Guía Especial PsuEcuación vectorial de la recta

Nombre:____________________________________________________4º_____

Conceptos previos:

Un vector es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo). Ejemplo:

ELEMENTOS DE UN VECTOR:

Dirección: Corresponde a la pendiente o inclinación de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.

Sentido: El sentido del vector, es el que va desde el origen hasta el extremo. Módulo: El módulo del vector AB es la longitud del segmento AB, y se representa

por . El módulo es un valor positivo o cero.El módulo de un vector se puede determinar de dos maneras:1. Si conocemos las componentes del vector posición (que sale desde el origen)

y es

Ejemplo:

Sea el vector

2. Si conocemos las coordenadas del vector: y B (x2 , y2 )

igual que la fórmula de la distancia

Ejemplo: Si : y B (−3 , 5 )

1

2 21 2u u u

u 3 , 4

2 2u 3 4 9 16 25 5

2 22 1 2 1AB x x y y

22 2 2AB 3 4 5 6 7 11 49 121 170

COORDENADAS DE UN VECTOR:

Si las coordenadas de los extremos A y B son: y B (x2 , y2 )

Las coordenadas del vector posición asociado al son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen:

Ejemplo:

Si: y B (2 , 4 )

Y el vector

VECTOR POSICIÓN:

Es aquel vector que une el origendel sistema de coordenadas O con un punto P, es el vector posición de P.

Ejercicio de muestra DEMRE para PSU 201539. Dados los vectores = (m, 2) y = (3, 4), ¿cuál de los siguientes números puede ser el valor de m para que la longitud del vector sea el doble de la longitud del vector ?

A)

B)

C)

D) E) 1

2

2 7 , 4 1 9 , 3AB AB vectorposicion

7 2 ,1 4 9 , 3BA BA vectorposicion

v u

vu

961044621

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR:

Consiste en un multiplicar por un número real K las componentes de un vector para generar otro vector que será k veces mayor (o menor) que el vector dado

Ejemplo:

Si y el escalar

Luego es un vector 5 veces mayor que el vector dado.Obs. Al ponderar un vector por (-1) el vector cambia de sentido y se obtiene el vector opuesto.

Ahora estamos en condiciones para poder calcular la ecuación vectorial de la recta.

Recordemos que en geometría analítica para calcular la ecuación de la recta (y = mx + n) necesitamos como mínimo un punto y la pendiente o bien dos puntos (ya que con éstos calculamos la pendiente).

Para el caso de la ecuación vectorial, es similar, necesitamos un vector posición y un vector director , este último nos indica la dirección de la recta, la cual podemos vincular con la inclinación, es decir, la pendiente.

La ecuación vectorial L es: (x, y) = + con en los números reales Obs: Por cada número real que es remplazado en se genera un punto de la recta L.

3

u 1, 2

u 5 ( 1), 5 (2) u 5,10

p

d

p

d

Ejemplo. = (1, 2), = (1, -1) Ecuación de la recta L es (x, y) = (1, 2) + (1, -1)

En caso de no conocer el vector director, es necesario tener dos vectores (o puntos A y B de la recta, al igual que en la forma analítica) y determinar así el vector director .

Dados los vectores , logramos el vector dirección d, o da lo mismo solamente nos interesa la dirección y no el sentido.

Entonces dado:= (x1, y1) = (x2, y2) =( x2 - x1, y2 - y1)

La ecuación de la recta es (x, y) = + o también (x, y) = +

Ejemplo: Determina la ecuación vectorial de la recta que pasa por A (-3, 6) y su vector director es

Conocemos un punto y el vector director, por lo tanto:

o bien

4

p

d

( , ) (1, 2) 2(1, 1) (3, 0)

( , ) (1, 2) 3(1, 1) (4, 1)

( , ) (1, 2) ( 1)(1, 1) (0, 3)

( , ) (1, 2) ( 2)(1, 1) ( 1, 4)

x y

x y

x y

x y

a y b

ab d

a y b

d b a

d a b

a

b

d

abK

a

d

b

d

v (1, 1)

(x ,y) ( 3, 6) (1, 1) r ( 3, 6) (1, 1)

EJERCICIOS:

1. Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto (2 ,3) y tiene y tiene como vector dirección

2. Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos A (-2, 3) y B(1, 4).

Para el caso de las rectas en IR3 (Espacio de 3 dimensiones)

La ecuación (x, y, z) = + donde , son vectores de R3

Ejemplo. La ecuación de la recta que pasa por el vector (2, 3, 5) y tiene vector dirección (9, 8, 7) es. (x, y, z) = (2, 3, 5)+ (9, 8, 7).

Ejemplo. Cuál es la ecuación de la recta que pasa por los vectores (1, 2, 3) y (4, 5, 6,)Primero calculamos el vector director = (4-1, 5-2, 6-3) = (3, 3, 3)

Entonces la ecuación es (x, y, z) = (1, 2, 3)+ (3, 3, 3)

Hay una relación directa entre la ecuación analítica y = mx + n con la recta vectorial

(x, y) = +

Si en una ecuación vectorial el vector director o dirección es = (x1, y1) entonces la

pendiente es

Ejemplo Dada la ecuación vectorial (x, y) = (-7, 2) + ( -2, 3) encontrar la ecuación analítica asociada a ella.

Fácil (x – x1) m = y – y1 3x + 21 = -2y + 4 3x + 2y + 17 = 0 Otra forma de hacer lo mismo es:

5

( 2,1)v

p

d

p

d

d

p

d

d

1

1

ymx

3 + 7 · – 22x y

Dada la ecuación vectorial de la recta: Como nos piden la ecuación cartesiana, podemos determinar el producto escalar λ (4 ,3) = ( λ⋅4 , λ⋅3 )Luego nos queda:

Si igualamos las componentes,x = 2 + 4 λ e y = −1 + 3 λSi despejamos λ en ambas ecuaciones:x − 2

4= λ

ySiendo esta la ecuación cartesiana solicitada.

esta ecuación se llama ecuación continua de la recta.Ejemplo Si nos dan la ecuación 4x – 5y = 8, encontrar la ecuación vectorial asociada a ella.

Solución. 4x – 8 = 5y = (5, 4) Falta un vector posición, que lo obtenemos de 4x – 8 = 5y, si x = 2 y = 0 vector posición es (2, 0), es uno de una infinidad.

La ecuación vectorial buscada es (x, y) = (2, 0) + (5, 4)

RECUERDA:

Para que dos rectas sean paralelas deben tener igual pendiente o vector director.

Ejemplo L1 y = 2x + 3 vector dirección (1, 2), vector posición (0, 3) ecuación vectorial (x, y) = (0, 3) + (1, 2) L2 y = 2x + 6 vector dirección (1, 2), vector posición (0, 6) ecuación vectorial (x, y) = (0, 6) + (1, 2)observa que los vectores dirección son iguales o múltiplos

Para que dos rectas sean perpendiculares, el producto de sus pendientes debe ser (-1). Consideremos 2 rectas perpendiculares L1 y L2 L1 y = 2x + 3 vector dirección (1, 2), vector posición (0, 3) ecuación vectorial (x, y) = (0, 3) + (1, 2)

L2 y = vector dirección (2, -1), vector posición (0, 7) ecuación Vectorial (x, y) = (0, 7) + (2, -1)

6

(x,y) (2 , 1) (4 ,3)

1 2 1 3 6 4 4 3 4 103 4 3y x y x y x y

2 14 3

x y

4 85 5x y

45m

d

1 72 X

( x , y )=(2 , −1 ) + ( 4 λ , 3 λ )( x , y )= (2+4 λ , −1+3 λ )

Observa los vectores dirección, (1, 2) y (2, -1), las componentes cambiadas y una con signo cambiado.

Producto punto entre vectores

Sea se define el producto punto entre vectores como Éste valor en un número real que llamaremos

escalar. Que hace que el producto punto también se llame producto Escalar

Otra definición para el producto escalar es Esta definición nos permite calcular el ángulo entre 2 vectores.

(Contenido no incluido de la PSU)Ahora podemos deducir que, si dos vectores son perpendiculares entonces su producto escalar es cero y viceversa. Usemos el párrafo para ejemplificar = (1, 2), =(2, -1) entonces el producto escalar es · = (1, 2)· (2, -1) = (1· 2) + (2 · -1)= 0

El producto escalar para vectores en IR 3 se define de la misma manera con las extensiones correspondientes.Sea se define el producto punto entre vectores en el espacio como

EJERCICIOS:1. Determina la ecuación vectorial de la recta que pasa por el vector A (5,-2) y tiene vector dirección

2. Determina la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto medio de A (1, 8) y B (3, 2) y por el punto C (-2, 4)

3. Determina la ecuación cartesiana de la recta a partir de la ecuación vectorial, (x, y) = (5, -8) + (3, -4)

4. Determina la ecuación vectorial de la recta que pasa por el origen y es perpendicular a la recta (x, y) = (1, -9) + (5, -1)

7

1 1 2 2( , ) y b ( , )a x y x y

1 1 2 2 1 2 1 2· b ( , )·( , ) · ·a x y x y x x y y

· b · · cosa a b

1 ·cos·

a ba b

1d

2d

1d

2d

1 1 1 2 2 2( , ,z ) y b ( , ,z )a x y x y

1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2· b ( , ,z )·( , ,z ) · · ·a x y x y x x y y z z

v (3, 0)

5. Determina la ecuación vectorial de la recta que pasa por los vectores T (6,-4) y por R (3, -2)

6. Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto medio de M (1, -3) y N (6, 1) y por el punto medio del segmento que pasa por A (7, 7) y B (2, -2)

7. Determina el módulo del vector ST , siendo S(1, -9) y T (3, 6)

8. Calcula la suma de los vectores S y T del ejercicio anterior.

VECTOR UNITARIO: Es el que tiene un módulo igual a 1

Normalizar un vector: consiste en obtener otro vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado.

A todo vector se le puede asociar un vector de módulo 1 o longitud 1

que llamaremos vector unitario de y es igual a Ejemplo: Si   es un vector de componentes (3, 4), hallar un vector unitario de su misma dirección y sentido.

= (3, 4)

Componentes del vector.

8

1 1v (x , y )

v

vv

v

v 2 2v 3 4 5

1 3 4u ·(3, 4) ,5 5 5

Un vector en el espacio Euclídeo tridimensional se puede expresar como una combinación lineal de tres vectores unitarios o perpendiculares entre sí que constituyen una base vectorial.En coordenadas cartesianas, los vectores unitarios se representan por i, j , k paralelos a los ejes de coordenadas x, y, z positivos. Estos son i = (1, 0, 0 ), j =(0, 1, 0 ) , k = (0, 0, 1 ) En IR2 estos vectores son i = (1, 0), j =(0, 1)

Encuentre un vector unitario en la dirección que el vector dado. O dicho de otro modo normalizar el vector v

1. v = i + j 3. v = 2 i + 5 j 4. v = -7 i + 3 j 6. v = -2 i – 2 j – 6k 7. v = a i – a j + a k

Determine si los vectores dados son ortogonales, paralelos o ninguno de los dos.

1. u = 2 i – 6 j; v = -i + 3 j

u = 2 i – 6 j u= (2, -6) ; v = -i + 3 j v= (-1, 3) conclusión son paralelos

2. u = 4 i – 5 j; v = 5 i – 4 j

3. u = 4 i – 5 j + 3 k; v = -5 i + 4 j + 2 k

4. u= -7 i – 7 j –7 k; v = -i + j - k

Vectores en 3 dimensiones IR 3 (en el Espacio)

Distancia entre 2 puntos en IR3, Sean A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2)

Punto Medio entre Ay B Ecuación vectorial de la recta AB

9

2 2 21 2 1 2 1 2d(AB) (x x ) (y y ) (z z )

1 2 1 2 1 2x x y y z zM , ,2 2 2

1 1 1 1 2 1 2 1 2AB (x , y , z ) (x x , y y , z z )

Si (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) y entonces // Si (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) y

EJERCICIOS

1. Dados los puntos A(1, 7, 3), B(–1, 3, 0), C(3, –4, 11) y D(1, 0, –5):

a) Halla las coordenadas de los vectores y (Se obtiene restando el vector extremo menos el vector origen)b)

c)

d)

Para halla el punto medio del vector

M( )= = ( 0, 5, )

2. Ahora obtendremos las ecuaciones paramétricas, a partir de la ecuación vectorial (x, y)= (2, 3) + (-4, 5) (x, y)= (2 -4, 3 + 5)Igualando las componentes de los vectores, se obtienen las ecuaciones de paramétricas

3. Vamos a la ecuación en forma continua desde una ecuación vectorial, paramétrica y continua, de la recta que pasa por estos puntos: A(–5, 3, 7) y B (2, –3, 3).

Vector dirección: se obtiene como la diferencia entre los dos vectores dados (2, –3, 3) – (–5, 3, 7) = (7, –6, –4)

Ecuación vectorial: Se obtiene como la expresión de la suma del vector posición y el vector dirección por un escalar o número real. Ecuaciones paramétricas: (Se obtienen ponderando y sumando los 2 vectores que componen a la ecuación vectorial y luego igualando componente a componente) X= 2 + 7 , Y= –3 – 6 , Z= 3 – 4

10

v u

1 1 1

2 2 2

x y zx y z

v u

v u

1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2· ( , ,z )·( , ,z ) · · ·

u v x y x y x x y y z z

CD

DA

AC DB

3· 7·AC DB

· 4·AB AC DB

AB

AB1 1 7 10 3 0, ,2 2 2

32

2 4   3 5xy

AB (2, 3, 3) (7, 6, 4)

Ecuación continua: (se obtiene despejando en cada una de las ecuaciones paramétricas anteriores e igualando los despejes)

En general, si una recta pasa por el punto (a, b, c) y tiene la dirección del vector (m, n, w), la ecuación continua de la recta está dada por la siguiente expresión:

Para obtener las ecuaciones analíticas o cartesianas de la recta a partir de las ecuaciones paramétricas, estas se amplifican y suman para eliminar .

Ejemplo

Sumando 2x – 5y = -18

Ejercicio de muestra DEMRE para PSU 2015

En las opciones se muestran ecuaciones vectoriales, para t variando en losnúmeros reales, ¿en cuál de ellas la recta asociada NO pasa por el origen?

A) v (t) = t (1, 2, 3)B) p (t) = (2, 4, 6) + t (1, 2, 3)C) g (t) = (-3, 9, -12) + t (1, -3, 4)D) n (t) = (-2, -10, -28) + t (1, 5, 14)E) m(t) = (2, 10, 21) + t (1, 5, 7)

Ejercicios1. Dado el vector = (1,-3), se pide:

a. Hallar las coordenadas de A sabiendo que las de B son (0, 2).b. Hallar las coordenadas de B sabiendo que las de A son (-2, 3).c. Si el vector AB = 3CD, y las coordenadas de C son (-1, 4) hallar las coordenadas de D.d. Averiguar las coordenadas de un vector v sabiendo que v + 2AB = BA.

Sol: a)A(-1, 5); b) B(-1, 0); c) D(-2/3, 3); d) V=(-3, 9)

2. Hallar las ecuaciones paramétricas, continua, general, principal, vectorial de la recta que pasa por el punto A(-2, 3) y cuyo vector de dirección es v(3, 4).

3. Hallar, si existe, un punto de la recta que su abscisa sea 6. Hallar también, si existe, un punto de la recta con ordenada -4.

4. Hallar las diversas formas de la ecuación de la recta:

11

x 2 y 3 z 37 6 4

x a y b z cm n w

x 1 5y 4 2

(x 1 5 ) ·(2)(y 4 2 ) · ( 5)

2x 2 105y 20 10

AB

a. Que pasa por A(3, -1) y B(5, 2).b. Que pasa por A(-2, 4) y tiene de pendiente -2.

c. Que pasa por el punto A(1, -3) y es paralela a la recta x + 3 = 0.d. Que pasa por el punto A(-1, 2) y es paralela al eje de abscisas.5. Hallar el valor de k para que:

a. El punto (1, 2) pertenezca a la recta x - 3ky + 3 = 0.b. El punto (k, 1) pertenezca a la recta x + 2y - 4 = 0.c. Los puntos (1, 2), (5, -6) y (7, k) estén alineados.d. La recta 2x + ky - 1 = 0 tenga de vector director v = (-5, 3).e. La recta kx - 3y + 2 = 0 tenga de pendiente m = -3/2.f. Las rectas r: y = 9kx + 2 y s: 4x - ky + 1 = 0 sean paralelas.g. Las rectas r: 2x + 3ky + 2 = 0 y se corten en un punto.

Sol: a) 2/3; b) 2; c) -10; d) 10/3; e) -9/2; f) ±2/3; g) k…4/3

EJERCICIOS DE VECTORES Y RECTAS VECTORIALES

1. ¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por los puntos (-3, 4) y (5, -1)?

A) 85 B) -

58 C) -

85 D) -

55 E)

23

2. ¿Cuál es la ecuación principal de la recta que pasa por los puntos (2, 3) y (-1, 5)?

A) y=−2x+13 B) y=−3

2x+6

C) y=−2

3x+13

3 D) y=3

2x+6

E) y=2

3x+13

3

3. ¿Cuál es la pendiente de la recta cuya ecuación es 3x + 2y = -3?

12

A) 2 B) 3 C) -23 D)

32 E) -

32

4. Si la pendiente de una recta que pasa por el punto (-3, -3) es 3. ¿Cuál es la ordenada del punto que pertenece a la recta cuya abscisa es 6?

A) 3B) 6C) 18D) 21E) 24

5. ¿Cuál de los siguientes vectores es el vector dirección de la recta que pasa por los puntos (1, 1) y (1, 5)?A) B) C) D) E)

6. ¿Cuál de los siguientes puntos no pertenece a la recta que pasa por (1, 1) y tiene dirección ?A) (2, 3) B) (1, 1) C) (0, -1) D) (3, 5) E) (-1, 3)

7. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, -4) y es perpendicular a y = 3x – 9?

A) y=−1

3x−3

B) y=−3x−3 C) y=−3x+5 D) y=−1

3x+1

E) y=−1

3x+5

8. ¿Cuál es el área, medida en unidades cuadradas (u2), limitada por los ejes x e y con la recta de ecuación y = -3x + 1?

A) 13u2

B) 12u2

C) 1 u2

D) 3 u2

13

u (0, 4)

v (1, 0)

q (2, 0)

p (3, 0)

r (2, 6)

v (1, 2)

E) 16u2

9. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones vectoriales no corresponde a la recta que pasa por los puntos (-2, 3) y (3, 5) (considera IR)A) L: (x, y) = (-2, 3) + (3, 5)B) L: (x, y) = (-2, 3) + (5, 2)C) L: (x, y) = (3, 5) + (5, 2)D) L: (x, y) = (-2, 3) + (5, 2)E) L: (x, y) = (-2, 3) + (10, 4)

10. ¿Cuál es una ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto (5, 3) y tiene como vector dirección a (-2, 5)? (considera IR)A) L: (x, y) = (-2, 5) + (5, 3)B) L: (x, y) = (5, 3) + (-2, 5)C) L: (x, y) = (5, 5) + (-2, 3)D) L: (x, y) = (-2, 5) + (5, 3)E) L: (x, y) = (5, 3) + (1 - )(-2, 5)

11. ¿Cuál de los siguientes vectores es el vector dirección de la recta que pasa por los puntos de coordenadas (-4, 1) y (3, -3)?A) B) C) D) E)

12. Considera los puntos P(4, 2), Q(6, 8) y R(-1, -1) del plano cartesiano. ¿Cuál es la ecuación continua de la recta que pasa por el punto medio de PQ y tiene la dirección del RQ ?

A) x−5

7= y−5

9

B) x+5

7= y+5

9

C) x−7

5= y−9

5

D) x+7

5= y+9

5

E) x−5

7= y+5

9

13. Si el punto (10, 12) pertenece a la recta de ecuación x−1y−3

= k3 , ¿Cuál es el valor de

k?

14

u (1, 2)

v (7, 4)

q (4, 7)

p ( 7, 4)

r ( 7, 4)

A) 1 B) 3 C) 9 D) 12 E) 27

14. ¿Cuál es la ecuación vectorial de la recta cuya ecuación continua es x−2

2= y−1

1= z−1

2 ? (considera k IR)

A) L: (x, y, z) = (-2, -1, -1) + k(2, 1, 2)B) L: (x, y, z) = (2, 1, 1) + k(2, 1, 2)C) L: (x, y, z) = (2, 1, 2) + k(2, 1, 1)D) L: (x, y, z) = (-2, -1, -2) + k(2, 1, 1)E) L: (x, y, z) = k(2, 1, 2)

15. ¿A cuál de los siguientes planos P pertenece el punto (3, 4, -2)?

A) P: 3x + 4y – 2z = 0B) P: x + y + z = 5C) P: 2x - y + z = 4D) P: -x + y – z = -3E) P: 3x + 4y – 2z = -13

16. Si se conocen las ecuaciones vectoriales de dos rectas en el espacio, ¿Cómo es posible determinar si son paralelas?

I. Verificando que sus vectores dirección sean iguales.II. Determinando si sus ecuaciones continuas asociadas son iguales.III. Verificando que sus vectores dirección sean uno un ponderado del otro y sus vectores posición no correspondan a la misma recta.

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo II y IIIE) Ninguna

17. ¿Cuál(es) de los siguientes puntos pertenece(n) a la recta con ecuaciones continuas x−1

5= y−2

4= z−3

3?

I. P(1, 2, 3)II. Q(6, 6, 6)III. R(5, 4, 3)

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) Solo II y III

15

18. Sean A(3, -1, -2), B(1, 1, 1) y C(0, 0, 1) tres puntos en el espacio. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones sobre estos puntos es (son) verdaderas?

I. Los tres puntos son colineales.II. Una ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos A y B es (x, y, z) =(3, -1, -2) + t(2, -2, -3).III. La ecuación del plano que contiene a los tres puntos es -3x + 3y – 4z = -4.

A) Solo IB) Solo I y IIC) Solo II y IIID) Solo I y IIIE) I, II y III

19. ¿Cuál(es) de la siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?I. Dos planos se pueden cortar en un punto.II. La intersección de dos planos que se cortan es una recta.III. La intersección de un plano y una recta puede ser un punto.

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) Solo II y III

20. De acuerdo a la determinación de un plano según los postulados de la geometría en el espacio, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I. Se necesitan tres puntos no colineales.II. Se requiere una recta y un punto exterior a dicha recta.III. Son necesarias dos rectas secantes.

A) Solo IB) Solo I y IIIC) Solo I y IID) Solo II y IIIE) I, II y III

21. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones respecto de un plano es (son) verdadera(s)?

I. Dados tres puntos en el espacio, no colineales, existe un único plano que pasa por ellos.II. Dados dos puntos en el espacio, es posible asegurar que existen infinitos planos que los contienen.III. No existe un plano que contenga a cuatro puntos en el espacio que sean no colineales (al agruparlos de a tres) y que tengan su tercera coordenada distinta entre sí.

A) Solo I B) Solo I y III C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III

16

22. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones sobre la intersección entre dos planos distintos en el espacio es (son) verdadera(s)?

I. La intersección puede ser vacía.II. La intersección puede ser un punto.III. La intersección puede ser una recta.

A) Solo IB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y III.

23. ¿Cuál debe ser el valor de s para que el vector (12, s) sea perpendicular a la recta de ecuación 4x + 5y = 6?A) 3B) 4C) 5D) 15E) 18

24. ¿Cuál es la ecuación cartesiana del plano que contiene a la recta L: (x, y, z) = (6, 0, 0) + t(-1, 1, 0)?A) 4x + y + z = 22B) x + y + z = 6C) x + y + z = 13D) 4x + y + z = 13E) 2x – 7y + 5z = 22

25. En la figura, A es un punto fuera del plano P. La recta L está completamente contenida en el plano P. También se cumple que AH P, AB L y M es un punto de la recta L distinto de B. ¿Cuál de las siguientes desigualdades es correcta respecto a las longitudes de AB, AH y AM?

A) AM < AH < ABB) AH < AB < AMC) AB < AM < AD) AM < AB < AHE) AH < AM< AB

26. ¿Cuál es la ecuación vectorial del plano que contiene a las rectas cuyas ecuaciones vectoriales son L1: (x, y, z) = (1, -1, 1) + s(1, 1, 1); L2: (x, y, z) = (1, -1, 1) + t(4, 2, -2)?

A) P: (x, y, z) = (1, -1, 1) + s(1, 1, 1) + t(4, 2, -2)B) P: (x, y, z) = (1, 1, 1) + s(1, -1, 1) + t(4, 2, -2)C) P: (x, y, z) = (4, 2, -2) + s(1, 1, 1) + t(1, -1, 1)D) P: (x, y, z) = (1, -1, 1) + s(5, 1, -1)E) P: (x, y, z) = (1, -1, 1) + t(3, 3, -3)27. ¿Cuál es la ecuación cartesiana del plano que contiene a los puntos (2, 3, 4), (-2, 4, 8), (-1, -1, 1)?

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A) 8x – 24y + 14z = 0B) -13x + 24y – 19z = -30C) x + y – z = 1D) -13x + 24y – 19z = 30E) -13x + 24y – 19z = 0

28. Es posible determinar una ecuación de la recta que pasa por el origen si se sabe que:(1) Tiene la misma dirección que la recta de ecuación y = 2x – 13(2) para por el punto P(3, 6)

A) (1) por si solaB) (2) por si solaC) Ambas juntas (1) y (2)D) Cada una por si sola, (1) o (2)E) Se requiere información adicional.

29. Para determinar la ecuación de un plano se necesita(n):(1) las ecuaciones de dos rectas secantes contenidas en él.(2) Las coordenadas de tres puntos no colineales que pertenecen a él.

A) (1) por si solaB) (2) por si solaC) Ambas juntas (1) y (2)D) Cada una por si sola, (1) o (2)E) Se requiere información adicional.

30. ¿Cuál es el área limitada por dos rectas en el plano y el eje x?(1) Las ecuaciones de las rectas son y = 2x + 2, y = -2x + 6(2) Las rectas se intersecan en el punto (2, 2)

A) (1) por si solaB) (2) por si solaC) Ambas juntas (1) y (2)D) Cada una por si sola, (1) o (2)E) Se requiere información adicional.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15B C E E A E A E A B D A B B B16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30X D C E E E C D B B A B D D A

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