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ECUACION DIFERENCIAL DE BESSEL UNIVERSIDAD NACIONAL DE
INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA
FUNCION GAMMA
La funcin gamma se define como:
(r)= ( )
dx, para r R+
PROPIEDADES
Se demuestra fcilmente que:
a) (r+1)=r (r) para r>0
b) (1)= 1
c) (1/2)=
d) En particular si r= n Z+ entonces (n+1)=n! Por esta razn a la
funcin gamma se
le conoce como la funcin factorial generalizada.
e) Se puede definir (r)= (r+1)/r, r R Z0-
DEMOSTRANDO
(r+1)=r (r)
(r+1)= ( )
dx= ( )
dx
Recordar
( )
dx= ( )
dx
( )
dx w=xn dv= dx
dw= nxn-1dx v=-e-x
(r+1)= ( )
dx
= ( )
= ( )
= 0 +
dx
= n ( )
dx=n (n)
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(n+1)=n(n)
(n+1)=n !
=n (n)=n(n-1) (n-1)=n(n-1) (n-2) (n-2)=n(n-1)(n-2)..3x2x1) (1) =
n!
Funcin Gamma en el eje real
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Valor absoluto de la funcin gamma en el plano complejo.
LA ECUACION DE BESSEL
La ecuacin diferencial lineal de segundo orden x2y + xy + (x2
r2)y=0 (1)
Donde r es un numero real no negativo, se conoce como la ecuacin
de bessel de orden r
Buscaremos una base para el espacio solucin de la ecuacin (1)
alrededor de x0=0
Clculo de la primera solucin:
Sea y1(x)= xn k xk = kx
n+k la primera solucin, Derivando y reemplazando en
(1);
( )( ) k xn+k + ( ) k x
n+k + k xn+k +2 r2 k x
n+k =0
Por coeficientes indeterminados
n2r2=0 (ecuacin indicial) resolviendo tenemos n=+-r -> n1=r,
n2=-r
Tambin (n2+2n+1-r2)a1=0
Finalmente (n+k)(n+k-1)ak +(n+k)ak +ak-2 - r2ak =0, k>=2
ak= -1ak-2/(n+k)2-r2; k>=2
Si n=n1=r en (2) (2r+1)a1=0->a1=0
En (1) aK=-1ak-2/(r+k)2-r2 -> ak= -1ak-2/k(2r+k), k>=2
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Para k=2 -> a2=-a0/2(2r+2)
Para k=3 ->a3= -a1/3(2r+3) =0
Para k=4 ->a4=(-1)2a0/2.4.(2r+2)(2r+4)
Para k=5 -> a5= -a3/5(2r+5) =0
Para k=6 ->a6= (-1)3a0/2.4.6(2r+2)(2r+4)(2r+6)
Para k=7 ->a7=0
Para k=8 -> (-1)4a0/2.4.6.8(2r+2)(2r+4)(2r+6)(2r+8)
.
.
.
La solucin y1(x) es y1(x)=xn kx
k
->y1(x) = xr( a0+-(1)a0/2(2r+2)x
2+(-1)2a0x4/2.4(2r+2)(2r+4)+ (-1)3a0x
6/2.4.6(2r+2)(2r+4)(2r+6)
+ (-1)4a0x8/2.4.6.8 (2R+2) (2r+4) (2r+6) (2r+8)+.)
Y1(x)=a0xr
( )
( )( ) ( )
En donde a0 es una constante arbitraria
Si en particular tomamos a0 =
( ) la solucin anterior se convierte en la siguiente
solucin particular:
Y1(x)= ( )
( )( ) ( ) ( )
a la cual se denomina funcin bessel de orden r
de primera clase y se representa por Jr(x)
Luego Jr(x)= ( )
( )( ) ( ) ( )
= ( ) (
)
( ) ( )
CASOS PARTICULARES
1) si r=0 nos queda J0(x)= ( ) (
)
( )
2) si r=m=entero no negativo nos queda
Jm(x)= ( ) (
)
( )
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Funciones de Bessel de primera especie, Jr(x), para rdenes
enteros r=0,1,2..
Clculo de la segunda solucin:
CASO 1: Si r>0
Se obtiene:
( )
( ) ( )
(
)
Solucin general es:
( ) ( ) ( )
CASO 2: Si r=0. Una solucin de la ecuacin de Bessel ser:
Es
( )
(
)
Entonces:
( )
( ) derivando y reemplazando se obtiene:
( ) ( ) ( )
(
) (
)
( )
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Solucin general es:
( ) ( ) ( )
CASO 3: Si r=m
L a segunda solucin es de la forma:
( ) ( )
( )
(
)
( ) [ ]
( ) (
) ( )
Donde:
Solucin general es:
( ) ( ) ( )
PROPIEDADES
1. 2J'r(x) = Jr-1(x) - Jr+1(x) ; Jr+1(x) =
Jr(x) - Jr-1(x)
Demostracin:
Jr(x) = ( ) (
)
( )
Jr-1(x) = ( ) (
)
( ) =
(
)
( )
( ) (
)
( ) .. ()
Jr+1(x) = ( ) (
)
( ) =
( ) (
)
( ) ( ) . ()
De () - () :
Jr-1(x) - Jr+1(x) = (
)
( ) ( ) (
)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
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Jr-1(x) - Jr+1(x) = (
)
( ) ( ) (
)
( )
Jr-1(x) - Jr+1(x) = (
)
( ) = 2J'r(x)
2. xJ'r(x) + rJr(x)= xJr-1(x) ; xJ'r(x) - rJr(x)= -xJr+1(x)
Demostracin:
Jr(x) = ( ) (
)
( )
xJ'r(x) = x ( )( ) (
)
( ) ( ) ()
xJr-1(x) = x ( ) (
)
( ) ()
De () - () :
xJr-1(x) - xJ'r(x) = x ( ) (
)
*
( )
( )+
- xJ'r(x) = x ( ) (
)
*
( ) ( )+ = r Jr(x)
xJ'r(x) + rJr(x)= xJr-1(x)
3.
[ ( )] =
( ) ;
[ ( )] =
( )
4. ( )[ ] = ( )
PROBLEMA 1
Demostrar q : xJ1(x) = 4 ( ) ( )
Solucin:
Sabemos q : Jm+1(x) + Jm-1(x) =
Jm(x)
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Para m =2 J3(x) + J1(x) =
J2(x) J1(x) =
J2(x) - (x) (1)
Para m =4 J5(x) + J3(x) =
J4(x) J3(x) =
J4(x) - (x) (2)
Reemplazando (2) en (1) : J1(x) =
J2(x) -
J4(x) + (x) ... (3)
Para m =6 J7(x) + J5(x) =
J6(x) J5(x) =
J6(x) - (x) .. (4)
Ahora (4) en (3) :
J1(x) =
J2(x) -
J4(x) +
J6(x) - (x) . (5)
Continuando sucesivamente, encontramos el termino general.
De J2m+1(x) + J2m-1(x) =
J2m(x) J2m-1(x) =
J2m(x) - J2m+1(x)
Luego en (5) tenemos :
J1(x) =
J2(x) -
J4(x) +
J6(x) + . + ( )
J2m(x) + .
x J1(x) = 4(J2(x) -2J4(x) + 3J6(x) + . + ( ) J2m(x) + .)
x J1(x) = 4 ( ) ( )
Resolver:
Solucin:
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( )
( )
Reemplazamos:
(
)
(
) (
) (
) (
)
( ) (
) ( )(
) ( )
Notamos que tiene la forma de una ED de Bessel de orden n=0
( ) ( ) ( )
Reemplazando
( ) ( ) ( )
Resolver:
Solucin:
Reemplazamos:
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( ) ( ) ( )
Ordenando la ecuacin:
( )
Notamos que tiene la forma de una ED de Bessel de orden n=1
( ) ( ) ( )
