时间数列分析与预测 - faculty.zuel.edu.cnfaculty.zuel.edu.cn/_upload/article/files/fb/58/f3956232492ea839a38025... · 第二节时间数列对比分析第三节时间数列平均分析

2016/9/19 版权所有 BY 统计学课程组 1

第四章

时间数列分析与预测


本章重点：时间数列的统计描述方法、各种影响因素的分解以及预测。

本章难点：时间数列的各种影响因素分解及测

定的思想,不同类型的时间数列的预测方法。学习目标：通过本章的学习，掌握依据时间数

列的类型，运用所需指标进行描述分析，拟

合合适的模型测定时间数列的影响因素，并

依据现象的变化特点选用适当的模型进行预

测的方法。

第九章时间数列分析与预测


第一节时间数列概述第二节时间数列对比分析第三节时间数列平均分析第四节长期趋势的测定第五节季节波动与循环变动的测定第六节时间数列的预测

第九章时间数列分析与预测


第一节时间数列概述

一、时间数列的概念

二、时间数列的种类


一、时间数列的概念

时间数列，指将同一现象在不同时间上的一系列观察值，按时间先后顺序排列而形成的序列，又称为时间序列或动态数列。注意：时间数列由两部分组成，一个是现象所属的时间；另一个是现象在各时间上的观察值，这些观察值又称为发展水平。


时间数列的一般形式：

y y y y y 2002 2001 2000 1999

n3210产量：

时间： tn

yyyyytttt

n3210

3210

观察值：

：时间 tn


二、时间数列的种类

时间数列按其观察值具体表现形式不同可分为三种：

(一) 绝对数时间数列(二)相对数时间数列(三)平均数时间数列


（一）绝对数时间数列

定义: 由同一现象若干不同时间的绝对观察值，按时间先后顺序排列而形成的数列。

注意：绝对数时间数列，按其观察值表现的时间状况不同，又可进一步分为时期数列和时点

数列。


1．时期数列

概念：由同一现象若干不同时期的流量观察值按时间顺序排列所形成的时间数列。如中国国民生产总值时间数列。

特点：(1)时期数列中各期指标值可以直接累计相加，其

结果可以表明现象在更长一段时期内发展的总量。

(2)时期数列中各期指标值的大小与其对应的时期长短有直接的关系。


2．时点数列

概念：

由同一现象在不同时点上的存量观察值按时间顺序排列所形成的数列。数列中各个观察值描述的是现象在特定时点上的总规模或总水平。

特点：（1）时点数列中各个观察值一般不能直接相加。（2）时点数列中各个指标值的大小与时间间隔的长短

没有直接的关系。


（二）相对数时间数列和平均数时间数列

相对数组成的时间数列称为相对数时间数列。如人口自然增长率时间数列就是相对数时间数列

平均数时间数列，指由同一现象在不同时期的平均水平按时间顺序排列所形成的数列。如将不同时间的平均工资、平均工龄、平均受教育的年限按时间顺序排列都可以得到相应的平均数时间数列。

注意：相对数时间数列和平均数时间数列都是由绝对

数时间数列派生而来的时间数列，它们各期的观察值

一般不能直接相加。


第二节时间数列比较分析

对时间数列进行分析时，一种常用的方法是将数列中各期观察值进行比较，以研究事物的变动方向和变动速度。

比较分析指标常用的有：一、增减量二、发展速度三、增降速度四、增减1%的绝对值


一、增减量

1. 增减量指数列中不同时期发展水平之差，用于说明社会现象在一段时期内增加或减少的绝对数量计算公式为：增减量＝报告期发展水平－基期发展水平

2.增减量可进一步分为逐期增减量和累计增减量1)逐期增减量＝报告期发展水平－前期发展水平2)累计增减量＝报告期发展水平－固定基期发展水平

注意：在同一时间数列中，累计增减量等于相应的各逐期增

减量之和


（一）年距增减量

时间数列既可以按年份编制，也可以按月或季度编制。如果按季度（或月）编制的时间数列，为了消除季节变动的影响，可计算年距增减量

年距增减量，它等于本期发展水平与上年同期发展水平之差。即

年距增减量=报告期某季（月）发展水平—上年同季（月）发展水平


二、发展速度与增降速度

（一）发展速度发展速度，是将时间数列中两个发展水平对比所得的相对数，用以说明报告期发展水平是基期发展水平的百分之几或者几倍，从而反映事物的发展方向和发展程度。

报告期发展水平发展速度

基期发展水平计算公式为：

发展速度，依据计算时所用的基期水平不同，可分为环比发展速度和定基发展速度。


（一）发展速度

1．环比发展速度

环比发展速度，是时间数列中报告期发展水平与前一期发展水平之比的结果，以反映现象逐期发展方向和发展程度。

2．定基发展速度定基发展速度，是时间数列中报告期发展水平与某

一固定时期发展水平相比所得的相对数，以反映现象在一个较长时期内的总变动程度。

注意：在同一时间数列中，环比发展速度的连乘积等于相应的定基发展速度。


（一）发展速度

3．年距发展速度

如果按季度（或月）编制的时间数列，为了消除季节变动的影响，可计算年距发展速度，它等于报告期某季（或月）发展水平与上年同期发展水平之比。即

该指标表明本期发展水平相对于上年同期发展水平而言变动的方向及程度。

报告期某季（或月）发展水平年距发展速度

上年同季（或月）发展水平


（二）增降速度

增降速度，是增减量与基期发展水平相比所得的相对数，用以描述报告期水平比基期水平增减的相对程度。即

1．环比增降速度：环比增降速度＝环比发展速度 - 1

2．定基增降速度：定基增降速度＝定基发展速度 - 1

3．年距增长速度：年距增降速度= 年距发展速度 - 1

1 增减量增降速度发展速度

基期发展水平


三、增降1%的绝对值

增降1%的绝对值，指速度中每增长（或降低）一个百分点而增加（或减少）的绝对数量。

11%100 100

基期发展水平增降的绝对值 iy


【例9.1】依据资料，计算“九五”时期各年国民生产总值的增长量、发展速度、增长速度、增降1%的绝对值.

表9.1 1996~2000年国民生产总值及其比较分析指标

年份 1995 1996 1997 1998 1999 2000国民生产总值（亿元） 57494.9 66850.5 73142.7 76967.2 80579.4 88189.5

增减量（亿元）逐期 --- 9355.6 6292.2 3824.5 3612.2 7610.1

累计 --- 9355.6 15647.8 19472.3 23084.5 30694.6

发展速度（%）环比 --- 116.27 109.41 105.23 104.69 109.44

定基 --- 116.27 127.22 133.87 140.15 153.39

增降速度（%）环比 --- 16.27 9.41 5.23 4.69 9.44

定基 --- 16.27 27.22 33.87 40.15 53.39增减1%的绝对值（亿

元）--- 574.95 668.51 731.43 769.67 805.79


第三节时间数列平均分析

在这一节里，将对时间数列进行平均分析，计算一些反映社会经济现象在一段时期内一般水平的动态平均数。

一、平均发展水平

二、平均增减量

三、平均发展速度和平均增降速度


一、平均发展水平

由于不同种类的时间数列具有不同的特点，其计算平均发展水平的方法也有区别，下面分别介绍。

（一）由时期数列计算平均发展水平依据时期数列计算平均发展水平时，由于时期数列中各期观察值具有直接相加的特点，所以，可以使用简单算术平均的方法计算。

1

n

iiy

yn

2016/9/19 23

时点序列中一般以“天”作为最小的时间单位，若掌握的是以天为间隔的时点序列，则称连续时点序列；以其它时间单位为间隔的时点序列则称间断时点序列，如以星期、月、年等为时间单位的时点序列就称间断时点序列。

（二）由时点数列计算平均发展水平

2016/9/19 24

连续时点序列的例子

日期 6月1日 6月2日 6月3日 6月4日 6月5日

收盘价 16.2元 16.7元 17.5元 18.2元 17.8元

日期 1~9日 10~15日 16~22日 23~31日天数 9 6 7 9

实有人数 780 784 786 783

2016/9/19 25

间断时点序列的例子

时间 3月末 4月末 5月末 6月末

库存量（百件） 66 72 64 68

时间 1月1日 5月31日 8月31日 12月31日

社会劳动者人数（人）

362 390 416 420

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时点序列

连续时点序列

间断时点序列

时间长度相等型

时间长度不等型

间隔长度相等型

间隔长度不等型

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简单平均？还是加权平均？

对连续时点序列计算均值，需考虑序列中各项观察值所对应的时间长度是否相等。若不等则时间长度对均值产生不同的影响，此时应以时间长度为权数进行加权平均；

而对间断时点序列算均值，需考虑序列中相邻两项观察值间的间隔长度是否相等。若不等，则间隔长度对均值产生不同的影响，故应以间隔长度为权数进行加权平均。

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日期 6月1日 6月2日 6月3日 6月4日 6月5日

收盘价 16.2元 16.7元 17.5元 18.2元 17.8元

)(28.175

8.172.185.177.162.16元

N

yy解：

某股票连续 5 个交易日价格资料如下：【例】

2016/9/19 29

某企业5月份每日实有人数资料如下：

日期 1~9日 10~15日 16~22日 23~31日天数 9 6 7 9

实有人数 780 784 786 783

)(7839769

9783778667849780人

f

yfy

【例】

解：

2016/9/19 30

解：第二季度的月平均库存额为：

时间 3月末 4月末 5月末 6月末

库存量（百件） 66 72 64 68

百件67.6714

2686472

266

122 12

1

n

yyy

y

y

nn

某商业企业2013年第二季度某商品库存资料如下，求第二季度的月平均库存额。

【例】

2016/9/19 31

时间 1月1日 5月31日 8月31日 12月31日

社会劳动者人数

362 390 416 420

单位：万人

某地区2012年社会劳动者人数资料如下：

【例】

解：则该地区该年的月平均人数为：

2016/9/19 32

万人75.396435

42

42041632

41639052

390362

222 11

232

121

f

fyy

fyy

fyy

yn

nn


（三）由相对数时间数列计算平均发展水平

1.相对数是派生指标，通常是由两个有联系的绝对数对比而来的

2.首先应对相对数时间数列进行分解，找出各期的分子指标和分母指标

3.分别计算出分子时间数列、分母时间数列的平均发展水平，然后将两个平均发展水平对比，以求得相对数时间数列的平均发展水平。计算公式为： ay

b


平均发展水平的计算 (例题分析)

【例9.7】某商场2006年下半年的零售额、库存额及流通费用额资料如下：

表3 某商场200年零售额、库存额及流通费用额资料

另已知12月末商品库存额为710万元。

试计算该商场2006年下半年商品平均流转次数和平均流通费用率。

时间 7月 8月 9月 10月 11月 12月零售总额（a） 1107 1160 1150 1170 1200 1370

月初库存额（b） 680 675 670 650 670 690流通费用（c） 108 102 98 95 100 104


平均发展水平的计算 (例题分析)

【解】

= 平均商品零售额商品平均流转次数平均商品库存额 0

1 2( ) /2 2

n

an

b bb b n

(1107 1160 1150 1170 1200 1370) 6 1.77680 710( 675 670 650 670 690 ) 62 2

平均流通费用额平均流通费用率平均商品零售额

108 102 98 95 100 104 6

8.48%1107 1160 1150 1170 1200 1370 6


（四）由平均数时间数列计算平均发展水平

对平均数时间数列求平均发展水平，其基本方法与求相对数时间数列的平均发展水平的方法一样

先分别求出分子数列和分母数列的平均发展水平，然后，将两个平均发展水平对比，即是平均数时间数列的平均发展水平。

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序时平均方法

绝对数时间序列

时期数列

简单算术平均

时点数列

连续时点

长度相等简单算术平均

长度不等加权算术平均

间断时点

间隔相等两次简单平均

间隔不等先简单后加权

相对数、平均数时间序列

设c=a/b,第一步计算a的序时均值，第二步计算b的序时均值，第三步将a的序时均值与b的序时均值对比，比值即为c的序时均值。


二、平均增减量

平均增减量是时间数列中各逐期增减量的序时平均数，用以说明社会经济现象在一段时期内平均每期增加或减少的数量。即

逐期增减量之和增减量逐

平均期增减量个数


三、平均发展速度和平均增降速度

（一）平均发展速度

是环比发展速度时间数列的序时平均数，用以揭示社会经济现象在一段较长时期内发展的平均程度和一般水平。

计算平均发展速度的方法有两种：1.水平法2.累计法


平均发展速度的计算——水平法

水平法，又称为几何平均法。计算公式为：

式中：表示平均发展速度；表示时间数列的第n期发展水平；

表示时间数列的初期发展水平;为各期环比发展速度。

1 20

n nnn n

yx x x x x

y

xny0y

1 2, , , nx x x


平均发展速度的计算——累计法

累计法，又称高次方程法。基本出发点是，从时间数列的最初发展水平出发，假

定每期以固定的发展速度即平均发展速度发展，由此推算出各期的理论值之和应等于各期的实际值之和。

公式为：

上式高次方程的正根即为所求的平均发展速度。

2 3 1

0

n

in i

y

y

x+x +x + +x


（二）平均增降速度

1.平均增降速度，是时间数列中各期环比增降速度的序时平均数，用以表明现象在较长时期内逐期递增或递减的平均程度。

2.计算时，应先计算出平均发展速度，再将所得的结果减1,即为平均增降速度。即平均增降速度＝平均发展速度 - 1 注意：若结果为正值，表明现象在一定时期内逐期平均递增的程度，也称其为平均增长率；负值表明现象在一定时期内逐期平均递减的程度，也称为平均递减率。


平均发展速度和平均增降速度的计算 ( 例题分析)

依据下表数据，计算我国“九五”期间国民生产总值平发展速度和平均增长速度。

表4 1995～2000年国民生产总值（单位：亿元）

【解】 1996～2000年国民生产总值平均发展速度为：

“九五”期间GNP平均增长速度=108.93% - 1=8.93%

5

0

88189.5 108.93%57494.9

nny

xy

年份 1995 1996 1997 1998 1999 2000

国民生产总值 57494.9 66850.5 73142.7 76967.2 80579.4 88189.5


（三）年度化增长率

增长率（或增长速度）既可以按年度资料计算，也可以依据月份或季度资料计算。

增长率以年为单位表示的称为年增长率。将月增长率（或季度增长率）换算为以年为时间单位表示的增长率称为年度化增长率。

式中：n表示现象由初期发展到末期所跨的总的月份数（或总季度数）；m表示一年中时期个数，若是月增长率年度化，m=12，若是季度增长率年度化，m=4。

0 0

1 ( ) 1m m

n n nny yy y

年度化增长率


年度化增长率例题分析

【例】已知某地区如下数据，计算年度化增长率1）1999年1月份的社会商品零售总额为25亿元，

2000年1月份的社会商品零售总额为30亿元2）1998年3月份财政收入总额为240亿元，2000年

6月份的财政收入总额为为300亿元3）2000年1季度完成的国内生产总值为500亿元，

2季度完成的国内生产总值为510亿元4）1997年4季度完成的工业增加值为280亿元，

2000年4季度完成的工业增加值为350亿元


解：1) 由于是月份数据，所以 m = 12；从1999年一月到

2000年一月所跨的月份总数为12，所以 n = 12

即年度化增长率为20%，这实际上就是年增长率，因为所跨的时期总数为一年。也就是该地区社会商品零售总额的年增长率为20%

%2012530 12

12

AG %201

2530 12

12

AG


2) m =12，n = 27年度化增长率为

该地区财政收入的年增长率为10.43%

%43.101240300 27

12

AG %43.101

240300 27

12

AG


3) 由于是季度数据，所以 m = 4，从第1季度到第2季度所跨的时期总数为1，所以 n = 1年度化增长率为

即根据第1季度和第2季度数据计算的国内生产总值年增长率为8.24%

%24.81500510 1

4

AG %24.81

500510 1

4

AG


4) m = 4，从1997年第4季度到2000年第4季度所跨的季度总数为12，所以 n = 12年度化增长率为

即根据1998年第4季度到2000年第4季度的数据计算，工业增加值的年增长率为7.72%，这实际上就是工业增加值的年平均增长速度

%72.71280350 12

4

AG %72.71

280350 12

4

AG


增长率分析中应注意的问题

1. 当时间序列中的观察值出现0或负数时，不宜计算增长率;

2. 例如：假定某企业连续五年的利润额分别为5，2，0，-3，2万元，对这一序列计算增长率，要么不符合数学公理，要么无法解释其实际意义。在这种情况下，适宜直接用绝对数进行分析;

3. 在有些情况下，不能单纯就增长率论增长率，要注意增长率与绝对水平的结合分析。


第四节长期趋势的测定

一、时间数列影响因素及分解模型

（一）时间数列的影响因素

（二）时间数列的分解模型及分析的基本原理

二、长期趋势的测定

（一）移动平均法

（二）模型拟合法



（一）时间数列的影响因素分为四种：长期趋势、季节变动、循环变动和不规则变动。长期趋势，指社会经济现象在一个较长时期内，因受某种系统

因素的影响所呈现出的一种持续发展变动的趋势，用T表示。季节波动，指社会经济现象受季节更替或社会因素的影响，在

一年或更短的时间内所呈现的周期性波动，用S表示。循环变动，指社会经济现象以若干年为周期的涨落起伏大致相

等的变动，用C表示。

不规则性变动，指社会经济现象由于受偶然因素的影响而引起的难以预测的变动，用I表示。



（二）时间数列的分解模型及分析的基本原理一种可以表述为乘法模型，即

依据这一模型，欲求某种因素的变动影响，用其余的因素去除时间数列即可。

一种可以表述为加法模型，即

根据这一模型，欲求某种影响因素的值，将时间数列减去其余的影响因素即可。

一个时间数列可能有长期趋势、季节变动、循环变动这三个分量中的某些或全部再加不规则变动分量。

i i i i iY T S C I

i i i i iY = T + S + C + I


二、长期趋势的测定

测定长期趋势的方法主要有1、序时平均法；2、移动平均法；3、模型拟合法。

这里仅移动平均法、模型拟合法。


（一）移动平均法

移动平均法，是将原时间数列采用逐项移动并按一定时期分别计算出一系列序时平均数，形成一个新的序时平均数时间数列，以削弱或消除偶然因素的影响，呈现出现象在较长时期内持续发展变动的基本态势。

移动平均法是一种被广泛采用的平滑方法。它通过计算移动平均值力图消除时间数列中出现的波动，使时间数列的图像呈现出一条比较平滑的时间序列曲线，这条曲线能较清晰的描绘出长期趋势。


【例9.14】已知我国1990～2001年的农村用电量数据，用移动平均法计算5年移动平均值和4年移动平均值。

表4 我国1990~2001年农村用电量移动平均数计算表（单位：亿千瓦时）

年份（1）农村用电量（2） 5年移动平均（3）

4年移动平均第一次平均（4）第二次平均（5）

1990 844.5 －－－

1991 963.2 －－－

1039.851992 1106.9 1126.66 1118.53

1197.21993 1244.8 1288.9 1283.76

1994 1473.9 1458.8 1458.551546.78


续表4

年份（1）农村用电量（2）

5年移动平均（3）

4年移动平均第一次平均（4）第二次平均（5）

1995 1655.7 1633.44 1638.691730.6

1996 1812.7 1792.9 1801.631872.65

1997 1980.1 1932.8 1937.362002.08

1998 2042.1 2085.92 2078.152154.23

1999 2173.4 2245.34 2232.942311.65

2000 2421.3 －－

2001 2609.8 －－－


采用移动平均法测定长期趋势时，应注意以下问题：

第一，合理选择移动平均的项数。移动平均所取的项数越多，使用移动平均法对原数列修匀的效果越好；反之，越差。

第二，注意新数列指标值的排列。凡是采用奇数项移动平均，一次就得长期趋势值。若采用偶数项移动平均，需进行两次移动平均，才能得长期趋势值。

第三，注意移动平均的局限。



判定趋势变动形态的方法常用的有两种：一种是画散点图的方法另一种是指标判别法①若时间数列的逐期增减量大致相等，则现象的发展趋势

近似于一条直线，配合直线方程：

②若时间数列的二次逐期增减量大致相等，则现象的发展趋势近似于一条抛物线，就配合抛物线方程：

btayi ˆ

2iˆ = a+ bt+ cy t



③若时间数列的各期环比发展速度大致相等，拟合一条指数曲线方程:

④若时间数列各逐期增减量的环比值大致相等，拟合修正的指数曲线方程：

⑤若时间数列各期观察值对数的一次差的环比值大致相等，拟合龚珀资曲线方程：

⑥若时间数列各期观察值倒数的一次差的环比值大致相等，拟合罗吉斯蒂（Logistic）曲线方程：

by t

iaˆ

by t

iaK ˆ

abKyt

i

i t

1y =K + ab


1．直线趋势测定法

直线趋势方程的一般形式为：常运用最小二乘法估计a、b值，即

得

注意：为了简化计算，时间采用序号代替。求解方程时，可以适当地调整t的取值，将方程的原点移动若干期，使得∑t＝0，以便更进一步简化a、b的计算。

btayi ˆ

2( )y a bt 最小值

t2btaty

tbnay 22

n ty- t yb =n -t

a = y- b t( t )


【例9.16】现仍用表9.1的资料，计算国民生产总值直线趋势方程，并各年国民生产总值的趋势值。

表5 国民生产总值直线趋势方程计算表

年份年份序号t 国民生产总值y t*y t2

1991 1 21662.5 21662.5 1 23198.2821992 2 26651.9 53303.8 4 30687.9981993 3 34560.5 103681.5 9 38177.7151994 4 48870.0 186680 16 45667.4311995 5 57494.9 287474.5 25 53157.1471996 6 66850.5 401103 36 60646.8641997 7 73142.7 511998.9 49 68136.581998 8 76967.2 615737.6 64 75626.2961999 9 80579.4 725214.6 81 83116.0132000 10 88189.5 881895 100 90605.7292001 11 94346.4 1037810.4 121 98095.445合计 66 667115.5 4826561.8 506 －

y


【例9.16】现仍用表9.1的资料，计算国民生产总值及各年国民生产总值的趋势值。

设直线趋势方程，

将各年的时间序号代入直线趋势方程，即得各年的国民生产总值趋势值。

btayi ˆ

t)(t22n

yttynb

716.74891210

8.9062556

662506115.667115668.482656111

a y bt 57.157081166716.7489

115.667115

tyi 716.748957.15708ˆ


1991～2002年国民生产总值趋势图

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

年份

国民生产总值

(

亿元

)

国民生产总值国民生产总值趋势值


2．曲线趋势的测定方法

（1）二次抛物线

依据最小二乘法，计算a、b、c，标准方程组为：

为简便计算，可以通过移动原点，使∑t＝0∑t3 =0，

2iˆ = a+ bt+ cy t

tctbtayttctbtaty

tctbnay

4322

32

2

tctayttbty

tcnay

422

2

2


【例9.18】根据表中资料，试配合二次曲线趋势方程，并计算1985～2001年人口总数的趋势值。

抛物线趋势方程为（具体计算见表6）

ttyi2902.28623.1366594.118583ˆ

表6 1985～2001年人口总数趋势表y年份 t y t2 t4 t*y t2*y

1985 -8 105851 64 4096 -846808 6774464 105800.91986 -7 107507 49 2401 -752549 5267843 1076011987 -6 109300 36 1296 -655800 3934800 109343.41988 -5 111026 25 625 -555130 2775650 111027.91989 -4 112704 16 256 -450816 1803264 112654.71990 -3 114333 9 81 -342999 1028997 114223.61991 -2 115823 4 16 -231646 463292 115734.71992 -1 117171 1 1 -117171 117171 117188.11993 0 118517 0 0 0 0 118583.61994 1 119850 1 1 119850 119850 119921.31995 2 121121 4 16 242242 484484 121201.21996 3 122389 9 81 367167 1101501 122423.31997 4 123626 16 256 494504 1978016 123587.71998 5 124761 25 625 623805 3119025 124694.21999 6 125786 36 1296 754716 4528296 125742.92000 7 126743 49 2401 887201 6210407 126733.82001 8 127627 64 4096 1021016 8168128 127666.9合计 0 2004135 408 17544 557582 817687080


（2）指数曲线

指数曲线方程的一般表达式为： by t

iaˆ

指数曲线方程求解参数a、b时，先将曲线转化为直线形式，再用最小平方法进行求解。若以时间数列的中点为

原点，∑t＝0,则上式可以简化为：

logbtlogalog yi yY ii

log logaA logbB 令

)(t tn

logytlogytnB

tlogblogyntlogb

nlogyA

22

t2logytB

logynlogyA

BtAYi ˆ则有


指数曲线方程的计算例题分析

【例9.19】已知某地1998～2006年的财政支出额资料，要求配合指数曲线方程，计算1998～2006年的趋势值，并绘制指数曲线趋势图。

表7 1998～2006年某地财政支出额

年份 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

财政支出额 30 32 34 41 46 51 55 58 62


将求解参数A、B所需资料，列表计算如下表8 指数曲线方程计算表

ˆiy年份 t y logy t*logy t2

1998 -4 30 1.4771 -5.9085 16 29.771999 -3 32 1.5051 -4.5154 9 32.832000 -2 34 1.5315 -3.0630 4 36.22001 -1 41 1.6128 -1.6128 1 39.922002 0 46 1.6628 0.0000 0 44.032003 1 51 1.7076 1.7076 1 48.552004 2 55 1.7404 3.4807 4 53.542005 3 58 1.7634 5.2903 9 59.042006 4 62 1.7924 7.1696 16 65.1合计 0 409 14.7932 2.5484 60


表中计算结果代入公式计算可得方程为：

103.1025.44tt

c by a

时间序号代入指数曲线趋势方程，即得各年的财政支出额的趋势值。

0

10

20

30

40

50

60

70

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

财政支出（百万）

观测值

趋势值

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(3) 修正指数曲线

数学模型为参数K、a、b的求解，常用三和法计算。三和法的基本思想是：首先将时间数列等分为三部分，根据每部分趋势值的总和与观察值的总和相等建立三元联立方程式，求解三个参数K、a、b。

设时间数列三部分的观察值的总和分别为s１、s２、 s３

by t

iaK ˆ

1)bbbb(banK

1)bbbb(banK

1)bbbbab(nK

3n2n1n12n3

3n2n1n1n2

3n2n1n1

sss


(3) 修正指数曲线

将上式求和整理，得：

解方程得：

n

1

nn 1

2

n2n 1

3

1bnK ab( )b 1

1bnK a bb 1

1bnK a bb 1

s

s

s

1b1)ab(b

n1

K

1)b(b1b)(a

n

n

1

n 212

12

23

s

ss

ssssb


修正指数曲线计算例题分析

已知我国1990~2001年家用电冰箱产量资料如下：表8 1990～2001年我国电冰箱产量单位：万台

要求配合修正指数曲线方程，计算1990～2001年的趋势值，并绘制修正指数曲线趋势图。

年份家用电冰箱产量y 年份家用电冰箱产量y1990 463.1 1996 979.7 1991 469.9 1997 1044.4 1992 485.8 1998 1060.0 1993 596.7 1999 1210.0 1994 768.1 2000 1279.0 1995 918.5 2001 1349.0

表9 家用电冰箱修正指数曲线计算表年份序号家用电冰箱产量y 趋势值

1990 1 463.1 309.891991 2 469.9 446.81992 3 485.8 572.081993 4 596.7 686.71

S1 － 2015.5 －

1994 5 768.1 791.61995 6 918.5 887.571996 7 979.7 975.381997 8 1044.4 1055.73

S2 － 3710.7 －

1998 9 1060.0 1129.251999 10 1210.0 1196.522000 11 1279.0 1258.072001 12 1349.0 1314.4

S3 － 4898.1 －


修正指数曲线计算例题分析


1920.67 1760.42 ( )0.915ˆ t

iy

将时间序号代入修正指数曲线趋势方程，即得各年的趋势值

0200

400600800

10001200

14001600

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

家用电冰箱产量（万台）

观测值

趋势值


(4) 龚珀资（Gompertz）曲线

龚珀资曲线的数学模型为：参数K、a、b的求解，通常把模型的表达式改写为对

数形式，即

后采用三和法计算参数依据三和法的思想，有：

abKyt

i

t

i= logK+ (loga)logy b

1)bbbb(bloganlogks1)bbbb(bloganlogks

1)bbbbb(loganlogks

3n2n1n1n23

3n2n1n1n2

3n2n1n1


(4) 龚珀资（Gompertz）曲线

解方程得：

其中，

3 2

2 1

2 1 2n

n

1

nb

b 1loga ( )b ( 1)b

1 1)(loga) b(blogKn b 1

s ss s

s s

s

n

1 ii =1

= lo g ys 2 n

2 ii=n+1

= logys 3 n

3 ii= 2 n+1

= logys


龚珀资（Gompertz）曲线的计算例题分析

已知我国1990~2001年家用电冰箱产量资料如下：

要求配合龚珀资（Gompertz）曲线方程，计算1990～2001年的趋势值，并绘制龚珀资曲线趋势图。

表10 1990～2001年我国电冰箱产量单位：万台


表11 家用电冰箱产量龚珀资曲线计算表

年份序号家用电冰箱产量y logy 趋势值

1990 1 463.1 2.6657 354.461991 2 469.9 2.6720 459.871992 3 485.8 2.6865 569.811993 4 596.7 2.7758 679.81

S1 － 2015.5 10.8000 －

1994 5 768.1 2.8854 786.151995 6 918.5 2.9631 886.091996 7 979.7 2.9911 977.851997 8 1044.4 3.0189 1060.5

S2 － 3710.7 11.8585 －

1998 9 1060.0 3.0253 1133.771999 10 1210.0 3.0828 1197.882000 11 1279.0 3.1069 1253.382001 12 1349.0 3.1300 1301.01

S3 － 4898.1 12.3450 －

龚珀资（Gompertz）曲线的计算例题分析

表中计算结果代入公式计算可得方程为： t0.8234

iˆ = 1548.1035y (0.1669)将时间序号代入曲线趋势方程，即得各年的趋势值。

0

10

20

30

40

50

60

70

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

年份

财政支出(百万)

观测值

趋势值


(5) 罗吉斯蒂曲线

罗吉斯蒂曲线的数学模型为：

参数K、a、b的求解，常采用三和法计算依据三和法的思想，有

1i tyK ab

n 1 n 2 n 31

n 1 n 1 n 2 n 32

2 n 1 n 1 n 2 n 33

b b bnK ab( b 1)

nK a ( b 1)b b b b

b b b bnK a ( b 1)

sss


(5) 罗吉斯蒂曲线

解方程得

其中，

1b1)ab(b

n1

K

1)b(b1b)(a

nb

n

1

n 212

12

23

s

ss

ssss

n1

1i=1

-=iys

2 n -1

2 ii=n+1

= ys 3 n -1

3 ii= 2 1

= ysn


罗吉斯蒂曲线方程的计算例题分析

已知我国1990~2001年家用电冰箱产量资料如下：

要求配合罗吉斯蒂曲线方程，计算1990～2001年的趋势值，并绘制罗吉斯蒂曲线趋势图。

表13 1990～2001年我国电冰箱产量单位：万台


表14 家用电冰箱产量罗吉斯蒂曲线计算表

年份序号家用电冰箱产量 (1/y)*10 趋势值

1990 1 463.1 215.94 378.331991 2 469.9 212.81 468.431992 3 485.8 205.85 568.161993 4 596.7 167.59 673.9

S1 － 2015.5 802.19 －

1994 5 768.1 130.19 781.031995 6 918.5 108.87 884.681996 7 979.7 102.07 980.581997 8 1044.4 95.75 1065.73

S2 － 3710.7 436.88 －

1998 9 1060.0 94.34 1138.61999 10 1210.0 82.64 1199.012000 11 1279.0 78.19 1247.812001 12 1349.0 74.12 1286.4

S3 － 4898.1 329.29


罗吉斯蒂曲线方程的计算例题分析


0.737262.3087110y i t

5

将时间序号代入曲线趋势方程，即得各年的趋势值。

0200400600800

1000120014001600

1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001年份

家用

电冰

箱产

量（

万台

）

观测值

趋势值


第五节季节波动与循环变动的测定

一、季节波动的概念及其特征二、季节波动测定的一般方法（一）同期平均法（二）趋势剔除法三、循环变动的概念及特征四、循环变动的测定方法


一、季节波动的概念及其特征

季节波动，指某些社会经济现象，由于受自然因素和社会因素的影响，在一年内某个时期(如某个月或某个季度)重复出现的波动。季节波动一般有三个基本特征：①周期性，季节波动会周而复始地出现，具有明显的周期性；②重复性，季节波动每年重复出现，具有重复性；③相似性，季节波动的波动轨迹具有相似性。


二、季节波动测定的一般方法

（一）同期平均法

同期平均法，直接将各年同期平均数与各年各期的总平均数对比，计算季节指数，通过季节指数来反应季节波动的一种方法。

同期平均法测定季节波动的关键是计算季节指数，季节指数的计算公式为：

季节指数（Sj）=各年同期平均值（）÷各年同期总平均值（）jy y


同期平均法计算季节指数例题分析

【例9.23】某市某种商品销售量如表9.23所示。试用同期平均法测定季节变动。

表15 2003～2006年某商品销售资料表（单位：千台）

年份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月

2003 5 3 8 9 13 20 37 44 26 14 5 1

2004 4 4 9 9 12 22 39 47 28 15 4 2

2005 6 4 10 10 14 23 40 48 30 17 4 2

2006 7 5 9 9 15 27 42 46 31 19 3 3

合计 22 16 37 37 54 92 158 185 115 65 16 8

表16 某商品销售量季节指数计算表

月份

销售量y（千台）同月销售量合计（5）

同月销售量平均值（6）

季节指数（%）2003年

（1）2004年

（2）2005年

（3）2006年

（4）

1 5 4 6 7 22 5.50 32.712 3 4 4 5 16 4.00 23.793 8 9 10 12 39 9.75 57.994 9 9 10 9 37 9.25 55.025 13 12 14 15 54 13.50 80.36 20 22 23 27 92 23.00 136.87 37 39 40 42 158 39.50 234.948 44 47 48 46 185 46.25 275.099 26 28 30 31 115 28.75 17110 14 15 17 19 65 16.25 96.6511 5 4 4 3 16 4.00 23.7912 1 2 2 3 8 2.00 11.9

合计 185 195 208 219 807 － 1200

jS


二、季节波动测定的一般方法

（二）趋势剔除法趋势剔除法，先采用一定的方法将时间数列中的长期趋势剔

除，然后依据已剔除长期趋势的数据计算季节指数，来反映季节波动的方法。

趋势剔除法通常利用移动平均数作为长期趋势值加以剔除。计算步骤如下：

①计算移动平均数②剔除长期趋势，即将原数列各期发展水平与对应的移动平均

数对比得③将剔除长期趋势的数据按各年同期排列计算同期平均数④计算调整系数⑤计算季节指数


趋势剔除法计算季节指数例题分析

【例9.24】某市某种商品销售量如表9.25所示。试用趋势剔

除法测定季节变动。

表17 2002-2006年某商品销售资料单位：万台

年份季度 2002 2003 2004 2005 2006

第一季度 15 16 18 23 28第二季度 19 20 22 25 36第三季度 7 10 10 15 16第四季度 10 11 14 18 20

表18 季节波动趋势剔除法计算表

年份季度四项移动平均校正平均

2002 1 152 19

12.753 7 12.875 54.37

134 10 13.125 76.19

13.252003 1 16 13.375 119.63

13.52 20 13.625 146.79

13.753 8 14 57.14

14.254 11 14.5 75.86

14.75

ijyijM

ij

ijij M

yy


趋势剔除法计算季节指数例题分析

表19 季节指数计算表年份一季度二季度三季度四季度合计

2002 －－ 54.37 76.19 －

2003 119.63 146.79 57.14 75.86 －

2004 120 140.8 60.15 79.43 －

2005 123.49 126.58 71.86 78.69 －

2006 114.87 145.45 －－－同季平均 119.5 139.905 60.88 77.5425 397.83季节指数 120.15 140.66 61.21 77.96 400


三、循环变动的概念及测定方法

循环变动，指现象在发展过程中呈现出的以若干年为周期的涨落起伏、周而复始的变动。

测定循环变动，常采用剩余法

该方法的基本原理是：先从影响时间数列变动的基本因素中，通过分解法逐步消除长期趋势（T）和季节波动（S），然后，再用移动平均法消除不规则性变动（I）,余下的即为循环变动值。


四、循环变动的测定方法

【例9.25】根据表中的资料，用剩余法测定循环变动，并绘制图形。

表20 2002-2006年某商品销售资料单位：万台

年份季度 2002 2003 2004 2005 2006

第一季度 15 16 18 23 28

第二季度 19 20 22 25 36

第三季度 7 10 10 15 16

第四季度 10 11 14 18 20

表21 某商品销售量循环波动计算表

年份季度 y季节指数

S(%) 消除季节波动y/S 趋势值T消除趋势变动

y/ST(%)循环变动

C(%)2002 1 15 120.15 12.484 11.514 108.43 －

2 19 140.66 13.508 12.15 111.17 －

3 7 61.21 11.436 12.785 89.45 99.454 10 77.96 12.827 13.42 95.58 95.94

2003 1 16 120.15 13.317 14.056 94.74 93.622 20 140.66 14.219 14.691 96.78 92.23 8 61.21 13.070 15.326 85.28 90.744 11 77.96 14.110 15.962 88.40 89.43

2004 1 18 120.15 14.981 16.597 90.26 89.452 22 140.66 15.641 17.232 90.76 91.33 10 61.21 16.337 17.868 91.43 93.64 14 77.96 17.958 18.503 97.05 94.71

2005 1 23 120.15 19.143 19.138 100.02 98.182 25 140.66 17.773 19.774 89.88 103.343 15 61.21 24.506 20.409 120.07 105.864 18 77.96 23.089 21.044 109.72 109.89

2006 1 28 120.15 23.304 21.68 107.49 112.222 36 140.66 25.594 22.315 114.69 111.334 20 77.96 25.654 23.586 108.77 －


将循环波动的所有值绘制散点图如下：

商品销售量循环波动图

80

90

100

110

120

2002 2003 2004 2005 2006

循环

波动

值


时间序列的分解

循环因素季节因素趋势因素不规则因素

长期趋势季节变动循环变动不规则变动

t t t t t

t t t t t

y T S C Iy T S C I= + + +

= ´ ´ ´

线性模型线性模型

非线性模型非线性模型

移动平均法

移动平均法移动平均法

指数平滑法指数平滑法

模型法

长期趋势

同期平均法同期平均法

趋势剔出法趋势剔出法

季节变动

剩余法剩余法

直接法直接法

循环变动


第六节时间数列的预测选择预测方法

是否

时间序列数据

是否存在趋势

否是

是否存在季节

是否存在季节

否

平滑法预测

简单平均法移动平均法指数平滑法

季节性预测法

季节多元回归模型季节自回归模型时间序列分解

是

趋势预测方法

线性趋势推测非线性趋势推测自回归预测模型


平稳序列的预测

1 简单平均法2 移动平均法3 指数平滑法


第六节时间数列的预测

一、简单平均法*

二、移动平均法

(一) 简单序时平均预测法； (二) 移动平均数预测法。

三、指数平滑法*

四、趋势外推预测法

五、趋势季节预测法

(一) 趋势季节模型的建立； (二) 年值模型与月值模型的转换。

六、预测准确性的度量


1 简单平均法

1. 根据过去已有的t期观察值来预测下一期的数值

2. 设时间序列已有的其观察值为Y1，Y2 ，…，Yt，则第t+1期的预测值Ft+1为

3. 有了第t+1的实际值，便可计算出的预测误差为

4. 第t+2期的预测值为

t

iitt Y

tYYY

tF

1211

1)(1

t

iitt Y

tYYY

tF

1211

1)(1

111 ttt FYe 111 ttt FYe

1

2 1 2 12

1 1( )1 1

t

t t t ii

F Y Y Y Y Yt t

1

2 1 2 12

1 1( )1 1

t

t t t ii

F Y Y Y Y Yt t

1）含义


2）简单平均法特点

1. 适合对较为平稳的时间序列进行预测，即当时间序列没有趋势时，用该方法比较好

2. 如果时间序列有趋势或有季节变动时，该方法的预测不够准确

3. 将远期的数值和近期的数值看作对未来同等重要，从预测角度看，近期的数值要比远期的数值对为来有更大的作用。因此简单平均法预测的结果不够准确


2 移动平均法

1. 对简单平均法的一种改进方法2. 通过对时间序列逐期递移求得一系列平均数

作为趋势值或预测值3. 有简单移动平均法和加权移动平均法两种

1）含义


2）简单移动平均法定义(simple moving average)

1. 将最近k期数据加以平均作为下一期的预测值

2. 设移动间隔为k (1<k<t)，则t期的移动平均值为

3. t+1期的简单移动平均预测值为k

YYYYY ttktktt

121

kYYYYY ttktkt

t

121

kYYYY

YF ttktkttt

121

1

kYYYY

YF ttktkttt

121

1


3）简单移动平均法特点

1. 将每个观察值都给予相同的权数

2. 只使用最近期的数据，在每次计算移动平均值时，移动的间隔都为k

3. 主要适合对较为平稳的时间序列进行预测

4. 应用时，关键是确定合理的移动间隔长

– 对于同一个时间序列，采用不同的移动步长预测的准确性是不同的

– 选择移动步长时，可通过试验的办法，选择一个使均方误差达到最小的移动步长。


4）加权移动平均法含义

1. 对近期的观察值和远期的观察值赋予不同的权数后再进行预测

– 当时间序列的波动较大时，最近期的观察值应赋予最大的权数，较远的时期的观察值赋予的权数依次递减

– 当时间序列的波动不是很大时，对各期的观察值应赋予近似相等的权数

– 所选择的各期的权数之和必须等于1。

2. 对移动间隔(步长)和权数的选择，也应以预测精度来评定，即用均方误差来测度预测精度，选择一个均方误差最小的移动间隔和权数的组合


加权移动平均法设观察值的权数分别为

第t期的加权移动平均数为：

第t+1期的预测值为：

t 1 2 1y , , ,...,t t t ky y y

ωωωωωωωω

1kt2t1tt

1kt1kt2t2t1t1tttt

yyyyM

My t1t

t 1 2 1, , ,...,t t t k


移动平均预测法例题分析

【例9.27】依据表22的数据，k=5,ωt=0.5，ωt-1=0.4，ωt-2=0.3， ωt-3=0.2， ωt-4=0.1，采用Excle分别进行简单移动平均和加权移动平均预测。

表22 某地区产品产量资料单位：万吨

时间 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005产量 385 444 413 420 433 439 467 450 468 470 448

表23 Excle输出的移动平均法预测结果表

年份产量5项简单移动平

均预测误差误差平

方5项加权移动平

均预测误

差误差平

方

1995 385 －－－－－－

1996 444 －－－－－－

1997 413 －－－－－－

1998 420 －－－－－－

1999 433 －－－－－－

2000 439 419 20 400 423.8 -4.8 23.042001 467 429.8 37.2 1383.84 430.47 -0.67 0.442002 450 434.4 15.6 243.36 442.87 -8.47 71.682003 468 441.8 26.2 686.44 448.07 -6.27 39.272004 470 451.4 18.6 345.96 456.8 -5.4 29.162005 448 458.8 -10.8 116.64 463 -4.2 17.64

2006 － 460.6 －－ 459.4 －－

合计－－－ 3176.24 －－ 181.24


3 指数平滑法

1.是加权平均的一种特殊形式2.对过去的观察值加权平均进行预测的一种方法3.观察值时间越远，其权数也跟着呈现指数的下降，因而称

为指数平滑4.有一次指数平滑、二次指数平滑、三次指数平滑等5.一次指数平滑法也可用于对时间序列进行修匀，以消除随

机波动，找出序列的变化趋势

1）含义


2）一次指数平滑single exponential smoothing

1. 只有一个平滑系数

2. 观察值离预测时期越久远，权数变得越小

3. 以一段时期的预测值与观察值的线性组合作为第t+1期的预测值，其预测模型为

ttt FYF )1(1 ttt FYF )1(1

Yt为第t期的实际观察值

Ft为第t期的预测值

为平滑系数 (0 <<1)


3）一次指数平滑的预测

1. 在开始计算时，没有第1期的预测值F1，通常可以设F1等于第1期的实际观察值，即F1=Y1

2. 第2期的预测值为

3. 第3期的预测值为

111112 )1()1( YYYFYF 111112 )1()1( YYYFYF

12223 )1()1( YYFYF 12223 )1()1( YYFYF


4）一次指数平滑的预测误差

1. 预测精度，用误差均方来衡量

2. Ft+1是第t期的预测值Ft加上用调整的第t期的预测误差(Yt-Ft)

)(

)1(1

ttt

ttt

ttt

FYFFFYFYF

)(

)1(1

ttt

ttt

ttt

FYFFFYFYF


5）一次指数平滑的确定

1. 不同的会对预测结果产生不同的影响

2. 一般而言，当时间序列有较大的随机波动时，宜选较大的，以便能很快跟上近期的变化

3. 当时间序列比较平稳时，宜选较小的4. 选择时，还应考虑预测误差

– 误差均方来衡量预测误差的大小

– 确定时，可选择几个进行预测，然后找出预测误差最小的作为最后的值


二、趋势外推预测法

趋势外推预测就是利用时间数列的长期趋势函数来预测未来情况的一种方法

如果时间数列不受季节波动的影响，而长期趋势是它的主要的因素，并假定事物未来的发展趋势与过去的轨迹大致一样，那么可以用趋势外推法进行预测。

依据长期趋势分析法得到长期趋势方程，将预测期的t值代入趋势方程中即可计算出t期的预测值。

t= f(t)y


三、趋势季节预测法

(一) 趋势季节模型的建立

趋势季节模型的一般表达式为：

式中，为考虑季节变动影响的预测值；

为未考虑季节变动影响的预测值；

S为各预测值对应时期的季节指数。

syys

ysˆ

y


例题分析

【例9.30】依据统计调查与分析，测定出某种商品季度销售

量（万件）的直线趋势方程及各季的季节指数如下所示：

(t=1为1995年第一季度)

表24 某商品销售量季节指数表

要求：依据趋势季节模型，预测2007年第一、二、三、四季度的销售量。

y = 16 + 1.5 t ( 1, 2,3, )t n

季度第一季度第二季度第三季度第四季度

季节指数（%） 50 77 125 148


例题分析

2007年1、2、3、4季度的t值应分别为：49、50、51、52。根据直线趋势方程，计算出2007年各季不考虑季节波动影响的预测值为：

)89.5(491.516y1万件

)(91501.516y2万件

).5(92511.516y3万件

)(94521.516y 4万件

依据趋势季节模型，计

算出2007年各季的预测

值为：

)(75.44%505.89y 1s万件

291 77% 70.07( )y s

万件

s 392.5 125% 115.63( )y 万件

s 494 148% 139.12( )y 万件


(二) 年值模型与月值模型的转换

趋势方程若是以月份或季度资料为依据建立的,就可以直接与季节波动分析结合起来进行预测

若依据年值资料计算的，要作季节波动的预测，就需要将年值模型转换为月值或季值趋势模型。

若数列的第一年为t=1，以此资料建立的直线趋势方程为：

转换成月值模型为：

转换成季值模型为：

T= a+ bty

tbbayi 1441445.5

12ˆ

tbbayi 16165.1

4ˆ


年值模型与月值模型的转换例题分析

【例9.31】依据统计调查与分析，测定出某种商品年销售量（万件）的直线趋势方程及各季的季节指数如下所示：

(t=1代表1995年)

表25 某商品销售量季节指数表

要求：依据趋势季节模型预测2007年第一、二、三、四季度的销售量。

= 32 + 5 tiy

季度第一季度第二季度第三季度第四季度

季节指数（%） 50 123 153 74


年值模型与月值模型的转换例题分析

【解】首先将年度模型转换为季值模型为：

i

a b b 32 5 5= + 1.5 + t = + 1.5 + t = 8.46875 + 0.3125 t4 16 16 4 16 16y

计算出2007年各季的不考虑季节波动影响的预测值为：

)(78125.23493125.046875.8y1万件

)(09375.24503125.046875.8y2万件

)(40625.24513125.046875.8y3万件

)(71875.24523125.046875.8y4万件

依据趋势季节模型计算出2007年各季的预测值分别为

)(890625.11%5078125.23ˆ1

万件ys

)万件29.63531(123%24.09375y 2s

)万件37.34156(153%24.40625y 3s

)(29188.18%7471875.24y 4s万件


四、预测准确性的度量

预测的准确度，即预测结果与实际发生情况的接近程度

实际值与预测值应该是越接近越好。测量预测准确度，实质上就是测定预测误差。

预测误差的计算方法主要有(一) 单个预测值的误差

(二) 平均绝对误差

(三) 均方误差


四、预测准确性的度量

(一) 单个预测值的误差

(二) 平均绝对误差

(三) 均方误差

),,2,1(ˆ ntyye ttt

n

yy

n

eMAD

n

1ttt

n

1tt

2

1( )

n

ty

t tn k

y ys

n

2t t

t 1y

ˆ(y y )S

n

【例9.32】计算依据1990~2001年我国家用电冰箱产量拟合的修正指数曲线、龚珀资曲线、罗吉斯蒂曲线的均方误差。

表26 三种趋势线均方误差计算表

年份观察值

修正指数曲线龚珀资曲线罗吉斯蒂曲线

趋势值误差平方趋势值误差平方趋势值误差平方

1990 463.1 309.89 23473.3 354.46 11802.65 378.33 7185.951991 469.9 446.8 533.61 459.87 100.6 468.43 2.161992 485.8 572.08 7444.24 569.81 7057.68 568.16 6783.171993 596.7 686.71 8101.8 679.81 6907.27 673.9 5959.841994 768.1 791.6 552.25 786.15 325.8 781.03 167.181995 918.5 887.57 956.66 886.09 1050.41 884.68 1143.791996 979.7 975.38 18.66 977.85 3.42 980.58 0.771997 1044.4 1055.73 128.37 1060.5 259.21 1065.73 454.971998 1060 1129.25 4795.56 1133.77 5442.01 1138.6 6177.961999 1210 1196.52 181.71 1197.88 146.89 1199.01 120.782000 1279 1258.07 438.06 1253.38 656.38 1247.81 972.822001 1349 1314.4 1204.09 1301.01 2312.65 1286.4 3931.29

－－－ 47828.33 － 36064.99 － 32900.69


均方误差的计算例题分析

修正曲线的均方误差为：

龚伯兹曲线的均方误差为：

罗吉斯蒂曲线的均方误差为：

n2

i ii 1

y

ˆy y47828.33S 72.898

n-k 12 3

（ - ）

n2

i ii 1

y

ˆy y36064.99S 63.302

n-k 12 3

（ - ）

n2

i ii 1

y

ˆy y32900.69S 60.462

n-k 12 3

（ - ）


本章小结1.时间数列，依据观察值表现形式不同，分为绝对数时间数列、相对数时间数列及平均数时间数列

2.对时间数列进行比较分析、平均分析，可得到各种增减量、速度及平均发展水平指标

3.时间数列各期观察值是T、S、C、I综合作用的结果，依据作用

方式，构建了加法模型及乘法模型 ,它是时间数列分解的基础

4.长期趋势的测定，可用移动平均法、模型拟合法进行分析。模

型拟合法，常用的有直线趋势模型、二次曲线趋势模型、指数曲线趋势模型、抛物线趋势模型、修正的指数曲线趋势模型、龚珀资曲线趋势模型以及罗吉斯蒂曲线趋势模型等

5.季节波动的测定，常用的有同期平均法及趋势剔除法


本章小结6.循环波动的测定常常采用的是剩余法

7.时间数列的预测，依据不同类型的时间数列，应分别采用相应的方法：

①平稳时间数列，可用序时平均法、简单平均法及加权平均法进行短期预测

②长期趋势为主要影响变量的时间数列，可以采用趋势外推法

③长期趋势和季节变动为主要影响变量的时间数列，可以用趋

势季节模型进行预测

8.预测准确性的度量常用预测误差反映。最好的预测方法是

预测误差最小的方法。

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时间数列分析与预测 - faculty.zuel.edu.cnfaculty.zuel.edu.cn/_upload/article/files/fb/58/f3956232492ea839a38025... · 第二节时间数列对比分析 第三节时间数列平均分析

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