EA619 - Laboratorio de Análise Linearricfow/EA619/EA619_slides_exp2.pdf · Experiência 2 EA619 - Laboratorio de Análise Linear Experiência2: Sistemasde2a ordeme EquipamentosECP

Experiencia 2

EA619 - Laboratorio de Analise Linear

Experiencia 2: Sistemas de 2a ordem e

Equipamentos ECP

Prof. Ricardo C.L.F. Oliveira

Faculdade de Engenharia Eletrica e de ComputacaoUniversidade Estadual de Campinas

2o Semestre 2019

Experiencia 2 EA619 - Laboratorio de Analise Linear 1/36

Equipamentos ECP

� Cinco plataformas contendo dispositivos eletromecanicos ECP (EducationalControl Products) estao disponıveis no laboratorio:

� Emulador Industrial � Pendulo Invertido� Sistema Torcional � Sistema Retilıneo� Levitador Magnetico

� Sao concebidos para facilitar o entendimento dos princıpios basicos de controlee da analise de sistemas.� Consistem de dispositivo eletromecanico com um sistema de apoio completo –software e hardware, para:

� aquisicao de dados,

� atuacao,

� visualizacao de dados,

� controle, etc.


Emulador Industrial

O sistema Emulador Industrial reproduz situacoes tıpicas encontradas no controlede sistemas industriais.

Motor de Disturbio

θ2

Disco de Carga

SR - Redutor de Velocidade

θ1

Disco de Atuacao

Motor de Atuacao

Diagrama Esquematico do Emulador Industrial

� As inercias dos discos sao modificadas com a fixacao de pesos.� Reducoes de velocidade sao realizadas atraves de engrenagens e correias devarios tamanhos.


Emulador Industrial

Pode-se introduzir, de modo a emular situacoes praticas:� folga na conexao mecanica ou atrito extra atraves de freio.� flexibilidade entre os discos de tracao e carga atraves de correias elasticas.

Um motor de disturbio esta conectado ao disco de carga: usado para emularatrito viscoso e disturbios.


Pendulo invertido

O Pendulo Invertido reproduz situacoes encontradas no controle de plantasinstaveis.

x

θ

Peso

Peso

Cremalheira

Haste Deslizante

Contra-pesos

Diagrama Esquematico do Pendulo Invertido


Pendulo Invertido

� A haste pendular suporta a haste deslizante, responsavel pelo balanco dosistema.� A haste deslizante e movimentada atraves de um servo-motor localizado nabase da haste.� Dois encoders medem o deslocamento linear da haste deslizante e a posicaoangular do pendulo.� Os contra-pesos ajustam-se de forma a alterar o centro de gravidade doconjunto e portanto, a dinamica do sistema.


Sistema Torcional

� O sistema denominado Sistema Torcional reproduz situacoes tıpicas encontradasno controle de sistemas industriais que apresentam flexibilidade.

θ1

θ2

θ3

Motor de Atuacao

Diagrama Esquematico do Sistema Torcional


Sistema Torcional

� O sistema consiste de tres discos conectados atraves de dois eixos torcionaisflexıveis.

� Cada disco esta conectado a um encoder que mede o deslocamento angular.� Os discos sao removıveis ou podem ser travados.� As inercias dos discos podem ser alteradas atraves de pesos.

� O eixo e acionado por um servo-motor conectado atraves de correia eengrenagem com reducao de velocidade 3:1.


Sistema Retilıneo

� O sistema Sistema Retilıneo reproduz situacoes tıpicas encontradas no controlede sistemas classicos massa- mola-atrito.

x1 x2 x3

Cremalheira

Motor de Atuacao

Pistao

mola1 mola2 mola3 mola4

massa1 massa2 massa3

Diagrama Esquematico do Sistema Retilıneo

� Consiste de tres carros que deslizam com baixo atrito, conectados entre siatraves de molas.� Molas de diferentes rigidez podem ser usadas entre os carros ou entre carros e abase do conjunto.� Um pistao com amortecimento ajustavel pode ser acoplado a um dos carros.� As massas dos carros podem ser alteradas, bem como o numero de carros e aconfiguracao de molas, posicionamento do pistao e a fixacao das extremidades.


Levitador Magnetico

O sistema Levitador Magnetico reproduz situacoes tıpicas encontradas nocontrole de sistemas multivariaveis.

x

y

bobina 1

bobina 2

disco 1

disco 2

Diagrama Esquematico do Levitador Magnetico


Levitador Magnetico

� Duas bobinas geram campos magneticos que interagem com um ou dois discosmagneticos.� Uma barra de vidro serve como guia para os discos.� A bobina inferior [superior] atua na posicao do disco inferior [superior]fazendo-o levitar atraves de uma forca magnetica repulsiva [de atracao].� Existe interacao magnetica (de repulsao) entre os dois discos.

� Dois sensores opticos baseados em feixes de luz laser sao utilizados para medir aposicao dos magnetos.


Aquisicao de Dados, Atuacao e Interfaces

O diagrama esquematico de um sistema ECP completo e mostrado na figura:

Software

medidas

variáveisEletrônica de AcionamentoComputador

PLANTA

DSP

medidor

acionadorMPAS

Interface

de

AS - Amplificador servo; MP - Modulo de Potencia; DSP - Placa deProcessamento e Conversao de Sinais.

Medidores

� encoders: Fornecem realimentacao incremental das posicoes (e suasderivadas), atraves de pulsos.

� medidores opticos: Sensores opticos baseados em feixes de luz laserfornecem realimentacao das posicoes atraves de curva nao-linear.

� As informacoes da planta mecanica sao roteadas para a placa DSP (DigitalSignal Processor).


Placa DSP

Placa DSP

� Converte os pulsos dos encoders em valores numericos.

� Interpreta comandos de trajetorias

� Produz sinal de atuacao (em tensao) para o modulo de potencia (MP)

� Implementa o controle definido pelo operador no Programa Executivo.

� Realiza verificacoes com o objetivo de garantir a seguranca na operacao doequipamento.


Placa DSP

Modulo de Potencia MP

� Reproduz o sinal de comando de tensao recebido da placa DSP, com o nıvelde potencia necessario ao atuador (servo-motor ou bobina).

Programa Executivo

� Dispoe uma interface grafica a base de menus no PC, que permite operar osistema com facilidade.

� Da suporte a definicao de trajetorias, aquisicao de dados, visualizacao decurvas, especificacao de controladores,execucao de comandos do sistema, etc.


Ajustamento de Curvas dos Medidores

� Nos equipamentos ECP interessa medir:

posicao, velocidade ou aceleracao

dos elementos da planta eletro-mecanica.

� Se x representa a variavel a ser medida e y a sua medida produzida pelomedidor, tem-se a seguinte relacao geral:

y = g(x)

� A funcao g ou g−1 dos medidores tem a forma:

y = a0+a1x para os encoders

x = a0+a1y +a2

y+

a3√y

para o sensor optico do MagLev

� Tecnica de Regressao: permite obter estimativa g do que seria o valorverdadeiro da relacao g a partir de medidas de pares entrada/saıda (Xi ,Yi ).


Ajustamento de Curvas dos Medidores

Considere um conjunto de dados medidos (Xi ,Yi ), i = 1, . . . ,N e uma curvaajustada g que representa a relacao y = g(x)

{ }

{

(x1,y1)

(x2,y2)

(xn,yn)

D1 D2

Dn

Pontos experimentais e curva ajustada.

� Criterio dos Mınimos Quadrados: De todas as curvas que se ajustam a umconjunto de dados, a que tem a propriedade de apresentar o mınimo valor

D21 +D2

2 + . . .+D2n

e denominada a melhor curva de ajustamento.


Estimador dos Mınimos Quadrados I

Considerey = g(x) = a0+a1f1(x)+a2f2(x)+ . . .+ak fk (x)

Definindo os vetores:

u = [1 f1(x) f2(x) . . . fk (x))]

θ = [a0 a1 . . . ak ]T

Temos a representacao: y = uθ

Conjunto de n medidas:

Y1 = U1θ

Y2 = U2θ

...

Yn = Unθ


Estimador dos Mınimos Quadrados II

ou em representacao matricial,

Y = Uθ , onde Y =

Y1

Y2...Yn

, U =

U1

U2...Un

.

Dimensao do vetor Y e n×1, e da matriz U e n×k .Seja θ o valor estimado do vetor θ , e defina

Y = U θ (1)

Seja θ = θ − θ e Y = Y − Y . Entao

Y = U θ (2)

(2) e denominada equacao do erro, e o estimador de mınimos quadrados e obtidominimizando-se:

J(θ ) = Y T Y = ‖Y −U θ‖2


Estimador dos Mınimos Quadrados III

A melhor estimativa θ satisfaz

J(θ ) = minθ

J(θ ) =minθ

‖Y −Uθ‖2

=minθ

[Y TY −2Y TUθ +θTUTUθ ]

Operando-se algebricamente, temos

J(θ ) = Y TY −2Y TUθ +θTUTUθ

= Y TY −Y TUθ −θTUTY +θTUTUθ

= Y TY −Y TU[UTU]−1[UTU]θ

−θT [UTU][UTU]−1UTY +θT [UTU]θ

Podemos escrever entao que

J(θ ) = Y TY − ([UTU]−1UTY )T )T [UTU]([UTU]−1UTY )T )

+(θ − [UTU]−1UTY )T [UTU](θ − [UTU]−1UTY ) (3)

e podemos ignorar os dois primeiros termos acima.


Estimador dos Mınimos Quadrados IV

J(θ ) e uma funcao quadratica em θ e por construcao, xT [UTU]x ≥ 0 para todovetor x ∈ R

n. Portanto a solucao do problema e

θMQ = [UTU]−1UTY (4)


Exemplo de Aplicacao

Construir uma linha reta que se ajuste aos dados:

X 1 3 4 6 8 9 11 14

Y 1 2 4 4 5 7 08 09

Utilizando o Metodo dos Mınimos Quadrados com

y = a0+a1f1(x),e f1(x) = x

usamos o programa Matlab:

Y=[1 2 4 04 05 07 08 09]’; % sinal de saıda do sensor

X=[1 3 4 06 08 09 11 14]’; % entrada do sensor

U=[ones(size(X)) X];

theta=U\Y

% Cria vetor de pontos da reta

X_eval=(1:1:14)’;

% Avalia a func~ao

Y_eval=[ones(size(X_eval)) X_eval]*theta;

% Plot

plot(X,Y,’o’,X_eval,Y_eval,’-’),grid,axis([0 15 0 10])


Resultados

� Os parametros obtidos sao:

a0 = 0.5455, e a1 = 0.6364

0 5 10 150

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

X

Y

Pontos experimentais e curva ajustada.


Forma Canonica da Equacao de 2a. Ordem I

� A equacao diferencial linear de 2a ordem e frequentemente escrita na sua forma

canonica, dada porx+2ξωn x+ω2

nx = ω2nu(t) (5)

com funcao de transferencia (aplicando Laplace com condicoes iniciais nulas)

X (s)

U(s)= H(s) =

ω2n

s2+2ξωns+ω2n

� O comportamento da solucao de (5) e definido pelas raızes da equacaocaracterıstica

λ2+2ξωnλ +ω2n = 0 (6)

com ωn > 0. As raızes da equacao sao

λ1 = −ξωn+ωn

√

ξ2−1

λ2 = −ξωn−ωn

√

ξ2−1

E imediato verificar que


Forma Canonica da Equacao de 2a. Ordem II

1 Se | ξ | > 1, obtem-se duas raızes reais distintas;

2 Se | ξ | = 1, obtem-se uma raiz dupla;

3 Se | ξ | < 1, obtem-se raızes complexas conjugadas.

Neste ultimo caso, e possıvel reescrever as raızes da equacao na forma

λ1,2 =−ξωn± jωd , ωd = ωn

√

1−ξ2

ou ainda,λ1,2 = ωn(−cosθ ± jsenθ )

onde θ = arccosξ . Analisando as raızes no plano complexo (Fig. 1), observa-seque se ξ = 0, as raızes serao numeros complexos puros e a solucao da equacaohomogenea e

xh(t) = Acosωd t+Bsenωd t (7)


Forma Canonica da Equacao de 2a. Ordem III

λ1

λ2

Re λ

Im λ

θ0

Figura: Localizacao no Plano Complexo. A distancia de λ1 ou λ2 a origem

e igual a ωn.


Forma Canonica da Equacao de 2a. Ordem IV

Por esta razao, o parametro ωn e chamado de frequencia natural (ou frequencianao-amortecida, quando ξ = 0) da equacao (5). Para um dado valor de ωn,quanto maior for o valor de ξ (0< ξ < 1), maior sera o modulo da parte real dasraızes e, em consequencia, mais amortecida sera a solucao. Devido a estapropriedade, o parametro ξ e chamado de fator ou coeficiente de amortecimento

da equacao (5). O coeficiente ωd e chamado de frequencia de oscilacao forcada.

� Exemplo: Considere o sistema de segunda ordem na forma padrao com ξ = 0.4e ωn = 4 com funcao de transferencia dada por

H(s) =16

s2+3.2s+16

A resposta ao degrau unitario do sistema e mostrada a seguir


Forma Canonica da Equacao de 2a. Ordem V

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

X: 0.8635

Y: 1.254

X: 1.727

Y: 0.9357

tptr ts

Mp

y(t)

t

Resposta ao degrau unitario

Figura: Resposta ao degrau de um sistema de segunda ordem.


Forma Canonica da Equacao de 2a. Ordem VI

sendo:

tr o tempo de subida: tempo necessario para que o sinal va de 0 a 100% dosinal de referencia (existem outras definicoes na literatura);

Mp a maxima sobre-elevacao: maximo valor do sinal em relacao ao valorfinal, em geral dada em termos percentuais;

tp o tempo de pico: tempo em que ocorre a sobre-elevacao;

ts o tempo de acomodacao: instante a partir do qual o sinal permanecedentro de uma faixa de 2% de seu valor final.

� Computo de ξ e ωn a partir do grafico: A frequencia de oscilacao forcada ωd

pode ser obtida a partir do grafico determinando-se o perıodo e posteriormente afrequencia de oscilacao (dada por ωd ). Contudo, uma alternativa mais simples edeterminar ωd a partir do tempo de pico por meio de tp = π/ωd . Do graficotemos que tp = 0.8635, logo ωd = 3.6382.


Forma Canonica da Equacao de 2a. Ordem VII

Para computar ωn, primeiro e necessario determinar ξ , que pode ser calculadopor meio da formula

Mp =ymax (t)

yregime(t)−1 = exp

(

−ξπ√

1−ξ2

)

Do grafico temos que ymax (t) = 1.254 e yregime(t) = 1.0 (a planta tem ganho DCunitario), e portanto1.

0.254=exp

(

−ξπ√

1−ξ2

)

⇒ ln(0.254) =

(

−ξπ√

1−ξ2

)

⇒ ξ =

√

ln(0.254)2

π2+ln(0.254)2=0.3998

Finalmente,

ωn =ωd

√

1−ξ2⇒ ωn = 3.9693

que e um valor proximo do valor esperado (ωn = 4).

1No matlab o logaritmo natural e computador pelo comando log enquanto que ologaritmo na base 10 e computador pelo comando log10


Diagramas em Simulink e saıda yout I

� Seja o diagrama de blocos implementado em Simulink

1

s

2

1

Out1

2

Out2

sin

Figura: Diagrama de blocos implementado em Simulink.


Diagramas em Simulink e saıda yout II

� Os blocos do tipo out, representados na figura por Out1 e Out2, sao uteis paraexportar os sinais do diagrama para o ambiente Matlab, permitindo uma melhoranalise e manipulacao dos dados.

� Nas versoes mais velhas do Matlab, sempre que o diagrama de simulacao eexecutado, automaticamente sao criadas as variaveis tout e yout no ambiente doMatlab, representado o tempo de simulacao e todas as saıdas do tipo out,respectivamente. No caso de existirem p blocos do tipo out, a variavel yout terap colunas.

� Por exemplo, o comando plot(tout,yout) produz o seguinte grafico


Diagramas em Simulink e saıda yout III

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura: Saıda do comando plot(tout,yout).


Graficos simultaneos

� Sejam as matrizes

t =

01234567

, y =

0 0 02 1 0.54 2 16 3 1.58 4 210 5 2.512 6 314 7 3.5

Caso deseje-se desenhar um grafico em que os valores da abscissa estao em t e osvalores da ordenada estao na primeira coluna de y , usa-se o comandoplot(t,y(:,1)). De modo similar, para desenhar como ordenada os valores daterceira coluna, utiliza-se plot(t,y(:,3)). A notacao “:” indica“todos” e y(i , j)indica o elemento que fica na linha i e coluna j .


Valores maximo e mınimo de um vetor

� Seja o vetor

v =[

−8 −2 8 −7 10 0 −4 8 0 −1]

O valor maximo do vetor pode ser obtido por meio do comando max(v),resultando em 10. Em algumas situacoes e util tambem saber a posicao do valormaximo no vetor. Por exemplo, o comando [x,y]=max(v) fornece x=10 e y=5,indicando que o valor 10 esta na quinta posicao do vetor.

O computo do valor mınimo e feito de maneira analoga. Por exemplo, o comando[x,y]=min(v) fornece x=-8 e y=1.

� Dica: Suponha que yout armazene a saıda de um sistema linear de segundaordem com resposta sub-amortecida (ξ < 1) para entrada degrau. O valor e otempo em que ocorre o primeiro pico poderia ser computado por meio docomando [vpico,tpico]=max(yout)


Raızes de um polinomio

� As raızes do polinomios3−2s2−6s−8

podem ser computadas por meio do comando

roots([

1 −2 −6 −8]

)

que fornece

r =

4.0000−1.0000+1.0000i−1.0000−1.0000i

� Por outro lado, o polinomio que tem como raızes, por exemplo, r =[

1 2 3]

pode ser obtido por meio do comando poly([1 2 3]), resultando em[

1 −6 11 −6]

, que equivale a s3−6s2+11s−6.


Referencias Bibliograficas

Linearidade em Sinais e Sistemas, I. S. Bonatti, A. Lopes, P. L. D. Peres &C. M. Agulhari, Capıtulo 14 e Capıtulo 15.

Calculo Diferencial e Integral, N. Piskounov, Vol. II, Lopes da Silva Editora,1970.

Manual for Model 220 - Industrial Emulator/Servo Trainer, ECP, 1995.

Manual for Model 210/210a - Rectilinear Control System, ECP, 1998.

Manual for Model 205/205a - Torsional Control System, ECP, 1997.

Manual for Model 505 - Inverted Pendulum, ECP, 1994.

Manual for Model 730 - Magnetic Levitation System, ECP, 1999.


http://www.dt.fee.unicamp.br/~peres/ea616/213/pdf/LSS_cap14.pdf

http://www.dt.fee.unicamp.br/~peres/ea616/213/pdf/LSS_cap15.pdf

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