電磁気学 I, II

風間洋一

電磁気学 I, II

担当 風間洋一　　Home Page: http://hep1.c.u-tokyo.ac.jp/˜kazama/kazama.htm

電磁気学 I

1. 序論: 電磁気学 I, IIの目標

1.1 電磁気学の重要性

1.2 電磁気学の枠組みの概観

2. 静電場

2.1 クーロンの法則

2.2 電場の概念と重ね合わせ：連続分布に対するクーロン則

2.3 クーロン則の簡単な応用

2.4 ガウスの法則とマックスウェルの第１方程式

2.5 ポテンシャルエネルギーと電位

2.6 基本的な電荷分布とそのつくる電位、電場

2.7 導体系とそれに伴う電荷分布、電位、および電場

2.8 電場のエネルギーの概念

2.9 導体系の電位と電気容量

2.10 導体系に働く力

電磁気学 II

3. 定常電流

3.1 オームの法則

3.2 ジュール熱

3.3 電荷の保存則

3.4 起電力と電池

3.5 抵抗と電池を使った回路網

4. 静磁場

4.1 序論

4.2 クーロン静磁場とローレンツ力

4.3 電流間に働く力とビオ-サヴァールの法則

4.4 ビオ-サヴァール則からマックスウェル方程式へ4.5 静磁場の法則の積分形とその応用

5. 時間変化する電磁場

5.1 磁場の時間変化：ファラディーの電磁誘導の法則5.2 電場の時間変化とマックスウェルの変位電流5.3 マックスウェル方程式系のまとめ5.4 真空中のマックスウェル方程式と電磁波

6. 進んだ学習 (時間があれば、以下の項目から取捨選択して学習する)

6.1 ベクトルポテンシャルによる静磁場の表し方6.2 静磁場の多重極展開と磁気双極子モーメント6.3 磁場が電流に及ぼす力と回転力6.4 時間に依存する電場のポテンシャルによる表式6.5 電流の時間変化とインダクタンス6.6 電流のエネルギーとその磁場のエネルギーとしての解釈6.7 電磁場のエネルギー保存則とポインティングベクトル

参考書について：

• この講義では、電磁気学を高校で履修していることを前提としないので、それを前提とした教科書は用いない。講義ノートをきちんととり、適所に配された演習問題を自分で解いていけば、十分な理解が得られるように設計してある。

• 適当な時期に、何度かに分けて、講義ノートの pdf fileをHPに upする。演習問題の解答も付ける。

• しかし、自分の学力及び興味に合致した本を一冊座右において参考にすれば、より深い理解を得ることができる。電磁気学に関する本は多々あるが、定評のあるもの（の一部）をおおまかな難易度 (A,B)をつけて幾つか示す。この講義に関してはA程度で十分である。

– 長岡洋介：「電磁気学 I, II」、「例解電磁気学演習」、　岩波物理入門コース (A)

– 砂川重信: 「電磁気学」(はじめて学ぶひとのために)、培風館– 原康夫：「電磁気学 I, II」、裳華房 (A)

– 加藤正昭：「電磁気学」、東大出版会 (A ∼ B)

– ファインマン物理学：「電磁気学」、「電磁波と物性」、　岩波 (A ∼ B)

– バークレー物理学コース 「電磁気、上下」、丸善 (A ∼ B)

– バーガー・オルソン：「電磁気学 I, II」、培風館 (B)

– 金原寿郎：「電磁気学 I, II」、裳華房 (B)

5

目 次

第 1章 序論: 電磁気学 I, IIの目標 9

1.1 電磁気学の重要性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 電磁気学の枠組みの概観 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

第 2章 静電場 17

2.1 Coulombの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 電場の概念と重ね合わせ：連続分布に対する Coulomb則 . . . . . . . . . 22

2.3 Coulomb則の簡単な応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4 Gaussの法則とMaxwellの第１方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4.1 Gaussの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4.2 Gaussの法則による電場の計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4.3 Gaussの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4.4 Maxwellの第一方程式の微分形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.5 ポテンシャルエネルギーと電位 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.5.1 仕事とポテンシャルエネルギーの復習 . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.5.2 クーロン力によるポテンシャルエネルギーと電位 . . . . . . . . . . 39

2.5.3 電位の満たす方程式：ポアソン方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.5.4 Poisson方程式の一般解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.6 基本的な電荷分布とそのつくる電位、電場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.6.1 単電荷、及び電気双極子のつくる場 . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.6.2 電位の多重極 (Multipole)展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.7 導体系とそれに伴う電荷分布、電位、及び電場 . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.7.1 静的な状態での導体の電気的特徴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.7.2 導体の回りの静電場の求め方 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.7.3 Kelvinの鏡像法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.8 電場のエネルギーの概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.8.1 静電エネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.8.2 簡単な系の持つ静電エネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.8.3 静電エネルギーの電場のエネルギーとしての解釈 . . . . . . . . . . 64

2.9 導体系の電位と電気容量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.10 導体系にはたらく力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

第 3章 定常電流 77

3.1 定常電流が生ずるメカニズムとオーム (Ohm)の法則 . . . . . . . . . . . . 77

3.1.1 Ohmの法則の様々な形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.1.2 Ohmの法則の起源 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.2 Joule熱（摩擦熱） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.3 電荷の保存則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.4 起電力と電池 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.5 抵抗と電池を使った回路網とKirchhoffの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . 85

第 4章 静磁場 (Magnetostatics) 93

4.1 序論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.2 Coulomb静磁場と Lorentz力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.3 電流間に働く力とBiot-Savartの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.3.1 平行電流の間に働く力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.3.2 Biot-Savart(ビオ・サバール)の法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.4 Biot-Savart則からMaxwell(Ampere)の法則へ . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.4.1 磁化の非存在を表す式 ~∇ · ~B = 0 の導出 . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.4.2 Ampere の法則 ~∇× ~B = µ0~の導出 . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.5 静磁場の法則の積分形とその応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.5.1 Stokesの定理 (数学的恒等式) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.5.2 静磁場の法則の積分形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.5.3 Ampereの法則の応用例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

第 5章 時間変化する電磁場 115

5.1 磁場の時間変化：Faradayの電磁誘導の法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.1.1 Faradayの発見 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.1.2 非一様な磁場中を回路が動いた場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.1.3 ~Bが時間変化する場合：相対性の考え . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.1.4 誘導電場の計算例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.2 電場の時間変化とMaxwellの変位電流 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.3 Maxwell方程式系のまとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.4 真空中のMaxwell方程式と電磁波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.4.1 真空中のMaxwell方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.4.2 真空中の電磁波の方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.4.3 波動方程式の平面波解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.4.4 ２次元以上の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.4.5 電磁場に対する平面波解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

第 6章 進んだ学習 131

6.1 ベクトルポテンシャルによる静磁場の表し方 . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6.1.1 ベクトルポテンシャルに対する「ゲージ変換」の自由度 . . . . . . 134

6.1.2 静磁場 ~BのみたすMaxwell方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6.1.3 Vector Potentialの満たす微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6.2 静磁場の多重極展開と磁気双極子モーメント . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6.2.1 平面中のループ電流のmagnetic moment . . . . . . . . . . . . . . . 141

6.3 磁場が電流に及ぼす力と回転力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

6.3.1 一般論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

6.3.2 一様な磁場の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

6.3.3 磁場中のmagnetic momentの持つ potential energy . . . . . . . . . 146

6.4 一般の電場の potentialによる表式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6.5 電流の時間変化とインダクタンス . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6.5.1 インダクタンスの定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

6.5.2 インダクタンスの役割 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

6.6 電流のエネルギーとその磁場のエネルギーとしての解釈 . . . . . . . . . . 154

6.6.1 一回路系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

6.6.2 一般の静磁場の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

6.7 電磁場のエネルギー保存則とポインティングベクトル . . . . . . . . . . . 156

6.7.1 時間的に変化する場合の電磁場のエネルギーの定義 . . . . . . . . . 156

6.7.2 エネルギー保存則とポインティングベクトル . . . . . . . . . . . . 157

6.7.3 平面波に対するエネルギー保存則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

電磁気学 I

9

第1章 序論: 電磁気学I, IIの目標

1.1 電磁気学の重要性

電磁気学は次の二つの意味で非常に重要な学問である。

実用性：

• 日常生活における様々な電気的磁気的現象を司る。

• 実は、原子レベル以上のほとんどすべての現象を支配する。（但し、ミクロな現象に対しては量子力学も必要。）例：　• 化学反応• 物性物理 ( 磁性体、導体、絶縁体、超伝導体、etc. )

• 生物の運動。脳の活動。

理由： 物質は正負の電荷を持った陽子と電子（及び中性子）からできており、これらの間に働く電磁相互作用は

(i) 遠距離力、かつ(ii) 他の相互作用に比べて強い（後述）。

理論的重要性：

• 場の概念のプロトタイプをなす。

– 近接相互作用の考え（ファラディー）。

– 波動の考え方。

• アインシュタインの相対性理論の原点。←電磁誘導

• 自然界の基本的な力の一つ。遠距離力 ↔ 質量がゼロの粒子の 交換によって生ずる力。

10 第 1章 序論: 電磁気学 I, IIの目標

自然界の基本的な力、到達距離、相対的強さすべての力を感ずる陽子に対して比較。

“到達距離” 交換される粒子の質量 力の強さ（陽子に対して）

重力 ∞ 0 (重力子) ∼ 10−38

電磁気力 ∞ 0 (光子) ∼ 10−2

弱い力 ∼ 10−16 cm 100 GeV/c2 (W,Z 粒子) ∼ 10−5

強い力 (核力) ∼ 10−13 cm 140 MeV/c2 (中間子) ∼ 10

1 MeV/c2 =100万電子ボルト /c2 = 1.8× 10−27 gram。1 GeV/c2 = 1000 MeV/c2

(相対性理論の式 E = mc2から、質量mはE/c2とも表される。)

• “到達距離”と交換される粒子の質量は逆比例する。

湯川秀樹 核力の「中間子論」を発表 (1935年)：

原子核内部の陽子 pと中性子 nの間に働く「核力」は「中間子」と呼ばれる新粒子の交換による力と理解できる。力の具体的な式を提案

核力 =e−mr

r, m =中間子の質量 (1.1)

到達距離 r0 ⇔ r0m ' 1 ⇔ r0 ' 1

m(1.2)

実際の核力の到達距離から、中間子の質量を予言。後にその質量を持つ粒子が発見された。湯川はこの中間子論により、1949年、日本人として初めてノーベル賞を受賞。

• この「交換力」の考え方は、実は総ての力に対してなり立つことが以後わかってきた。

• 　重力は基本的には圧倒的に弱いが、「中和」されないため巨視的物体に対しては加算的に働き非常に大きくなる。

• アインシュタインの夢： これらの総ての力を統一的に理解すること。アインシュタインは後半生を重力と電磁気力を統一することに費やしたが、うまくいかなかった。

• 現在までに、電磁気力と弱い力の統一は成し遂げられた。強い力も含めた「大統一理論」も作られているが、これに関しては確証はない。重力が最も難しい力。それも含めた統一理論の候補= (超対称)弦理論

1.2. 電磁気学の枠組みの概観 11

1.2 電磁気学の枠組みの概観

• 以下に述べることは、これから 1年かけてゆっくりと理解していくことのまとめであり、現時点ではだいたいどんなものかをイメージできればそれで十分。

電磁気学は、次に述べる４つの基本的な法則から成り立っており、これを場の考えを用いて正確に表したものが Maxwellの方程式 (系)(1865)である。

1. Coulombの法則

点電荷 qが q′に及ぼす力 ~F : 但し rは qから q0の方向への単位ベクトル

~F (~r) =1

4πε0

qq′

r2r (1.3)

~r ≡ (x, y, z) = (x1, x2, x3) , r ≡ ~r

|~r| (1.4)

q′q

~r

これは瞬間的に働く遠距離力を表すが、q′に働く力を qがつくる場 ~Eq(~r) によるものと考えることもできる。その考えを表現すれば

~F (~r) = q′ ~Eq(~r) (1.5)

~Eq(~r) =1

4πε0

q

r2r , (1.6)

と書ける。この式は、電荷が与えられたときにどのような電場ができるかを表しているが、逆に電場がわかればそれを生み出している電荷分布がわかるはずである。これを一般的に捉えたものが、 Maxwellの第 1の方程式である。

~∇ · ~E(~r, t) =ρ(~r, t)

ε0

, (1.7)

ρ = 電荷密度 = 単位体積あたりの電荷量 , (1.8)

ε0 = 真空の誘電率 (dielectric constant) . (1.9)

12 第 1章 序論: 電磁気学 I, IIの目標

• ここで、~∇は「nabla」演算子と呼ばれ、x, y, zによる微分演算子を並べてベクトルのように書いたものである。

~∇ =

∂∂x∂∂y∂∂z

(1.10)

• この講義では誘電体の議論はしないので、「真空の誘電率」のきちんとした説明はしない。現時点ではある定数 (但し次元を持つ)と考えておけば良い。後に出てくる「真空の透磁率」についても同じ。

ここで ~∇ · ~Eは電場の湧き出し= divergenceと呼ばれ、ベクトルの内積と似た形で定義される：

~∇ · ~E ≡ ∂

∂x1

E1 +∂

∂x2

E2 +∂

∂x3

E3 (1.11)

実際通常の数ベクトルに対する内積と比較すると

~a ·~b = a1b1 + a2b2 + a3b3 (1.12)

電場の divergenceの直観的イメージについては、すぐ後で述べる。

2 偏微分の復習 :

偏微分: 多変数関数に対して、その変数のどれかひとつのみ変化させたときの傾きを表す。3変数の場合

∂f(x, y, z)

∂x= ∂xf(x, y, z) ≡ lim

∆x→0

f(x + ∆x, y, z)− f(x, y, z)

∆x(1.13)

∂f(x, y, z)

∂y= ∂yf(x, y, z) ≡ lim

∆y→0

f(x, y + ∆y, z)− f(x, y, z)

∆y, etc. (1.14)

具体的な計算は簡単:

例

f(x, y, z) = xmynzl (1.15)

∂xf(x, y, z) = mxm−1ynzl , ∂yf(x, y, z) = nxmyn−1zl , etc. (1.16)

2 ベクトルの内積と divergenceとの比較 :

内積の定義は

~a ·~b = a1b1 + a2b2 + a3b3 (1.17)

この aiを微分演算子に置き換えたものが、divergenceである。

1.2. 電磁気学の枠組みの概観 13

2. Ampereの法則

電荷が移動すると、電流密度 ~ = ρ~vが生ずるが、それはよく知られたようにその電流の流れにまつわりつくような磁場（磁束密度） ~Bを生み出す。

さらに、Maxwellは電荷の保存則が成り立つためには、時間変化する電場によっても磁場が生じなければならないことを見いだした。こうした磁場の生成を正確に表したものがMaxwellの第 2の方程式である：

~∇× ~B = µ0

(~ + ε0

∂ ~E

∂t

), (1.18)

µ0 = 真空の透磁率 (magnetic permeability) (1.19)

電流と同じ資格で現れる ε0(∂ ~E/∂t)は Maxwellの変位電流と呼ばれ、電磁波の存在にとって重要な役割を果たす。

また、~∇× ~Bは磁場の回転=rotationと呼ばれ、ベクトルの外積に似た形で定義される微分演算である：

(~∇× ~B

)1≡ ∂

∂x2

B3 − ∂

∂x3

B2 , (1.20)

(~∇× ~B

)2≡ ∂

∂x3

B1 − ∂

∂x1

B3 , (1.21)

(~∇× ~B

)3≡ ∂

∂x1

B2 − ∂

∂x2

B1 . (1.22)

2 ベクトルの外積との比較 :

(~a×~b)1 = a2b3 − a3b2 , (~a×~b)2 = a3b1 − a1b3 , etc. (1.23)

2 場の divergenceの直観的イメージ :

14 第 1章 序論: 電磁気学 I, IIの目標

電場の divergenceのイメージを得るには、次のような、原点から放射状に出ている電場を考えると良い。(原点に点電荷がある場合に他ならない。)

~E(~r) = E~r , Eは定数 (1.24)

この divergenceを計算すると、

~∇ · ~E = E(∂xx + ∂yy + ∂zz) = 3E 6= 0 (1.25)

実際、湧き出しがゼロでないことがわかる。点電荷があたかも水道の蛇口のような役割を果たしていることを表す。

2 場の rotationの直観的イメージ :

上記の電場の rotationの成分を計算してみると、

~∇× ~E1 = ∂x2x3 − ∂x3x2 = 0

~∇× ~E2 = ∂x3x1 − ∂x1x3 = 0 , etc. (1.26)

ゆえ、~∇× ~E = 0ゆえ、放射状の場は rotationを持たない。rotationを持つ典型的な場は次のようなものであり、直線電流が生み出す磁場の形である。

~B(~r) = B~r × z = B

x2

−x1

0

(1.27)

Bは定数 (1.28)

この場の rotationを計算すると

~r = (x1, x2, x3 = 0)

~r × z = (x2,−x1, 0)

(~∇× ~B)1 = ∂2B3 − ∂3B1 = 0

(~∇× ~B)2 = ∂3B1 − ∂1B3 = 0

(~∇× ~B)3 = ∂1B2 − ∂2B1 = −2B 6= 0

ゆえ、回転しているベクトル場 ~Bに垂直な第 3方向の ~∇× ~Bの成分 (~∇× ~B)3のみがちょうどゼロでない値を持つ。(ここに電流が通っている。)

一方、このベクトル場の divergenceを計算してみると

~∇ · ~B = ∂1(Bx2) + ∂2(−Bx1) + ∂3(0) = 0 (1.29)

であり、divergenceを持たない場であることがわかる。

1.2. 電磁気学の枠組みの概観 15

3. 磁荷の非存在

実験家の執拗な努力にもかかわらず、未だ単独の「磁荷」（単磁極= magnetic monopole）は発見されていない1。従って磁束密度2 ~Bに対しては、電場に対するMaxwellの第 1方程式に対応して次の式が成り立つ：

~∇ · ~B = 0 . (1.30)

これは明らかに電荷に対応する磁荷がないことを表している。これはまた、磁場を辿ってできる「磁力線」に電荷の作る電場が作る「電気力線」の場合のような「端」(源)がないことを意味している。

4. Faradayの電磁誘導の法則

磁場の時間変化は電場を生み出す。これは次の様に表される。

~∇× ~E = −∂ ~B

∂t. (1.31)

• これら４つのMaxwell方程式は、線形連立偏微分方程式系をなし、実際の物理的状況に応じた境界条件のもとに多様な解を生み出す。本講義では、そのうちの最も基礎的な部分のみ扱う。

Lorentz力：力学との接点

Maxwell 方程式には、荷電粒子がどのように電磁場と相互作用するのかが示されていない。これを補うのがいわゆる Lorentz力である。

~F = ~FE + ~FM (1.32)

~FE = q ~E , ~FM = ~v × ~B (1.33)

磁場による力は電荷が運動していないと働かないことに注意。~B

~v

~FM1素粒子の大統一理論では単磁極の存在が予言されている。発見されれば確実にノーベル賞。2Maxwellの方程式に現れる「磁場」 ~B の正式な呼び名。

16 第 1章 序論: 電磁気学 I, IIの目標

Maxwell 方程式とローレンツ力のまとめ (Maxwell (1865))

(I) ~∇ · ~E =ρ

ε0

(1.34)

(II) ~∇ · ~B = 0 (1.35)

(III) ~∇× ~E = −∂ ~B

∂t(1.36)

(IV ) ~∇× ~B = µ0

(~ + ε0

∂ ~E

∂t

)(1.37)

• ~F = q( ~E + ~v × ~B) (1.38)

たったこれだけの式で総てのマクロな電磁気現象が記述できる！！

• 電磁気学 I: (I)

• 電磁気学 II: (II), (III), (IV )

2 巨視的な物体に対する適用 :

実際上の問題では、しばしば物質中における電磁場の問題を扱わなければならない。物質=特別な電荷、電流の配位=複雑な電子-陽子系。これを直接扱うのは不可能であるから、「巨視的な性質」の特徴を抜き出して分類し、近似的な扱いを行う。（その意味で熱力学に似た部分を持つ。）

分類：導体、絶縁体、半導体、超伝導体、誘電体、磁性体、

これらを用いて様々な配位をつくる：

抵抗、コンデンサー、コイル、電池、磁石、etc. → 回路 etc.

下線を引いた項目は本講義で説明する。　

17

第2章 静電場

2.1 Coulombの法則

Coulomb’s law1 (1785) (Cavendish 1772 未発表 )

電荷 q′が電荷 qに及ぼす力：

~F = kqq′

R2R , (2.1)

~R = ~r − ~r′ (2.2)

R =~R

R2, R = |~R| =

√~R · ~R (2.3)

q′ q

O

~r~r′

~R

2 次元と単位 :

次元：

総ての物理量は次の 3つの「基本的次元」の組み合わせからなる「次元」を持っている。

基本的次元: 長さ = L , 時間 = T , 質量 = M (2.4)

以下では量Aの次元を [A]で表す。例：

速度 [v] =

[dx

dt

]=

L

T, 加速度 [a] =

[dx2

dt2

]=

L

T 2, (2.5)

エネルギー [E] =

[1

2mv2

]= M

L2

T 2, 力 [F ] = [ma] = M

L

T 2(2.6)

• 次元はL,M, T のどのような組み合わせかのみが重要であり、係数等は問題にしない。

単位:

各基本的次元をどのような基準で測るかを表すのが「単位」であり、様々な可能性がある。

1イタリア語読みにすれば Columbus. Columbus day (in US) = Oct.12

18 第 2章 静電場

例:

長さ Lの単位： m, cm, km, inch, yard, mile, etc. etc.

単位はいくらでも変えられるが、その量の次元は決して変わらない。

過去に良く使われた単位系= CGS単位系 C=cm, G=gram, S=second

現在良く使われている単位系=MKS単位系 M=m, K=Kg, S=second

2 次元解析とその重要性 :

二つの原則

1. A = Bのような等式がある場合、AとBの次元は必ず等しくなければならない。2. 物理量の次元は、考えている状況に現れる量の次元の組み合わせのみから作られる。

これらの事実を使うと、全く詳細な計算をせずに、答えの形が、定数を除いてわかってしまうことがしばしばある。こうして答えの形を決める方法を「次元解析」と呼び、非常に強力な方法をなす。また答えのチェックをする際に真っ先に次元があっているかを確かめることが重要である。

次元解析の例: 2次元の単振り子の周期 T

l

m

mg

2次元の単振り子に関する量は、振り子の質量 m、長さ l, 重力加速度 g しかない。各々の次元は

[m] = M , [l] = L , [g] =L

T 2(2.7)

これらの量から、T の次元を作り出すには、次の組み合わせしかない

[[g]

[l]

]=

1

T 2⇒ T = c

√l

g, c =定数 (2.8)

これは正しい形をしており、振り子の周期がmに依らないことが一目瞭然にわかる。

2 クーロンの法則に現れる量の次元と単位系 :

2.1. Coulombの法則 19

k及び qの次元は、次の関係が成り立つようになっていなければならない：

[kqq′] = [k][q]2 = [FR2] =ML3

T 2. (2.9)

つまり、kと qの次元は個別には決まらない。従って、便利なスキームをとることを考える。二つの代表的なスキームがある。

1. 三元単位系: kを無次元量にとる。こうすると電荷 qの次元は [q] = M1/2L3/2/T

と定まる。

さらに、kの値を勝手に決める自由度がある。例えば、二つの同じ電荷を 1 m の距離におくとき、及ぼしあう力が 1 ニュートンであったとする。このとき電荷の「値」をいくつと呼ぶかは kをいくらに定めるかに依存する。　逆に言えば、値として定まるのは kqqという積のみであって、個々の値ではない。

次の二つの取り方がよく用いられる。

• k = 1. この場合、力学量に対して CGS単位系を用いることが多い。これを「CGS Gauss単位系」と呼ぶ。このときには、Coulombの法則は簡単な形だが、様々なところに 4π (=単位球面の表面積) が現れる。

• k = 1/4π. 今度は 4πが現れるのはCoulomb則のみとなる。

2. 四元単位系: 三元単位系での電荷の次元は複雑。⇒ 電荷に見かけ上独立な単位を導入する 。実際にはMKS系において、まず電流の単位「アンペア」を定め、それから電荷の単位「クーロン」を定めるやり方がよく用いられる。具体的には次のようにする。

• 1m 離れた同じ強さを持った平行電流の長さ 1mあたりに働く力（磁場によるローレンツ力）が 2× 10−7N であるとき、この電流を 1 アンペアと定める2

2一般の公式は

F = km2I1I2

dl, km =

k

c2= 10−7

20 第 2章 静電場

d = 1m

l = 1m

~F1A 1A

• 電荷の単位 C(Coulomb)

C = A · s (2.10)

• このとき kの単位は Coulombの法則より、[k] = Nm2/C2となる。kの数値としては、この時点では天下りであるが、

k = 10−7c2 = 8.988× 109 (2.11)

c = 光速度 = 2.998× 108 m/s (2.12)

ととる。光速度の値が現れる理由は、後に電磁波を扱うところで明らかになる。さらにこのように定められた kを次のように記す。

k =1

4πε0

(2.13)

ε0 = 真空の誘電率 (dielectric constant) (2.14)

誘電率の意味は、誘電体の理解を必要とするので、本講義では説明しない。

以下 MKSA四元単位系を採用する。

演習 2.1 Coulombという単位は実は非常に大きい。(落雷の放電は数クーロン程度。) 1

Kg, 1Cの２つの電荷をどれほどの距離におくと、地上重力 9.8 N と同じ力になるか。

解 地上重力による力 = 9.8 N

静電気力 = 9× 109 Nm2/R2. これらを等値すると

R =

√9× 109

9.8m

= 3.03× 104 m ' 30 km!

2.1. Coulombの法則 21

演習 2.2 陽子に対して重力とクーロン力の比はどれほどになるか。但し

mp = 1.672× 10−27 kg , ep = 1.602× 10−19 C (2.15)

G = 6.67× 10−11 Nm2/Kg2 (2.16)

解

FC = 9× 109 Nm2

C2

(1.602× 10−19C)2

R2(2.17)

FG = 6.67× 10−11 Nm2

(Kg)2

(1.672× 10−27)2Kg)2

R2(2.18)

q qq FC

FG

' 1.24× 1036 (2.19)

22 第 2章 静電場

2.2 電場の概念と重ね合わせ：連続分布に対する Coulomb

則

電荷 qが他の電荷から Coulomb力を受けている状態を、電荷 qの位置に他の電荷がつくった電場があり、それから qが力を受けるという近接相互作用の考え方を採用する。すなわち、一般に

~F (~r) = q ~E(~r) . (2.20)

力はベクトル的に重ね合わされることを知っているので、力の重ね合わせ の原理から、電場の重ね合わせ の原理が導かれる。これを個々の電荷のつくる電場に対しても適用すれば、

q

qN

q2

q1

~E

~E(~r) =1

4πε0

N∑i=1

qi

R3i

~Ri (2.21)

~Ri ≡ ~r − ~ri (2.22)

を得る。

2 Eの次元と単位 :

F = qEから、[E] = N/C

E = (1/4πε0)q/R2を用いれば、

[E] =1

[ε0]

[Q

L2

](2.23)

2.2. 電場の概念と重ね合わせ：連続分布に対する Coulomb則 23

とも書ける。この書き方は非常に便利であり、電場の次元をチェックするのに使うと良い。

2 連続分布による電場 :

電荷の担い手は電子と陽子であるから、古典的には電荷の分布は離散的である。しかし、量子力学的にはそれらの位置は確率波として解釈されるので、連続的に分布することになり、実用的にも、巨視的物体に対しては連続分布と見なして十分。（というよりむしろその様に取り扱うべきである。）

ρ(~r) = 電荷密度= electric charge density (2.24)

ρ(~r)dV = ~r近傍の微小体積 dV 中の電荷 (2.25)

dV = dxdydz = d3r (2.26) dxdy

dzdV =体積要素

これより、離散的な公式において、次の置き換えをすればよいことがわかる：

qi ⇒ ρ(~r′)d3r′ (2.27)∑

i

⇒∫

(2.28)

従って

~E(~r) =1

4πε0

∫ρ(~r′)

|~r − ~r′|3 (~r − ~r′)d3r′ (2.29)

24 第 2章 静電場

2.3 Coulomb則の簡単な応用

2 例 1. 平面上の一様な電荷分布のつくる電場 :

y-z平面上に面密度 σで一様に電荷が分布しているとする (下図参照)。一様性から、電場を測る位置を x軸上にとっても一般性を失わない。位置 ~r′近傍の微小面積上の電荷 σdy′dz′

がこの位置につくる電場を求める。

2 対称性と次元解析 :

次元解析と並んで非常に重要なのは、考えている系が持っている対称性である。この例の場合、平面上に特別な方向はないから、ゼロでないのはExのみ。また σの次元は [σ] = Q/L2. これはちょうど ε0Eの次元に等しい。従って、

Ex = cσ

ε0

の形にならなければならない。ここで cは無次元量。xの他に長さの次元を持つ量はないから、cは定数である他はなく、Eは xによらない！従って、実際に計算で求めなければいけないのは cの値のみ。

2 実際の計算 :

~r′ = (0, y′, z′) , ~r = (x, 0, 0) ,

q qq ~r − ~r′ = (x,−y′,−z′)

~r

z

y

σdy′dz′

~r′

x

従って、基本式より

~E(~r) =σ

4πε0

∫dy′dz′

(x,−y′,−z′)(x2 + y′2 + z′2)3/2

2.3. Coulomb則の簡単な応用 25

y′ z′のかかっている成分は奇関数の −∞から∞の積分ゆえゼロになる。（これは対称性から明らか。）従って

Ey = Ez = 0

Ex =σx

4πε0

∫dy′dz′

1

(x2 + y′2 + z′2)3/2

2 Scalingの考え :

この種の積分をうまくやるには、次のような scalingの考えを用いて x依存性を抽出してしまうのが良い。

y′ = xu , z′ = xv∫dy′dz′

1

(x2 + y′2 + z′2)3/2=

C

x

ここで C =

∫dudv

(1 + u2 + v2)3/2=数

Cは平面極座標を用いると簡単に求まる：

u

v

a

da

(u, v)

φ

u = a cos φ , v = a sin φ

C =

∫ ∞

0

2πada

(1 + a2)3/2

= π

∫ ∞

0

db

(1 + b)3/2(b ≡ a2)

= 2π (2.30)

従って結局

26 第 2章 静電場

Ex(~r) =σx

4πε0

· 2π

x=

σ

2ε0

= constant (2.31)

Ey = Ez = 0 (2.32)

この結果は後にGaussの法則を用いて再導出する。

演習 2.3 z-軸上に単位長さあたり τ の線密度で一様に分布する電荷がつくる電場を求めたい。

(1) まず、対称性と次元解析を用いて、結果の形を予想せよ。(2) 実際に計算を行って電場を求めよ。

Er(~r)~r

unit length τ

~r = (x, 0, 0)

解 (1) 対称性からゼロでないのは電場の動径方向成分 Erのみで、しかもこれは rの関数となることは明らか。また、次元解析より、τ ∼ Q/L,E ∼ (1/ε0)Q/L2であるから、c

を定数としてEr =

cτ

ε0r

となるはずである。(2) 対称性を考慮すると、x-軸上の点 ~r = (x, 0, 0)で電場 Exを計算すれば良い。

~r = (x, 0, 0) , ~r′ = (0, 0, z′)

q qq ~r − ~r′ = (x, 0,−z′)

Ex =1

4πε0

∫τdz′x

(x2 + z′2)3/2

=τx

4πε0

x

x3

∫ ∞

−∞

du

(1 + u2)3/2(z′ = xu)

=τ

2πε0

1

x

∫ ∞

0

du

(1 + u2)3/2

2.3. Coulomb則の簡単な応用 27

積分は、 u = tan θとおけば容易にできて 1を与える。従って答えは

Er(~r) =τ

2πε0

1

r(2.33)

28 第 2章 静電場

2 例 2. 球面上の一様な電荷分布のつくる電場 :

球の半径 = a、全電荷 = Qとおく。面密度は σ = Q/(4πa2).

対称性から、電場は法線方向成分 Enのみ。無次元量 r/aが存在することに注意すると、次元解析から、次の形が可能：

En =1

4πε0

Q

r2f(r/a)

r →∞では 点電荷に見えるから、f(∞) = 1とならなければならない。

Coulombの法則を使った実際の計算はかなり難しい。(球面の小さな面積要素からの寄与を総て足し合わせる (積分する)ことが必要。) 従って、この計算は省略して、答えだけを示す。

f(r/a) =

1 r > a

0 r < a

q qq En(~r) =

Q

4πε0r2 r > a

0 r < a(2.34)

• この答えは r = aで不連続だが、実際の場合には、球殻には厚みがあるので、その部分で連続的につながる。• 途中の計算は複雑だが、結果は非常に簡単かつ驚異的！r > aの場合はちょうど中心に電荷 Qがある場合の答えに等しい。また球の内部では場は完全にうち消しあう。これは次の節で述べる Gaussの法則から見事に説明される。

2.4. Gaussの法則とMaxwellの第１方程式 29

2.4 Gaussの法則とMaxwellの第１方程式

以上見てきたように、Coulomb則は一般の電荷分布に対して適用できる法則であるが、その直接的適用はかなり煩雑であり、また遠隔作用の形をとっている。そこで、Coulomb則の本質を場の立場からMaxwellの第一方程式として捉えるために新しい見方を開発する。

2 基本的描像 :

Maxwellは電磁気理論を構築する際に、流体力学とのアナロジーを駆使した。その考え方の一つは、電荷を流体の湧き出し口 (あるいは吸い込み口、総称 source)と見立て、そこから湧き出す流体が閉じた面を横切って出ていく際の保存に注目することである。具体的には、次の様な状況を考えることによって 「Gaussの法則」と呼ばれる重要な式を得ることができる。

q

q

2.4.1 Gaussの法則

2 電荷が閉曲面内にある場合曲面上の微小な面積:

dSとそこでの電場（電束密度）の垂直成分 En = ~E · nの積を微小な「電束」(electric

flux)と呼ぶ。面を貫く全電束は

Φe =

∫EndS =

∫~E · ndS . (2.35)

q

dΩ

~E

En

n

r

r2dΩ

30 第 2章 静電場

今、電荷 qを囲む単位球を考え、qと dSのヘリを結んでできる錘がこの球面を横切る際の微小面積を (無限小の)「立体角」 dΩと呼ぶ。通常の角度も実は弧の長さで測っていることを思い出そう。

θ

θ radian1

この定義から、明らかに ∫dΩ = 4π

dS

r2dΩ

θ

図から容易に

r2dΩ = dS cos θ → dS =r2dΩ

cos θ(2.36)

を得る。En = E cos θであるから ( E ≡ | ~E|) 、

Φe =

∫E(~r)r2dΩ (2.37)

ここで Coulomb則を用いると、

Φe =

∫q

4πε0r2r2dΩ =

q

4πε0

∫dΩ

=q

4πε0

4π =q

ε0

(4πがちょうどキャンセルする。) (2.38)

∫~E · ndS =

q

ε0

, (任意の閉局面に対して) (2.39)

すなわち、全電束はその中にある電荷を表している。この結果を得るのにE ∼ 1/r2であることが非常に重要であることに注意。

2.4. Gaussの法則とMaxwellの第１方程式 31

2 この議論のエッセンス :

特に、電荷を球面で囲んだ場合を考えると分かり易い。半径 r′の球面上にある電荷の総量は、面密度を σ′とすると σ′4πr′2。この量が保存しながら拡がっていくと考えると、任意の半径 rに対して σ′4πr′2 = σ4πr2となり、しかも、r′ → 0の極限を考えると、これは全電荷 qに等しい。次元解析からE ∼ q/ε0L

2 = σ/ε0。従って、

q = ε0E4πr2

q qq E · 4πr2 =q

ε0

(2.40)

32 第 2章 静電場

2 電荷が閉曲面の外部にある場合 :

dS1

~E(1)

~E(2)

dS2

q

dΩ

nが外向き法線方向であることに注意して、

∫EndS =

∫E(1)

n dS1︸ ︷︷ ︸(q/4πε0)dΩ

− E(2)n dS2︸ ︷︷ ︸

(q/4πε0)dΩ

= 0 ←同じ立体角の積分に帰着するゆえ

以上より、一般の電荷分布に対しては重ね合わせの原理を用いて、次の結果を得る：

Maxwellの第一方程式の積分形

∫

∂V

~E · ndS =1

ε0

∑i

qi =1

ε0

(V 中の電荷の和 )

=1

ε0

∫

V

ρ(~r)d3r

∂V = V の境界面

2.4.2 Gaussの法則による電場の計算

Gaussの法則は、形がきれいで意味も分かりやすいだけでなく、ある条件のもとで、電場自体の計算に絶大な威力を発揮する。

2.4. Gaussの法則とMaxwellの第１方程式 33

2 条件: :

系の対称性から適当な閉曲面上で場が一定でそのため面積分の外に出せること。すなわち、

∫

∂V

~E · ndS = En

∫

∂V

dS = EnS =Q

ε0

q qq En =Q

ε0S(2.41)

2 例 1. 球面上の一様な電荷分布がつくる場 :

この際の電場は、既にCoulomb則を直接用いて求めたが、Gaussの法則を用いるとはるかに簡単に計算できる。対称性から、電場は動径方向成分しか持たず、しかもその大きさは rにのみより、角度によらない。これを E(r)と書いてGaussの法則を適用すると

∫

S

EndS = E(r)4πr2

=

Q/ε0 if r > a

0 if r < a

q qq E(r) =

Q

4πε0r2 if r > a

0 if r < a

Qa

r

~E(~r)

演習 2.4 半径 aの一様に帯電した球がつくる電場を求め、その大きさをグラフで示せ。特に球の内部ではどうなるか。 a

全電荷 Q

34 第 2章 静電場

解 全電荷を Qとする。外部では前例と同じ。内部では、半径 r以内の電荷が Q(r/a)3

であることから

E(r) =1

4πε0

Q(r/a)3

r2=

Q

4πε0

r

a3(2.42)

となり、rに linearに増大する。

a

Q/(4πεa2)

E(r)

r

2 例 2. 無限に長い直線上の一様な電荷分布のつくる場 :

線密度を τ とする。右図において対称性から Eは r方向であるから上下面からの寄与はゼロであり、積分は円筒の側面積のみ考えればよい。従って

ε0

∫EndS = ε0E(r)2πrl = lτ

q qq E(r) =1

2πε0

τ

r(2.43)

電荷 τ l

rEr

l

すなわち、電場は 1/rでしかおちない。この直観的な理由は次のとおり。z方向に系は一様であるから、あたかもその方向の次元がなくなり、２次元の世界で点電荷がつくる電場を求めるのと同じになる。（実際 lは両辺でキャンセル。）従ってGaussの法則の積分は4πr2を出さずに、円周 2πrを出す。これは２次元性から電束が拡散する次元が減ったため電場が弱らないことを表す。

演習 2.5 y-z平面に一様に分布した電荷がつくる電場を求めよ。

2.4. Gaussの法則とMaxwellの第１方程式 35

解 面密度を σとする。電場は面に垂直。両側の面からの寄与を正しく考慮して Gaussの法則を適用すると

ε0

∫EndS = 2× ε0E(x)S = σS

q qq E(x) =σ

2ε0

= constant (2.44)

これは１次元上の点電荷のつくる電場とも見ることができる

S

x Ex

演習 2.6 半径Rの無限に長い円筒の側面上に、電荷が一様な面密度 σで分布しているとき生ずる電場を求めよ。

解 軸対称性から、Er成分のみゼロでない。半径 r、長さ lの閉じた円筒面で囲んだ領域にガウスの法則を適用すると、r > Rの場合： この領域内部にある電荷の総量は q = 2πRlσ。一方電束は Er × 2πrl。従って

Er =σR

ε0r

r < Rの場合： 内部には全く電荷がないので Er = 0。

2.4.3 Gaussの定理

Gaussの法則は面積分と体積積分の間の関係を与えているが、ここから、局所的に各点で成り立つ法則を引き出すことによって Maxwellの第一方程式（の微分形）を得ることができる。これを可能にするのが、数学の定理としての「Gaussの定理」である。（一般に「 Stokesの定理」と呼ばれるものの３次元での形。）本質は、Gaussの法則の左辺の面積積分を体積積分になおすところにある。

2 Gaussの定理 :

~E(~x)を一つのベクトル場、V を有限な３次元領域、 ∂V をその境界面、とするとき

36 第 2章 静電場

∫

∂V

~E · ndS =

∫

V

~∇ · ~E d3x (2.45)

~∇ · ~E =∂Ex

∂x+

∂Ey

∂y+

∂Ez

∂z

=∑

i

∂iEi

V∂V

En

証明： 対象となる領域を小さな直方体に分割して考える。まず x方向成分に着目する。全体としてこの直方体から x方向に外に出ていく ~Eの fluxは

Φx =

∫

S′1

Ex(x + ∆x, y′, z′)dy′dz′ −∫

S1

Ex(x, y′, z′)dy′dz′

∫

S1

=

∫ ∆y

0

dy′∫ ∆z

0

dz′ (2.46)

y′, z′を y, zのまわりで展開して微少量は無視すれば

Φx ' [Ex(x + ∆x, y, z)− Ex(x, y, z)] ∆y∆z

=∂Ex

∂x(x, y, z)∆x∆y∆z (2.47) (x, y, z)

Ex(x + ∆x, y′, z′)

Ex(x, y′, z′)

∆z

∆y

∆x

S1

S2

従って、y, z方向に出ていく fluxも加えれば、この直方体に関して∫

~E · ndS =

(∂Ex

∂x+

∂Ey

∂y+

∂Ez

∂z

)∆V (2.48)

微小直方体を寄せ集めてもとの領域全体を構成すると、その表面以外では左辺は打ち消しあうから、結局任意の V に対して Gaussの定理が成り立つことがわかる。

2.4. Gaussの法則とMaxwellの第１方程式 37

2.4.4 Maxwellの第一方程式の微分形

上記 Gaussの定理を Gaussの法則の左辺に適用すると∫

∂V

~E · ndS =

∫

V

~∇ · ~Ed3x

=1

ε0

∫

V

ρd3x (2.49)

これが任意の V に対して成り立つから、被積分関数が一致しなければならない。こうして我々は Maxwellの第一方程式を得る：

~∇ · ~~E =ρ

ε0

(2.50)

Coulomb則はこの微分方程式の解として得られることになる。これについては「電位」の概念を導入した後に述べる。

まとめ

Coulomb

Gauss Maxwell 1st eq