Ecuaciones constitutivas para geotecnia minera - … · • Elementos de contorno: mina subterránea en Uruguay • Modelos sísmicos: presa en Papúa Nueva Guinea 2 s. Ecuaciones

Ecuaciones constitutivas

para geotecnia minera

Dr. Alejo O. Sfriso

Universidad de Buenos Aires materias.fi.uba.ar/6408 [email protected]

SRK Consulting (Argentina) latam.srk.com [email protected]

AOSA www.aosa.com.ar [email protected]

Índice

• Ecuaciones constitutivas

• Plasticidad perfecta suelos: un rajo en Guatemala

• Plasticidad perfecta rocas: rajos en Santa Cruz

• Plasticidad con endurecimiento: rellenos en San Juan

• Rigidez a baja deformación: muro TEM en Perú

• Elementos de contorno: mina subterránea en Uruguay

• Modelos sísmicos: presa en Papúa Nueva Guinea

2

Ecuacio

ne

s c

onstitu

tivas e

n p

rob

lem

as m

ine

ros


Una ecuación constitutiva es un conjunto de fórmulas que

determina el estado del material antes y después de

cualquier cambio en su configuración

• Entrada

– Valor actual de la tensión y de las variables de estado

– Incremento de deformación

• Salida

– Tensión actualizada

– Variables de estado

actualizadas

Ecuacio

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rob

lem

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ine

ros

3

𝜎𝑛+1 = 𝑓 𝜎𝑛, 𝜌𝑛 , Δ𝜖

𝜌𝑛+1 = 𝑓 𝜎𝑛, 𝜌𝑛, Δ𝜖


• El equilibrio relaciona fuerza con tensión

(vale para cualquier material)

• La cinemática relaciona deformación

con desplazamiento (cualquier material)

• Las ecuaciones constitutivas relacionan

tensión con deformación

(dependen del material)

– Sólido elástico…

– Fluido Newtoniano…

– Gas perfecto…

Las ecuaciones constitutivas

cierran la cadena de cálculo4

Ecuacio

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Deformación

Fuerza

equilibrio

Tensión

Desplazamiento

ec. const.

compatibilidad


comunes en mecánica del sólido

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elástico lineal

elástico no lineal

rígido plástico

elastoplástico perfecto

elastoplástico

endurecimiento

elastoplástico

ablandamiento

ΤΔ𝑙 𝑙0

viscoelástico

Viscoplástico

(1hora|1día|1mes)

Índice








6

Ecuacio

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lem

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ine

ros

El material elastoplástico perfecto tiene un comportamiento

elástico hasta la tensión en la que se produce la fluencia

(indicada por el histórico “criterio de falla”)

Si se aumenta la deformación el material

fluye a tensión constante

Ingredientes

• Rango elástico 𝜎 < 𝛽𝑠• Fluencia a tensión constante 𝛽𝑠• Descarga elástica

• Almacena energía elástica 𝑈𝑒

• Disipa trabajo plástico 𝑊𝑝

La idea de la plasticidad

perfecta

7

Ecuacio

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𝜖𝑝 𝜖𝑒 𝜖

𝜎𝛽𝑠

𝑊𝑝

𝐸

𝑈𝑒

Lo que puede modelarse

con plasticidad perfecta

Con plasticidad perfecta pueden modelarse

los geomateriales en falla

• Empuje de suelos

• Estabilidad de taludes

• Capacidad de carga

El resultado de los modelos es un

factor de seguridad o una carga última

En general, las deformaciones calculadas

no son realistas

8

Ecuacio

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ros

Lo que no debe modelarse

con plasticidad perfecta

No deben modelarse problemas de interacción terreno –

estructura o aquellos en los que la interacción de rigideces

controla el comportamiento

• Asentamiento de fundaciones

• Túneles (excepto seguridad del frente)

• Compresión y consolidación

• Problemas acoplados (p.ej. no drenado)

Si se requiere una predicción de

desplazamientos y/o solicitaciones

estructurales conviene emplear

plasticidad con endurecimiento

9

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10

Ecuacio

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lem

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ros

El modelo de Mohr-Coulomb

en el ensayo triaxial

• Cinemática de la elastoplasticidad

¿cuales son los mecanismos que

producen deformación?

Es la hipótesis básica de la compatibilidad

Esta simple fórmula implica que no hay

deformaciones dependientes del tiempo

𝜖

𝜎 𝑐 − 𝜙

𝐸

𝜖𝑣

𝜈𝜓

ሶ𝝐 = ሶ𝝐𝑒 + ሶ𝝐𝑝

11

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ros




• Relación tensión-deformación

¿cuál es la rigidez?

Permite calcular las tensiones conociendo

sólo la parte elástica de las deformaciones


𝜖

𝜎

𝐸

𝜖𝑣

𝜈

ሶ𝝈 = 𝐃: ሶ𝝐𝑒

12

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ros





• Función de fluencia: criterio Mohr-Coulomb

¿cuando falla?

Permite establecer cuando se produce la

plasticidad (la “falla”) del material

𝑓𝑠 = 𝜎3 − 𝜎1 + 𝜎1 + 𝜎3 sin 𝜙 − 2𝑐 cos 𝜙 = 0


𝜖

𝜎 𝑐 − 𝜙

𝜖𝑣


13

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• Función de fluencia

• Ley de flujo (ángulo de dilatancia)

¿hacia donde se deforma?

Permite establecer que dirección tendrán

las deformaciones permanentes del material 𝜖

𝜎

𝜖𝑣

𝜓

𝑓𝑠 = 0



𝑔𝑠 = 𝜎3 − 𝜎1 + 𝜎1 + 𝜎3 sin 𝜓 − 2𝑐 cos 𝜓 = 0

Un rajo en Guatemala

Un talud temporario de

un rajo minero (níquel)

falló horas después de

una tormenta que

descargó 130mm de

lluvia en dos horas

14

Ecuacio

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lem

as m

ine

ros

0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

120.00

140.00

Jun-16

Jun-19

Jun-23

Jun-25

Jun-27

Jul-3

Jul-5

Jul-8

Jul-10

Jul-17

Jul-19

Jul-24

Jul-28

Jul-30

Ago-2

Ago-4

Ago-6

Ago-12

Ago-14

Ago-16

Ago-22

Ago-28

Ago-31

Sep-3

Sep-5

Sep-8

Sep-10

Sep-13

Sep-18

Sep-20

Sep-22

Sep-24

Sep-27

Sep-29

Precipitación(mm)

Causas de inestabilidad

Estación seca

• Agua fluye a través de

discontinuidades de saprock

• Presión de poros lejos

de materiales débiles

Estación húmeda

• Agua freática llega a la

cobertura de suelo residual

• Estructuras borradas:

baja permeabilidad

• Presión de poros desestabilizante

15

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ros

Modelo conceptual

Conocido el espesor 𝑏 de suelo residual,

el análisis conceptual se reduce a hallar

(ℎ y 𝜅) que minimicen 𝐹𝑆

16

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ros

Modelo numérico

17

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ros

Recomendaciones para

estación húmeda

• Exponer roca tempranamente para facilitar drenaje

• Monitorear con piezómetros

• Inspeccionar crestas en busca de grietas de tracción

• Restringir acceso al pie de excavaciones

luego de fuertes lluvias

18

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ros

Índice








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ros

El modelo de Hoek-Brown

Ecuacio

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ine

ros

20

Es un modelo enteramente análogo

a Mohr-Coulomb

• Elasticidad lineal isotrópica

• Plasticidad perfecta isotrópica

Sólo cambian


• Regla de flujo

Cada implementación comercial tiene su propia regla de

flujo: resultados no comparables

𝑓𝑠 = 𝜎3 − 𝜎1 − 𝜎𝑐𝑖 𝑠 − 𝑚𝑏 Τ𝜎3 𝜎𝑐𝑖𝑎

Críticas “académicas” al criterio

de Hoek-Brown

• Un mismo criterio para falla al corte y a tracción

• Plano de ruptura oblicuo en el ensayo de tracción simple

(indetectable en la práctica, error 0.5%|1.0%)

• Fuerte curvatura deviatórica cerca de vértice

21

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𝜏

𝜎𝑛𝜎𝑡𝑐𝑝

𝜃 =𝜋

6

𝜃 = −𝜋

6

Hoek-Brownlejos de 𝑐𝑝cerca de 𝑐𝑝

Mohr-Coulomb

Hoek-Brown complementado con

falla por tracción simple

Hoek (2014) propuso un “tension cut-off”

• Mecanismos de corte y tracción independientes

• Resuelve el problema de la “falla oblicua”

22

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Hoek

(2002)

Fairhust

(1964)

𝜏

𝜎𝑛𝜎𝑡

(Hoek 2014)

Ventajas y limitaciones del

modelo de Hoek-Brown

Ventajas

• Superficie curva mejor que M-C para macizos rocosos

• Amplia aceptación por parte de la industria

• Proceso de calibración bien establecido

Limitaciones

• No tiene un buen fundamento físico

• Plasticidad isotrópica poco realista para macizos rocosos

• Calibración con GSI: falsa sensación de robustez

• No hay criterio para reducción de parámetros resistentes

• Reglas de flujo discontinuas (FLAC)

Propuesta: Hoek-Brown como Mohr-Coulomb con 𝝓 𝒑23

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24

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ros

Nuestra propia implementación

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ros

(Google Earth, 2011)

Escala global Escala local

25

La mina Cerro Vanguardia

25

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

0 40 80 120 160 200

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

Core run [m]

Level [m]

UCSLMDDH-2794UCS avg.

QSI

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ros

(Google Earth, 2011)26

Escala global Escala local

Roca intacta

26

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ine

ros

27

Fracturamiento del macizo

27

Modelación numérica

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ine

ros

28

Malla RS²

(elementos de 6 nodos)

Malla Plaxis

(elementos de 15 nodos)

Zona con “daño” por voladura

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ros

29


Ecuacio

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ros

30


Ecuacio

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ine

ros

31

Índice








32

Ecuacio

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lem

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ine

ros

El concepto de la plasticidad con

endurecimiento

Función de fluencia

Mientras 𝑓 < 0 el material está en

estado elástico

33

Ecuacio

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ine

ros

𝑓 𝜎 = 𝜎 − 𝜎𝑓𝑙 + 𝛼 ∙ 𝜖𝑝 = 0

𝜖

𝜎

𝝈𝒇𝒍


endurecimiento


Cuando 𝑓 = 0 comienzan las

deformaciones plásticas

34

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𝜖𝑝 = 0

𝜖

𝜎

𝝈𝒇𝒍

𝑓 𝜎 = 𝜎 − 𝜎𝑓𝑙 + 𝛼 ∙ 𝜖𝑝 = 0


endurecimiento




El material “endurece”, o sea,

aumenta su tensión de fluencia

35

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ros

𝜖𝑝

𝜖

𝜎

𝝈𝒇𝒍

𝑓 𝜎 = 𝜎 − 𝜎𝑓𝑙 + 𝛼 ∙ 𝜖𝑝 = 0


endurecimiento






Mas deformación implica más

endurecimiento

36

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ine

ros

𝜖𝑝

𝝈𝒇𝒍

𝜖

𝜎

𝑓 𝜎 = 𝜎 − 𝜎𝑓𝑙 + 𝛼 ∙ 𝜖𝑝 = 0


endurecimiento






Mas deformación implica más

endurecimiento

La línea inclinada es una

“horizontal” que se mueve

37

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𝜖

𝜎

𝝈𝒇𝒍

𝛼

𝑓 𝜎 = 𝜎 − 𝜎𝑓𝑙 + 𝛼 ∙ 𝜖𝑝 = 0


en plasticidad perfecta y con endurecimiento

Plasticidad perfecta


• Regla de flujo

Plasticidad con endurecimiento


• Regla de flujo

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ros

𝑓𝑠 = 𝜎3 − 𝜎1 + 𝜎1 + 𝜎3 𝑠𝑖𝑛 𝜙 = 0

𝑔𝑠 = 𝜎3 − 𝜎1 + 𝜎1 + 𝜎3 𝑠𝑖𝑛 𝜓 = 0

𝑓𝑠 = 𝜎3 − 𝜎1 + 𝜎1 + 𝜎3 𝑠𝑖𝑛 𝜙 𝜖𝑝 = 0

𝑔𝑠 = 𝜎3 − 𝜎1 + 𝜎1 +𝜎3 𝑠𝑖𝑛 𝜓 𝜖𝑝 = 0 𝜖

𝜎

𝜙 𝜖𝑝

𝐸

𝜖𝑣

𝜈

𝜓 𝜖𝑝

Tanques en San Juan

• 18 tanques para lixiviado en pila instalados sobre un

terraplén heterogéneo de gran espesor

• Asentamiento del terraplén podría afectar la planta

• Se requirió una predicción de la interacción entre tanques

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Ecuacio

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lem

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ros

Caracterización mecánica

del terreno

• Cinco (enormes) calicatas a

cielo abierto

• Medición de densidad in situ

• Ensayos triaxiales de muestras

reconstituidas

40

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ros

Estrategia de minimización

de asentamientos

Precarga mediante

llenado total con

agua y arena

En sector de

mayor riesgo

• Monitoreo minucioso

• Relleno de anillos

con hormigón

41

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Riesgo

menor

Riesgo

mayor

Riesgo

interme

dio

Secuencia constructiva de precargas

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ros

Simulación de secuencia

constructiva de precargas

43

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ine

ros

Modelización de tanque aislado

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Relleno de hormigón

Relleno no controlado

Tanque

Suelo natural

Roca

Efecto del relleno del anillo

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ine

ros

-0.35

-0.30

-0.25

-0.20

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00

Influencia del POP

Caso 1 - POP = 100 kPa

Caso 1 - POP = 0

Caso 2 - POP = 100 kPa

Caso 2 - POP = 0

Distancia al eje de rotación [m]

Asentamiento. [m]

Caso 1

Hormigón

Caso 2

Suelo

Caso 3

Hº sin fricción

Índice








46

Ecuacio

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ros

Caso 1: Muro TEM fundado en roca

efecto del stock-pile

47

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ine

ros

Interfaz

Geogrillas

Stockpile: material

Stockpile: carga

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Posición del stock-pile

Posición de stock-pile: 𝜹𝒉 del muro TEM

Muro TEM toca la estructura (se agota huelgo de interfaz)

48

Ecuacio

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ros

𝛿ℎ >Interfaz

geogrillas sin carga

𝛿ℎ <Interfaz

geogrillas con carga

Influencia de las interfaces

El stock-pile como carga

• Aporta rigidez

• Disminuye asentamiento de manera

no realista (porque es intermitente)

Interfaces entre geogrillas

• Mejoran comportamiento numérico

• Inducen asentamiento

(por espesor “virtual” 𝑑𝑖𝑛𝑡)

49

Ecuacio

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ine

ros

Sin interfaces

δmax = 0.72m

Con interfaces

δmax = 0.97m

(Lino 2015)

Caso 2: Muro fundado en relleno

Estructura sobre pilotes

Muro TEM construido

simultáneamente con

fundaciones:

fricción negativa

50

Ecuacio

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lem

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ine

ros

Simulación de ensayo de carga

Ensayo de carga

numérico: menor

rigidez que analítico

51

Ecuacio

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lem

as m

ine

ros

-

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

P [MN]

d [m]

Curvas Carga - Desplazamiento Compresión

Analítico - Min

Plaxis - Carga monotónica

Plaxis - Descarga

Plaxis - Descarga

Simulación de ensayo Oesterberg

Cargas iguales y

opuestas en la punta

del pilote

52

Ecuacio

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rob

lem

as m

ine

ros

-

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

-0,013 -0,010 -0,008 -0,005 -0,003 0,000 0,003

P [MN]

d [m]

Curvas Carga - Desplazamiento Compresión

Plaxis - Coronamiento pilote

Plaxis - Punta pilote

Plaxis - Punta suelo

Compresión del relleno y

asentamiento del cabezal

Desplazamiento en los pilotes inducido

por asentamiento de relleno (carga TEM)

• Dimensionamiento de armaduras

• Verificación de giro de cabezal

53

Ecuacio

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rob

lem

as m

ine

ros

-30.00

-25.00

-20.00

-15.00

-10.00

-5.00

0.00

-120-100-80-60-40-200

Desplazamientover cal

Modelo1

Modelo2

Modelo3

Modelo4

Prof[m]

Desplazamiento[mm]

-30.00

-25.00

-20.00

-15.00

-10.00

-5.00

0.00

-60 -40 -20 0 20 40 60

Desplazamientohorizontal

Modelo1

Modelo2

Modelo3

Modelo4

Prof[m]

Desplazamiento[mm]

Índice








54

Ecuacio

ne

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onstitu

tivas e

n p

rob

lem

as m

ine

ros

Funcionamiento del método

de los elementos de contorno

Método basado en la aplicación

extensiva del “principio de

superposición de efectos”

• Se conoce la respuesta de un sólido

infinito para una fuente puntual (sol. de Green)

• Se malla sólo el contorno (la

superficie libre) de los cuerpos 3D

• Se calculan las fuerzas en los

nodos que cumplen equilibrio

Método apto para problemas

lineales de equilibrio estático

Ecuacio

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n p

rob

lem

as m

ine

ros

55

Primera generación de modelos

de elementos de contorno (Examine3D)

• Solución elástica

• Único material

• No tiene en cuenta

secuencia constructiva

• No hay plasticidad:

las tensiones pueden

alcanzar cualquier

valor

Una “reserva de resis-

tencia” menor a 1.0

“sugiere” daño local

Ecuacio

ne

s c

onstitu

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n p

rob

lem

as m

ine

ros

𝑞𝑢𝑞

𝑞𝑢𝑞

56

Segunda generación (Map3D)

• Permite varios materiales

• Tiene en cuenta la


• Permite geometrías más complejas

Ecuacio

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rob

lem

as m

ine

ros

𝜎1

57

Una mina en Uruguay

Interacción entre rajo a cielo

abierto, cámaras IRP y cámaras TS

• El BEM ya tiene en cuenta la


• Permite geometrías más complejas

• Mantiene “indicadores” de zonas

plásticas

Hay extensiones a problemas

inelásticos basadas en cambios de

“rigidez tangente” y anisotropía

Ecuacio

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rob

lem

as m

ine

ros

𝑆𝐹𝐴

58

Mallas muy complejas: problemas

de calidad de la solución numérica

Ecuacio

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rob

lem

as m

ine

ros

59

Elementos de contorno

para problemas no lineales

• Los elementos de contorno se

complementan con celdas en

el interior del cuerpo

• Muy conveniente para problemas

que tienen plasticidad en una

región localizada

Ecuacio

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rob

lem

as m

ine

ros

(Prazeres 2012)

60

Índice








61

Ecuacio

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rob

lem

as m

ine

ros

Deformaciones durante

construcción

• Modelo 2D: v: 0.97m | h: 0.23m

• Modelo 3D: v: 1.03m | h: 0.32m

• Desplazamientos de largo plazo

v: 0.18m | h: 0.08m

Ecuacio

ne

s c

onstitu

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rob

lem

as m

ine

ros

62

Sensibilidad: compactación,

secuencia de construcción

OCR = 2.0 no es parámetro

de entrada: truco numérico

que simula la compactación

El recrecimiento downstream

produce mayor deformación

Sin

compactación

Con

compactación

Ecuacio

ne

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n p

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lem

as m

ine

ros

63

Factor de seguridad:

1.46 (2D) – 1.53 (3D)

3D

2D

Ecuacio

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s c

onstitu

tivas e

n p

rob

lem

as m

ine

ros

64

Tensiones en cara de asfalto

Operación

Modelo: membrana elástico-lineal

Dir. horizontal

• -1240 kN/m (620kPa)

• +860 kN/m (430kPa)

Dir. buzamiento

• -2765 kN/m (1380kPa)

• 806kN/m (403kPa)65

Ecuacio

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rob

lem

as m

ine

ros

Análisis sísmico en

escala de tiempo

66

Ecuacio

ne

s c

onstitu

tivas e

n p

rob

lem

as m

ine

ros

Estrategia de sismólogo: 4 registros sísmicos, PGA = 1.09,

Filtrado espectral

Estrategia aplicada

• Modelo Proxy (+8400 registros)

– R 50km to 70km

– AI 3m/s to 6m/s

– T0 > 70 sec

• 15 registros PGA = 1.09

(descarta AI no realista)

• 25 registros AI = 13.8 m/s

(descarta PGA no realista)

Resumen de registros sísmicos

• Modelos 2D: los 44 registros

• Modelos 3D: los tres registros más representativos

Se obtienen aceleraciones no realistas cuando se escala a

IA = 13.8m/s

4 (sismólogo) PGA = 1.09 15 x PGA = 1.09

(deconvolucionados)

25 x IA=13.8m/s

Ecuacio

ne

s c

onstitu

tivas e

n p

rob

lem

as m

ine

ros

67

Hector, Mexico y Chi-Chi

Chi-Chi

• AI: 20.30 m/s

• PGA: 1.01

• t: 50 sec

Ecuacio

ne

s c

onstitu

tivas e

n p

rob

lem

as m

ine

ros

68

Despl. vertical

Hector EQ: 2.30m

Ecuacio

ne

s c

onstitu

tivas e

n p

rob

lem

as m

ine

ros

69

Despl. vertical

Hector EQ: 2.30m

Ecuacio

ne

s c

onstitu

tivas e

n p

rob

lem

as m

ine

ros

70

Despl. vertical

Mexico EQ: 2.00m

Ecuacio

ne

s c

onstitu

tivas e

n p

rob

lem

as m

ine

ros

71

Los cuarenta y cuatro sismos

72

Ecuacio

ne

s c

onstitu

tivas e

n p

rob

lem

as m

ine

ros

¿Porqué 44 simulaciones?

• Hay correlación pobre entre los asentamientos y cualquier

número índice del registro sísmico

• La aplicación de fuerza bruta permite calcular parámetros

estadísticos del desempeño de la presa: confiabilidad

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

4.50

5.00

0 5 10 15 20

Settlement[m

]

IA[m/s]

PGA=0.66g

PGA=0.55g

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

4.50

5.00

0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0

Settlem

ent[m

]

Totalduration[s]

PGA=0.66g

PGA=0.55g

Ecuacio

ne

s c

onstitu

tivas e

n p

rob

lem

as m

ine

ros

73

Un terremoto asesino

Un terremoto produce la falla del talud aguas abajo:

asentamiento de ocho metros

Plastic shear strains

Deformed mesh

Ecuacio

ne

s c

onstitu

tivas e

n p

rob

lem

as m

ine

ros

74Fin

Documents

Ecuaciones constitutivas para geotecnia minera - … · • Elementos de contorno: mina subterránea en Uruguay • Modelos sísmicos: presa en Papúa Nueva Guinea 2 s. Ecuaciones