断面積(A)を使わずに，間隙率を使う透水係数の算定

図に示したような2本の孔を掘って，上流側から食塩を投入した 食塩を投入してから 7時間後に下塩を投入した。食塩を投入してから，7時間後に下流側に食塩が到達したことが分かった。この地盤の透水係数を求めよ 地盤の間隙比はe=0 77 水位差透水係数を求めよ。地盤の間隙比はe=0.77，水位差は 20 cmであった。なお，この方法はトレーサ法の中の食塩法と呼ばれている中の食塩法と呼ばれている。

Nacl

計測器

Nacl

20 cm

10.0 m

断面積(A)を使わずに，間隙率を使う透水係数の算定

食塩は水の速度vで流れるから，到達時間をt，地盤の間隙率をnとするとの間隙率をnとすると，

(%)54310077.01002 enLkhkL

cm/s860s60cm/851m/min518010435.0

(%)5.4310077.1

1001

,

2

k

en

htk

nLk

tv

cm/s86.0s60cm/8.51m/min518.042020.0

k

計測器

A

Nacl

2020 cm

間隙率

10.0 m

間隙率

成層地盤(多層地盤)の透水係数の求め方

地盤は，その生成過程から，粘土層，砂層，レキ層地盤は，その生成過程から，粘土層，砂層，レキ層など幾重にも重なって，ほぼ水平に堆積していると考えられる。この成層地盤全体の水平面に対して，考えられる。この成層地盤全体の水平面に対して，鉛直方向と水平方向の透水係数を計算する方法である。

kる。

khkv 水頭層厚 h0

d

d2k2

d1

k

k1

dkk hh2

h1

d3

d5

d4k4

k3

k5

dkvkh hh3

h4

h55 h5

成層地盤の水平方向透水係数の求め方

それぞれの層の透水係数は図中に示したようにk1からk5である。水平方向へ流れているので，動水勾配は全てiで等しいので，それぞれの層の流量qiは，

qqqQidkqidkqidkq 555222111 ,,,

idkdkdkqqqQ

552211

521

d1k1 h

idkdkdkk

ddddddidkQ

552211

54321,

d3

d2

d

k2

d1

k

k3

k1

kh d

ii

h

dkdi

idkdkdkk 552211

d5

d4k4k5

i

iih d

dkk

成層地盤の鉛直方向透水係数の求め方

それぞれの層を通過する流量Qは等しく一定であるが，それぞれの層ごとに失われる水頭は異なるから，

542110 hhkhhkhhkQ

521

5

545

2

212

1

101 ,,

hhQdhhQdhhQdd

kd

kd

kQ

545

212

101

,, hhk

hhk

hhk

上式を加え合わせると，

k1

kvd1h

h0

上式を加え合わせると，

50521 hh

kQd

kQd

kQd

k2

k

k3

k1

dd3

d2

d

d1

h3

h2

h

h1

50

521

dddhhQ

kkk

k4k5

Q d5

d4h4

h5

5

5

2

2

1

1

kd

kd

kd

成層地盤の鉛直方向透水係数の求め方

Q=kviA で，h0-h5=h

v Ah

dddd

hk)11(

1

521

id

kkk 521

i

iv

kdd

k

A(単位面積) 1

k1 d1hh0

ik A(単位面積) 1 m

1 mkv

k2

k

k3

k1

dd3

d2

d

d1

h3

h2

h

h1

h=h0-h5

k4k5 d5

d4h4

h5Q

全層厚14 5 mの粘土層中に

粘土層

全層厚14.5 mの粘土層中に左図に示したように，15 cm 3 cm 5 cm 15 cm

地表面

粘土層

砂層

15 cm,3 cm,5 cm,15 cm,5 cmの砂層が含まれていた。粘土層の透水係数が

15 cm

粘土層の透水係数が，10－7 cm/s

砂層の透水係数が

14.5 m

3 cm

5 cm

砂層の透水係数が，10-3 cm/s

とすれば khはk の何倍の

15 cm

とすれば，khはkvの何倍の透水性を持つか。

5 cm

不透水層不透水層

砂層の合計層厚(hs)は，Hs=15+3+5+15+5=43 cm粘土層の厚さは Hc=1450-43=1407 cm

粘土層

粘土層の厚さは，Hc=1450-43=1407 cm

1450

iv

dk地表面 砂層

1043

101407

37

i

iv

kd

k

15 cm cm/s1003.1 7

i

14.5 m

3 cm

5 cm

i

iih d

dkk

15 cm

5

4310140710 37

id

5 cm

不透水層 cm/s1097.214505

cm/s1097.2

kh=288kv

ある粘土層の中に，鉛直方向へ 2.0 mおきにシルト層が堆積 が シ 層 厚層が堆積していることがわかった。シルト層の厚さは3.0 mmで，その透水性は粘土の100倍である。この土層 比 求め土層のkhとkvの比を求めよ。

dk2.0 m

i

iih d

dkk

2.0 m

3.0 mm

3.0 mm

iihi

kkkdkkd

003020032

2.0 m

3.0 mm

2.0 m

cm

mch

kkkkk

100003.02003.2

2.0

3.0 mm c

ch

cm

kkk 148.10032

3.02

003.2

ある粘土層の中に，鉛直方向へ 2.0 mおきにシルト層が堆積 が シ 層 厚層が堆積していることがわかった。シルト層の厚さは3.0 mmで，その透水性は粘土の100倍である。この土層 比 求め土層のkhとkvの比を求めよ。

idk

2.0 mi

iv

kd

k

2.0 m

3.0 mm

3.0 mm ii

i

dd

k

2.0 m

3.0 mm

2.0 mvi kk

003200302

2.0

3.0 mm

vcc kkk003.2

100003.02

ある粘土層の中に，鉛直方向へ 2.0 mおきにシルト層が堆積 が シ 層 厚層が堆積していることがわかった。シルト層の厚さは3.0 mmで，その透水性は粘土の100倍である。この土層 比 求め土層のkhとkvの比を求めよ。

003.2003.02

2.0 m

100

vcc kkk

2.0 m

3.0 mm

3.0 mm

003.200003.2

kk

2.0 m

3.0 mm

2.0 m

001.1 cv

vc

kkkk

2.0

3.0 mm

147.10011148.1

ch

kk

kk

001.1 cv kk

図に示したように二種類の違った試料を重ねて透水試験行 答を行った。次の問いに答えよ。

①A面に加わっている水頭はいくらか。

40 cm

。②下の層を通過したら水頭の40%が失われた。B面を押し上

25 cm

B

失 。 面を押 上げようとしている水頭はいくらか。

③下の層の透水係数は

18 cm

A

B③ 透水係数4.0×10-2 cm/sである。単位時間当たりに，単位面積を通過積 通過する水量はいくらか。

④上の層の透水係数はいくらか。

図に示したように二種類の違った試料を重ねて透水試験行 答を行った。次の問いに答えよ。

①A面に加わっている水頭はいくらか。

40 cm

。

H=40+25+18=83 cm

25 cm

B

Q

18 cm

A

B

②下の層を通過したら水頭の② 通過 水頭40%が失われた。B面を押し上げようとしている水頭はいくらか。水頭

装置全体の水頭は40 cmである

40 cmから，その40 %が失われたので，

25 cm

B

40×0.4=16 cmから，

18 cm

A

B40-16=24 cmが残りの水頭，これに上の層の高さ25 cmを加えて，

24+25=49 cm

③下の層の透水係数は4.0×10-2 cm/sである。単位時間当たりに，単位面積を通過する水量はいくらか。

40 cmQ=k下iA で，A=1cm2とする。

25 cm

B

前問から損失水頭は40%から，Q

18 cm

A

B i=(40×0.4)/18=0.889

2 9Q=4.0×10-2×0.889×1==3.56×10-2 cm3/s

k下

④上の層の透水係数はいくらか。

二つの層は一連の流れの中にあるので 上の層の動水勾配は

40 cm

ので，上の層の動水勾配は，

i (40×0 6)/25 0 96k

25 cm

B

i=(40×0.6)/25=0.96

k 3 56×10 2/(0 96×1)

k上

18 cm

A

B k上= 3.56×10-2/(0.96×1)==3.71×10-2 cm/s

地盤に井戸を掘り揚水したところ，地下水位が2 低下 地盤 透水係数 10 22.5 m低下した。この地盤の透水係数は5×10－2

cm/sであり，掘った井戸の半径r=0.15 mであった。

①Sichardt(ジヒャルド)の影響範囲Rを求めよ。R 3000×S×√kR=3000×S×√k

=3000×2.5× √ 5×10-4=167.7 m

Q

r H=10 mh0

水位低下量

R

地盤に井戸を掘り揚水したところ，地下水位が2 低下 地盤 透水係数 10 22.5 m低下した。この地盤の透水係数は5×10－2

cm/sであり，掘った井戸の半径r=0.15 mであった。

②揚水前の地下水位の高さがH=10.0mとすれば揚水量はいくらか量はいくらか。

RhHkQR

hHQk

llog

20

2

22

Q

rRrhH elog2

02

224 150

7.167log5.710105 224

e

Q

r H=10 mh0

水位低下量

/sm1079.915.0log

33

e

R

③0.7m3/minの割合で，この井戸から揚水した場合の地下水位の低下量はいくらになるか。

RQRQ r

RkQHh

rR

hHQk loglog 2

020

2

0

m7687.167log012.01020 h

Q

m76.815.0

log105

10 40

h

よ て 水位低下量はよって，水位低下量は

10 8 76 1 24r H=10 m

h0

水位低下量 10-8.76=1.24 m

R

中央の孔から定常的に水が放射状に浸透していく中央の孔から定常的に水が放射状に浸透していく

流れを考える。中心からRの距離の外周で水頭は0になる距離の外周で水頭は0になる。水を供給する中央の円筒の

半径はRとの比を示すnRでR

nR半径はRとの比を示すnRで表している。このときの透水係数を算定する式を示せ

r

水係数を算定する式を示せ。

境界条件は次のようになる境界条件は次のようになる。

d HhnRrd

0,, hRr

HhnRr,

Q=-kiAから Q=-2πrk(dh/dr)d変数分離 積分 示0

, h

HhnRr ①

変数分離をし，積分で示すと，0, hRr

drQdh

②

RnR

2

Qrdr

kdQdh

r )1(log2

Crkd

Qh e式(1)に境界条件の①を代入すると

d

ると，

log2

CnRkd

QH ed

)2(log

2

nRQHC

kd e

)2(log2

nRkd

HC e

0, h

HhnRr ① 式(1)に境界条件の②と式(2)を代入すると0, hRr

RQ log0

② 代入すると，

RnR Q

Rkd elog

20

rnR

kdQH elog

2

nRkd

QRkd

QH ee log2

log2

d nRR

kdQH ee loglog

2

d

RQH

kd

log

2

nRkd

H elog2

RQnRR

kdQH elog

2

RnR nkd

Qnkd

QH e1ln

21log

2

r

HdQk 1ln

2

nHd2

d

n，π，dに実際の値を代入すれば透水係数の算定式はより簡単

dになる

t前問と同様な条件の流れに対し

t1

t2

て、変水位法によって透水係数を求める式を導くと、

h1h2

dthrLkdq 2

adhdq

dtdr

rLkdq 2

L

dthLkdh

adhdq

2

ar1

r2

dtLk

dtdr

rLkadh

21

2

a

drdt

arLkdh

h21

t ht1

t2

2 dtdrhrLkdq

h1h2

21drdt

arLkdh

h

211 dtLkdrdh

drah

L

211 Lk

dta

drr

dhh

ar1

r2

211 dtaLkdr

rdh

h

a

2

1

2

1

2

1

2loglog tt

rre

hhe t

aLkrh

111 a

2loglog tLkh trh t

1212 loglogloglog

loglog 2

1

2

1

2

1

rrhh

ta

rh trehe

t1

t2

h

12

12122

loglogloglog

ttLkrrhh eeee

h1h2

12 tta

L

1221 2loglog ttLkrh

ee

r2

21

1212

ll

gg

rhak

arh eea

r1

2

1

2

2

1

12loglog

2 rr

hh

ttLak ee

次の文の空欄に適当な言葉を記入せよ。

動水勾配は( )を( )で割ったものをいういう。

ダルシ の法則は 流速を 動水勾配をiとすダルシーの法則は，流速をv，動水勾配をiとすると，次の比例関係が成り立つことをいう。v=( )。この法則が成り立つには，( )状態でなくてはならない。状態でなくてはならない。

次の文の空欄に適当な言葉を記入せよ。

動水勾配は(水頭差)を(試料の長さ，流路長)で割ったものをいうで割ったものをいう。

ダルシ の法則は 流速を 動水勾配をiとすダルシーの法則は，流速をv，動水勾配をiとすると，次の比例関係が成り立つことをいう。v=( )。この法則が成り立つには，( )状態でなくてはならない。状態でなくてはならない。

次の文の空欄に適当な言葉を記入せよ。

動水勾配は(水頭差)を(試料の長さ，流路長)で割ったものをいうで割ったものをいう。

ダルシ の法則は 流速を 動水勾配をiとすダルシーの法則は，流速をv，動水勾配をiとすると，次の比例関係が成り立つことをいう。v=(ki)。この法則が成り立つには，(層流)状態でなくてはならない。状態でなくてはならない。

流れの生じているところの断面積をAとすれば，流れの生じているところの断面積をAとすれば，単位時間当たりの透水流量qは

q=( )=( )cm3/sq=( )=( )cm3/s。

室内透水試験には，比較的透水性の大きな試料のための( )，と透水性の

低い試料のための( )がある。低い試料のための( )がある。

流れの生じているところの断面積をAとすれば，流れの生じているところの断面積をAとすれば，単位時間当たりの透水流量qは

q=(vA)=(kiA)cm3/sq=(vA)=(kiA)cm3/s。

室内透水試験には，比較的透水性の大きな試料のための( )，と透水性の

低い試料のための( )がある。低い試料のための( )がある。

流れの生じているところの断面積をAとすれば，流れの生じているところの断面積をAとすれば，単位時間当たりの透水流量qは

q=(vA)=(kiA)cm3/sq=(vA)=(kiA)cm3/s。

室内透水試験には，比較的透水性の大きな試料のための(定水位透水試験)，と透水性の

低い試料のための(変水位透水試験)がある。低い試料のための(変水位透水試験)がある。

断面積が100 cm2，透水係数が8.26×10-3

cm/s，動水勾配が0 75のときに1時間にこのcm/s，動水勾配が0.75のときに1時間にこの土の断面を流れる透水量を求めよ。

断面積が100 cm2，透水係数が8.26×10-3

cm/s，動水勾配が0 75のときに1時間にこのcm/s，動水勾配が0.75のときに1時間にこの土の断面を流れる透水量を求めよ。

q=kiA=8 26×10-3×0 75×100=q kiA 8.26×10 ×0.75×100=0.6195 cm3/s

0.6195×60×60=2230.2 cm3

水頭差が35cm，断面積が78.5 cm2で，試料の長さが40 cmであった 10分間に料の長さが40 cmであった。10分間に5400 cm3の透水量が計測された。この土の透水係数を求めよの透水係数を求めよ。

水頭差が35cm 断面積が78 5 cm2で 試水頭差が35cm，断面積が78.5 cm で，試料の長さが40 cmであった。10分間に5400 cm3の透水量が計測された この土5400 cm3の透水量が計測された。この土の透水係数を求めよ。

q=kiAtからq kiAtから5400=k×(35÷40)×78.5×10×60

k=(5400×40)/78.5×35×6000 131 1 31×10 1 /=0.131=1.31×10-1 cm/s

浸透してくる水の圧力が大きくなり，土粒子が持ち上がるギリギリの状態を子が持ち上がるギリギリの状態を( )という。このときの動水勾配を

動 勾配 大( )といい，これより動水勾配が大きくなって，土が噴きあがる状態をきくな 土 噴き る状態を( )という。

浸透してくる水の圧力が大きくなり，土粒子が持ち上がるギリギリの状態を子が持ち上がるギリギリの状態を(クイックサンド)という。このときの動水勾配

動 勾配を( )といい，これより動水勾配が大きくなって，土が噴きあがる状態を大きくな 土 噴き る状態を( )という。

浸透してくる水の圧力が大きくなり，土粒子が持ち上がるギリギリの状態を子が持ち上がるギリギリの状態を(クイックサンド)という。このときの動水勾配

限界動 勾配 動 勾配を(限界動水勾配)といい，これより動水勾配が大きくなって，土が噴きあがる状態を大きくな 土 噴き る状態を( )という。

浸透してくる水の圧力が大きくなり，土粒子が持ち上がるギリギリの状態を子が持ち上がるギリギリの状態を(クイックサンド)という。このときの動水勾配

限界動 勾配 動 勾配を(限界動水勾配)といい，これより動水勾配が大きくなって，土が噴きあがる状態を大きくな 土 噴き る状態を(ボイリング)という。