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ecuaciones fundamentales
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Unidad V ECUACIONES
FUNDAMENTALES
Mecánica de Fluidos Dr. Hugo Valdés R.
Rapidez de flujo
• Caudal o flujo volumétrico
• Flujo másico.
Ecuación de Con<nuidad
Ejemplo • Un estanque cilíndrico de agua con 4 B de alto y 3 B de diámetro cuya parte superior está abierta a la atmósfera está al principio lleno con agua. Ahora, se quita el tapón de descarga que está cerca del fondo del estanque cuyo diámetro es de 0,5 in y un chorro de agua se vierte hacia fuera. La velocidad promedio del chorro se da por la ecuación de Torricelli. Determine el <empo que transcurrirá para que el nivel del agua descienda hasta 2 B.
.dmdt
=me −ms
Resolver con:
Recordar
• Diferencia entre flujo estacionario y no estacionario.
• Flujo incompresible.
Conservación de energía
• Cons<tuye el primer principio de la termodinámica y afirma que la can<dad total de energía en cualquier sistema Rsico aislado (sin interacción con ningún otro sistema), permanece invariable con el <empo, aunque dicha energía puede transformarse en otra forma de energía.
Conservación de energía mecánica
• Los elementos que se mueven en un conducto cerrado poseen tres formas de energías:
Conservación de energía mecánica
¿Qué ocurre si no se agrega ni quita energía?
EF =Pγ
EK =v2
2g EP = z
Ejemplo • Se usará el agua de un lago para generar electricidad por medio de la instalación de un turbogenerador hidráulico en un lugar donde la profundidad del agua es de 50 m. El agua se alimenta a razón de 5000 kg/s. La potencia eléctrica generada es de 1862 kW. Determine la eficiencia total del turbogenerador.
Ecuación de Bernoulli • Relación aproximada entre la presión, la velocidad y la elevación, y es válida en regiones de flujo estacionario e incompresible en donde las fuerzas netas de fricción son despreciables.
Fuerzas viscosas despreciables
( )dsdvmvWsendAdPPPdA =−+− θ
dsdvdAdsv
dsdzgdAdsdPdA ρρ =−−
dsdvdsv
dsdzgdsdP ρρ =−−
vdvgdzdP ρρ =−−
2
21 dvgdzdP ρρ =−−
021 2 =−−− dvgdzdP ρρ
021 2 =++ dvgdzdP ρρ
021 2 =++ dvgdzdP ρρ
Integrando
021 2 =++ dvgdzdP
ρ
constante21 2 =++ vgzP
ρ
ECUACIÓN DE BERNOULLI
Ecuación de Bernoulli • Entre dos puntos resulta:
222
2211
1
21
21 vgzPvgzP
++=++ρρ
La suma de la energía ciné<ca, la potencial y la de flujo de una parbcula de fluido es constante a lo largo de una línea de corriente en el transcurso del flujo estacionario, cuando los efectos de la compresibilidad y de la fricción son despreciables.
Ecuación de Bernoulli • Restricciones del uso de la ecuación:
Flujo estacionario
Efectos viscosos
despreciables
Sin aparatos mecánicos
Flujo incompresible
Transferencia de calor
despreciable
Flujo a lo largo de una línea de corriente
LGH y LE
LGH y LE
H21 2 =++ vg
zgPρ
Carga de Presión
Carga de Elevación
Carga de velocidad
Importante
En estos ejercicios olvidarse de la palabra
SIEMPRE
Ejemplo • Un estanque grande está abierto a la atmósfera y lleno con agua hasta 5 m, medido desde una toma cercana al fondo del estanque. Ahora se abre la toma, y el agua fluye hacia fuera por el orificio de la salida lisa y redondeada. Determine la velocidad máxima posible del agua en la salida.
Agua
• Entre dos puntos resulta:
222
2211
1
21
21 v
gz
gPv
gz
gP
++=++ρρ
Ecuación de Torricelli
Ejemplo • En un viaje a la playa, a un automóvil se le acaba la gasolina y es necesario extraer gasolina por acción de un sifón del automóvil de otra persona. El sifón es una manguera con diámetro pequeño y para iniciar la acción es necesario introducir uno de los extremos en el estanque lleno de gasolina, llenar la manguera de está mediante succión y en seguida, poner el otro extremo en una lata que está colocada abajo del nivel del estanque.
Ejemplo • La diferencia en la presión entre el punto 1 y el punto 3 hace que el líquido fluya de la menor elevación hacia la mayor. En este caso, el punto 2 está ubicado 0,75 m abajo del punto 1 y el 3 está 2 m arriba del 1. El diámetro del sifón es de 5 mm y deben descartarse las pérdidas por fricción en él. Determine el <empo para trasladar 4 L y la presión en el punto 3.
• Densidad gasolina: 750 kg/m3
• Entre dos puntos resulta:
222
2211
1
21
21 v
gz
gPv
gz
gP
++=++ρρ
Ecuación de energía total
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
sistema el por
producidotrabajo
de neta Velocidad
sistema al calorde adición
de neta Velocidad
Cinéticay Interna
Potencial,:energía de
salida de Velocidad
Cinéticay Interna
Potencial,:energía de
entrada de Velocidad
Cinéticay Interna
Potencial,:energía denacumulació de Velocidad
Ecuación de energía total
QEWv21zgP
v2 ±−−=Δ+Δ+
ρΔ
Ojo con la ecuación escrita en la pizarra
Ejemplo Un motor eléctrico suministra potencia a una bomba de un sistema de distribución de agua. Los diámetros de los tubos de admisión y descarga son iguales y la diferencia de elevación de uno a otro lado es despreciable. Determine la eficiencia mecánica de la bomba.
Pérdidas por Fricción
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅=2v
DLf4E
2
v
Factor de Fanning Largo
Diámetro
Velocidad
f4*f =Factor de Darcy
Pérdidas por Fricción
Re16f = Re < 4000
Pérdidas por Fricción Para tuberías lisas (4000 < Re < 100.000 ):
Pérdidas por Fricción Para tuberías lisas (100.000 < Re < 10.000.000 ):
Pérdidas por Fricción Para tuberías rugosas (Régimen turbulento):
Moody
Pérdidas por Fricción Tabla de Factor de Fricción de Darcy
Pérdidas por Fricción
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=2vKE2
v
Accesorios
a)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅=2v
DLf4E
2
accesoriov
b)
Coeficiente de Resistencia
Longitud Equivalente
K=0.78 K=0.23 K=0.50 K=0.04
K=1.0 K=1.0 K=1.0
¿Cómo determinar el diámetro de tubería?
Ejemplo
Una población ob<ene agua desde un río cercano, debiendo ser tratada y purificada en estanques abiertos, para su posterior distribución a los servicios de la planta. El sistema de transporte está construido con tubería de cobre de 6 in <po L. El tramo de succión mide 10 m, mientras que el tramo de descarga mide 310 m. Además, en el sistema hay tres codos de 90° (radio largo). Si el caudal es 0,16 m3/s, determine la potencia de la bomba en hp que necesitan comprar en la población.
Ejemplo