제8장 일반함수모형과 비교정태분석 1

※ 의 변형인 을 사용 (

: 도함수 기호)

: 의 에 관한 편도함수

부분은 변수 에 대해서 편도함수를 구할 것을 지시하는 연산기호

→ ( )로 표시

[응용]

어떤 재화에 대한 수요함수가 로 주어져 있고, 공급함수가 로

주어져 있다.

(1) 균형가격과 균형 교환량을 구하여라.

(2) 가 모두 0보다 크다고 가정하고, 의 변화에 따른 균형가격의 변화를 분

석하여라.

제8장

1. 편미분

(1) 의미

변수 은 모두 서로 독립적⇒ 각 변수는 다른 변수에 영향을 주지 않음

￭ 다른 변수가 고정되고, 변수 만 만큼 변화시 이에 대응하여 는 만큼 변화

￭ 차분계수

￭ 편도함수(partial derivative)

: 의 에 관한 편도함수 (을 제외한 다른 모든 변수들은 일정 유지)

￭ 편미분(partial differentiation)

: 편도함수 구하는 과정

≡

≡ lim→

제8장 일반함수모형과 비교정태분석 2

[예제]

1.

2.

3.

[응용]

효용함수

전미분

(2) 계산법

￭ 편미분은 한 독립변수의 변화만 허용하고 (n-1)개 나머지 독립변수는 일정하다고 가정

2. 전미분(total differentiation)

(1) 의미

￭ 저축함수 (단, 연속적이며 미분 가능한 전제)

의 총변화

⇒

① if 이면, 가 되고,

일정 가 일정할 때, 미분 에 대한

미분 의 비율

② if 이면,

제8장 일반함수모형과 비교정태분석 3

⇒ 우변 각항은 독립변수들 중 하나가 미소하게 변화한 것으로부터 초래된 의 변화량

⇒ 합은 가능한 모든 변화의 원천으로부터 발생하는 효용의 총변화

⇒ 은 첫 번째 상품의 한계효용에 그 상품의 소비의 증분을 곱한 것.

[step1] 편도함수 를 구하고

[step2] 에 대입

[예제]

1.

2.

3.

4.

5.

6.

①를 구하여라.

② 일때, 의 편미분을 구하여라.

③편도함수

을 구하여라.

(2) 미분법칙

에서 전미분 를 구하는 방법

제8장 일반함수모형과 비교정태분석 4

Channel map

[응용]

단,

3. 전도함수

(1) 의미

단

3변수 간의 상호관계

※ 에 대한 는

① 함수 를 거쳐서 함수 를 통한 간접적인 영향 →

② 함수 를 통해 직접적 영향 →

(2) 전도함수 구하는 법

를 전미분

(양변을 로 나누면)

= (간접적 영향)+(직접적 영향)

⇒ 의 에 관한 전미분(total differentiation of with respect to )

제8장 일반함수모형과 비교정태분석 5

￭

,

,

∴

[예제] 다음의 전도함수를 구하여라.

1. (단,

2. 효용함수 (단, , 간의 보완관계 반영)

:커피 소비량, :설탕소비량

전도함수

3. 생산함수 단

를 구하면?

※ 생산함수의 의미

: 두 생산요소 이외에 시간() 변수 첨가해, 기술이 시간의 경과에 따라 변화하는 것

을 반영 (동태적 생산함수)

※ 노동량과 자본량도 시간에 경과에 따라 변화 의미

제8장 일반함수모형과 비교정태분석 6

[예제]

1. 다음의 방정식에서 정의되는 음함수의

를 구하여라.

(1)

(2)

(3)

(4) 로 정의되는 경우 음함수의

를 구하여라.

2. 방정식 에 의해서 정의되는 음함수들의

를 구하

여라. 이 방정식은 에 대해서 쉽게 풀리지 않는다. 그러나 가 모두 연속이고,

는 주어진 방정식을 만족하는 (1,1,1)과 같은 점에서 0이 아닌 것이 확실

하기 때문에, 적어도 이 점 주위에서는 분명히 음함수 가 존재한다. 따라서 도

함수

가 존재한다. 이때의 도함수는 어떻게 되는가?

4. 음함수의 미분

(1) 의미

두 변수 사이에서 의 관계가 성립하게 되면

→ 하나의 값에 대해서 두 개의 값이 존재하여 의 함수로 볼수 없다.

∴ 을 통해서만 를 정의할 수 있을 때, 를 의 음함수(implicit)라고 한

다. 즉 가 을 도시한 그래프의 부분집합일 때 함수 는 에 의

해서 묵시적(implicit)적으로 정의가능하다.

(2) 방법

[step1] 의 양변을 에 대해서 미분 (단, 여기서는 는 에 대해서 미분가능 한

함수라고 전제)

[step2]

를 구한다.

(음함수 이 존재하고, 음함수가 정의되는 부근의 점에서 ≠ 인 경우)

의 형태를 지니게 된다.

제8장 일반함수모형과 비교정태분석 7

3. 방정식 은 묵시적으로 생산함수 을 정의한다고 가정하고, 한

계실물생산 을 함수 와 관련하여 나타내면 어떻게 되는가?

그리고

의 편도함수로 나타내면 그 경제적 의미는 무엇인가?

꼭 풀어볼 문제

1. 다음의 함수에서

를 구하여라.

(1)

(2)

(3)

(4)

2. 다음 함수에서 를 구하여라.

(1)

(2)

(3)

(4)

제8장 일반함수모형과 비교정태분석 8

3. 주어진 생산함수 에서 와 를 구하여라. 는 만의 함

수인가? 또는 와 의 모두의 함수인가? 은 어떠한가?

4. 한 소비자의 효용함수가 다음과 같다.

단, 는 총효용이고, 는 두 상품의 소비량이다.

(1) 각각의 상품에 대한 한계효용함수를 구하여라.

(2) 각 상품의 소비량이 3단위일 때, 첫째상품의 한계효용의 값을 구하여라.

5. 다음과 같이 주어진 식에서 전도함수

를 구하여라.

(1) 단 (2) 단

(3) 단

6. 다음과 같이 주어진 식에서 전도함수

를 구하여라.

(1) 단 (2) 단 (3) 단

7. 생산함수가 다음과 같다고 하자. , 단, 는 의 증가함수이고,

이고, 이다. 시간 에 대한 산출량의 변화율을 구하여라.

제8장 일반함수모형과 비교정태분석 9

꼭 풀어볼 문제 [해답]

3.

4.

5.

6.

7.

제8장 [보론] 야코비안 행렬식 10

[예]

[보론]

1. 의미￭ 야코비행렬식(Jacobian determinant)는 음함수의 미분개념을 확장하여, 다수의 음함수가

복잡하게 상호연결되어 있더라도 편도함수를 쉽게 구할 수 있는 방법으로 로 표현

로 함수가 주어진 경우

2. 선형종속성 판단

￭ 일반적으로 개의 변수를 지닌 개의 미분가능한 함수가 있을때, 편도함수를 개 구할

수 있다. 개의 함수가 함수적으로 (선형 또는 비선형으로)종속적이기 위한 필요충분조건은

가 모든 에 대해서 항등적으로 0이 되는 것이다.

￭ ⇒ 야코비안은 의 모든 값에 대해서 0이 된다.

∴ 주어진 함수는 서로 종속적 (는 에 단순한 제곱의 관계)

제8장 [보론] 야코비안 행렬식 11

[예]

1. 다음과 같이 음함수가 주어졌을때,

를 구하여라.

2.

로 주어진 경우에

를 구하여라.

3. 야코비안 행렬식을 이용한 편도함수 구하기

두 개의 음함수 이 주어진 경우

를 구하는 문제

[1] 음함수 미분법으로 나타내면

[2] 행렬식으로 변형

[3] 도함수 존재 조건

[4] 두 음함수에 의해서 간의 관계가 정의될 때,

≠ 이면,

제8장 [보론] 야코비안 행렬식 12

4. 비교정태분석에 적용

￭ 비교정태분석(comparative static analysis)는 최초의 균형 상태에서 외생변수 혹은 파라

미터가 변할 때 새로운 균형 상태를 위한 변화방향을 분석하는 방법

￭ 비교정태분석의 기본수단은 도함수가 기본이며, 연립방정식의 체계에서 야코비안 행렬식,

크래머 공식을 이용해 쉽게 분석 가능하다.

￭ 음함수의 경우도 음함수 정리에서 요구되는 조건들이 충족되면 도함수가 도출되어 비교정

태분석이 가능하다.

[절차][1] 연립방정식을 구성하고 있는 각 방정식에 대해 전미분 실시

[2] 내생변수에 대한 전미분은 등호좌측에 놓고, 외생변수에 대한 전미분은 등호 우측에 놓는다.

[3] 내생변수로 구성된 편도함수에 대해 행렬형으로 놓고 야코비안 행렬식을 구한다.

≠ 면 함수적으로 독립이므로 비교정태분석을 행할 수 있고, 유일한 해가 존재한다.

만일 0이면 비교정태분석이 불가능해 모형을 다시 구성해야 한다.

[4] 특정 외생변수의 변화가 내생변수에 미치는 효과를 보기 위해 다른 외생변수들은 상수로 가정하

고, 미분을 0으로 놓고 특정변수의 미분()으로 등호 양측에 있는 미분을 나눈다.

[5] 크래머 공식을 이용하여 외생변수가 내생변수에 미치는 효과를 도출한다. 외생변수가 내생변수에

미치는 효과는 다음과 같이 구한다.

제8장 [보론] 야코비안 행렬식 13

수요함수 :

공급함수 : ′

시장균형 :

[분석결과의 의미]

5. 경제학에 응용

(1) 단일 상품시장 비교정태분석

[1단계] 시장균형식에 의거하여 수요함수와 공급함수를 균형수급량 로 대체한 후 전미분

[2단계] 내생변수에 대한 전미분은 등호좌측에 놓고, 외생변수에 대한 전미분은 등호 우측

에 놓는다.

[3단계] 내생변수에 대한 도함수를 행렬형으로 놓고, 야코비안 행렬식을 구한다. (유일한

해의 존재 여부판단)

[4단계] 외생변수가 뿐이므로 두 방정식의 양변에 있는 미분( )을 모두 로 나누

어 주며, 편도함수로 표시한다. (등호 우측은

)

[5단계] 크래머 공식을 이용하여

를 계산한다.

제8장 [보론] 야코비안 행렬식 14

국민소득항등식 :

소비함수 :

내생변수 :

외생변수 :　

(2) 국민소득 모형과 비교정태분석

제8장 [보론] 야코비안 행렬식 15

꼭 풀어볼 문제

1. 야코비 행렬식을 사용하여 아래의 짝지어진 함수들 사이에서 함수의 종속성이 존재하는

지의 여부를 판단하여라.

(1)

(2)

2. 단일 상품시장의 수요함수, 공급함수, 시장균형이 다음과 같이 생산성증가()RK 균형가

격과 균형수급량에 미치는 영향을 비교정태분석으로 도출하여라.

수요함수 : ( 가격 소득 생산성)

공급함수 :

시장균형식 :

3. 균형소득 결정모형이 다음과 같이 주어져 있다. 정부지출 증가가 국민소득, 소비, 조세에

미치는 영향을 크래머 공식을 통해서 도출하여라.

국민소득 방정식:

소비함수 :

조세함수 :

( 국민소득 소비 투자 정부지출 조세 소득세율)