Ecuaciones trigonomtricas
Introduccin a la Trigonometra Ecuaciones Trigonomtricas
Ecuaciones trigonomtricasUna ecuacin trigonomtrica es aquella
ecuacin en la que aparecen una o ms funciones trigonomtricas. En
las ecuaciones trigonomtricas la incgnita es el ngulo comn de las
funciones trigonomtricas. No puede especificarse un mtodo general
que permita resolver cualquier ecuacin trigonomtrica; sin embargo,
un procedimiento efectivo para solucionar un gran nmero de estas
ecuaciones consiste en transformar, usando principalmente las
identidades trigonomtricas, todas las funciones que aparecen all en
una sola funcin (es recomendable pasarlas todas a senos o cosenos).
Una vez expresada la ecuacin en trminos de una sola funcin
trigonomtrica, se aplican los pasos usuales en la solucin de
ecuaciones algebraicas para despejar la funcin; por ltimo, se
resuelve la parte trigonomtrica, es decir, conociendo el valor de
la funcin trigonomtrica de un ngulo hay que pasar a determinar cul
es ese ngulo.
Nota: en las soluciones pueden aparecer valores extraos (debido
a la manipulacin de las ecuaciones al tratar de reducirlas), por
ejemplo: nos puede resultar un cos x = 2, el que debemos descartar,
obviamente, pues el codominio del coseno se limita a [-1, 1].
Tambin, debemos verificar todas las respuestas obtenidas y aceptar
slo aquellas que satisfacen la ecuacin original.Como las funciones
trigonomtricas repiten su valor y signo en dos de los cuadrantes,
hay que tener presente que siempre habr por lo menos dos ngulos
distintos en la solucin de una ecuacin trigonomtrica de la forma
tri x = a (donde tri: es una cualquiera de las seis funciones
trigonomtricas y a: nmero cualquiera en el codominio de la funcin).
Adems, debido a que cuando el lado terminal de un ngulo cualquiera
realiza un giro completo se genera otro ngulo equivalente, es
necesario aadir a las soluciones obtenidas un mltiplo de 360, esto
es, k360, y k es un entero.
PROCEDIMIENTOS PARA RESOLVER ECUACIONES TRIGONOMTRICAS
No existe un mtodo general para resolver las ecuaciones
trigonomtricas. A continuacin se dan tres procedimientos que pueden
servir de modelo y, en los ejemplos posteriores, aparecen
otros.
I. La ecuacin puede descomponerse en factores
(factorizacin).
Resolver sin x 2sin x(cos x = 0
sin x 2sin x(cos x = 0
sin x(1 2cos x) = 0
(factor comn)
sin x = 0 1 2cos x = 0
(igualando cada factor a cero)
x = arcsin 0 cos x =
x = 0 x = arccos
x = 60
Al hacer las sustituciones en la ecuacin original las dos
soluciones la satisfacen, por tanto las soluciones generales son:
x1 = 0 + 360k, k(Z y x2 = 60 + 360k, k(Z.II. Las distintas
funciones que aparecen en la ecuacin se pueden expresar en trminos
de una sola funcin.Resolver sec x + tan x = 0
sec x + tan x = 0
(identidades)
(suma de fracciones)
1 + sin x = 0
(lo que esta dividiendo pasa a multiplicar)
sin x = -1
(transposicin de trminos)
x = arcsin -1
x = 270La solucin obtenida x = 270 no puede ser verificada en la
ecuacin inicial pues sec 270 = ? y tan 270 = ?, por tanto la
ecuacin no tiene solucin.
Resolver 2tan2x + sec2x = 2.
2tan2x + sec2x = 2
2tan2x + (1 + tan2x) = 2
(identidad 1 + tan2x = sec2x) 2tan2x + 1 + tan2x = 2
(eliminacin de signos de agrupacin) 3tan2x - 1 = 0
(reduccin de trminos semejantes) tan2x = 1/3
(transposicin de trminos) tan x =
(racionalizacin) tan x =
si tan x = +
x = arctan
x =
x =
si tan x = -
x = arctan -
x = x =
Al hacer las sustituciones en la ecuacin original las cuatro
soluciones la satisfacen, por tanto las soluciones generales son:
x1 = + k, k(Z ; x2 = + k, k(Z ; x3 = + k, k(Z y x4 = + k, k(Z.III.
Ambos trminos de la ecuacin se elevan al cuadrado.Resolversin x +
cos x = 1
sin x + cos x = 1
sin x = 1 cos x
(transposicin de trminos) (sin x)2 = (1 cos x)2
(ambos miembros se elevan al cuadrado) sin2x = 1 2cos x + cos2x
(cuadrado de un binomio) 1 cos 2x = 1 2cos x + cos2x (sin2x = 1
cos2x)0 = 2cos2x 2cos x (reduccin de trminos semejantes) 2(cos2x
cos x) = 0
(factorizacin) cos2x cos x = 0
cos x (1 cos x) = 0
(factorizacin)cos x = 0
1 cos x = 0
x = arccos 0
cos x = 1
x = x =
x = arccos 1
x = 0
Al hacer las sustituciones en la ecuacin original slo satisfacen
los valores x = y x = 0, por tanto las soluciones generales son: x1
= + 2k, k(Z ; x2 = 0 + 2k, k(Z.
Ejemplo 1.- Resolver la siguiente ecuacin trigonomtrica: 3cos2x
+ sen2x =3.
Sol.: 3cos2x + sen2x = 3
3cos2x + (1 - cos2x) = 3
(sin2x = 1 cos2x) 3cos2x + 1 - cos2x = 3 2cos2x = 3 1 2cos2x = 2
cos2x = 1 cos x =
cos x = 1si cos x = 1x = arccos1x = 0 si cos x = -1x = arccos-1x
= ( Al hacer las sustituciones en la ecuacin original las dos
soluciones la satisfacen, por tanto las soluciones generales son:
x1 = 0 + 2k, k(Z y x2 = + 360k, k(Z.Ejemplo 2.- Resolver la
siguiente ecuacin trigonomtrica: tan2x + 3 = 2sec2x.
Sol.:tan2x + 3 = 2sec2x
tan2x + 3 = 2(1 + tan2x)
(1 + tan2 = sec2x)
tan2x + 3 = 2 + 2tan2x tan2x - 2tan2x = 2 3 -tan2x = -1
//(-1)
tan2x = 1 tan x =
tan x = 1
si tan x = 1x = arctan1x = si tan x = -1x = arctan 1x = Al hacer
las sustituciones en la ecuacin original las dos soluciones la
satisfacen, por tanto las soluciones generales son: x1 = + k, k(Z y
x2 = + k, k(Z.Ejemplo 3.- Resolver la siguiente ecuacin
trigonomtrica: sen x = 3cosx.
Sol. 1:
sin x = 3cosx (sin x)2 = (3cos x)2
//
3sin2x = 9cos2x
sin2x = 3cos2x
1 cos2x = 3cos2x
1 = 4cos2x
cos2x =
cos x =
si cos x = x = arccos x = 60 si cos x = - x = arccos - x = 120
Al hacer las sustituciones en la ecuacin original slo la satisface
x = 60, por tanto la solucin general es x = 60 + 360k, k(Z.Presento
a continuacin otra alternativa para resolver la ecuacin sin x =
3cosx.
Sol. 2:
sin x = 3cosx
cot x = x = arccot
x = + k
k(Z Ejemplo 4.- Resolver la siguiente ecuacin trigonomtrica:
4sin2x(tan x 4sin2x 3tan x + 3 = 0.Sol.: 4sin2x(tan x 4sin2x 3tan x
+ 3 = 0
(4sin2x(tan x 4sin2x) (3tan x 3) = 0 (asociando
convenientemente)
4sin2x(tan x 1) 3(tan x 1) = 0 (factorizando factor comn)
(tan x 1)(4sin2x 3) = 0 (factorizando)
tan x 1 = 0
4sin2x 3 = 0
tan x = 1
sin2x =
x = arctan 1 sin x =
EMBED Equation.3 x = 45 x = arcsin
EMBED Equation.3 x = 60 x = 240 Al hacer las sustituciones en la
ecuacin original las tres soluciones la satisfacen, por tanto las
soluciones generales son: x1 = 45 + 180k, k(Z ; x2 = 60 + 360k, k(Z
; x3 = 240 + 360k, k(Z. Ejemplo 5.- Resolver la siguiente ecuacin
trigonomtrica: csc x + cot x =.
Sol.: csc x + cot x =
(identidades)
(suma de fracciones)
1 + cos x =sin x
(transposicin de trminos) (1 + cos x)2 = (sin x)2
(elevando al cuadrado) 1 + 2cos x + cos2x = 3sin2x
(cuadrado de un binomio) 1 + 2cos x + cos2x = 3(1 - cos2x)
(identidad fundamental) 1 + 2cos x + cos2x = 3 3cos2x
1 + 2cos x + cos2x 3 + 3cos2x = 0
(transposicin de trminos) 4cos2x + 2cos x 2 = 0
2(2cos2x + cos x 1) = 0
(factorizacin) 2cos2x + cos x 1 = 0
(ax2 + bx + c = 0)
cos x ==
(x =)cos x1 =
cos x2 =
x1 = arccos
x2 = arccos -1
x1 = 60
x2 = 180
Al hacer las sustituciones en la ecuacin original slo la
satisface x1 = 60, por tanto la solucin general es x1 = 60 + 360k,
k(Z.Ejemplo 6.- Resolver la siguiente ecuacin trigonomtrica: 4cos
2x + 3cos x = 1.
Sol.:
4cos 2x + 3cos x = 1
4(cos2x sin2x) + 3cos x = 1
(coseno del ngulo doble)
4cos2x 4sin2x + 3cos x = 1
(efectuando el producto indicado)
4cos2x 4(1 cos2x) + 3cos x = 1
(identidad fundamental) 4cos2x 4 + 4cos2x + 3cos x = 1
(efectuando el producto indicado)
8cos2x + 3cos x 5 = 0
(ax2 + bx + c = 0)
cos x = (x =)cos x1 =
cos x2 =
x1 = arccos 5/8
x2 = arccos -1
x1 = 5119 x2 = 180
Al hacer las sustituciones en la ecuacin original las dos
soluciones la satisfacen, por tanto las soluciones generales son:
x1 = 5119 + 360k, k(Z y x2 = 180 + 360k, k(Z.Ejemplo 7.- Resolver
la siguiente ecuacin trigonomtrica: sin (6x ) = sin (2x +).
Sol.:
sin (6x ) = sin (2x +)6x = 2x +
(sin a = sin b entonces a = b) 6x 2x = +
(transposicin de trminos) 4x =
(reduccin de trminos semejantes) 4x =
(simplificacin de fracciones) x = + k;k ( ZEJERCICIOS
PROPUESTOS.-
1. sin x = sin 2x
2. csc2x = 4/3
3. sec x + tan x = 0
4. cos x + cos 2x + cos 3x = 0
5. 2cos x = 1 sin x
6. 2 + sec x 4cos x = 2
ECUACIONES TRIGONOMETRICAS
1. cos x(tan x = x1 = 30 + 360 k( k ( Z )
x2 = 150 + 360 k ( k ( Z )
2. sin x(cot x =
x1 = 60 + 360 k( k ( Z )
x2 = 300 + 360 k ( k ( Z )
3. sen x(sec x = 1
x = 45 + 180 k( k ( Z )
4. cos x(csc x =
x = 30 + 180 k ( k ( Z )
5. sin x csc x = 0
x1 = 90 + 360 k( k ( Z )
x2 = 270 + 360 k ( k ( Z )
6. cot x(sec x = 2
x1 = 30 + 360 k( k ( Z )
x2 = 150 + 360 k( k ( Z )
7. sin x = tan x
x1 = 0 + 360 k( k ( Z )
x2 = 180 + 360 k( k ( Z )
8. sin 2x(tan x = 1
x1 = 45 + 360 k( k ( Z )
x2 = 135 + 360 k( k ( Z )
x3 = 225 + 360 k( k ( Z )
x4 = 315 + 360 k( k ( Z )
9. sin x(sin x 2) = 1
x = 90 + 360 k( k ( Z )
10. cos x(cos x 1) = 1/4
x1 = 60 + 360 k( k ( Z )
x2 = 300 + 360 k( k ( Z )
11. tan x(tan x 2) = 1
x = 45 + 180 k( k ( Z )
12. sin x(sin x 2) = 3
x = 270 + 360 k( k ( Z )
sin x = 3
( No tiene solucin )
13. cos x(cos x 9/2) = 2
x1 = 60 + 360 k
x2 = 300 + 360 k( k ( Z )
cos x = 4
( No tiene solucin )
14. sin x + csc x = 2,5
x1 = 30 + 360 k( k ( Z )
x2 = 150 + 360 k( k ( Z )
sin x = 2
( No tiene solucin )
15. cos x + sec x = 2
x = 0 + 360 k( k ( Z )
16. tan x + cot x = 2
x = 45 + 180 k( k ( Z )
17. cos x + 2sec x = 3
x = 0 + 360 k( k ( Z )
cos x = 2
( No tiene solucin )
18. 2cos x = 3tan x
x1 = 210 + 360 k( k ( Z )
x2 = 330 + 360 k( k ( Z )
sin x = 2
( No tiene solucin )
1. Resuelva las siguientes ecuaciones, donde la incgnita es un
ngulo agudo:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2. Resuelva las siguientes ecuaciones:
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
f) .
g) .
h) .
PAGE 6Tercero de Secundaria Wilmer E. Villca Morn
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