EQUAES DIFERENCIAIS

Professor Alexandre Stamford

CONCEITOS BSICOS

1. Conceito

- Chama-se de equao diferencial a toda equao que relaciona uma funo incgnita com suas derivadas.

- Variveis Dependentes ou Exgenas e Independentes ou Endgenas. A varivel dependente a incgnita da equao.

Exemplo:

a) 12 += xdtdx

b) 03422

=++ xdtdx

dtxd

c)z

yxy

x

y

+=

d) 42' =+ yxy e) axx =& f) 032 =++ xx &&&

g) yxy

z

x

z+=

+ 2

2

2

2

2

h) 232 3)'()"( xyyy =++ i) 03424

2

2

=+

+

x

dtdx

dtxd

2. Notao

- Leibniz - Newton (sistemas e fluxons)

3. Equaes Diferenciais Ordinrias (EDO) e Parciais (EDP)

- Se a funo incgnita funo de uma s varivel independente, a equao chamada de Equao Diferencial Ordinria (EDO). Se ela funo de mais de uma, ela chamada de Equao diferencial Parcial (EDP).

- Os nomes se do pela natureza das derivadas envolvidas. - S se vai estudar aqui as EDOs.

4. Ordem e Grau de uma Equao Diferencial

- Uma Equao Diferencial dita de ordem n se a derivada de ordem mais elevada da funo incgnita de ordem n.

- O grau de uma Equao Diferencial, que pode ser escrita como um polinmio, o grau do termo de sua derivada de ordem mais elevada.

- Ex: No exemplo anterior, h) acima de 2 ordem e 2 grau; i) de 2 ordem e 4 grau; f) de 2 ordem e 1 grau; e c) de 1 ordem e 1 grau

5. O tempo como varivel independente

- Dinmica de sistemas como um todo, os econmicos so apenas um caso particular. - Quando o tempo a varivel independente as solues das equaes diferenciais

expressaro o que aconteceu e o que acontecer com as variveis num dado instantte de tempo.

2

6. Soluo de uma Equao Diferencial

- A soluo de uma Equao Diferencial na funo incgnita y na varivel x, no intervalo I, uma funo y = f(x) que verifica a equao, qualquer que seja x I.

- Ex: . no )sen( enquanto soluo, uma ;02'3" xyeyyyy x ===+

7. Solues Analticas

- Geralmente no h soluo analtica

8. Achando a Soluo

- Para achar a soluo da Equao Diferencial necessrio apenas achar a primitiva que gerou a Equao Diferencial (algumas vezes tarefa dolorosa).

9. Classificao Utilizada

- As Equaes Diferenciais Ordinrias (EDO) tem uma grande diviso entre EDO lineares e EDO no lineares.

- Estuda-se aqui os dois tipos. - Com relao a ordem, vai-se estudar (obter soluo de) todas as ordens das EDOs

lineares. Das no lineares vai-se estudar as formas analticas quando existirem das de 1 ordem e vai-se estudar as solues qualitativas das outras ordem quando possvel.

10. Soluo Geral, Particular e Singular de uma EDO

- Quando se procura a primitiva que gerou a ED na verdade est se integrando a ED e, como do conhecimento da teoria da integrao, aparecero constantes arbitrrias que podero assumir qualquer valor no domnio da funo.

- Ex: 03 =+ xdxdy

- i) 23xy = soluo. - ii) 23 2 += xy soluo. - iii) Cxy += 23 soluo.

- Soluo Geral - a soluo que determina o conjunto de todas as solues da equao, exceto um

conjunto finito vazio ou no vazio delas. - Ex. iii) acima

- Soluo Particular - toda soluo obtida da soluo geral atribuindo-se valores as constantes - Ex. i) com C = 0; e ii) com C = 2, acima

- Soluo Singular - So funes do tipo y = f(x) que verificam a equao diferencial, porm no

dependem da soluo geral. 11. Problema do Valor Inicial ou de Cauchy

- Consiste numa ED juntamente com condies dadas funo incgnita e suas derivadas, para um mesmo valor dado varivel independente.

- Ex: 02'3" =+ yyy satisfazendo 1)0(' e 2)0( == yy

3

12. Soluo do Problema do Valor Inicial

- toda soluo particular da ED que satisfaz s condies dadas. - Ex: se y=Cx soluo de

x

yy =' determine qual a soluo particular que passa pelo

ponto (1,2). Substituindo x=1 e y=2 em y=Cx acha-se C = 2. Logo, y = 2x a soluo.

13. Representao das EDOs

- Representam-se as EDOs de ordem n pela forma normal de representao. A forma normal consiste em representar as derivadas explicitamente.

- As EDOs de 1 ordem podem ser representadas pela forma normal ou diferencial. - Forma Normal:

- toda relao f(x, y, y,y,....., yn)=0 (para equaes de qualquer ordem) Onde y uma funo de x, y = (x) e y', y'' , ... , yn so derivadas de ordem menor ou igual a n da funo incgnita. Exemplo: (x, y, y') = 0

(x, y, y' ,y'') = 0 - Forma Diferencial:

- toda relao M(x,y) dx + N(x, y)dy =0 (s para equaes de 1 ordem)

14. Forma Normal e Diferencial de uma Equao Diferencial de 1 Ordem

Normal (x, y, y') = 0 ou y' = (x, y)

Exemplo: y'= y + senx ; y'= 2xy; y'- (3x2 -1) =0

Diferencial M(x,y)dx + N(x, y)dy = 0

Exemplo: 3xydx + (2y - xsenx)dy = 0 X arctg y dx - (2x2 -3x)dy =0 Representao:

Como y'= dy/dx e (x, y) = M(x,y) / - N(x, y) ; N(x, y) 0

Ento: y'= (x, y) => dy/dx = M(x,y) / - N(x, y)

M(x,y)dx + N(x, y)dy = 0 logo pode-se passar de uma forma a outra quando necessrio.

Exemplo: y'= y + senx => dy/dx = y + senx

(y + senx)dx - dy = 0 onde M(x, y) = y + senx e N(x, y) = -1

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TIPOS DE E.D.O DE 1 ORDEM E 1 GRAU

1. EQUAES DE VARIVEIS SEPARVEIS ( E. V. S.)

So E.D. que podem ser escrita na forma

A(x) dx + B(y) dy = 0

Soluo de E.V.S Para determinar a soluo geral das E.V.S integra-se termo a termo a equao:

=+ CdyyBdxxA )()( Exemplo: 1) x2dx + seny dy = 0 =+ Cydydxx sen

2 integrando

Cyx = cos3

3

a soluo da E.D.O.

2) ( x +1)(y -1)dx + (x -1)(y +1)dy = 0 sendo x 1 e y 1 pode-se encontrar atravs de operaes bsicas que:

01)1(

)1()1(

=

++

+ dyyydx

x

x

integrando tem-se que )( )1)(1( yxeCyx += a soluo.

2. EQUAES REDUTVEIS A FORMA SEPARADA

2.1 EQUAES DE COEFICIENTES HOMOGNEAS

Uma E.D de 1 ordem e 1 grau de coeficientes homogneos sse M(x,y) e N(x,y) so funes homogneas de mesmo grau.

Observao: Funo homognea (x,y) homognea de grau n sse (tx,ty) = tn(x,y) (x,y) I C/R2 onde(x,y)

definida.

Exemplo: 1) (x,y) = x2 - y 2 (grau 2) g (x,y) =x3 + 2y3sem(x/y) (grau 3) 2) (x +y) dx - 2xdy = 0 (grau 1) (3x2 - 4y2)dx + x2sem(x/y)dy = 0 (grau 2) TEOREMA:

Se M(x,y)dx + N(x,y) = 0 uma equao de coeficientes homogneos, ento a substituio de y por u.x, transforma a mesma numa equao de variveis separadas.

PROVA E EXEMPLO

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3. EQUAO EXATA

Uma E.D.O 1 ordem e 1grau exata se (x,y) tal que d = M(x,y)dx + N(x,y)dy.

TEOREMA:

"Seja M(x,y)dx +N(x,y)dy = 0, com N(x,y) 0, uma E.D Se (x,y) tal que /x= M(x,y) e /y= N(x,y) ento (x,y) = C soluo geral da E.D."

A condio necessria e suficiente para que M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 seja exata que:

M/y = N/x

Se (x,y) = C soluo ento /x= M(x,y) e /y = N(x,y) ento (/x)dx= M(x,y)dx e +=

x

ydxyxMyxf )(),(),( onde (y) a constante de integrao. Porm, /y = ),()(),( yxN

dyyddxyxM

yx

=+

, que d )(')( y

dyyd = e (y) pode ser

determinado.

Exemplo: (2x3 + 3y)dx + (3x + y -1)dy = 0

A equao exata pois, M/y = (2x3 + 3y)/y = 3 e N/x = (3x + y -1)/x = 3

Soluo:

++=++=x

yxyxydxyxyxf )(3)()32(),( 4213

/y = 13)('3)(3421 +=+=++ yxyxyxyxy

logo '(y) = y - 1 e (y) ='(y)dy , (y) = (y - 1)dy = y2/2 y

Ento: Cyxyxyxf y =++= 24212

3),( a soluo da E.D.

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4. FATORES INTEGRANTE

Definio:

Uma funo F(x, y) um fator integrante da equao M(x,y) dx + N(x, y) dy = 0 sse F(x, y) [M(x,y) dx + N(x, y) dy] = 0, uma equao exata.

4.1 PROBLEMA DE DETERMINAO DE FATORES INTEGRANTE

Determinao de Fatores Integrantes:

Se F(x , y) F.I. de M(x,y) dx + N(x, y) dy = 0 ento:

F(x,y) M(x,y) dx + F(x, y)N(x, y) dy = 0 exata. Ento verdade a C.N.S.

x

FNy

FM

=

Ou fazendo a derivada do produto:

x

NFx

FNy

MFyFM

+

=

+

Rearrumando,

yFM

x

FNFx

Ny

M

=

Frmula Bsica.

1) Se F funo s de y , F(y), ento: 0=

x

F

Logo:

yyFMyF

x

Ny

M

=

)()(

Ou

dyydFMyF

x

Ny

M )()( =

e

dyx

Ny

MM

ydFyF

=

1)()(1

fazendo )(1 ygx

Ny

MM

=

7

+==>= cdyygyFdyygydFyF)()(ln)()()(

1

Como qualquer membro da famlia dessa funo nos interessa podemos fazer c = 0. Ento

==>=

dyygdyygyF eyFee)()()(ln )(

e F(y) o fator integrante.

2) Se F funo s de x , F(x), ento: 0=

yF

Logo:

yyF

MyFx

Ny

M

=

)()(

Ou

dxxdFNxF

x

Ny

M )()( =

e

dxx

Ny

MN

xdFxF

=

1)()(1

fazendo )(1 xgx

Ny

MN

=

+==>= cdxxgxFdxxgxdFxF)()(ln)()()(

1

Como qualquer membro da famlia dessa funo nos interessa podemos fazer c = 0. Ento

==>=

dxxgdxxgxF exFee)()()(ln )(

e F(x) o fator integrante.

Exemplo: Achar o fator integrante sendo F funo apenas de x de equao: (x2+2y)dy + xdx = 0.

Se xM +yN = 0, ento xM = -yN e M/N = -y/x logo, Mdx + Ndy =0 => M/Ndx +dy = 0

=> -y/xdx + dy =0 =>-1/xdx +-1/ydy =0 => - ln x + lny = ln c => ln y/x = ln c ou y = c.x

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5. EQUAES DIFERENCIAIS LINEARES (E.D.L)

So equaes do tipo:

(1) y ( n) + an-1y ( n-1) +...+ a2(x)y+a1(x)y + a0 y = r (x)

onde os expoentes representam as derivadas de ordem n, n-1, etc. Os ais so os coeficientes e r(x) conhecido como o termo independente, muitas vezes referido apenas como termo da EDL.

Por exemplo:

a) y+xy+5y +

y = x2 b) y+x2y+2xy +

y =0 c) 5y+2y + 9

y = 3 d) y+ln(x)y+y +

y = 0 e) y + ex y = x2x f) y+y +

y = x2

so equaes diferenciais lineares, j:

g) y+xyy+5y +

y = x2 h) y+x2y+2xy +

y2 =0 i) 5y+2y + 9

y = 3 j) y+ln(y)y+y +

y = 0 k) y + ey y = x2x l) (y)2+y +

y = 0

no so lineares.

Classificao das Equaes Diferenciais Lineares

1) Homogneas e no homogneas: Uma Equao Diferencial Linear homognea se r (x) = 0 caso contrrio ela dita no homognea.

2) De coeficientes constantes e de coeficientes variveis: Uma Equao Diferencial Linear de coeficiente constante se os ai(x)s forem constante reais se no forem uma Equao Diferencial Linear de coeficientes variveis.

3) De termo independente constante e varivel Uma Equao Diferencial Linear de termo (independente) constante se r(x) for uma constante real, se no uma Equao Diferencial Linear de termo varivel.

Dessa forma, dada uma Equao Diferencial Linear ela pode ser uma Equao Diferencial Linear Homognea de Coeficientes Constantes, Equao Diferencial Linear No Homognea de Coeficientes Variveis e Termo Constante, Equao Diferencial Linear No Homognea de Coeficientes Constantes e Termo Varivel, etc. Note que no faz sentido se referir a uma EDL Homognea de termo constante ou varivel, dado que, por ser zero este termo ele j constante.

Aqui o interesse ser centrado em:

1) Equaes Diferenciais Lineares de 1 ordem todos os casos. 2) E.D.L de ordem elevada: apenas de coeficientes constantes.

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E.D.L de 1 Ordem

So equaes do tipo: y' + a(x)y = r (x)

Homogneas (r (x) = 0)

y' + a(x)y = 0

colocando da forma diferencial:

0)()(0)( =+=>==>=+ dxxay

dyydyxadyyxadxdy

integrando e, em seguida, tomando a exponencial:

1)(ln

1)(ln cdxxay

eeecdxxay ==>=+

=

dxxaeAy

)(0 a soluo geral.

onde Ao = ec .

Exemplo:

1) p' + x2 p = 0

a(x) =x2 => - a(x)dx = -x3/3 +c, como o problema da constante da integrao j foi resolvido quando da obteno da regra da soluo, pode-se fazer, sem medo de errar, c=0, logo,

3

3

)(x

Aexp

= a soluo geral.

2) pi' + 2tpi = 0

a(t) = 2t => - a(t)dt = - t2 (fazendo tambm a constante de integrao igual a zero), logo,

2)( tAet =pi

No Homognea (r (x) 0)

y' + a (x)y = r (x)

Se r(x) = 0 a soluo particular seria y = Ae - a(x)dx o que se chama soluo da homognea associada. A homognea associada seria a mesma equao com o termo independente igual a zero.

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Suponha que a soluo seja do tipo: = dxxaexuy )()( ( i )

Ento se ( i ) a soluo ela deve satisfazer a equao. Derivando = dxxa

exuy)()( , tem-se:

=

dxxadxxaexaxuexuy

)()( )()()('' (usando a regra da derivada do produto)

Substituindo y e y' na equao y' + a(x)y = r (x), tem-se: )()()()()()(' )()()( xrexuxaexaxuexu dxxadxxadxxa =+ , ou,

)()(' )( xrexu dxxa= ou ainda dxxredu

dxxa )()(=

integrando

+= cdxexrxudxxa )()()(

Como a soluo geral, por hiptese, :

basta substituir o u(x) achado nessa equao ou seja,

+= dxxadxxa

ecdxexry )()( ])([ (b)

Exemplo:

Ex.1 y ' +xy = x aplicando a frmula resulta em: 22

1x

cey

+=

Ex.2 y '+ y = 5 aplicando a frmula resulta em: xcey += 5

A frmula (b) resume todas as solues de E.D.L. 1 ordem.

E.D.L de ordem elevada e de coeficiente constante

Novamente so equaes do tipo:

y ( n) + an-1y ( n-1) +...+ a1(x)y ' + a0 y = r (x)

Do curso anterior, lgebra linear, sabe-se que a operao derivada uma Transformao Linear (T.L.) de um espao vetorial nele mesmo. Isto , a derivada uma T.L. especial chamada de operador linear.

=

dxxaexuy

)()(

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Seja D: PnPn onde Pn um polinmio e D a aplicao derivada (uma T.L que leva uma funo em sua derivada '.

Das Regras de derivao sabe-se que:

D( + g ) = D ( ) + D (g ) e D(k) = kD() onde k . Logo, D uma T.L.

Bem, como as E.D. so equaes que envolvem derivadas ento as propriedades desse operador nos interessa quando a E.D. linear de coeficientes constantes.

Particularmente, quando uma E.D. linear de coeficiente constante e homognea, sua soluo nada mais que o ncleo do operador linear. Reveja ento o que ncleo.

Ncleo:

Seja T: V W uma T.L. O conjunto de todos os vetores V tais que T() = 0 chamado ncleo de T, denotado por Ker(T) ou N(T) ou C(T).

Aqui o interesse na T.L. D: V V logo, N(D) = { V / D() = 0}

Propriedades do ncleo:

1) O ncleo de um operador linear forma um subespao V cuja dimenso igual a dimenso do operador. Assim, para se formar uma base do ncleo de um operador de ordem n so necessrio n vetores Lineares Independente.

2) Teorema:

"Se L1, L 2, ..., L n so operadores diferenciais de coeficiente constantes, ento o ncleo de cada operador est contido no ncleo do produto.

Bem, j sabe-se bastante sobre os operadores e o ncleo, s falta algum conceito ou auxlio que permita operar com os operadores. Esse conceito auxiliar vem da topologia e chama-se ISOMORFISMO (formas iguais).

ISOMORFISMO

Definio: Quando a correspondncia biunvoca entre dois espao vetoriais preserva as operaes

de adio de vetores e multiplicao por escalar dizemos que esses espaos so isomorfos.

Isso ocorre com os polinmios de grau n e os operadores lineares, em particular, com as derivadas, de grau n. Assim, pode-se operar com os operadores diferenciais como se fossem polinmios. Precisa-se definir uma notao para os operadores diferencias (O.D).

Notao:

O.D 1 ordem, L1 = D + a0 O.D 2 ordem, L2 = D2 + a1D + a0 O.D ordem n, Ln = Dn + a n-1Dn - 1 + ... + a1D + a0

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Agora veja como os operadores so aplicados a uma funo p qualquer.

Aplicao sobre uma funo p.

L1p = D + a0 = p'+ a0p L2p = D2 + a1D + a0 = p'' + a1p' + a0p Lnp = Dn + a n-1Dn - 1 + ... + a1D + a0 = Pn + a n-1pn - 1 + ... + a1p + a0

Assim, uma E.D.L pode ser escrita como:

Lnp = r (x) ou Ln y = r (x) onde p e y so as funes incgnitas.

Pode-se agora resolver as equaes diferenciais lineares de coeficientes constantes de qualquer ordem. Comea-se pelas homogneas.

E.D.L Homogneas

Lny = 0

A soluo, segundo as propriedades do ncleo do operador, uma combinao linear de n solues L.I. Para equaes de 1 ordem temos:

E.D.L de coeficientes constantes de 1 ordem homogneas

L1y = 0 ou (D + a0)y = 0 Caso y seja diferente de zero, isto , caso a soluo exista, estamos atrs do ncleo do operador D + a.

Sabemos que o ncleo de 1 ordem logo, precisamos de um vetor L.I. Como qualquer vetor nico L.I ento basta achar uma soluo qualquer, que servir de base para a representao do ncleo.

Sabemos que a soluo :

Onde - a a soluo da equao do operador linear isso :

D + a = 0 => D = - a

Isso verdade e pode ser feito graas ao Isomorfismo dos operadores lineares com os polinmios. Chamamos a equao D + a ou m + a, de equao caracterstica da E.D.L. Vamos as equaes de 2 ordem.

E.D.L de coeficientes constantes de 2 ordem homogneas

L2y = 0 ou (D2 + aD + b) y =0 Analogamente caso a soluo exista (y 0) estamos procurando pelo ncleo do operador D2 + aD +b que de 2 dimenso. Precisamos ento de 2 vetores linearmente independentes. E agora?

axcey =

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Como o ISOMORFISMO com os polinmios existe, ento podemos fatorar o operador em dois operadores de 1 ordem, para isso basta conhecermos as razes do polinmios caractersticos de operador, ou seja, se m1 e m2 resolve m2 + am +b =0 ento poderia-se escrever o operador assim:

(D - m1)(D - m2) e a equao assim: (D - m1)(D - m2) y =0

Voltando ao incio se y 0 ento ou D - m1 = 0 ou D - m2 = 0, isso basta achar a base dos ncleos de dois operadores de 1 ordem se essas forem L.I o problema, a equao, est resolvida.

Sabemos que a representao do ncleo de um operador de 1 ordem dado por um vetor.

Onde - a a raiz de D + a. Assim, a soluo de uma E.D.L.H.C.C 2 ordem dada pela combinao linear de dois desses vetores L.I.

Como a equao caracterstica de 2 ordem existem 3 tipos de razes.

i) Razes reais distintas ii) Razes reais iguais iii) Razes complexas conjugadas

i) Razes reais distintas:

Nesse caso m1 m2 e y1 = C1em1x e y2em2x so dois vetores linearmente independentes logo forma uma representao do ncleo da T.L.

Assim a soluo da E.D.L. H. C.C. 2 ordem uma combinao linear deles ou seja,

xmxmeCeCy 21 21 +=

Isso verdade pelo teorema que nos diz que o ncleo de cada operador est contido no ncleo do produto.

ii) Razes reais iguais

Nesse caso m1 = m2 e os vetores em1x e em2x no so linearmente independentes. Precisamos ento de um artifcio para achar um outro vetor linearmente independente.

Usando novamente o ISOMORFISMO com os polinmios e sabendo que 1 , x , x 2, x

3 forma uma base para o espao dos polinmios ento usando a combinao linear

dos dois primeiros ( 1 + x ) e multiplicando por nosso vetores acharemos dois vetores L. I. 1em1x e xem2x como esses vetores satisfazem a equao, eles podem representar o ncleo dessa T.L.

Assim, para razes iguais a soluo :

mxmx xeCeCy 21 +=

onde m a raiz multipla do polinmio caracterstico da E.D.

axcey =

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iii) As Razes so complexas conjugadas

Isso , m1 = + i e m2 = - i como xixi eCeCy )(2)(1 + += so L.I a soluo a combinao linear dessas duas. Porm, isso daria uma resposta fora dos nmeros reais ( pelo menos aparentemente ) o que no interessa pois procura-se solues reais.

Pela equao de Euler: sencos ie i +=

e sencos ie i = assim seja:

1)( )sen(cos rxixee xxi =+=+

2)( )sen(cos rxixee xxi ==

onde r1 e r2 so as solues e representam a base desse subespao. Assim entra a criatividade matemtica. Ora, se r1 e r2 so solues ento qualquer combinao linear delas tambm . Escolhendo-se convenientemente essas solues como:

221 rr + e

irr

221 (L.I.) tem-se:

xerry x cos

221

1 =+

= (real)

xeirry x sen

221

1 =

= (real)

Assim,

xeCxeCy xx sencos 21 +=

a soluo procurada.

Equaes Diferenciais Ordinrias Lineares Homogneas de Coeficiente Constante de Ordem n

Ln y = 0

ou (Dn + an-1Dn-1 + an-2Dn-2 + ... + a1D + a0) y = 0 onde rn, rn-1, ..., r3, r2, r1 so as razes da equao caracterstica do operador.

Assim, a soluo uma combinao linear das solues dos operadores de 1 ordem. Porm, caso ocorram razes repetidas e complexas conjugadas os cuidados devem ser tomados.

Exemplo: Caso tenhamos 5 razes iguais deveremos tornar as solues L.I. com base na base dos polinmios isso :

y = C0emx + C1xemx + C2x2emx + C3x3emx + C4x4emx

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As conjugadas s aparecem aos pares, ento para cada par teremos um conjunto Ciexcos + Cjexsenx . As distintas so do tipo Cierix.

Assim, dada uma equao D.L.H.C.C. de ordem n o nosso grande problema achar as razes do polinmio caracterstico. Feito isso s ajustar as solues individuais e fazer uma combinao linear delas.

Equaes Diferenciais Ordinrias Lineares no Homogneas de Coeficiente Constante

As de 1 ordem ns j resolvemos.

As de 2 ordem precisamos de um teorema.

Teorema:

"Seja yp uma soluo de L2y = r(x) e yh a soluo geral da homognea associada (L2y = 0), ento y = yp + yh soluo geral para L2y = r(x)"

Assim, Para obtermos a soluo de uma E.D..H.C.C. de 2 ordem devemos conhecer uma soluo particular.

Exemplo: y '' - 2 y ' + y = 3e2x , dada yp = 3e2x

yL => y ' - 2 y ' + y = 0 => m1 = m2 =1 => yh = C1ex + C2xex

A soluo : y = C1ex + C2xex + 3e2x

Existem vrios mtodos para determinar a soluo particular mais isso ns no veremos aqui. Veremos apenas o caso em que o termo r(x) uma constante, ou seja veremos as E.D.L..HC.C. e termo constante. Nesse caso a soluo particular sempre uma constante e os termos de derivadas de ordem superior so sempre nulos de forma que fcil obter yp.

Exemplo: y'' - 2y' + y = 5

y h = C1ex + C2xex e yp = cte. Ento y '' = 0 e y ' = 0 logo 0 -2.0 + y = 5 e yp = 5

A soluo :

y = C1ex + C2xex + 5

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ESTABILIDADE EM EQUAES DIFERENCIAIS LINEARES DE COEFICIENTES CONSTANTES

Estabilidade

Diremos que o operador diferencial P(D) ou polinmio P() estvel se todas as funes de N(P(D)) (isto , todas as solues da equao homognea P(D)z = 0) forem limitadas quando t .

Estabilidade Assinttica

Diremos que o operador P(D) ou o polinmio P() assintoticamente estvel se todas as funes de N(P(D)) se aproximarem de zero quanto t , ou seja, quando todas as razes de P() tiverem Re () < 0 .

Ou maneira de dizer:

Estabilidade

Se pequenas mudanas nas condies iniciais no tem efeito no comportamento de longo prazo da soluo, o sistema dito estvel.

Instabilidade

Se pequenas mudanas nas condies iniciais podem levar a diferenas significativas no comportamento de longo prazo da soluo , ento o sistema instvel.

Outros

Steady States - Estado esttico ou solues estacionrias ou ponto de equilbrio referece aos pontos crticos.

Outra

Estabilidade Assinttica. Dizemos que um ponto de equilbrio y* assintoticamente estvel se toda soluo y(t) que se desenvolve prxima a y* converge para y* quando t .

Estabilidade Assinttica Global Se toda equao tende para y* quando t .

Estabilidade Neutra Se toda soluo prxima a y* permanece prxima a y* quando t .

Estabilidade Se y* assintoticamente estvel ou de estabilidade neutra diz que y* estvel. Se no no estvel.

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APLICAO

Suponha um caso particular de um mercado de um bem que apresenta demanda e oferta linear:

0,,, >

+=

=

dcbadPcQ

bPaQs

d

Observao: Escreve-se a funo demanda e desenha-se a funo demanda inversa.

Segundo as equaes de mercado o preo de equilbrio(Pe) deve ser:

Qd = Qs => dbcaPe +

+=

Se o preo inicial de mercado P0 igual ao preo de equilbrio Pe, o mercado est supostamente em equilbrio. No entanto o caso mais provvel que P0 Pe, ento , s ser possvel obter Pe depois de um processo de ajuste. Dessa forma tanto o preo do bem (P) quanto as funes variam com o tempo. A questo : dado um tempo suficiente para que o processo de ajustamento atue, esse processo tende a levar o preo ao nvel de equilbrio? A trajetria temporal P(t) tende a ser convergente para Pe, quando t ? Precisamos ento das leis que regem os movimentos do preo desse mercado. Em geral, as foras que mais atual, (que so mais relevantes nas mudanas do preo), so as foras de oferta e demanda do mercado. Suponha, por simplicidade pois o objetivo de um modelo captar a essncia do processo, que a taxa de mudana de preo (em relao ao tempo ) diretamente proporcional a demanda excedente de ( Qd - Qs ) que prevalece no momento. Pode-se expressar essa taxa por:

)( sd QQdtdP

=

)( sd QQP = & )0( > onde um coeficiente de ajuste(cte.) Assim, PdbcadPcbPaP )()()( ++=+= & .

Sabendo que dbcaP e

+

+=

podemos escrever: PdbPdbP e )()( ++= & fazendo K = ( b+ d ) temos, eKPKPP =+& que uma equao diferencial linear de 1 ordem cuja a soluo :

+

=

dttatdtaecdtetrtP

)()( ].)([)(

onde r( t ) = KPe = cte. e a(t) = K = cte. logo.

== KtKdtdtta )( e =kt

e

Kte ePdteKP

Kte

Kte

KtKte cePtPcePecePtP

+==>+=+= )(][)(

para t = 0 , P(t) = P0 => P0 = Pe + ce -K0 => C=P0 - Pe

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ktee ePPPtP

+= )()( 0

Dada a trajetria:

ktee ePPPtP

+= )()( 0 onde K = ( b + d ) > 0.

Assim, quando t => e-kt 0 logo

et

PtP =

)(lim , assim o mercado tende a equilibra-se:

Se P0 = Pe P(t) = Pe

Se P0 > Pe P (t) Pe por cima

Se P0 < Pe P (t) Pe por baixo

P0 a condio inicial da equao diferencial. Pe a condio esttica. (P0 - Pe) e-Kt a componente dinmica. Observao: Milhes de situaes podem ser imaginadas com esse modelo. A essncia do modelo a proporcionalidade da variao de preo demanda excedente.

P(t)

t

Pe

P(t)

t

Pe

P0

P(t)

Pe

P0

t