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Carmen M Garca Tardo
Fsica Estadstica Clara Gmez Garca
M Jess Macas Castillo
6. Considrese un conjunto (ideal) de dipolos elctricos fijos en
una red
cuadrada en presencia de un campo elctrico externo. Calcular la
funcin de
particin, entropa, momento dipolar elctrico medio y la
energa.
En primer lugar, calculamos la funcin de particin, a partir de
la energa, y de la
expresin del hamiltoniano.
donde E es la energa, , es el momento dipolar elctrico, y es
campo elctrico. La expresin del hamiltoniano, viene dada por:
En nuestro caso en concreto, se trata de un problema en dos
dimensiones, de modo
que, particularizando la expresin anterior, tenemos que:
cos
Y
Dado que sobre los dipolos actan dos influencias (el campo
elctrico y la
temperatura), no podemos conocer de manera exacta la orientacin
de los mismos, de
modo que manteniendo una posicin constante, las posibilidades
varan entre cero y 2.
Dado que es un gas ideal, la expresin general de la funcin de
particin es la que
sigue.
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Que en nuestro caso, toma la forma siguiente.
El resultado de esta integral es una funcin modificada de Bessel
de primera especie
con 0:
"#$%& '#(#$%& '#) (#$%& $% 2 ,-
.! $ 1 . 1 1&3
-4
En nuestro caso:
"$%& $% 2 &-
.! $. 1 1&3
-4
Donde % 5. Obtenemos como resultado:
26"$5&
Volviendo a la expresin general de la funcin de particin,
tenemos que, en definitiva,
7 89:;?&@A
Una vez obtenida la funcin de particin, encontrar la expresin de
la entropa no ser
tarea difcil. Haremos uso de la expresin de la entropa en la
colectividad cannica, que es
la que aparece a continuacin.
B .C8log 1 5F@ Conocido Z, tenemos:
826"$5&@ log G8log 26 1 log "$5&@
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Teniendo en cuenta que,
F H log H5 G I1
"$5& "J $5&K
Y teniendo en cuenta la relacin de Bessel que dice as:
"J $5& "L$5& F G "L$5&"$5&
Sustituyendo, en la expresin de la entropa, tenemos:
M NO A P8QRS 9: 1 QRS ;?&@ =>?
T;U$=>?&;?&VW
Para calcular ahora en momento dipolar elctrico, partimos de la
expresin que sigue.
XYZ
Dado que nuestro caso, es en dos dimensiones, tenemos:
\ sin _ cos
Donde es el ngulo polar en la direccin del eje y.
De modo que calculamos cada una de las componentes.
X\Z sin
0
X_Z cos
26"L$5&
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As, uniendo ambos resultados, tenemos:
X>Z >` 89:;U$=>?&@ab
Calcular la energa fue necesario anteriormente para obtener, a
partir de ella, la
entropa. Recordemos, lo que obtuvimos fue lo siguiente.
cd A>? ;U$=>?&;?&
