服务电话：400-678-1009

0

数量关系

讲师：刘有珍

服务电话：400-678-1009

1

目 录

代入法： ........................................................................................................................... 2

整除判断法： ................................................................................................................... 2

枚举法： ........................................................................................................................... 3

方程与不定方程： ........................................................................................................... 4

等差数列： ....................................................................................................................... 6

工程问题： ....................................................................................................................... 7

行程问题 ........................................................................................................................... 8

容斥原理： ....................................................................................................................... 9

最值问题： ..................................................................................................................... 10

星期日期问题： ............................................................................................................. 11

排列组合： ..................................................................................................................... 12

经济利润问题 ................................................................................................................. 13

牛吃草问题 ..................................................................................................................... 15

服务电话：400-678-1009

2

基本思路：

1、数量关系考场常见方法：代入法，整除判断法，赋值法，因子分析法，枚举法，方程法

2、数量关系重要题型：等差数列，容斥原理，排列组合，溶液问题，星期日期问题，行程

问题，几何问题，比赛问题，经济利润问题

代入法：

【例 1】（深圳 2016-55）两根同样常的木炭，燃烧完一根粗的木炭需要 2小时，燃烧完

一根细的木炭需要 1小时。线同时点燃这两根木炭，若干分钟后将两根木炭同时熄灭，发现

粗木炭的剩余长度是细木炭的剩余长度的 2倍，则燃烧了（ ）分钟。

A.35 B.40 C.45 D.50

[答案]B

[解析] 直接代入 B选项，则细木炭剩余 1/3，粗木炭剩余 80/120＝2/3，满足题目要求。

答案选择 B。

【例 2】（上海 2014A-74）为帮助果农解决销路，某企业年底买了一批水果，平均发给

每部门若干筐之后还多了 12 筐，如果再买进 8 筐则每个部门可分得 10筐，则这批水果共有

( )筐。

A. 192 B. 198 C. 200 D. 212

[答案] A

[解析]再买 8 筐，每个部门分得 10 筐，所以总数一定是 10n－8，尾数为 2，排除 BC。

代入 A，则得到部门数为（192＋8）/10＝20 个，结合第一个条件，192÷20＝9„„12，满

足题意。答案选择 A。

整除判断法：

【例 3】（深圳 2016-48）某中学高一至高三年级的学生参加某项社区服务，如果高三年

级与高一年级，高三年级与高二年级参加此活动的人数之比分别为 5:3，8:5。则该中学高

一至高三年级最少共有（ ）人参加该项社区服务。

A.40 B.55 C.79 D.89

[答案]D

[解析]根据高三年级不变，得到 5:3＝40:24,8:5＝40:25，所以三个年级的人数比为：

40:25:24，即三个年级的总人数为 89份，则最少有 89人。答案选择 D。

【例 4】（黑龙江 2015-58）小李某月请了连续 5 天的年假，这 5 天的日期数字相乘为

服务电话：400-678-1009

3

7893600，问他最后一天年假的日期是( )。

A. 25日 B. 26日 C. 27日 D. 28日

[答案]B

[解析]7893600 是 3 的倍数，但不是 9 的倍数。代入选项，A 为 21×22×23×24×25，

含 9因子，排除； C为 23×24×25×26×27，含 9因子，排除； D为 24×25×26×27×28，

含 9因子，排除。B为 22×23×24×25×26，满足题意。答案选择 B。

【例 5】（国考 2016-72）有一位百岁老人出生于二十世纪，2015 年他的年龄各数字之

和正好是他在 2012 年的年龄的各数字之和的三分之一，问该老人出生的年份各数字之和是

多少（出生当年算作 0岁）？

A．14 B．15 C．16 D．17

[答案]A

[解析]老人出生在 20世纪，又是百岁老人，则 2015年他的年龄满足 100＜年龄＜115，

2012年他的年龄满足 97＜年龄＜112，且这两年的年龄都是 3的倍数。列表如下：

2012年 99 102 105 108 111

2015年 102 105 108 111 114

容易发现，只有当 2015 为 111 岁时符合题意，则老人出生于 2015－111＝1904 年，1

＋9＋4＝14。答案选择 A。

【例 6】（广东 2014-37）一些员工在某工厂车间工作，如果有 4名女员工离开车间，在

剩余的员工中，女员工人数占九分之五，如果有 4名男员工离开车间，在剩余的员工中，男

员工人数占三分之一。原来在车间工作的员工共有（ ）名。

A.36 B.40 C.48 D.72

[答案]B

[解析]根据题意设女员工 x人，总人数 n人。则（x－4）＝9

5（n－4）。总数 n减去

4应该是 9的倍数，结合选项，只有 B满足要求，答案选择 B。

枚举法：

【例 7】小赵每工作 9 天连休三天，某次他在周五、周六和周日连休，问他下一次在周

六、日连休是在本次连休之后的第几周？

A. 3 B. 5 C. 7 D. 9

[答案]B

[解析]直接枚举

服务电话：400-678-1009

4

【例 8】网管员小刘负责甲、乙、丙三个机房的巡检工作，甲、乙和丙机房分别需要每

隔 2 天、4 天和 7 天巡检一次。3 月 1 日，小刘巡检了 3 个机房，问他在整个 3 月有几天不

用做机房的巡检工作？

A．12 B．13 C．14 D．15

[答案]C

[解析]直接枚举法

【例 9】某政府机构内甲、乙两部门通过门户网站定期向社会发布消息，甲部门每隔 2

天、乙部门每隔 3 天有一个发布日，节假日无休。问甲、乙两部门在一个自然月内最多有几

天同时为发布日？

A. 5 B. 2 C. 6 D. 3

[答案]D

[解析] 枚举法或最小公倍数法。

“每隔 n 天”即为“每 n＋1 天”，所以甲每 3 天、乙每 4 天发布一次，则甲、乙的最小

公共发布周期为 12 天，一个月里面只能有两个 12 天。考虑“最多”，只要在一个自然月的

前六天中共同发布一次，就能保证共同发布日达到 3 天。因此，本题选 B。

方程与不定方程：

【例 10】（山西四川 2014-60）在一场篮球比赛中，甲、乙、丙、丁共得 125 分，如果

甲再多得 4分，乙再少得 4 分，丙的分数除以 4，丁的分数乘以 4，则四人得分相同。问甲

在这场比赛中得了多少分？（）

A. 24 B. 20 C. 16 D. 12

[答案]C

[解析]设该相同分数为 n，逆推可得甲得分为（n－4），乙得分为（n＋4），丙得分为 4n，

丁得分为n

4，进而得到（n－4）＋（n＋4）＋4n＋

n

4＝125。解得 n＝20，故甲的得分为 n

－4＝16。答案选择 C。

【例 11】（山东 2015-62）某剧场 A、B两间影视厅分别坐有观众 43人和 37人，如果把

B 厅的人往 A 厅调动，当 A 厅满座后，B 厅内剩下的人数占 B 厅容量的 1/2，如果将 A 厅的

服务电话：400-678-1009

5

人往 B厅调动，当 B厅满座后，A厅内剩下的人数占 A厅容量的 1/3，问 B厅能容纳多少人？

A. 56 B. 54 C. 64 D. 60

[答案]C

[解析]设 A厅和 B厅的容量分别为 x、y，则可以得到：

80yx3/1

80y2/1

＝＋

＝＋x，解得 y＝64，答案选择 C。

【例 12】（新疆 2015-44）A、B 两个仓库分别存放有 8 台和 12 台挖掘机，现需要往 C

工地和 D工地各运 10 台挖掘机。A仓库到 C工地的运输费用为 600元/台，到 D工地的费用

为 900 元/台；B 仓库到 C 工地的运输费用为 400 元/台，到 D 工地的费用为 800 元/台。问

要将 20台挖掘机运到两个工地，至少需要花运输费多少元？

A. 14400 B. 13600 C. 12800 D. 12000

[答案]C

[解析]设由 A仓库运往 C地的挖掘机为 x台，则可以得到：

A B

C x 10－x

D 8－x 2＋x

总费用 600x＋900（8－x）＋400（10－x）＋800（2＋x）＝12800＋100x

当 x＝0时，总的运输费最少，为 12800。答案选择 C。

【例 13】（江苏 2015C-31）A、B两地分别有 10台和 6台型号相同的机器，准备配送到

E、F 两地，其中 E地 11台，F地 5台，若每台机器从 A到 E和 F的物流费用分别为 350元

和 550 元，从 B到 E 和 F的物流费用分别为 600 元和 900元，则配送这 16台机器的总物流

费用最少为？

A.7850元 B.8100元 C.8400元 D.8700元

[答案]B

[解析]设 A地到 E地运送 x台可知，

A B

E x 11－x

F 10－x x－5

可得总费用＝350x＋550（10－x）＋600（11－x）＋900（x－5）＝7600＋100x，由 B

地运送 F 地台数为 x－5≥0，即 x≥5；所以要求费用最少可得 x=5，总费用为 8100 元。答

案选择 B。

【例 14】（陕西 2015-69）若销售团队有 5 个人，每个人把其他四个人的年龄相加，所

得到的和分别为 95，102，100，99，104，则这五个人中年龄最大的人为（ ）岁。

A. 25 B. 26 C. 27 D. 28

E. 29 F. 30 G. 31 H. 32

[答案]F

服务电话：400-678-1009

6

[解析]设这 5 个人的年龄为 a、b、c、d、e，则可以得到：

104＝e＋d＋c＋b

99＝e＋d＋c＋a

100＝e＋d＋b＋a

102＝e＋c＋b＋a

95＝d＋c＋b＋a

，容

易得到 a＋b＋c＋d＋e＝（95＋102＋100＋99＋104）/4＝125，进而得到最大年龄为 125－

95＝30。答案选择 F。

【例 15】（河北 2015-74）五个互不相同的自然数两两相加，只得到 8 个不同的结果，

分别是：15、20、23、25、28、33、38和 41，那么这个数中最大数与最小数的差是多少?

A. 17 B. 18 C. 19 D. 20

[答案] B

[解析]设这五个自然数为 a＜b＜c＜d＜e，则可以得到:

20＝c＋a

15＝b＋a

38＝e＋c

41＝e＋d

，很容易得到 e－a

＝38－20＝18。答案选择 B。

【例 16】三个学生共解出 30 道数学题，每人都解出了其中的 12 道，且每道题都有人

解出。只有一人解出的题叫做难题，只有两个人解出的题叫做中等题，三人都解出的题叫做

容易题。在这 30 道题中，难题、中等题、容易题均有，且题数各不相等，则难题的题数是

（ ）。

A. 14 B. 15 C. 22 D. 25

[答案]D

[解析] 设难题 x 道，中等题 y 道，容易题 z 道，那么 x+y+z=30，12×3=x+2y+3z，得出

y+2z=6，那么 y＝4，z＝1，x＝25，满足题意，本题答案为 D 选项。

等差数列：

【例 17】（春联 2016-68）某商店 10 月 1 日开业后，每天的营业额均以 100 元的速度上

涨，已知该月 15 号这一天的营业额为 5000 元，问该商店 10 月份的总营业额为多少元？

A.163100 B.158100 C.155000 D.150000

[答案] B

[解析]10 月共 31 天，10 月 16 日的营业额为 5000+100=5100 元，根据等差数列的规律。

则该商店 10 月份的总营业额为 5100×31=158100 元，B 项正确。

【例 18】（江苏 2015A-31）已知一等差数列：a1，21，a2，31，...,an,...，若 an=516，

则该数列前 n项的平均数是？

A. 266 B. 258 C. 255 D. 212

[答案]A

服务电话：400-678-1009

7

[解析]公差＝（31－21）÷2＝5，首项是 16，末项是 516，平均数＝（16＋516）÷2

＝266，答案选则 A。

【例 19】（天津 2012－9）老张 7 月份出差回来后，将办公室的日历连续翻了 10 张，这

些日历的日期之和为 265。老张几号上班?（）

A. 20 B. 4 C. 2 D. 1

［答案］D

［解析］直接代入公式，连续的 10 个自然数的平均数为 26.5，中间的两个数应该是 26

和 27。由此可知老张最后翻过的日期为 7 月 31 号，所以老张是 8 月 1 号上班答案选 D。

【例 20】（河南 2015-60）论文集中收录了一篇十多页的论文，其所在各项的所有页码

之和为 1023，问这篇论文之后的一篇论文是从第几页开始的？

A. 94 B. 99 C. 102 D. 109

[答案]B

[解析]1023＝3×11×31，所以该论文的页码是 11页，所以中位数是 93，则第 11页是

98，那么之后的一篇论文是从第 99页开始的。答案选择 B。

工程问题：

【例 21】（2012 年 421 联考－65）一项工程，甲一人做完需 30 天，甲、乙合作完成需

18 天，乙、丙合作完成需 15 天，甲、乙、丙三人共同完成该工程需：（）

A. 10 天 B. 12 天 C. 8 天 D. 9 天

［答案］A

［解析］假设工作量为 90，那么甲效率=3，甲效率+乙效率=5，乙效率+丙效率=6，即

甲效率=3，乙效率=2，丙效率=4，所以三人合作所需时间为 90÷（3+2+4）=10（天），答

案选 A。

【例 22】（河北 2015-66）一项工程由甲，乙，丙三个工程队共同完成需要 22天，甲队

工作效率是乙队的二分之三倍，乙队 3天的工作量是丙队 2天工作量的三分之二，三队同时

开工，2天后，丙队被调往另一工地，那么甲，乙再干多少天才能完成该工程？

A.20 B.28 C.38 D.42

[答案] C

[解析]令乙效率＝4，则甲乙丙效率分别为 6、4、9，三队一起效率为 19，则工作总量

为 19×22。则需要的天数为 19×20÷10=38天。答案选择 C。

【例 23】（天津 2015-6）由于汛期暴雨某路段发生塌陷，要进行抢修，需在规定日期内

完成，如果由甲工程队修，恰好按期完成；如果由乙工程队修，则要超过规定日期 3天。如

果两个工程队合作了 2天，余下的部分由乙工程队单独做，正好在规定日期内完成。则规定

日期的天数是：

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

[答案]C

[解析]分析可知，甲 2天完成了乙 3天的工作量，令甲效率＝3，乙效率＝2，设规定天

服务电话：400-678-1009

8

数为 x，则 3x＝2（x＋3），解得 x＝6。答案选择 C。

【例 24】（江苏 2015A-33）甲、乙工程队需要在规定的工期内完成某项工程，若甲队单

独做，则要超工期 9 天完成，若乙队单独做，则要超工期 16 天才能完成，若两队合做，则

恰好按期完成，那工程规定的工期是

A. 8天 B. 6天 C. 12天 D. 5天

[答案]C

[解析]设规定工期为 t 天，则甲延期 9 天的工作量等于乙在 t 天里的工作量，乙延期

16天的工作量等于甲在 t天里的工作量，即

甲t乙＝16

乙t甲＝9，很容易得到 t＝12，答案选择 C。

行程问题

【例 25】（河北事业单位 2012－15）张阳和刘芳家相距 1026 米，刘芳从家中出发，张

阳带着小狗也从家出发，和刘芳相向而行。张阳每分钟走 54 米，刘芳每分钟走 60 米，小狗

每分钟跑 70 米。当小狗和刘芳相遇后，立即返回跑向张阳，遇到张阳后，又立即返回跑向

刘芳。小狗这样跑来跑去，一直到二人相遇，这只小狗共跑了多少米？（）

A. 630 B. 700 C. 840 D. 960

［习题 04］A

［简析］相遇时间=1026÷（54＋60）=9（分钟），所以小狗的路程=70×9=630 米。

【例 26】（安徽 2012－64）一支 600 米长的队伍行军，队尾的通讯员要与最前面的连长

联系，他用 3 分钟跑步追上了连长，又在队伍休息的时间以同样的速度跑回了队尾，用了 2

分 24 秒，如队伍和通讯员均匀速前进，则通讯员在行军时从最前面跑步回到队尾需要多长

时间? （）

A. 48 秒 B. 1 分钟 C. 1 分 48 秒 D. 2 分钟

［答案］D

［解析］设通讯员的速度为 1v ，队伍的速度为 2v ，2 分 24 秒=2.4 秒，由题意列方程有：

4.2600

3)－(600

1

21

v

vv，解得 1v =250（米/分钟）， 2v =50（米/分钟），则返回队尾所需时间为

50250

600

＋=2（分钟），选 D。

【例 27】（贵州招警 2012－71）从甲地到乙地的公路有加油站丙，从甲到丙为上坡，从

丙到乙为下坡，某人骑车从甲地到乙地用了 1.6 小时，返回用了 1.9 小时，他上坡的速度是

10 公里/小时，下坡的速度是 25 公里/小时，问甲乙两地的距离是多少公里？（）

A. 25 B. 30 C. 35 D. 40

［答案］A

服务电话：400-678-1009

9

［简析］根据公式： 小时）（公里＋＋

/7

100

2510

251022

21

21_

vv

vvv ，那么甲乙两地距

离为 100/7×（1.6＋1.9）÷2=25（公里）。

【例 28】（四川 2012－14）一艘轮船从上游甲地开往下游乙地需要 5 个小时，以同样的

功率从乙地开往甲地需要 6 个小时。如在甲地放下一无动力竹排，它到达乙地需要多长时间？

（）

A. 5 小时 B. 15 小时 C. 30 小时 D. 60 小时

［答案］D

［简析］根据公式， （小时）顺逆

顺逆 605-6

562

t-

t2

t

tt ，答案选择 D。

容斥原理：

【例 29】（浙江 2014-58）某委员会有成员 465人，对 2 个提案进行表决，要求必须对

2个提案分别提出赞成或反对意见。其中赞成第一个提案的有 364人，赞成第二个提案的有

392人，两个提案都反对的有 17人。问赞成第一个提案且反对第二个提案的有几人？

A.56人 B.67人 C.83人 D.84人

[答案]A

[解析]根据公式，可列式为：364+392-两者都赞同的人数=465-17=448，解得两者都赞

同的人数为 364+392-448=308，则赞成第一个提案且反对第二个提案的人数共有 364-308=56

人，答案选择 A。

【例 30】（广东县级以上 2015-31）某乡镇举行运动会，共有长跑、跳远和短跑三个工

项目。参加长跑的有 49 人，参加跳远的有 36 人，参加短跑的有 28 人，只参加其中两个项

目的有 13人，参加全部项目的有 9人。那么参加该次运动会的总人数为( )。

A. 75 B. 82 C. 88 D. 95

[答案]B

[解析]根据公式，总数＝39＋36＋28－13－2×9＝82。答案选择 B。

【例 31】（黑龙江 2015-66）工厂组织工人参加技能培训，参加车工培训的有 17人，参

加钳工培训的有 16人，参加铸工培训的有 14人，参加两项及以上培训的人占参加培训总人

数的 2/3，三项培训都参加的有 2人，问总共有多少人参加了培训？( )

A.24 B.27 C.30 D.33

[答案]B

[解析]设总共有 x人参加培训，则参加两项的人为3

2x－2，则满足：17＋16＋14－(

3

2

x－2)－2×2＝x，解得 x＝27。答案选择 B。

服务电话：400-678-1009

10

【例 32】（春季联考 2015-69）有 135人参加某单位的招聘，31人有英语证书和普通话

证书，37 人有英语证书和计算机证书，16 人有普通话证书和计算机证书，其中一部分人有

三种证书，而一部分人则只有一种证书。该单位要求必须至少有两种上述证书的应聘者才有

资格参加面试。问至少有多少人不能参加面试？

A. 51 B. 50 C. 53 D. 52

[答案]C

[解析]设有三种证书的人为 x，则至少有两种以上证书的人数为：31＋37＋16－2x＝84

－2x，x的最小值为 1，则能参加面试的人数最多为 82人，也就意味着不能面试的人数最少

为：135－82＝53人。答案选择 C。

最值问题：

【例 33】（河北 2013-49）小明和姐姐用 2013 年的台历做游戏，他们将 12个月每一天

的日历——揭下，背面粘上放在一个盒子里、姐姐让小明一次性帮她抽出一张任意月份的

30号或者 31号。问小明一次至少应抽出多少张日历，才能保证满足姐姐的要求？（ ）

A. 346 B. 347 C. 348 D. 349

[答案]C

[解析]姐姐需要的是 30或 31 号，最不利的情况是只提供 1 号至 29 号，且 2月份只有

28 天，故而提供 12×29－1 张，再抽一张就可以满足条件，所以至少要抽出 12×29－1＋1

＝12×29＝348张日历。答案选择 C。

【例 34】（河北 2015-70）有软件设计专业学生 90 人，市场营销专业学生 80 人，财务

管理专业学生 20人，及人力资源管理专业学生 16人参加求职招聘会，问至少有多少人找到

工作就一定保证有 30 名找到工作的人专业相同？

A. 59 B. 75 C. 79 D. 95

[答案]D

[解析]答案为最不利加 1，得到 29＋29＋20＋16＋1＝95。答案选择 D。

【例 35】（陕西 2015-73）植树节到来之绩，120 人参加义务植树活动，共分成人数不

等且每组不少于 10 人的六个小组，每人只能参加一个小组，则参加人数第二多的组最多有

（ ）人。

A. 32 B. 33 C. 34 D. 35

E. 36 F. 37 G. 38 H. 39

[答案]E

[解析]按照题干要求，构造数列如下表

排名 1 2 3 4 5 6

人数 x+1 x 13 12 11 10

即得到 2x＋1＋46＝120，解得 x＝36.5，即最多有 36人。答案选择 E。

【例 36】（北京 2015-73）某贸易公司有三个销售部门，全年分别销售某种重型机械 38

台、49台和 35台，问该公司当年销售该重型机械数量最多的月份，至少卖出了多少台？（ ）

服务电话：400-678-1009

11

A.10 B.11 C.12 D.13

[答案]B

[解析]该贸易公司三个销售部门全年共计售出 38+49+35=122，设销售数量最多的月份

销售量为 x，则要想其尽量少，只需其余月份尽量多，最多都可以为 x，故 12x=122，x≈10.2，

最多的月份至少为 11，答案选择 B。

【例 37】（广东县级以上 2015-28）阅览室有 100本杂志。小赵借阅过其中 75本，小王

借阅过 70本，小刘借阅过 60本，则三人共同借阅过的杂志最少有( )本。

A. 5 B. 10 C. 15 D. 30

[答案]A

[解析]每个人没有借阅的书分别为 100－75＝25，100－70＝30，100－60＝40，没有借

阅过的最多为 25＋30＋40＝95，则共同借阅过的最少有 100－95＝5。答案选择 A。

星期日期问题：

【例 38】（春联 2016-70）社会、主编和副主编三人轮流主持每周一的编辑部发稿会。

某年（非闰年）1 月 6 日的发稿会由社长主持，问当年副主编第 12 次主持发稿会是在哪一

天？

A.9 月 1 日 B. 9 月 2 日 C. 9 月 8 日 D. 9 月 9 日

[答案]C

[解析] 由题意，因为三人轮流主持会议，副主编第 12 次主持会议时，其实是第 36 次

会议，前面经历了 35 次会议周期，每个周期一个礼拜 7 天，所以最后主持会议的日期应该

是第一次会议 1 月 6 日之后的第 35×7=245 天。所以日期推断为 25（一月）+28（二月）+31

（三月）+30（四月）+31（五月）+30（六月）+31（七月）+31（八月）+8（九月）=245 天。

正确答案为 C。

【例 39】（江苏 2014C-34）某年的 3月份共有 5个星期三，并且第一天不是星期一，最

后一天不是星期五，则该年的 3月 15日是（ ）。

A. 星期二 B. 星期三 C. 星期四 D. 星期五

[答案]A

[解析]31÷7＝4„„3，则最后的 3 天一定有一个星期三。假设 29 号是星期三，则 31

号是星期五，排除。假设 31号是星期三，则 29号是星期一，也就是 1号也是星期一，排除。

则 30号是星期三。15÷7＝2„„1，往回退 1天，则 3月 15日是星期二。答案选择 A。

【例 40】（国家 2013－70）根据国务院办公厅部分节假日安排的通知，某年 8 月份有

22 个工作日，那么当年的 8 月 1 日可能是：

A.周一或周三 B.周三或周日

C.周一或周四 D.周四或周日

［答案］D

［解析］8 月份共 31 天，31÷7=4....3，8 月 29 日与 8 月 1 日星期相同。本题中有 22

个工作日，即休息日为 9 天，若周六为 5 天，则本月 31 日为周六，29 号为周四，8 月 1 日

为周四；若周日为 5 天，则 8 月 29 日为周日，8 月 1 日为周日，答案选 D。

服务电话：400-678-1009

12

排列组合：

【例 41】（黑龙江 2015-60）三行三列间距相等共有九盏灯，任意亮起其中的三盏组成

一个三角形，持续 5 秒后换另一个三角形，那么如此持续亮，亮完所有的三角形组合至少需

要多少秒？( )

A. 380 B. 390 C. 410 D. 420

[答案]A

[解析]不在同一直线上的 3 个点可构成一个三角形。9 个点可构成 C39＝84(个)三角形，

但此时三横三竖两斜共 8种组合三点在同一直线上，构不成三角形，故所有三角形有 84－8

＝76(个)。每个 5秒钟，共 76×5＝380(秒)。答案选择 A。

【例 42】（新疆兵团 2015-39）将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，去甲乙两座城市

参加数学建模比赛，每个小组都要包含 1名教师和 2名学生，问不同的安排方法共有几种？

A. 6 B. 12 C. 18 D. 24

[答案]B

[解析]不同的安排方法数为 24

12 CC ＝2×6＝12种。答案选择 B。

【例 43】（北京 2015-82）有 8 人要在某学术报告会上作报告，其中张和李希望被安排

在前三个作报告，王希望最后一个作报告，赵不希望在前三个作报告，其余 4 人没有要求。

如果安排作报告顺序时要满足所有人的要求，则共有多少种可能的报告序列?（ ）

A.441 B.484 C.529 D.576

[答案]D

[解析]排列组合。王被排在最后一个，不需分析。张和李被排在前三个，有 623＝A 种，

赵不在前三，只需从除张、李、赵、王外的四个人选一人放到前三，有 4种排法，其余四人

全排列即可，即 2444＝A 种，分步过程，结果为 6×4×24=576。答案选择 D。

【例 44】（春联 2016-61）在九宫格内依次填入数字 1～9，现从中任取两个数，要求取

出的两个数既不在同一行也不在同一列，共有多少种不同取法？

A.9 B.18 C.36 D.45

[答案]B

[解析]总数为 C（9,2）＝36，共 3 行 3 列，不满足的情况有 6×C（3,2）＝18，所以答

案为 36－18＝18 种。

【例 45】（黑龙江 2015-61）小区内空着一排相邻的 8 个车位，现有 4辆车随机停进车

位，恰好没有连续空位的停车方式共有多少种？( )

A. 48 B. 120 C. 360 D. 1440

[答案]B

[解析]要求 4个空车位没有连续的，不相邻问题用插空法，空车位插空排列即可，4辆

服务电话：400-678-1009

13

车进 4个车位， 44A ＝24，4个车形成 5个空，选其中 4个空给空车位， 4

5C ＝5，共有 24×5

＝120。答案选择 B。

【例 46】（国考 2016-68）为加强机关文化建设，某市直机关在系统内举办演讲比赛，3

个部门分别派出 3、2、4名选手参加比赛，要求每个部门的参赛选手比赛顺序必须相连，问

不同参赛顺序的种数在以下哪个范围之内？

A.大于 20000 B.5001~20000

C.1000~5000 D.小于 1000

[答案]C

[解析] 3个部门分别派出 3、2、4名选手参加比赛，要求每个部门的参赛选手比赛顺序

必须相连。可先对每个部门内部的选手进行全排列，然后将 3个部门的顺序进行全排列。则

总共的排列顺序一共有： = =1728，属于 1000-5000的范围。

经济利润问题

【例 47】（国家 2013－65）某种汉堡包每个成本 4.5 元，售价 10.5 元，当天卖不完的汉

堡包即不再出售。在过去十天里，餐厅每天都会准备 200 个汉堡包，其中有六天正好卖完，

四天各剩余 25 个，问这十天该餐厅卖汉堡包共赚了多少元？（）

A. 10850 B. 10950 C. 11050 D. 11350

［答案］B

［解一］总利润=总收入—总成本=（200×10—4×25）×10.5—200×10×4.5=12000—

1050=10950（元）。

［解二］汉堡的利润为 6 元，成本 4.5 元，两个数字都含有因子 3，结合选项只有 B 满

足条件。

【例 48】（河北 2014-54）两超市分别用 3000元购进草莓。甲超市将草莓按大小分类包

装销售，其中大草莓 400千克，以高于进价 1倍的价格销售，剩下的小草莓以高于进价 10%

的价格销售，乙超市按甲超市大、小两种草莓售价的平均值定价直接销售。两超市将草莓全

部售完，其中甲超市获利 2100（不计其它成本），则乙超市获利多少元？

A.1950元 B.1800元 C.1650 元 D.1500元

[答案]C

[解析]设草莓的进价为 10 元/千克，则乙超市的售价为 斤元＝＋

/5.152

1120，进而可以得

服务电话：400-678-1009

14

到乙超市的利润率为 %5510

105.15＝

－，因而乙超市获利 3000×55%＝1650元，答案选择 C。

【例 49】（黑龙江 2014-14）李亮和刘纯两人采购同一款录音笔，如果一次购买数量不

足 50个，每个售价 176元；如果一次购买 50—99个，每个售价 160元；如果一次购买 100

个及以上，每个售价 144 元。如果李亮和刘纯分别购买，共要付 18688 元，如果两人合买，

可以节省 2416元。问两人中购买录音笔数量较少者买了多少个录音笔？

A.52 B.56 C.20 D.38

[答案]D

[解析]分析题干可知，18688－2416＝16272，16272不是 160的倍数，可知两人购买总

数大于 100个。18688不是 176的倍数，进而可以判断这两个人中有一个大于 50，有一个小

于 50。

设两人购买的量分别为 x、y个，则可以得到：

2416y144160x144176

18688y160176x

＝）－＋（）－（

＝＋，

75y

38x

＝

＝。

答案选择 D。

【例 50】（深圳 2016-51）某商场举行促销活动，规定：一次购物不超过 100 元的，不

给优惠；超过 100元而不超过 300元的，一律 9折优惠；超过 300元的，其中 300元及以内

部分仍让 9 折优惠，超过部分按 8 折优惠。小王两次购物分别用了 90.9 元和 295.6元，现

小李决定一次买小王分两次购买的同样的物品，那么小李应付款（ ）

A.368.32元 B.352.4元

C.352.4元或 368.32 元 D.368.32元或 376.4 元

【例 51】（吉林乙级 2015-88）某书店开学前新进一批图书，原计划按 40%的利润定价

出售，售出 80%图书之后，剩下的图书打折出售，结果所得利润比原计划少 14%，则剩下的

图书销售时按定价打了几折

A. 7 B. 8.5 C. 8 D. 7.5

[答案]C

[解析]设进价为 100，购进图书数量为 10 本，按 40%的利润定价出售，则利润为 40，

定价为 140。假设打折后的利润为 x，根据题意得：40×8＋2x＝40×10×（1－14%），解得：

x＝12，进而可得折扣为 8折。答案选择 C。

服务电话：400-678-1009

15

牛吃草问题

【例 52】（浙江 2012－57）某演唱会检票前若干分钟就有观众开始排队等候入场，而每

分钟来的观众人数一样多。从开始检票到等候队伍消失，若同时开 4 个入场口需 50 分钟，

若同时开 6 个入场口则需 30 分钟。问如果同时开 7 个入场口需几分钟？（）

A. 18 分钟 B. 20 分钟 C. 22 分钟 D. 25 分钟

［答案］D

［解一］根据核心公式中 y 不变可得

Tx

x

xy

）（7y

30)6(y

50)4(

，解之可得

25

150

1x

T

y 。

［解二］根据核心公式中 x 不变可得T

T

30

7306

3050

306504，解之得 T=25（分

钟）。

【例 53】（国家 2013－68）某河段中的沉积河沙可供 80 人连续开采 6 个月或 60 人连续

开采 10 个月。如果要保证该河段河沙不被开采枯竭，问最多可供多少人进行连续不间断的

开采？（假定该河段河沙沉积的速度相对稳定）

A. 25 B. 30 C. 35 D. 40

［答案］B

［解一］根据核心公式中 y 不变可得

10)60(y

6)80(

x

xy，解之可得

300

30x

y，欲实现

不间断开采，最多提供 30（人）。

［解二］根据核心公式中 x 不变可得 30106

1060680

x ，欲实现不间断开采，

最多提供 30（人）。

【例 54】（贵州 2012－73）某水库共有 10 个泄洪闸，当 10 个泄洪闸全部打开时，8 小

时可将水位由警戒水位降至安全水位;只打开 6 个泄洪闸时，这个过程为 24 个小时，如水库

每小时的入库量稳定，问如果打开 8 个泄洪闸时，需要多少小时可将水位降至安全水位?（）

A. 10 B. 12 C. 14 D. 16

［答案］B

服务电话：400-678-1009

16

［解一］根据核心公式中 y 不变可得

Txy

x

xy

)8(

24)6(y

8)10(

，解之可得

12

48

4x

T

y 。

［解二］根据核心公式中 x 不变可得T

T

24

8246

248

246810，解得 T=12（小

时），答案选 B。

【例 55】（山东 2012－55）某篮球比赛 14：00 开始，13：30 允许观众入场，但早有人

来排队等候入场。假设从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多，如果开 3 个入

场口，13：45 时就不再有人排队；如果开 4 个入场口，13：40 就没有人排队，那么第一个

观众到达的时间是（ ）。

A. 13：00 B. 13：05 C. 13：10 D. 13：15

［答案］A

［解析］根据核心公式中 y 不变可得

10)4(y

15)3(

x

xy，解之可得

30

1x

y，假定每分

钟来的观众数是1， 13:30时等候在外面的观众数是30，因此第一个观众到达的时间是13:00。

【例 56】（贵州 2012－44）由于天气干旱，村委会决定用抽水机抽取水库中剩余的水浇

灌农田。假如每天水库的水以均匀的速度蒸发，经计算，若用 20 台抽水机全力抽水，水库

中水可用 5 周；若用 16 台抽水机，水库中水可用 6 周；若用 11 台抽水机，水库中的水可用

多少周？（）

A. 7 B. 8 C. 9 D. 11

［答案］B

［解一］根据核心公式中 y 不变可得

Tx

x

xy

）（11y

6)16(y

5)20(

，解之可得

8

120

4x

T

y 。

［解二］根据核心公式中 x 不变可得6

11616

56

616520

T

T，解之得 T=8（周）。

服务电话：400-678-1009

17

服务电话：400-678-1009

18