ECUACIÓN DE BERNOULLI

Restricciones a la ecuación de Bernoulli Aunque la ecuación de Bernoulli es aplicable a una gran cantidad de problemas prácticos, existen algunas limitaciones que deben tenerse en cuenta con el fin de aplicar la ecuación de manera correcta.

1. Es válida solamente para fluidos incompresibles, puesto que el peso específico del fluido se tomó como el mismo en las dos secciones de interés.

2. No puede haber dispositivos mecánicos entre las dos secciones de interés que pudieran agregar o eliminar energía del sistema, ya que la ecuación establece que la energía total del fluido es constante.

3. No puede haber transferencias de calor hacia dentro o fuera del fluido. 4. No puede haber perdidas de energía debido a la fricción

FLUJO LAMINAR Y FLUJO TURBULENTO No todos los conductos para transportar fluido de una posición a otra son redondos, pero la mayoría de los que se usan lo son. Estos incluyen tubos para agua, mangueras hidráulicas y otros conductos que son designados para resistir una considerable diferencia de presión sobre sus paredes sin llegar a deformarse. Los otros conductos en donde su área transversal no es circular normalmente se usan en sistemas de calefacción y aire acondicionado donde las diferencias de presiones entre el interior y el exterior son muy pequeñas. Para este capitulo se va ha considerar que el fluido ocupa en su totalidad el área del tubo

Flujo en un tubo Flujo en un canal abierto

Flujo Laminar o Flujo Turbulento

Figura. (a)Experimento que muestra el tipo de flujo en un tubo. (b) Trayectorias de un trazador

Para un flujo laminar en un tubo solo hay una componente de velocidad, V= vx. Para un flujo turbulento vx , es también predominante en un tubo pero va cambiando muy rápidamente, además de ir acompañada de las componentes normales al eje del tubo, V=vx+vy+vz. semejante movimiento ocurre muy rapido para seguirlo con nuestra vista

Figura. Dependencia de la velocidad del fluido en un punto, del tiempo Nosotros no podemos definir si el flujo turbulento o laminar en un tubo son grandes o pequeños. Para eso nos ayudaremos de un parámetro adimensional llamado Número de Reynolds:

µρVD

asvisfuerzasinercialesfuerzas

==cos

Re Proyectar v7-1

Por lo que un flujo va ha ser Laminar, Transitorio o Turbulento de acuerdo al valor del Numero de Reynolds. No solamente la velocidad del fluido determina el carácter del flujo, si no también su densidad, viscosidad y el tamaño del tubo. Los rangos para definir la categoría de cada flujo de acuerdo al Número de Reynolds son: Para Reynolds entre estos dos limites el flujo puede estar entre laminar y turbulento a lo que se le llamara transitorio

Perfiles de Velocidad

Turbulentoesflujoelarlaesflujoel

4100Remin2100Re

>

<

El fluido entra al tubo con una velocidad casi uniforme (1), conforme el fluido se mueve a través del tubo por los efectos viscosos este se adhiere a la pared del tubo, produciéndose, así, una capa limite a lo largo de la pared del tubo en la cual los efectos por los esfuerzos cortantes son importantes haciendo cambiar el perfil de la velocidad inicial dependiendo de la distancia del tubo en la dirección X, hasta que alcanza el final de la zona de entrada (2), cuando el perfil de velocidad no varia con la distancia X, la capa limite ha alcanzado su espesor total. La forma del perfil de velocidad en el tubo depende de si el flujo es laminar o turbulento, así, como la longitud de la region de entrada, (le). La adimensional cantidad de le/D, se relaciona muy bien con el numero de Reynolds, asi, que la longitud de la entrada es dada por. El calculo del perfil de la velocidad y la distribución de la presión en la zona de entrada es muy compleja. Sin embargo una vez que el fluido a alcanzado el final de la zona de entrada, la velocidad queda únicamente en función de la distancia al centro del tubo e independiente de X. esto es cierto hasta que la dirección o forma del tubo cambia, como un cambio de diámetro, o cuando el fluido pasa a través de una válvula, un codo o un doblez. El perfil de velocidad es el mismo en cualquier sección del tubo, pero es diferente dependiendo de si el flujo es laminar o turbulento. El conocimiento del perfil de velocidad puede ayudarnos a obtener información importante sobre la pérdida de presión, pérdidas, flujo. Existen numerosas alternativas para analizar en primero instancia el flujo laminar de las cuales analizaremos 1, y después cuando se vea análisis adimensional analizaremos la otra.

PÉRDIDAS DE ENERGIA DEBIDO A LA FRICCIÓN El flujo turbulento puede ser muy complejo, resultando ser un tópico difícil, habiendo todavía un desafió para tratar el tema teóricamente. Así la mayoría de los análisis en flujos turbulentos en tubos son basados en datos experimentales y formulas semiempiricas. Estos datos son expresados en formas dimensionales. A veces es necesario determinar las perdidas (hL) que ocurren en el flujo en un tubo, así que la ecuación de la energía para flujos uniformes puede ser usada en el análisis de problemas de flujo en los tubos: Donde:

( ) turbulentoflujoparaDl

arlaflujoparaDl

e

e

61

Re4.4

minRe06.0

=

=

Lsentradaentradaentrada

salidasalidasalida hhz

gVpz

gVp

++++=++22

22

γγ

Qw

mgw

gW

h

o

flechaladeentrada

o

flechaladeentradaflechaladeentradas γ

===

Como se muestra en la figura un sistema típico de tuberías consiste de tubos rectos conectados con varios tipos de componentes (codos, válvulas, etc), la perdida en el sistema tuberías consiste de la perdida debido a los efectos viscosos en las partes rectas de la tubería, que se conoce por el nombre de perdidas primarías (perdidas mayores) y las perdidas que ocurren en los componentes que se encuentran en la tubería (codos, válvulas, reducciones de diámetro, etc), que se denominan perdidas secundarias (perdidas menores)

Pérdidas Primarias (Perdidas Mayores) La caída de presión y la perdida de energía en un tubo son dependientes de los esfuerzos cortantes, τw, entre el fluido y la pared del tubo. Una diferencia fundamental entre flujo laminar y flujo turbulento es que los esfuerzos cortantes para flujo turbulento están en función de la densidad del fluido, ρ. Para flujo laminar el esfuerzo cortante es independiente de la densidad, dependiendo solamente de la viscosidad del fluido, µ.

undariasLLprimariasL hhh sec+=

La caída de presión (ΔP) para un fluido incomprensible y un flujo turbulento en un tubo horizontal esta en función de las siguientes variables: Donde V es la velocidad Promedio, l es la longitud del tubo y ε es una medida de la rugosidad de la pared del tubo. Mientras que la caída de presión del tubo (Δp) para flujo laminar es independiente de la rugosidad de la pared del tubo. Así para un flujo turbulento la caída de presión esta en función de la rugosidad del tubo y para un flujo laminar ahí no hay una capa delgada viscosa, predominando los efectos viscosos. Así relativamente pequeñas rugosidades tienen efectos despreciables en flujo laminares en tubos, pero para tubos muy rugosos (ε/D≥0.1) el flujo quizá este en función de la rugosidad. De la lista de las variables donde ΔP esta en función de ellas hacen un total de 7 variables (k = 7), dejando 3 términos dimensionales MLT (r = 3), por lo que la ecuación anterior puede ser escrita en forma adimensional k – r = 4 grupos adimensionales. Donde: Para un flujo laminar el valor es mas simple ƒ = 64/Re, debido a que es independiente de ε/D, para flujo turbulento la funcional dependencia del factor de fricción sobre el numero de Reynolds y la rugosidad, ƒ = φ(Re, ε/D) es mas compleja y no puede ser obtenida todavía de un análisis teórico. Por lo que los resultados obtenidos son de una rigurosa serie de experimentos y usualmente presentados en forma grafica. De la ecuación de energía para fluidos incompresibles y perfiles no uniformes Donde hL, son las pérdidas que existen entre la sección 1 y 2, suponiendo un diámetro constante D1 = D2, así que también V1 = V2, y tubo horizontal (z1 = z2), con un flujo completamente desarrollado (α1 = α2) por lo que la ecuación se convierte en Δp = p1 – p2 puede ser combinada con la ecuación anterior para dar:

),,,,,( ρµεlDVFp =Δ

2

Re,

21

,,

21

2

2

2

VDlfp

DDi

V

p

DDlVD

V

p

ρ

εφ

ρ

εµ

ρφ

ρ

=Δ

%&

'()

*=

Δ

%%&

'(()

*=

Δ

!"

#$%

&=D

f εθ Re,

LhzgVpz

gVp

+++=++ 2

22

22

1

21

11

22α

γα

γ

gV

DlfhLprimarias 2

2=

Que es llamada la ecuación de Darcy – Weisbach, que es valida solamente para flujos desarrollados e incompresibles. No es facil determinar la dependencia funcional del factor de fricción sobre el número de Reynolds y la rugosidad del tubo. Mucha de esta información es un resultado de experimentos conducidos por J. Nikurase en 1933 y ampliado por muchos otros después de el. En tubos comerciales la rugosidad no es uniforme, sin embargo es posible obtener una medida de esta y asi obtener el factor de fricción.

La siguiente grafica muestra la funcional dependencia de ƒ sobre Re y ε/D y es llamada diagrama de Moody

Existe otra ecuación que es valida para toda la región que no es laminar dentro del diagrama de Moody y de denomina ecuación de Colebrook:

Perdidas Secundarias (Perdidas Menores) Las pérdidas que ocurren en los componentes que se encuentran en la tubería (codos, válvulas, reducciones de diámetro, etc), se denominan perdidas secundarias (perdidas menores). El propósito de una válvula es regular el flujo que pasa a través de ella, haciendo que vaya cambiando la geometría por la que atraviesa el flujo, lo cual altera las perdidas asociadas con el paso del flujo a través de la válvula. La información de las perdidas debido a todos estos componentes es dada por análisis adimensional y basada en datos experimentales. El método más común usado para determinar las pérdidas o caídas de presión esta basado en un coeficiente de pérdidas KL el cual es definido como:

!!

"

#

$$

%

&+−=

fD

f Re51.2

7.3log0.21 ε

22

21

2V

p

gV

hK LmenorL

ρ

Δ=

##$

%&&'

(=

gVkh LLmenor 2

2=

so that

or

(8.36)

The pressure drop across a component that has a loss coefficient of is equal to the dynamicpressure, As shown by Eq. 8.36 and the figure in the margin, for a given value of KL thehead loss is proportional to the square of the velocity.

The actual value of is strongly dependent on the geometry of the component considered.It may also be dependent on the fluid properties. That is,

where is the pipe Reynolds number. For many practical applications the Reynoldsnumber is large enough so that the flow through the component is dominated by inertia effects, withviscous effects being of secondary importance. This is true because of the relatively large acceler-ations and decelerations experienced by the fluid as it flows along a rather curved, variable area1perhaps even torturous2 path through the component 1see Fig. 8.212. In a flow that is dominated byinertia effects rather than viscous effects, it is usually found that pressure drops and head losses cor-relate directly with the dynamic pressure. This is the reason why the friction factor for very largeReynolds number, fully developed pipe flow is independent of the Reynolds number. The same con-dition is found to be true for flow through pipe components. Thus, in most cases of practical inter-est the loss coefficients for components are a function of geometry only,

Minor losses are sometimes given in terms of an equivalent length, In this terminology,the head loss through a component is given in terms of the equivalent length of pipe that wouldproduce the same head loss as the component. That is,

or

/eq !KLD

f

hL minor ! KL V 2

2g! f

/eq

D V 2

2g

/eq.KL ! f1geometry2.

Re ! rVD"m

KL ! f1geometry, Re2KL

rV 2"2.KL ! 1

hL minor ! KL V 2

2g

¢p ! KL 12rV 2

416 Chapter 8 ■ Viscous Flow in Pipes

Q Q

(b)

F I G U R E 8.21 Flow through a valve.(a)

~ V2hL, minor

h L, m

inor

V

For most flows theloss coefficient isindependent of theReynolds number.

JWCL068_ch08_383-460.qxd 9/23/08 10:53 AM Page 416

La caída de presión a través de un componente con un coeficiente de pérdida de KL = 1, es igual a la presión a la presión dinámica, ρV2/2. El valor de KL es fuertemente dependiente de la geometría del componente considerado, además de depender también depender de las propiedades del fluido. Esto es.

Flow pattern and pressure distribution for a sharp-edged entrance.

Re),(geometriaKL φ=

Pérdidas bajo condiciones de entrada del fluido Coeficiente de pérdidas para diferentes condiciones de entrada del fluido. (a) Reentrant, KL = 0.8, (b) sharp-edged, KL = 0.5, (c) slightly rounded, KL = 0.2 (see Fig. 8.24), (d) well-rounded,

KL = 0.04 (see Fig. 8.24).

Coeficiente de perdidas en la entrada de un fluido como función del ángulo de alisamiento de las esquinas (Ref. 9).

Notas Adicionales:

r/d 0.02 0.04 0.06 0.10 >0.15 K 0.28 0.24 0.15 0.09 0.04

Pérdidas bajo condiciones de salida del fluido

Coeficiente de perdidas bajo condiciones de salida del fluido . (a) Reentrant, KL = 1.0, (b) sharp-edged, KL = 1.0, (c) slightly rounded, KL = 1.0, (d) well-rounded, KL = 1.0.

Pérdidas en expansiones repentinas y graduales

Volumen de control usado para calcular el coeficiente de pérdidas para una expansión repentina.

( )

( )4

1

2

22

1

2

2

2

1

233

211

13333311

3311

126.2,45

1

22

!"#$

%&

'(

)*+

,!"#$

%&−

=≤

!!"

#$$%

&−=

++=+

−=−

=

DD

DDsen

KSi

AA

K

Kecoeficienteldenosqueparaecuacionesestascontrabajase

hgVp

gVp

VVVAApApVAVA

L

L

L

θ

θ

γγ

ρ

Coeficiente de pérdidas para una expansión repentina.

Pérdidas en contracción repentina y gradual

4

1

2

22

1

21,18045

!"#$

%&

'(

)*+

,!"#$

%&−

=≤<

DD

DD

KSi θ

( )

4

12

2

12

4

12

2

21

128.0,45

15.0

!"#

$%&

'(

)*+

,!"#

$%&−

=≤

!"#

$%&

'(

)*+

,!"#

$%&−

=

DD

DDsen

KSi

DD

DD

KL

θ

θ

4

1

2

2

1

2

215.0

,,18045!"#$

%&

'(

)*+

,!"#$

%&−

=≤<

DD

senDD

KSi

θ

θ

Coeficiente de pérdidas para una contracción repentina.

Coeficiente de pérdidas para un difusor cónico

Pérdidas en dobleces de tubos, codos válvulas etc..

Caracteristicas del flujo en un doblez de tubo de 90°, asociado con el coeficiente de perdidasnt (Ref. 5).

Character of the flow in a 90° mitered bend and the associated loss coefficient: (a) without guide vanes, (b) with guide vanes.

Internal structure of various values: (a) globe valve, (b) gate valve, (c) swing check valve, (d)

stop check valve. (Courtesy of Crane Co., Valve Division. Head loss in a valve is due to dissipation of the kinetic energy of the large-velocity fluid near

the valve seat.

422 Chapter 8 ■ Viscous Flow in Pipes

KL ≈ 1.1

Q

Separatedflow

KL ≈ 0.2

Guide vanes

Q

(a) (b)

F I G U R E 8.31 Characterof the flow in a mitered bend and theassociated loss coefficient: (a) withoutguide vanes, (b) with guide vanes.

90!

TAB L E 8 . 2

Loss Coefficients for Pipe Components (Data from Refs. 5, 10, 27)

Component

a. ElbowsRegular flanged 0.3Regular threaded 1.5Long radius flanged 0.2Long radius threaded 0.7Long radius flanged 0.2Regular threaded 0.4

b. return bendsreturn bend, flanged 0.2return bend, threaded 1.5

c. TeesLine flow, flanged 0.2Line flow, threaded 0.9Branch flow, flanged 1.0Branch flow, threaded 2.0

d. Union, threaded 0.08

*e. ValvesGlobe, fully open 10Angle, fully open 2Gate, fully open 0.15Gate, closed 0.26Gate, closed 2.1Gate, closed 17Swing check, forward flow 2Swing check, backward flow !

Ball valve, fully open 0.05Ball valve, closed 5.5Ball valve, closed 210

*See Fig. 8.32 for typical valve geometry.

23

13

34

12

14

180°180°180!

45°,45°,90°,90°,

90°,90°,

KL

ahL " KL V22g b

V

V

V

V

V

V

JWCL068_ch08_383-460.qxd 9/23/08 10:54 AM Page 422

Ejemplos de flujo en Tuberías Simples La naturaleza del proceso de solución para problemas de flujo en tuberías puede depender fuertemente de cuáles de los diversos parámetros son independientes (“dado”) y cual es el parámetro dependiente (“por determinar”). Los tres tipos mas comunes de problemas se muestran en la tabla 8.4 en términos de los parámetros en cuestión. Se supondrá que este sistema de tubería esta definido en términos de la longitud de las secciones de tubos usados y del numero de curvas, codos y válvulas necesarios para transportar el fluido entre las ubicaciones deseadas. En todos los casos se supondrá que se conocen las propiedades del fluido

Problema (Tipo I, Determinar la caída de presión) Desde el sótano hasta un segundo piso de un edificio circula agua a 60 oF por una tubería de cobre con un diámetro de 0.75 plg (0.0625 ft) a un caudal Q = 12.0 gal/min = 0.0267 ft3/seg y sale a través de un grifo que tiene un diámetro de 0.50 plg como se muestra en la figura. Determine la presión en el punto (1) si : (a) todas las perdidas son despreciadas, (b) solamente se incluyen las perdidas mayores, (c) Todas las perdidas son incluidas.

Distribución de Presión a lo largo de la tubería Flujo presentado en término de los conceptos de línea de energía

Problema 2. Problema (Tipo I, Determinar la perdida de carga) Aceite crudo a 140 oF con un γ = 53.7 lb/ft3 y µ = 8x10-5 lb.seg/ft2 (aproximadamente 4 veces la viscosidad del agua) es bombeado en Alaska a través de una línea de bombeo de 799.00 millas de longitud y 4 ft de diámetro. El material con el que esta construido la tubería es acero, el caudal es de Q = 2.4 millones de barriles/por día = 117 ft3/seg o V = Q/A = 9.31 ft/seg. Determine la potencia de la bomba necesaria para poder manejar este sistema

Problema 3. Problema (Tipo II, Determinar el caudal)

La turbina mostrada en la figura, extrae 50 hp del agua que circula a través de ella. . La línea de tubería tiene 300 ft de longitud y 1 ft de diámetro, y se asume que tiene un factor de fricción de 0.02. Las perdidas menores son despreciables. Determine el caudal que fluye a través del tubo y la turbina.

Problema 4. Problema (Tipo III, Sin Perdidas menores determinar el diámetro) Airea temperatura y presión normales circula por una tubería horizontal de hierro galvanizado (ε = 0.0005 ft) a 2.0 ft3/seg. Determinar el diámetro mínimo de la tubería si la caída de presión no debe ser mayor que o.50 lbf/plg2 por 100 pies de tubería.

Problema 5. Problema (Tipo III, con Perdidas menores determinar el diámetro)

Agua a 60 oF (ν = 1.21 x 10-5 ft2/seg, ver tabla 1.5) fluye de un deposito A a un deposito B a través de una tubería de una longitud de 1700 ft y una rugosidad de 0.0005 ft, el caudal es de 26 ft3/seg como se muestra en la figura. El sistema contiene una entrada con esquinas y 4 codos bridados de 45o. Determine el diámetro del tubo necesario

Conductos No Circulares Las correlaciones empíricas para el flujo de tubería también pueden emplearse en cálculos que implican ductos no circulares, siempre que sus secciones transversales no sean demasiados exageradas. Estos ductos de sección transversal cuadrada o rectangular pueden tratarse si la razón de la altura al ancho es aproximadamente menor que 3 o 4. A pesar de la diferente forma del área transversal, los efectoa inerciales en un flujo desarrollado laminar son nulos de aquí que el factor de fricción pueda ser escrito en la siguiente forma: Donde la constante C depende de la forma particular del ducto y ReH es el número de Reynolds basado en el diámetro hidráulico (DH): Donde A es el área, y P es el perímetro mojado del tubo, también se usa DH en la rugosidad relativa ε/DH. El valor de C = ƒReH para flujo laminar ha sido bien obtenido de la teoría y de datos experimentales para varias formas de tubos.

h

CfRe

=

g

VDlf

h

DD

D

PAD

PAD

VD

HL

H

H

HH

2

444

4

Re

2

2

!"#

$%&

=

=!"#$

%&

==

=

=

π

π

µρ

Los cálculos para flujo completamente desarrollado turbulento en ductos no circulares son usualmente utilizando el diagrama de Moody que se utiliza para tubos redondo, con la diferencia que se utiliza el diámetro hidráulico. Estos cálculos tienen una precisión del 15%. Problema 2. Aire bajo condiciones Standard esta fluyendo a través de una sección de prueba (secciones 5 y 6) en un circuito cerrado de un tunal de viento como se muestra en la figura, con una velocidad de 200 ft/seg. El flujo es manejado por un ventilador que esencialmente incrementa la presión estática por la cantidad p1-p9, que es la necesaria para vencer las perdidas debido a que el fluido fluye a través de un circuito. Estime el valor de P1-P9 y la potencia suministrada a el fluido por el ventilador.