Upload
manola-ojeda
View
226
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Ecuaciones de la recta
La pendiente de la recta que pasa por P1(x1,y1) y P2(x2,y2) es:
Antes de iniciar con el desarrollo de las ecuaciones dela recta es importante considerar una de sus características particulares, la pendiente. A partir de esta cualidad partiremos para obtener cada ecuación.
Ecuación de la recta que pasa por el origen
Considere la recta que pasa por el origen 0 y forma un ángulo de inclinación con el eje x.
Tómese sobre la recta los puntos P1(x1, y1),P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3). Al proyectar los puntos P1, P2 y P3 sobre el eje x, se obtienen los puntos P’1, P’2, P’3.
Ecuación de la recta que pasa por el origen.
Como los triángulos OP1P’1, OP2P’2 y OP3P’3 son semejantes; se tiene que:
Esto es,
Es decir, y = mx
Ecuación de la recta en su forma punto pendienteLo que se muestra en la figura, es una recta que pasa
por el punto A(x1, y1), con una pendiente dada.
• Si un punto P(x, y) está en una recta y m es la pendiente de la misma, la pendiente puede definirse como:
1
1
xx
yym
• Esta es la ecuación de la recta en su forma punto pendiente. Las coordenadas (x1, y1) son las de un punto cualquiera que pertenezca a dicha recta.
• Ejemplo 1: Sea m=1/5 y A(-2, -4), la pendiente y un punto respectivamente de una recta. Verifique que su ecuación en su forma punto pendiente es:
5y-x+18=0
• Despejando las ordenadas y acomodando miembros tenemos:
11 xxmyy
Ecuación De La Recta Que Pasa Por Dos Puntos.• Considera dos puntos por los cuales pasa una
recta como se muestra en la figura:
• A partir de la pendiente m y de la ecuación de la recta en forma de punto pendiente. Considera las coordenadas del punto A como las del punto pendiente.
1
12
121 xx
xx
yyyy
• O bien, la pareja de coordenadas del punto B
• Ambas son la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, como se puede observar es indistinto el punto que se sustituya, el resultado será el mismo y representará la misma recta.
• Ejemplo 2: Sean A(-1, 3) y B(3, -4), dos puntos que pertenecen a una misma recta. Verifica que la ecuación de ésta es la que se muestra a continuación, y que es indistinto el punto que se toma como punto pendiente. Sol. 4y+7x-5=0
2
12
122 xx
xx
yyyy
Ecuación de la recta con pendiente dada y ordenada al origen.
• Ecuación de la recta en forma simplificada. Considera un recta que pasa por los puntos A(x, y) y B(0,b), como se muestra en la figura
• Calculando la pendiente
• Despejando y, y ordenando los términos
• La coordenada b se define como la ordenada al origen, y es el punto donde la recta corta el eje y
x
ybm
0
bmxy
• Ejercicio en equipo: Las ecuaciones de oferta y demanda de un producto son p y q respectivamente.
• Traza la gráfica respectiva de cada una y encuentra el punto de equilibrio del producto.
• Nota: Se define como punto de equilibrio el punto en el cual los ingresos totales son iguales a los costos totales, es decir, no hay pérdidas pero tampoco hay ganancias.
• Sol. Punto de equilibrio:
27
1qp 22pq
5
16,
5
42
Ecuación de la recta en forma simétrica.
• La siguiente figura ilustra una recta que pasa por los puntos A(a,0) y B(0,b).
• Al calcular la pendiente obtendríamos:
a
bm
a
bm
0
0
• Al sustituir m en la ecuación de la recta en su forma ordenada al origen y=mx+b, tenemos
• Ordenando los miembros de la ecuación
• Esta es la ecuación simétrica de la recta.
bxa
by
1b
y
a
x
Ecuación general de la recta.• La ecuación general de la recta es de la siguiente
forma: Ax+By+C=0
• A partir de la ecuación anterior podemos analizar cuatro casos diferentes
• Caso 1. Recta paralela al eje x: Si A=0, B0, C 0; la ecuación se reducirá a By+C=0, de la cual se obtiene que y=-C/B, que representa una recta paralela al eje x.
• Haciendo a=-C/B, donde a es la distancia de la recta al eje de la abscisas, es decir, y=a, como se aprecia en la figura.
• Caso 2. Recta paralela al eje y: Si A0, B=0, C 0; la ecuación se reducirá a Ax+C=0, de la cual se obtiene que x=-C/A, que representa una recta paralela al eje y.
• Gráficamente x=a, donde a=-C/A, y es la distancia de la recta al eje de las ordenadas.
• Caso 3. Ecuación de una recta que pasa por el origen: Si A=1, B=1, C=0; la ecuación se reducirá a y=-x o x=-y, o bien y=|x|, que representa una línea recta con pendiente de 45º que pasa por el origen como lo muestra la figura.
• Caso 4. Ecuación de una recta en cualquier posición: Si A1, B1, C 0; al despejar y la ecuación general toma la forma
• Reduciéndose así a la ecuación de la recta de la forma pendiente dada y ordenada al origen, donde la pendiente sería m=-A/B y la ordenada al origen b=-C/A; que puede ser representada como se muestra
B
Cx
B
Ay
• Ejercicio en equipo: Un ingeniero civil desea saber el material gastado en cierto puente, para ello necesita de tu ayuda. Determina la pendiente y ecuación de cada una de las vigas que sostienen la estructura del puente y la longitud total de las vigas verticales
• Sol. Longitud total de las vigas 59.41m