Ecuaciones LinealesDra. Noemí L. Ruiz © Derechos Reservados

2006-2007

Objetivos de la lección• Definir términos fundamentales relacionados

con ecuaciones• Conocer el significado de una ecuación lineal en una

variable• Conocer las propiedades de la igualdad y demostrar

el proceso para aplicar las mismas al resolver una ecuación lineal en una variable

• Conocer cómo se resuelven ecuaciones especiales que: - Contienen fracciones

- Representan identidades

- Son inconsistentes, no tienen solución

Definiciones Fundamentales

• Ecuación:

Igualdad que contiene variables.

• Ecuación Lineal:

Ecuación en la cual el exponente de la variable es 1.

• Ecuación Trivial:

Ecuación en la cual aparece la variable despejada (solita) en un lado de la ecuación y en el otro lado aparece una constante (número).

Definiciones

Definiciones Continuación…

• Solución de una ecuación lineal:

Son los valores de la variable que cuando se sustituyen en una ecuación hacen cierta la misma.

• Resolver la ecuación:

Es hallar el valor de la variable que representa la solución de la ecuación.

Ejemplos de Ecuaciones Lineales

en Una Variable

Ejemplos de Ecuaciones

3x + 5 = 8

-2x - 6y = 12

x2 – 6x + 8 = 25

y3 + 8y2 – 10y = 36

¿Cuáles son lineales?

Ejemplos de Ecuaciones

3x + 5 = 8

-2x - 6y = 12

x2 – 6x + 8 = 25

y3 + 8y2 – 10y = 36

¿Cuáles son lineales

en una variable?

Proceso para resolver una ecuación lineal en

una variable

Para resolver una ecuación lineal…

3x – 7 = 14Hay que convertir la ecuación anterior a la ecuación trivial,

o sea,

hay que despejar la variable en uno de los lados de la ecuación, el izquierdo o el derecho.

• Una ecuación es como una balanza

de dos platillos…

Lo que se hace en un lado de la ecuación hay que hacerlo en el otro lado para que se mantenga la relación de igualdad.

Recordar que...

Ejemplo:

Si añado 2 en el lado izquierdo

Hay que añadir 2 también, en el lado derecho

Para que una ecuación permanezca balanceada…

• Hay que aplicar las propiedades de la igualdad:

Propiedad Aditiva de la Igualdad

Propiedad Multiplicativa de la Igualdad

Propiedades de la Igualdad

Propiedades de la Igualdad

• Propiedad Aditiva

Para todo número a, b, c:

Si a = b, entonces, a + c = b + cEsta propiedad asegura que en una igualdad al sumar una misma cantidad en ambos lados, se obtiene el mismo resultado.

Propiedades de la Igualdad

• Propiedad Multiplicativa

Para todo número a, b, c,

c 0:

Si a = b, entonces, a . c = b . c

Esta propiedad asegura que en una igualdad al multiplicar una misma cantidad en ambos lados, excepto 0, se obtiene el mismo resultado.

Aplicación de las Propiedades de la

Igualdad

Demostración de proceso para resolver ecuación

Se desea despejar la variable que está en el lado izquierdo.

Se mira lo que acompaña la variable en el lado donde está. En este ejemplo la variable x está acompañada de la suma de 5 y la multiplicación por 2.

Se elimina siempre primero las sumas y restas y después las multiplicaciones y divisiones.

2x + 5 = 11

Continuación de proceso...

Para eliminar la suma o resta se aplica la propiedad aditiva de la igualdad. Para eliminar la multiplicación o división se aplica la propiedad multiplicativa de la igualdad.Se elimina una operación haciendo la operación contraria:

Se elimina una suma restando Se elimina una resta sumandoSe elimina una multiplicación dividiendoSe elimina una división multiplicando.

2x + 5 = 11

Demostración de proceso...

2x + 5 = 11

2x + 5 – 5 = 11 – 5

2x + 0 = 6

2x = 6

2x = 6

2 2

x = 3

Otro ejemplo: 6x – 9 = 27

6x – 9 = 27

6x –9 + 9 = 27 + 9

6x + 0 = 36

6x = 36

6 6

x = 6

Otro ejemplo: 3x – 1 = - 4x + 6

3x – 1 = - 4x + 6

3x –1 + 1 = - 4x + 6 + 1

3x = - 4x + 7

3x + 4x = 4x + - 4x + 7

7x = 7

7 7

x = 1

Otro ejemplo: 2(x – 8) = 10

2(x – 8) = 10

2x – 16 = 10

2x = 10 + 16

2x = 26

2 2

x = 13

Ecuaciones que contienen fracciones

Ecuaciones que contienen fracciones

Hay dos tipos de métodos que aplicamos para eliminar las fracciones:

Método de Proporciones

Método de No-Proporciones

Ecuaciones que contienen fracciones

Método de Proporciones

Aplica cuando es una proporción.

Una proporción es una igualdad entre dos fracciones.

Ejemplos de proporciones: x – 4 = x + 4 3 2

2x – 4 = x + 8 3 5

En una proporción si se multiplica cruzado se obtiene la misma cantidad.

Ecuaciones que contienen fracciones

Método de Proporciones

x – 4 = x + 4

3 2

2 (x – 4) = 3 (x + 4)

2x – 8 = 3x + 12

-12 + -8 = 3x – 2x

-20 = x

Se multiplica cruzado.

Ecuaciones que contienen fracciones

Método de No-Proporciones

Aplica cuando la ecuación no es una proporción.

5 - 2x = 9

3

x + 3 = 2x - 5

4 5 3

Ecuaciones que contienen fracciones

Método de No-Proporciones5 - 2x = 9

35 . 3 - 2x . 3 = 9 . 3

3 115 – 2x = 27-2x = 27 – 15

-2x = 12-2 -2x = -6

Cuando no es una proporción se multiplica cada término por el MCD.

Reflexión

Ecuación Condicional

Ecuación que tiene una sola solución

(Como todas las anteriores)

Hay ecuaciones especiales que no son condicionales. Veamos...

Ecuaciones Especiales

Ecuaciones Especiales

Ecuación Identidad

La solución es infinita o la solución son todos los Reales (que es un conjunto infinito).

Ecuación Inconsistente

No tiene solución.

Ecuación IdentidadEcuación Identidad

2x + 1 = 5x + 1 - 3x

2x + 1 = 2x + 1

2x – 2x = 1 – 1

0 = 0

Solución son todos los números Reales

Enunciado cierto

Ecuación InconsistenteEcuación Inconsistente

2 (3x + 1) = 9x + (3 - 3x)

6x + 2 = 9x + 3 – 3x

6x + 2 = 6x + 3

6x – 6x = 3 – 2

0 = 1

No tiene solución o la solución es el conjunto nulo.

Enunciado falso

Ejercicios de Práctica

Instrucciones

1.Copia las siguientes ecuaciones en la libreta y resuélvelas.

2.Después de resolverlas haz clic en el reloj para conocer las respuestas correctas.

Resuelve las siguientes ecuaciones:

x – 8 = 20 6 = 4 - 5x

x + 4 = 52 3 (x – 4) = 8

3x = 81 16 + x = 3x - 5

-5x = 45 2 (x + 1) = 7 – (x + 3)

2x + 4 = 10 7x + 3 – 9x = 14 – 2x + 5

6 – 4x = -12 5 (x – 2) + 3x = 10x – 2 (x + 5)

Fin de la lección

Para salir de la lección, haz clic en el reloj grande que está a la izquierda.

Contestaciones de las ecuaciones:

x = 28 x = 2/-5

x = 48 x = 20/3

x = 27 x = 21/2

x = -9 x = 2/3

x = 3 No tiene solución

x = 9/2 La solución es todos los Reales