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不可逆過程の非平衡相転移
－トイモデルから実験へ－
竹内一将 （東京工業大学）
“Directed percolation 普遍クラス”日本語解説：
竹内一将、日本物理学会誌 70, 599（2015年8月号）液晶実験：
K.A. Takeuchi et al., PRL 99, 234503 (2007); PRE 80, 051116 (2009).量子乱流数値計算：
M. Takahashi, M. Kobayashi & K.A. Takeuchi, arXiv:1609.01561
可逆過程 と 不可逆過程
２状態模型を考えてみる。
A B
A B
遷移レート
確率
詳細つり合い
B非平衡状態なら も可能？（例: 生 → 死）「不可逆」
「可逆」
不可逆過程の相転移
生物集団の盛衰を考えてみよう。
トイモデル：contact process各サイトの生物個体は、確率的に
・死ぬ （レートµ）・増殖する （レートλ, 隣が空なら）
t
個体あり “active”個体なし “inactive”
個体のいるサイトの割合「activeサイト密度」
普遍的な非平衡臨界現象“Directed percolation クラス”
[review: Hinrichsen, Adv. Phys. 49, 815 (2000)]
「吸収状態」非平衡相転移！
Directed Percolation (DP) クラス
吸収状態への相転移が示す最も基本的な普遍クラス
連続体方程式
場の理論
[review: Hinrichsen, Adv. Phys. 49, 815 (2000)]
t
ノイズ密度場
Janssen – De Dominicisの方法
補助場
Regge極の場の理論と同じ！（相対論的ハドロンの衝突）
: rapidity
: 衝突パラメータ
理論 vs 実験
DPクラスの基礎理論は 70-80’s に確立
吸収状態転移を示す様々なトイモデルでDPが出現
重力下の浸透現象、伝染病、触媒反応、対流の時空間欠性、細胞のシグナル伝達、銀河形成、カオス同期…などなど
それなら実験は？ → 実験例は皆無だった。
P. Grassberger (1997)“…there is still no experiment where the critical behaviour of DP was seen. This is a very strange situation in view of the vast and successive theoretical efforts made to understand it. Designing and performing such an experiment has thus top priority in my list of open problems.”
DPは実在するのか？
[review: Hinrichsen, Adv. Phys. 49, 815 (2000)]
Yes! 最近の進展
液晶電気対流
ネマチック液晶（例：MBBA ）異方的物性
の場合
オームの法則 静電ポテンシャル
電圧印加により対流発生 （Carr-Helfrich不安定性）
対流の状態遷移、乱流化
位相欠陥乱流（DSM2）
対流なし
ロール対流ほか様々な対流パターン
100 µm
欠陥なし乱流（DSM1）
どのような非平衡相転移か？
透過光観察
転移点近傍の様子
では DSM1・DSM2が共存DSM2 を赤く表示
DSM2 パッチ全滅
DSM2 パッチの時空間発展
[KaT et al. PRL 99, 234503 (2007); PRE 80, 051116 (2009)]
※DSM2自発生成は見られない
相転移：DSM2 が生き残るか全滅するか
吸収状態転移？
臨界現象
オーダーパラメータ（DSM2面積） vs 電圧
メカニズム実効的にcontact process？
[KaT et al. PRL 99, 234503 (2007); PRE 80, 051116 (2009)]
2次元 DPクラスと一致！
t
DSM2（位相欠陥乱流）DSM1（欠陥なし乱流） 時間軸方向の
“directed percolation”
臨界現象
相関長 ・相関時間
独立な臨界指数3つがDPクラスと一致
[KaT et al. PRL 99, 234503 (2007); PRE 80, 051116 (2009)]
相関長 相関時間
測定時間不足による頭打ち
一致！
臨界クエンチ
電圧を から へ急降下オーダーパラメータ（DSM2面積）の緩和過程を測定
at
動的臨界現象の臨界指数・スケーリング関数もDPと一致
[KaT et al. PRL 99, 234503 (2007); PRE 80, 051116 (2009)]
DPスケーリング仮説の検証
--- : DPの普遍的スケーリング関数
Regge極理論からの予言
DPの場の理論 ＝ Regge極の場の理論
Rapidity反転対称性：
: rapidity
: 衝突パラメータ
作用
で作用 J が不変
衝突する粒子 衝突される粒子Regge極：
密度場 「応答場」DP：
臨界クエンチの密度減衰
単独クラスターの生存確率
Rapidity反転対称性
単独クラスター生成に向けて…DSM2核生成
cis-trans光異性化反応を用いる。
分子スイッチ等に応用アゾベンゼン
MBBA
MBBA光異性化反応に適した波長・強度のパルスレーザーによりDSM2生成に成功
trans cis
（分子形状変化により位相欠陥が生成？）
単独クラスター測定
初期条件：DSM2核単体
生存確率 クラスター体積 クラスター二乗半径
特に rapidity反転対称性を実験的に検証
[KaT et al. PRE 80, 051116 (2009)]
生データ
スケーリング仮説検証
何が分かったか？
実験結果：液晶の位相欠陥乱流への相転移はDPクラスに属する！
12個の臨界指数を測定：
Rapidity反転対称性を含む8個のスケーリング関係式を確認
5個のスケーリング関数もDPと一致
DPクラスは自然界に実在した！
なぜDPクラスになったか？
巨大なシステムサイズ： vs 先行研究では100程度
短距離相互作用 ：弱い乱流状態（時空カオス）
ほぼ理想的な吸収状態：位相欠陥の自発生成はレアイベント
[KaT et al. PRE 80, 051116 (2009)]
もう１つの位相欠陥乱流：量子乱流
量子乱流：
超流動ヘリウムや冷却原子気体BECなど量子流体における量子渦糸（欠陥）の乱流状態
超流動Heの熱対向流[review: Tsubota et al. Phys Rep. 2013]
冷却原子気体の乱流[Henn et al. PRL 2009]
通常 乱流状態
振動障害物による乱流生成[Goto et al. PRL 2009]
様々な系で量子乱流が実現され、実験的にも理論的にも研究が進んでいる。
数値計算
散逸付きGross-Pitaevskii方程式 + ランダムポテンシャル
：ランダムポテンシャル（振幅 ,相関長 , 相関時間 ）
渦密度 の緩和過程（V = 0 にクエンチ）
Kolmogorov領域
渦の散逸
発達した量子乱流はKolmogorov則を示す。量子乱流への相転移は？
エネルギースペクトル（定常状態）
Kolmogorov則
[Kobayashi & Tsubota, PRL 2005, JLTP 2006]
V大 発達乱流
数値計算
散逸付きGross-Pitaevskii方程式 + ランダムポテンシャル
：ランダムポテンシャル（振幅 , 相関長 , 相関時間 ）
V = 10: 小さな渦ができては消える
[Takahashi, Kobayashi & KaT, arXiv:1609.01561]
V = 15:渦が持続、非自明構造
相転移？
定常状態
量子渦の自発生成率（単位時間・単位体積あたり）
• シャープな転移は見られない…• V小で ：Arrhenius則。V小は（実効的）熱ゆらぎが支配
• 量子渦の自発生成率 h に特異性なし、Arrhenius則：
[Takahashi, Kobayashi & KaT, arXiv:1609.01561]
量子渦密度
Arrhenius
渦長分布
（左下から右上へ）
V小ではBoltzmann分布
[Takahashi, Kobayashi & KaT, arXiv:1609.01561]
（片対数プロット）
Boltzmann
中間的挙動
べき分布
渦長分布
：熱的
：非熱的
V = 9
V = 14
V = 12
V大では冪分布（非Boltzmann）
（左下から右上へ）
（両対数プロット）
V = 10 V = 20
10.5
V 大
V 小
臨界クエンチ
Vを急降下 （発達乱流領域 ）
at
[Takahashi, Kobayashi & KaT, arXiv:1609.01561]
クエンチ臨界指数 3次元DPクラスと一致
渦密度
長時間領域：DP臨界緩和 （ のとき）
短時間領域：Kolmogorov則 （ も確認）
クエンチ初期過程[Takahashi, Kobayashi & KaT, arXiv:1609.01561]
渦密度の緩和過程 エネルギースペクトル
Kolmogorov → DP の二段階緩和
: Kolmogorov則？
定常状態 再び[Takahashi, Kobayashi & KaT, arXiv:1609.01561]
定常渦密度 冪領域が極めて狭いが
DP と consistent
DP臨界現象
渦長分布
定常渦密度
熱的領域(Arrhenius)
両対数
スケール不変性が未発達？
非熱的DP
定常状態 再び
フラクタル次元を測定（box counting法、 ）
量子渦が3次元的分布
量子渦の線状構造
独立な臨界指数3つがDPとconsistent（特に α は2桁近く一致）Gross-Pitaevskii 方程式の量子乱流転移はDPクラス
DP?
[Takahashi, Kobayashi & KaT, arXiv:1609.01561]
渦を含むbox数
← box大 box小 →
位相欠陥が大事…？
欠陥あり = active欠陥なし = inactive
○（ほぼ）
×
詳細つり合い…高いエネルギー障壁だけではダメ
○×
0から1は作れないが、1から2は作れるのが大事
○ ×
非平衡！
液晶乱流＆量子乱流：「位相欠陥 ＋ 非平衡性」で、これが実現
古典流体の乱流転移でもDP（実験）[Sano & Tamai, Nat. Phys. 12, 249 (2016); Lemoult et al., Nat. Phys. 12, 254 (2016)]
位相欠陥がなくても同種の状況は起こりうる。
まとめ
Directed Percolation (DP) クラス
吸収状態への相転移が属する非平衡普遍クラス Regge極の場の理論と等価、Rapidity反転対称性
液晶乱流実験
「欠陥なし乱流」と「位相欠陥乱流」の間の非平衡相転移 DP臨界現象の実験証拠、rapidity反転対称性も検証
量子乱流転移の数値計算
量子乱流転移点でDP臨界現象、クエンチでは Kolmogorov → DP 量子渦の非自明な空間構造が出現
展望：現実的な物理系でDPが出る条件は何か？ 機は熟した。夢想：Regge極の理論との関係、他にご利益はあるか？
不可逆過程の非平衡臨界現象「DPクラス」トイモデルを超え、実験・現実的モデルでも出現
[竹内, 日本物理学会誌 70, 599 (2015/8)]
[KaT et al. PRL 99, 234503 (2007); PRE 80, 051116 (2009)]
[Takahashi, Kobayashi & KaT, arXiv:1609.01561]
