用软件工具提高线性代数教学水平

项目实施报告

改革的缘由

• 现在的线性代数教学大纲存在着重大的缺陷，主要是没有把“需求牵引”和“技术推动”作为动力：

• 1。不能满足工科后续课的需求，按所教的

方法后续课无法用来解高阶、复数的矩阵题目；后续课普遍不用线性代数解题。

• 2。线性代数不用计算机解题，不联系应

用，不符合课程现代化的要求，落后于美国十多年；

工科后续课能用而不用矩阵的调查（给数学教指委的建议书中列出）

（物理）实验

机器人学传热学

机械振动数值计算方法

自动控制原理材料力学

系统动力学理论力学

数字信号处理电路

信号与系统高等数学

计算机图形学化学

一些典型的应用(1)• 静力学中的核心是平衡方程，一个空间物体有6个平衡方程，就是n=6的线性方程组,两个刚体相联，方程数n就加倍；

• 电路课中稳态电路核心是基尔霍夫方程，n个节点（或回路）就有n个方程，交流电路更是复数方程。

• 线性代数教的手工解法解决不了，只好不用，还是用中学的代入法，这就是现状。后续课中要算的n都大于3，现代的科学计算问题n达到几百、几千，不教计算机结果是统统不用矩阵，简单的用中学的方法，复杂的只好不算。

静力学模型

1 0 0 0 1.0000 0 0 1 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 -0.5000 0.8660 0 0 1 0 -1.0000 0 0 0

=A

0 95.0962 200.0000 154.903

86.6025, ,

0 0 1 0 -1.0000 100.0000

0 0 0 0 0.7071 0.7071 -35.3553

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

B X

8 -95.0962 145.0962 -95.0962 45.0962

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

交流电路模型

o

Is

[ ]

a1 2 2

b s2 2

11

1 1 10

11 1 1

0.5 0

01

0 1

L

UZ Z Z

U IZ Z Z

IZ

+ −

− − − = ⇒

−

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

AX = BIs

s1 2 2

1 1 1a bU U I

Z Z Z⎛ ⎞

+ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

12 2

1 1 0.5ba b

L

UU U IZ Z Z

− + = +

11

1aU I

Z=

典型的应用(2)• 计算信号流图传递函数公式。在传统的教材中，都向学生

介绍梅森公式，这个公式是以图论为基础的，既没有证明，计算又极繁琐，后面根本不用，但几十年就是这样讲下来的。其实线性系统的任何复杂信号流图都可以严格地用矩阵表示，写成：

• 其中，有N个信号，方程就有N个，矩阵就有N阶

• 很容易得出传递函数W的公式：

• 靠手算，这个N 阶矩阵求逆的运算，谁都不敢碰。但若用MATLAB算，很复杂的系统，这个式子不过几秒钟就出结果了，既有严格理论，又可快速计算，比梅森公式强得多。它的前提是，学生会用计算机解线性代数问题，学生的数学基础是符合现代化标准的。

X = QX + PU

-1W = X/U = (I -Q) P

一个信号流图的实例

( )3 1 2 2 1

3 2 1 1 2 2 3 1 3 1 2 3

21

KG G G G GW

G G G G G G G G G G G G+ +

=+ + + + + + +

1

2

3

4

5

6

7

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 -1 0 0 0 0 G1 0 0 0 0 0 0

1 0 1 0 -1 0 0 0 0 0 0 G2 0 0 0

xxxxxxxy

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

X = QX + PU, X Q

1000

, =0 0

0 0 1 0 1 0 -1 0 00 0 0 0 0 G3 0 0 00 0 0 0 0 0 K 0 0

*inv

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

P

W = X/U = (I - Q) P

1 2 3 2

3 2

4 3 2

3 4, , K=51 2 5 6

s +15s +47s+12W=52s +26s +109s +170s+50

s sG G Gs s s s

+= = =

+ + + +若： ，

可得：

应用(3)频谱的计算

• 把DFT写成矩阵形式：设

• 通常N=1024,记作：

• W矩阵是1024×1024阶的，106个元素

• 输入技巧:列×行

1 2 1

2 4 2( 1)

1 2( 1) ( 1)( 1)

1 1 1 1(0) (0)1(1) (1)

1

( 1)] ( 1)1

NN N N

NN N N

N N N NN N N

X xW W WX x

W W W

X N x NW W W

−

−

− − − −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⋅X = W x

2 /j NNW e π=

应用(4) 最优FIR滤波器设计

归结为解以下的超定线性方程组求d

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

8

7

6

5

4

3

2

1

8888

7777

6666

5555

4444

3333

2222

1111

d(4)d(3)d(2)

)1d()0d(

4cos3cos2coscos14cos3cos2coscos14cos3cos2coscos14cos3cos2coscos14cos3cos2coscos14cos3cos2coscos14cos3cos2coscos1

4cos3cos2coscos1

DDDDDDDD

ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω

应用(5) 坐标测量仪测园直径

• 测圆周上7点，归结为求超定方程最小二乘解c -6.0000 6.0600 1.0000 -4.0000 7.8000 1.0000 -2.0000 8.7000 1.0000 0 9.0000 1.0000 2.0000 8.8000 1.0000 4.0000 8.0400 1.0000 6.0000

⇒Ac = B1

2

3

2 23 1 2

18.1809 19.2100 19.9225 20.2500 20.3600 20.1604

6.5200 1.0000 19.6276

ccc

r c c c

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= + +

-1c = (A'* A) (A'*B)

矩阵在科学计算中的重大意义• 矩阵是组织海量数据进行运算的最好的数学方法如果矩阵

运算仍然用单个元素运算来完成，那末人们宁愿用代入法或消去法等中学方法。至少它可以省掉一些运算量。

• 要使矩阵运算带来实际的好处，必须要有能进行海量数据运算、处理、绘图的工具，笔算无法显示矩阵优势，只有靠计算机。

• 如果计算机每次只对两个数进行运算，那它的效率和计算器差不多。计算机的优势只有在数据批处理中才能显示。

• 会矩阵不会计算机，是瘸子；会计算机不会矩阵，也是瘸子，要把两者的优势结合起来，才算真正进入了科学计算的殿堂。线性代数能完成这一点，对大学生，对现代化，将是功德无量！

国内外教材简要对比

24MATLAB≈300548×16开

Lay [3]

几年改一次，热情给出修订理由和网上帮助。

33MATLAB>100545×16开

Leon[2]

没有0没有6196×32开

同济[1]

修订思想（序言）

工程应用实例

计算软件图

(张)篇幅

说明我国教材的三个弱点

1。不注意从几何图形引入线性代数的概念，不用图说明问题。

2。不使用现代化计算工具，使得解题的范围无法扩大。

3。不联系应用实际，不了解科学和工业现代化对线性代数的需求。不能激发学生学习的热情。

国内的线性代数改革，多侧重于课程内部概念的讲法，但缺少两点：一是不注意与应用、与后续课等外部的关系的改革，二是不注意引进新技术，没有用现代化的计算和教学工具。这正是我们常讲的引领科技发展的两个动力：“需求牵引”和“技术推动”。少了这两点，创新的新思想、新课题就没法诞生。

新旧线性代数内容覆盖图

大纲改革后的解题指标

1。解6元以上的实数线性代数方程组（力学）；

2。解3元以上的复数线性代数方程组（电路）；

3。会进行3阶以上的信号流图传递函数计算，即学会做文字变量的求逆运算；（信号与系统）

4。进行6阶3元以上超定方程组的求解；

• 这是指教材中控制的例题和习题的深度，我们觉得，线性代数达到这个水平，与后续课就可以实现无缝衔接了。

• 实际上，只要学会使用计算机编程以后，阶数是没有上限的。

补丁书《线性代数实践…》• 补充的内容为：

• 1。后续课和工程中的应用实例；

• 2。线性代数中所有概念的几何形象,甚至动画；

• 3。解各种线性代数问题的MATLAB程序；

• 4。适合计算机算的习题。另外就是MATLAB语言入门。它的宗旨是实现下面三句口号：

• 线性代数抽象吗？看了本书后，你会知道它的概念都基于空间形象。

• 线性代数冗繁吗？学了本书后，你会懂得它的计算全藉助简明程序。

• 线性代数枯燥吗？读了本书后，你会发现它的应用极其广泛又精彩。

美国的做法

• 1990年开始，先组成了线性代数课程研究组(Linear Algebra Curriculum Study Group-LACSG)。8月，他们和工程界的代表，共同提出了几条建议，简称为LACSG Recommendations：要点是：(i)，线性代数课程要面向应用，满足广大的非数学专业学生的需要；(ii)，它应该是面向矩阵的; (iii)，它应该是根据学生的水平和需要来组织的；(iv)，它应该利用最新的计算技术;(v)，对数学专业要另设课程提高其抽象性。

• 1992年NSF又资助了一个ATLAST计划，ATLAST是Augment the Teaching of Linear Algebra using Software Tools (用软件工具增强线性代数教学)的缩写。该计划在1992 到 1997 六个暑期组织了许多学习班。使大批教师接受了科学计算语言的培训。从而在全国推动了线性代数与计算机的结合。

本项目工作过程（2005）• 2005年5月～8月写出了《线性代数实践与

MATLAB入门》，

• 2005年9月在学校的支持下办了40余人的线性代数教师培训班，以稿为教材，讲8节课。并举行座谈，听取反馈意见。

• 2005年11月，在一个学生班中试点加1学分的“线性代数实践”。也收集反馈。

• 这两项试点的结果都反映在2006 年4月给教指委的建议书中。

试用的方法和效果

• 我校利用这本书的初稿在全校线性代数老师办了一次培训班，给参加培训的老师计工作量，因此参训老师踊跃。在学生班中也作了加一个学分“线性代数实践”的试点，收到了很好的反映。

• 书的用法是在线性代数课中加一个《线性代数实践》学分，在线性代数上到一半的时候开设。1学分，15学时，其中讲课10学时（MATLAB 4学时，线性代数实践 6学时）上机10机时（5学时）。考试成绩按10~15%计入线性代数总分。

教师培训班的部分反映（见‘培训班部分成员谈学习体会）

培训班40名教师，有27名写了心得，普遍盛赞引入软件和实践的好处。见给教指委建议书。

“老师不能只抱着一本规定的教材上课，必须看外国的最新教材和发展趋势，并从历史的观点分析差距产生的原因和克服的办法；必须了解后续课如何用线性代数，要更多地了解线性代数在工程中的应用。这次培训班和这本实践教材的最大贡献是在这个方面。”

“在当前条件下，可以改革的地方应该先做起来。比如用本教材中的应用实例使学生提高学习的目的性和积极性，充分利用二维、三维的空间形象强化学生的感性认识；在计算能力方面，目前马上让全部学生大量使用MATLAB有一定困难，但至少要告诉同学哪些工作应该由计算机来完成，”

05届学生反映举例

• 一边学理论，一边学实践，让我们在其他同学面前多了一份自豪！欣慰之情难以言表！ 自豪只是内心之感，学这们课的最大体会是多了一技之长！学以制用，此为学的目的：学 matlab让我深刻地体会到了学习线性代数的用途所在，为此解除了困惑，有了学习的动力。

• 这门课对我们很有用，可惜只有我们班开课，应推广至全部同学。

• 最好能增加上机次数，以后每学期最好也能开几次课。不然就忘了，白学了！

• 在2008年初，对这个已是三年级的班又重做了调查，对“线性代数实践”课程仍然反映很好。97％学生认为线性代数应该笔算、机算都会，才能解决实际问题。线性代数实践教给他们很有用的能力。而且反映学习机算并不难。另外，反映后续课没有很好用机算使他们无用武之地。

08年1月对05班学生重新调查

• (7)你觉得学生学完线性代数课后应该：(a)。只会用笔算就够了；(b)。只会用计算机算就行了；(c)。笔算、机算都会。 请说明理由；

答： 2人答 (a), 8人答(b), 80人答(c), 未答 4 • (9)增加计算机算题的内容对教师费不费时？大概要增加多

少学时？对学生掌握起来难不难？会帮助还是削弱理论理解？

答：不难， 8～10学时，能帮助理解。编程有困难，要有多练的条件。

• (13)你在其他哪些课程中曾用计算机解过题？用什么语言？对学校做好“提高教育现代化水平”的其他建议。

答：数值算法，C语言，MATLAB语言，

工作过程（2006）一是编写一本兼讲理论与实践的教材

二是在学生班中扩大试点：

• （1）在小学期开“线性代数实践”选修课（不理想），

• （2）在本硕班（240人）的线性代数课中加“实践”内容；（用“实践”教材）

• （3）在技术物理学院选一个班（100人），在线性代数课中加“实践”内容；（试验新编教材的胶印本）

三是努力取得教育部的支持。一个学校改受到很大的牵制，如考研，统考标准… 等。因此，通过理工科处找到了教指

委，提出建议，得到支持。

工作过程（2007）1。在总结2006胶印教材的基础上，编写了正式教材《工程线性代数（MATLAB版）》，2007.7由电子工业出版社正式出版。

2。教材出版后，迅速作出课件；

3。争取了分教指委的基金项目。

4。继续在本科班进行试点，特别是为了检验教材的

适用性。除正式安排了三个班试点外，在普通班也介绍这本书作为参考书。

5。对试点学生的效果进行调查。

用MATLAB的教材优越性何在

根据两年的实践，我们在新书中又把其特点归纳为四个方面，即四个主要特点：

1。所有概念都从几何图形引入，做到抽象与形象的结合；

2。一切繁琐计算都有简明程序，推动笔算与机算的结合；

3。大量实例诠释了课程的价值，实现理论与实践的结合；

4。能与后续课的需要紧密衔接。

考虑到部分教师和学生工程基础不足，把与后续课有关的内容移到最后一章，可以选修。

关于抽象与形象的结合① 三元方程组解的几何意义（适定、超定与欠定）；

② 两个向量的行列式是它们组成的平行四边形的面

积；

③ 三个向量的行列式是它们组成的平行六面体的体

积；

④ 二维、三维向量线性相关和线性无关的几何意义；

⑤ 平面（二维）线性变换的几何特征及其意义；

⑥ 三元齐次方程基础解系的几何特征；

⑦ 二元超定方程最小二乘解的几何表述；

⑧ 二次型化为标准型的不同方法的几何解释

关于笔算与机算的结合① 矩阵的赋值和其加、减、乘、除（求逆）命令；② 矩阵化为最简行阶梯型的计算命令；[U0,ip]=rref(A)③ 多元线性方程组MATLAB求解的几种方法；x=inv(A)*b,

U=rref(A)④ 行列式的几种计算机求解方法；

D=det(A),[L,U]=lu(A);D=prod(diag(L))⑤ n个m维向量组的相关性及其秩的计算方法和命令;

r=rank(A),U=rref(A)⑥ 求欠定线性方程组的基础解系及超定方程解的MATLAB命

令；xb=null(A)⑦ 矩阵的特征方程、特征根和特征向量的计算命令；

f=poly(A);[P,D]=eig(A)⑧ 化二次型为标准型的MATLAB命令；yTDy=xTAx; 其中

y=P-1x,

关于实现理论与实践的结合

• ① 多项式插值系数的计算

• ② 平板稳态温度的计算

• ③ 交通流量的分析

• ④ 成本核算问题

• ⑤ 图及其矩阵表述

• ⑥ 网络的矩阵分割和连接

• ⑦ 弹性梁的柔度矩阵

• ⑧ 用行列式计算面积

关于实现理论与实践的结合(续)

• ⑨ 化学方程的配平

• ⑩ 减肥配方的实现

• ⑾ 刚体平面运动的计算和绘图

• ⑿ 混凝土配料中的应用

• ⒀ 圆锥截面二次型方程插值问题

• ⒁ 人口迁徙模型

• ⒂ 物料混合问题（用到微分方程）

关于与后续课应用的衔接

① 用线性代数解直流电路举例② 用线性代数解交流电路举例③ 用线性代数解线性系统中常微分方程的举例④ 用线性代数解线性系统中信号流图的举例⑤ 用线性代数求数字信号处理中的系统函数举例⑥ 用线性代数解静力学问题的举例⑦ 用线性代数解运动学问题的举例⑧ 用线性代数解机械测量学问题的举例⑨ 用线性代数解文献管理问题的举例⑩ 用线性代数解经济管理问题的举例

以上四个特点的综合

• 这大体可反映在“导读与意见反馈表”中• 这张表表明了新教材与传统教材内容的主要差别，或者说新教材增加的内容。这里列出了40条左右，其实因表的篇幅限制，这还是不完全的统计，比如奇异值分解、计算精度和速度的讨论等新内容都未列入。理论上增加了超定方程的解，那是工程上极有用的内容。

• 因此对于大学新生自学阅读参考书而言，本书也是非常有价值的。

学生的反映• 对三届试点班的民调都显示，学生都反对只教笔算，对试

点中自己学会机算非常自豪。其主要好处：①。学以致用，有目的，有兴趣；②。建立空间概念，加强了理解；③。节省了算题时间，可以多看书和思考；④。会解任意高阶题目，对后续课很有用处。

• 在全校理论统考对比中，试点班的成绩就远高于普通班，并没有发生学生因使用计算机而偷懒的问题；相反，却因提高了感性认识和学习兴趣而对理论理解更深了

• 实践能力的差距就更大了。普通班只能笔算三阶以下简单的实数方程组，对试点教材中几十道应用题可望而不可及，而试点班却能用计算机快速解出这些高阶的复数乃至超定方程组的问题。这就实现了线性代数与后续课（力学、电路、信号与系统、信号处理、自动控制等课程）的无缝衔接，也给后续课的机算创造了条件。

关于实施方法的试验

• 在试点中，我们试验了“小学期单独开线性代数实践课”和“在理论课中结合教实践”的两种方法，确认前一种方法费时费力，效果不好，因为实践与理论时间相隔太久，起不到互相促进的作用，予以否定；

• 我们也试验了两种不同教材，一是两本教材，即原理论教材加《线性代数实践》，二是用理论实践结合一体的《工程线性代数》教材。我们觉得两种方法都行，前者可保持教师原有讲课习惯和教案，减轻备新课的工作量；后者可减轻学生经济和阅读负担。我们为两种教材都提供了网上免费下载的程序集和电子课件。

学生非常欢迎此课

• 线性代数实践课程不仅在当时就引起学生的极大兴趣，使他们在中学走进大学时看到了现代化的学习手段如何提高效率，同时为他们学好其他课程提供了很好的工具。在两年之后，他们对这一改革所带来的好处仍然记忆犹新，想着它所带来的好处。可见推广这一做法，必然能给学生的学习效率和质量带来很大好处。进一步在后续课中使用矩阵、使用MATLAB，将能使这一改革扩大影响，使机算更多地用到电路、信号与系统、数字信号处理等课程中，有助于提高整个教学计划实施的质量。

对本项改革的自我评价

• 我们认为，上述方案已经克服了原线性代数大纲中的两个主要弱点，它既能提高课程本身的教学水平，又能实现与后续课程需求的无缝衔接，可以达到双赢的效果。有很好的推广价值。我们也创造了推广所需的教材、课件、程序集等基本条件，可以推广。没有别的风险，只是要多化一个学分，而其中MATLAB本来都要学的，在线性代数上多化的时间不过4～6学时。

推广中要解决的问题（1）• ①教师问题，由于办了教师培训班，我校推广此成果的师

资条件基本具备。但有少部分教师，数学软件和工程知识不足，还需抓紧提高才能胜任。如果要在其他院校推广，则教师培训是必须解决的第一个问题。

• ②机房问题，学生试点中，上机时间就没达到课程大纲的要求，如果扩大试点面，装机量必须增加，并组织好。

• ③政策问题，有些教师在旁观地位赞同这项改革，但要亲身参加则不积极。因为抓实践教学要付出较多劳动，收入可能反而降低，希望学校要有鼓励改革、创新、加强实践能力培养的政策。最主要的是要把改革后的要求（即学生必须兼会笔算和机算）列为常规，并有考核才行。在全国，就希望教指委把这个要求列为标准，才能推动线性代数课程的现代化。

推广中要解决的问题（2）• ④建网问题，如要推广本项目，应付数千名本校师生乃至全国各校师生对程序课件的需求，网络是必不可少的；

• ⑤后续课机算，对学过线性代数实践的学生， 其后续课中的矩阵运算就有了机算条件，应组织后续课多用矩阵、多用机算，充分扩展线性代数课程改革对教学计划的促进作用。

• ⑥教学改革的研究也要继续做，如何精简一些理论内容，减少课时。

• 以上大部分问题是需要学校领导考虑解决的，作为教师只能起呼吁和提醒的作用而已。

用积极的态度进行改革• 胡锦涛总书记在十七大报告中明确提出了“提高教育现代化水平”的任务，为教育改革和发展指明了方向。教育战线必须抓这个问题。我认为“教育现代化—要从基本教学工具现代化开始”。大学课程的现代化，线性代数起着特别的作用，我们已经试了三年，是加快推广的时候了！

• 另一方面，数学基础课程的改革既要积极，又需要特别的慎重。所以，非常希望得到基础数学教指委各位专家的指教。一是帮我们在顶层争取更大支持，例如在统考等方面，要兼有理论和实践的要求等，二是帮我们想到任何可能被忽视的问题，避免片面性，少走弯路。

谢谢各位专家和领导！

请多提宝贵意见！

正交变化和配方法特征向量的比较