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書泉講義2018/6/14スーパー双子素数 , フェルマー素数のファミリ
飯高 茂
平成 30 年 5 月 8 日
1 出版記念会での問題
平成 30年 3月 8日 (木)に行われた『完全数の新しい世界』の出版記念会での講演で提出した問題は次の２つであった.
1.1 スーパー双子素数
整数 (a > 0, b) に対して p = aq + b とおくとき p, q がともに素数なら (p, q)を超双子素数という.
1. 超双子素数が無限にある a, b はどんな条件を満たすか
2. 超双子素数が有限個の a, b は存在するか
3. 与えられた (a > 0, b) に対して超双子素数を無限に生成する方程式 ( σ(a),φ(a) を用いてよい) を作れ
1.2 ウルトラ３つ子素数
整数 (a > 0, b, c > 0, d) に対して p = aq + b, r = cq + d とおくとき p, q, r がともに素数なら (p, q, r)をウルトラ３つ子素数という.
• ウルトラ３つ子素数が無限にある a, b, c, d はどんな条件を満たすか
• ウルトラ３つ子素数が有限個の a, b, c, d は存在するか
• 与えられた (a, b, c, d) に対して超双子素数を無限に生成する方程式 ( σ(a),φ(a) を用いてよい) を作れ
1
高橋洋翔の解答.
1)
a+ b ≡ 1 mod 2, a, b は互いに素a = 1, b = Q− 2(Q:奇素数)
超双子素数を生成する方程式はφ(aφ(q) + a+ b) = aq + b− 1
(q, p = aq + b はともに素数)
2)
a+ b ≡ 1 mod 2, a, b は互いに素, c+ d ≡ 1 mod 2, cd は互いに素.
ただし b ≡ 0 mod 3 : (水谷一による修正)
(a = c = 1, b+ d ≡ mod6 は除く)
a = b = c = 1, d = 3
φ(aφ(q) + a+ b) + φ(cφ(q) + c+ d) = (a+ c)q + b+ d− 2
(q, p = aq + b, r = cq + d はともに素数)
2 ウルトラ三つ子素数の除外条件
水谷一さんはウルトラ三つ子素数の除外条件をより精密にすることを提案した
注意 1 (水谷一,除外条件の精密化). ac ≡ −bd ≡ 0 mod 3
Proof
I. a ≡ c ≡ 1 mod 3 のとき bd ≡ 2 mod 3.
i. b ≡ 1, d ≡ 2 mod 3.
p = aq + b ≡ q + 1 mod 3. r = cq + d ≡ q + 2 mod 3.
q ≡ 1 mod 3 なら r ≡ 0 mod 3. r = 3.
q ≡ 2 mod 3 なら p ≡ 0 mod 3. p = 3.
例 a = 1, b = 4, c = 1, d = 2
解 :
q= 3 tab p= 7 tab r= 5
ii. b ≡ 1, d ≡ 2 mod 3 略III. a ≡ c ≡ 2 mod 3 のとき bd ≡ 2 mod 3.
i. b ≡ 2, d ≡ 1 mod 3.
p = aq + b ≡ 2q + 2 mod 3. r = cq + d ≡ 2q + 1 mod 3.
q ≡ 1 mod 3 なら r ≡ 0 mod 3. r = 3.
q ≡ 2 mod 3 なら p ≡ 0 mod 3. p = 3.
例 a = 2, b = 1, c = 2, d = 5
解 :
q= 3 tab p= 7 tab r= 11
2
3 状況説明
超双子素数の概念はスーパーオイラー完全数の研究上でてきたものである. a, b があるとき q, p = aq + b がともに素数となる場合 (超双子素数)が無限にあるか? は自然な問いかけとなった. しかし,これほど一般化して例外の場合はあるにせよ無限に超双子素数が無限にあるという問いかけ自身は荒唐無稽なものと言われそうだと思った.
詳しい検討は後回しにしていたが 2018年 3月 8日に書泉グランデで『完全数の新しい世界』の出版記念会をすることになりと超双子素数の発表を軸にして１時間の講演を組み立てることにした.講演の予稿ができたので前日に高橋君に予稿を添付によって送付しておいた. 翌朝になってメールを調べたが,高橋君からの返事は特に無かった. 超双子素数の発表とともに高橋君の結果を報告したら,聴衆がみな感心するだろうと考えてはいたのだが.
そうは問屋が卸さなかった.
しかし翌日の夕方に超双子素数とウルトラ３つ子素数に関する問題への解答が ipad を通して彼から送られてきた.それは想像以上にすばらしい解答だった.
超双子素数とウルトラ３つ子素数が無限にでてくる条件を求めることが問題だが彼の解答は,素数が有限個になる条件をいくつか与えている.
彼は素数が有限個になるいくつかの条件を満たさない場合は素数が無限にあると確信しているのだろうと思った.
若い人は大胆だなと私は思った. さらに,水谷一さんはウルトラ３つ子素数が有限個になる条件をより精密にした.
3
a = 1, b = Q− 2(Q:奇素数) のとき, p = q + (Q− 2) は q = 2 なら p = Q :素数 q > 2
が素数なら奇数なので p = q + (Q− 2) は偶数になる.
これは自明な反例である. この他に反例はないらしい.
φ(a) による解答
twin_primes(a,b,aa,bb):= for q:aa thru bb
do(w:totient(a*totient(q)+a+b)-(a*q+b-1),
if w=0 then (p:a*q+b, print(q,"=",factor(q),"tab",p,"=",factor(p))) else 1=1);
super_triplet(k,l,s,t,aa,bb):= for a:aa thru bb
do(if primep(a) then (b:k*a+l,(if primep(b) then
(c:s*b+t, (if primep(c) then print(a,"tab",b,"tab",c) else 1=1))
else 1=1)) else 1=1);
σ(a) による解答
twin_primes_sigma(a,b,aa,bb):= for q:aa thru bb
do(w:divsum(a*divsum(q)-a+b)-(a*q+b+1),
if w=0 then (p:a*q+b, print(q,"=",factor(q),"tab",p,"=",factor(p))) else 1=1);
p=3q-2
3 = 3 tab 7 = 7
5 = 5 tab 13 = 13
7 = 7 tab 19 = 19
11 = 11 tab 31 = 31
13 = 13 tab 37 = 37
23 = 23 tab 67 = 67
37 = 37 tab 109 = 109
43 = 43 tab 127 = 127
47 = 47 tab 139 = 139
53 = 53 tab 157 = 157
61 = 61 tab 181 = 181
67 = 67 tab 199 = 199
71 = 71 tab 211 = 211
4
triplet_primes_sigma(a,b,c,d,aa,bb):= for q:aa thru bb
do(w:divsum(a*divsum(q)-a+b)+divsum(c*divsum(q)-c+d)-((a+c)*q+b+d+2),
if w=0 then (p:a*q+b,r:c*q+d, print("q=",q,"tab","p=",p,"tab","r=",r)) else 1=1);
p=q+2,r=2q+3
q= 5 tab p= 7 tab r= 13
q= 17 tab p= 19 tab r= 37
q= 29 tab p= 31 tab r= 61
q= 137 tab p= 139 tab r= 277
q= 197 tab p= 199 tab r= 397
q= 227 tab p= 229 tab r= 457
q= 269 tab p= 271 tab r= 541
q= 599 tab p= 601 tab r= 1201
q= 617 tab p= 619 tab r= 1237
q= 659 tab p= 661 tab r= 1321
q= 809 tab p= 811 tab r= 1621
q= 827 tab p= 829 tab r= 1657
q= 1277 tab p= 1279 tab r= 2557
q= 1427 tab p= 1429 tab r= 2857
q= 1607 tab p= 1609 tab r= 3217
q= 2027 tab p= 2029 tab r= 4057
q= 2087 tab p= 2089 tab r= 4177
q= 2129 tab p= 2131 tab r= 4261
q= 2309 tab p= 2311 tab r= 4621
q= 2549 tab p= 2551 tab r= 5101
q= 2789 tab p= 2791 tab r= 5581
4 History
wiki にはいろいろ関連した素数の対が載って入る.
1. Twin primes :p, q = p+ 2 がともに素数.
2. Triplet primes :p, q = p+ 2(または p+ 4), r = p+ 6 が素数
3. Cousin primes :p, q = p+ 4 がともに素数
4. Sexy primes :p, q = p+ 4 がともに素数
5. Sophie Germain primes :p, q = 2p+ 1がともに素数
5
6. Safe primes : p, q = (p− 1)/2 がともに素数
7. Balanced primes :q = p− n, p, r = p+ n (n は偶数)
6
5 フェルマ素数のファミリ
完全数とは σ(a) = 2a を満たす自然数 a のことである. ここで σ(a) は 自然数 a の約数の和を表す.
さて, 与えられた 整数 m に対して平行移動 m の完全数とは σ(a) = 2a−m を満たす自然数 a のことである. 平行移動 mの完全数は m によってさまざまな形を見せるのできわめて興味ある研究対象になる.
そこで, σ(a) の代わりにオイラー関数 φ(a) を用いて与えられた 整数 N に対して2φ(a)− a = N を満たす自然数 a を調べてみよう.
6 方程式 2φ(a)− a = 1の解
もっとも簡単な N = 1 の場合を調べてみよう. すなわち 2φ(a) − a = 1 の場合をa ≤ 1000000 についてコンピュータによる全数調査で調べる.
表 1: 2φ(a)− a = 1, (a ≤ 1000000),コンピュータによる全数調査
a 素因数分解
3 3
15 3 ∗ 5255 3 ∗ 5 ∗ 1765535 3 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 257
この表から,フェルマ素数 3, 5, 17, 257 の積が順を追って出てくることがわかる. つぎの解は 3 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 257 ∗ 65537 になるとだれしも思うであろう. 実際に 3 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 257 ∗ 65537は解である.しかし,これで終わりではなく別系統の解があと２つある.これについては後にふれる．方程式 2φ(a)− a = 1 の解にはこのように著しい性質がある.
この場合の解の構造をよく見ると,解 a に対して p = a + 2 となる素数 p がある場合a′ = ap が次の解になっている. たとえば a = 15 に対し p = a + 2 = 17 は素数であり,
a′ = 15∗17 = 255が次の解である. p′ = a+2 = 257も素数であり, a′′ = a′ ∗15∗17∗2575は次の解であり,これは看過し得ない不思議な性質である.
フェルマ素数とメルセンヌ素数は数学者の中ではたいそう人気がある. この研究の目的はフェルマ素数とよく似た素数の系列をオイラー関数を用いて掘り出すことである.
7 素数1つ添加
2φ(a) − a = 1 を満たすとき a′ = ap とおき (a < p となる素数 p) 2φ(a′)− a′ = N としてみる.
2φ(a′) = 2φ(a)(p− 1) = a′ +N に 2φ(a) = a+ 1 を代入する.
7
2φ(a′) = (a+ 1)(p− 1) = a′ − a+ p− 1.
さて 2φ(a′) = a′ +N から a′ +N = a′ − a+ p− 1. ゆえに p = a+N + 1.
したがって次の補題をえる.
補題 1. 2φ(a)−a = 1 の解 a にN+1 を加えた p = a+N+1 が素数なら 2φ(a′)−a′ = N
を満たす解 a′ = pa がえられる.
したがって解 a に素数 p を用いて次なる解 a′ = pa がえられた.この方法で解を求めることを無性生殖という.
7.1 N = 1 の場合
N = 1 とする.p = a+N + 1 = a+ 2 なので, 2φ(a) − a = 1 の解 a に対し p = a+ 2
が素数なら 2φ(a)− a = 1 の次なる解ができる.巧くいけば次々に解がでてくる.
2φ(a)− a = 1 の一番小さい解 a = 3 からはじめる.
表 2: 2φ(a)− a = 1の解
a p = a+ 2 a′ = ap
3 5 15=3*5
3*5 17 3*5*17
3*5*17 257 3*5*17*257
3*5*17*257 65537 3*5*17*257*65537
3 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 257 ∗ 65537295 p = a+ 2 非素数
最後の a = 3 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 257 ∗ 65537 = 4, 294, 967, 295 100万を大きく超えるので,最初の表には出て来なかった.
解 a = 3 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 257 ∗ 65537 = 4294967295 に対してa+ 2 = 4294967297 = 641 ∗ 67004174294967297 は素数ではない. したがって,ここで,
系列は終了する.
ここでの解はフェルマー素数の積で作られている.解の列を主系列と言う.
解がこのような主系列で尽きていれば,解は単純で美しい構造を持つと言ってよいだろう. しかしこれは正しくなく解の別の系列があり, このことを匿名のメールで知らされた.
したがって 2φ(a)− a = 1 の解 a に p = a+ 2が素数のとき解 apを作るという無性生殖だけでは不十分であった. そこで 2素数の添加をしてみよう.
7.2 2素数の添加
2φ(a) − a = 1 の解 a に対して a < p < q となる素数 p, q を用いて a′′ = apq とおく.
これはある定数 N について方程式 2φ(a) = a + N の解になると仮定する. したがって2φ(a′′) = a′′ +N を満たす.
8
φ(a′′) = φ(a)(p − 1)(q − 1) によって B = pq,∆ = p + q とおくとき (p − 1)(q − 1) =
B −∆+ 1 が成り立つので
2φ(a′′) = 2φ(a)(B −∆+ 1)
= (a+ 1)(B −∆+ 1)
= a′′ +N = aB +N.
それゆえ (a+ 1)(B −∆+ 1)− aB = N が成立し
(a+ 1)(B −∆+ 1)− aB = B −∆+ 1− a(∆ + 1) = N.
かくして B −∆(a+ 1) = N − a− 1 をえる. そこで新しい記号 a = a+ 1 を用いるとB − a∆ = N − a. また次式も成り立つ.
(p− a)(q − a) = B − a∆+ a2.
p0 = p− a, q0 = q − a と定めさらに B0 = p0q0 とおくと, B − a∆ = B0 − a2.
B0 − a2 = B − a∆ = N − a.
D = a2 + a+N = a2 − a+N を導入すると p0q0 = B0 = D を満たす.
ここで話を逆転させて次の結果をえる.
補題 2. 2φ(a)− a = 1 の解 a と,与えられたN に対しD = a2 + a+N とおき p0q0 = D
と分解する. このとき p = p0 + a と q = q0 + a がともに素数となるとき, a′′ = apq は2φ(a′′) = a′′ +N を満たす.
２つの素数 p, qから新しい 解 a′′ = apq が誕生したのでこのようにして解をえることを有性生殖という.
7.3 数値例
2φ(a) − a = 1 の解 a に対して,N = 1 をとると a = 4, D = 9 + 3 + 1 = 13. これは素数なので, p0 = 1, q0 = 13とおくとき p = 4 + p0 = 5, q = 4 + q0 = 17. よって解a′′ = 3 ∗ 5 ∗ 17 を得る.
この計算を次のように繰り返し図式化する.
a = 3 ∗ 5 のとき a′′ = 3 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 257をえるが無性生殖を繰り返してできた解と同じなのでありがたみに欠ける.
a = 3∗5∗17の場合は事態が動き,解 a1 = 3∗5∗17∗257∗65537とa2 = 3∗5∗17∗353∗929が出てきた. かくして有性生殖により新しい解が創出された.
a1 + 2 = 3 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 257 ∗ 65537 + 2 = 641 ∗ 6700417 は素数ではないからここからは新しい解はない.
9
表 3: 2φ(a)− a = 1の解から有性生殖解を作る
a a D p, q a′′ = apq
3 4 13=1*13 p = 5, q = 17 3 ∗ 5 ∗ 173*5 16 241=1*241 p = 17, q = 257 3 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 257
3*5*17 256 65281=1* 65281 p = 257, q = 65537 3 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 257 ∗ 655373*5*17 256 65281=97*673 p = 353, q = 929 3 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 353 ∗ 929
しかし p = a2 + 2 = 3 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 353 ∗ 929 + 2 = 83623937 は素数なので, さらに無性生殖により新しくて巨大な解 3 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 353 ∗ 929 ∗ 83623937 が得られた.
ここでは 2φ(a)−a = 1のもっとも小さい解 3からはじまり,素数１つの追加,さらに素数２個追加によって 2φ(a)−a = 1の解がえられ計 7個発見された. このように 2φ(a)−a = 1
の解から 2φ(a)− a = 1 の得られた解を内生解と呼ぶ.
この名前にした理由は当時,放送大学のビデオ講義で発生学を勉強していたせいである.
このようにして,2φ(a)− a = 1のより完全な解の表ができた.
表 4: 2φ(a)− a = 1,のもっとも精密な解の表
a 素因数分解
3 3
15 3 ∗ 5255 3 ∗ 5 ∗ 17
65535 3 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 2574294967295 3 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 257 ∗ 6553783623935 3 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 353 ∗ 929
6992962672132095 3 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 353 ∗ 929 ∗ 83623937
しかしながら 2φ(a)− a = 1 の解が上の表で尽きているかどうかはまったくわからない.
10
8 方程式 2φ(a)− a = 3の解
方程式 2φ(a) − a = 1の解がおおむねわかったことにして次に, 方程式 2φ(a) − a = 3
の解の構造を調べる.
表 5: 2φ(a)− a = 3(a ≤ 1000000),コンピュータによる全数調査
a 素因数分解 注釈
5 5 new
9 32 *
21 3 ∗ 7 new
45 32 ∗ 5 *
285 3 ∗ 5 ∗ 19 new
765 32 ∗ 5 ∗ 17 *
27645 3 ∗ 5 ∗ 19 ∗ 97 new
196605 32 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 257 *
注釈欄に, ∗ のついた解は、32 , 32 ∗ 5 , 32 ∗ 5 ∗ 17 などでありこれらは, 2φ(a)− a = 1 の解の 3倍である.
8.1 第２種転写の方程式
補題 3. 素数 p に対して a = pjα(j > 0, p, α : 互いに素 ) とする.
aは 2φ(a)−a = M の解として,N = pM とおくとa′ = pj+1αは 2φ(a′)−a′ = pM = N
を満たす.
Proof
2φ(a)− a = M より 2pj−1pφ(α)− pjα = M に注意する.
2φ(a′)− a′ = 2pjpφ(α)− pj+1α = pM = N.
End
a′ = pj+1α を第２種転写解という.これは簡単だが意外にも有用である.
第２種転写解はわかりやすい解なのでこれ以外の 2φ(a)− a = 3 の解のみを考察する.
2φ(a) − a = 3の 解 a = 5 は素数であり, ほかの解と特に関係を持たないと思われる.
そこでこれを単独解として無視する.
残りの解は 3 ∗ 7, 3 ∗ 5 ∗ 19, 3 ∗ 5 ∗ 19 ∗ 97 であり, フェルマ素数の積の場合と少し似ている.
2φ(a)− a = 1 の解をもとに 2φ(a)− a = 3 の解を無性生殖で構成することを実行する.
11
表 6: 2φ(a)− a = 3,の第２種転写解
a 素因数分解
3*3 32
3*15 32 ∗ 53*255 32 ∗ 5 ∗ 17
3*65535 32 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 2573*4294967295 32 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 257 ∗ 655373*83623935 32 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 353 ∗ 929
3*6992962672132095 32 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 353 ∗ 929 ∗ 83623937
2φ(a)− a = 1 の解から無性生殖で 2φ(a)− a = 3 の解を構成すればよいのだが, 転写の方程式では p = a+N +1 = p+4になる.そこで 2φ(a)− a = 1 の解 a に 4を加えたできた p = a+ 4 が素数なら, a′ = ap は 2φ(a′)− a′ = 3 を満たす.
表 7: 2φ(a)− a = 3の解
N = 1 の 解 a p = a+ 4 N = 3 の 解 a′ = ap
3 7 3*7
3*5 19 3*5*19
3*5*17 259 3*5*17*259
3*5*17*257 65539 3*5*17*257*65539
これからは特に新しい解がでて来ない. そこで有性生殖解を作る.
8.2 数値例
2φ(a)− a = 1の解から有性生殖で 2φ(a)− a = 3の解を作ってみた.
表 8: 2φ(a)− a = 1の解から 2φ(a)− a = 3の解の構成
a a D = a2 + a+ 3 p, q a′′ = apq
3 4 15=1*15 p = 5, q = 19 3 ∗ 5 ∗ 193*5 16 243=3*81 p = 19, q = 97 3 ∗ 5 ∗ 19 ∗ 97
3*5*17 256 1*65283 p = 257, q = 65539 3 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 257 ∗ 655393*5*17 256 65283=141*463 p = 397, q = 719 3 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 397 ∗ 719
次の結果は簡単に確認できる.
12
補題 4. 2φ(a)− a = N を満たし a = a1N(a1 は整数) と書けて p = a1 +2 が素数ならばa′ = ap は 2φ(a′)− a′ = N を満たす.
N = 3, a1 = 5 ∗ 17 ∗ 257 ∗ 65539 であり a1 +2 = 5 ∗ 17 ∗ 257 ∗ 65539+ 2 = 24262657 =
5 ∗ 17 ∗ 397 ∗ 719 + 2 は素数.
よって解 3 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 397 ∗ 719 ∗ 24262657 ができた.
実際 3 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 397 ∗ 719 ∗ 24262657 が 2φ(a)− a = 3の解であることをコンピュータで確認した.
(a:3*5*17*397*719*24262657,eul:2*totient(a)-a); eul=3
しかし 5 ∗ 17 ∗ 257 ∗ 65539 + 2 = 19 ∗ 137 ∗ 587 ∗ 937 は素数にならない.
13
8.3 2φ(a)− a = 9
表 9: 2φ(a)− a = 9,コンピュータによる全数調査
a 素因数分解
11 11 new
27 33 *
39 3 ∗ 13 new
63 32 ∗ 7 **
135 33 ∗ 5 *
231 3 ∗ 7 ∗ 11 new
855 32 ∗ 5 ∗ 19 **
2295 33 ∗ 5 ∗ 17 *
82935 32 ∗ 5 ∗ 19 ∗ 97 **
これらについて,無性生殖、有性生殖、第 2転写などを調べることは読者にとって格好の練習問題になるだろう.
こうなったら後には引けない. 2φ(a)− a = 27 の解を調べよう.
2φ(a)− a = 1の解から有性生殖で 2φ(a)− a = 27の解を作るのも面白い.
表 10: 2φ(a)− a = 27,コンピュータによる全数調査
a 素因数分解
29 29 new
81 34 *
93 3 ∗ 31 new
117 32 ∗ 13 *
189 33 ∗ 7 **
357 3 ∗ 7 ∗ 17 new
405 34 ∗ 5 *
645 3 ∗ 5 ∗ 43 new
693 32 ∗ 7 ∗ 11 ***
2565 33 ∗ 5 ∗ 19 **
6885 34 ∗ 5 ∗ 17 *
72165 3 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 283 new
29 は単独解のようだが,解の構造は 2φ(a)− a = 9の場合と類似していることがわかる.
以上のように 2φ(a)− a = 3e の解としてでてきた解 a をフェルマ素数のファミリとしてひとくくりにして扱っても良いだろう.
いいたかしげる
14
14 ?- euler_kusu_pq(27,1,3).
D=39[3,13]
$pq=5*43$ $a=1*3*5*43$
$pq=7*17$ $a=1*3*7*17$
15 ?- euler_kusu_pq(27,1,3*5).
D=267[3,89]
$pq=17*283$ $a=1*15*17*283$
16 ?- euler_kusu_pq(27,1,3*5*17).
D=65307[3,11,1979]
$pq=257*65563$ $a=1*255*257*65563$
15
表 11: 2φ(a)− a = 81,コンピュータによる全数調査
a 素因数分解
83 83 new
243 35 *
279 32 ∗ 31 ****
351 33 ∗ 13 ***
567 34 ∗ 7 **
1071 32 ∗ 7 ∗ 17 ****
1215 35 ∗ 5 *
1455 3 ∗ 5 ∗ 97 new
1935 32 ∗ 5 ∗ 43 ****
2079 33 ∗ 7 ∗ 11 ***
7695 34 ∗ 5 ∗ 19 **
20655 35 ∗ 5 ∗ 17 *
85935 3 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 337 new
17 ?- euler_kusu_pq(81,1,3).
D=93[3,31]
$pq=5*97$ $a=1*3*5*97$
18 ?- euler_kusu_pq(81,1,3*5).
D=321[3,107]
$pq=17*337$ $a=1*15*17*337$
19 ?- euler_kusu_pq(81,1,3*5*17).
D=65361[3,21787]
$pq=257*65617$ $a=1*255*257*65617
16
9 2φ(a)− a = 3 の解
9.1 N = 3 の場合
表 12: 2φ(a)− a = 3,コンピュータによる全数調査
a 素因数分解
5 5
9 32
21 3 ∗ 745 32 ∗ 5285 3 ∗ 5 ∗ 19765 32 ∗ 5 ∗ 1727645 3 ∗ 5 ∗ 19 ∗ 97196605 32 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 257
この解を観察する. a = 5 を孤立解と断定して無視することにすると現実には２系列あることがわかる.
3 ∗ 7, 3 ∗ 5 ∗ 19, 3 ∗ 5 ∗ 19 ∗ 97 と 32, 32 ∗ 5, 32 ∗ 5 ∗ 17, 32 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 257 の２系列である.
主系列 32, 32 ∗ 5, 32 ∗ 5 ∗ 17, 32 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 257 は 2φ(a)− a = 1 の主系列に似ている.
17
10 2φ(a)− a = 9 の解
表 13: 2φ(a)− a = 9,これまでに見つかった解
a 素因数分解
11 11
27 33
39 3*13
63 32 ∗ 7135 33 ∗ 5231 3 ∗ 7 ∗ 11855 32 ∗ 5 ∗ 192295 33 ∗ 5 ∗ 1782935 32 ∗ 5 ∗ 19 ∗ 97589815 33 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 257
次にプログラムの実行で有性生殖解が見つかる様子を説明する.
9 ?- euler_kusu_pq(9,1,3).
D=21[3,7]
$pq=7*11$ $a=3*7*11$
これによって,解 3 ∗ 7 ∗ 11 ができた.
表 14: 2φ(a)− a = 33,解の一部表
a 素因数分解
32 *3 33
32 *15 33 ∗ 532 *255 33 ∗ 5 ∗ 1732 *65535 33 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 257
32 *4294967295 33 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 257 ∗ 6553732 *83623935 33 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 353 ∗ 929
32 *6992962672132095 33 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 353 ∗ 929 ∗ 83623937
2φ(a)− a = 5 の解には 2φ(a)− a = 1 の解からの転写がある.
18
表 15: 2φ(a)− a = 5,より完全な表
a 素因数分解
5*15 3 ∗ 52
5*255 3 ∗ 52 ∗ 175*65535 3 ∗ 52 ∗ 17 ∗ 257
5*4294967295 3 ∗ 52 ∗ 17 ∗ 257 ∗ 655375*83623935 3 ∗ 52 ∗ 17 ∗ 353 ∗ 929
5*6992962672132095 3 ∗ 52 ∗ 17 ∗ 353 ∗ 929 ∗ 83623937
10.1 内生解
2φ(a)− a = 3 の解から 2φ(a)− a = 3 の解ができる様子を見せる.
自分の中に解を移すのでできた解を内生解という.
N = M = 3 のとき実行する.
a = (p− 1)M −N = 3p− 6 であり 3p = a+ 6 となって p が素数なら a′ = ap として解ができる.
最初に 2φ(a)− a = 3の解として s(a) = 1 とし, a = pe と仮定する.
2φ(pe)− pe = pe−1(2p− p) = 3
によればe > 1 なら p = 3, e = 2. a = 9 = 32.
e = 1 なら a = p = 5.
そこで a = 9 から始める. 3p = a+ 6 = 15 のとき p = 5 は素数なので a′ = 32 ∗ 5.次に a = 45 のとき 3p = 45 + 6 = 51. p = 17 は素数なので a′ = 32 ∗ 5 ∗ 17.a = 45∗17のとき 3p = 45∗17+6 = 3∗257. p = 257は素数なので a′ = 32∗5∗17∗257.a = 45 ∗ 17 ∗ 257 のとき 3p = 45 ∗ 17 ∗ 257 + 6 = 3 ∗ 65537. p = 257 は素数なので
a′ = 32 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 257 ∗ 65537.2φ(a)− a = 3の解は 2φ(a)− a = 3 の a = 9 から始めて次々に解ができたのでこれを内生解という.
しかしコンピュータで見つけた解 a = 27645 = 3 ∗ 5 ∗ 19 ∗ 97 は説明がつかない.
そこで 2φ(a) − a = 1 の解から２つの素数 p, qを用いて 2φ(a) − a = 3 の解 a′′ = apq
を探す.
10.2 有性解
2φ(a)− a = 1 の解から２つの素数 p, qを用いて 2φ(a)− a = N の解 a′′ = apq を探す.
プログラムの実行例は次の通り.
2 ?- euler_kusu_pq(N,a).
19
a = 3 からはじめたプログラムを実行例は次の通り.
2 ?- euler_kusu_pq(3,3).
n=15
pq = 5 ∗ 19 をえるので a′′ = 3 ∗ 5 ∗ 19.これは既出プログラムを実行例:
1 ?- euler_kusu_pq(3,3*5).
n=243
pq = 19 ∗ 97かくて得た解 a = 3 ∗ 5 ∗ 19 ∗ 97. 新顔プログラムを実行例:
3 ?- euler_kusu_pq(3,3*5*17).
n=65283
pq = 257 ∗ 65539pq = 397 ∗ 719これによってできた解はa′′ = 3 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 257 ∗ 65539 既出a′′ = 3 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 397 ∗ 719 新顔これは素数のペア p, q があって始めてできた解なので有性解という.
10.3 N = M = 3 の内生解
N = M = 3 の内生解a = M(p− 1)−N = N(p− 2).
a = 3 ∗ 7 = 21 のとき 21 = 3(p− 2), p = 9非素数,
a = 3 ∗ 5 ∗ 19 のとき 3 ∗ 5 ∗ 19 = 3(p− 2), p = 5 ∗ 19 + 2 = 97 素数.
N = 3 の新しい解 a′ = 3 ∗ 5 ∗ 19 ∗ 97 ができた.
a = 3 ∗ 5 ∗ 19 ∗ 97のとき 3 ∗ 5 ∗ 19 ∗ 97 = 3(p− 2), p = 5 ∗ 19 ∗ 97+ 2 = 9217 = 13 ∗ 709非素数.ここでストップ.
表 16: 2φ(a)− a = 3の主系列解
M = 3の解 p = a+ 2 N = 3 の解 a′ = ap
3*7 21 3*5*19
3*5*17 259(素数でない) none
3*5*17*257 65539 3*5*17*257*65539
2φ(a)− a = 1の主系列解から転写してできた転写解である.
2φ(a)− a = 3 の解が上の表で尽きているかどうかはわからない.
20
表 17: 2φ(a)− a = 3,多く集めた
a 素因数分解
5 5
9 32
21 3 ∗ 745 32 ∗ 5285 3 ∗ 5 ∗ 19765 32 ∗ 5 ∗ 1727645 3 ∗ 5 ∗ 19 ∗ 97196605 32 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 257
4295098365 3 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 257 ∗ 6553972787965 3 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 397 ∗ 719
3*83623935 32 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 353 ∗ 9293*6992962672132095 32 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 353 ∗ 929 ∗ 83623937
11 2φ(a)− a = 5 の解
表 18: 2φ(a)− a = 5,コンピュータによる全数調査
a 素因数分解
7 7
75 3 ∗ 52
1275 3 ∗ 52 ∗ 17327675 3 ∗ 52 ∗ 17 ∗ 257
2φ(a)− a = 5 の解を s(a) = 1; a = pe のときに求める.
e > 1 ならば e = 2, p = 5. これは解にならない.
e = 1 ならば p = 7. これは孤立解
?- m353517_pq(-3).
3 9=[3^2]
$pq=5*13$
$pq=7*7$
15 237=[3,79]
255 65277=[3^2,7253]
65535 4294901757=[3,23,3617,17209]
$pq=117163*148727$
?- m353517_pq(-5).
21
3 7=[7]
$pq=5*11$
15 235=[5,47]
$pq=17*251$
255 65275=[5^2,7,373]
65535 4294901755=[5,59,79,184291]
$pq=65537*4294967291$
?- m353517_pq(-9).
3 3=[3]
$pq=5*7$
15 231=[3,7,11]
255 65271=[3,21757]
65535 4294901751=[3,7,204519131]
s(a) = 2; a = pe ∗ q のときe > 1 ならば e = 2, p = 5. このとき 8q − 5q = 1. 3q = 9 がでて a = 3 ∗ 52. これは起点になりうる.
e = 1ならば 2pq−pq = 5.このとき pq−2(p+q) = 3.よって, (p−2)(q−2) = 7.p−2 =
1, q − 2 = 7 が出て矛盾に至る.
2φ(a) − a = 5 の解 a に互いに素な素数 p をとって a′ = ap がやはり 2φ(a′) − a′ = 5
を満たすなら N = M = 5 なので a = 5(p− 2) = 5p− 10.
a = 3 ∗ 52 とおくとき, a = 5(p− 2) とすると, p = 3 ∗ 5+ 2 = 17. よって 2φ(a)− a = 5
の解 a = 3 ∗ 52 ∗ 17 をえる.
さらに, a = 3 ∗ 52 ∗ 17 ∗ 257, 3 ∗ 52 ∗ 17 ∗ 257 ∗ 65537 が出るが, これらは第２種転写ですでにでている.
1) a = 3 ∗ 52 とする. 5p = a+ 10 = 3 ∗ 52 + 10 より p = 17. a′ = 3 ∗ 52 ∗ 17 は解.
2) a = 3∗52∗17とする. 5p = a+10 = 3∗52∗17+10より p = 257. a′ = 3∗52∗17∗257は解.
3) a = 3 ∗ 52 ∗ 17 ∗ 257 とする. 5p = a + 10 = 3 ∗ 52 ∗ 17 ∗ 257 + 10 より p = 65537.
a′ = 3 ∗ 52 ∗ 17 ∗ 257 ∗ 65537 は解.
21474836475 = 3 ∗ 52 ∗ 17 ∗ 257 ∗ 65537 はコンピュータでの表にない新しい解.
したがってこれらは内生解である.コンピュータでの表を見るとこれ以上の解はないらしい.
12 2φ(a)− a = 15 の解
22
表 19: 2φ(a)− a = 15,
a 素因数分解
17 17
25 52
57 3 ∗ 19225 32 ∗ 52
273 3 ∗ 7 ∗ 13465 3 ∗ 5 ∗ 311425 3 ∗ 52 ∗ 193825 32 ∗ 52 ∗ 1728785 3 ∗ 5 ∗ 19 ∗ 10169105 3 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 271138225 3 ∗ 52 ∗ 19 ∗ 97983025 32 ∗ 52 ∗ 17 ∗ 2573763185 3 ∗ 5 ∗ 29 ∗ 41 ∗ 211
表 20: 2φ(a)− a = 3 からの追加分
a 素因数分解
5*4295098365 3 ∗ 52 ∗ 17 ∗ 257 ∗ 655395*72787965 3 ∗ 52 ∗ 17 ∗ 397 ∗ 719
13 2φ(a)− a = 7 の解
M = 1, n = 7, p = a+ 8
表 21: 2φ(a)− a = 7,
a 素因数分解
33 3 ∗ 11345 3 ∗ 5 ∗ 2367065 3 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 263
a = 3 ∗ 11 は孤立解で s(a) = 1, 2 を解いてえられるだろう.
2φ(a)− a = 1 の解に２素数 p, q を付加して解を探す.
6 ?- euler_kusu_pq(7,3).
n=19
23
pq = 5 ∗ 23
7 ?- euler_kusu_pq(7,3*5).
n=247
pq = 17 ∗ 263
8 ?- euler_kusu_pq(7,3*5*17).
n=65287
pq = 257 ∗ 65543
9 ?- euler_kusu_pq(7,3*5*17*257).
n=4294901767
3 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 263 以外に a = 3 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 257 ∗ 65543 が出てきた.これは２素数 p, q 付加による転写解.
表 22: 2φ(a)− a = 7,これまでに見つかった解
a 素因数分解
33 3 ∗ 11345 3 ∗ 5 ∗ 2367065 3 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 263
4295360505 3*5*17*257*65543
これ以外の解がないとは言い切れない.
24
表 23: 2φ(a)− a = 13,これまでに見つかった解
a 素因数分解
35 5*7
51 3*17
435 3*5*29
68595 3*5*17*269
表 24: 2φ(a)− a = 19,これまでに見つかった解
a 素因数分解
69 3*23
18285 3*5*23*53
表 25: 2φ(a)− a = 25,これまでに見つかった解
a 素因数分解
55 5*11
87 3*29
375 3 ∗ 53
615 3*5*41
6375 3 ∗ 53 ∗ 1771655 3*5*17*281
25
表 26: 2φ(a)− a = 27,これまでに見つかった解
a 素因数分解
29 29
81 34
93 3*31
117 32 ∗ 13189 33 ∗ 7357 3*7*17
405 34 ∗ 5645 3*5*43
693 32 ∗ 7 ∗ 112565 33 ∗ 5 ∗ 196885 34 ∗ 5 ∗ 1772165 3 ∗ 5 ∗ 17 ∗ 283248805 33 ∗ 5 ∗ 19 ∗ 97
参考文献
[1] ,高木貞治, 初等整数論講義第 2版, 共立出版社,1971.
[2] C.F.Gauss(カール・フリードリヒ ガウス),ガウス 整数論 (数学史叢書)(高瀬正仁訳),
共立出版社, 1995.
[3] 飯高茂 , (雑誌の連載) 数学の研究をはじめよう , 現代数学社 ,2013 ∼ .
[4] 飯高茂 , 『数学の研究をはじめよう (I),(II)』, 現代数学社 ,2016.
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[6] Suryanarayana, D. Super Perfect Numbers. Elem. Math. 24, 16-17, 1969.
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Mathematica, 1, 1 (2009) 73–82.
26
