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집합의 기본 개념 집합론의 역설과 공리적 집합론

집합론과 수학의 기반, 제1부Set Theory and the Foundation of Mathematics, Part 1

정 주 희

Kyungpook National University

March 20, 2011


목차

1 집합의 기본 개념

집합론 용어

집합의 성질

2 집합론의 역설과 공리적 집합론

집합론의 역설

역설의 해결을 위한 공리계


집합론 용어

집합, 원소

명확히 구별이 가능한 사물의 모임을 하̇나̇의̇ 대̇상̇으로 본

것을 집합(set)이라 한다. Georg Cantor (1845–1918)

a ∈ X는

“a가 X에 속한다(belongs to)”, 혹은“a는 X의 원소(element)이다”

라고 읽는다.


집합론 용어

부분집합

A와 B를 집합이라 하자. A의 모든 원소가 B의 원소일 때,그리고 이때만 A는 B의 부분집합(subset)이라고 하고기호로는 A ⊆ B로 나타낸다.

“A의 모든 원소가 B의 원소”라는 것은 곧

“모든 x에 대해서 x ∈ A이면 x ∈ B”

라는 말이다. 이를 기호논리식으로 나타내면 아래와 같다.

∀x(x ∈ A → x ∈ B) (1)


집합론 용어

집합을 기술하는 두 가지 방법

① 원소나열법 : A = {1, 3, 5, 7, 9}

② 조건제시법 :A = {x

∣∣∣ 1 ≤ x ≤ 10, (∃n ∈ N)(x = 2n − 1)}

조건제시법은 집합을 {x∣∣∣ P(x)} 형태로 나타내는 것이다.

여기서 P(x)는 x에 대한 명제이며 P를 술어(predicate)라고한다.

Exercise. {2, 4, 6, 8, 10} = {x∣∣∣ P(x)}일 때 P(x)를 써

보시오.


집합론 용어

교집합, 합집합, 차집합

교집합(intersection)을 A ∩ B = {x∣∣∣ P(x)}로 나타낸다면

이때 P(x)는

P(x) def= (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) (2)

라고 쓸 수 있다. 합집합(union)과 차집합(difference)을조건제시법으로 나타내면 아래와 같다.

A ∪ B = {x∣∣∣ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)},

A − B = {x∣∣∣ (x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B)}


집합론 용어

첫 증명

A ∩ B ⊆ A는 다음과 같이 증명할 수 있다. (1)에 의하여

∀x(x ∈ A ∩ B → x ∈ A)

를 보이면 될 것이다. 그런데 x ∈ A ∩ B라면 (2)에 의하여(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)이고

(x ∈ A) ∧ (x ∈ B) → (x ∈ A)

는 토톨로지이므로 항상 참이다. 그러므로 원하던 대로x ∈ A가 성립한다. QED


집합론 용어

외연공리

A와 B가 집합일 때 A = B임을 어떻게 증명하는가?역으로 A = B일 때 이를 이용하여 무엇을 할 수 있는가?

Axiom of Extension(외연공리):

A = B ⇔ (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A) (3)


집합론 용어

연습문제

다음을 증명하시오.

① A ⊆ A ∪ B.

② A ∩ B = A이면 A ⊆ B.

③ A ⊆ B이면 A ∩ B = A.

④ A ∪ B = A이면 B ⊆ A.

⑤ B ⊆ A이면 A ∪ B = A.


집합론 용어

공집합

원소를 하나도 가지고 있지 않은 집합을 공집합(empty set)이라고 하고 ∅로 표기한다.

Fact. 공집합은 모든 집합의 부분집합이다. 즉 X를임의의 집합이라 할 때

∅ ⊆ X (4)

가 성립한다. (4)는 (1)에 의하여

(∀x)(x ∈ ∅ → x ∈ X)


집합론 용어

허무조건

와 동등한데, 이것은 임의의 x가 주어졌을 때 x ∈ ∅는거짓이므로 x ∈ ∅ → x ∈ X는 참이 되기에 성립한다.

전건(antecedent)이 거짓이므로 함의명제(implicationstatement)가 참이 되는 경우 우리는 이를 허무조건에의하여 성립한다(vacuously hold)고 말한다.


집합론 용어

집합론 용어와 기호 추가 1

A ⊆ B일 때 B는 A의 초집합(superset)이다.

A ⊆ B and A ̸= B일 때 A는 B의 진부분집합(propersubset)이고 A $ B로 표기한다. 이때 B는 A의진초집합(proper superset)이다.전체집합(universal set) U의 존재를 가정한 상태에서A ⊆ U의 여집합(complementary set)은 Ac = U − A을뜻한다.


집합론 용어

집합론 용어와 기호 추가 2

집합 A의 멱집합(power set)

P(A) def= {X∣∣∣ X ⊆ A}

A와 B가 집합일 때 (A − B) ∪ (B − A)를 A와 B의대칭적 차집합(symmetric difference)이라고 하고기호로는 A ⊕ B로 나타낸다. (이 표기법은 널리표준화된 표기법이 아니다.)

p와 q가 명제일 때 (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)를 p와 q의배타적 논리합(exclusive or)라고 하고 기호로는 p xor q로 나타낸다.


집합론 용어

연습문제

아래의 명제들을 증명하시오.

x ∈ A ⊕ B ⇔ x ∈ A xor x ∈ B

A ⊕ B = (A ∪ B) − (A ∩ B)

A ⊕ B = ∅ ⇔ A = B

A ⊕ ∅ = A

A ⊕ A = ∅

(A ⊕ B) ⊕ B = A


집합의 성질

중요한 성질 1

X , Y , Z를 집합이라 할 때 아래의 등호가 성립한다.진리표 등의 방법을 사용하여 모두 증명할 수 있어야 할

것이다.

X ∪ Y = Y ∪ X (교환법칙)

(X ∪ Y ) ∪ Z = X ∪ (Y ∪ Z ) (결합법칙)

X ∩ Y = Y ∩ X (교환법칙)

(X ∩ Y ) ∩ Z = X ∩ (Y ∩ Z ) (결합법칙)

X ⊕ Y = Y ⊕ X (교환법칙)


집합의 성질

중요한 성질 2

앞에 이어서 아래의 등호들을 잘 알고 있어야 한다.

(X ⊕ Y ) ⊕ Z = X ⊕ (Y ⊕ Z ) (결합법칙)

(X c)c = X

X − Y = X ∩ Y c

(X ∪ Y )c = X c ∩ Y c (드모르간의 법칙)

(X ∩ Y )c = X c ∪ Y c (드모르간의 법칙)

X ∪ (Y ∩ Z ) = (X ∪ Y ) ∩ (X ∪ Z ) (분배법칙)

X ∩ (Y ∪ Z ) = (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z ) (분배법칙)


집합의 성질

연습문제 1

(i) (X ⊆ Y ) ∧ (Y ⊆ Z ) ⇒ X ⊆ Z .

(ii) X ⊆ Y ⇔ X − Y = ∅ ⇔ X c ⊇ Y c.

(iii) X − (X − Y ) = X ∩ Y .

(iv) X ∩ (Y − Z ) = X ∩ Y − X ∩ Z .

(v) X ∩ Y ⊆ (X ∩ Z ) ∪ (Y ∩ Z c).

(vi) (X ∪ Z ) ∩ (Y ∪ Z c) ⊆ X ∪ Y .

(vii) (X ∩ Y ) ∪ Z ⊇ X ∩ (Y ∪ Z ).

(viii) (X ∩ Y ) ∪ Z = X ∩ (Y ∪ Z ) ⇔ Z ⊆ X .


집합의 성질

연습문제 2

집합 A, B, C에 대해서 아래의 명제들에 대해서 맞다고생각하면 증명하고 틀리다고 생각하면 반례를 드시오.

(i) (A − B) ∪ B = A

(ii) (A ∪ B) − B = A

(iii) A ∪ ∅ = A

(iv) A ∩ ∅ = ∅

(v) A ∩ B = A ∩ C ⇒ B = C

(vi) A ∪ B = C ∪ B ⇒ A = C

(vii) A ⊕ B = A ⊕ C ⇒ B = C


집합론의 역설

집합의 기수

집합의 기수(cardinality)란 그 집합의 원소의 개수를말한다.

Question. 진부분집합의 기수는 원래의 집합의 기수보다작은가?

유한집합의 진부분집합의 기수는 원래 집합의 기수보다

더 작은 것이 당연하다.


집합론의 역설

무한집합의 기수

무한집합 N = {0, 1, 2, 3, . . .}와 이것의 부분집합N+ = {1, 2, 3, . . .}를 생각해 보자. 우리는 N과 N+의

기수가 같다고 생각한다. 그 이유는 다음과 같다. 함수f : N → N+을

f (n) = n + 1

로 정의한다.


집합론의 역설

1대1 대응되는 집합의 기수는 같다

이제 N의 임의의 원소 n은 그것에 대응하는 원소 n + 1을N+ 안에 유일하게 가지며, 역으로 N+의 임의의 원소 n은그것에 대응하는 원소 n − 1을 N 안에 유일하게 가진다.즉 함수 f에 의하여 N의 원소들은 N+의 원소들과

1대1 대응(1 to 1 correspondence)이 된다. 두 집합의 원소들사이에 1대1 대응이 이루어질 때 이 두 집합의 기수는같다고 정의하자.


집합론의 역설

무한집합의 정의

Exercise. N의 진부분집합 {0, 4, 6, 8, . . .}은 N과 기수가같음을 보이시오. 홀수의 집합도 마찬가지이고,제곱수들의 집합 {0, 1, 4, 9, 16, . . .}도 마찬가지임을보이시오.

Definition. 어떤 집합이 그것의 진부분집합과 같은기수를 가질 때 이 집합을 무한집합이라고 정의한다.

Richard Dedekind (1831–1916)


집합론의 역설

무한집합은 모두 같은 기수를 가지는가?

자연수의 제곱수들의 집합은 자연수의 극히 일부인 것

같지만 N과 동일한 기수를 가짐을 알았다.

유리수 전체의 집합 Q = { nm

∣∣∣ n, m 정수, m ̸= 0}의 기수도N과 같다는 것을 증명할 수 있다. 증명의 이해를 돕는그림을 다음 쪽에 실었다.

혹시 모든 무한집합의 기수가 같은 것은 아닐까?

아래 그림은 양의 정수와 양의 유리수가 1대1 대응됨을보여준다. 붉은 색깔로 표시된 유리수는 이전에 한 번이상 나왔던 것이다.


집합론의 역설

칸토르의 대각정리

Theorem [Cantor’s Diagonal Lemma]. 집합 A의 기수는 (A가 유한집합이든 무한집합이든 상관없이) 그것의 멱집합P(A)의 기수보다 작다.

Proof. 임의의 함수 f : A → P(A)가 주어졌을 때 공역 P(A)의 원소 중 f의 값이 되지 못하는 것이 존재함을 보이면된다. B ∈ P(A)를 아래와 같이 정의한다.

B = {x∣∣∣ x ∈ A and x ̸∈ f (x)}

f (a) = B인 a ∈ A가 존재한다고 가정하고 모순을유도하겠다.


집합론의 역설

칸토르의 대각정리 continued, 1

a ∈ B = f (a)와 a ̸∈ B의 두 경우를 나누어 생각한다.

만일 a ∈ B라면 B의 원소로서의 조건인 a ̸∈ f (a)가성립해야 하는데 이건 불가능하다. 반대로 a ̸∈ B라면 이는곧 a ̸∈ f (a), 즉 a가 B의 원소일 조건이 만족된 것이므로a ∈ B가 성립해야 하는데 이것 역시 불가능하다.

이 모순은 f (a) = B인 a ∈ A가 존재한다는 가정으로부터나온 것이므로 결국 이러한 a는 존재하지 않으며, 따라서f는 1대1 대응함수가 아니라는 결론을 얻는다.


집합론의 역설

칸토르의 대각정리 continued, 2

Note. 엄격하게 말하자면 아직 우리는 집합의 기수가무엇인지를 정의하지 않았으며 단지 “두 집합의 기수가같음”의 개념만을 정의하였을 뿐이다. 이런 경우 우리는두 집합이 대등(equipollent, equinumorous)하다고 말한다.

이 부분의 명확한 이해는 단사함수, 전사함수, 반순서집합등을 공부한 이후에 가능하다.


집합론의 역설

칸토르의 역설

칸토르의 대각정리의 결과 우리는 어떤 무한보다도 더 큰

무한이 존재한다는 것을 알게 되었다. 어떤 집합이 아무리크다 해도 그것보다 더 큰 집합(그것의 멱집합)이존재한다는 것이다.

칸토르의 역설을 쉽게 말하면 다음과 같다:모든 집합의 집합 {x

∣∣∣ x는 집합}을 생각해 보자.이 집합은 가장 큰 집합이어야 한다. 그러나 이집합의 멱집합은 이 집합보다 더 크다.


집합론의 역설

러셀의 역설

다음의 집합을 생각해 보자.

S = {x∣∣∣ x ̸∈ x}

이제 S ∈ S가 성립하는지 생각해 보자.

만일 이것이 참이라면 S는 S의 원소로서의 조건, 즉 S ̸∈ S를 만족해야 한다. 이것은 모순이므로 이번에는 S ̸∈ S를가정해 보자. 그렇다면 S는 S의 원소로서의 조건을만족하므로 S의 원소이어야만 한다.



ZFC

칸토르와 러셀의 역설을 해결하기 위한 노력의 결과

모순이 없는(없음직한) 집합론의 공리계들이 여러연구자들에 의하여 제안되었다.

그중 가장 유명한 것이 Zermelo-Fraenkel의 공리계 ZF,혹은 여기에 선택공리(Axiom of Choice)를 더한 공리계ZFC이다. (20세기 초, 1908～1922)



역설의 발생 원인

역설의 발생 원인은 우리가 나이브(naive)하게도

{x∣∣∣ P(x)}

가 집합이라고 믿어 버린 데 있다.

러셀의 역설에서 문제가 되는 집합 S = {x∣∣∣ x ̸∈ x}는

사실상 집합이 아니다. 마찬가지로 칸토르의 집합{x

∣∣∣ x는 집합}은 집합이 아니다.



집합 생성의 공리들

우리는 집합의 생성에 조금 엄격한 규칙을 두고 이

규칙들을 공리로 정하였다. 예를 들어 A가 집합이고 P(x)가 술어이면

{x ∈ A∣∣∣ P(x)}

는 집합이라고 인정하는 것이 바로 분리공리(Axiom ofSeperation)이다. (A의 원소들 중에 P를 만족하는 것들만분리해서 집합을 이루었다고 보는 것임.)



집합 생성의 공리들 continued

A가 집합이라 하자.

f가 함수일 때{f (x)

∣∣∣ x ∈ A}

가 집합이라고 인정하는 것이 대체공리(Axiom ofReplacement)이고,

{X∣∣∣ X ⊆ A}

가 집합이라고 인정하는 것이 멱집합공리(Axiom ofPowerset)이다.



ZFC와 수학의 기반

우리는 집합 생성을 위하여 앞서 말한 3개의 공리 외에2점집합공리(Axiom of Pairing), 합집합 공리(Axiom ofUnion) 및 무한집합공리(Axiom of Infinity) 등 3개의공리를 더한다.

여기에 외연공리 (3)와 정규공리(Axiom of Regularity)를더하면 ZF를 얻는다.

여기에 다시 선택공리(Axiom of Choice, AC)를 더하면ZFC(Zermelo-Fraenkel with AC)가 된다.



ZFC와 수학의 기반 continued

현대의 수학은 ZFC를 이용한 토대 위에 건설되어 있다고말할 수 있으며 이 체계에 심각한 모순이나 역설은 없는

것으로 널리 인정되고 있다.

ZFC를 명확히 이해하기 위해서는 모든 수학적 명제를기호로 표현하여 분석하는 수리논리학을 이용하는

공리적 집합론(axiomatic set theory)을 공부해야 한다.

- 제1부, 끝 -

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