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Una EXPRESIÓN ALGEBRAICA es un conjunto de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas. Las letras reciben el nombre de variables y los números que las acompañan son los coeficientes.

MONOMIO:

Es una expresión algebraica formada por una variable elevada a un exponente y multiplicada por un coeficiente: 3x, -3x2, 1/5 y3

El exponente al que está elevado la variable se denomina grado del monomio. Asimismo, cuando varios monomios tienen el mismo grado, se denominan monomios semejantes.

SUMA Y RESTA DE MONOMIOS:

La suma o resta de monomios semejantes se realiza sumando (o restando) los coeficientes y dejando las mismas variables.

4X5 + 3X5 = 7X5

2X2 + 3X4= 2X2 + 3X4

Si los monomios no son semejantes, la suma o la resta se deja indicada.

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE MONOMIOS:

Para multiplicar monomios, por un lado, multiplicamos sus coeficientes y, por otro, sus variables.

4X5 x 3X2 = (4x3) x (X5 x X2) = 12X7

POLINOMIO

Es una expresión algebraica formada por la suma o la resta de dos o más monomios no semejantes. Cada uno de los monomios se llama término, y si no tienen variables, término independiente.

El mayor de los grados de todos sus términos se denomina grado del polinomio.

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SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS:

Para sumar polinomios sumamos sus monomios semejantes, dejando indicada la suma de los monomios no semejantes. Para restarlos sumamos al primero el polinomio opuesto del segundo.

P(X) = -X5 + 4X3 – 5X +1 P(X)= -2X4 -3X3 + X2 + 5X -7

P(x) = -X5 -2X4 +X3 +X2 -6

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POLINOMIOS:

Para multiplicar un monomio por un polinomio, multiplicamos el monomio por cada uno de los términos del polinomio.

3x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x5 − 9x4 + 12x3 − 6x2

Para multiplicar un polinomio por un polinomio, multiplicamos cada uno de los términos de uno de los polinomios por el otro, y sumando después los polinomios obtenidos en las multiplicaciones.

P(x) = 2x2 − 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.

P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) =

= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =

Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x

Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:

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Para dividir un polinomio entre un monomio, dividimos cada término del polinomio entre el monomio.

P(x) = (6x5 + 3x4 – 9x): 3x = (6x5: 3x) + (3x4: 3x) – (9x: 3x) = 2x4 + x3 -3

IDENTIDAD Y ECUACIÓN:

Una igualdad algebraica está formada por dos expresiones algebraicas separadas por un signo igual (=).

Una igualdad algebraica es:

Una identidad cuando es cierta para cualquier valor de las letras.

Una ecuación si solo es cierta para algunos valores de las letras.

ELEMENTOS DE UNA ECUACIÓN

Miembro: en toda ecuación hay dos expresiones separadas por un signo igual. La expresión situada a la izquierda se denomina primer miembro, y la situada a la derecha, segundo miembro.

Término: es cada uno de los sumandos de los términos. Si está formado por un solo número se denomina término independiente.

Incógnitas: son las letras cuyos valores son desconocidos.

Grado: es el mayor de los exponentes con lo que figura la incógnita, después de

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RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO:

Una ecuación es de primer grado cuando la x (la variable) está elevada a uno.

Pasos para resolver una ecuación de primer grado

1. Si hay denominadores, los reducimos a común denominador (calculando el m.c.m.) y suprimimos los denominadores.

2. Quitamos los paréntesis aplicando la regla de los signos.

3. Al final tendremos a ambos lados del =, sólo sumas y restas, unos términos llevaran x y otros no.

4. Trasposición de términos: Pasamos todos los términos con x a un lado de la ecuación, los números al otro lado.

5. Agrupamos los términos semejantes y al final despejamos la x obteniendo la solución.

6. Comprobamos la solución sustituyendo el valor de la x obtenida en la ecuación. Nos tiene que dar el mismo resultado a ambos lados de la ecuación.

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO:

Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una igualdad algebraica con las siguientes características:

Tiene una única incógnita.

Alguno de sus términos es de grado 2 y no contiene términos de grado mayor que 2.

Una ecuación de segundo grado con una incógnita se puede expresar utilizando su forma general:

ax2 + bx + c = 0

donde a, b y c son números conocidos y a es diferente de cero.

¿CÓMO SE RESUELVEN LAS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO COMPLETAS?

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¿CÓMO SE RESUELVEN LAS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETAS?

Una ecuación de primer grado con una o varias incógnitas se denomina ecuación

lineal.

Una ecuación lineal con dos incógnitas es una ecuación que se pueden expresar de la forma ax + by = c, donde x e y son las incógnitas, y a, b y c, números conocidos.

Una solución de una ecuación lineal con dos incógnitas es cada par de valores de las incógnitas que hacen cierta la igualdad.

Una ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas soluciones.

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SISTEMAS DE EUCACIONES LINEALES:

Dos ecuaciones lineales de las que se busca una solución común:

ax + by = c

a´x + b´y = c´

Una solución del sistema es todo par de números que verifican las dos ecuaciones a la vez. Resolver un sistema es encontrar su solución.

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES:

1. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

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2. MÉTODO DE REDUCCIÓN

3. MÉTODO DE IGUALACIÓN

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4. MÉTODO GRÁFICO

El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resuelve en los siguientes pasos:

1.- Se despeja la incógnita (y ) en ambas ecuaciones.

2.- Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado obteniendo la tabla de valores correspondientes.

3.- Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.

4.- En este último paso hay tres posibilidades:

a) Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas (x,y). "Sistema compatible determinado".

b) Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. "Sistema compatible indeterminado".

c) Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. "Sistema incompatible".

Ejemplos: Entre Adriana y Carlos tienen 600 lempiras, pero Carlos tiene el doble de lempiras que Adriana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

Llamemos "x" al número de lempiras de Adriana y "y" al de Carlos. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 lempiras, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Carlos tiene el doble de lempiras que Adriana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:

x + y = 600 2x - y = 0

Para resolver el sistema por el método gráfico despejamos la incógnita y en ambas ecuaciones y tendremos:

y = -x + 600 y = 2x

Vamos ahora, para poder representar ambas rectas, a calcular sus tablas de valores:

y=-x+600 y=2x x y x y 200 400 100 200 600 0 200 400

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Con estas tablas de valores para las dos rectas y eligiendo las escalas apropiadas en los ejes "X" y "Y", podemos ya representar gráficamente: