ECONOMETRIA TEORÍA DE LA COINTEGRACIÓN · Aplicar una prueba Dickey-Fuller Econometría. Horacio Catalán Alonso No se pueden aplicar las tablas de MacKinnon de orden de integración

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TEORTEORÍÍA DE LA COINTEGRACIA DE LA COINTEGRACIÓÓNN

Mtro. Horacio Catalán Alonso

El análisis de cointegración es esencial cuando se tiene una combinación de variables que presenten una similitud en el orden de integración. Si se tiene una ecuación con las siguientes condiciones:

Sean las variables Xt ~I(1) Yt ~I(1)

Una combinación lineal de estas variables que sea estacionaria. Entonces, se dice que las variables Y, X están cointegradas

Puede ser I(0)

ttt uXY 10

ttt uXY 10

EconometrEconometrííaa

Horacio CatalHoracio Cataláán Alonson Alonso

00

2020

4040

6060

8080

100100

120120

1010 2020 3030 4040 5050 6060 7070 8080 9090 100100

XX YY

Intuitivamente el hecho de que el error sea estacionario indica que las series presentan una tendencia en común.

Si las series cointegran la regresión entre las dos variables es significativa ( no es espúrea) y no se pierde información valiosa de largo plazo lo cual sucedería si se estima la regresión en primeras diferencias.



Engel y Granger (1987), el equilibrio de largo plazo entre un conjunto de variables se define como:

0xβ...xβxβ ntn2t21t1

Expresada como vectores.

0βX

x

x

x

...βββ t

nt

2t

1t

n21

Sistema en equilibrio




La desviación del equilibrio a largo plazo se conoce como el término de error.

tt eβX

Si el equilibrio es significativo en la relación de las variables, entonces el error es estacionario.



Componentes del vector Xt =(x1t, ..., xnt) se dice que están cointegrados de orden CI(d,b) si:

1. Todos los componentes de Xt son integrados de orden d

2. Existe un vector b =(b1,...,bn) en el cual la combinación lineal.

Es integrada de orden (d-b), donde b > 0

ntn2t21t1 xβ...xβxβ


Observaciones importantes sobre la definición de cointegración.

1) La cointegración se refiere a una combinación lineal de variables no estacionarias.

Pueden ser posibles relaciones no lineales.

El vector de cointegración no es único.

Se realiza una normalización del vector de cointegración.



2) Todas la variables deben ser del mismo orden de integración

Aún si todas las variables son del mismo orden de integración no se asegura que cointegren.

No existe claridad en el uso del término “relación de equilibrio”.

3) Si Xt tiene n componentes, debe haber n-1 vectores de cointegración. El número de vectores se denomina rango de cointegración




Yt = b0 + b1Xt + utEstimar la regresión por MCO

Guardar los residuales ut estimados

Si Yt Xt I(0) ut I(0)

Determinar si los errores son estacionarios.

Pruebas de cointegraciPruebas de cointegracióónn

ut = ut-1 + ut-1 +ut-2 +....+ut-k + et

Aplicar una prueba Dickey-Fuller



No se pueden aplicar las tablas de MacKinnon de orden de integración para determinar si la ecuación cointegra.

MacKinnon(1991) propone una forma de calcular los valores críticos para la prueba.

221

0 Tk

Tk

kT,C

a nivel de significancia.

T número de observaciones.

K0, k1, k2 valores que cambian con el tamaño de la muestra.



La ecuación de cointegración representa una relación de equilibrio entre las variables.

Pero no indica como es el ajuste a corto plazo entre las variables

Los modelos en primeras diferencias dan mejores resultados.

Se elimina la tendencia en las series.

Es un modelo del ajuste a corto plazo entre las variables

EL PRINCIPAL PROBLEMA ES RELACIONAR LA ECUACIÓN DE EQUILIBRIO Y EL AJUSTE A CORTO PLAZO.


MODELO DE CORRECCIÓN DE ERRORES

ttt uxkky 10

Relación de equilibrio

Modelo de corrección de errores

ttttt vxkkyxy 1101

es el coeficiente del mecanismo de corrección de errores

Toma valores entre –1 y 0



20.2

20.4

20.6

20.8

21.0

80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00

CP*CP*equilibrioequilibrio

CPCP

observado

Relación

De

Equilibrio

Cuando u > 0 implica que Y > Y*

Cuando u < 0 implica que Y < Y*



20.220.2

20.420.4

20.620.6

20.820.8

21.021.0

8080 8282 8484 8686 8888 9090 9292 9494 9696 9898 0000

A

B

A) CP > CP* ECM = (CP-CP*)>0 Si g<0

CPt= 2Yt +g[ECMt-1]+ UtEfecto negativo

B) CP < CP* ECM = (CP-CP*) < 0 Si g<0

CPt= 2Yt +g[ECMt-1]+ Ut Efecto positivo





Metodología de Hendy

Los modelos en primeras diferencias puede reespecificarse como un modelo con variables rezagadas.

k

i

m

s

k

itstsitit uxyy

1 1 0110


Considerar un conjunto de variables relevantes para el modelo.

Estimar la ecuación incluyendo un determinado número de rezagos para cada variable.

Realizar un proceso de reducción eliminando los rezagos no estadísticamente significativos.


Pruebas alternativas de cointegración.

Yt = b0 + b1Xt + utEstimar la regresión

ADFADF--IVIV ADF por variables instrumentales

El método de variables instrumentales (IV) a fin de obtener estimadores más eficientes.

Guardar los residuales y aplicar la prueba ADF.

Utilizar valores críticos de cointegración.



METODO DE VARIABLES INSTRUMENTALES (IVLS))

Modelo general yi = b1xi1+....+ bkxik + ei

Representación matricial Y = Xb + e

El error se define como e =Y - Xb

La suma de errores al cuadrado se representa

RSS = e'e = (Y - Xb)'(Y - Xb)



La estimación por mínimos cuadrados ordinarios (OLS)

b = (X'X)-1 X'Y

La estimación por OLS asume que las variables xi1.... Xik.

no están correlacionadas con el termino de error ei.

CONSUMO INGRESO (PIB)

PIB = Consumo + I + G + X-M

Están altamente correlacionados



El Método de estimación por variables instrumentales (IVLS)consiste en:

Se asume que existe un conjunto de variables

definidas en una matriz Z={z1, ...,zq},

de dimensión al menos igual que la matriz X

Tal que Z no esta correlacionada con e

pero altamente correlacionada con X

La matriz Z se denomina la matriz de variables instrumentales .



Del modelo general

(1) Y = Xb + e

(2) Z'Y = Z'Xb + Z'e

(3) Z'Y - Z'Xb = Z'e

La matriz Z debe cumplir con la condición de ortogonalidad.

(4) E[Z'e] = E[Z'(Y - Xb)] = 0

No correlacionada con el error.



Si el número de instrumentos (q) es igual al número de ecuaciones en el sistema (p). Entonces la estimación de los parámetros se puede obtener como.

(5) Z'(Y - Xb) = 0

Z'Y - Z'Xb = 0

Z'Y = Z'Xb

Z'Xb = Z'Y

(6) bIVSL = (Z'X)-1 Z'Y

La expresión (6) no garantiza que la covarianza del modelo sea constante. Los estimadores no son eficientes.



El problema se resuelve si el número de instrumentos es mayor al número de ecuaciones q > p.

Es necesario estimar una matriz de covarianzas que puede garantizar estimadores eficientes.

Se demuestra que la matriz W = T(Z'Z)-1 converge en probabilidad a una matriz constante.

La matriz W es un estimador de la matriz de covarianzas que se construye a partir de las variables instrumentales.



Estimación

Se construye la función media cuadrática muestral

Q(b)=T-1(Z'Y - Z'Xb)'(Z'Z)-1(Z'Y - Z'Xb)

Diferenciando con respecto a b y dada la condición de primer orden.

b^IV = [X'Z(Z'Z)-1Z'X] -1X' Z(Z'Z)-1Z'Y

Estimador por variables instrumentales.



Mínimos cuadrados ordinarios con variables instrumentales en 2 etapas (2SLS)

Primera etapaEstimar la regresión de cada variable xi1.... xik con la matriz de instrumentos Z

Se obtiene una matriz con las estimaciones de X^

X^=Z(Z'Z)-1Z'X = PzX

Los valores estimados de X por medio de las variables instrumentales



Segunda etapa

Estimar la regresión del vector Y con la matriz X^ para obtener los estimadores

b2SLS = (X^'X^)-1(X^'Y)

b2SLS = (X'PzX)-1(X'PzY)

Elección de las variables instrumentales

Las propias variables rezagadas de la matriz X

Variables proxy



DickeyDickey--FullerFuller ModificadaModificada

1.1. Estimar la ecuaciEstimar la ecuacióón por MCOn por MCO

2.2. Guardar los residualesGuardar los residuales

3.3. Aplicar las pruebasAplicar las pruebas

ttt eβXY

k

i tititt vxee01ˆˆ

k

i t

s

j jtititt vexee0 11 ˆˆˆ

simplesimple

aumentadaaumentada



PhillipsPhillips--OuliersOuliers--HansenHansen

1. Estimar la ecuación por MCO

2. Guardar los residuales

ttt eβXY

3. Estimar la siguiente regresión

k

i tititt veee01 ˆˆˆ

El objetivo es determinar si rho es igual a uno.



1

1

No cointegraNo cointegra

CointegraciCointegracióónnLo cual indica que el error sigue un proceso estacionario.

Se aplica una corrección propuesta en la prueba Phillips-Perron.

T

t tT eTS2

212 ˆ2 Varianza de los erroresVarianza de los errores

T

t

l

j

T

jt jttt eeljTeTVC1 1 1

121 12ˆ

Aplicar la prueba PP en los errores de la ecuación




Calcular el estadístico

VNCVCSTTZ 12111

Cuando el estadístico debe ser negativo y en términos absolutos mayor al valor en tablas.

VC.- varianza corregida.

VNC.- varianza no corregida.


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