальным. Действительный парадокс близнецов состоит в следующем. В соответствии с принципом относительности можно высказать два физически равноправных утверждения:

1) космонавт движется, землянин неподвижен; 2) космонавт неподвижен, а землянин движется относительно него с той же ско-

ростью, но в противоположном направлении. Согласно СТО, «молодеет» движущийся наблюдатель, и получается действитель-но парадоксальная ситуация: с одной стороны, космонавт должен быть моложе землянина, а с другой – землянин моложе космонавта.

Этот парадокс разрешается следующим образом. Два брата, находящиеся в различных инерциальных системах, могут встретиться «с глазу на глаз» только один раз, пролетая один мимо другого; затем они навсегда разойдутся. Чтобы братья смогли снова встретиться, один из них, а именно космонавт, должен по-вернуть обратно, т.е. сменить систему отсчета. Таким образом, задача перестает быть симметричной с точки зрения СТО. Основываясь на преобразованиях Ло-

50 ренца, можно показать, что «помолодеет» брат-космонавт, так как именно он ме-нял свою систему отсчета.

Релятивистский закон преобразования скоростей Классический (Галилеев, см. стр. 11) закон преобразования скоростей не

может быть справедливым в СТО, так как согласно ему скорость света различна в разных системах отсчета, что противоречит второму постулату Эйнштейна. Най-дем релятивистский закон сложения скоростей, исходя из преобразования Ло-ренца (10.4).

Пусть в подвижной системе координат материальная точка движется вдоль оси x′ с постоянной скоростью υ′ = x′/t′ (для упрощения расчетов положим, что при t = t′ = 0 материальная точка находилась в начале отсчета систем координат x = x′ = 0). Подвижная система координат движется со скоростью υ0 относительно неподвижной. Определим, чему равна скорость точки относительно неподвижной системы координат, т.е. υ = x/t.

0

21

x tx

υβ

′ ′+=−

; 2

0

21

t x ct

υβ

′ ′+=−

(здесь β = 0

c

υ).

Разделив первое уравнение на второе, получим 0

20

x tx

t t x c

υυυ

′ ′+= =′ ′+

.

Разделив числитель и знаменатель на t′, найдем: 0 0

0 02 21 1

x tx

t c c

υ υ υυ υ υ υ′ ′ ′+ += =′ ′+ +

′

. (10.7)

Это равенство выражает релятивистский закон сложения скоростей. При ма-лых скоростях движения (υ′ << с и υ0 << с) релятивистский закон сложения ско-ростей переходит в обычный закон сложения скоростей в ньютоновской механике (см. лекцию 2, стр. 11). Т.е. классическая механика не отвергается, но лишь огра-ничивается пределами применимости. Она верна как частный случай – случай малых скоростей.

Элементы релятивистской динамики

В теории относительности в качестве импульса также принимается величина p mυ=

. Однако требование выполнения закона сохранения импульса во всех инерциальных системах с учетом релятивистского закона сложения скоростей приводит к следующей зависимости массы тела m от скорости:

m = 0

21

m

β−, (10.8)

где величина m0 представляет собой массу покоящегося тела и называется массой покоя. При небольших скоростях движения зависимостью массы от скорости можно пренебречь.

51 Релятивистская кинетическая энергия

Второй закон Ньютона с учетом зависимости массы тела от его скорости в релятивистском случае может быть формально записан так же, как и в нереляти-вистском:

( )d mdp d dmF m

dt dt dt dt

υ υ υ⋅= = = +

. (10.9)

В лекции 5 мы показали, что изменение кинетической энергии тела равно работе действующей на него результирующей силы. Предположим, что в реляти-вистском случае изменение кинетической энергии можно рассчитать аналогично.

Пусть на тело, неподвижное в начальный момент, действует сила. Скорость тела будет возрастать, оставаясь направленной вдоль силы. Поэтому во втором законе Ньютона (11.7) можно не учитывать векторный характер величин:

d dmF m

dt dt

υ υ= + .

Умножим обе части этого уравнения на элементарное перемещение dx = υ·dt: 2F dx m d dmυ υ υ⋅ = ⋅ + ⋅ . (10.10)

Учитывая, что β =υ /c, из (10.8) получим

( )0

3 2 2 22 21

m d m ddm

cc

υ υ υ υυβ

⋅ ⋅= =−−

.

Подставим это выражение в (10.10):

( )2

03 / 22 2 2 2

11

m dF dx m d

c c

υ υ υυ υυ υ

⋅⋅ = + ⋅ = − −.

Левая часть выражения представляет работу, которая совершена при данном перемещении dx. Эта работа пошла на изменение dT кинетической энергии тела, которая выражается правой частью уравнения. Вычислим интеграл:

T = ( )

03/ 22

0 1

m dυ υ υβ⋅

−∫ =

20

21

m c

β− – 2

0m c = 20 2

11

1m c

β

−

−

. (10.11)

Эта релятивистская формула справедлива в общем случае. При υ << с она переходит в формулу ньютоновской механики T = 2 / 2mυ (см. стр. 20).

Связь между энергией и массой. Энергия покоя Вернемся к формуле (10.11) для кинетической энергии. Величина

Е = 2

0

21

m c

β−

называется полной энергией, а величина E0 = m0c

2 называется энергией покоя или собственной энергией тела. Согласно специальной теории относительности, неподвижное тело, даже в отсутствии силовых полей, обладает энергией.

Формула для полной энергии может быть записана в виде.

52 Е = mc2. (10.12)

Это знаменитый закон Эйнштейна о взаимосвязи массы и энергии. Он утвержда-ет, что энергия и масса – эквивалентны. Если, например, электрическое или маг-нитное поле обладают энергией, то они имеют массу. Поэтому закон (10.12) спра-ведлив не только для частиц, имеющих массу покоя, но и, например, для фотонов.

Соотношение между энергией и импульсом В современной физике очень важную роль играет соотношение между энер-

гией и импульсом. Выведем это соотношение. Возведем в квадрат выражения для релятивистской энергии и импульса:

р2 =

2 20

21

m υβ−

=2 2 20

21

m c ββ−

, (10.13)

Е2 =

2 40

21

m c

β−.

Сравнивая эти выражения, можно заметить, что 2

2

E

c =

2

2

p

β. (10.14)

Выразив из (10.13) β 2 и подставив его в (10.14), получим окончательно: E2 = c2p2 + 2

0m c4. (10.15) Соотношение (10.15) широко используется в современной физике. Напри-

мер, для фотона m0 = 0, поэтому E = p⋅c.

53

ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ И ТЕРМОДИНАМИКИ

Введение

В основе механики лежат законы Ньютона. Эти законы позволяют описать движение макроскопических тел. Для полного описания движения системы тел достаточно знать их координаты и импульсы в некоторый момент времени, а также силы, действующие на тела в процессе движения. Законы механики очень точны. Именно эти законы используются для расчета траекторий космических аппаратов и управления их движением.

Кроме механических, вокруг нас происходят явления, которые определяют-ся изменениями температуры. Например, застывание и испарение воды, расши-рение тел при нагревании, плавление металлов. Все эти явления называются те-пловыми.

Люди давно заметили, что на огне изменяются свойства тел. Более чем 5000 лет назад были изобретены обожженный кирпич и гончарный круг. Более чем 4000 лет назад началась выплавка и обработка металлов. Около 300 лет на-зад был изобретен тепловой двигатель.

Совершенствование теплового двигателя потребовало более глубокого по-нимания природы тепловых явлений. Изучение закономерностей превращения тепла в механическую работу позволило не только создать одну из самых точ-ных физических теорий вещества – термодинамику, но и понять природу тепло-ты – хаотическое молекулярное движение.

Мы приступаем к изучению раздела физики, связанного со свойствами тел, определяемыми хаотическим движением молекул, из которых они состоят.

Лекция 1. Основные определения и понятия

Особенности описания состояния молекулярной системы

Развитие науки показало, что все тела состоят из громадного числа атомов. Если считать каждый атом маленьким твердым шариком, то с первого взгляда задача описания свойств вещества кажется простой. Действительно, с точки зрения механики, задача нахождения состояния частицы сводится к интегриро-ванию дифференциальных уравнений второго порядка. Если известны коорди-наты и скорости всех частиц в некоторый момент времени (т.е. задано начальное состояние системы) и заданы взаимодействия частиц, то можно найти состояние системы (координаты и скорости частиц) в любой другой момент времени. Ко-нечно, есть трудности количественного характера. Например, чтобы просто со-считать молекулы, содержащиеся в одном моле вещества, называя, предполо-жим, целых десять за одну секунду (!), потребуется 6⋅1023:10:3600:24:365 ≈ 1,9⋅1015 или почти 2 миллиона миллиардов лет, что в сто тысяч раз превышает

54 оцененный на сегодня возраст Вселенной! Но, по словам Лапласа (1749-1827): «Разум, который для какого-то данного момента времени знал бы все силы, дей-ствующие в природе, и относительное расположение всех ее частей, если бы он, кроме того, был бы достаточно обширен, чтобы подвергнуть эти данные анали-зу, обнял бы в единой формуле движения самых огромных тел во Вселенной и самого легкого атома… Кривая, описываемая молекулой воздуха или пара, управляется столь же строго и определенно, как и планетные орбиты; между ними та лишь разница, что налагается нашим неведением».

Такое представление о природе вошло в историю под названием «лапласов-ский детерминизм». Оно предполагает полную предопределенность развития мира, без шансов изменить судьбу даже самой маленькой частички.

В действительности, системы, состоящие из огромного числа взаимодейст-вующих частиц, ведут себя так, что ничтожные неточности в задании начальных условий экспоненциально увеличиваются с течением времени. Поэтому уже че-рез короткий, по меркам системы, промежуток времени ее состояние становится совершенно неопределенным (конечно, по отношению к нашему косному мыш-лению). Например, уже после пары столкновений молекула газа при нормаль-ных условиях «не помнит» своего недавнего прошлого.

Ситуация с классической определенностью еще более усугубляется, если учесть, что, согласно современным квантовомеханическим представлениям, по-ложения и скорости частиц не могут быть заданы одновременно сколь угодно точно. Стало быть, не остается никакой возможности для механистического описания молекулярных систем.

Следовательно, понятие состояния для молекулярных систем должно быть пересмотрено. Для исследования процессов, происходящих в телах, применяют два метода описания состояний молекулярных систем и их эволюции: статисти-ческий (молекулярно-кинетический) и термодинамический. Первый лежит в ос-нове молекулярной физики, второй – термодинамики.

Молекулярно-кинетический или статистический подход

Предметом молекулярной или статистической физики является изучение закономерностей, которым подчиняются системы, состоящие из огромного чис-ла частиц. Эти закономерности, называемые статистическими, проявляются, на-пример, в том, что с большой точностью из одного миллиона подброшенных случайным образом монет половина выпадет «решкой» вверх; или что в двух половинах сосуда в условиях равновесия найдется одинаковое количество моле-кул, обладающих скоростями в интервале от 100 м/с до 200 м/с. Такую законо-мерность лучше описывать на языке теории вероятности, используя понятие плотности вероятности или функции распределения.

Пусть все направления в системе равноправны, N – полное число частиц в системе, а dNυ – число частиц имеющих модуль скорости в диапазоне от υ до υ+dυ. Учитывая, что для бесконечно малых диапазонов скоростей число частиц

55 dNυ пропорционально dυ, получим следующее выражение для вероятности на-хождения частицы со скоростью, имеющей значение от υ до υ+dυ :

( )dN

dp F dN

υυ υ υ= = ⋅ .

Функция F(υ) называется плотностью вероятности обнаружения частицы со скоростью от υ до υ +dυ или функцией распределения молекул по скоростям. Аналогично можно ввести понятие о функции распределения молекул по коор-динатам, иными словами, плотности распределения вероятности обнаружения частицы в заданном месте.

Функция распределения позволяет находить средние значения параметров молекул. Например, среднюю скорость можно найти следующим образом:

0

( )F dυ υ υ υ∞

< >= ⋅∫ . (1.1)

Функция распределения определяет наше максимальное знание о молеку-лярной системе: невозможно задать точно все положения и скорости молекул; мы можем оперировать лишь вероятностями. Таким образом, знание функций распределения скоростей и координат молекул задает состояние статистиче-ской системы.

Следует подчеркнуть, что статистические закономерности определяют со-стояние систем, состоящих из очень большого числа частиц. Для систем, со-стоящих из нескольких частиц, эти закономерности теряют всякий смысл.

Термодинамический метод

Изучением различных свойств тел занимается также термодинамика. Од-нако в отличие от молекулярно-кинетической теории она не интересуется мик-роскопической картиной. Не вводя в рассмотрение молекулы и атомы, термодинамика позволяет делать ряд выводов относительно протекания процессов. В основе термодинамики лежат несколько фундаментальных законов, уста-новленных на основе большой совокупности опытных фактов.

Термодинамика имеет дело с термодинамической системой – совокупно-стью макроскопических тел, которые взаимодействуют и обмениваются энерги-ей как между собой, так и с другими телами. Основа термодинамического метода – определение состояния термодинамической системы.

Состояние задается термодинамическими параметрами, которые пред-ставляют собой непосредственно или косвенно измеряемые физические величи-ны. Например, для описания состояния некоторой массы газа достаточно задать его температуру, давление и объем.

Температура, давление, объем Температура – одно из основных понятий, играющих важную роль не толь-

ко в термодинамике, но и в физике в целом. Температура тела – это физиче-ская величина, характеризующая состояние термодинамического равновесия

56 макроскопической системы.

Поскольку температура не является непосредственно измеряемой величи-ной, ее значение определяют по изменению какого-либо свойства термометри-ческого вещества (ртути, спирта). В температурной шкале обычно устанавлива-ют две основные температуры. Эти точки называются реперными точками (франц. repere – метка, знак, исходная точка).

Одними из первых были шкалы Фаренгейта, Реомюра и Цельсия. В шкале Фаренгейта, предложенной в 1714 г. немецким физиком Д. Фарен-

гейтом (1686-736) для сконструированного им спиртового термометра, были выбраны две реперные точки, соответствующие температуре таяния льда (32°F) и температура человеческого тела (96°F). Интервал между этими температурами был разделен на 64 равные части, названные градусами Фаренгейта. На рас-стоянии, равном 32 таким делениям, ниже точки таяния льда была помещена нулевая точка (0°F), соответствующая самой низкой из известных тогда темпе-ратур.

Эта шкала применяется до настоящего времени, например, в США. Связь между температурами по шкале Фаренгейта и Цельсия определяется выражени-ем

t°C = ( )0532

9 Ft F− .

В 1730 г. французский естествоиспытатель Р. Реомюр (1683-1757) предло-жил температурную шкалу между двумя реперными точками: таяния льда и ки-пения воды при нормальном атмосферном давлении. Первой точке Реомюр при-писал значение 0°R, а второй точке 80°R и разделил температурный промежуток на 80 равных частей.

В 1742 г. шведским ученым А. Цельсием (1701-1744) была предложена температурная шкала, в которой интервал между температурой таяния льда и кипения воды при нормальном атмосферном давлении был разделен на 100 рав-ных частей, названных градусами Цельсия. Первоначально Цельсий присвоил температуре точки кипения воды 0° С, а таяния льда 100° С. Впоследствии направление было изменено. Это обратное обозначение используется и в наше время.

В физике кроме шкалы Цельсия используется термодинамическая шкала. Термодинамическая шкала является основной, она имеет одну реперную точку – тройную точку воды (вторая точка – точка абсолютного нуля – 0 К). Под трой-ной точкой воды понимается такая точка на диаграмме состояния, в которой жидкое, твердое и газообразное агрегатные состояния воды одновременно нахо-дятся в равновесии друг с другом. Давление паров воды в тройной точке равно 611 Па. Температуре тройной точки воды присвоено значение 273,16 К (точно). Это значение выбрано так, чтобы интервал или разность температур в кельвинах был равен интервалу в градусах Цельсия. Температура таяния льда на 0,01 К меньше температуры тройной точки, т.е. она равна 273,15 К, и 0°С соответству-

57 ет 273,15 К.

Преимуществами термодинамической температурной шкалы является неза-висимость ее свойств от термометрического тела и высокая точность воспроиз-ведения тройной точки воды (ее реализуют с точностью 0,0001 К).

Понятие давления мы определили в гидродинамике. Давление равно отно-шению силы, действующей нормально на единицу площади: P=F/S.

Понятие объема вами осознается интуитивно. Грубо говоря, объем можно определить как меру вместимости.

Термодинамическое равновесие. Термодинамический процесс Если состояние системы не меняется со временем, то говорят, что она на-

ходится в термодинамическом равновесии, а само состояние называют равно-весным.

Параметры состояния могут изменяться. Изменение состояния или переход от одного состояния к другому называется термодинамическим процессом. На-пример, любое неравновесное состояние стремится к равновесию. Процесс, ус-тановления равновесия в системе называется релаксацией.

Если каждое промежуточное состояние системы в некотором процессе яв-ляется равновесным, то и весь процесс называется равновесным. Реальные фи-зические процессы не равновесны. Для того чтобы процесс был равновесным, необходимо проводить его с такой скоростью, чтобы на любом бесконечно ма-лом шаге успевала осуществиться релаксация, т.е. бесконечно медленно.

Газовые законы

Газы обладают тем свойством, что они заполняют весь сосуд, в который они заключены, и оказывают давление на стенки этого сосуда.

Некоторое количество газа характеризуется следующими четырьмя величи-нами: массой m, занимаемым объемом V, давлением P и температурой Т. Все эти величины зависят друг от друга; при изменении одной изменяются другие. Вы-ражение, закономерно связывающее эти величины, называется уравнением со-стояния.

Прежде чем записать уравнение состояния газа, приведем простые эмпири-ческие закономерности, относящиеся к случаю, когда две из четырех указанных величин поддерживается постоянными.

Закон Бойля – Мариотта Для данной массы газа при постоянной температуре произведение давле-

ния газа на его объем есть величина постоянная: PV = const. Графически зависимость P от V для данной массы газа m при постоянной

температуре имеет вид гиперболы. Так как процесс происходит при постоянной температуре, то он называется изотермическим, а кривая – изотермой.

58 Законы Гей-Люссака

Объем данной массы газа при постоянном давлении изменяется линейно с температурой:

V = V0⋅(1 + α⋅t). Давление данной массы газа при постоянном объеме изменяется линейно с

температурой: P= P0⋅(1 + α⋅t). В этих уравнениях температура измеряется по шкале Цельсия; P0 и V0 – дав-

ление и объем при 0°С; коэффициент α = 1/273,15 K–1. Процесс, протекающий при постоянном объеме, называется изохорным, а

прямая, изображающая этот процесс в координатах V, t, – изохорой. Процесс, протекающий при постоянном давлении, называется изобарным, а

его график – изобарой. Очевидно, что как изобара, так и изохора пересекают ось температур в точ-

ке t = –1/α = –273,15°C, определяемой из условия 1 + α⋅t = 0. Если сместить на-чало координат в эту точку, то происходит переход к термодинамической шкале температур, или шкале Кельвина: T = t + 1/α.

Введя в формулы термодинамическую температуру, законам Гей-Люссака можно придать более простой вид:

1

2

V

V = 1

2

T

T, при P = const, 1

2

P

P= 1

2

T

T, при V = const.

Закон Авогадро Моли любых газов при одинаковых температурах и давлениях занимают

одинаковые объемы. При нормальных условиях (P = 1,013⋅105 Па; Т = 273,15 К) этот объем равен Vµ = 22,42⋅10–3

м3/моль.

В одном моле различных веществ содержится одинаковое количество мо-лекул, называемое постоянной Авогадро: NА = 6,022⋅1023

моль–1.

Этот закон позволяет измерять молекулярные массы очень простыми сред-ствами. Вначале измеряют массу резинового шарика, наполненного изучаемым газом, а затем воздухом. Затем от полученных масс отнимают массу шарика. Отношение масс изучаемого газа и воздуха пропорционально отношению моле-кулярных масс газов.

Закон Дальтона Давление идеальных газов смеси равно сумме парциальных давлений входя-

щих в нее газов, т.е. P = P1+ P2 + P3 .

Парциальным называется давление, которое создавал бы газ, если бы он один занимал весь объем смеси при данной температуре.

Уравнение Клапейрона-Менделеева

Состояние некоторой массы газа определяется тремя параметрами: P, V, Т.

59 Между этими параметрами существует связь, называемая уравнением состоя-ния. Пользуясь законами Гей-Люссака и Бойля-Мариотта, можно найти такую связь:

PV

T= B = const.

Это – уравнение Клапейрона, в котором постоянная В имеет различное значение для различных газов.

Менделеев объединил уравнение Клапейрона с законом Авогадро. Соглас-но закону Авогадро, при одинаковых давлении и температуре моли всех газов занимают одинаковые объемы Vµ, поэтому для одного моля уравнение Клапей-рона примет следующий вид:

PV

Tµ

= R. (1.2)

Постоянная R одинакова для всех газов, поэтому она называется универсальной газовой постоянной. Её численное значение R = 8,314 Дж (моль K)⋅ .

Если при некоторых условиях один моль газа занимает объем Vµ, то при тех же условиях масса m газа занимает объем V = ( )m Vµµ , где µ – молярная масса

газа. Величина ν = m µ называется количеством вещества. Подставив Vµ = mµ V в уравнение (1.2), получим

PV = µm RT. (1.3)

Это соотношение носит название уравнения Клапейрона-Менделеева. Часто используется другая форма этого уравнения. Введем в уравнение (1.3) постоян-ную Больцмана, которая определяется так:

k =AN

R = 23

8,31

6,022045 10⋅= 1,38 ⋅10–23

Дж/К. (1.4)

Уравнение состояния принимает вид P = nkT, (1.5)

где n =NA/Vµ – концентрация молекул. Таким образом, давление газа при данной температуре прямо пропорцио-

нально концентрации молекул.

Лекция 2. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

Идеальный газ

Газообразное состояние характеризуется тем, что атомы или молекулы большую часть времени находятся далеко друг от друга. Силы взаимодействия возникают между ними только во время столкновения. Столкновения приводят к обмену энергиями. Удары считают абсолютно упругими. После таких упроще-ний мы приходим к модели идеального газа.

Идеальным называется газ, удовлетворяющий следующим условиям:

60 1. Собственный объем частиц газа очень мал по сравнению с объемом сосуда, в

котором он находится. 2. Силы взаимодействия между молекулами отсутствуют. 3. Столкновения частиц газа между собой и со стенками сосуда являются упру-

гими. 4. Частицы газа находятся в беспорядочном хаотическом движении.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

Суть кинетической теории газов очень проста: давление газа есть результат бомбардировки стенок молекулами газа.

Рассмотрим сосуд в виде куба с длиной ребра l, в котором находится N мо-лекул. Молекулы находятся в беспорядочном хаотическом движении. Ввиду полной беспорядочности движения, результат их действия на стенки будет та-ков, как если бы треть всех молекул двигалась прямолинейно между передней и задней стенками, другая треть – между верхней и нижней, и последняя треть – между левой и правой стенками сосуда.

Пронаблюдаем за движением одной молекулы массы m0, летящей слева на-право со скоростью υ. В этом же направлении проведем ось x. Во время удара о стенку молекула отскочит назад, в результате чего проекция ее импульса на ось x изменится на ∆рx = –m0υ – m0υ = –2m0υ. Импульс, ∆р′ полученный стенкой, в соответствии с третьим законом Ньютона будет иметь противоположный знак: ∆р′ = 2m0υ. Через время ∆t = 2l/υ молекула вернется и вновь ударится о стенку, т.е. стенка систематически через каждый промежуток времени ∆t будет получает импульс 2m0υ. Среднюю силу Fср, действующую на стенку со стороны одной молекулы, найдем из второго закона Ньютона:

Fср=2 2

0 0 02 2

2

m m mp

t t l l

υ υ υ′ ⋅∆ = = =∆ ∆ ⋅

.

Молекулы газа движутся с различными скоростями, поэтому суммарная сила F равна

F =22 2

00 1 0 2 ... xnmm m

l l l

υυ υ+ + + ,

где nx = N/3 – число молекул, движущихся между правой и левой стенками (т.е. вдоль оси x). Преобразуем последнее выражение:

2 2 21 20

...xn

xx

mF n

l n

υ υ υ + + +=

.

Величина υ2кв = 2 2 2

1 2( ... )xn xnυ υ υ+ + + представляет собой среднее значение квад-

ратов скоростей или, другими словами, среднюю квадратичную скорость. В ре-зультате получим:

220 0 кв

кв 3x

m m NF n

l l

υυ= ⋅ =⋅

.

61 Если правую и левую часть этого уравнения разделить на площадь стенки,

то найдем давление:

P = 2 20 кв 0 кв3

1 1

3 3

Nm n m

lυ υ= ⋅ , (2.1)

где n = N/l3 – концентрация газа. Это уравнение называют основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеальных газов.

Величина ρ = n⋅m0 – плотность газа, поэтому можно записать:

P = 2кв

1

3ρυ .

Это уравнение позволяет оценить простыми средствами среднюю квадратичную скорость молекул из значений давления и плотности газа.

Физический смысл давления и температуры Как следует из приведенных выше рассуждений, давление газа на стенки

сосуда обусловлено ударами молекул. Величина давления определяется средним импульсом, передаваемым молекулами стенке в единицу времени, или средней силой. Но сила или импульс – векторные величины, давление же – скалярная. Чтобы понять эту особенность, основному уравнению (2.1) можно придать дру-гой вид. Действительно, т.к.

20 кв

2mε υ= (2.2) есть средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы, то

2

3P nε= . (2.3)

Величина Eпост = nε есть кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа в единице объема, поэтому

P =2

3Eпост.

Эта формула позволяет понять физический смысл давления. Давление есть физическая величина, пропорциональная кинетической энергии поступательно-го движения молекул.

Для того, чтобы понять физический смысл температуры, приравняем выра-жения (1.5) и (2.3). Получим:

Т = 2

3kε , или

3

2kTε = . (2.4)

Таким образом: температура – величина, пропорциональная средней кине-тической энергии одной молекулы. Последняя, в свою очередь, не зависит от массы молекулы, а определяется только температурой.

Средняя квадратичная скорость Приравняв выражения (2.2) и (2.4), получим:

62

кв

0

3kT

mυ = . (2.5)

Эту формулу можно преобразовать, умножив числитель и знаменатель вы-ражения, стоящего под корнем, на NA. Т.к. R = kNA, а µ = m0NA, то µ/R=m0/k, и выражение приобретает вид:

кв

3RTυµ

= .

Распределение Больцмана

Какую роль играет «вес» воздуха, точнее, сила тяжести в образовании ат-мосферного давления? Иногда считают, что атмосферное давление обусловлено весом столба воздуха. Это, однако, не совсем так. В космическом корабле воз-дух не имеет веса, но, тем не менее, производит давление. На самом деле давле-ние газа обусловлено только беспорядочным тепловым движением молекул, ме-рой энергии которого является абсолютная температура.

При отсутствии внешних сил молекулы газа равномерно распределяются по всему объему, предоставленному газу. Так, при отсутствии силы тяжести земная атмосфера рассеялась бы в космическом пространстве. Сила тяжести исполняет роль «верхней стенки сосуда» для земной атмосферы. Если бы не было теплово-го движения молекул, эта сила привела бы к оседанию атмосферы на поверх-ность Земли. Одновременное наличие двух противоположных факторов приво-дит к неравномерному распределению молекул по высоте, к уменьшению их концентрации с высотой над поверхностью Земли.

Выделим в атмосфере цилиндр с основанием S, находящимся на поверхно-сти Земли, и высотой, пронизывающей всю атмосферу (рис. 34). Выделим в этом цилиндре элемент объема, который представляет собой цилиндрик высо-той dh. Нижнее основание его находится на высоте h, а верхнее – на высоте h + dh. Обозначим атмосферное давление на высотах h и h + dh соответственно че-рез P и P + dP. Разность сил, действующих сверху и снизу, уравновешивается силой тяжести этого элемента. Следовательно, приращение давления dP являет-ся отрицательной величиной, и атмосферное давление уменьшается с высотой. Изменение давления на разности высот dh обуслов-лено весом газа:

mg = – dP·S. Здесь m – масса газа в элементе объема, g – ускоре-ние свободного падения. Массу газа на высоте h вы-разим через уравнение Клапейрона – Менделеева (1.3):

m = PV PS

dhRT RT

µ µ= .

Комбинируя два последних выражения, после

P

P+dP

h

dh

S

Рис. 34.

63 соответствующих преобразований получим дифференциальное уравнение:

dP gdh

P RT

µ= − ,

интегрирование которого в случае изотермической атмосферы (T=const) дает:

ln(P) = – ChRT

g +µ.

Постоянную интегрирования найдем из условия равенства P = P0 на поверхно-сти Земли (h = 0): ln(P0) = C. После подстановки этой константы получим выра-жение

P = P0

gh

RTeµ−

, называемое барометрической формулой. Из нее следует, что атмосферное дав-ление убывает с высотой по экспоненциальному закону.

Используя уравнение (1.5), преобразуем барометрическую формулу к виду

n = n0( )gh RTe µ− . Принимая во внимание полученное выше равенство µ/R=m0/k

(см. стр. 62) и учитывая, что m0gh = EП – потенциальная энергия молекулы газа на высоте h, получим:

n= n0

ПE

kTe−

. Это выражение носит название распределения Больцмана. Оно справедливо не только для гравитационного, но для любого другого потенциального поля.

Распределение Больцмана и состояние статистической системы Нетрудно заметить, что распределение Больцмана определяет вероятность

нахождения частицы в некоторой точке пространства. Учитывая, что концен-трация частиц в точке с координатами x, y, z рассчитывается по формуле n(x, y, z)=dN(x, y, z)/dV , где dN(x, y, z) – число молекул в объеме dV = dx·dy·dz, вероятность найти частицу в объеме dV около этой точки равна

П( , , )

0( , , )( , , )

E x y z

kTndN x y z

e dV f x y z dxdydzN N

−= = ,

где N – полное число молекул в системе. Функция f(x, y, z) является функцией распределения молекул по координатам. Так задается координатная часть со-стояния молекулярной системы.

Состояние системы будет задано полностью после определения функции распределения молекул по скоростям. Этому вопросу по-священа следующая лекция нашего курса.

Лекция 3. Распределение Максвелла

Пусть имеется сосуд, содержащий N молекул газа при температуре Т. Ставится задача: найти долю числа моле-кул ∆Nυ/N, или число молекул ∆Nυ, имеющих скорости, за-ключенные между значениями υ и υ + ∆υ. Рис. 35.

υ

υy

υ

υ

υ+∆υ

64 Для упрощения рассуждений вводится понятие пространства скоростей.

Координатами точки этого пространства являются компоненты скорости моле-кул υx,υy,υz. Молекулы, имеющие скорости в пределах от υ до υ + ∆υ, попадают в область, лежащую между сферами радиусов υ и υ + ∆υ (рис. 35). Объем этой области равен 4πυ2∆υ. Число ∆Nυ молекул, попадающих в эту область, равно

∆Nυ = N⋅f(υ)⋅4πυ2∆υ (3.1) (здесь N⋅f(υ) – плотность точек в пространстве скоростей).

Величина F(υ) = f(υ)⋅4πυ2 (3.2)

называется функцией распределения молекул по скоростям. Вид этой функции был теоретически получен Максвеллом в 1859 году:

F(υ) = 4π⋅3

20

2

m

kTπ

⋅2

0

2

m

kTeυ−

υ2, (3.3)

где m0 – масса молекулы, Т – абсолютная температура. Учтя (3.2) и (3.3) в (3.1), получим:

∆Nυ = 4π⋅N⋅

3

20

2

m

kTπ

⋅

20

2

m

kTeυ

−υ2⋅∆υ.

Это выражение полностью решает поставленную задачу.

Средняя квадратичная скорость

По аналогии с выражением (1.1), средний квадрат скорости молекулы оп-ределяется по формуле

2 2

0

( )F dυ υ υ υ∞

< >= ∫ ,

и средняя квадратичная скорость, стало быть, равна

υкв =2υ< > =

2

0

( )F dυ υ υ∞

∫ =

203 2

40 2

0

42

m

kTme d

kT

υ

π υ υπ

∞ −

∫ .

Интеграл в этом выражении берется следующим образом. Известно, что 2xe dxα π α

+∞ −

−∞=∫ . Обе части равенства можно рассматривать как функции па-

раметра α. Продифференцировав по этому параметру обе части, получим

∫+∞

∞−

− =3

2

2

12

απα dxxe x

.

Дифференцирование по α еще раз дает

∫+∞

∞−

− =5

4

4

32

απα dxxe x

.

65 Учитывая далее, что α = m0/(2kT), получим выражение, которое совпадает с за-писанным ранее и входящим в определение средней кинетической энергии по-ступательного движения молекулы выражением (2.5).

Средняя арифметическая скорость

Средняя арифметическая скорость вычисляется по выражению (1.1). Пе-рейдя к новой переменной x = υ2 и интегрируя по частям, получим

υ =υср = 0

8kT

mπ. (3.4)

Наиболее вероятная скорость

Величина скорости, при которой функция F(υ) максимальна, называется наиболее вероятной скоростью. Обозначим ее через υв. Экстремум функции определим, приравняв нулю производную:

20

2 2m

kTde

d

υ

υυ

−

= 2

020 21

2

m

kTme

kT

υυ − −

= 0, откуда

υв = 02kT m .

Очевидно, что υкв > υср > υв. Все полученные выше из распределения Мак-свелла характеристические скорости молекул отличаются друг от друга множи-телем порядка единицы и могут служить для общего представления о скоростях движения молекул.

Лекция 4. Первое начало термодинамики

Первое начало термодинамики проставляет собой закон сохранения энер-гии для систем, в которых существенное значение имеют тепловые процессы.

Внутренняя энергия системы

Под внутренней энергией системы понимается сумма энергий всех состав-ляющих ее частей за вычетом кинетической и потенциальной энергии системы как целого (полной механической энергии центра масс). Сюда входят энергии движения и взаимодействия молекул, движения и взаимодействия атомов в мо-лекулах, движения и взаимодействия составных частей атома. Однако при изу-чении физики (не ядерной!) считается, что атомный и молекулярный состав сис-темы остается неизменным. Системы с изменяющимся молекулярным составом изучает химия, являясь, таким образом, более сложной физикой, а именно – фи-зикой систем с переменным числом частиц.

Самой простой молекулярной системой является идеальный газ, в котором взаимодействие между молекулами отсутствует. Найдем его внутреннюю энер-гию. Пусть газ состоит из N молекул. Если средняя энергия одной молекулы

66 равна ε , то полная внутренняя энергия системы

U =ε N. Пусть масса газа m, а молярная масса µ. Тогда количество вещества, т.е.

число молей, равно ν = m/µ. В одном моле содержится NA молекул, значит, N = νNA. С учетом этого полная энергия равна

U = ν ε NA = A

mNε

µ . (4.1)

Согласно (2.4), средняя энергия поступательного движения одной молекулы равна 3

2 kTε = , однако молекулы могут двигаться не только прямолинейно, но и вращаться вокруг одной или нескольких осей, поэтому это обстоятельство необ-ходимо учесть при оценке внутренней энергии молекул. Средняя энергия одной молекулы определяется числом ее степеней свободы.

Число степеней свободы молекул

Под числом степеней свободы i понимают количество независимых коор-динат, которые необходимо ввести, чтобы полностью определить положение тела в пространстве. 1. Если точка может двигаться только по прямой, то для определения ее поло-жения нужна лишь одна координата, т.е. i = 1. 2. Положение точки на плоскости определяется двумя координатами, например х и y. Точка на плоскости имеет две степени свободы: i = 2. 3. Положение точки в пространстве определяется тремя координатами, напри-мер, х, y и z. Точка в пространстве имеет три степени свободы: i = 3. 4. Двухатомная жесткая молекула. Такая молекула может двигаться поступа-тельно вдоль трех независимых осей, т.е. имеет три поступательных степени свободы. Молекула может вращаться, причем ее вращение можно описывать тремя независимыми углами поворота вокруг трех перпендикулярных осей. Ес-ли считать, что атомы молекулы – материальные точки, то вращение вокруг оси, на которой они лежат, не имеет смысла (момент инерции молекулы относитель-но этой оси равен нулю). Таким образом, молекула имеет только две вращатель-ные степени свободы. Полное число степеней свободы у такой молекулы i = 5. 5. Молекула, состоящая из трех и более атомов с жесткими связями между ни-ми. В этом случае ни один из моментов инерции не может быть равен нулю. Число степеней свободы такой молекулы i = 6 (три поступательных и три вра-щательных). 6. Если связи в молекуле нежесткие, то к поступательным и вращательным сте-пеням свободы добавляются колебательные. Число колебательных степеней свободы определяется числом независимых колебаний (т.е. не являющихся ком-бинациями других). Например, для двухатомной молекулы имеется одна коле-бательная степень свободы – колебания вдоль линии упругой связи.

67 Основной предпосылкой молекулярно-кинетической теории газов является

предположение о полной беспорядочности движения молекул при тепловом равновесии. Ни один из типов движения не имеет преимущества перед другим. Естественно предположить, что на каждую степень свободы приходится одина-ковая энергия. Легко догадаться, какая энергия приходится на одну степень сво-боды. На поступательное движение приходится три степени свободы, а энергия поступательного движения ε = 3kT/2, следовательно, энергия, приходящаяся на одну степень свободы, равна kT/2. Если молекула имеет i степеней свободы, то средняя энергия такой молекулы равна

2i kTε = . (4.2)

Следует отметить, что на каждую колебательную степень свободы приходится вдвое большая энергия – по kT/2 на кинетическую и потенциальную энергии колебания.

Подставляя (4.2) в (4.1), с учетом (1.4) выражение для внутренней энергии идеального газа можно представить следующим образом:

U = 2

m iRT

µ. (4.3)

Внутренняя энергия идеального газа заданной массы зависит только от его температуры.

Внутренняя энергия является функцией состояния системы, т.е. любому за-данному состоянию однозначно соответствует определенная внутренняя энер-гия. Поэтому при переходе системы из одного состояния в другое изменение внутренней энергии не зависит от вида процесса.

Количество теплоты

Энергию, переданную системе в результате тепло-обмена, принято называть количеством теплоты. Ко-личество теплоты не является функцией состояния сис-темы, а характеризует протекающий процесс. Напри-мер, количество теплоты, переданное системе при ее переходе из состояния 1 в 2 в процессе 1a2 будет дру-гим, нежели в процессе 1b2 (рис. 36).

Работа, совершаемая газом при расширении

Если газ подвергается сжатию или расширению в цилиндре под поршнем, то силы давления, действующие со стороны газа на поршень, совершают работу. Если объем газа изменился на малую величину dV, то газ совершил работу δA = PS dx = PdV, где P – давление газа, S – площадь поршня, dx – его перемеще-ние. При расширении работа, совершаемая газом, положительна, при сжатии – отрицательна. В общем случае при переходе из некоторого начального состоя-

V

Рис. 36.

P

1

2 a

b

68 ния с объемом V1 в конечное состояние с объемом V2 работа газа выражается формулой:

2

1

V

V

A PdV= ∫ . (4.4)

Работа расширения газа не является характеристикой состояния системы, а зависит от вида проводимого процесса. Найдем работу, совершаемую газом при различных изопроцессах.

Работа при изохорическом процессе Т.к. V = const, то dV = 0. Следовательно, dA = 0. Поскольку изменения объ-

ема нет, то работа при изохорическом процессе равна нулю.

Работа при изобарическом процессе Т.к. P= const, а dA = PdV, то

2

1

2 1( )V

V

A PdV P V V= = −∫ .

Работа при изотермическом процессе В интеграле (4.4) для вычисления работы сделаем замену, воспользовав-

шись уравнением Клапейрона-Менделеева: P = V

RTm

µ. Получим

A = ∫2

1

V

V

dVV

RTm

µ=

1

2lnV

VRT

m

µ. (4.5)

Выражение для первого начала термодинамики

Внутреннюю энергию системы можно изменить передачей ей некоторого количества тепла или совершением над ней работы. В свою очередь, теплота, переданная системе, идет на изменение ее внутренней энергии или совершение системой работы против внешних сил:

Q = U2 – U1 +A, или Q = ∆U + A. В случае бесконечно малых изменений:

δQ = dU + δA. (4.6) Эти уравнения представляют собой математическое выражение первого на-

чала термодинамики. Использованием символа “δ” вместо “d” специально под-черкнуто, что, в отличие от бесконечно малого приращения внутренней энергии, теплота и работа не могут быть представлены как приращения каких-либо функ-ций состояния.

Первый закон термодинамики является обобщением опытных фактов. Со-гласно этому закону, энергия не может быть создана или уничтожена; она пере-дается от одной системы к другой и превращается из одной формы в другую.

69 Важным следствием первого закона термодинамики является утверждение о не-возможности создания машины, способной совершать полезную работу без по-требления энергии извне. Такая гипотетическая машина получила название веч-ного двигателя (perpetuum mobile) первого рода.

Теплоемкость

Теплоемкостью тела называют величину, характеризующуюся количеством теплоты, необходимым для изменения его температуры на единицу.

Удельная теплоемкость вещества – величина, равная количеству теплоты, необходимому для нагревания 1 кг вещества на 1 К:

c = Q

m T

∆∆

.

Единица удельной теплоемкости Дж/(кг⋅К). Молярная теплоемкость – величина, равная количеству теплоты, необхо-

димому для нагревания 1 моль вещества на 1 К:

C = Q

Tν∆∆

.

Единица молярной теплоемкости Дж/(моль⋅К). Удельная и молярная теплоемкости связаны соотношением C = cµ ,

где µ – молярная масса вещества.

Теплоемкости газа. Уравнение Майера

Так как количество тепла, передаваемое системе при переходе из одного состояния в другое, зависит от вида процесса, теплоемкость тела также зависит от вида термодинамического процесса. Для газов различают теплоемкости при постоянном объеме CV и при постоянном давлении CP.

В процессе при постоянном объеме газ работы не совершает: A = 0. Из пер-вого закона термодинамики для 1 моля газа следует, что

QV = CV∆T = ∆U. (4.7) Для процесса при постоянном давлении первый закон термодинамики дает:

QP = ∆U + P(V2 – V1) = CV∆T + P∆V, где ∆V – изменение объема 1 моля идеаль-ного газа при изменении его температуры на ∆T. Отсюда следует, что

PP V

Q U V VC P C P

T T T T

∆ ∆ ∆= = + = +∆ ∆ ∆ ∆

.

Отношение ∆V/∆T может быть найдено из уравнения состояния идеального газа, записанного для 1 моля: PV = RT. При P = const P∆V = R∆T, т.е. ∆V/∆T = R/P. Таким образом, для идеального газа

CP = CV + R. Это выражение называется уравнением Майера.

Явное выражение для молярной изохорной теплоемкости можно записать,

70 используя выражение для внутренней энергии (4.3). Для одного моля газа запи-шем:

2V

U iC R

T

∆= =∆

.

Адиабатический процесс

Адиабатическим называется процесс, протекающий без теплообмена с внешней средой, т. е. δQ = 0.

Первое начало термодинамики (4.6) для этого процесса принимает вид: dU+ δA = 0. (4.8)

С учетом определения изохорной теплоемкости и работы расширения газа пере-пишем (4.8):

CV dT + PdV = 0. (4.9) Уменьшим число переменных. Исключим из уравнения (4.9) температуру.

Для этого возьмем дифференциал от обеих частей уравнения Клапейрона-Менделеева:

PdV + VdP = RdT ⇒ dT = (PdV + VdP)/R. (4.10) Подставим (4.10) в (4.9) и преобразуем:

PdV (R + CV)/CV = –VdP. Выражение (R + CV)/CV = CP/CV = γ, называется коэффициентом Пуассона. Раз-делив переменные с учетом определения γ, получим dP/P = –γ dV/V. Интегрируя это уравнение, найдем ln ln lnP V Cγ= − + , или

PVγ = C. Полученное выражение есть уравнение адиабатического процесса, которое

также носит название уравнения Пуассона.

Лекция 5. Второе начало термодинамики

Второе начало термодинамики позволяет установить направление протека-ния процессов в природе. Кроме того, при помощи второго начала можно соз-дать рациональную шкалу температур, не зависящую от термометрического ве-щества и устройства термометра.

Принцип действия тепловой машины

Второе начало термодинамики было сформулировано в результате анализа работы тепловых машин. Тепловой машиной называется периодически дейст-вующий двигатель, совершающий работу за счет получаемого извне тепла. Рас-смотрим принцип действия тепловой машины.

Тепловые машины делятся на два класса: машины одноразового действия и циклические машины. Примером машины одноразового действия может слу-жить пушка. Основные двигатели, которыми мы пользуемся – паровые двигате-ли и двигатели внутреннего сгорания – представляют собой циклические маши-

71 ны, в которых система периодически совершает работу, и возвращается в исходное состояние.

Круговым процессом или циклом называется такой процесс, при котором система, пройдя ряд состояний, возвращается в исходное. На P-V диа-грамме (рис. 37) цикл изображается замкнутой кривой. Разобьем цикл на два процесса – расши-рения и сжатия. В соответствии с определением (4.4), работа A1 при расширении определяется площадью фигуры под кривой 1а2. Эта работа положительна, т.к. газ совершает работу. Работа

A2 при сжатии определяется площадью под кривой 2b1. Эта работа отрицатель-на, т.к. над газом совершается работа. Следовательно, работа, совершаемая за цикл, равна площади, охватываемой кривой, описывающей цикл. Чтобы работа за цикл была больше нуля, давление (и, следовательно, температура) в процессе расширения должно быть больше, чем при сжатии. Для этого рабочему вещест-ву во время расширения нужно сообщать тепло Q1, а в ходе сжатия отнимать Q2.

Напишем уравнение первого начала для обеих частей цикла: Q1 = U2 – U1 + A1, –Q2 = U1 – U2 + A2. Складывая эти уравнения, получим A = A1 + A2 = Q1 – Q2. Коэффициентом полезного действия (КПД) тепловой машины называется

отношение

1

21

1 Q

QQ

Q

A −==η .

Цикл Карно

Особое место при анализе работы теп-ловых машин занимает цикл Карно. Это цикл идеальной тепловой машины с мак-симально возможным КПД.

Рабочее вещество попеременно приво-дится в контакт с двумя тепловыми резер-вуарами – нагревателем с температурой Т1 и холодильником с температурой Т2. Цикл Карно состоит из двух изотерм и двух адиа-бат (рис. 38).

Найдем КПД идеальной тепловой ма-шины Карно, в которой рабочим телом слу-служит 1 моль идеального газа.

При изотермическом процессе на участке 1-2 внутренняя энергия газа оста-

P

V

b

a

1

2

Рис. 37.

P

V

1

2

3

4

T1

T2

V1 V4 V2 V3

Рис. 38.

72 ется постоянной, поэтому работа А1,2 на этом участке равна количеству теплоты Q1, полученному газом от нагревателя (см. уравнение (4.5)):

А1,2 = Q1 = RT1 ln 2

1

V

V.

При адиабатическом расширении на участке 2-3 работа совершается за счет внутренней энергии газа, поэтому температура газа понижается. Выражения (4.8) и (4.7) дают:

А2,3 = –CV (T2 – T1). На участке 3-4 при изотермическом сжатии теплота Q2, отданная холодиль-

нику, равна работе внешних сил:

А3,4 = –Q2 = RT2 ln3

4

V

V .

Работа при адиабатическом сжатии на участке 4-1 равна А4,1 = –CV (T1 – T2).

Полезная работа, совершаемая газом в результате кругового процесса, A = А1,2 + А2,3 + А3,4 + А4,1 = Q1 – Q2.

Следовательно, КПД цикла равен

1

21

Q

QQ −=η =

1

21

4

32

1

21

ln

lnln

V

VRT

V

VRT

V

VRT −

. (5.1)

Состояния 2 и 3 находятся на одной адиабате: 1

321

21−− = γγ VTVT . (5.2)

То же относится к состояниям 4 и 1: 1

421

11−− = γγ VTVT . (5.3)

Разделив (5.2) на (5.3), получим, что V2/V1 = V3/V4. Учитывая это в (5.1), найдем

1

21

T

TT −=η .

Термодинамическая шкала температур

В 1848 году Томсон (лорд Кельвин) поставил вопрос о необходимости раз-работки принципа измерения температуры, результаты которого не зависели бы от природы термометрического тела. Исследование этого вопроса привели Том-сона к идее измерения абсолютной температуры с использованием идеальной машины Карно, эффективность работы которой не зависит от природы рабочего вещества.

При осуществлении идеального цикла Карно с каким-либо веществом, из-меряется количество теплоты Q1, заимствованной от нагревателя, и количество теплоты Q2, отданной холодильнику. КПД этого цикла

η = 1

21

1

21

T

TT

Q

QQ −=− .

Преобразовав это уравнение, получим

73

2

1

2

1

Q

Q

T

T = . (5.4)

Далее можно предложить такую процедуру. Некоторое стандартное тело в определенном состоянии (например, вода,

кипящая при атмосферном давлении) выбирается в качестве нагревателя. Дру-гое стандартное тело (например, лед, тающий при атмосферном давлении) вы-бирается в качестве холодильника. Разность их температур Т1 – Т2 (сами темпе-ратуры пока неизвестны) делятся на произвольное число частей, чем устанавливается значение градуса (скажем на сто частей):

Т1 – Т2 = 100о. (5.5) В результате имеем два уравнения (5.4) и (5.5), позволяющие определить Т1 и Т2.

Если теперь взять некое вещество при неизвестной температуре Т и исполь-зовать его в качестве нагревателя при прежнем холодильнике (температура Т2), то, проведя цикл Карно и измеряя Q'1 и Q'2, можно записать

1

2 2

Q T

Q T

′=

′ ⇒ 1

22

QT T

Q

′=

′.

Так находится искомая температура Т. Машина Карно позволяет лишь принципиально построить температурную

шкалу. Для практических измерений температуры она непригодна. На практике всегда измеряется эмпирическая температура с помощью каких-либо реальных термометров. Задача заключается в том, чтобы в показания таких термометров ввести поправки и таким образом привести эти показания к абсолютной термо-динамической шкале. В случае термометра, использующего идеальный газ, та-кие поправки не требуются. Но идеальных газов в природе не существует. Од-нако разработаны методики нахождения поправок к показаниям термометра, использующего в качестве термометрического тела реальный газ (лучше всего гелий: он может работать до весьма низких температур).

Обратимые и необратимые процессы

Процесс называется обратимым, если система (рабочее тело) непрерывно переходит из одного равновесного состояния в другое. Поэтому обратимые про-цессы также называются равновесными. Такой идеальный процесс может управ-ляться медленным изменением тех или иных параметров, например температу-ры или объема. Изменяя параметры в обратном направлении, можно в точности обратить рассматриваемый процесс.

Если систему вывести из равновесного состояния, то через некоторое время она снова перейдет в состояние термодинамического равновесия. Процессы, связанные с переходом системы из неравновесного состояния в равновесное – это необратимые процессы. Они являются неравновесными процессами.

Примерами необратимых процессов являются переход теплоты от нагрето-го тела к холодному; перемешивание двух различных газов, помещенных в один объем, расширение газов в пустоту. Всякий необратимый процесс характеризу-

74 ется определенной направленностью, он развивается в каком-то одном направ-лении и не развивается в обратном. Никогда никто не наблюдал самопроизволь-ного перехода тепла от холодного тела к горячему; не происходит самопроиз-вольного разделения газовых компонентов; не было случаев, чтобы газ само-произвольно сжался. Какое направление развития процесса оказывается дозво-ленным, а какое запрещенным, – решается с помощью второго начала термодинамики.

Формулировки второго начала термодинамики

Одну из первых формулировок второго начала термодинамики дал Уильям Томсон (лорд Кельвин).

Формулировка Томсона: Невозможно построить периодически действующую машину, вся деятель-

ность которой сводилась бы к поднятию некоторого груза и соответствую-щему охлаждению теплового резервуара.

Это означает, что нельзя создать машину, которая совершала бы полезную работу просто за счет уменьшения внутренней энергии какой-нибудь среды. Та-кую машину Кельвин назвал вечным двигателем второго рода. Если в прежних проектах вечных двигателей нарушался закон сохранения энергии (вечные дви-гатели первого рода), то здесь такого нарушения нет. Вечный двигатель второго рода не противоречит первому началу термодинамики, его запрещает второй за-кон.

Немецкий физик Р.Клаузиус сформулировал второе начало термодинамики так:

Переход теплоты от более холодного тела к более нагретому не может совершаться без компенсации.

Если же в результате некоторого процесса совершается переход тепла от тела менее нагретого к телу более нагретому, то такой процесс сопровождается каким-либо компенсирующим процессом. Например, в холодильнике такой пе-реход сопровождается работой электрического двигателя.

Энтропия

Понятие энтропии было введено немецким физиком Р. Клаузиусом в 1865 году. Перепишем выражение (5.4) для КПД цикла Карно в виде

02

2

1

1 =−T

Q

T

Q . (5.6)

Отношение Q/T Клаузиус назвал приведенной теплотой. Клаузиус обратил вни-мание на то, что соотношение (5.6) похоже на закон сохранения. Величина Q1/T1, «отобранная» рабочим телом у нагревателя, равна величине Q2/T2, пере-данной холодильнику.

Если считать теплоту Q2, отданную системой, отрицательной, то выражение (5.6) примет вид

75

02

2

1

1 =+T

Q

T

Q.

Т.е. алгебраическая сумма приведенных теплот в машине, работающей по циклу Карно, равна нулю.

Клаузиус обобщил полученный результат на произвольные обратимые цик-лы. Для этого он предложил произвольный цикл разбить бесконечно близкими изотермами и адиабатами на элементарные циклы Карно. Для каждого из эле-ментарных циклов справедливо равенство δQ/T = 0. С учетом этого для произвольного обратимого цикла имеем

0Q

T

δ =∫ . (5.7)

Математически выражение (5.7) аналогично расчету работы консерватив-ных сил вдоль замкнутого контура. Оно означает, что существует функция S, изменение которой определяется только параметрами начала и конца процесса и не зависит от способа перехода системы из одного состояния в другое. Полный дифференциал этой функции равен

QdS

T

δ= .

Функция состояния S является важной характеристикой термодинамических процессов и называется энтропией.

Учитывая, что КПД реальной необратимой машины не может быть больше, чем у идеальной машины Карно, можно показать, что приращение энтропии в цикле, содержащем необратимые процессы, положительно. Это позволяет запи-сать второе начало термодинамики в аналитической форме через энтропию:

dS ≥ 0. Энтропия изолированной системы может только возрастать, если в ней

протекает необратимый процесс, либо оставаться постоянной, если процесс обратимый.

Энтропия и вероятность

Изучая термодинамические процессы, Л. Больцман заметил общность в на-правлении изменения энтропии некоторой системы и в значении термодинами-ческой вероятности состояния.

Всякое макросостояние (состояние системы, характеризующееся ее макро-скопическими измеряемыми параметрами) может быть осуществлено различ-ными способами, каждому из которых соответствует некоторое микросостояние (состояние, определяющее параметры микроскопических частей системы). Чис-ло различных микросостояний, соответствующих данному макросостоянию, на-зывается статистическим весом или термодинамической вероятностью Р макросостояния. Таким образом, статистический вес Р представляет собой чис-ло микроскопических способов, которыми может быть осуществлено данное макросостояние.

76 Больцман нашел связь между термодинамической вероятностью и измене-

нием энтропии системы: ∆S = k Pln .

Энтропия системы пропорциональна логарифму вероятности состояния.

Статистический смысл второго начала термодинамики

В замкнутых системах самопроизвольные процессы протекают в сторону возрастания энтропии. Формула Больцмана позволяет объяснить причину воз-растания энтропии: возрастание энтропии означает переход системы из менее вероятных в более вероятные состояния.

При вероятностном рассмотрении энтропия выступает как мера беспорядка в системе. Закон возрастания энтропии в замкнутых системах есть закон увели-чения степени беспорядка в этих системах. Иными словами, если систему пре-доставить самой себе, то наиболее вероятен в ней переход от порядка к беспо-рядку, к хаосу.

Когда молоток ударяет по наковальне, то упорядоченная составляющая движения молекул, связанная с его поступательным движением как целого, пе-реходит в неупорядоченное тепловое движение молекул наковальни и молота.

Количество энергии в замкнутой системе с течением времени не изменяет-ся. Однако изменяется качество энергии. В частности, уменьшается способность совершить полезную работу. Возрастание энтропии в замкнутой системе есть, по сути дела, постепенное разрушение системы. Всякая замкнутая система со временем разупорядочивается, разрушается. Изоляция системы отдает ее во власть разрушающих случайностей, которые всегда направляют систему к бес-порядку. Как выразился французский ученый Л. Бриллюэн, «второе начало го-ворит о смерти вследствие изоляции».

Границы применимости второго начала термодинамики

Диктуемое вторым началом термодинамики направление развития процес-сов не является категорическим. Это есть лишь наиболее вероятное направле-ние. Нарушения второго начала в принципе допустимы. Однако мы не наблюда-ем их потому, что они маловероятны.

Газ самопроизвольно расширяется в пустоту. Это наиболее вероятное на-правление процесса. Однако в принципе возможна ситуация, когда скорости молекул газа вдруг окажутся ориентированными так, что газ самопроизвольно сожмется. Такая ситуация маловероятна. Ее исключительно малая вероятность связана с огромным числом молекул в любом макрообъеме газа. Самопроиз-вольное сжатие газа следует рассматривать как флуктуацию его плотности. Чем больше молекул газа, тем меньше ее относительная вероятность.

Если в явлении участвует небольшое число молекул, нетрудно наблюдать различного рода флуктуации, свидетельствующие о нарушении второго начала.

77 Например, флуктуации плотности воздуха в объемах, сравнимых с длиной вол-ны видимого света, обуславливают голубой цвет неба.

Броуновская частица, вследствие малости своих размеров, совершает скач-ки из-за нескомпенсированности ударов молекул с разных сторон. Совершая скачок, частица демонстрирует самопроизвольное превращение тепловой энер-гии в кинетическую.

Нельзя, по-видимому, экстраполировать второе начало термодинамики на всю Вселенную, т.е. с помощью второго начала термодинамики нельзя анализи-ровать и процессы космических масштабов. В противном случае мы неизбежно придем к выводу, что все на свете в конце концов придет к тепловому равнове-сию, так называемой «тепловой смерти Вселенной».

Энтропия и информация

Если ввести понятие информации и ее возникновение связать с уменьшени-ем неопределенности, то саму неопределенность, беспорядок можно рассматри-вать как недостачу информации. Увеличение энтропии соответствует переходу системы из более упорядоченных в менее упорядоченные состояния. Такой пе-реход сопровождается уменьшением информации, содержащейся в структуре системы.

Флуктуации физических параметров обуславливают нарушение второго на-чала. В этих процессах генерируется информация из шума. Воздействуя опреде-ленным образом на систему, можно понизить ее энтропию (за счет повышения энтропии других систем). Это называется процессом управления.

Все это говорит о существовании связи между информацией и энтропией. Впервые на эту связь указал в 1929 году венгерский физик Л. Сциллард.

Итак, если энтропия – мера беспорядка, неопределенности в системе, то информация, напротив, – мера порядка, структуры и определенности. Возраста-нию информации соответствует уменьшение энтропии, и, наоборот, уменьшению информации отвечает увеличение энтропии.

Лекция 6. Явления переноса

Введение

Явления, возникающие в газе при отклонении параметров от равновесных значений, получили название явлений переноса. В этом разделе мы изучим три таких явления – диффузию, вязкость и теплопроводность.

Число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул

Скорости молекул при комнатных температурах очень велики. И кажется, что все процессы, связанные, например, с перемешиванием двух газов, при-шедших в соприкосновение, должны совершаться очень быстро. Опыт же пока-зывает, что процесс перемешивания совершается относительно медленно. Мед-

78 ленно происходит выравнивание температур, медленно распространяется запах духов. Чем это объяснить?

Молекула, движущаяся в газе, постоянно сталкивается с другими молеку-лами и изменяет направление своего движения. Поэтому, перемещаясь из одной точки в другую, она проходит очень большой путь. Длины прямолинейных уча-стков пути, которые молекулы проходят без столкновений, различны. Мы мо-жем оценить только среднюю длину свободного пробега молекул λ.

Будем считать, что молекулы имеют шарообразную форму. При столкнове-ниях центры молекул подходят друг другу на некоторое минимальное расстоя-ние, называемое эффективным диаметром молекулы d. За одну секунду моле-кула проходит путь, численно равный ее средней скорости υ . Если среднее чис-ло столкновений, испытываемых молекулой за одну секунду, равно z , то сред-няя длина свободного пробега есть λ = zυ .

Найдем z . Будем считать, что только одна молекула движется, а остальные находятся в состоянии покоя (рис. 39). Подвижная молекула при движении

столкнется только с теми частицами, центры кото-рых находятся на расстояниях, равных или меньших d. Следовательно, за одну секунду движущаяся мо-лекула «зацепит» только те из неподвижных, кото-рые лежат внутри цилиндра радиусом d и длиной υ . Если V = π⋅d2υ – объем цилиндра, а n – концентра-ция частиц, то

z = nV = n⋅π⋅d2υ . Мы считали, что другие молекулы неподвижны.

Если же учесть их движение, то скорость выбранной молекулы относительно остальных молекул возрастет в 2 раз, и тогда

z = 2 nπd2υ . Стало быть, средняя длина свободного пробега

λ = 2

1

2 d nπ. (6.1)

Диффузия

Пусть газ, например водород, диффундирует через пористую перегородку толщиной l. Перегородка должна мешать только образованию конвекции. По обе стороны перегородки и в ее каналах находится воздух, который играет роль растворителя. Пусть перед перегородкой поддерживается постоянная концен-трация молекул водорода; позади перегородки все прошедшие молекулы тотчас тем или иным путем удаляются, например, выдуваются потоком воздуха. Тогда внутри перегородки установится падение, или градиент концентрации dn/dx.

Опыт показывает, что поток молекул ∆N/∆t через перпендикулярную оси х поверхность S определяется выражением

2d

2d

Рис. 39.

79 N

t

∆∆

= –D⋅ dn

dx⋅S,

где величина D называется коэффициентом диффузии. Знак минус указывает, что поток молекул направлен в сторону убывания концентрации. Умножив обе части равенства на массу молекулы m0, получим выражение для диффундирую-щей массы за время ∆t:

∆M = ∆N⋅m0 = – D⋅ d

dx

ρ ⋅S⋅∆t. (6.2)

За ρ = nm0 обозначена плотность диффундирующего газа. Эта формула представляет собой эмпирическое уравнение диффузии. Его

называют также законом Фика. Хаотическое движение молекул будет стремиться выровнять концентрации,

и возникнет поток молекул от мест с большей концентрацией к местам с мень-шей. Для вычисления этого потока расположим контрольную площадку S, про-ходящую через точку x оси Ox перпендикулярно этой оси, и подсчитаем число молекул, проходящих за время ∆t через эту площадку слева направо и справа налево (рис. 40).

Из-за полной беспорядочности движения результат перемещения частиц будет таков, как если бы вдоль оси Ox двига-лась треть всех молекул. Стало быть, можно считать, что в положительном направлении движется 1/6 часть всех частиц. Тогда количе-ство молекул, проходящих через площадку, равно

N1 = 6

1 n1Sυ ∆t.

Здесь n1 – концентрация примеси слева от кон-трольной площадки.

Поскольку в рассматриваемом случае кон-центрация изменяется от точки к точке, то сле-дует определить более тщательно, какому значению координаты соответствует величина n1. Для упрощения расчета примем, что все молекулы, проходящие че-рез контрольную площадку, испытали последнее соударение на одном и том же расстоянии от площадки, равном средней длине свободного пробега λ. Так как выравнивание концентрации происходит лишь в результате взаимных столкно-вений, то на пути λ концентрация молекул не меняется и остается равной n1 в плоскости х – λ.

Поток молекул, проходящих через площадку справа налево, равен

N2 = 6

1 ⋅n2⋅S⋅υ ⋅∆t,

где n2 – концентрация молекул в плоскости х + λ.

n

x x–λ x+λ

N1

N2

Рис. 40.

80 Суммарный диффузионный поток через площадку в положительном на-

правлении оси Oх представляет разность двух потоков

∆N = N1 – N2 = 6

1 ⋅S⋅υ ⋅∆t⋅(n1 – n2). (6.3)

Разложим функцию n(x) в ряд Тейлора в окрестности точки х и ограничим-ся двумя первыми членами. Это можно сделать, т.к. λ – малая величина.

n1 = n(х – λ ) ≈ n(x) – dn

dxλ,

(6.4)

n2 = n(х +λ) ≈ n(x) + dn

dxλ.

Подставив (6.4) в выражение (6.3), получим

∆N = – υ⋅dx

dn

3

1 ⋅∆t⋅λ .

Помножив правую и левую часть этого уравнения на массу одной молеку-лы, будем иметь

∆M = m0∆N = 01

3

dn mt

dxυ λ⋅− ⋅∆ ⋅ = 1

3

dt

dx

ρυ λ− ⋅ ∆ . (6.5)

Сравнение выражений (6.5) и (6.2) показывает, что

D = 1

3υ λ⋅ . (6.6)

Подставив сюда выражения для средней скорости молекул (3.4) и средней длины свободного пробега (6.1), можно заключить, что

D ∼ 0( )T m n⋅ . (6.7)

Принято приводить значение коэффициента диффузии не при постоянной концентрации частиц, а при постоянном давлении. В этом случае, учитывая уравнение газового состояния P = nkT, получим зависимость D ∼ 3/ 2

0( )T m P⋅ .

Вязкость (внутреннее трение)

При течении слоев газа с различными скоростями более быстрый слой ус-коряет соседний с ним медленный, а более медленный задерживает более быст-рый. Возникающие при этом внутреннего силы трения касательны к слоям газа.

Обозначим скорость течения слоев газа через u (в отличие от скоростей мо-лекул, обозначаемых буквой υ). Рассмотрим две параллельные пластины пло-щадью S, размеры которых много больше расстояния d между ними. Пусть одна из пластин движется с большей скоростью, чем вторая.

На границе между смежными слоями газа действует сила внутреннего тре-ния, величина которой определяется эмпирической формулой

F = η⋅ du

dz⋅S.

Здесь η – коэффициент вязкости или коэффициент внутреннего трения; du/dz – градиент скорости в направлении оси z, перпендикулярном к направлению движения частиц; S – площадь поверхности, вдоль которой действует сила F.

81 Анализ возникновения сил вязкости с точки зрения молекулярно-

кинетической теории подобен анализу возникновения диффузии. При изучении диффузии мы исследовали перенос массы между слоями, в то время как при изучении вязкости следует рассматривать перенос импульса. Это приводит к следующему значению коэффициента вязкого трения:

η = 1

3ρυλ .

Сравнение c (6.6) показывает, что диффузия и вязкость связаны соотношением η = ρ⋅D. Таким образом, коэффициент внутреннего трения η молекулярно-

кинетическая теория позволяет выразить через величины, характеризующие мо-лекулярную структуру газа: через среднюю длину свободного пробега, среднюю скорость и плотность газа.

Формула (6.7) дает: η ∼ 0m T . Видно, что η не зависит от давления газа.

Этот результат обусловлен следующими причинами. При понижении давления уменьшается число молекул в единице объема, следовательно, уменьшается и число молекул, переносящих импульс из одного слоя в другой. Но зато возрас-тает и длина свободного пробега молекул, благодаря чему молекулы попадают из слоя в слой легче. В результате количество движения, переносимого из слоя в слой, остается постоянным.

Теплопроводность

С макроскопической точки зрения явление теплопроводности заключается в переносе некоторого количества тепла Q от более горячего тела к более хо-лодному. Если изменение температуры происходит вдоль оси Oх, то через пло-щадку S, перпендикулярную этой оси, за время ∆t будет перенесено количество тепла тем большее, чем больше градиент температуры:

∆Q = –κ⋅ dT

dx⋅S⋅∆t, (6.9)

где κ – коэффициент теплопроводности, зависящий от сорта газа и от условий, в которых он находится.

С молекулярно-кинетической теории процесс теплопроводности заключа-ется в том, что молекулы из более горячего слоя, где они имеют большую сред-нюю энергию ε , проникая в более холодный слой, передают молекулам часть своей энергии. И наоборот, «холодные» молекулы, попадая в более теплый слой, получают от него энергию.

Проведя рассуждения для теплопроводности, подобные рассуждениям при выводе коэффициента диффузии (или вязкости), получим следующую формулу для коэффициента теплопроводности:

κ = 3

1 ⋅ρ⋅υ ⋅λ⋅сV ,

где сV – удельная теплоемкость газа.

82 Зависимость коэффициента теплопроводности κ от параметров, характери-

зующих состояние газа, имеет вид:

κ ∼ 0

T

m.

Лекция 7. Реальные газы

Модель идеального газа является приближенной моделью реального газа. Только при высоких температурах и низких давлениях поведение реальных га-зов подчиняется уравнению Клапейрона-Менделеева. Кроме того, реальные га-зы могут быть переведены в жидкое и твердое состояние. Если бы газы подчи-нялись строго уравнению Клапейрона-Менделеева, то такой переход был бы невозможен.

Отличие реального газа от идеального состоит в том, что между молекула-ми реального газа существуют силы взаимодействия.

Молекулы состоят из заряженных частиц, и заряды противоположных зна-ков могут не совмещаться в одной точке. Такие молекулы называются полярны-ми. Вследствие этого вокруг атома или молекулы может существовать электри-ческое поле. Когда молекулы приближаются друг к другу, то они разворачиваются противоположными полюсами и взаимодействуют друг с другом. Такие силы называются дипольно-ориентационными.

Неполярные молекулы могут поляризоваться при взаимном действии друг на друга при сближении. Силы, возникающие при этом, называются дисперси-онными. Происхождение этого термина связано с тем, что поляризуемостью мо-лекул определяется показатель преломления газа n (оптическая дисперсия).

Если расстояние между молекулами велико по сравнению с их размерами, то сила взаимодействия между ними является силой притяжения. При малых расстояниях, когда электронные оболочки перекрываются, молекулы отталки-ваются.

Уравнение Ван-дер-Ваальса

Самым простым и вместе с тем дающим достаточно хорошие результаты является уравнение Ван-дер-Ваальса.

Уравнение Ван-дер-Ваальса получено путем внесения поправок в уравне-ние Менделеева – Клапейрона и для 1 моля газа имеет следующий вид:

( )2

aP V b RT

V + − =

. (7.1)

а и b – константы Ван-дер-Ваальса, имеющие для различных газов различные значения, определяемые опытным путем. Константа a учитывает притяжение молекул на больших расстояниях, а b – отталкивание на малых.

Влияние сил отталкивания учтено введением в рассмотрение собственного объема молекул, которые представляются в виде твердых шариков. Из-за взаим-

83 ного притяжения между молекулами газ сжимается как бы бóльшим давлением, чем давление, оказываемое им на стенки. Заметное взаимодействие молекул происходит на небольших расстояниях, называемых радиусом молекулярного действия. Рассмотрим два маленьких объема, имеющих размеры порядка ра-диуса молекулярного действия и находящихся на таком же расстоянии друг от друга. Сила взаимного притяжения этих объемов пропорциональна числу моле-кул N в каждом из них: F ~ N 2. N, в свою очередь, пропорционально числу мо-лекул n в единице объема: N ∼ n. Поэтому F ∼ n2.

Концентрация обратно пропорциональна объему газа, n ~ 1/V, а давление пропорционально силе, P ~ F. Этими простыми соображениями вводится по-правка на внутреннее давление: Pвнут = a/V 2.

Вторая поправка b носит название поправки на недоступный объем. Вслед-ствие того, что молекулы обладают собственным объемом, пространство, дос-тупное для их движения, оказывается меньшим, чем объем сосуда.

Допустим, в сосуде находятся две одинаковые молекулы 1 и 2 (рис. 41). Совершая тепловое движение, они сталкиваются со стенками. Из-за этого возникает давление на стенки. При вычислении давления можно считать, что одна молекула (например, 2) все время остается неподвижной, а другая (1) движется с удвоен-ной кинетической энергией. Давление не зависит от того, как энергия распределена между молекулами. Центры молекул не могут сблизиться на расстояние меньшее, чем их диаметр d. Окружим молекулу 2 сферой радиуса d. Очевидно, что центр движущейся молекулы не может проникнуть внутрь этой сферы. Значит, объем, доступный молекуле 1, из-за присутствия молекулы 2 уменьшается на объем сферы, т.е. на величину 34

3 dπ .

Пусть теперь в сосуде находится NА молекул. Половина из них покоится и окружена сферами радиуса d, а молекулы другой половины движутся с удвоен-ной кинетической энергией. Тогда объем, доступный центрам движущихся мо-лекул, будет меньше на b = 34

3 dπ NA/2 = 3434 ( / 2)AN dπ , т.е. на учетверенный соб-

ственный объем всех молекул. Запишем уравнение Ван-дер-Ваальса для произвольного числа молей ν. Ес-

ли газ занимает объем V, то молярный объем будет V/ν. Подставим его в урав-нение (7.1). Получим

2

2

a VP b RT

V

νν

+ − =

, или

( )2

2

aP V b RT

V

ν ν ν + − =

.

Внутренняя энергия реального газа

Внутренняя энергия реального газа состоит из кинетической энергии теп-лового движения и потенциальной энергии взаимодействия между молекулами.

1

2

Рис. 41.

84 При расширении газа работа δА против сил взаимодействия между молекулами пойдет на увеличение внутренней потенциальной энергии. Для 1 моля

δА = dEП = Pвнутр⋅dV = 2

a

VdV.

Проинтегрируем это выражение: EП = –2

a

V + const.

При устремлении объема газа к бесконечности потенциальная энергия ста-нет равной нулю, поэтому const = 0, и

EП = –2

a

V.

Внутренняя энергия U одного моля газа состоит из кинетической и потен-циальной. При устремлении объема газа к бесконечности выражение для внут-ренней энергии реального газа должно переходить в выражение для внутренней энергии идеального газа, следовательно

U = CVT –2

a

V.

Эффект Джоуля – Томсона

Эффект Джоуля-Томсона заключается в изменении температуры газа при адиабатическом дросселировании, т.е. при прохождении через дроссель – мест-ное гидродинамическое сопротивление (сужение трубопровода, вентиль, кран, пробка и т.д.).

При дросселировании газ не совершает работы и нет теплообмена с внеш-ней средой. При прохождении через дроссель понижается только давление газа. Внутренняя энергия идеального газа не зависит от давления, поэтому его темпе-ратура при дросселировании не изменяется.

Другие вещества могут нагреваться или охлаждаться. Если разность темпе-ратур ∆Т < 0, то эффект считается положительным, и отрицательным при ∆Т > 0.

Газ, для которого можно пренебречь поправкой а, но для которого поправ-ка b играет существенную роль, нагревается при расширении сквозь пробку.

Дросселирование газа, для которого можно пренебречь поправкой b в урав-нении Ван-дер-Ваальса, но для которого поправка a играет существенную роль, приводит к его охлаждению.

Изотермы Ван-дер-Ваальса

Изотермы идеального газа имеют вид гипербол, асимптотами которых яв-ляются оси координат. При Т = const каждому значению P соответствует опре-деленное значение V.

Иначе обстоит дело с изотермами, описываемыми уравнением Ван-дер-Ваальса. Это уравнение третьей степени относительно V, в чем легко убедиться, если раскрыть скобки и освободиться от V в знаменателе:

85

3 2 0RT a ab

V b V VP P P

− + + − =

.

Построим несколько графиков зависимости ( )P f V= при различных Т = const (рис. 42). Как видно из рисунка, при высоких температурах изотермы Ван-дер-Ваальса мало отличаются от изотерм идеального газа. Но с понижением температуры зависимость давления от объема все более уклоняется от гипербо-лы. При достаточно низких температурах в средней части графика образуется «завиток» с минимумом и максимумом. При некоторой промежуточной темпе-ратуре координаты максимума и минимума становятся равными. Такая темпера-тура и соответствующая ей изотерма называется критической. Критическая изо-терма монотонно опускается вниз за исключением одной точки К, являющейся точкой перегиба изотермы. В ней касательная к изотерме горизонтальна. Точка К называется критической точкой. Соответствующие ей давление PK, объем VK и температура ТK называются критическими.

Записав уравнение Ван-дер-Ваальса в критиче-ской точке, можно найти, что

VK = 3b;

PK =23 K

a

V =

227

a

b;

TK = (3 )K KV b P

R

− = 2

8

27

ab

b R = 8

27

a

bR.

При высоких температурах экспериментальные изотермы реальных газов похожи на изотермы иде-ального газа. При более низких температурах харак-тер изотерм меняется. Схематически изотерма, отно-сящаяся к такой более низкой температуре, представ-лена на рис. 43.

При больших объемах сжатие приводит к возрастанию давления; этой части изотермы соответствует ветвь ON. Здесь свойства реального газа анало-гичны свойствам идеального газа.

При достижении давления P0, ко-торому соответствует объем V ′ , пове-дение резко меняется: при дальнейшем сжатии давление P0 остается постоян-ным, начинается процесс ожижения. Чем выше степень сжатия, тем боль-шее количество газа (который при этих условиях называется насыщенным па-ром) переходит в жидкость. Точка М соответствует полному переходу всего количества газа в жидкое состояние.

Рис

P0

O

N M

P

V V ′ V ′′

Рис. 43.

86 Дальнейшее продвижение поршня потребует больших усилий, т.к. жидкость мало сжимаема.

Давление P0, при котором происходит ожижение, носит название упругости насыщенных паров при данной температуре Т. В области между точками М и N вещество находится в двух агрегатных состояниях или, как говорят, в двух фазах – жидкой и газообразной.

Сравнение экспериментальных изотерм с теоретическими изотермами Ван-дер-Ваальса показывает, что область максимумов и минимумов относится к пе-реходу вещества из газообразного состояния в жидкое.

Выше критической температуры TK вещество может существовать только в газообразном состоянии. Газ, температура которого выше TK, никаким сжатием не может быть переведен в жидкое состояние. В критической точке пропадает всякое различие между жидкостью и паром.

Рассмотрим более подробно различие между экспериментальными изотер-мами и изотермами Ван-дер-Ваальса (рис. 44). На экспериментальной изотерме области максимумов и минимумов соответствует прямая MN. Однако оказыва-ется, что некоторые точек, попадающие в эту область, могут быть получены экспериментально.

Так, в обеспыленном и свободном от электрических зарядов пространстве можно получить пары при давлении P большем, чем давление насыщенных па-ров P0 при данной температуре. Такие пары называются пересыщенными. Со-стояние пересыщенных паров изобража-ется частью изотермы Na.

Вещество в жидком состоянии мо-жет находиться под давлением, которое будет меньше упругости насыщенных паров при данной температуре. Этому состоянию соответствует часть изотер-мы Mb. Вещество на участке Mb находится в состоянии, называемом перегре-той жидкостью.

Вовсе не могут быть осуществлены состояния на участке ab. Эти участки соответствуют совершенно неустойчивому состоянию вещества.

Таким образом, мы видим, что уравнение Ван-дер-Ваальса при всей его простоте дает верную картину поведения вещества в широком интервале темпе-ратур и давлений и даже при превращении его из жидкого состояния в газооб-разное и обратно.

P0

P

V V ′ V ′′

N M

O

a

b

Рис. 44.

87

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие 3

Предмет физики 3

Рекомендуемая литература 3

ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ 4

Лекция 1. Кинематика 4

Основные понятия 4

Скорость 5

Ускорение 6

Ускорение при криволинейном движении 6

Движение материальной точки по окружности 8

Лекция 2. Динамика 8

Законы Ньютона 8

Первый закон Ньютона 8

Масса и импульс тела 9

Второй закон Ньютона 9

Третий закон Ньютона 10

Принцип относительности Галилея 10

Понятие состояния в классической механике 11

Лекция 3. Силы 12

Закон всемирного тяготения 13

История открытия закона всемирного тяготения 13

Силы упругости. Закон Гука 15

Деформация сдвига 16

Силы трения 16

Трение качения 17

Внутреннее трение или вязкость 17

Лекция 4. Закон сохранения энергии 17

Работа. Мощность 18

88 Работа переменной силы 18

Единицы работы 19

Мощность 19

Кинетическая энергия 20

Потенциальная энергия 20

Закон сохранения энергии 22

Лекция 5. Закон сохранения импульса 22

Абсолютно неупругий удар 23

Абсолютно упругий удар 24

Реактивное движение 24

Лекция 6. Механика твердого тела 25

Момент силы и момент инерции 26

Моменты инерции некоторых тел 27

Момент инерции тонкостенного полого цилиндра 28

Mомент инерции однородного диска 28

Кинетическая энергия вращающегося твердого тела 28

Теорема Штейнера 29

Закон сохранения момента импульса 29

Гироскопы 30

Лекция 7. Неинерциальные системы отсчета 31

Силы инерции и принцип Даламбера 31

Равномерно вращающаяся система отсчета. Центробежная сила 32

Движение во вращающейся системе отсчета. Сила Кориолиса 32

Лекция 8. Колебания 33

Гармонические колебания 34

Динамика гармонического колебания 35

Маятники 35

Математический маятник 35

Физический маятник 36

Затухающие колебания 36

Вынужденные колебания. Резонанс 38

Автоколебания 39

89

Лекция 9. Элементы механики жидкостей и газов 39

Давление 39

Закон Паскаля 39

Гидростатическое давление 40

Закон Архимеда 40

Уравнение неразрывности 40

Уравнение Бернулли 41

Вязкость жидкостей 42

Движение вязкой жидкости 42

Движение тел в жидкостях и газах 43

Методы определения вязкости жидкости 43

Метод Стокса 43

Метод Пуазейля 44

Лекция 10. Элементы специальной теории относительности 45

Постулаты Эйнштейна 46

Относительность времени 46

Преобразования Лоренца 46

Релятивистская кинематика 48

Релятивистское сокращение длины. Относительность длины 48

Релятивистское замедление времени 49

Парадокс близнецов 49

Релятивистский закон преобразования скоростей 50

Элементы релятивистской динамики 50

Релятивистская кинетическая энергия 51

Связь между энергией и массой. Энергия покоя 51

Соотношение между энергией и импульсом 52

ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ И ТЕРМОДИНАМИКИ 53

Введение 53

Лекция 1. Основные определения и понятия 53

Особенности описание состояния молекулярной системы 53

Молекулярно-кинетический или статистический подход 54

90 Термодинамический метод 55

Температура, давление, объем 55

Термодинамическое равновесие. Термодинамический процесс 57

Газовые законы 57

Закон Бойля – Мариотта 57

Законы Гей-Люссака 58

Закон Авогадро 58

Закон Дальтона 58

Уравнение Клапейрона-Менделеева 58

Лекция 2. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории 59

Идеальный газ 59

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории 60

Физический смысл давления и температуры 61

Средняя квадратичная скорость 61

Распределение Больцмана 62

Распределение Больцмана и состояние статистической системы 63

Лекция 3. Распределение Максвелла 63

Средняя квадратичная скорость 64

Средняя арифметическая скорость 65

Наиболее вероятная скорость 65

Лекция 4. Первое начало термодинамики 65

Внутренняя энергия системы 65

Число степеней свободы молекул 66

Количество теплоты 67

Работа, совершаемая газом при расширении 67

Работа при изохорическом процессе 68

Работа при изобарическом процессе 68

Работа при изотермическом процессе 68

Выражение для первого начала термодинамики 68

Теплоемкость 69

Теплоемкости газа. Уравнение Майера 69

Адиабатический процесс 70

91

Лекция 5. Второе начало термодинамики 70

Принцип действия тепловой машины 70

Цикл Карно 71

Термодинамическая шкала температур 72

Обратимые и необратимые процессы 73

Формулировки второго начала термодинамики 74

Энтропия 74

Энтропия и вероятность 75

Статистический смысл второго начала термодинамики 76

Границы применимости второго начала термодинамики 76

Энтропия и информация 77

Лекция 6. Явления переноса 77

Введение 77

Число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул 77

Диффузия 78

Вязкость (внутреннее трение) 80

Теплопроводность 81

Лекция 7. Реальные газы 82

Уравнение Ван-дер-Ваальса 82

Внутренняя энергия реального газа 83

Эффект Джоуля – Томсона 84

Изотермы Ван-дер-Ваальса 84

Бахтин Николай Александрович

Осинцев Алексей Михайлович

Попов Александр Валерьевич

ФИЗИКА

Конспект лекций

Часть I

Основы классической механики

Основы молекулярной физики и термодинамики

Редактор Л.М. Борискина

Художественный редактор Л.П. Токарева

Подписано в печать 16.12.03 Формат 60×84/16.

Отпечатано на ризографе. Тираж 1000 экз. Объем 6 п.л.

Зак. 212. Цена 24 р.

Кемеровский технологический институт пищевой промышленности.

650056, г. Кемерово, б-р Строителей, 47.

Отпечатано в лаборатории множительной техники КемТИППа,

650010, г. Кемерово, ул. Красноармейская, 52