8/17/2019 E1_NoLineal

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Ejercicio N°1: Estudio de Sistemas No LinealesRodrigo Or óstica

Departamento de Ingenier ı́a El éctricaUniversidad de Chile

EL7023 -Control de Sistemas No Lineales

Email:reorostica@ing.uchile.cl

I. INTRODUCCI ÓN

El siguiente informe presenta los resultados del EjercicioN°1 del curso EL7023-Control de Sistemas No Lineales , elcual est á enfocado en introducir al estudiante en el an álisisde sistemas de tipo no lineal.

La tarea esta dividida en 2 problemas que son tratadosde forma independiente en las siguientes 2 secciones. En elprimero, sobre un sistema retroalimentado no lineal, se utilizael método de la funci ón descriptora para estudiar la presenciade ciclos limites y su estabilidad, en el segundo, se utilizanlos m étodos gr ácos de Popov y del c ı́rculo para limites deestabilidad asint ótica.

II. P ROBLEMA N°1 : F UNCI ÓN DESCRIPTORA

En este problema de pide analizar el sistema realimentadomostrado en la Figura ( 1), cuando el elemento no linealcorresponde a uno de tipo On-Off y uno de tipo Umbral +On-Off .

Figura 1. Sistema Problema 1

En ambos casos el an álisis se debe realizar a partir delmétodo de la funci´on descriptora, con el n de determinarexistencia, amplitud, frecuencia y estabilidad de el o losciclos l ı́mites tanto en el caso aut ónomo como forzado.

II-A. No Linealidad Tipo On-Off

El an álisis que se presenta a continuaci ón se realiza consi-derando como elemento no lineal el tipo On-Off F (e(t)) quese muestra en la Figura ( 2). Nótese que la ganancia K que seencuentra en el elemento lineal, ver Figura (1), se consideraen el NL.

Se comenzar´a analizando el caso aut´ onomo para el cual sedetermina en primer lugar la funci ón descriptora. Dada unaentrada sinusoidal e(t) = E sen(ωt) la salida del elemento

Figura 2. Elemento No Lineal Tipo On-Off

NL ser á:

w(t) = K sen(ωt) ≥ 0−K sen(ωt) < 0

o sea, una funci ón cuadrada de tipo impar.

El calculo de la funci ón descriptora resulta sencillo en estecaso dado que la salida w(t) no tiene componente DC al serde tipo impar y porque solo los coecientes gn del desarrolloen en Serie de Fourier son no nulos, v éase [ 1].

Para la determinaci ón de la funci ón descriptora solose considera la componente fundamental, en este casocorresponde al coeciente g1 el cual viene dado por:

g1=1π 2

π

0F (E sen(

= ωt

θ ))sen( θ)dθ=

K π

π

0sen(θ)dθ −

K π 2

π

πsen(θ)dθ

=4K π

Con lo que nalmente el valor de la funci´on descriptoraes:

N (E )=g1E

=4K Eπ

la cual solo depende de la amplitud de la entrada y no de lafrecuencia de esta.

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Para llevar a cabo los an álisis para el caso sin forzajees necesario determinar el comportamiento de la funci ón

− 1

N ( E ) cuando E varia entre 0 y ∞. Esto permite vericarla existencia de ciclos lı́mites al compararlo con el diagramade Nyquist de la funci ón lineal del sistema.

Anal ı́ticamente se debe resolver la ecuaci ón:

G( jω ) = −1

N (E, ω ) (2)donde en este problema en particular la funci ón descriptorano depende de la frecuencia y G(s) es el elemento lineal delsistema, G(s) = 1s ( s +1)( s +2) . La expresi ón anterior en casode tener soluci ón determina la amplitud y frecuencia de losciclos l ı́mites.

Comenzaremos con el an álisis gr áco al gracar simulta-neamente el diagrama de Nyquist de la funci´ on de transfe-rencia lineal G(s) y la funci ón − 1N ( E ) , véase Figura ( 3). Deaqu ı́ es posible identicar el punto en que se intersectan ambasgrácas, con lo que se determina la existencia de un ciclo

lı́mite independiente del valor de K .

Para calcular la amplitud y la frecuencia se usa la expresi ón(2) la cual lleva a una igualdad para la parte real y otra para laimaginaria. Reemplazando con los datos del problema se tiene:

G( jω )= −Eπ4K

⇒1

jω (−ω2 + 3 ωj + 2)= −

Eπ4K

⇒1

jω ((2 −ω2) + j 3ω)= −

Eπ4K

⇒ −3ω − j (2 −ω2

)ω((2 −ω2)2 + 9 ω2)= −Eπ4K

Para determinar la frecuencia se igualan las partesimaginarias que para el caso de −

1N ( E ) resulta ser nula. Con

ello se obtienen que ω = √ 2 = 1 .41 tal como se observa enla Figura ( II-A ).

Para determinar E se igualan las parte reales, y con elconocimiento de ω se concluye que E = 2K 3π , o sea, laamplitud del ciclo limite es proporcional a K .

Falta analizar la estabilidad para lo cual se aplica la regla

de la mano derecha a las curvas de la Figura (3) con lo quese concluye que es estable sin importar el valor de K .

II-B. No Linealidad Tipo Zona Muerta

En esta secci ón se estudia el caso en que el elemento NLes de tipo Zona Muerta + On-Off , el cual se observa en laFigura ( 4). Se realizan las mismas suposiciones que para elcaso previo por lo que la ganancia del elemento lineal seconsidera en el NL.

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

Nyquist Diagram

Real Axis

I m a g

i n a r y

A x

i s

Nyquist G(s)−1/N(E)

(a) Diagrama de Nyquist junto a funci ón − 1N ( E )

−0.18 −0 .16 −0 .14 −0.12 −0.1 −0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

System: Nyquist G(s)Real: −0.167Imag: 2.04e−17Frequency (rad/s): −1.41

Nyquist Diagram

Real Axis

I m a g

i n a r y

A x i s

Nyquist G(s)−1/N(E)

(b) Diagrama de Nyquist junto a funci ón − 1N ( E ) . Intersecci ón

Figura 3. Analisis Gr áco de Ciclos Limites para elemento NL On-Off

Figura 4. Elemento No Lineal Tipo Zona Muerta +On-Off

Se comienza con el an´ alisis del caso aut´onomo para locual en primer lugar se determina la funci ón descriptora. Siconsideramos una entrada sinusoidal e(t) = E sen(ωt) al

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bloque NL, la salida se este vendr á dada por:

w(t) =K sen(ωt) ≥ h/ 20 −h/ 2 < sen(ωt) < h/ 2−K sen(ωt) ≤ −h/ 2

o sea, una funci ón de tipo impar.

Por la paridad de la funci ón, para el calculo de la funci óndescriptora solo basta determinar el valor de g1 , el cual semuestra a continuaci ón:

g1=1π 2

π

0F (E sen(

= ωt

θ )) sen( θ)dθ=

K π

π

θ ∗sen(θ)dθ −

K π 2

π − θ ∗

πsen(θ)dθ

=K π

(cos(θ∗ ) −1) −K π

(−cos(θ∗ ) −1)

=2K π

(cos(θ∗ ) + 1)

(4)donde el valor de θ∗ se determina de la igualdadE sen(θ∗ ) = h/ 2, luego el valor de la funci ón descriptoraviene dado por:

N (E )=g1E

=4K Eπ 1 − h2E 2

para todo E ≥ h/ 2. De lo contrario, la ganancia equivalenteel nula.El calculo efectuado no coincidi ó por un factor con el valor

de la funci ón descriptora dado en la gu ı́a [1] por lo que seasume que se cometi ó un error opt ándose para el desarrolloel valor visto en clases.

Se sigue la misma metodologı́a efectuada para el casoanterior, por lo que se comienza gracando el diagramade Nyquist del bloque lineal en conjunto con la funci ón

−1/N (E ), tal como se muestra en la Figura ( 5). A diferenciadel caso anterior la recta generada al evaluar −1/N (E ) paradistintos valores de E a medida que este aumenta se acercaal origen desde

−∞ hasta llegar a un punto m´ aximo en el

eje real − πh4K para luego devolverse para llegar nuevamentea −∞. Se observa que el punto m áximo alcanzado dependedirectamente del factor hK .

En la Figura (5) se aprecia la situaci ón cuando hK = 1 yse hace evidente que no existe intersecci´ on por lo que no seproduce un ciclo lı́mite. Para determinar el valor m´ aximo dehK que permite la existencia de ciclos l ı́mites se calcula elpunto de intersecci ón del diagrama de Nyquist de la funci ón

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

Nyquist Diagram

Real Axis

I m a g

i n a r y

A x

i s

Nyquist G(s)−1/N(E)

Figura 5. An álisis Gr áco de Ciclos Limites para elemento NL Zona Muerta+On-Off

de transferencia lineal G(s) con el eje real.

Se iguala primero la parte imaginaria a 0 para determinarla frecuencia, y despu és con dicho valor se calcula el terminode la parte real. El valor resulta ser igual a ω2 = 2 por lo queRe[G( jω )] es:

Re[G( jω )]= −3((2 −ω2)2 + 9 ω2)

⇒Re[G( j√ 2)]= −1

6 (5)

Luego el valor m áximo de la raz ón entre hK se obtieneal igualar la expresi ón del punto m áximo alcanzado − πh4K con el calculado previamente para Re[G( j√ 2)]. Con estose tiene que ( hK )max = 23π , o sea, siempre que la raz ón delos 2 par ámetros libres este comprendida entre 0 y el valordeterminado existir´ an ciclos lı́mites.

Dado el tipo de no linealidad que se estudia, y en funci ónde lo descrito con respecto al comportamiento de −1/N (E ) amedida que E varia, se tiene la existencia de 2 ciclos limites,uno estable y otro inestable.

Se suponemos que la raz ón hK es tal que permite laintersecci ón de las curvas es posible determinar la amplitud yla frecuencia de los ciclos encontrados. Para esto se procede aresolver la Ecuaci´ on (2). Nótese que ya se conoce el valor dela frecuencia ω = √ 2 por lo que falta determinar la amplitudpara lo cual basta analizar la parte real de la ecuaci ón.

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−3((2 −ω2)2 + 9 ω2)

= −Eπ4K 4E 24E 2 −h2

⇒−16

=−Eπ4K 4E 24E 2 −h2

⇒ E 1= h k2k

−√

−9h2π2 + 4 k2

⇒ E 2= h k2k + √ −9h2π2 + 4 k2

encontrandose 2 valores posibles.En resumen, considerando el caso aut ónomo, siempre que

se cumplan las condiciones para K y h van a existir 2 cicloslimites con igual frecuencia y amplitud E 1 y E 2 , uno estable,el de mayor amplitud, y el otro inestable.

III. P ROBLEMA N°2: A N ÁLISIS CON M ÉTODOSGR ÁFICOS DE P OPOV Y T EOREMA DEL C IRCULO

En este problema se considera el sistema no lineal de tercerorden de la Figura ( 6) con un elemento NL lo m ás generalposible, o sea, w(t) = F (e(t), t ) tal que q = 0 . Se solicitaobtener el valor m ás grande de K que garantiza estabilidadasint ótica absoluta de la salida para w/e ∈ [0, k] usando elmétodo de Popov y el Teorema del Circulo.

Figura 6. Sistema Problema 2

III-A. M ́ etodo de Popov

Este m étodo es una forma gr áca que se utiliza parapara estudiar la estabilidad de sistemas retroalimentados quepueden ser descompuestos en un elemento NL y otro linealcomo es el caso del problema en cuesti ón.

Para independizar el an álisis de la frecuencia se considerala funci ón G∗ ( jω ) denida a continuaci ón a partir delelemento lineal.

G∗

( jω ) = Re(G( jω )) + jωIm (G( jω ))Si se graca dicha funci´ on en el plano real-imaginario se

pude identicar la recta de Popov, la cual corresponde a unarecta vertical y tangente al diagrama de Nyquist dado queel elemento no lineal considerado es de tipo general . En laFigura (7) se tiene el diagrama de la situaci´ on mencionadadonde se aprecian tanto el Nyquist de G∗ ( jω ) como la rectade Popov.

−1 −0.9 −0.8 −0.7 −0.6 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

X: −0.748Y: 10

Nyquist Diagram

Real Axis

I m a g

i n a r y

A x

i s

Nyquist G(s)−1/N(E)

Figura 7. Aplicaci ón del M étodo de Popov

Con lo anterior se concluye que el mayor valor de K queasegura la estabilidad asint ótica viene dado por la igualdad

−1/K = 0.748, por lo que K = 1 .34.

III-B. Teorema del Cı́rculo

El problema discutido en la secci ón previa se analizar á eneste apartado usando el Teorema del Cı́rculo, el cual, al igualque el m étodo de Popov, es un m étodo gr áco que permitedeterminar si el sistema es absolutamente de control y salidasasint óticas.

Para poder concluir se analiza el diagrama de Nyquist edla parte lineal del sistema y se busca el circulo m ı́nimo quelo circunscriba o lo deje fuera, seg ún el caso que se analice.

En este problema la no linealidad es de tipo general por loque q = 0 . Esto implica que el cı́rculo estar´ a centrado sobreel eje real. Luego, dada la forma del diagrama de Nyquist,podemos encontrar el c ı́rculo m ás peque ño centrado en el ejereal que contiene el diagrama de la Figura 7. En este casose cumple que 1/a < 1/b y como las ramas del diagramavienen desde el innito hasta cero los cruces por el eje realresultan ser −0.748 y ∞, lo que permite encontrar lo valoresde a y b.

Se tiene entonces:

−1

a = ∞⇒a = 0−

−1b

= −0.748⇒b = 1 .34Por lo que se puede concluir que cuando la NL es general

si se cumple que we ∈[0− , 1.34] el sistema ser´a de control y

de salidas asint´oticas. Comparando con el resultado al aplicarel m étodo de Popov se observa que se llega a la misma regi ón.

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R EFERENCIAS

[1] M.Duarte, Capı́tulo 1: Introducci ´ on a los Sistemas No Lineales , Univer-sidad de Chile, Departamento de Ingenier ı́a El éctrica.

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