수학의 역사

- 고대의 수학 -

고대의 수학

1. 수학은 어떻게 시작되었는가 ? 고대 국가에서의 수학 고대 이집트의 수학 승려들의 수학 셈의 시작 등차급수와 등비급수 바빌론의 60 진법

고대 국가에서의 수학 철학자 프로클로스 (Proclos, A.D. 410~485?)

“ 현실적인 필요 때문에 기하학을 비롯한 여러 학문이 발전되었으며 , 그러기에 불완전한 것에서부터 완전한 것으로 향하는 노력이 이루어지고 , 그것을 위한 형식적인 법칙이 성립한다 . 또 감각에서 합리적인 판단으로 , 더욱 나아가서 순수한 지성 ( 知性 ) 으로…라는 자연스러운 발전의 과정을 볼 수 있는 것이다 .”

학문이 생겨난 이유 : 현실적인 필요 때문에

고대국가에서의 수학

인류가 농경 기술을 획득 ↓ 한 곳에 정착

사회를 이룸 ↓ 조직화

고대 국가를 형성 고대 국가에서의 주요 경제활동 : 농업 , 목축

농토를 관리 , 생산물을 분배 , 조정

→ 측량술 , 계산술이 생겨남

고대 이집트의 수학헤르도토스 (herodotos, B.C. 484~425 경 )

“… 세소스트리스왕은 모든 이집트 사람에게 사각형의 땅을 제비를 뽑아서 분배하고 , 그 토지에서의 수확으로 세금을 거두어들였다 . 나일강에 대홍수가 일어나 땅이 황폐되면 백성은 왕에게 이 사실을 호소 하였고 , 왕은 곧 관리를 시켜 다시 토지를 측량하고 세금을 재조정하였다 .”

나일강의 대홍수 덕분에 상류의 기름진 흙이 쓸려 내려와 같은 장소에서 계속 경작을 하게 됨 . 이 대홍수는 축복인 동시에 여러 문제를 일으킴 .

고대 이집트의 수학

나일강의 범람이 가져온 문제점 홍수가 시작될 시기를 정확하게 알아낼 필요 홍수가 지나간 다음에 농토 정리의 문제 나일강을 다스리기 위한 여러 가지 토목사업 , 즉

운하를 파고 , 수문을 만들고 , 둑을 쌓는 등의 일

천문학 , 측량술 , 계산술 등의 발전

승려들의 수학아메스 파피루스 (Ahmes papyrus)

기원전 2000 년경 이집트의 승려 아메스 (Ahmes) 가 엮은 것으로 가로 5m 50cm, 세로 30 cm 크기의 파피루스에 85개의 문제가 상형문자로 기록되어 있다 .

: 이것은 당시 승려나 귀족 같은 특권 계층만이 독점하고 있던 지식으로 열람 , 수정 , 기록 하는 일은 특별한 신분계층인 승려만이 할 수 있었다 .

승려들의 수학아메스 파피루스의 내용

상형문자에 의한 기수법 (10 진법 )

승려들의 수학아메스 파피루스의 내용

분수의 단위 분수의 합으로서의 표시법

2 1 1 2 1 1 2 1 1

━ = ━ + ━ ━ = ━ + ━ ━ = ━ + ━ ... 5 3 15 , 7 4 28, 9 6

18

▶ 왜 이 같은 표시법을 사용했을까 ?

승려들의 수학아메스 파피루스의 내용

빵 4 덩어리를 5 명이 나눈다 . 어떻게 나누어야 가장공평할까 ?

( 답 1) 4 개의 빵에서 4 명이 각자 4/5 만큼을 떼어가고 나머 지 한 명에게는 남은 1/5 의 빵 조각 4 개를 준다 .

( 답 2) 4 개의 빵에서 각각 1/2 만큼과 1/5 만큼 그리고 1/10 만큼씩 가져간다 .

승려들의 수학아메스 파피루스의 내용

분수의 단위 분수의 합으로서의 표시법

2 1 1 2 1 1 2 1 1

━ = ━ + ━ ━ = ━ + ━ ━ = ━ + ━ ... 5 3 15 , 7 4 28, 9 6 18

▶ 왜 이 같은 표시법을 사용했을까 ? : 재산 , 토지 등을 공평하게 나누어 갖기 위해 이와 같은 표시법을

사용했음을 추측해 볼 수 있다 .

승려들의 수학아메스 파피루스의 내용

승제의 계산법1) 12 X 12 = 144 2) 4 ÷ 15 = 1/5 + 1/15 1 … 12 1 … 15 2 … 24 1/10 … 3/2 4 … 48 1/5 … 3 8 … 96 1/15 … 1 ━━━━━━━ ━━━━━━━━━ 12 … 144 1/5+1/15 … 4

승려들의 수학아메스 파피루스의 내용

직각 3 각형의 변의 비 3 : 4 : 5 ( 경험적 )

→ 아메스 파피루스가 B.C. 2000 년경에 쓰여졌으니 피타고라스보다 훨씬 앞서 직각을 만드는 법을 알고 있었다고 추측해 볼 수 있음 .

승려들의 수학아메스 파피루스의 내용

면적의 계산1) 2 등변 삼각형의 면적

2) 원의 면적 ( 반지름 r, d=2r) s-(d-1/9d)² = 256/81 r² ㅠ≒ 3.1604 각추대의 체적 V=h/3(a²+ ab + b²)

b

a

h =½ah

승려들의 수학아메스 파피루스의 내용

등차급수와 등비급수 등차급수 a, a+d, a+2d, … ,a+(n-2)d, a+(n-1)d 초항이 a, 공차가 d 인 등차수열을 n 항까지 더한 합 s=½n{2a+(n-1)d} 등비급수 a, ar, ar², … , ar , ar 초항이 a, 공비가 r 인 등비수열을 n 항까지 더한 합 r=1 이면 s=na, r≠1 이면 s=a(1-r )/1-r

n-2

n-1

n

셈의 시작수에 대한 가장 오래된 기록

B.C. 3500 년 : 남아프리카 스와질랜드에서 발견된 비비의 종아리뼈에는 누군가가 그어놓은 선명한 금이 29 개 남아있다 .

B.C. 3000 년 : 체코에서 발견된 늑대 넓적다리뼈에는 다섯개씩 묶인 금이 둘로 나누어져 그어져 있다 .

셈의 시작10 진법의 쓰임

10 진법 : 인류가 문명을 일으킨 곳마다 예외 없이 사용

되었던 셈법이다 . 10 진법이 가장 많이 쓰인 이유 : 인간의 손가락이 10 개 이기 때문 ( 손가락 셈 ) 10 진법 미만의 셈을 하였던 사람들은 손가락을 쓰지 않고 셈을 했다고

볼 수 있다 . “ 손가락 셈을 하였는지의 여부는 바로 문명과 미개의

분수령이 된다 .” 이렇게 말할 정도로 이 ‘기술’ ( 손가락 셈’은 대단히 중요한 역사적

의미가 있다 .

셈의 시작고대 여러 국가의 수 이집트의 숫자

바빌론의 숫자

그리스의 숫자

바빌론의 60 진법60 진법에 대한 가설

60 진법이 쓰인 이유에 대한 가설 10 진법을 쓰는 부족과 6 진법을 쓰는 부족이 만나 이를 합쳐 60

진법을 쓰게 되었다 . 60 이 소수가 가장 많은 수이기 때문이다 . 천문학적인 이유 때문이다 .

바빌로니아에서 발견된 여러 가지 기록을 살펴 보면 , 하나의 원 에서 그 반지름의 길이로 원 둘레를 잘라가면 정확히 6 등분 된다 . 지평선

1

23

45

6

원을 1 로 놓고 별이 3 번 자리에 있을 때의 별의 위치는 전체의 1/12 의 자리가 된다 . 이것을 10진법으로 나타내면 0.0833… 무리수가 된다 . 그러나 60 진법으로 나타내면 ; 5 로 나타낼 수 있다 . ( 즉 , 소수가 많은 60 진법을 사용하여 무리수의 표현을 더욱 용이하게 함 .)

바빌론의 60 진법사각형의 대각선의 길이

옛바빌로니아 지방에서 근래에 발견된 점토판

바빌론의 60 진법사각형의 대각선의 길이

먼저 위에 쓰여진 수를 10 진법으로 나타내 보자 . 1 ; 24, 51, 10 =1 + 24/60 + 51/60² + 10/60³ =1 + 0.4 + 0.01416667 + 0.0000463 =1.41421297 즉 ! √2 의 근사값임을 알 수 있다 .

바빌론의 60 진법사각형의 대각선의 길이 앞에서 나온 값을 대입하여 점토판에 그려진 한 변의 길이가 30 인 정사각형의 대각선의 길이를 구해보자 .

( 대각선의 길이 d) d= √2 × 30 ≒(1 ; 24, 51, 10) × 30 = (30 ; 720, 1530, 300) = 30 + 720/60 + 1530/60² + 300/60³ = 30 + 12 + 25.5/60 + 5/60² = 42 + 25/60 + 0.5/60(30/60²) + 5/60² = 42 + 25/60 + 35/60² = (42 ; 25, 35) 이로 미루어 보아 바빌로니아 인은 그들 나름대로√ 2 라는

무리수를 다루었으며 피타고라스보다 훨씬 앞서 사각형 대각선의 길이를 구할 수 있었음을 알 수 있다 .