ÍNDICEEcuación diofántica

Ecuaciones diofánticas lineales o Solución particular

Demostración o Solución general

Demostración o Ejemplo práctico

Ecuaciones diofánticas no lineales o Ecuación de Pell o Ecuación de Thue-Siegel-Roth

o Ecuación de Thue o Ecuación de Mordell o Ternas pitagóricas o El Último Teorema de Fermat

Bibliografía

Ecuaciones diofánticas Miguel Cidrás Senra 1

Ecuación diofánticaUna ecuación diofántica es una ecuación lineal con coeficientes

enteros y que exige soluciones también enteras. Su nombre lo toman de Diofanto de Alejandría, quien, además de ser uno de los primeros en utilizar simbolismo en álgebra, se dedicó entre otras cosas al estudio de estas ecuaciones

Ecuación diofántica lineal

La ecuación diofántica ax+by=c tiene solución si y solo si d=mcd(a ,b) es un divisor de c. En ese caso la ecuación tiene una infinidad de soluciones.

Similarmente la ecuación a1 x1+a2 x2+…+an−1 xn−1+an xn tiene solución si y solo si d=mcd(a1 , a2 ,... , an) es un divisor de c.

Solución particular

Sean a, b y ctres números enteros. La ecuación lineal ax+by=c tiene solución entera si, y sólo si el máximo común divisor de a y b divide a c.

DemostraciónSupongamos que los enteros x0 e y0 son solución de la ecuación

ax+by=c, es decir a x0+b y0=c. Pues bien, si d=m.c .d .(a ,b), entonces

d=m.c .d .(a ,b)⇒ d∨a y d∨b⇒ d∨a x0+b y0⇒d∨c.

Recíprocamente, supongamos que d=m.c .d .(a ,b) es divisor de c. Entonces,

mcd ( a ,b )=d⇒mcd ( ad ,bd )=1

⟺∃ p ,q∈Z :ad

p+ bd

q=1

⇒ acpd

+bcqd

=c

Solución generalSean a, b y c tres números enteros no nulos tales que el máximo común

divisor de a y b divide a c. Entonces la solución general de la ecuación ax+by=ces:

x=x0+k·bd

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y= y0+k·ad

donde x0 e y0es una solución particular de la misma y k es cualquier número entero.

DemostraciónSea d el máximo común divisor de a y b y existe de una solución particular x=x0 e y= y0 para el sistema. Entonces,

a x0+b y0=c

Dividiendo ahora ambos miembros de esta ecuación por el máximo común divisor de a y b, tendremos,

ad

x0+bd

y0=cd

⇒ ad

(x1−x0 )+ bd

( y1− y0 )=0

⇒ ad

(x1−x0 )=bd

( y0− y1 )

⇔bd∨ a

d(x1−x0 )

y al ser bd

primo con ad

, dividirá a x1−x0, luego:

bd∨x1−x0⇔∃k ∈Z : x1−x0=k ·

bd

⇒ x1=x0+k ·bd

Sustituimos el valor de x1−x0 en ad

(x1−x0 )+ bd

( y1− y0 )=0 y resulta

ad· k ·

bd+ bd

( y1− y0 )=0⇒ ad· k+ y1− y1=0⇒ y1= y0−k ·

ad

Veamos, finalmente, que x1 e y1 es solución de la ecuación a x+by=c

En efecto,

a x1+b y1=a ·(x0+k ·bd )+b ·( y0−k ·

ad )=¿

¿a x0+a · k ·bd

+b y0−b · k ·ad=¿

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ad

x0+bd

y0=cd

ad

x1+bd

y1=cd

¿a x0+b y0=¿

¿c

Luego, la solución general de la ecuación ax+by=cpara cualquier k ∈Z.

x1=x0+k ·bd

y1= y0−k·ad

Ejemplo prácticoUn grupo de 23 viajeros llega a un campamento y encuentra 63

montones de sacos, todos con el mismo número de sacos, y un montón adicional con 7 sacos. Si sabemos que los viajeros no podían cargar con más de 50 sacos y pudieron repartírselos por igual y sin abrirlos, ¿cuántos sacos había en cada uno de los montones?

v≡nº de sacos por viajero

s≡nº de sacos pormontón

23 · v=63 · s+7

23v−63 s=7

Algoritmo de Euclides

2 1 2 1 563 23 17 6 5 117 6 5 1 0

mcd (23 ,63 )=1

1=6−5=6−17+6 ·2=6 ·3−17=¿

¿ (23−17 ) ·3−17=23·3+(−4 ) ·17=¿

¿23 ·3+ (−4 ) · (63+23· (−2 ) )=¿

¿23 ·3+ (−4 ) ·63+23 ·8=11 ·23+4 ·(−63)

Solución particular

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6=23−17

1=6−5

5=17+6 ·(−2)

17=63+23 ·(−2)

⇒

v0=7 ·111

=77

s0=7 ·41

=28

Solución general

v=77−63· t

s=28−23 · t

Teniendo en cuenta que los viajeros no podían cargar con más de 50 sacos debe ser positivo y menor que 50 se obtiene lo siguiente:

50>28−23 t>0

22>−23 · t>−28

1,22>t>−0,96

Por tanto, el único valor posible es:

t=1

v=77−63=14

s=28−23=5

Por lo que: cada viajero cargaba con 14 sacos y cada montón tenía 5 sacos.

Ecuaciones diofánticas no lineales

Por desgracia cuando los exponentes no son 1 (es decir, cuando no son lineales) no tenemos existe un procedimiento general para resolverlas. Esto se sabe desde 1970 que Yuri Matiyasévich consiguió demostrar que no es posible encontrar un algoritmo que nos diga si una ecuación diofántica tiene soluciones o no las tiene. Este fue el décimo de los 23 problemas que David Hilbert propuso en el año 1900.

Sin embargo, sí se sabe resolver algunos casos particulares de ellas.

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Ecuación de Pellx2−n y2=1

Donde n es un número entero que no es cuadrado perfecto.

Estas ecuaciones fueron estudiadas ya por Arquímedes, aunque el matemático que trabajó formalmente en ellas fue Bhaskara I, que por ejemplo, planteó el problema: "Dime, Oh matemático, ¿cuál es el cuadrado que multiplicado por 8 se convierte - junto con la unidad - en un cuadrado?" En notación moderna, preguntó por las soluciones de la ecuación de Pell x2−8 y2=1. Tiene la solución simple x=3 , y=1, a partir de las cuales se pueden construir más soluciones, por ejemplo, (x , y )=(17,6)

Ecuación de Thue-Siegel-Roth

|α− pq|< 1

q2+εε>0

El teorema de Thue-Siegel-Roth, también conocido simplemente como el teorema de Roth, es un resultado fundamental en la aproximación diofántica de números algebraicos.  Es de tipo cualitativo, que indica que un α dado de números algebraicos no puede tener demasiados números racionales aproximaciones, que son "muy buena". Más de la mitad de un siglo, su resolución se perfeccionó por un número de matemáticos, a partir de Liouville en 1844 y continuando con el trabajo de Axel Thue (1909), Carl Ludwig Siegel ( 1921 ), Dyson (1947), y Klaus Roth (1955).

Ecuación de ThueUna ecuación de Thue es una ecuación diofántica de la forma

f ( x , y )=r

donde ƒ es un irreductible bivariado con forma de grado, por lo menos 3, con números racionales, y r es un número racional que no sea 0. Lleva el nombre de Axel Thue que en 1909 resultó ser un teorema, ahora llamado teorema de Thue, de que la ecuación tiene un número finito de soluciones de enteros x e y.

Ecuación de Mordelly2=x3+a

A esta ecuación se la llama a veces la ecuación de Bachet, aunque fue Fermat el primero que estudió algunos casos particulares. También se la llama la ecuación de Mordell ya que la estudió en más detalle.

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Los números naturales menores que 100 que si son a la ecuación tiene solución son: 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 17, 18, 19, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 31, 33, 35, 36, 37, 38, 40, 41, 43, 44, 45, 48, 49, 50, 52, 54, 55, 56, 57, 63, 64, 65, 68, 71, 72, 73, 76, 79, 80, 81, 82, 89, 91, 92, 94, 97, 98, 99.

Ternas pitagóricasUna ecuación pitagórica  es la ecuación x2+ y2=z2 con x , y , z∈Z.

Cualquier terna (x, y, z) solución de la ecuación anterior se conoce como terna pitagórica. Además si (x, y, z) es una terna pitagórica solución de la ecuación pitagórica también lo serán:

1. La terna alternando x e y: (y, x, z).2. Una terna múltiplo (ky, kx, kz).3. Una terna con algún signo cambiado (-x, y, z), (x, -y, z) o (y, x, -z)4. Cualquier otra terna obtenida mediante una combinación de los

procedimientos anteriores.

Se dice que una terna es primitiva, si mcd (x , y , z)=1. En toda terna primitiva al menos uno de los números x o y es par y z es impar. Puede verse que en esas condiciones todas las ternas primitivas que son de la ecuación pitagórica son de la forma:

Imaginemos x, y, z son primos entre sí y cumplen:

x2+ y2=z2

Introducimos la identidad notable, el cuadrado de la suma, y tratamos de transformarlo en una suma de cuadrados:

(a+b )2=2ab+a2+b2

(a+b )2=2ab+2ab+a2+b2−2ab

(a+b )2=4ab+ (a−b )2

(a+b )2=22ab+ (a−b )2

Si a=u2 y b=s2:

(2u2 s2 )2+ (u2−s2 )2= (u2+s2 )2

x y z x y z x y z x y z x y z

Ecuaciones diofánticas Miguel Cidrás Senra 7

x=2uv y=u2−v2 z=u2+v2

u , v ∈N ,mcd (u , v )=1

3

5

7

8

9

10

11

12

13

14

4

12

24

63

40

99

60

143

84

195

5

13

25

65

41

101

61

145

85

197

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

112

255

144

323

180

399

220

483

264

575

113

257

145

325

181

401

221

485

265

577

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

312

675

364

783

420

899

480

1023

544

1155

313

677

365

785

421

901

481

1025

545

1157

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

612

1295

684

1443

760

1599

840

1763

924

1935

613

1297

685

1445

761

1601

841

1765

925

1937

45

46

47

48

49

50

1012

2115

1104

2303

1200

2499

1013

2117

1105

2305

1201

2501

Esta tabla va desde la x=3 hasta x=50

El Último Teorema de Fermatn≥3⇒ xn+ yn≠ zn

Es uno de los teoremas más famosos en la historia de la matemática.

Utilizando la notación moderna, se puede enunciar de la siguiente manera:

si n es un número entero mayor que 2, entonces no existen números

enteros a, b y c, tales que se cumpla la igualdad (con x, y, z no nulos):

xn+ yn=zn

El teorema fue conjeturado por Pierre de Fermat (jurista francés del siglo XVII y apasionado de las Matemáticas, es conocido como el “padre de la teoría de números”) en 1637, pero no fue demostrado hasta 1995 por Andrew Wiles ayudado por el matemático Richard Taylor.

La búsqueda de una demostración estimuló el desarrollo de la teoría algebraica de números (s. XIX) y la demostración del teorema de la modularidad (s. XX).

Fermat, cuya gran parte de su interés por la teoría de números la tuvo un ejemplar de la Arithmetica de Diofanto de Alejandría. A través de ese

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libro Fermat comenzó a estudiar propiedades de los números, y dejó su afirmación más enigmática. Por ser la afirmación de Fermat que más se ha tardado en demostrar se denomina último teorema de Fermat. Dicho teorema lo escribió al lado de un apartado en el que se hablaba del teorema de Pitágoras, y escribió Fermat lo siguiente:

Es imposible dividir un cubo en suma de dos cubos, o un bicuadrado en suma de dos bicuadrados, o en general, cualquier potencia superior a dos en dos potencias del mismo grado; he descubierto una demostración maravillosa de esta afirmación. Pero este margen es demasiado angosto para contenerla

Más de 300 años después, en 1993, Andrew Wiles, en edad para recibir la medalla Fields, presenta su demostración del teorema, pero se encuentra un error que Wiles, junto a Richard Taylor, tarda en resolver cerca de 2 años, pasando en ese tiempo la edad máxima para recibir el premio. Se reconoció la labor de Wiles con el premio Wolfskehl, consistente en una cantidad en metálico dejada por el matemático del mismo nombre en su testamento y la admiración de toda la comunidad matemática. Fue tal la trascendencia de la demostración que Wiles apareció en portada del New York Times por este hecho.

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BibliografíaPara la realización de este trabajo he investigado en diversas páginas

web, que entre ellas se encuentran:

http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/ESI/1710003/Apuntes/ Leccion12.pdf

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diof%C3%A1ntica http://mathworld.wolfram.com/MonkeyandCoconutProblem.html http://gaussianos.com/como-resolver-ecuaciones-diofanticas/ http://gaussianos.com/la-ecuacion-de-pell/ http://sisbib.unmsm.edu.pe/bibvirtualdata/monografias/basic/

alanya_ps/cap8.pdf http://en.wikipedia.org/wiki/Thue_equation http://en.wikipedia.org/wiki/Thue%E2%80%93Siegel

%E2%80%93Roth_theorem http://usuarios.multimania.es/teoriadenumeros/cubo.html http://usuarios.multimania.es/teoriadenumeros/pitag.html http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%9Altimo_teorema_de_Fermat http://www.monografias.com/trabajos-pdf2/demostracion-sencilla-

ultimo-teorema-fermat/demostracion-sencilla-ultimo-teorema-fermat.shtml

http://gaussianos.com/el-ultimo-teorema-de-fermat/ http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/

Fermat's_last_theorem.html http://www.ciencia.cl/CienciaAlDia/volumen2/numero1/articulos/

articulo1.html

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