第５６卷　第３期 厦门大学学报（自然科学版） Ｖｏｌ．５６　Ｎｏ．３

　２０１７年５月 ＪｏｕｒｎａｌｏｆＸｉａｍｅｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ） Ｍａｙ２０１７　

犺狋狋狆：∥犼狓犿狌．狓犿狌．犲犱狌．犮狀

ｄｏｉ：１０．６０４３／ｊ．ｉｓｓｎ．０４３８０４７９．２０１６０７０２３

输入受限不确定线性时滞系统的混合镇定

方国鹏，孙洪飞

（厦门大学航空航天学院，福建 厦门 ３６１００５）

摘要：针对一类不确定线性时滞系统，同时考虑其暂态性能和稳态性能，提出了混合稳定的概念和控制策略，使得闭环

系统在满足输入约束条件下，在给定的时间区间内有限时间稳定，在无穷时间区间上渐近稳定．将混合稳定控制问题转

化为线性矩阵不等式（ＬＭＩ）约束非凸优化具有可行解问题．通过锥补线性化算法求解状态反馈控制器使得闭环系统混

合稳定．最后，通过一个无人机仿真来验证控制器设计方法的有效性．

关键词：时滞；输入受限；不确定性系统；混合稳定；有限时间稳定

中图分类号：ＴＰ２７３　　　　文献标志码：Ａ　　　　　文章编号：０４３８０４７９（２０１７）０３０４０３０７

收稿日期：２０１６０７２０　　录用日期：２０１６１１１０

　基金项目：国家自然科学基金（６１２７３１５３，６１３７４０３７）

通信作者：ｓｕｎｈｆ＠ｘｍｕ．ｅｄｕ．ｃｎ

引文格式：方国鹏，孙洪飞．输入受限不确定线性时滞系统的混合镇定［Ｊ］．厦门大学学报（自然科学版），２０１７，５６（３）：４０３４０９．

　犆犻狋犪狋犻狅狀：ＦＡＮＧＧＰ，ＳＵＮＨＦ．Ｍｉｘｅｄｓｔａｂｉｌｉｚａｔｉｏｎｏｆｌｉｎｅａｒｕｎｃｅｒｔａｉｎｓｙｓｔｅｍｓｗｉｔｈｉｎｐｕｔｃｏｎｓｔｒａｉｎｓａｎｄｔｉｍｅｄｅｌａｙ［Ｊ］．ＪＸｉａｍｅｎ

ＵｎｉｖＮａｔＳｃｉ，２０１７，５６（３）：４０３４０９．（ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ）

　　系统稳定性问题一直是控制理论研究中的一个

热点问题．Ｌｙａｐｕｎｏｖ渐近稳定在控制界已广为人知，

它关注的是系统在无穷时间区间内的稳态性能，并不

能反映系统的暂态性能．事实上，一个稳定系统如果具

有较差的暂态性能（例如超调量过大，过渡时间过长）

可能引起系统响应滞后，甚至无法在实际中应用．因

此，有限时间稳定由于其注重系统在有限时间段的性

能而引起控制界的广泛关注．

有限时间控制的问题得到许多学者的研究．Ｄｏｒａ

ｔｏ［１］提出了有限时间稳定（ＦＴＳ）的概念．Ａｍａｔｏ等

［２］

推广了ＦＴＳ概念，提出了有限时间有界（ＦＴＢ）的概

念．Ｍｉｃｈｅｌ等［３］给出了离散时间系统ＦＴＳ的验证条

件．Ｇａｒｒａｒｄ［４］研究非线性系统ＦＴＳ的综合问题．Ｓａｎ

等［５］提出一种状态反馈控制器设计方法使得闭环系

统满足ＦＴＳ和给定的积分二次性能指标．Ｄｏｒａｔｏ等［６］

针对多面体不确定性的线性连续时间系统的ＦＴＳ综

合问题，用ＬＭＩ条件给出了系统ＦＴＳ的充分条件．

实际应用中，控制系统应该具有良好的暂态和稳

态性能，为同时保证这两种性能，需要将ＦＴＳ和渐近

稳定结合．目前，同时考虑暂态和稳态性能的研究还鲜

有报道．林灿煌等［７］针对输入受限不确定线性系统，提

出了混合稳定的概念和控制策略，但其没有考虑时滞

现象且混合稳定控制器本质上是一个切换控制器，会

存在潜在抖振且计算过程复杂．

时滞现象是影响系统稳定和性能的主要因素．根

据稳定性条件是否依赖时滞的大小，可将其分为时滞

无关和时滞相关．本文中研究时滞相关的稳定性条件

（条件能够保证系统对于任意不大于某个值的时滞都

是稳定的）．目前针对时滞相关稳定性问题，学者们提

出了多种研究方法［８１０］．

在实际控制系统中，系统的执行器饱和（输入受

限）无处不在．输入受限直接影响闭环系统的性能指

标，甚至引起系统的不稳定．在处理输入受限问题时有

两类方案：一类是在系统分析和控制器设计时就考虑

饱和给系统带来的影响，避免饱和的发生［１１１４］；另一

类是先不考虑输入受限的情况下对系统进行控制器

设计，在执行器饱和的时候，采用附加设计的抗饱和

补偿器来弥补系统发生饱和时的性能下降，以削弱执

行机构的饱和特性带来的影响［１５１７］．

本文中针对不确定线性时滞系统，在避免饱和出现

的情况下，给出了系统的时滞相关稳定性条件．对于控

制器求解时遇到的非线性问题，采用锥补线性化算

法［１８］，将其转化为ＬＭＩ约束非凸优化具有可行解问题．

１　问题描述

考虑如下不确定线性时滞系统：

狓（狋）＝（犃０＋Δ犃０（狋））狓（狋）＋（犃１＋

厦门大学学报（自然科学版） ２０１７年

犺狋狋狆：∥犼狓犿狌．狓犿狌．犲犱狌．犮狀

　Δ犃１（狋））狓（狋－τ）＋（犅＋Δ犅（狋））狌（狋）， （１）

狓（狋）＝φ（狋），狋∈ ［－τ，０］，

其中狓（狋）∈犚狀 为状态向量，狌（狋）∈犚

犿 为控制输入向

量，犃０∈犚狀×狀，犃１∈犚

狀×狀，犅∈犚狀×犿是已知的常数矩

阵，τ＞０是滞后时间．φ（狋）：［－τ，０］→犚狀 为系统的初

始条件，假设不确定项有如下形式［１８］：

Δ犃０（狋）＝犇０Δ（狋）犈０，Δ犃１（狋）＝犇１Δ（狋）犈１，

Δ犅（狋）＝犇犅Δ（狋）犈犅． （２）

其中：犇０，犇１，犇犅，犈０，犈１，犈犅 是适当维数的常数矩阵，

反映了模型不确定性的结构；Δ（狋）是不确定参数矩阵，

反映了系统模型中的参数不确定性的结构信息，满足

Δ（狋）ΔＴ（狋）≤犐． （３）

控制输入满足

狘狌犻（狋）狘≤狌犻ｍａｘ，狌犻ｍａｘ ＞０，犻＝１，２，…，犿． （４）

在本文中要用到以下几个定义和引理．

定义１［１９］　考虑时滞系统

狓（狋）＝犃０狓（狋）＋犃１狓（狋－τ）， （５）

狓（狋）＝φ（狋），狋∈ ［－τ，０］，

对于给定的（犮１，犮２，犜），其中０≤犮１＜犮２，如果

ｓｕｐθ∈［－τ，０］

φＴ（θ）φ（θ）≤犮１狓

Ｔ（狋）狓（狋）＜犮２，

　狋∈ （０，犜）， （６）

那么称系统（５）是ＦＴＳ的．

注１　李雅普诺夫渐近稳定（ＬＡＳ）和ＦＴＳ是两

个独立的概念：ＬＡＳ刻画的是一个系统在无穷时间区

间上的稳态、渐近性；而ＦＴＳ关注的是在固定时间区

间中系统的性能指标和状态轨迹，强调系统的暂态行

为．一个ＦＴＳ系统不一定是ＬＡＳ的；反之，一个ＬＡＳ

系统可能不是ＦＴＳ，因为其状态可能在某个时刻超出

给定范围．

定义２［７］　考虑时滞系统（５），如果系统关于（犮１，

犮２，犜）是ＦＴＳ的，且在无穷时间区间上是ＬＡＳ的，那

么称系统（５）是混合稳定的．

引理１［２０］　给定适当维数的矩阵犢，犎，犈 和

Δ（狋），其中Δ是对称矩阵并且Δ（狋）满足式（３），则

Δ＋犎Δ（狋）犈＋犈ＴΔＴ（狋）犎Ｔ

＜０ （７）

成立，当且仅当存在一个标量λ＞０使得

犢＋λ－１犎犎Ｔ

＋λ犈Ｔ犈 ＜０． （８）

引理２［２１］　给定狀维正定矩阵Θ犾 和Λ犾，则Θ犾Λ犾

＝犐，（犾＝１，２，…，狊），当且仅当

Θ犾 犐

犐 Λ犾

熿

燀

燄

燅≥０，犾＝１，２，…，狊， （９）

且

ｔｒ∑狊

犾＝１

（Θ犾Λ犾）｛ ｝＝狊狀． （１０）

问题１　本文中要解决的问题是设计控制器

狌（狋）＝犓狓（狋）， （１１）

使得狌（狋）满足输入受限条件（４），该控制器和系统（１）

构成的闭环系统混合稳定，其中犓 为待求的状态反馈

增益矩阵．本文中称这样的控制器为混合稳定控制器．

２　混合稳定控制器的设计

下面定理给出了系统（１）在满足输入受限条件

（４）的情况下，混合稳定的一个充分条件．

定理１　考虑时滞系统（１），如果存在标量τ０＞０，

α≥０，λ＞０，δ＞０，ε＞０和正定对称矩阵犡∈犚狀×狀，犢∈

犚狀×狀和矩阵犣犿×狀使得以下不等式成立：

Ξ 犃１犡 犡犈Ｔ０ ０ 犣Ｔ犈Ｔ

犅

犡犃Ｔ１ －犢 ０ 犡犈Ｔ

１ ０

犈０犡 ０ －λ犐 ０ ０

０ 犈１犡 ０ －δ犐 ０

犈犅犣 ０ ０ ０ －ε犐

熿

燀

燄

燅

＜０， （１２）

犮１

λｍｉｎ（犡－１）［λｍａｘ（犡

－１）＋

　τ０λｍａｘ（犡－１犢犡－１）］ｅα犜 ＜犮２， （１３）

狌２犻ｍａｘ／犮２ 犣犻

犣Ｔ犻 犡

熿

燀

燄

燅≥０，犻＝１，２，…，犿， （１４）

其中Ξ＝犃０犡＋犡犃０Ｔ＋犅犣＋犣Ｔ犅Ｔ＋犢＋λ犇０犇０

Ｔ＋

δ犇１犇１Ｔ＋ε犇犅犇犅

Ｔ，犣犻 为矩阵犣的第犻行．则对任意满

足０≤τ≤τ０ 的滞后时间τ，存在形如式（１１）的控制

器，使得系统（１）和该控制器构成的闭环系统混合稳

定且狌（狋）满足输入受限条件．其中状态反馈增益矩阵

犓＝犣犡－１．

证明　若存在满足矩阵不等式（１２）～（１４）的对

称正定矩阵犡，犢 和矩阵犣，定义犘＝犡－１犙＝犡

－１

犢犡－１，犓＝犣犡－１，则狌＝犓狓（狋）是系统（１）的一个控制

律．选取Ｌｙａｐｕｎｏｖ泛函

犞（狓（狋））＝狓Ｔ（狋）犘狓（狋）＋∫

狋

狋－τ狓Ｔ（θ）犙狓（θ）ｄθ，

（１５）

犞（狓（狋））关于时间的导数是

犞·

（狓（狋））＝狓（狋）

狓（狋－τ）［ ］Ｔ

　Ω 犘（犃１＋犇１Δ（狋）犈１）

（犃１＋犇１Δ（狋）犈１）Ｔ犘 －犙

熿

燀

燄

燅

　狓（狋）

狓（狋－τ）［ ］， （１６）

其中Ω＝（犃０＋犇０Δ（狋）犈０＋（犅＋犇犅Δ（狋）犈犅）犓）Ｔ犘＋

·４０４·

第３期 方国鹏等：输入受限不确定线性时滞系统的混合镇定

犺狋狋狆：∥犼狓犿狌．狓犿狌．犲犱狌．犮狀

犘（犃０＋犇０Δ（狋）犈０ ＋ （犅 ＋犇犅Δ（狋）犈犅）犓）＋犙．由

Ｓｃｈｕｒ补引理［１９］可知，定理１中的式（１２）等价于

Γ＋珚Γ 犃１犡

犡犃Ｔ１ －犢＋δ犡犈

Ｔ１犈１犡

熿

燀

燄

燅＜０， （１７）

其中

Γ＝犡犃Ｔ０＋犃０犡＋犣

Ｔ犅Ｔ＋犅犣＋犢，

珚Γ＝λ－１犇０犇

Ｔ０＋λ犡犈

Ｔ０犈０犡＋ε犣

Ｔ犈Ｔ犅犈犅＋

　λ－１犇０犇

Ｔ０＋δ

－１犇１犇Ｔ１＋ε

－１犇犅犇Ｔ犅．

对式（１７）分别左乘和右乘矩阵ｄｉａｇ｛犡－１，犡－１｝，

并将犘＝犡－１，犙＝犡－１犢犡－１，犓＝犣犡－１代入可得

Σ＋珚Σ 犘犃１

犃Ｔ１犘 －犙＋δ犈

Ｔ１犈１

熿

燀

燄

燅＜０， （１８）

其中

Σ＝犃Ｔ０犘＋犘犃０＋犓

Ｔ犅Ｔ犘＋犘犅犓＋犙，

珚Σ＝λ－１犘犇０犇

Ｔ０犘＋λ犈０

Ｔ犈０＋ε－１犘犇犅犇犅

Ｔ犘＋

　ε犓Ｔ犈犅

Ｔ犈犅犓＋δ－１犘犇１犇１

Ｔ犘Ｔ．

由引理１和Ｓｃｈｕｒ补引理可得，式（１８）等价于

Ω 犘（犃１＋犇１Δ（狋）犈１）

（犃１＋犇１Δ（狋）犈１）Ｔ犘 －犙

熿

燀

燄

燅＜０．

（１９）

由此可知犞·

（狓（狋））＜０，系统是渐近稳定的．由于α≥０，

犞·

（狓（狋））＜０≤α犞（狓（狋））． （２０）

对式（２０）从０到狋积分，狋∈［０，犜］可得

犞（狓（狋））＜ｅα狋犞（狓（０）），

犞（狓（狋））＜ｅα狋（狓Ｔ（０）犡－１狓（０）＋

　∫０

－τ狓Ｔ（θ）犡－１犢犡－１狓（θ）ｄθ）． （２１）

由初始条件狓Ｔ（０）狓（０）≤犮１ 可得

犞（狓（狋））＜犮１ｅα狋［λｍａｘ（犡

－１）＋τλｍａｘ（犡－１犢犡－１）］≤

　犮１ｅα狋［λｍａｘ（犡

－１）＋τ０λｍａｘ（犡－１犢犡－１）］， （２２）

又由于

犞（狓（狋））＞狓Ｔ（狋）犡－１狓（狋）≥

　λｍｉｎ（犡－１）狓Ｔ（狋）狓（狋）， （２３）

由式（２２）和（２３）可得

狓Ｔ（狋）狓（狋）＜犮１

λｍｉｎ（犡－１）［λｍａｘ（犡

－１）＋

　τ０λｍａｘ（犡－１犢犡－１）］ｅα狋，狋∈ ［０，犜］， （２４）

因此有

狓Ｔ（狋）狓（狋）＜犮１

λｍｉｎ（犡－１）［λｍａｘ（犡

－１）＋

　τ０λｍａｘ（犡－１犢犡－１）］ｅα犜． （２５）

结合式（１３）可得狓Ｔ（狋）狓（狋）＜犮２，系统（１）关于（犮１，

犮２，犜）是ＦＴＳ的．

由于系统（１）既满足渐近稳定又满足ＦＴＳ，所以

系统是混合稳定的．令

犱狋＝犮１

λｍｉｎ（犡－１）［λｍａｘ（犡

－１）＋

　τ０λｍａｘ（犡－１犢犡－１）］ｅα狋，

由狓Ｔ（０）狓（０）≤犮１ 可得

狓Ｔ（狋）狓（狋）≤犮１

λｍｉｎ（犡－１）［λｍａｘ（犡

－１）＋

　τ０λｍａｘ（犡－１犢犡－１）］ｅα狋．

对满足初始条件狓Ｔ（０）狓（０）≤犮１ 的状态狓定义

其可允许达到的集合（可许集）如下：

ε狋∶＝｛狕∈犚狀 狕Ｔ犡－１狕≤犱狋｝，狋∈ ［０，犜］．（２６）

设狋１≤狋２，则犱狋１≤犱狋２，就有ε狋１ε狋２，可得到如下关

系式：

∪狋∈［０，犜］ε狋＝ε犜．

下面证明在给定的有限时间内，系统控制输入总

是满足输入受限约束条件（４）．

因为狌＝犣犡－１狓（狋），所以

ｍａｘ狋∈［０，犜］

狌犻（狋）２＝ ｍａｘ狋∈［０，犜］

（犣犡－１狓（狋））犻２， （２７）

由状态的可许集（２６）可知

ｍａｘ狋∈［０，犜］

（犣犡－１狓（狋））犻狘２≤

　 ｍａｘ狕∈∪狋∈［０，犜］ε狋

（犣犡－１狕）犻２，

因为∪狋∈［０，犜］ε狋＝ε犜，所以

ｍａｘ狕∈∪狋∈［０，犜］ε狋

（犣犡－１狕）犻２＝ｍａｘ狕∈ε犜

（犣犡－１狕）犻２．

（２８）

因为狕Ｔ犡－１狕≤犱犜，所以犱－１犜狕

Ｔ犡－１狕≤１，即

（犱犜犡）－１

２狕 ２ ≤１，

所以

ｍａｘ狕∈ε犜

（犣犡－１狕）犻２≤

　 ｍａｘ（犱犜犣）－

１

２狕 ２＝１（犣犡－１狕）犻

２．

因为犣犡－１狕＝犱１

２

犜犣犡

１

２ （犱犜犡）－１

２狕［ ］，所以

ｍａｘ（犱犜犡）－

１

２狕 ２＝１

（犣犡－１狕）犻２＝

　 ｍａｘ（犱犜犡）－

１

２狕 ２＝１

（犱１

２

犜犣犡－

１

２ （犱犜犡）－１

２狕［ ］）犻

２

＝

　 犱１

２

犜犣犡－

１

２２２＝犱犜犣犻犡

－１犣Ｔ犻． （２９）

对式（１４）应用Ｓｃｈｕｒ补引理可知

犮２犣犻犡－１犣Ｔ

犻 ≤ （狌犻ｍａｘ）２，狋∈ ［０，犜］．

由

犱犜＝犮１

λｍｉｎ（犡－１）［λｍａｘ（犡

－１）＋

·５０４·

厦门大学学报（自然科学版） ２０１７年

犺狋狋狆：∥犼狓犿狌．狓犿狌．犲犱狌．犮狀

　τλｍａｘ（犡－１犢犡－１）］ｅα犜＜犮２，

可得

ｍａｘ狋∈［０，犜］

狌犻（狋）２≤犱犜犣犻犡

－１犣Ｔ犻 ＜

　犮２犣犻犡－１犣Ｔ

犻 ≤ （狌犻ｍａｘ）２，

因此

ｍａｘ狋∈［０，犜］

狌犻（狋）２＜（狌犻ｍａｘ）

２．

所以系统（１）是满足输入受限条件，证毕．

定理１中的条件（１３）不是ＬＭＩ约束，这使得我们

无法直接调用 ＭＡＴＬＡＢ中的ＬＭＩ工具箱．因此需要

将条件（１３）改进成ＬＭＩ约束的形式，即有如下推论．

推论１　如果存在标量τ０＞０，α≥０，λ＞０，δ＞０，ε

＞０，β１＞０，β２＞０，β３＞０和正定对称矩阵犡∈犚狀，犢∈

犚狀 和矩阵犣∈犚犿×狀，使得以下不等式成立：

Ξ 犃１犡 犡犈Ｔ０ ０ 犣Ｔ犈Ｔ

犅

犡犃Ｔ１ －犢 ０ 犡犈Ｔ

１ ０

犈０犡 ０ －λ犐 ０ ０

０ 犈１犡 ０ －δ犐 ０

犈犅犣 ０ ０ ０ －ε犐

熿

燀

燄

燅

＜０， （３０）

犡 犐

犐 β１犐［ ］≤０，犡 犐

犐 β２犐［ ］≥０， （３１）

犢－１ 犡－１

犡－１

β３犐

熿

燀

燄

燅＜０， （３２）

－犮２ｅ－α犜

β１ 犮槡１β２ 犮１τ槡 ０β３

犮槡１β２ －β２ ０

犮１τ槡 ０β３ ０ －β３

熿

燀

燄

燅

＜０， （３３）

狌２犻ｍａｘ／犮２ 犣犻

犣Ｔ犻 犡

熿

燀

燄

燅≥０，犻＝１，２，…，犿， （３４）

则对任意满足０≤τ≤τ０ 的滞后时间τ，存在形如式

（１１）的控制器，使得系统（１）和该控制器构成的闭环

系统混合稳定且狌（狋）满足输入受限条件．其中状态反

馈增益矩阵犓＝犣犡－１．

证明　由矩阵的Ｓｃｈｕｒ补引理可知，矩阵不等式

（３１）和（３２）分别等价于

β１犐＜犡－１，β２犐＞犡

－１，β３犐＞犡－１犢犡－１，

可得

β１ ＜λｍｉｎ（犡－１），β２ ＞λｍａｘ（犡

－１），

β３ ＞λｍａｘ（犡－１犢犡－１）． （３５）

由式（３３）应用Ｓｃｈｕｒ补引理可得

－犮２ｅ－α犜

β１＋犮１β２＋τ０犮１β３ ＜０． （３６）

将式（３６）代入上式可得

－犮２ｅ－α犜λｍｉｎ（犡

－１）＋犮１λｍａｘ（犡－１）＋

　τ０犮１λｍａｘ（犡－１犢犡－１）＜０．

式（３６）即为定理１中的式（１３）．根据定理１得证

本推论．

由于推论１的式（３２）中犡－１和犢－１的存在，还是

无法直接调用ＬＭＩ工具箱，可以利用文献［１８］中的

锥补线性化算法将其转化成非线性最小化问题，得

到次优解．虽然不能得到最优解且会具有一定的保

守性，但是转化后的非线性最小化问题比原来的非

凸可行性问题更容易求解．为了解决这个问题，定义

变量矩阵犝∈犚狀，犞∈犚

狀，由引理２可知如果满足

犡 犐

犐 犝［ ］≥０，犢 犐

犐 犞［ ］≥０， （３７）

且

ｍｉｎ｛ｔｒａｃｅ（犡犝＋犢犞）｝＝２狀，

则犝犡＝犐，犞犢＝犐成立，那么推论１中的条件（３２）等

价于

犞 犝

犝 β３犐［ ］＜０． （３８）

推论１可转化为如下优化问题：

ｍｉｎ｛ｔｒａｃｅ（犡犝＋犢犞）｝， （３９）

满足ＬＭＩｓ：（３０），（３１），（３３），（３４），（３７），（３８）．

下面是求解式（３９）优化问题的锥补线性化迭代

算法［２１］步骤：

１）给定一个足够小的计算精度υ＞０和允许的最

大迭代步数犖；

２）求出一个可行解集（犡０，犢０，犣０，犝０，犞０，λ０，δ

０，

ε０，β

０１，β

０２，β

０３，狌

０）满足式（３０），（３１），（３３），（３４），（３７），

（３８）．如果满足条件

狘ｔｒａｃｅ（犡０犝０＋犢

０犞０）－２狀狘＜υ，

那么系统的控制器为犓＝犣０（犡０）－１，否则，令犽＝０，

进行下一步；

３）求解以下ＬＭＩ问题：

ｍｉｎ｛ｔｒａｃｅ（犡犽犝＋犝犽犡＋犢

犽犞＋犞犽犢）｝，

满足ＬＭＩｓ：（３０），（３１），（３３），（３４），（３７），（３８）．

令犡犽＋１＝犡，犢犽＋１＝犢，犣犽＋１＝犣，犝犽＋１＝犝，犞犽＋１＝犞；

４）如果满足条件

ｍｉｎ｛ｔｒａｃｅ（犡犽＋１犝犽＋１＋犢犽＋１犞犽＋１）－２狀｝＜υ，

那么系统的控制器为犓＝犣犽＋１（犡犽＋１）－１，否则令犽＝犽

＋１，进行步骤３）．如果犽＞犖，退出计算，说明优化问

题（３９）无解．

３　数值仿真

以某无人机为例验证本文中所提控制方法的有

效性，无人机纵向动力学模型［２２］如下：

犿狇犞·

＝犉狓狋ｃｏｓα－犉狔狋ｓｉｎα，

·６０４·

第３期 方国鹏等：输入受限不确定线性时滞系统的混合镇定

犺狋狋狆：∥犼狓犿狌．狓犿狌．犲犱狌．犮狀

犿狇犞α＝犿狇犞狇－犉狓狋ｓｉｎα－犉狔狋ｃｏｓα，

＝狇，

狇＝犕犣

犐犣，

犎 ＝犞ｃｏｓαｓｉｎ－犞ｓｉｎαｃｏｓ， （４０）

其中，犞，α，，狇，犎 分别表示速度、迎角、俯仰角、俯仰

角速率和高度，犿狇 为飞行器的质量，犐犣 为俯仰转动惯

量，犉狓狋和犉狔狋为机体所受到的合力在机体轴系狓狋 和狔狋

的分量，犕犣 为合力产生的俯仰力矩，控制输入为升降

舵偏转角δ狕（ｒａｄ）和油门中值δ狆，具体表达式及物理

参数参考文献［２２］．控制输入δ狕 和δ狆 分别满足

－０．５２≤δ狕≤０．５２，

０≤δ狆≤１．

本节仿真的目的是考虑在时滞、输入受限和不确

定性影响下，设计混合稳定控制器使得过渡时间为３０

ｓ，速率和高度的超调量不超过１０％．速率、迎角、俯仰

角、俯仰角和高度稳定在平衡点，平衡点处状态

狓ｔｒｉｍ＝ ２３ ０．０３６３ ０．０３６３ ０ ２０［ ］Ｔ．

将无人机模型在平衡点狓ｔｒｉｍ处线性化可得误差系统

狓（狋）＝（犃０＋Δ犃０（狋））狓（狋）＋（犃１＋

　Δ犃１（狋））狓（狋－τ）＋（犅＋Δ犅（狋））狌（狋），

其 中，τ 是 由 洗 流 时 差 引 起 的 时 滞，狓 ＝

［Δ犞 Δα Δ Δ狇 Δ犎］为状态变量增量，狌＝

Δδ狕 Δδ狆［ ］Ｔ 为控制增量，Δ犃０（狋）、Δ犃１（狋）和Δ犅（狋）

表示由于线性化和参数摄动引起的误差．为了实现控

制目的，选取（犮１，犮２，犜）＝（２．１，６，３０），给定α＝０．１．

由推论１可得混合稳定控制器犓，时滞τ＝０．１，犃０、

犃１、犅、Δ犃０、Δ犃１、Δ犅和犓 的具体数值见附录．

将得到的控制器在无人机非线性模型（４０）上进

行仿真，图１是系统控制输入的变化曲线，图２～６是

系统各个状态的响应曲线，为了更好地说明混合稳定

的优越性，对模型（４０）分别采用混合稳定控制器和渐

近稳定控制器，得到图７～９在两个不同控制器作用

下的速度响应曲线、高度响应曲线和狓Ｔ狓响应曲线．

由仿真结果图可以看出，无人机在时滞、不确定

性和输入受限情况下，速率、迎角、俯仰角、俯仰角和

高度稳定在平衡点，速率和高度的超调量很小且整个

过程都满足输入受限约束条件．通过对比渐近稳定控

制器和混合稳定控制器的仿真图，可得使用渐近稳定

控制器时高度变化曲线过渡时间长且超调量大．这表

明了本研究设计的混合稳定控制器方法的有效性和

优越性，有利于保证无人机的暂态性能和稳态性能．

图１　控制输入变化曲线

Ｆｉｇ．１ Ｃｕｒｖｅｏｆｃｏｎｔｒｏｌｉｎｐｕｔ

图２　速度变化曲线

Ｆｉｇ．２ Ｃｕｒｖｅｏｆｖｅｌｏｃｉｔｙ

图３　迎角变化曲线

Ｆｉｇ．３ Ｃｕｒｖｅｏｆａｔｔａｃｋａｎｇｌｅ

图４　俯仰角变化曲线

Ｆｉｇ．４ Ｃｕｒｖｅｏｆｐｉｔｃｈａｎｇｌｅ

图５　俯仰角速率变化曲线

Ｆｉｇ．５ Ｃｕｒｖｅｏｆｐｉｔｃｈｒａｔｅ

图６　高度响应曲线

Ｆｉｇ．６ ＣｕｒｖｅｏｆａｌｔｉｔｕｄｅＬＡＳ

·７０４·

厦门大学学报（自然科学版） ２０１７年

犺狋狋狆：∥犼狓犿狌．狓犿狌．犲犱狌．犮狀

图７　分别用混合稳定控制器

和控制器的速度响应曲线

Ｆｉｇ．７ Ｃｕｒｖｅｓｏｆｖｅｌｏｃｉｔｙｕｎｄｅｒｍｉｘｅｄ

ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒａｎｄＬＡＳｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ

　

图８　分别使用混合稳定控制器和

ＬＡＳ控制器的高度响应曲线

Ｆｉｇ．８ Ｃｕｒｖｅｓｏｆａｌｔｉｔｕｄｅｕｎｄｅｒｍｉｘｅｄ

ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒａｎｄＬＡＳｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ

　

图９　分别使用混合稳定控制器

和ＬＡＳ控制器狓Ｔ狓曲线

Ｆｉｇ．９ Ｃｕｒｖｅｓｏｆ狓Ｔ狓ｕｎｄｅｒｍｉｘｅｄ

ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒａｎｄＬＡＳｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ

４　结　论

在考虑输入受限的情况下，研究了不确定线性时

滞系统的混合稳定性．混合稳定性既考虑无穷时间区

间上的渐近稳定性，也考虑了有限时间段内暂态性能．

本文中给出了闭环系统在满足给定输入约束条件下

混合稳定的充分条件，通过锥补线性化算法求解控制

器．通过无人机模型上的仿真，表明该控制方案达到了

预期暂态性能和稳态性能的控制效果．

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·８０４·

第３期 方国鹏等：输入受限不确定线性时滞系统的混合镇定

犺狋狋狆：∥犼狓犿狌．狓犿狌．犲犱狌．犮狀

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（３）：３８２３８９．

附　录

犃０＝

－０．０８９４ ３．９１２８ －９．８ ０ ０

－０．０３２１ －２．５７２４ ０．０１５６ ０．９５６４ ０

０ ０ ０ １ ０

０．２２２８ －５６．７１５６ －０．０８９３ －２２．０１０９ ０

０ －２３ ２３ ０ ０

熿

燀

燄

燅

，犃１＝

０ ０ ０ ０ ０

０ ０．１ ０ ０ ０

０ ０ ０ ０ ０

０ ０ ０ ０ ０

０ ０ ０ ０ ０

熿

燀

燄

燅

，

犅＝

０ １３．６５１７

－０．０１２１ －０．２４１５

０ ０

－５．６０５９ －２２．１４５２

０ ０

熿

燀

燄

燅

，犇０＝犇１＝犇犅 ＝

０．１ ０ ０

０ ０．１ ０

０ ０ ０

０ ０ ０．１

０ ０ ０

熿

燀

燄

燅

，犈０＝犈１＝

１ １ ０ ０ ０

１ １ ０ １ ０

１ １ ０ １ ０

熿

燀

燄

燅

，

犈犅 ＝

０ ０

１ １

１ １

熿

燀

燄

燅

，犓＝０．２０５２ －３．３６２０ ５．６８７４ ０．１６４３ ０．１６１２

－０．３６４２ －０．１１３５ １．４２８４ －０．１５５８ ０．０１２７［ ］．

犕犻狓犲犱犛狋犪犫犻犾犻狕犪狋犻狅狀狅犳犔犻狀犲犪狉犝狀犮犲狉狋犪犻狀犛狔狊狋犲犿狊

狑犻狋犺犐狀狆狌狋犆狅狀狊狋狉犪犻狀狊犪狀犱犜犻犿犲犇犲犾犪狔

ＦＡＮＧＧｕｏｐｅｎｇ，ＳＵＮＨｏｎｇｆｅｉ

（ＳｃｈｏｏｌｏｆＡｅｒｏｓｐａｃｅＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＸｉａｍｅｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉａｍｅｎ３６１００５，Ｃｈｉｎａ）

犃犫狊狋狉犪犮狋：Ｆｏｒｔｈｅｐｕｒｐｏｓｅｏｆａｉｍｉｎｇａｔａｃｌａｓｓｏｆｌｉｎｅａｒｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｉｍｅｄｅｌａｙｓｙｓｔｅｍｓ，ｔｈｅｃｏｎｃｅｐｔｏｆｍｉｘｅｄｓｔａｂｉｌｉｚａｔｉｏｎａｎｄｃｏｎｔｒｏｌ

ｓｔｒａｔｅｇｙａｒｅｇｉｖｅｎｕｎｄｅｒｔｈｅｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｔｒａｎｓｉｅｎｔａｎｄｓｔｅａｄｙｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ．Ｔｈｅｃｌｏｓｅｄｌｏｏｐｓｙｓｔｅｍｏｂｔａｉｎｅｄｙｉｅｌｄｓｔｈｅｆｉｎｉｔｅ

ｔｉｍｅｓｔａｂｉｌｉｔｙｗｉｔｈｉｎａｇｉｖｅｎｔｉｍｅｉｎｔｅｒｖａｌ，ｍｅａｎｗｈｉｌｅｉｔａｌｓｏｙｉｅｌｄｓａｎａｓｙｍｐｔｏｔｉｃｓｔａｂｉｌｉｔｙｉｎｔｈｅｓｅｎｓｅｏｆＬｙａｐｕｎｏｖ．Ｔｈｅｎｔｈｅｃｏｎｔｒｏｌ

ｐｒｏｂｌｅｍｃａｎｂｅｔｒａｎｓｆｏｒｍｅｄｉｎｔｏａｆｅａｓｉｂｌｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆｎｏｎｃｏｎｖｅｘｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｗｉｔｈｌｉｎｅａｒｍａｔｒｉｘｉｎｅｑｕａｌｉｔｙｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ．Ｍｏｒｅｏｖｅｒ，

ｔｈｅｃｏｎｅｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｉｔｙｌｉｎｅａｒｉｚａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｓｕｓｅｄｔｏｏｂｔａｉｎａｓｔａｔｅｆｅｅｄｂａｃｋｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓｏｆａｎｕｎ

ｍａｎｎｅｄａｅｒｉａｌｖｅｈｉｃｌｅｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｔｈｅｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓｏｆｔｈｅｍｅｔｈｏｄ．

犓犲狔狑狅狉犱狊：ｔｉｍｅｄｅｌａｙ；ｉｎｐｕｔｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ；ｕｎｃｅｒｔａｉｎｓｙｓｔｅｍｓ；ｍｉｘｅｄｓｔａｂｉｌｉｔｙ；ｆｉｎｉｔｅｔｉｍｅｓｔａｂｉｌｉｔｙ

·９０４·