Ecuacion Diferencial Homogenea de Primer Orden

8/18/2019 Ecuacion Diferencial Homogenea de Primer Orden

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Ecuacion Diferencial Homogeneade Primer Orden OCTUBRE 16, 2014 DE MANUEL ALEJANDRO VIVAS RIVEROL20

Ecuacion diferencial homogenea de primerorden

Una vez que ha a! "na#$za%& #a #e'(u)a %e e!(e a)(*'u#& +&%) ! )e!ve) 'ua#qu$e)e'ua'$-n %$.e)en'$a# h&/& enea %e +)$/e) &)%en, /e%$an(e un / (&%& e"'az . '$# %ea+#$'a), '&n #& que ) +$%a/en(e +&%) ! )e!ve) (u! e e)'$'$&!3

Se n #a D&'(&)a Ba)5a)a Oa #e +)&.e!&)a %e $n en$e)*a en e# %e+a)(a/en(& %e$n en$e)*a %e !$!(e/a! e $n%u!()$a# %e #a un$ve)!$%a% %e Oa #an% en R&'he!(e),M$'h$ an7 una %e #a! .&)/a! n& !& %e )e'&)%a) $n.&)/a'$-n !$ n& (a/5$ n %e'&/+)en%e)#a e! )ea#$zan%& ana#& *a! 8& /e( .&)a! que )e#a'$&nen #a $n.&)/a'$-n queque)e/&! a+)en%e) '&n '&n&'$/$en(& . '$# %e )e'&)%a) +a)a n&!&()&!, +&) e e/+#&'uan%& v$!ua#$za/&! #a '&))$en(e e# '()$'a '&/& 9u & %e a ua3

O 'uan%& ha'e/&! #a! /e(a.&)a! +a)a )e#a'$&na) #&! CA(IONES '&n e# !$ n& :;< #&!AnIONES '&n e# !$ n& := , n E>ATIVO< u($#$zan%& !u! +)&+$a! #e()a!3

?&) e!(e /&($v&, (e +)&+&n & .&)/u#a) una ana#& *a +a)a )e'&)%a) '-/& $%en($"'a) unaED h&/& nea %e +)$/e) &)%en3 ?ue%e! ve) un e e/+#& en#a +)e!en(a'$-n@ &/& ene$%a% %e una e'ua'$-n %$.e)en'$a# %e +)$/e) &)%en3 U($#$za e#')$(e)$& %e h&/& ene$%a% %e una ED que a '&n($nua'$-n !e %e!')$5e3

Criterio de homogeneidad de una EcuaciónDiferencial

E# ')$(e)$& que %e(e)/$na #a h&/& ene$%a% %e una ED e! e# !$ u$en(e, 'uan%& vea! unaED e!')$(a %e e!(a .&)/a@

M( , )% + N( , )% =0 M: ,


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que M=− C ) !− B + qM C ) ! B + q N= A / nN A / n, en(&n'e! :1< !e()an!.&)/a en@

–( C ) !+ B + q)% + A / n% =0:C ) !;B + q


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4/20

%u% %u% %u%2u4+ u2%u====4+3 u22u− u4+3 u2−2 u22u4+ u22u% %u% 4;Hu22u u

%u% 4;Hu2 2u22u %u% 4;u22u2u4;u2%u%

7aso 4. +ntegramos e inmediatamente después de aplicar la fórmulade integración regresamos a las varia'les originales.

Tene/&!@

∫2u%u4+ u2=∫% + CK2u%u4;u2 K% ;Cv= u2v u2 %v=2 u%u%v 2u%u

ln(4+ u2)=ln + C #n:4;u2< #n ;C

S$u= u en(&n'e!@

ln (4+ ( )2) ln (4+ ( )2) ln (4+( )2)4+

( )24+ 2 2 2 2 2 ========ln + Cln +lnCln C C C C−4 2(C −4) C 3−4 2−−−−−−

−− √ #n:4;:


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Dennis 5. 8ill* Capitulo !.9* E:ercicios !.9* 7ro'lema 1

-esolver la "iguiente Ecuación Diferencial

( − )% + %=0 :


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% %u% u 1 u %u% 1 %u %

7aso 4. +ntegramos e inmediatamente después de aplicar la fórmula deintegración regresamos a las varia'les originales.

Tene/&!@

%u ∫%u u===– % –∫% + C–ln + C%u% K%u K% ;C u #n;C

S$u= u , en(&n'e!@

==–ln + C− ln + C#n ;C #n ;C

?&) (an(&, e# )e!u#(a%& 5u!'a%& e!@

=− ln + C #n ;C

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

Dennis 5. 8ill* Capitulo !.9* E:ercicios !.9* 7ro'lema !

Re!ve) #a !$ u$en(e e'ua'$-n %$.e)en'$a#

( + )% + %=0 : ;


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: ;


8/20

v=(1+2 u)v :1;2u


9/20

= C3 – 2 CH 2

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

Dennis 5. 8ill* Capitulo !.9* E:ercicios !.9* 7ro'lema $

-esolver la siguiente ecuación diferencial

%+( −2 )% =0 % ;: 2


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%u%= G(u)− u %u% G:u< u &%v%= G(v)− v %v% G:v< v Tene/&!@

%u%(u−2) %u(u2−2 u+1)====−1− u(u−2) u−2−1− u2+2 uu−2−( u2−2 u+1) u−2–

% %u% 1 u:u 2


11/20

u2−2 u+1|–(1− u)−2+1 −2+1==– ∫% + C–ln| |+ C12K:2u 2


12/20

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

Dennis 5. 8ill* Capitulo !.9* E:ercicios !.9* 7ro'lema 4-esolver la "iguiente Ecuación Diferencial

%–2( + )% =0 % 2: ;


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%v% %v% %vv+2====2( v+1)− v2v+2− vv+2 % %v% 2:v;1< v %v% 2v;2 v v;2%v

v;2 %


Tene/&!@

∫%vv+2ln| v+2|== ∫% + Cln| |+ CK%vv;2 K% ;C#nv;2 #n ;C

S$v= v , en(&n'e!@

ln +2 ln +2 –ln| |

ln +2 ln +2 ln +2 2

+2 2 +2 2 +2 =========ln| |

+ CCCCCeCC1C1 2C1 2−2 #n ;2 #n ;C#n;2 #n C#n ;2 C#n ;2 C#n

;2 2C ;2 2 eC ;2 2 C1 ;2 C1 2 C1 2

2

?&) (an(&, e# )e!u#(a%& 5u!'a%& e!@

= C1 2−2 C1 2 2:H<

La )e+)e!en(a'$-n ) "'a %e e!(e )e!u#(a%& !e /ue!()a en #a igura 1 igura ! 3


14/20

igura 1. ?e)!+e'($va en Re#$eve %e #a Su'$-n >ene)a# :H


15/20

( 2+ )% + 2% ( 2+ )+ 2% % 2% % % %====00–( 2+ )−

( 2+ ) 2: 2;


16/20


Tene/&!@

∫%uu2+2 u∫%uu(u+2)==– ∫% + C–∫% + CK%uu2;2u K% ;CK%uu:u;2<

K% ;C

In(e )an%& +&) .)a''$&ne! +a)'$a#e!@

1u(u+2) = Au+ Bu+2 1u:u;2< Au;Bu;2E!(& $/+#$'a@

1≡ A(u+2)+ Bu1QA:u;2


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K% ;C12K%uu 12K%uu;2 K% ;C12#nu12#n u;2 #n ;C

S$u= u , en(&n'e!@

12ln –12ln +2 ln −− √ –ln +2−−−−− √ ln √ +2−−−

−− √ ln +2 −−−−− ln +2 −−−−−

−

√ ln +2 −−−−−−

√ +ln| |

ln +2 −−−−−− √ +2 −−−−−−√ 2( +2 ) 2 +2 2 ===========

–ln| |+ C–ln| |+ C–ln| |+ C–ln| |+ C–ln| |+ CCCeCC21 C2C2( +2 )12#n 12#n ;2#n ;C#n #n ;2 #n ;C#n ;2 #n

;C#n ;2 #n ;C#n ;2 #n ;C#n;2 ;#n C#n ;2

C ;2 eC 2: ;2 < C12 2 ;2 C2 2C2: ;2 <

?&) (an(&, e# )e!u#(a%& 5u!'a%& e!@

2 = C2( +2 ) 2 C2: ;2 <

La )e+)e!en(a'$-n ) "'a %e e!(e )e!u#(a%& !e /ue!()a en #a igura $ , igura4 igura 9 3


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igura $. >) "'a %e #a .a/$#$a %e !u'$&ne! %e #a ED :4<

igura 4. V$!(a en Re#$eve %e #a !u'$-n ene)a# %e #a ED :4<

La !$ u$en(e " u)a en HD e! /an$+u#a5#e3 ?a)a ve) a %e(a##e #a " u)a, +&!$'$-na(e '&n e#+un(e)& %e# /&u!e !&5)e e##a %e a +)e!$&na%& e# 5&(-n $zqu$e)%& :'#$' $zqu$e)%& '&ne# /&u!e< /$en()a! #& /ueve!3 C&n e!(& +&%) ! ve) e# %e(a##e %e #a " u)a en


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HD3 N&(a@ e! +&!$5#e que ne'e!$(e! $n!(a#a) e# !&.( a)e +a)a /ane & %e CDG%e P.)a/, %a '#$' aquí para instalarlo .

E# '-%$ & %e MAT EMATICA +a)a ene)a) #a! " u)a! %e# E e)'$'$& 6, e! e# !$ u$en(e@

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